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1Automatique
Réponse fréquentielle des
systèmes dynamiques continus LTI
UV Automatique
ASI 3
Cours 3
2Automatique
Contenu
! Introduction
" Définition de la réponse fréquentielle d'un système
" Types de réponse fréquentielle : Bode, Nyquist, Black
! Lieu de Bode
" Définition - tracé des diagrammes de Bode
" Diagrammes de Bode des systèmes fondamentaux
! Lieu de Nyquist
" Définition
" Lieu de Nyquist des systèmes fondamentaux
! Lieu de Black
"Définition
"Lieu de Black des systèmes fondamentaux
3Automatique
Introduction (1)
! Système continu LTI
! Analyse fréquentielle
U(s) H(s) Y(s) H(s) : fonction de transfert
Entrée du système : signal sinusoïdal
Pour s=jω, on a :
?
tAtu ωsin)( =
Quelle est la réponse harmonique du système ?
)()()( ωωω jUjHjY =
Si u(t) et y(t) sont des signaux à énergie finie, alors U(jω) et Y(jω) sont
les transformées de Fourier de u et y
)()()( ωωω jUjHjY =
)()()( ωωω jUjHjY =
)(arg)(arg)(arg ωωω jUjHjY +=
⇒
4Automatique
Introduction (2)
! Analyse fréquentielle
! Outils d'analyse de H(jω)
" Lieu de Bode
" Lieu de Nyquist
" Lieu de Black
)( ωjH
)( ωjH
)(arg)(arg)( ωωωϕ jUjY −=
: gain du système à la pulsation ω
: déphasage entre la sortie et l'entrée
à la pulsation ω avec )(arg)( ωωϕ jH=
tAtu ωsin)( =
Réponse harmonique du système en régime permanent
⇒ ))(sin()()( ωϕωω += tjHAty
traduit le comportement fréquentiel du système
5Automatique
Lieu de Bode (1)
! Définition
" Diagramme de gain représentant le module |H(jω)| en
fonction de la pulsation ω
# Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique
# Ordonnée : gain exprimé en décibels (dB), soit
" Diagramme de phase représentant l'argument ϕ (ω) en
fonction de la pulsation ω
# Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique
# Ordonnée : phase ϕ (ω) en degré (°) ou radian (rad)
Le lieu de Bode consiste à représenter H(jω) quand ω parcourt
R+ par deux diagrammes :
)(log20)( 10 ωω jHG =
6Automatique
Lieu de Bode (2)
! Principes
" Gain (dB)
" Phase
Soit H(s) une fonction de transfert factorisée sous la forme :
Conclusion : le produit des fonctions de transfert se traduit par une
somme des gains (dB) et des phases des transmittances élémentaires
)()()()( 21 sHsHsHsH nL=
On en déduit )()()()( 21 ωωωω jHjHjHjH nL=
∑ === n
i iGjHG 110 )()(log20)( ωωω
avec )(log20)( 10 ωω jHG ii =
∑ === n
i ijH 1 )()(arg)( ωϕωωϕ avec )(arg)( ωωϕ jHii =
7Automatique
Lieu de Bode (3)
! Principes (fin)
" Gain (dB)
" Phase
H(s) est factorisable à partir d'éléments de base sous la forme :
( )2
,10
2
,,
2
10
101010
log20)(2)(log20
1log20)(log20log20)(
lnlnlnll l
ii i
jj
TjkG
ωωωωξωγ
ωβωαω
−+++
+++=
∑
∑
( )∏ ∏ +++= i l lnlnlnli
li sssTkssH
γβα ωωωξ 2
,
2
,,
2 /)2()1()(
[ [ ,0,10 , >∈ lnl ωξ ZR ∈∈ liiTk γβα ,,et, *
( )2
,,
2 )(2)(arg
)1arg(
22
1)sgn(
)(
lnlnll l
ii i
jj
Tj
k
ωωωξωγ
ωβπαπωϕ
+++
+++
−
=
∑
∑
8Automatique
Lieu de Bode (4)
! Préliminaires
" k (gain)
