Elektricitet i magnetizam

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
SVEUČILIŠTA U ZAGREBU

Essert, Grilec, Žilić:

ELEKTRICITET i MAGNETIZAM
- fizikalne osnove Ver. 1.0 – priprava
(nije za objavljivanje)

Zagreb, 2006.

SADRŽAJ
1.

ELEKTROSTATIKA ....................................................................................... 9
1.1.
Struktura materije............................................................................................... 9
1.1.1.
1.1.2.

1.2.

Električno polje naboja..................................................................................... 13

1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.

1.3.
1.4.
1.5.

2.

Spojevi kondenzatora....................................................................................... 23
Serijski spoj....................................................................................................... 24
Paralelni spoj ...................................................................................................... 25
Mješoviti spoj..................................................................................................... 26
Energija nabijenog kondenzatora .................................................................. 27
Prirodni kondenzator........................................................................................ 29

Appleti................................................................................................................ 30

1.6.1.
1.6.2.
1.6.3.
1.6.4.
1.6.5.

1.7.

Polarizacija i influencija ................................................................................... 16
Gustoća električnog toka ................................................................................. 18
Homogeno električno polje .............................................................................. 18
Coulombov zakon................................................................................................. 19

Električni potencijal .......................................................................................... 19
Električni kapacitet ........................................................................................... 21
Kondenzator ...................................................................................................... 22

1.5.1.
1.5.2.
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.

1.6.

Elementarni naboj ...................................................................................................11
Električna svojstva tvari.................................................................................. 12

Električno polje naboja ................................................................................... 30
Test naboj u električnom polju....................................................................... 31
Elektroskop ........................................................................................................ 32
Kapacitet pločastog kondenzatora................................................................ 32
Prirodni kondenzator........................................................................................ 33

Zadaci ................................................................................................................. 34

ISTOSMJERNA STRUJA ............................................................................. 37
2.1.
Električni napon................................................................................................ 37
2.2.
Električni izvori................................................................................................. 38
2.3.
Električna struja ................................................................................................ 40
2.4.
Električni otpor ................................................................................................. 40
2.4.1.

2.5.
2.6.

Promjena otpora s temperaturom .................................................................. 41

Ohm-ov zakon................................................................................................... 43
Kirchhoff-ovi zakoni ........................................................................................ 44

2.6.1.
2.6.2.

I. Kirchhoff-ov zakon....................................................................................... 45
II. Kirchhoff-ov zakon .................................................................................... 46

2.7.

Spajanje električnog otpora u strujnom krugu............................................. 47

2.8.
2.9.

Električna struja u ioniziranom plinu............................................................ 50
Elektrokemijske pojave .................................................................................... 52

2.7.1.
2.7.2.

2.9.1.
2.9.2.
2.9.3.

Serijski spoj otpora ......................................................................................... 47
Paralelni spoj otpora......................................................................................... 48

Faraday-evi zakoni elektrolize....................................................................... 52
Primarni elementi .............................................................................................. 53
Sekundarni elementi......................................................................................... 55

_______________________________________________________________________________

2.10.
2.11.
2.12.
2.13.

Jednostavni strujni krug .................................................................................. 57
Realni jednostavni strujni krug ...................................................................... 58
Složeni strujni krug .......................................................................................... 59
Realni naponski izvori ..................................................................................... 61

2.14.
2.15.
2.16.
2.17.

Mjerenje struje, napona i otpora..................................................................... 66
Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar .............................. 67
Rad i snaga istosmjerne struje ........................................................................ 70
Appleti ............................................................................................................... 73

2.18.

Zadaci................................................................................................................. 78

2.13.1.
2.13.2.

2.17.1.
2.17.2.
2.17.3.
2.17.4.
2.17.5.
2.17.6.
2.17.7.

3.

Vanjska karakteristika realnih izvora .......................................................... 62
Spojevi električnih izvora............................................................................... 63

Ohmov zakon ...................................................................................................... 73
Jednostavni strujni krug ................................................................................. 73
Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu ................................... 74
Multimetar .......................................................................................................... 75
Serijski spoj otpora.......................................................................................... 75
Paralelni spoj otpora......................................................................................... 76
Kirchhoff-ovi zakoni......................................................................................... 76

MAGNETIZAM .............................................................................................. 81
3.1.
Magnetsko polje................................................................................................ 81
3.2.
Zakon protjecanja ............................................................................................. 82
3.2.1.

