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1Automatique
Introduction à la représentation d'état
UV Automatique
ASI 3
Cours 8
2Automatique
Contenu
! Notion de variables d'état
" Exemples
" Définitions
! Représentation d'état d'un système continu LTI
" Structure d'un modèle d'état
" Représentation schématique d'un modèle d'état
" Représentations d'état équivalentes
! Linéarisation d'un modèle d'état
" Modèle d'état d'un système non-linéaire
" Linéarisation autout d'un point de fonctionnement
3Automatique
Introduction à la notion d'état
! Exemple 1 : circuit RC
! Modélisation du circuit RC
# (I) : équation dynamique du 1er ordre fonction de x(t)
# (II) : relation statique reliant la sortie y(t) et la variable x(t)
Le modèle est de la forme
Ri(t)
C Vc(t)u(t)
∫=
=+
τid
C
tx
tutxtRi
1
)(
)()()(
Entrée : u(t)
Sortie : y(t) = i(t)
Posons x(t)=Vc(t)
)(
1
)(
1
)(
)()()(
tu
R
tx
R
ti
tutxtxRC
+−=
=+&
)(
1
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
tu
R
tx
R
ty
tu
RC
tx
RC
tx
+−=
+−=&
(II))()()(
(I))()()(
tdutcxty
tbutaxtx
+=
+=&
Pour établir une relation entre y(t) et u(t), on passe par la variable
intermédiaire x(t) (tension aux bornes du condensateur)
4Automatique
Introduction à la notion d'état : exemple 1
! Réponse à une entrée échelon
Solution des équations
# A l'instant t0, on ferme l'interrupteur
# Tension initiale aux bornes du condensateur :
00 )()( tttUtu >Γ=
)()( 00 tVtx c=
00
00
1)()( Uetxetx RC
tt
RC
tt








−+=
−
−
−
−
Réponse temporelle
)(
1
)(
1
)( tu
R
tx
R
ty +−=
t0
t
x
x∞
t0 t
y
5Automatique
Introduction à la notion d'état : exemple 1
! Remarques
! Définitions
# La connaissance de x(t) (et donc de y(t)) sur l'intervalle de temps [t0, t]
ne dépend que de la condition initiale x(t0) et des équations (I) et (II)
# La connaissance de x sur l'intervalle de temps ]-∞, t0] n'est pas
nécessaire pour déterminer x sur [t0, t]
# Si à l'instant t1, on applique un nouveau signal d'entrée u1(t),
l'évolution de x (t) et y (t) dans l'intervalle [t1, t] ne dépendra que de
x(t1) et de u1(t)
# x(t) est appelé l'état du circuit électrique
# L'état d'un système à un instant t représente la mémoire minimale
du passé nécessaire à la détermination du futur
# Les équations (I) et (II) définissent entièrement le comportement
dynamique du circuit électrique
6Automatique
Introduction à la notion d'état : exemple 2
! Exemple 2 : système mécanique (masse en translation)
! Modélisation dynamique : équation différentielle et FT
! Représentation d'état
Etats du système
m F
z
Fr=f z
.
Entrée : u(t) = F
Sortie : y(t) = z(t)
γ
rr
mF =∑
zfzmF &&& +=
)(
1
)(
)(
)(
fmsssF
sZ
sH
+
==
)()(1 tztx =
)()(2 tztx &=
)1()()()( 21 txtztx == &&
zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += &
)2()()( 22 tx
m
f
m
F
tx −=&
(1) et (2) sous forme matricielle
[ ]












=








+













−
=





)(
)(
01)(
1
0
)(
)(
0
10
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tx
tx
ty
F
mtx
tx
m
f
tx
tx
&
&
Système d'ordre 2
7Automatique
Introduction à la notion d'état : exemple 2
! Représentation d'état
! Remarques
[ ]












=








+













−
=





)(
)(
01)(
1
0
)(
)(
0
10
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tx
tx
ty
F
mtx
tx
m
f
tx
tx
&
&
avec 