" (intégrateur ou dérivateur)
" (éléments du premier ordre)
" (éléments du second ordre)
Le lieu de Bode d'un système de fonction de transfert H(s) peut
être tracé facilement à partir de la connaissance des
diagrammes de Bode des éléments de base :
1
2
2
1
2
±








++ s
s
nn
ω
ξ
ω
( ) 1±
s
( ) 1
1 ±
+Ts
9Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (1)
! Gain k
! Dérivation $ Intégration
Droite horizontale
kG 10log20=
ωlog
20log10|k|
G (dB)
ϕ (rad)
ωlog
-π
k > 0
k < 0
ssH =)(
Droite de pente 20dB/décade
ou pente +1
" Gain



<−
>
=
0si
0si0
k
k
π
ϕ" Phase
ω10log20=G" Gain
2
πϕ +=" Phase
1)( −= ssH
Droite de pente -20dB/décade
ou pente -1
ω10log20−=G" Gain
2
πϕ −=" Phase
10Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (2)
! Dérivation $ Intégration
ϕ (rad)
ωlog
−π/2
1)( −= ssH
ωlog
20dB
G (dB)
0.1 1 10
0dB
pente -1
-20dB
ϕ (rad)
ωlog
π/2
ωlog
20dB
G (dB)
1 10
0dB
pente +1
100
11Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (3)
! Premier ordre
( )22
10 1log10 TG ω+=
asymptote horizontale
" Gain
" Phase
)0(1)( >+= TTssH
# 0,1 ≈<< GTω
asymptote de pente +1
# TGT ωω
10
log20,1 ≈>>
Les deux asymptotes se coupent en
Tc
1
=ω
# A ω=ωc, on a G=3dB
( )Tωϕ arctan=
asymptotes horizontales
# 0,1 ≈<< ϕωT
#
2
,1
π
ϕω ≈>>T
# A ω=ωc, on a
4
π
ϕ =
12Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (4)
! Premier ordre )0(1)( >−= TTssH
( )22
10 1log10 TG ω+= mais ( )Tωϕ arctan−=
La phase change de signe par rapport au cas précédent 1+Ts
0
5
10
15
20
25
30
35
40
3dB
T
110
-1
10
0
10
2
10
3
10
-1
10
0
10
2
10
3
0
π/4
π/2
T
1
10
-1
10
0
10
2
10
3
0
−π/4
−π/2
T
1
TssH +=1)(TssH ±=1)(
TssH −=1)(
ωlog
ωlog
ωlog
ϕ (rad)
ϕ (rad)
G (dB)
13Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (5)
! Premier ordre
( )22
10 1log10 TG ω+−=
asymptote horizontale
" Gain
" Phase
( ) )0(1)( 1
>+= −
TTssH
# 0,1 ≈<< GTω
asymptote de pente -1
# TGT ωω 10
log20,1 −≈>>
Les deux asymptotes se coupent en
Tc
1
=ω
# A ω=ωc, on a G=−3dB. ωc pulsation de coupure à 3dB
( )Tωϕ arctan−=
asymptotes horizontales
# 0,1 ≈<< ϕωT
#
2
,1
π
ϕω −≈>>T
# A ω=ωc, on a
4
π
ϕ −=
14Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (6)
! Premier ordre ( ) )0(1)( 1
>−= −
TTssH
( )22
10 1log10 TG ω+−= mais ( )Tωϕ arctan=
La phase change de signe par rapport au cas précédent (1+Ts)−1
10
-1
10
0
10
2
10
3
0
π/4
π/2
T
1
10
-1
10
0
10
2
10
3
0
−π/4
−π/2
T
1
( ) 1
1)(
−
±= TssH
10
-1
10
0
10
2
10
3-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
3dB
T
1
( ) 1
1)(
−
+= TssH
( ) 1
1)(
−
−= TssH
ωlog
ωlog
ωlog
ϕ (rad)
ϕ (rad)
G (dB)
15Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (7)
! Rappels
# On appelle pulsation de coupure, la pulsation pour laquelle le
gain a diminué de 3dB par rapport à sa valeur maximale. On
définit de la même manière la pulsation de coupure à 6dB.
# On appelle bande passante, l'intervalle de pulsations pour
lequel le gain ne diminue pas de plus de 3dB par rapport à sa
valeur maximale.