3.3.
3.4.
3.5.
3.6.

Magnetske veličine........................................................................................... 85
Magnetska histereza ........................................................................................ 89
Magnetski krug................................................................................................. 90
Djelovanje magnetskog polja.......................................................................... 92

3.6.1.
3.6.2.
3.6.3.

3.7.

Sila na gibljivi naboj ......................................................................................... 92
Sila na vodič kojim teče struja...................................................................... 94
Sila između dva vodiča kroz koje teče struja............................................ 96

Elektromagnetska indukcija ........................................................................... 98

3.7.1.
3.7.2.
3.7.3.

3.8.

Magnetsko polje ravnog vodiča ...................................................................... 83

Lenz-ovo pravilo................................................................................................100
Samoindukcija ................................................................................................... 101
Međuindukcija ...................................................................................................102

Energija magnetskog polja ............................................................................ 104

3.8.1.
3.8.2.

Izmjenično magnetiziranje željeza .............................................................105
Privlačna sila magneta .....................................................................................106

3.9.

Appleti ............................................................................................................. 108

3.10.

Zadaci............................................................................................................... 111

3.9.1.
3.9.2.
3.9.3.
3.9.4.

4.

Naboj u magnetskom polju .............................................................................108
Lorentz-ova sila ................................................................................................108
Faraday-ev zakon .............................................................................................109
Lennz-ovo pravilo.............................................................................................. 110

PRIJELAZNE POJAVE............................................................................... 113
4.1.
RC-krug............................................................................................................ 113

4

Sadržaj
________________________________________________________________________
4.1.1.
4.1.2.
4.1.3.
4.1.4.

4.2.

RL-krug ............................................................................................................ 116

4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.

4.3.
4.4.
4.5.

5.

Energija svitka.................................................................................................. 116
Ukapčanje RL – kruga...................................................................................... 117
Iskapčanje RL – kruga..................................................................................... 118

Elektromagnetski oscilirajući krug .............................................................. 119
Elektromagnetski valovi ................................................................................ 121
Appleti.............................................................................................................. 123

4.5.1.
4.5.2.
4.5.3.

4.6.

Energija nabijenog kondenzatora ................................................................. 113
Energija na otporu ........................................................................................... 113
Nabijanje (punjenje) kondenzatora ............................................................. 114
Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora .......................................................... 115

RC-krug...............................................................................................................123
RL-krug ...............................................................................................................124
Elektromagnetski oscilirajući krug ..............................................................124

Zadaci ............................................................................................................... 126

IZMJENIČNE STRUJE ............................................................................... 129
5.1.
Harmonijski oblik ........................................................................................... 130
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.

Frekvencija i kružna frekvencija.................................................................. 131
Srednja i efektivna vrijednost .....................................................................134
Faza i razlika faza............................................................................................136

5.2.

Predočavanje izmjeničnih veličina ............................................................... 138

5.3.

Jednostavni krug izmjenične struje.............................................................. 142

5.2.1.
5.2.2.
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.

5.4.

Trokut snaga .....................................................................................................158

Trofazni sustav................................................................................................ 160

5.7.1.
5.7.2.
5.7.3.

5.8.

Serijski RL - krug.............................................................................................148
Serijski RC – krug ............................................................................................149
Serijski RLC –krug ...........................................................................................150
Paralelni RL – krug............................................................................................152
Paralelni RC – krug ...........................................................................................153
Paralelni RLC – krug .........................................................................................154

Rezonancija...................................................................................................... 155
Snaga izmjenične struje i faktor snage......................................................... 157

5.6.1.

5.7.

Otpor u krugu izmjenične struje..................................................................142
Kapacitet u krugu izmjenične struje ...........................................................143
Induktivitet u krugu izmjenične struje ......................................................145

Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje.................................................. 147

5.4.1.
5.4.2.
5.4.3.
5.4.4.
5.4.5.
5.4.6.