=
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tX




+=
+=
DuCXty
BuAXX
)(
&
[ ] 0,01,1
0
,
0
10
==








=








−
= DC
m
B
m
fA
# X(t) est appelé vecteur d'état du système
# Par rapport à la fonction de transfert, le modèle d'état donne des
informations sur la représentation interne du système (ici ) qui
n'apparaissent pas explicitement dans la fonction de transfert
# Le système d'ordre 2 est converti dans la représentation d'état en
une équation différentielle matricielle d'ordre 1 et une équation
statique matricielle
z&
8Automatique
Représentation d'état d'un système
! Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie
" Variables




+=
+=
)II(
)I(
DUCXY
BUAXX&










=
)(
)(
)(
1
tx
tx
tX
n
M
# X(t) : vecteur d'état
(n : nombre d'états)
(I) : équation d'état ou équation de commande
(II) : équation de sortie ou équation d'observation
ntX R∈)(










=
)(
)(
)(
1
tu
tu
tU
m
M
# U(t) : vecteur des entrées
(m : nombre d'entrées)mtU R∈)(










=
)(
)(
)(
1
ty
ty
tY
p
M
# Y(t) : vecteur des sorties
(p : nombre de sorties)ptY R∈)(
9Automatique
Représentation d'état d'un système
" Matrices de la représentation d'état
" Remarques
$
$
# A : matrice d'état
nnA ×∈R (matrice carrée)
# B : matrice d'entrée
mnB ×∈R
# C : matrice de sortie
npC ×∈R
# D : matrice de couplage
mpD ×∈R
(I) : l'équation d'état est une équation dynamique d'ordre 1
(II) : l'équation de sortie est une équation statique linéaire
reliant les sorties aux entrées et aux états
Toute la dynamique interne du système est résumée dans
l'équation d'état, notamment dans la matrice A. En effet, si
U=0, on a le système libre caractérisé par .AXX =&
Souvent 0=D
Les valeurs propres de A sont les pôles du système
10Automatique
Représentation schématique du modèle d'état
! Interprétation du schéma
" Equation d'état = vue interne du système
" A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments
internes du système
" B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système
" C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties
" D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties
BU
D
A
∫+
+
+
+
C Y
XX&
Equation d'état (partie dynamique)
Equation de sortie
(partie statique)
11Automatique
Représentations d'état équivalentes
! Unicité de la représentation d'état ?
! Exemple : circuit RLC
La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !!
Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer
à un même système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à
différentes représentations d'états équivalentes
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
L
)()(
)(
)( tutV
dt
tdi
LtRi c =++
C
tq
tVc
)(
)( =
Entrée : u(t)
Sorties : 





=
)(
)(
)(
ti
tV
tY
c
Etats : énergie stockée dans le circuit
)()(1 tqtx =
)()(2 ttx φ=
: charge du condensateur
: flux dans l'inductance
Lois de l'électricité
∫= t
ditq 0
)()( ττCharge :
Flux : )()( tLit =φ
12Automatique
Représentations d'état équivalentes
! Circuit RLC
! Remarques
avec
)()()(
1
)()( dtutq
C
tt
L
R
=++φφ &
)()(
1
)( atq
C
tVc =
∫= t
ditq 0
)()( ττ
)()( tLit =φ )()(
1
)( bt
L
ti φ=
)()(
1
)()( ct
L
titq φ==&
)()(
)(
)( tutV
dt
tdi
LtRi c =++
Modèle d'état
(c) et (d)



+=
+=
DuCXY
BuAXX& 





=





−−
=
1
0
,
1
10
B
LRC
L
A
0,
10
01
=





= D
L
C
C
(a) et (b)






=
)(
)(
)(
t
tq
tX
φ
# Pour avoir les sorties du système à partir des états, il faut
disposer de capteurs permettant de mesurer le flux et la charge
# N'ayant pas ces capteurs, changeons de variables d'état
13Automatique
Représentations d'état équivalentes
! Circuit RLC : autre modèle d'état
Nouveaux états : 





=
)(
)(
)(
ti
tV
tX
c
T
∫=
t
c di
C
tV 0 )(
1
)( ττ )(
1
)( ti
C
tVc =&
)()(
)(
)( tutV
dt
tdi
LtRi c =++ )(
1
)()(
1)(
tu
L
ti
L
R
tV
Ldt
tdi
c +−−=
avec
Nouveau modèle d'état