! Relation temps-fréquence pour un 1er ordre
"Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas
"Sa pulsation de coupure est , soit
"Bande passante
" avec tm le temps de montée (tm=2,2T)
( ) 1
1)( −
+= TssH
On augmente la rapidité du système en élargissant sa
bande passante
Tc
1
=ω
T
f
c π2
1
=
35.0≈
c
f
m
t
⇒
BP=[0, ωc]
16Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (8)
! Deuxième ordre
( ) nnnG ωωωξωωω 10
222222
10 log404)(log10)( ++−−=
asymptote horizontale
" Gain
)10(
2
)( 22
2
<<
++
= ξ
ωξω
ω
nn
n
ss
sH
# 0, ≈<< G
n
ωω
asymptote de pente -2
#
n
n
G
ω
ω
ωω 10
log40, −≈>>
Les asymptotes se coupent en ωn
# ( )ξωω 2log20,
10
−== G
n
On remarque que pour de faibles valeurs de ξ, le gain peut être
très supérieur à 0dB. L'amplitude du gain passera par un
maximum (phénomène de résonance) pour la pulsation ω telle
que 0)(' =ωG
17Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (9)
! Deuxième ordre en dénominateur (suite)
% Pulsation de résonance
" Phase
212
1
)(
ξξ
ω
−
== R
jHQ
Si ξ→0, alors ωR→ ωn et Q→∝
On montre que la résonance se produit pour
2
2
<ξ
221 ξωω −=
nR
% Facteur de résonance






−
−= 22
2
arctan
ωω
ωξω
ϕ
n
n
# 0, ≈<< ϕωω n
# πϕωω −≈>> ,
n
#
2
,
π
ϕωω −== n
#
21
arcsin
2
,
ξ
ξπ
ϕωω
−
+−≈=
R
asymptotes
horizontales
ξ faible ⇒ grande résonance
18Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (10)
! Deuxième ordre en dénominateur (fin)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
ξ=0.05
ξ=0.2
ξ=0.5
ξ=0.9
ωn
10
-1
10
0
10
1
-π
-π/2
0
ξ=0.05
ξ=0.2
ξ=0.5
ξ=0.9
ωn
ωlog
ωlog
ϕ (rad)
G (dB)
19Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (11)
! Deuxième ordre en numérateur )10(
2
)( 2
22
<<
++
= ξ
ω
ωξω
n
nnss
sH
Le gain et la phase changent de signe par rapport au cas précédent
10
-1
10
0
10
1
10
2
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
ξ=0.05
ξ=0.2
ξ=0.5
ξ=0.9
ωn
10
-1
10
0
10
1
π
π/2
0
ξ=0.05
ξ=0.2
ξ=0.5
ξ=0.9
ωn
ωlog
ωlog
ϕ (rad)
G (dB)
20Automatique
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (12)
! Retard sTresH −=)(
Le retard ne modifie pas le diagramme de gain. La phase
décroît selon une droite de pente –Tr.
dB0=G
rTωϕ −=
" Gain
" Phase
0 50 100 150 200
-200
-150
-100
-50
0
Tr
= 1
Tr
= 0.5
Tr
= 0.25
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-200
-150
-100
-50
0
Tr
= 1 Tr
= 0.5
Tr
= 0.25
ϕ (degré)ϕ (degré)
ωlog
ω
21Automatique
Règles de tracé pratique du lieu de Bode (1)
! Etape préliminaire
" Ecrire la fonction de transfert H(s) sous la forme normalisée
"Classer les pulsations de coupure et les pulsations propres ωn, l
par ordre croissant
! Tracé du diagramme asymptotique de gain
" Si α=0, on démarre avec une asymptote horizontale G=20log10|K|
Ces règles permettent de tracer les diagrammes asymptotiques
de gain et de phase du lieu de Bode
∏ ∏ 







+++= i l
ln
l
ln
i
l
i s
s
sTKssH
γ
βα
ω
ξ
ω
1
2
)1()(
,
2
,
2
[ [ ,0,10 , >∈ lnωξ
, *R∈iTK
i
T
1
Si α≠0, on démarre avec une asymptote de pente α (α ∈ Z)
et qui passe par le point (ω=1, G=20log10|K|)
NB : pente α ⇔ pente α20dB/décade
Z∈li γβα ,,
22Automatique
Règles de tracé pratique du lieu de Bode (2)
" A chaque pulsation 1/Ti, on modifie la pente de l'asymptote
de βi (βi ∈ Z)
" A chaque pulsation ωn, l, on modifie la pente de l'asymptote
de 2γl (γl ∈ Z)
! Tracé du diagramme asymptotique de phase
"Si α=0, on démarre avec une asymptote
" A chaque pulsation 1/Ti, ajouter à l'asymptote βi π/2 (βi ∈ Z)
" A chaque pulsation ωn, l, ajouter à l'asymptote γl π (γl ∈ Z)
Si α≠0, on démarre avec une asymptote
πϕ
2
1)sgn( −
=
K
π
α
ϕ
2
1)sgn( +−
=
K
23Automatique
Exemple de tracé de lieu de Bode (1)
! Exemple 1
Tracer le diagramme de Bode du système
)1)(1(
)(
21 sTsTs
K
sH
++
=
avec 0,0 21 >>> TTK
24Automatique
Exemple de tracé de lieu de Bode (2)
! Exemple 2
Tracer le diagramme de Bode du système
)4)(1(
)31(
)( 2 +++
+
=
sss
sk
sH
25Automatique
Lieu de Nyquist (1)
! Définition
Le diagramme de Nyquist (lieu complet) correspond à ω variant de -∞
à +∞. Il s'obtient par symétrie par rapport à l'axe réel du lieu de
Nyquist.
