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Equipo 5:
Héctor Pérez Vázquez
Roberto Maldonado Martínez
Arad Said Mora Hernández
Ángel Francisco Tepetlan Munguía
Universidad Veracruzana
Facultad de Ciencias Químicas
Ingeniería de Procesos
Optimización
Índice
 1. Introducción a la optimización
 2. Ajuste de datos empíricos a funciones
 3. Función objetivo
 4. Métodos numéricos para optimización de funciones
 Newton y Secante
 5. Métodos de eliminación de regiones
 Fibonacci y Sección dorada
 6. Optimización de funciones multivariables
 Directos, Indirectos y Diferencias finitas
 7. Aplicaciones de optimización
1. Introducción a la optimización
¿Qué es la optimización?
 Método para determinar los valores de las variables que intervienen
en un proceso o sistema para que el resultado sea el mejor posible.
 Consiste en maximizar o minimizar una función real.
 Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss propusieron métodos iterativos
para el movimiento hacia un óptimo.
 Históricamente, el primer término para la optimización
fue programación lineal, debido a George B. Dantzig.
 Dantzig publicó el algoritmo Simplex (Simple) en 1947 y John von
Neumann desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año
 La programación lineal es el campo de la optimización
matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar)
una función lineal, denominada función objetivo.
2. Ajuste de datos empíricos a funciones
 Los datos empíricos son obtenidos de pruebas, es decir, llevando a
cabo el experimento. Por lo tanto los datos empíricos son sacados de
las pruebas acertadas y los errores, es decir, de experiencia.
 Los datos experimentales vienen siempre afectados por errores de
medida
Ejemplo
Determinación de cinéticas químicas
3. Función objetivo
 La función objetivo es la ecuación que será optimizada dadas las
limitaciones o restricciones determinadas y con variables que necesitan
ser minimizadas o maximizadas usando técnicas de programación lineal
o no lineal.
4. Métodos numéricos para optimización de
funciones
 Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con
operaciones aritméticas.
 Aunque hay muchos tipos de métodos, todos comparten una
característica común, llevan a cabo un buen número de cálculos
aritméticos y emiten soluciones aproximadas.
Métodos de optimizacion
Método de Newton
Método de la Secante
Métodos de eliminación de Regiones
 Los métodos de eliminación de regiones se basan en eliminar
una región, en cada etapa del intervalo en el que está
comprendido el mínimo. Cuando la región posible es
suficientemente pequeña la búsqueda termina.
 El elemento básico dentro de los métodos de eliminación de
regiones es la comparación de valores de f(x) en dos o más
puntos dentro del intervalo de x.
 Los métodos más eficientes de búsqueda por eliminación de
regiones son los métodos de la sección dorada y Fibonacci
Método de la sección dorada
 La búsqueda o método de la sección dorada es una técnica para
hallar el extremo (mínimo o máximo) de una función unimodal,
mediante reducciones sucesivas del rango de valores en el cual
se conoce el intervalo.
 Función unimodal
F(x)= X2-X
 Intervalo [0,2]
 L0 = b0 – τ ( b0 - a0)
 r0 = a0 + τ ( b0 - a0)
 τ= 0.618
Método de Fibonacci
 El método de búsqueda de Fibonacci es utilizado para
obtener un punto óptimo en funciones no diferenciables sin
utilizar derivadas es decir, que no sean derivables en el
intervalo (a,b).
 Este método es muy eficiente para aproximar, bajo cierto
margen de error, un punto máximo o mínimo en funciones
unimodales
 Función unimodal
F(x)= (X – 4 )2
 Intervalo [0,9]
 L0 = b0 – τ ( b0 - a0)
 r0 = a0 + τ ( b0 - a0)
 F= numero de fibonacci
F0=1 ; F1=1 ; F2=2 ; F3=3 ; F4=5 ; F5=8
 n= numero de evaluaciones posibles para la función objetivo
n-2=i
 τ=
𝑓𝑛−1
𝑓𝑛
;
𝑓𝑛−2
𝑓𝑛−1
;
𝑓𝑛−3
𝑓𝑛−2
……..