+=
+=
uDXCY
uBXAX
TTT
TTTT
& 





=





−−
=
L
B
LRL
C
A TT
1
0
,
1
10
0,
10
01
=





= TT DC
# Est-il possible d'établir une relation entre la réalisation
et la réalisation ?
),,,( DCBA
),,,( TTTT DCBA
14Automatique
Représentations d'état équivalentes
! Changement de variables






=
)(
)(
)(
t
tq
tX
φ






=





=
Lt
Ctq
ti
tV
tX
c
T
)(
)(
)(
)(
)(
φ )(
10
01
)( tX
L
C
tXT 





= avec
Matrice de transformation T )()( 1 tXTtXT
−= 





=−
L
C
T
10
011
XTXT
&& 1−=
avec
( )BuAXTXT += −1& BuTATXTX TT
11 −− +=&
DuCXY += DuCTXY T +=
u
L
C
X
L
C
LRC
L
L
C
X TT 











+











−−





=
1
0
10
01
0
0
1
10
10
01&
u
L
X
LRL
C
X TT 





+





−−
=
1
0
1
10&
uX
L
C
L
C
Y T .0
0
0
10
01
+











= TXIY 2=
On retrouve le
résultat précédent
15Automatique
Représentations d'état équivalentes
! Cas général
" Changement de vecteur d'état
" Représentation d'état équivalente
" Remarque
# Les matrices A et AT sont semblables (A et AT ont les mêmes
valeurs propres) % la dynamique du système est préservée
Soit




+=
+=
DUCXY
BUAXX&
une représentation d'état d'un systèmentX R∈)(
Transformation linéaire : )()( tTXtX T=
T : matrice de transformation nnT ×∈R
T est une matrice carrée d'ordre n régulière
avec




+=
+=
UDXCY
UBXAX
TTT
TTTT
& ATTAT
1−= CTCT =
BTBT
1−= DDT =
16Automatique
Choix des variables d'état
! Préliminaires et définitions
# L'état d'un système à l'instant t0 est un n-uplet X(t0) d'un espace E
dont la connaissance associée à celle de l'entrée u(t) dans
l'intervalle [t0, t] permet de connaître la sortie y(t).
# E est appelé espace d'état. E est un sous-espace de Rn
.
# Le nombre minimal d'état correspond à l'ordre du système
# Le concept d'état découle donc d'une suite de grandeurs
physiques (courant, vitesse, …) ou non suffisantes pour
caractériser le fonctionnement d'un système. Le choix des états
est laissé au libre arbitre du concepteur
# Par une transformation linéaire, il est possible de passer d'une
représentation d'état à une autre équivalente
# Un système admet donc une infinité de représentation d'état
# Par la transformation linéaire , on peut avoir des
variables d'état qui physiquement ne correspondent à rien
)()( tTXtX T=
17Automatique
Choix des variables d'état
! Quelques éléments pour la sélection des variables d'état
On choisit souvent comme variables d'états, des éléments du système
susceptibles d'être des réservoirs d'énergie
Masse m
Ressort k
Inductance
Condensateur
EtatEnergieElément
Colonne de fluide
de pression p
Moment d'inertie
J
Colonne de fluide
de hauteur h
EtatEnergieElément
2
2
1
cCV cV
2
2
1
Li i
2
2
1
mv
2
2
1
kx
dtdxv =
x
2)/(
2
1
pV β
2
2
1
ωm
x
dtdθω =
θ
p
2
2
1
Ahρ h
18Automatique
Linéarisation du modèle d'état
! Un peu d'humour
! Modèle d'état d'un système non-linéaire stationnaire
# Définition d'un automaticien heureux : c'est celui qui travaille sur
des systèmes linéaires !!
# Mais le monde réel est non-linéaire. Comment faire ? Prolonger
le bonheur par linéarisation