Le lieu de Nyquist est le lieu en coordonnées polaires des points
d'affixe H(jω) lorsque ω varie de 0 à +∞. Le diagramme de Nyquist
est gradué avec les valeurs de ω.
Soit le point M associé à H(jω)
Re
Im
Re(H(jω))
Im(H(jω))
ϕ(ω)
|H(jω)|
M
M (|H(jω)|, arg(H(jω))
26Automatique
Lieu de Nyquist (2)
! Définition
Le diagramme de Nyquist est l'image par H(s) du contour fermé
appelé contour d'exclusion de Nyquist. Ce contour entoure tous
les pôles et zéros de H(s) à partie réelle strictement positive. Si
H(s) a des pôles nuls ou imaginaires purs, le contour d'exclusion
les évite par des demi-cercles de rayon ε→0.
R→
+∝
ω → +∞
ω → −∞
Re
Im Im
R→
+∝
ω → +∞
−jω0
ω → −∞
ω → 0+
ω → 0−
+jω0
Re
ε
Contour d'exclusion de Nyquist
27Automatique
Lieu de Nyquist des systèmes usuels (1)
! Intégrateur
! Premier ordre
1)( −=ssH
)(,0 +∞→→ ωω jH
0)(, →+∞→ ωω jH
0et)(,0 === ϕωω KjH
4
et
2
)(,
1 π
ϕωω −===
K
jH
T
2
et0)(,
π
ϕωω −→=∞→ jH
)0,0(
1
)( >>
+
= TK
Ts
K
sH
Re
Im
ω → +∞ ω=0
KK/2
-π/4
Le lieu de Nyquist est un demi-cercle de rayon K/2 et de centre (K/2, 0)
Re
Im
ω → +∞
ω=0
ω ↑
ω ↑
ω =1/T
[ [∞+∈∀−= 0
2
ω
π
ϕ
28Automatique
Lieu de Nyquist des systèmes usuels (2)
! Deuxième ordre
! Retard pur
22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sH
ωξω
ω
++
=
sTresH −=)(
Im
Im
Re
Κ
ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=0.7
ξ=0.9
0et)(0 === ϕωω KjH
2
et2)(
πϕξωωω −=== jHn
πϕωω −==∞→ et0)( jH
ω ↑
ωTr=2kπ
Re
ωTr=3π/2 + 2kπ
ωTr=π/2 + 2kπ
ωTr=(2k+1)π
ω ↑
Le lieu de Nyquist est un cercle
centré en 0 et de rayon unité
0
29Automatique
Exemple de tracé de lieu de Nyquist
Tracer le diagramme de Nyquist du système
)1(
)(
Tss
K
sH
+
=
avec 0,0 >> TK
30Automatique
Lieu de Black (1)
! Définition
" Abscisse : la phase en degré ou radian
" Ordonnée : le gain en décibel (dB)
! Lieu de Black d'un intégrateur
Le lieu de Black est la représentation cartésienne de H(jω) lorsque
ω varie de 0 à +∞. Le lieu de Black est gradué avec les valeurs du
paramètre ω.