𝑓𝑛−(𝑖+1)
𝑓𝑛−𝑖
Optimización de funciones multivariables
 Métodos directos
Para la aplicación de estos métodos solamente es necesario
conocer el valor de la función objetivo en cualquier punto del
espacio y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la
diferenciabilidad de la función.
 Métodos indirectos
Los métodos indirectos hacen uso de derivadas en la determinación
de las direcciones de búsqueda. Una buena dirección de búsqueda
debería reducir la función objetivo, entonces si x0 es el punto inicial
y x1 es el nuevo punto: f(x1)<f(x0).
Optimización
de funciones
multivariables.
• Métodos
Directos
• Métodos
Indirectos
• Búsqueda Random
• Búsqueda en una grilla
• Método simplex
• Método de las direcciones
conjugadas
• Método de Powell
• Método del gradiente
• Método de Newton
• Método de la secante
Ejemplo
 Una empresa produce dos tipos distintos A y B de un bien. El
coste diario de producir x unidades de A e y unidades de B
es:
𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒙, 𝒚 = 𝟎. 𝟎𝟒𝒙 𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝒚 + 𝟎. 𝟎𝟏𝒚 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟓𝟎𝟎
Supongamos que el producto A lo vende a 15 € y el B a 9 €.
Hallar que número de unidades hay que vender de A y B para
maximizar el beneficio.
𝒃𝒆𝒏𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒙, 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒙, 𝒚 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟗𝒚
 Función objetivo:
𝒃 𝒙, 𝒚 = −𝟎. 𝟎𝟒𝒙 𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝒚 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒚 𝟐 + 𝟕𝒚 − 𝟓𝟎𝟎
 Obtenemos las derivadas parciales
=
=
 Igualamos a 0 ambas derivadas
=0
=0
Se puede observar que
la grafica es una curva
que tiene forma de
montaña por lo tanto el
único punto critico será
un máximo.
Diferencias Finitas
 El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general
que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales definidas en recintos finitos.
 Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales se
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 En diferencias finitas, esto se realiza al reemplazar las derivadas por
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Métodos de optimizacion

  • 1. Equipo 5: Héctor Pérez Vázquez Roberto Maldonado Martínez Arad Said Mora Hernández Ángel Francisco Tepetlan Munguía Universidad Veracruzana Facultad de Ciencias Químicas Ingeniería de Procesos Optimización
  • 2. Índice  1. Introducción a la optimización  2. Ajuste de datos empíricos a funciones  3. Función objetivo  4. Métodos numéricos para optimización de funciones  Newton y Secante  5. Métodos de eliminación de regiones  Fibonacci y Sección dorada  6. Optimización de funciones multivariables  Directos, Indirectos y Diferencias finitas  7. Aplicaciones de optimización
  • 3. 1. Introducción a la optimización ¿Qué es la optimización?  Método para determinar los valores de las variables que intervienen en un proceso o sistema para que el resultado sea el mejor posible.  Consiste en maximizar o minimizar una función real.
  • 4.  Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss propusieron métodos iterativos para el movimiento hacia un óptimo.  Históricamente, el primer término para la optimización fue programación lineal, debido a George B. Dantzig.  Dantzig publicó el algoritmo Simplex (Simple) en 1947 y John von Neumann desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año  La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo.
  • 5. 2. Ajuste de datos empíricos a funciones  Los datos empíricos son obtenidos de pruebas, es decir, llevando a cabo el experimento. Por lo tanto los datos empíricos son sacados de las pruebas acertadas y los errores, es decir, de experiencia.  Los datos experimentales vienen siempre afectados por errores de medida
  • 7. 3. Función objetivo  La función objetivo es la ecuación que será optimizada dadas las limitaciones o restricciones determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o maximizadas usando técnicas de programación lineal o no lineal.
  • 8. 4. Métodos numéricos para optimización de funciones  Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas.  Aunque hay muchos tipos de métodos, todos comparten una característica común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas.