=
=
))(),((
))(),((
tUtXgY
tUtXfX& ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)(avec
f et g sont des champs de fonctions non-linéaires
La courbe est une trajectoire dans l'espace d'état))(),(),(( 0tXtUtXfX =&
# Forme matricielle
))(,),(),(,),((
))(,),(),(,),((
11
1111
tUtUtXtXfX
tUtUtXtXfX
mnnn
mn
LL&
M
LL&
=
=
))(,),(),(,),((
))(,),(),(,),((
11
1111
tUtUtXtXgY
tUtUtXtXgY
mnnp
mn
LL
M
LL
=
=
# Equation d'état # Equation de sortie
19Automatique
Linéarisation du modèle d'état
! Point nominal ou point de fonctionnement
! Perturbations
Soit , une entrée nominale et soit l'état correspondant càd
# Soient des perturbations faibles u(t) affectant
défini une trajectoire dans l'espace d'état qui
peut se réduire à un point de fonctionnement
))(),(( tUtXfX =
&
U X
))(),(( tUtX
),( UX
U )()()( tutUtU +=
)()()( txtXtX +=# Ces perturbations affectent le vecteur d'état
)()()( tytYtY +=
)()()( txtXtX &
&& += ))()(),()(())(),(( tutUtxtXftUtXfX ++==&
))(),(()( tUtXgtY =Soit la sortie correspondanteY
# Les perturbations affectent les sorties
))()(),()(())(),(()( tutUtxtXgtUtXgtY ++==
20Automatique
Linéarisation du modèle d'état
! Linéarisation autour du point ),( UX
On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g








∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
m
UXm
p
UX
p
n
UXn
p
UX
p
ppp
m
UXmUX
n
UXnUX
u
U
g
u
U
g
x
X
g
x
X
g
UXgtuUtxXgY
u
U
g
u
U
g
x
X
g
x
X
g
UXgtuUtxXgY
,
1
,1,
1
,1
,
1
1
,1
1
,
1
1
,1
1
111
),())(),((
),())(),((
LL
M
LL
# Equations d'état
# Equations de sortie







∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
m
UXm
n
UX
n
n
UXn
n
UX
n
nnn
m
UXmUX
n
UXnUX
u
U
f
u
U
f
x
X
f
x
X
f
UXftuUtxXfX
u
U
f
u
U
f
x
X
f
x
X
f
UXftuUtxXfX
,
1
,1,
1
,1
,
1
1
,1
1
,
1
1
,1
1
111
),())(),((
),())(),((
LL&
M
LL&
21Automatique
Linéarisation du modèle d'état
# Forme matricielle




++≈+=
++≈+=
)()(),()()()(
)()(),()()()(
tuGtxGUXgtytYtY
tuFtxFUXftxtXtX
UX
UX
&
&&




+=
+=
)()()(
)()()(
tuGtxGty
tuFtxFtx
UX
UX
&
Modèle d'état linéarisé
UXn
nn
n
UX
TX
X
f
X
f
X
f
X
f
X
f
F
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
UXn
nn
m
UX
TU
U
f
U
f
U
f
U
f
U
f
F
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
UXn
pp
n
UX
TX
X
g
X
g
X
g
X
g
X
g
G
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
UXm
pp
m
UX
TU
U
g
U
g
U
g
U
g
U
g
G
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles
de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX
UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :
22Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état
! Exemple : ressort à comportement non-linéaire
m
z
ressort F
Equation différentielle
3
21 zkzkFzm ++=&&
Modèle d'état
# Modèle non-linéaire
# Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &=
)()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == &&
Fzkzkzm ++= 3
21
&&
m
F
x
m
k
x
m
k
tx ++= 3
1
2
1
1
2 )(&
( )








++
==





m
tu
tx
m
k
tx
m
k
tx
tutxtxf
tx
tx
)(
)()(
)(
)(),(),(
)(
)(
3
1
2
1
1
2
21
2
1
&
&
# Entrée Ftu =)( # Sortie )()( tzty =
)())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==
23Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état
! Exemple
# Détermination du point de fonctionnement ),( UX
On choisit comme point de fonctionnement, un point
stationnaire c'est-à-dire tel que
( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf
0))(),(( == tUtXfX
&