1)( −= ssH
ϕ(rad)
G(dB)
ω → +∞
ω=0
-π/2
31Automatique
Lieu de Black (2)
! Lieu de Black d'un 1er ordre
! Lieu de Black d'un 2e ordre 22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sH
ωξω
ω
++
=
)0,0(
1
)( >>
+
= TK
Ts
K
sH
ϕ(rad)
G(dB)
ω → +∞
ω=0
-π/2
20log10 K
ϕ(rad)
G(dB)
ω → +∞
ω=0
-π/2
20log10 K
-π
32Automatique
Lieu de Black (3)
! Exemple
Tracer le diagramme de Black du système
)1(
)(
Tss
K
sH
+
=
avec 0,0 >> TK
33Automatique
R→
+∝
ω → +∞
−jω0
ω → −∞
ω → 0+
ω → 0−
+jω0
Re
Im
R→
+∝
ω → +∞
ω → −∞
Re
Im

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Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI

  • 1. 1Automatique Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI UV Automatique ASI 3 Cours 3
  • 2. 2Automatique Contenu ! Introduction " Définition de la réponse fréquentielle d'un système " Types de réponse fréquentielle : Bode, Nyquist, Black ! Lieu de Bode " Définition - tracé des diagrammes de Bode " Diagrammes de Bode des systèmes fondamentaux ! Lieu de Nyquist " Définition " Lieu de Nyquist des systèmes fondamentaux ! Lieu de Black "Définition "Lieu de Black des systèmes fondamentaux
  • 3. 3Automatique Introduction (1) ! Système continu LTI ! Analyse fréquentielle U(s) H(s) Y(s) H(s) : fonction de transfert Entrée du système : signal sinusoïdal Pour s=jω, on a : ? tAtu ωsin)( = Quelle est la réponse harmonique du système ? )()()( ωωω jUjHjY = Si u(t) et y(t) sont des signaux à énergie finie, alors U(jω) et Y(jω) sont les transformées de Fourier de u et y )()()( ωωω jUjHjY = )()()( ωωω jUjHjY = )(arg)(arg)(arg ωωω jUjHjY += ⇒
  • 4. 4Automatique Introduction (2) ! Analyse fréquentielle ! Outils d'analyse de H(jω) " Lieu de Bode " Lieu de Nyquist " Lieu de Black )( ωjH )( ωjH )(arg)(arg)( ωωωϕ jUjY −= : gain du système à la pulsation ω : déphasage entre la sortie et l'entrée à la pulsation ω avec )(arg)( ωωϕ jH= tAtu ωsin)( = Réponse harmonique du système en régime permanent ⇒ ))(sin()()( ωϕωω += tjHAty traduit le comportement fréquentiel du système
  • 5. 5Automatique Lieu de Bode (1) ! Définition " Diagramme de gain représentant le module |H(jω)| en fonction de la pulsation ω # Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique # Ordonnée : gain exprimé en décibels (dB), soit " Diagramme de phase représentant l'argument ϕ (ω) en fonction de la pulsation ω # Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique # Ordonnée : phase ϕ (ω) en degré (°) ou radian (rad) Le lieu de Bode consiste à représenter H(jω) quand ω parcourt R+ par deux diagrammes : )(log20)( 10 ωω jHG =
  • 6. 6Automatique Lieu de Bode (2) ! Principes " Gain (dB) " Phase Soit H(s) une fonction de transfert factorisée sous la forme : Conclusion : le produit des fonctions de transfert se traduit par une somme des gains (dB) et des phases des transmittances élémentaires )()()()( 21 sHsHsHsH nL= On en déduit )()()()( 21 ωωωω jHjHjHjH nL= ∑ === n i iGjHG 110 )()(log20)( ωωω avec )(log20)( 10 ωω jHG ii = ∑ === n i ijH 1 )()(arg)( ωϕωωϕ avec )(arg)( ωωϕ jHii =
  • 7. 7Automatique Lieu de Bode (3) ! Principes (fin) " Gain (dB) " Phase H(s) est factorisable à partir d'éléments de base sous la forme : ( )2 ,10 2 ,, 2 10 101010 log20)(2)(log20 1log20)(log20log20)( lnlnlnll l ii i jj TjkG ωωωωξωγ ωβωαω −+++ +++= ∑ ∑ ( )∏ ∏ +++= i l lnlnlnli li sssTkssH γβα ωωωξ 2 , 2 ,, 2 /)2()1()( [ [ ,0,10 , >∈ lnl ωξ ZR ∈∈ liiTk γβα ,,et, * ( )2 ,, 2 )(2)(arg )1arg( 22 1)sgn( )( lnlnll l ii i jj Tj k ωωωξωγ ωβπαπωϕ +++ +++ − = ∑ ∑