  • 11. Método de la Secante
  • 12. Métodos de eliminación de Regiones  Los métodos de eliminación de regiones se basan en eliminar una región, en cada etapa del intervalo en el que está comprendido el mínimo. Cuando la región posible es suficientemente pequeña la búsqueda termina.  El elemento básico dentro de los métodos de eliminación de regiones es la comparación de valores de f(x) en dos o más puntos dentro del intervalo de x.
  • 13.  Los métodos más eficientes de búsqueda por eliminación de regiones son los métodos de la sección dorada y Fibonacci
  • 14. Método de la sección dorada  La búsqueda o método de la sección dorada es una técnica para hallar el extremo (mínimo o máximo) de una función unimodal, mediante reducciones sucesivas del rango de valores en el cual se conoce el intervalo.  Función unimodal F(x)= X2-X  Intervalo [0,2]  L0 = b0 – τ ( b0 - a0)  r0 = a0 + τ ( b0 - a0)  τ= 0.618
  • 15. Método de Fibonacci  El método de búsqueda de Fibonacci es utilizado para obtener un punto óptimo en funciones no diferenciables sin utilizar derivadas es decir, que no sean derivables en el intervalo (a,b).  Este método es muy eficiente para aproximar, bajo cierto margen de error, un punto máximo o mínimo en funciones unimodales
  • 16.  Función unimodal F(x)= (X – 4 )2  Intervalo [0,9]  L0 = b0 – τ ( b0 - a0)  r0 = a0 + τ ( b0 - a0)  F= numero de fibonacci F0=1 ; F1=1 ; F2=2 ; F3=3 ; F4=5 ; F5=8  n= numero de evaluaciones posibles para la función objetivo n-2=i  τ= 𝑓𝑛−1 𝑓𝑛 ; 𝑓𝑛−2 𝑓𝑛−1 ; 𝑓𝑛−3 𝑓𝑛−2 …….. 𝑓𝑛−(𝑖+1) 𝑓𝑛−𝑖
  • 17. Optimización de funciones multivariables  Métodos directos Para la aplicación de estos métodos solamente es necesario conocer el valor de la función objetivo en cualquier punto del espacio y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la diferenciabilidad de la función.  Métodos indirectos Los métodos indirectos hacen uso de derivadas en la determinación de las direcciones de búsqueda. Una buena dirección de búsqueda debería reducir la función objetivo, entonces si x0 es el punto inicial y x1 es el nuevo punto: f(x1)<f(x0).
  • 18. Optimización de funciones multivariables. • Métodos Directos • Métodos Indirectos • Búsqueda Random • Búsqueda en una grilla • Método simplex • Método de las direcciones conjugadas • Método de Powell • Método del gradiente • Método de Newton • Método de la secante
  • 19. Ejemplo  Una empresa produce dos tipos distintos A y B de un bien. El coste diario de producir x unidades de A e y unidades de B es: 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒙, 𝒚 = 𝟎. 𝟎𝟒𝒙 𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝒚 + 𝟎. 𝟎𝟏𝒚 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟓𝟎𝟎 Supongamos que el producto A lo vende a 15 € y el B a 9 €. Hallar que número de unidades hay que vender de A y B para maximizar el beneficio. 𝒃𝒆𝒏𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒙, 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒙, 𝒚 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟗𝒚
  • 20.  Función objetivo: 𝒃 𝒙, 𝒚 = −𝟎. 𝟎𝟒𝒙 𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝒚 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒚 𝟐 + 𝟕𝒚 − 𝟓𝟎𝟎  Obtenemos las derivadas parciales = =  Igualamos a 0 ambas derivadas =0 =0
  • 21. Se puede observar que la grafica es una curva que tiene forma de montaña por lo tanto el único punto critico será un máximo.
  • 22. Diferencias Finitas  El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos.  Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales se basan en el reemplazo de las ecuaciones diferenciales por ecuaciones algebraicas  En diferencias finitas, esto se realiza al reemplazar las derivadas por diferencias