5.5.
5.6.

Prikazivanje rotirajućim dužinama i vektorima .........................................138
Fazni pomak u vektorskom prikazu .............................................................. 141

Naponi i struje u spoju zvijezda................................................................... 161
Naponi i struje u spoju trokut ...................................................................... 161
Snaga trofaznog sustava ................................................................................162

Appleti.............................................................................................................. 163

5.8.1.
5.8.2.

Električni elementi u krugu izmjenične struje .........................................163
Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje.........................................164

5

_______________________________________________________________________________

5.9.
6.
7.
8.

Zadaci............................................................................................................... 165

Dodatak - WEB-adrese applet-a ............................................................... 169
Literatura.................................................................................................... 171
Stvarno kazalo ........................................................................................... 173

6

Sadržaj
________________________________________________________________________

PREDGOVOR
Ovaj udžbenik iz područja elektrotehnike, želi pomoći studentima obnoviti
srednjoškolsko znanje elektrotehnike, koja se uči u fizici, kako bi lakše svladali
predmet ELEKTROTEHNIKA na studiju. Namijenjen je ponajprije studentima
Fakulteta strojarstva i brodogradnje, ali može korisno poslužiti i drugima.
Pojam elektrotehnika, uključuje u sebi dva pojma. Prvi je upoznavanje
osnovnih fizikalnih zakona o elektricitetu i magnetizmu, a drugi njihovu
primjenu u tehničkoj praksi. Upoznati fizikalni zakon najčešće znači opisati
posljedice njegova djelovanja, dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni.
Matematički aparat kojim se u teoriji služimo i instrumenti kojima mjerimo ovise
dakako o dubini naših proučavanja. Gradivo izneseno u ovom udžbeniku koristi
matematički aparat primjeren srednjoškolskoj matematici.
Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena područja, čije se
discipline znatno isprepleću, od mjeriteljstva do automatskog vođenja
proizvodnih procesa. Budući da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane
uz elektrotehniku, ovaj udžbenik može poslužiti i strojarskim stručnjacima u
njihovoj svakodnevnoj praksi.
Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhvaćaju osnovna
elektrotehnička područja: elektrostatika, istosmjernu struju, magnetizam,
prijelazne pojave i izmjenične struje. Udžbenik koristi većinu gradiva obrađenog
u rasprodanom izdanju udžbenika M. Essert, Z. Valter: "Osnove elektrotehnike",
SNL Liber 1991. god., a praktičnu orjentaciju interaktivnim applet-ima na CD-u
zahvaljuje diplomskom radu Valentine Franković, prof. fizike. Svako poglavlje
uključuje i niz zadataka s rješenjima, za provjeru naučenog gradiva.
Kvalitetan prijenos znanja traži danas i nove alate. Oni su prisutni
ponajviše zahvaljujući računalima i različitim edukacijskim programima.
Temeljna značajka takvih programa je interaktivnost i usmjerenost na fizikalne
modele. Računala i programi omogućuju da korisnik više razmišlja o tomu 'što' i
'zašto', nego o 'kako'. Sam izračun - dobivanje numeričkog ili grafičkog rezultata,
u takvim je metodama, programima, manje značajan.
Java applet-i su popularni programi koji nude sve nabrojeno i danas su
zahvaljujući Internetu dostupni na mnogim sveučilištima i školama. Pisani su u
besplatnom Java okruženju pa su već od samih početaka (oko 1995.) postali
osnovna nastavna pomagala.
Iako postoje applet-i za mnoga područja fizike (i ne samo nje), u ovom radu
pokušalo se prikupiti najbolje uzorke za područje fizikalnih osnova
elektrotehnike. Poštujući autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilagođeni su
našim prilikama (za slučaj da u nastavi nema mogućnosti korištenja Interneta
i/ili da korisnici ne znaju engleski).