  • 8. 8Automatique Lieu de Bode (4) ! Préliminaires " k (gain) " (intégrateur ou dérivateur) " (éléments du premier ordre) " (éléments du second ordre) Le lieu de Bode d'un système de fonction de transfert H(s) peut être tracé facilement à partir de la connaissance des diagrammes de Bode des éléments de base : 1 2 2 1 2 ±         ++ s s nn ω ξ ω ( ) 1± s ( ) 1 1 ± +Ts
  • 9. 9Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (1) ! Gain k ! Dérivation $ Intégration Droite horizontale kG 10log20= ωlog 20log10|k| G (dB) ϕ (rad) ωlog -π k > 0 k < 0 ssH =)( Droite de pente 20dB/décade ou pente +1 " Gain    <− > = 0si 0si0 k k π ϕ" Phase ω10log20=G" Gain 2 πϕ +=" Phase 1)( −= ssH Droite de pente -20dB/décade ou pente -1 ω10log20−=G" Gain 2 πϕ −=" Phase
  • 10. 10Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (2) ! Dérivation $ Intégration ϕ (rad) ωlog −π/2 1)( −= ssH ωlog 20dB G (dB) 0.1 1 10 0dB pente -1 -20dB ϕ (rad) ωlog π/2 ωlog 20dB G (dB) 1 10 0dB pente +1 100
  • 11. 11Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (3) ! Premier ordre ( )22 10 1log10 TG ω+= asymptote horizontale " Gain " Phase )0(1)( >+= TTssH # 0,1 ≈<< GTω asymptote de pente +1 # TGT ωω 10 log20,1 ≈>> Les deux asymptotes se coupent en Tc 1 =ω # A ω=ωc, on a G=3dB ( )Tωϕ arctan= asymptotes horizontales # 0,1 ≈<< ϕωT # 2 ,1 π ϕω ≈>>T # A ω=ωc, on a 4 π ϕ =
  • 12. 12Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (4) ! Premier ordre )0(1)( >−= TTssH ( )22 10 1log10 TG ω+= mais ( )Tωϕ arctan−= La phase change de signe par rapport au cas précédent 1+Ts 0 5 10 15 20 25 30 35 40 3dB T 110 -1 10 0 10 2 10 3 10 -1 10 0 10 2 10 3 0 π/4 π/2 T 1 10 -1 10 0 10 2 10 3 0 −π/4 −π/2 T 1 TssH +=1)(TssH ±=1)( TssH −=1)( ωlog ωlog ωlog ϕ (rad) ϕ (rad) G (dB)
  • 13. 13Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (5) ! Premier ordre ( )22 10 1log10 TG ω+−= asymptote horizontale " Gain " Phase ( ) )0(1)( 1 >+= − TTssH # 0,1 ≈<< GTω asymptote de pente -1 # TGT ωω 10 log20,1 −≈>> Les deux asymptotes se coupent en Tc 1 =ω # A ω=ωc, on a G=−3dB. ωc pulsation de coupure à 3dB ( )Tωϕ arctan−= asymptotes horizontales # 0,1 ≈<< ϕωT # 2 ,1 π ϕω −≈>>T # A ω=ωc, on a 4 π ϕ −=
  • 14. 14Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (6) ! Premier ordre ( ) )0(1)( 1 >−= − TTssH ( )22 10 1log10 TG ω+−= mais ( )Tωϕ arctan= La phase change de signe par rapport au cas précédent (1+Ts)−1 10 -1 10 0 10 2 10 3 0 π/4 π/2 T 1 10 -1 10 0 10 2 10 3 0 −π/4 −π/2 T 1 ( ) 1 1)( − ±= TssH 10 -1 10 0 10 2 10 3-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 3dB T 1 ( ) 1 1)( − += TssH ( ) 1 1)( − −= TssH ωlog ωlog ωlog ϕ (rad) ϕ (rad) G (dB)
  • 15. 15Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (7) ! Rappels # On appelle pulsation de coupure, la pulsation pour laquelle le gain a diminué de 3dB par rapport à sa valeur maximale. On définit de la même manière la pulsation de coupure à 6dB. # On appelle bande passante, l'intervalle de pulsations pour lequel le gain ne diminue pas de plus de 3dB par rapport à sa valeur maximale. ! Relation temps-fréquence pour un 1er ordre "Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas "Sa pulsation de coupure est , soit "Bande passante " avec tm le temps de montée (tm=2,2T) ( ) 1 1)( − += TssH On augmente la rapidité du système en élargissant sa bande passante Tc 1 =ω T f c π2 1 = 35.0≈ c f m t ⇒ BP=[0, ωc]