=








++ 0
0
3
1
2
1
1
2
m
u
x
m
k
x
m
k
x
02 =x
03
1
2
1
1 =+ x
m
k
x
m
k
De plus, on prendra .0=u On a alors
01 =x 211 kkx −±=ou
Points de fonctionnement :














0,
0
0
ou














−±
0,
0
21 kk
),( UX
24Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état : exemple
# Premier point :














0,
0
0
UX
UX
mxkk
x
f
x
f
x
f
x
f
A
,
2
121
,2
2
1
2
2
1
1
1
0)3(
10








+
=










∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=






=










∂
∂
∂
∂
=
m
u
f
u
f
B
UX
1
0
,
2
1
]01[
,21
=



∂
∂
∂
∂
=
UXx
h
x
h
C






=
0
10
1 mk
A
0
,
=




∂
∂
=
UXu
h
D
# Matrices
# Deuxième point : 













−±
0,
0
21 kk






−
=
02
10
1 mk
A
Seule la matrice de commande A change
selon les points de fonctionnement

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Cours8 Introduction à la représentation d'état

  • 1. 1Automatique Introduction à la représentation d'état UV Automatique ASI 3 Cours 8
  • 2. 2Automatique Contenu ! Notion de variables d'état " Exemples " Définitions ! Représentation d'état d'un système continu LTI " Structure d'un modèle d'état " Représentation schématique d'un modèle d'état " Représentations d'état équivalentes ! Linéarisation d'un modèle d'état " Modèle d'état d'un système non-linéaire " Linéarisation autout d'un point de fonctionnement
  • 3. 3Automatique Introduction à la notion d'état ! Exemple 1 : circuit RC ! Modélisation du circuit RC # (I) : équation dynamique du 1er ordre fonction de x(t) # (II) : relation statique reliant la sortie y(t) et la variable x(t) Le modèle est de la forme Ri(t) C Vc(t)u(t) ∫= =+ τid C tx tutxtRi 1 )( )()()( Entrée : u(t) Sortie : y(t) = i(t) Posons x(t)=Vc(t) )( 1 )( 1 )( )()()( tu R tx R ti tutxtxRC +−= =+& )( 1 )( 1 )( )( 1 )( 1 )( tu R tx R ty tu RC tx RC tx +−= +−=& (II))()()( (I))()()( tdutcxty tbutaxtx += +=& Pour établir une relation entre y(t) et u(t), on passe par la variable intermédiaire x(t) (tension aux bornes du condensateur)
  • 4. 4Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 1 ! Réponse à une entrée échelon Solution des équations # A l'instant t0, on ferme l'interrupteur # Tension initiale aux bornes du condensateur : 00 )()( tttUtu >Γ= )()( 00 tVtx c= 00 00 1)()( Uetxetx RC tt RC tt         −+= − − − − Réponse temporelle )( 1 )( 1 )( tu R tx R ty +−= t0 t x x∞ t0 t y
  • 5. 5Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 1 ! Remarques ! Définitions # La connaissance de x(t) (et donc de y(t)) sur l'intervalle de temps [t0, t] ne dépend que de la condition initiale x(t0) et des équations (I) et (II) # La connaissance de x sur l'intervalle de temps ]-∞, t0] n'est pas nécessaire pour déterminer x sur [t0, t] # Si à l'instant t1, on applique un nouveau signal d'entrée u1(t), l'évolution de x (t) et y (t) dans l'intervalle [t1, t] ne dépendra que de x(t1) et de u1(t) # x(t) est appelé l'état du circuit électrique # L'état d'un système à un instant t représente la mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur # Les équations (I) et (II) définissent entièrement le comportement dynamique du circuit électrique
  • 6. 6Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 2 ! Exemple 2 : système mécanique (masse en translation) ! Modélisation dynamique : équation différentielle et FT ! Représentation d'état Etats du système m F z Fr=f z . Entrée : u(t) = F Sortie : y(t) = z(t) γ rr mF =∑ zfzmF &&& += )( 1 )( )( )( fmsssF sZ sH + == )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )1()()()( 21 txtztx == && zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += & )2()()( 22 tx m f m F tx −=& (1) et (2) sous forme matricielle [ ]             =         +              − =      )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & Système d'ordre 2