7

ELEKTROSTATIKA
Elektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izučavanjem i
primjenom električnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izučavanjem pripada
prirodnim znanostima i čini njezinu fizikalnu osnovu, a dio koji se bavi
primjenom u korisne i praktične svakodnevne svrhe čini nadgradnju i pripada
tehničkim znanostima.
U tumačenju električnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja
strukture materije i njezinih električnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju
postojanju električnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Električni naboji
mogu se smatrati svojevrsnim elementarnim česticama, djelićima materije i
nosiocima njezinih električnih svojstava. Spoznat ih se može preko njihovih
vanjskih manifestacija, a to su električne i magnetske sile.
Za cjelovitu spoznaju prisutnosti djelovanja električnih naboja pored
položaja u strukturi materije potrebno je poznavati i osobitosti prostora oko njih,
prostora u kojem se izražavaju njihove manifestacije.
Električni naboji mogu u prostoru mirovati ili biti u pokretu. Naboji u
mirovanju nazivaju se statički naboji. Naboji u gibanju mogu imati različite
smjerove, a oni u usmjerenom gibanju nazivaju se električnom strujom.
U prostoru oko statičkih naboja zbivaju se električne pojave, pa se to stanje
prostora naziva električnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju se
uz električne i magnetske pojave. U njemu se pored električnog javlja i
magnetsko polje, a zajednički se naziva elektromagnetskim poljem.
Elektrostatika opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko
mirujućih električnih naboja. Djelovanje naboja u prostoru tumači se električnim
poljem koje svaki naboj stvara u svom okolišu.

1.1. Struktura materije
Poznato je da se materija sastoji od tvari u čistom stanju i od onih u obliku
smjesa. Čiste tvari mogu biti jednostavne i složene. Jednostavne se nazivaju
kemijskim elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razložiti
na jednostavnije. Složene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno
nova svojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od različitih elemenata
i spojeva.
Najsitnije su čestice elementa koje još predstavljaju element atomi. Danas je
poznato 105 elemenata, a time i 105 različitih vrsta atoma. Najmanji među njima
je atom vodika i može ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 ·10-10, a najveći je
atom cezija, promjera 5.3 10-10 m. Veličina svih ostalih atoma kreće se u
spomenutim granicama.
Svi atomi izgrađeni su od elementarnih čestica, a njihovu građu utvrdili su
fizičari E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omotača
(slika 1-1). U središtu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne
čestice koje čine njegovu jezgru. To su protoni, neutroni i ostale čestice. Oko
jezgre atoma kreću se velikim brzinama elektroni tako da čine omotač oko nje.

_______________________________________________________________________________
Elektroni su elementarne čestice koje posjeduju negativni električni naboj.
Masa elektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno
mase koju ima najmanji atom, atom vodika.
Protoni su elementarne čestice koje posjeduju naboj jednak po veličini
naboju elektrona, ali suprotnog predznaka. Masa protona približno je jednaka
jedinici atomske mase.

atom
jezgra

elektroni

naboj

protoni

omotač

naboj

neutroni

ostale čestice
Slika 1-1. Sastav atoma

Količina naboja koju posjeduje elektron i proton označuje se kao
elementarni naboj, jer ga u prirodi nema manjeg.
Neutroni nemaju električnog naboja, a masa im je približno jednaka masi
protona, odnosno jedinici atomske mase. Ostale čestice u jezgri kao npr.
pozitron, mezon, neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno, dosta su
nestabilne i brzo se raspadaju. Pri raspadanju pretvaraju se jedne u druge. Bez
značenja su za električne pojave.
U normalnim uvjetima broj elektrona u omotaču jednak je broju protona u
jezgri, što znači da svaki atom sadrži jednaku količinu pozitivnog i negativnog
naboja i promatrano izvana električki je neutralan.
Dimenzije elektrona i protona nije moguće pouzdano odrediti, jer te čestice
nemaju oštre granice. Nije ih moguće ni vidjeti, već je moguće u određenim
uvjetima vidjeti i snimiti trag koji one ostavljaju pri prolazu kroz određena
sredstva. Iz tih tragova moguće je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj.
Između protona, neutrona i ostalih čestica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje
ih drže na okupu. To su nuklearne sile. Između protona i elektrona, međutim,
vladaju električne sile koje zajedno s nuklearnim drže atom jednom cjelinom.
Gibanje elektrona u atomu ima složen karakter, jer oni pored gibanja u
omotaču istovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski
spin. Uz to se mijenja i položaj omotača u odnosu na jezgru.
Atomi različitih elemenata međusobno se razlikuju po broju protona u
jezgri, odnosno broju elektrona u omotaču. Tako atom vodika kao
najjednostavniji ima jedan proton u jezgri i jedan elektron u omotaču. Atom
helija ima dva protona i dva elektrona, litija tri protona i tri elektrona itd.
Atomi istog elementa mogu se međusobno razlikovati samo po broju
neutrona što ih sadrži jezgra. Oni pritom imaju isti atomski broj jer posjeduju isti
broj protona, ali se razlikuju u masi zbog različitog broja neutrona. Takvi atomi
se nazivaju izotopi. Najsloženiji atom je izotop urana U koji ima 146 neutrona,
92 protona i 92 elektrona. Neki jednostavniji primjeri modela atoma prikazani su
na slici 1-2.