  • 16. 16Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (8) ! Deuxième ordre ( ) nnnG ωωωξωωω 10 222222 10 log404)(log10)( ++−−= asymptote horizontale " Gain )10( 2 )( 22 2 << ++ = ξ ωξω ω nn n ss sH # 0, ≈<< G n ωω asymptote de pente -2 # n n G ω ω ωω 10 log40, −≈>> Les asymptotes se coupent en ωn # ( )ξωω 2log20, 10 −== G n On remarque que pour de faibles valeurs de ξ, le gain peut être très supérieur à 0dB. L'amplitude du gain passera par un maximum (phénomène de résonance) pour la pulsation ω telle que 0)(' =ωG
  • 17. 17Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (9) ! Deuxième ordre en dénominateur (suite) % Pulsation de résonance " Phase 212 1 )( ξξ ω − == R jHQ Si ξ→0, alors ωR→ ωn et Q→∝ On montre que la résonance se produit pour 2 2 <ξ 221 ξωω −= nR % Facteur de résonance       − −= 22 2 arctan ωω ωξω ϕ n n # 0, ≈<< ϕωω n # πϕωω −≈>> , n # 2 , π ϕωω −== n # 21 arcsin 2 , ξ ξπ ϕωω − +−≈= R asymptotes horizontales ξ faible ⇒ grande résonance
  • 18. 18Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (10) ! Deuxième ordre en dénominateur (fin) 10 -1 10 0 10 1 10 2 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.5 ξ=0.9 ωn 10 -1 10 0 10 1 -π -π/2 0 ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.5 ξ=0.9 ωn ωlog ωlog ϕ (rad) G (dB)
  • 19. 19Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (11) ! Deuxième ordre en numérateur )10( 2 )( 2 22 << ++ = ξ ω ωξω n nnss sH Le gain et la phase changent de signe par rapport au cas précédent 10 -1 10 0 10 1 10 2 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.5 ξ=0.9 ωn 10 -1 10 0 10 1 π π/2 0 ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.5 ξ=0.9 ωn ωlog ωlog ϕ (rad) G (dB)
  • 20. 20Automatique Lieu de Bode des systèmes élémentaires (12) ! Retard sTresH −=)( Le retard ne modifie pas le diagramme de gain. La phase décroît selon une droite de pente –Tr. dB0=G rTωϕ −= " Gain " Phase 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 Tr = 1 Tr = 0.5 Tr = 0.25 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -200 -150 -100 -50 0 Tr = 1 Tr = 0.5 Tr = 0.25 ϕ (degré)ϕ (degré) ωlog ω
  • 21. 21Automatique Règles de tracé pratique du lieu de Bode (1) ! Etape préliminaire " Ecrire la fonction de transfert H(s) sous la forme normalisée "Classer les pulsations de coupure et les pulsations propres ωn, l par ordre croissant ! Tracé du diagramme asymptotique de gain " Si α=0, on démarre avec une asymptote horizontale G=20log10|K| Ces règles permettent de tracer les diagrammes asymptotiques de gain et de phase du lieu de Bode ∏ ∏         +++= i l ln l ln i l i s s sTKssH γ βα ω ξ ω 1 2 )1()( , 2 , 2 [ [ ,0,10 , >∈ lnωξ , *R∈iTK i T 1 Si α≠0, on démarre avec une asymptote de pente α (α ∈ Z) et qui passe par le point (ω=1, G=20log10|K|) NB : pente α ⇔ pente α20dB/décade Z∈li γβα ,,