  • 7. 7Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 2 ! Représentation d'état ! Remarques [ ]             =         +              − =      )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & avec       = )( )( )( 2 1 tx tx tX     += += DuCXty BuAXX )( & [ ] 0,01,1 0 , 0 10 ==         =         − = DC m B m fA # X(t) est appelé vecteur d'état du système # Par rapport à la fonction de transfert, le modèle d'état donne des informations sur la représentation interne du système (ici ) qui n'apparaissent pas explicitement dans la fonction de transfert # Le système d'ordre 2 est converti dans la représentation d'état en une équation différentielle matricielle d'ordre 1 et une équation statique matricielle z&
  • 8. 8Automatique Représentation d'état d'un système ! Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie " Variables     += += )II( )I( DUCXY BUAXX&           = )( )( )( 1 tx tx tX n M # X(t) : vecteur d'état (n : nombre d'états) (I) : équation d'état ou équation de commande (II) : équation de sortie ou équation d'observation ntX R∈)(           = )( )( )( 1 tu tu tU m M # U(t) : vecteur des entrées (m : nombre d'entrées)mtU R∈)(           = )( )( )( 1 ty ty tY p M # Y(t) : vecteur des sorties (p : nombre de sorties)ptY R∈)(
  • 9. 9Automatique Représentation d'état d'un système " Matrices de la représentation d'état " Remarques $ $ # A : matrice d'état nnA ×∈R (matrice carrée) # B : matrice d'entrée mnB ×∈R # C : matrice de sortie npC ×∈R # D : matrice de couplage mpD ×∈R (I) : l'équation d'état est une équation dynamique d'ordre 1 (II) : l'équation de sortie est une équation statique linéaire reliant les sorties aux entrées et aux états Toute la dynamique interne du système est résumée dans l'équation d'état, notamment dans la matrice A. En effet, si U=0, on a le système libre caractérisé par .AXX =& Souvent 0=D Les valeurs propres de A sont les pôles du système
  • 10. 10Automatique Représentation schématique du modèle d'état ! Interprétation du schéma " Equation d'état = vue interne du système " A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système " B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système " C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties " D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties BU D A ∫+ + + + C Y XX& Equation d'état (partie dynamique) Equation de sortie (partie statique)
  • 11. 11Automatique Représentations d'état équivalentes ! Unicité de la représentation d'état ? ! Exemple : circuit RLC La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !! Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer à un même système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à différentes représentations d'états équivalentes R u(t) i(t) C Vc(t) L )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ C tq tVc )( )( = Entrée : u(t) Sorties :       = )( )( )( ti tV tY c Etats : énergie stockée dans le circuit )()(1 tqtx = )()(2 ttx φ= : charge du condensateur : flux dans l'inductance Lois de l'électricité ∫= t ditq 0 )()( ττCharge : Flux : )()( tLit =φ
  • 12. 12Automatique Représentations d'état équivalentes ! Circuit RLC ! Remarques avec )()()( 1 )()( dtutq C tt L R =++φφ & )()( 1 )( atq C tVc = ∫= t ditq 0 )()( ττ )()( tLit =φ )()( 1 )( bt L ti φ= )()( 1 )()( ct L titq φ==& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ Modèle d'état (c) et (d)    += += DuCXY BuAXX&       =      −− = 1 0 , 1 10 B LRC L A 0, 10 01 =      = D L C C (a) et (b)       = )( )( )( t tq tX φ # Pour avoir les sorties du système à partir des états, il faut disposer de capteurs permettant de mesurer le flux et la charge # N'ayant pas ces capteurs, changeons de variables d'état