10

Elektrostatika
________________________________________________________________________
Jedino je jezgra atoma običnog vodika bez neutrona, dok jezgre svih ostalih
atoma pored protona sadrže i neutrone. Svi elektroni u omotaču nemaju jednaku
energiju. S obzirom na sadržaj energije pojedinih elektrona u atomu, elektroni se
mogu u omotaču raspodjeliti u 7 ljusaka ili ovojnica.

L

e

e

n

p

K

p

n
p

1
vodik 1 H

n
p

e

e

helij He

litij Li

Slika 1-2 Modeli jednostavnih atoma

(e-elektron, p-proton, n-neutron)
Te se ljuske prema svojem redoslijedu označavaju slovima K, L, M, N, O, P i
Q, pri čemu se ljuska najbliža jezgri označava s K, a najudaljenija s Q. Elektroni
u ljuskama bližim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama.
Vanjska ljuska sadrži najviše do 8 elektrona, a unutrašnje do 2 n2, gdje je n broj
ljuske računajući od jezgre. Na slici 1-2 prva dva atoma imaju jednu, a treći dvije
ljuske.

1.1.1.

Elementarni naboj

U prirodi, dakle, postoje dvije vrste elementarnih naboja, jednima je
dogovorno pridodan naziv 'pozitivni' (kod protona), a drugima 'negativni' (kod
elektrona). Iako je masa protona veća od mase elektrona, njihov naboj je po
apsolutnom iznosu jednak i iznosi:

Q0 = 1,6 ⋅10 −19 [As ] ili

[C ]

Veličinu elementarnog naboja utvrdio je 1917. fizičar R.A.Millikan, a
izražava se u ampersekundama [As] ili kulonima [C].
Proton je čvrsto vezan u jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijama
među jezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do fizičke
transformacije jezgre, a traju vrlo kratko.
Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu
ionizacije atoma može osloboditi veze s jezgrom. Njegovo sudjelovanje u
električnim pojavama je stoga aktivnije.
Elektroni u atomu mogu posjedovati samo određenu konačnu količinu
energije i gibati se putanjama određenim njihovom energijom. Oni nastoje
zaposjesti putanje koje odgovaraju najnižoj energetskoj razini i popunjavaju
ljuske bliže atomskoj jezgri. Takav se atom nalazi u normalnom stanju.

11

_______________________________________________________________________________
Dovođenjem energije atomu izvana u obliku npr. topline ili svjetlosti, postiže
se njegovo uzbuđeno stanje, pri čemu elektroni mogu primiti toliko energije da
mogu promijeniti ljusku i prijeći u ljuske dalje od atomske jezgre.
Mogu se i osloboditi veze s jezgrom i biti izbačeni izvan atoma. Ili obratno,
mogu izvana biti ubačeni u putanje oko jezgre. Takav postupak koji vodi do
promjene broja elektrona naziva se ionizacijom.
Ako iz atoma izleti jedan elektron, narušava se nabojska ravnoteža atoma,
jer ukupni pozitivni naboj protona postane veći od ukupnog negativnog naboja
preostalih elektrona. Atom izvana više nije neutralan, a zbog prevladavanja
pozitivnih naboja postaje pozitivni ion. Ako međutim u atom uđe jedan elektron i
time ukupni negativni naboj elektrona postane veći od ukupnog pozitivnog
naboja protona, on postaje negativni ion (slika 1-3).