  • 22. 22Automatique Règles de tracé pratique du lieu de Bode (2) " A chaque pulsation 1/Ti, on modifie la pente de l'asymptote de βi (βi ∈ Z) " A chaque pulsation ωn, l, on modifie la pente de l'asymptote de 2γl (γl ∈ Z) ! Tracé du diagramme asymptotique de phase "Si α=0, on démarre avec une asymptote " A chaque pulsation 1/Ti, ajouter à l'asymptote βi π/2 (βi ∈ Z) " A chaque pulsation ωn, l, ajouter à l'asymptote γl π (γl ∈ Z) Si α≠0, on démarre avec une asymptote πϕ 2 1)sgn( − = K π α ϕ 2 1)sgn( +− = K
  • 23. 23Automatique Exemple de tracé de lieu de Bode (1) ! Exemple 1 Tracer le diagramme de Bode du système )1)(1( )( 21 sTsTs K sH ++ = avec 0,0 21 >>> TTK
  • 24. 24Automatique Exemple de tracé de lieu de Bode (2) ! Exemple 2 Tracer le diagramme de Bode du système )4)(1( )31( )( 2 +++ + = sss sk sH
  • 25. 25Automatique Lieu de Nyquist (1) ! Définition Le diagramme de Nyquist (lieu complet) correspond à ω variant de -∞ à +∞. Il s'obtient par symétrie par rapport à l'axe réel du lieu de Nyquist. Le lieu de Nyquist est le lieu en coordonnées polaires des points d'affixe H(jω) lorsque ω varie de 0 à +∞. Le diagramme de Nyquist est gradué avec les valeurs de ω. Soit le point M associé à H(jω) Re Im Re(H(jω)) Im(H(jω)) ϕ(ω) |H(jω)| M M (|H(jω)|, arg(H(jω))
  • 26. 26Automatique Lieu de Nyquist (2) ! Définition Le diagramme de Nyquist est l'image par H(s) du contour fermé appelé contour d'exclusion de Nyquist. Ce contour entoure tous les pôles et zéros de H(s) à partie réelle strictement positive. Si H(s) a des pôles nuls ou imaginaires purs, le contour d'exclusion les évite par des demi-cercles de rayon ε→0. R→ +∝ ω → +∞ ω → −∞ Re Im Im R→ +∝ ω → +∞ −jω0 ω → −∞ ω → 0+ ω → 0− +jω0 Re ε Contour d'exclusion de Nyquist
  • 27. 27Automatique Lieu de Nyquist des systèmes usuels (1) ! Intégrateur ! Premier ordre 1)( −=ssH )(,0 +∞→→ ωω jH 0)(, →+∞→ ωω jH 0et)(,0 === ϕωω KjH 4 et 2 )(, 1 π ϕωω −=== K jH T 2 et0)(, π ϕωω −→=∞→ jH )0,0( 1 )( >> + = TK Ts K sH Re Im ω → +∞ ω=0 KK/2 -π/4 Le lieu de Nyquist est un demi-cercle de rayon K/2 et de centre (K/2, 0) Re Im ω → +∞ ω=0 ω ↑ ω ↑ ω =1/T [ [∞+∈∀−= 0 2 ω π ϕ
  • 28. 28Automatique Lieu de Nyquist des systèmes usuels (2) ! Deuxième ordre ! Retard pur 22 2 2 )( nn n ss K sH ωξω ω ++ = sTresH −=)( Im Im Re Κ ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=0.7 ξ=0.9 0et)(0 === ϕωω KjH 2 et2)( πϕξωωω −=== jHn πϕωω −==∞→ et0)( jH ω ↑ ωTr=2kπ Re ωTr=3π/2 + 2kπ ωTr=π/2 + 2kπ ωTr=(2k+1)π ω ↑ Le lieu de Nyquist est un cercle centré en 0 et de rayon unité 0
  • 29. 29Automatique Exemple de tracé de lieu de Nyquist Tracer le diagramme de Nyquist du système )1( )( Tss K sH + = avec 0,0 >> TK
  • 30. 30Automatique Lieu de Black (1) ! Définition " Abscisse : la phase en degré ou radian " Ordonnée : le gain en décibel (dB) ! Lieu de Black d'un intégrateur Le lieu de Black est la représentation cartésienne de H(jω) lorsque ω varie de 0 à +∞. Le lieu de Black est gradué avec les valeurs du paramètre ω. 1)( −= ssH ϕ(rad) G(dB) ω → +∞ ω=0 -π/2
  • 31. 31Automatique Lieu de Black (2) ! Lieu de Black d'un 1er ordre ! Lieu de Black d'un 2e ordre 22 2 2 )( nn n ss K sH ωξω ω ++ = )0,0( 1 )( >> + = TK Ts K sH ϕ(rad) G(dB) ω → +∞ ω=0 -π/2 20log10 K ϕ(rad) G(dB) ω → +∞ ω=0 -π/2 20log10 K -π
  • 32. 32Automatique Lieu de Black (3) ! Exemple Tracer le diagramme de Black du système )1( )( Tss K sH + = avec 0,0 >> TK
  • 33. 33Automatique R→ +∝ ω → +∞ −jω0 ω → −∞ ω → 0+ ω → 0− +jω0 Re Im R→ +∝ ω → +∞ ω → −∞ Re Im