  • 13. 13Automatique Représentations d'état équivalentes ! Circuit RLC : autre modèle d'état Nouveaux états :       = )( )( )( ti tV tX c T ∫= t c di C tV 0 )( 1 )( ττ )( 1 )( ti C tVc =& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ )( 1 )()( 1)( tu L ti L R tV Ldt tdi c +−−= avec Nouveau modèle d'état    += += uDXCY uBXAX TTT TTTT &       =      −− = L B LRL C A TT 1 0 , 1 10 0, 10 01 =      = TT DC # Est-il possible d'établir une relation entre la réalisation et la réalisation ? ),,,( DCBA ),,,( TTTT DCBA
  • 14. 14Automatique Représentations d'état équivalentes ! Changement de variables       = )( )( )( t tq tX φ       =      = Lt Ctq ti tV tX c T )( )( )( )( )( φ )( 10 01 )( tX L C tXT       = avec Matrice de transformation T )()( 1 tXTtXT −=       =− L C T 10 011 XTXT && 1−= avec ( )BuAXTXT += −1& BuTATXTX TT 11 −− +=& DuCXY += DuCTXY T += u L C X L C LRC L L C X TT             +            −−      = 1 0 10 01 0 0 1 10 10 01& u L X LRL C X TT       +      −− = 1 0 1 10& uX L C L C Y T .0 0 0 10 01 +            = TXIY 2= On retrouve le résultat précédent
  • 15. 15Automatique Représentations d'état équivalentes ! Cas général " Changement de vecteur d'état " Représentation d'état équivalente " Remarque # Les matrices A et AT sont semblables (A et AT ont les mêmes valeurs propres) % la dynamique du système est préservée Soit     += += DUCXY BUAXX& une représentation d'état d'un systèmentX R∈)( Transformation linéaire : )()( tTXtX T= T : matrice de transformation nnT ×∈R T est une matrice carrée d'ordre n régulière avec     += += UDXCY UBXAX TTT TTTT & ATTAT 1−= CTCT = BTBT 1−= DDT =
  • 16. 16Automatique Choix des variables d'état ! Préliminaires et définitions # L'état d'un système à l'instant t0 est un n-uplet X(t0) d'un espace E dont la connaissance associée à celle de l'entrée u(t) dans l'intervalle [t0, t] permet de connaître la sortie y(t). # E est appelé espace d'état. E est un sous-espace de Rn . # Le nombre minimal d'état correspond à l'ordre du système # Le concept d'état découle donc d'une suite de grandeurs physiques (courant, vitesse, …) ou non suffisantes pour caractériser le fonctionnement d'un système. Le choix des états est laissé au libre arbitre du concepteur # Par une transformation linéaire, il est possible de passer d'une représentation d'état à une autre équivalente # Un système admet donc une infinité de représentation d'état # Par la transformation linéaire , on peut avoir des variables d'état qui physiquement ne correspondent à rien )()( tTXtX T=
  • 17. 17Automatique Choix des variables d'état ! Quelques éléments pour la sélection des variables d'état On choisit souvent comme variables d'états, des éléments du système susceptibles d'être des réservoirs d'énergie Masse m Ressort k Inductance Condensateur EtatEnergieElément Colonne de fluide de pression p Moment d'inertie J Colonne de fluide de hauteur h EtatEnergieElément 2 2 1 cCV cV 2 2 1 Li i 2 2 1 mv 2 2 1 kx dtdxv = x 2)/( 2 1 pV β 2 2 1 ωm x dtdθω = θ p 2 2 1 Ahρ h
  • 18. 18Automatique Linéarisation du modèle d'état ! Un peu d'humour ! Modèle d'état d'un système non-linéaire stationnaire # Définition d'un automaticien heureux : c'est celui qui travaille sur des systèmes linéaires !! # Mais le monde réel est non-linéaire. Comment faire ? Prolonger le bonheur par linéarisation     = = ))(),(( ))(),(( tUtXgY tUtXfX& ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)(avec f et g sont des champs de fonctions non-linéaires La courbe est une trajectoire dans l'espace d'état))(),(),(( 0tXtUtXfX =& # Forme matricielle ))(,),(),(,),(( ))(,),(),(,),(( 11 1111 tUtUtXtXfX tUtUtXtXfX mnnn mn LL& M LL& = = ))(,),(),(,),(( ))(,),(),(,),(( 11 1111 tUtUtXtXgY tUtUtXtXgY mnnp mn LL M LL = = # Equation d'état # Equation de sortie