atom

e

e

pozitivni ion

atom

negativni ion

Slika 1-3 Ionizacija atoma

Svaka kemijska veza među atomima osniva se na razmjeni elektrona među
njima. U tako nastaloj skupini atoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj
mjeri pripadati svim atomima u njoj. Kako i skupina atoma može biti izvrgnuta
procesu ionizacije, ionima se smatraju električki nabijeni atomi ili njihove
skupine.
Dok negativni naboj u normalnim uvjetima može biti prisutan ili kao naboj
elektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao
naboj pozitivnih iona.

1.1.2.

Električna svojstva tvari

Pokretljivost elektrona, oslobođenih ionizacijom, među atomima ili
molekulama pojedinih tvari određuje osnovno električno svojstvo tvari, električnu
vodljivost.
Tvari koje se odlikuju velikom električnom vodljivošću nazivaju se vodičima.
U njih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom
strukturom, kojih se atomi međusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom
vezivanju javlja se veliki broj slobodnih elektrona koji se lako stavljaju u gibanje i
pritom nailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj rešeci. To su kruti vodiči.
U vodiče se uvrštavaju i elektroliti i vodljivi plinovi. Elektroliti su soli
odnosno krute tvari kristalne strukture s ionskom vezom među atomima, te

12

Elektrostatika
________________________________________________________________________
kiseline i lužine otopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se određeni broj
suprotno nabijenih iona. Slično se stanje javlja i kod nekih plinova.
Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena
pokretljivost i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, čega
pri gibanju elektrona nema.
Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodičima.
Pored vodiča postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom
električnom vodljivošću. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima. U njih se
ubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi međusobno
povezuju kovalentnom vezom. U toj vezi elektroni su čvrsto vezani uz jezgre
fiksirane u kristalnoj rešeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u
izolatore se ubrajaju i neke tvari nekristalne strukture kao npr. guma, papir,
staklo, mineralna ulja, te uz njih čista voda, nevodljivi plinovi i vakuum.
Među tvarima s kristalnom strukturom nalaze se i tvari u kojih veza među
atomima može biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno
manjom vodljivošću nego što je imaju vodiči, ali većom od one izolatora, pa se
nazivaju poluvodičima. Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim fizičkim i
kemijskim utjecajima. Tu se ubrajaju npr. olovni sulfid i neki spojevi silicija,
germanija i selena. Kod krutih vodiča koji električnu struju vode slobodnim
elektronima javlja se njihovo kaotično gibanje između atoma, koje podsjeća na
gibanje molekula plina. Slobodni elektroni se pritom rasporede tako da je vodič
izvana promatrano električki neutralan. Usmjereno gibanje slobodnih elektrona
javlja se u vodiču tek pod vanjskim utjecajem, kojim se elektronu privodi
dodatna energija. Srednja brzina kaotičnog gibanja elektrona u vodiču reda je
veličine 106m/s, a brzina njihova usmjerenog gibanja 10-2 m/s.
Pri prolazu struje kroz pojedine tvari opažaju se sljedeći učinci: toplinski,
magnetski, kemijski, svjetlosni i fiziološki. Oni se mogu vrlo uspješno koristiti i
njima se bavi tehnički dio elektrotehnike. Toplinski učinci koriste se u
elektrotermiji, magnetski kod električnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a
fiziološki u utvrđivanju korisnog i štetnog djelovanja električne struje na žive
organizme.