  • 19. 19Automatique Linéarisation du modèle d'état ! Point nominal ou point de fonctionnement ! Perturbations Soit , une entrée nominale et soit l'état correspondant càd # Soient des perturbations faibles u(t) affectant défini une trajectoire dans l'espace d'état qui peut se réduire à un point de fonctionnement ))(),(( tUtXfX = & U X ))(),(( tUtX ),( UX U )()()( tutUtU += )()()( txtXtX +=# Ces perturbations affectent le vecteur d'état )()()( tytYtY += )()()( txtXtX & && += ))()(),()(())(),(( tutUtxtXftUtXfX ++==& ))(),(()( tUtXgtY =Soit la sortie correspondanteY # Les perturbations affectent les sorties ))()(),()(())(),(()( tutUtxtXgtUtXgtY ++==
  • 20. 20Automatique Linéarisation du modèle d'état ! Linéarisation autour du point ),( UX On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g         ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= m UXm p UX p n UXn p UX p ppp m UXmUX n UXnUX u U g u U g x X g x X g UXgtuUtxXgY u U g u U g x X g x X g UXgtuUtxXgY , 1 ,1, 1 ,1 , 1 1 ,1 1 , 1 1 ,1 1 111 ),())(),(( ),())(),(( LL M LL # Equations d'état # Equations de sortie        ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= m UXm n UX n n UXn n UX n nnn m UXmUX n UXnUX u U f u U f x X f x X f UXftuUtxXfX u U f u U f x X f x X f UXftuUtxXfX , 1 ,1, 1 ,1 , 1 1 ,1 1 , 1 1 ,1 1 111 ),())(),(( ),())(),(( LL& M LL&
  • 21. 21Automatique Linéarisation du modèle d'état # Forme matricielle     ++≈+= ++≈+= )()(),()()()( )()(),()()()( tuGtxGUXgtytYtY tuFtxFUXftxtXtX UX UX & &&     += += )()()( )()()( tuGtxGty tuFtxFtx UX UX & Modèle d'état linéarisé UXn nn n UX TX X f X f X f X f X f F ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXn nn m UX TU U f U f U f U f U f F ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXn pp n UX TX X g X g X g X g X g G ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXm pp m UX TU U g U g U g U g U g G ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :
  • 22. 22Automatique Linéarisation d'un modèle d'état ! Exemple : ressort à comportement non-linéaire m z ressort F Equation différentielle 3 21 zkzkFzm ++=&& Modèle d'état # Modèle non-linéaire # Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == && Fzkzkzm ++= 3 21 && m F x m k x m k tx ++= 3 1 2 1 1 2 )(& ( )         ++ ==      m tu tx m k tx m k tx tutxtxf tx tx )( )()( )( )(),(),( )( )( 3 1 2 1 1 2 21 2 1 & & # Entrée Ftu =)( # Sortie )()( tzty = )())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==
  • 23. 23Automatique Linéarisation d'un modèle d'état ! Exemple # Détermination du point de fonctionnement ),( UX On choisit comme point de fonctionnement, un point stationnaire c'est-à-dire tel que ( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf 0))(),(( == tUtXfX &       =         ++ 0 0 3 1 2 1 1 2 m u x m k x m k x 02 =x 03 1 2 1 1 =+ x m k x m k De plus, on prendra .0=u On a alors 01 =x 211 kkx −±=ou Points de fonctionnement :               0, 0 0 ou               −± 0, 0 21 kk ),( UX
  • 24. 24Automatique Linéarisation d'un modèle d'état : exemple # Premier point :               0, 0 0 UX UX mxkk x f x f x f x f A , 2 121 ,2 2 1 2 2 1 1 1 0)3( 10         + =           ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       =           ∂ ∂ ∂ ∂ = m u f u f B UX 1 0 , 2 1 ]01[ ,21 =    ∂ ∂ ∂ ∂ = UXx h x h C       = 0 10 1 mk A 0 , =     ∂ ∂ = UXu h D # Matrices # Deuxième point :               −± 0, 0 21 kk       − = 02 10 1 mk A Seule la matrice de commande A change selon les points de fonctionnement