1.2. Električno polje naboja
Proučavanje elektriciteta povijesno se odvijalo proučavanjem sila koje se
uočavaju između nabijenih, elektriziranih tijela. Najpoznatiji način elektriziranja
(odvođenja ili dovođenja naboja nekom tijelu) bio je trenjem. Analiza uočenih sila
dovela je do zaključka da u električnim pojavama postoje dvije električne veličine:
naboj i polje. Električni naboj javlja se kao svojstvo čestica, a električno polje se
zamjećuje kao polje sila oko nabijenih čestica, oko naboja.
A.Coulomb je još 1785. godine uočio i formulirao osnovni zakon o sili
između električki nabijenih tijela. Coulombova sila se oblikom izraza podudara s
Newtonovom gravitacijskom silom, samo što u njoj umjesto masa dolaze električni
naboji, a s obzirom da mogu biti i pozitivni i negativni, slijedi da se elektrizirana
tijela mogu i odbijati, a ne samo privlačiti.
Zakon se može eksperimentalno potvrditi samo za silu između vrlo malih
električnih tijela, koja se mogu smatrati matematičkim točkama (tzv. točkasti

13

_______________________________________________________________________________
naboj ili test-naboj; eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju
jednostavne za proučavanje i mjerenje kad se točkasti naboj nađe u okolišu
velikog, na primjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1-4). Neka se pretpostavi da
su i tijelo i kuglica nabijeni pozitivnim električnim nabojem. Pokusom se opaža
da je sila na nabijenu kuglicu to veća što je veći iznos naboja kojim je nabijena i
to u bilo kojoj točki prostora.

P3

+
P2

+
+

P1

+

+

+

+

+
+

+

Slika 1-4 Električna sila u okolišu nabijenog tijela

Umjesto promjene naboja kuglice moguće je mijenjati njezin položaj oko
metalnog tijela (P1, P2, P3, ...). U svakoj točki prostora sila na kuglicu imat će
općenito različitu veličinu i smjer.
Sila ovisi dakle i o fizikalnoj veličini stvorenoj prisutnošću nabijenog tijela.
Ta se veličina zove električno polje nabijenog tijela i njen iznos označuje se s E.
Sila na točkasti naboj može se prema tome izraziti umnoškom dviju nezavisnih
veličina:

F = Q ⋅ E [N ]
gdje su:

(1.1)

Q - naboj [As],
E - jakost električnog polja [V/m].

Električno polje zamjećuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih čestica. Kad
se u okolišu nekog naboja nalazi više drugih naboja, tada se ukupna sila na taj
naboj može dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od
okolnih naboja po smjeru i po iznosu (vektorski zbroj). Električno polje je rezultat
djelovanja svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unošenjem dodatnog
naboja u taj prostor mijenja se i polje).
Jakost električnog polja E, u nekoj točki (prije stavljanja naboja Q) jednaka
je omjeru sile F na naboj (postavljen u tu točku) i veličine naboja Q, a smjer polja
jednak je smjeru koji bi imala električna sila na pozitivni naboj postavljen u tu
točku.
Jakost polja u određenoj točki prostora može se odrediti, poznavajući silu F
na naboj Q (doveden u tu točku) pomoću jednadžbe

14

Elektrostatika
________________________________________________________________________

E=

F
Q

(1.2)

Jedinica za jakost električnog polja je volt po metru (V/m).
Silnice električnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem električne
sile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i
usmjerene su prema negativnim nabojima u kojima završavaju (poniru). Gustoća
silnica razmjerna je gustoći električnog polja.
Obično se pod pojmom "električno polje" misli na "jakost električnog polja",
tj. na iznos vektora. Budući da se sila u svakoj točki općenito mijenja (po smjeru
i/ili iznosu), znači da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj točki prostora,
može se izravno iz izraza (1.1) izračunati sila na bilo koji električni naboj koji se
dovede u bilo koju točku tog prostora. Odavde se razabire praktična korist
električnih polja, koja se zbog toga i grafički predočuju.
Električno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja
posebno. Budući da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, može se
predočiti linijama polja ili silnicama. Smjer električnog polja jednak je smjeru
djelovanja električne sile na pozitivan naboj (slika 1-5), pa je u okolišu pozitivnog
naboja suprotan od onog u okolišu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile
na test naboj koji je doveden u njihov okoliš.

Slika 1-5 Električno polje naboja

a) pozitivnog

b) negativnog

Električno polje dvaju naboja prikazano je na slici 1-6.
Tu je polje u svakoj točki vektorski zbroj polja iz slike 1-5. Tangenta u
svakoj točki silnice pokazuje pravac djelovanja sile. I ovdje se ta sila zorno
uočava kao vektor sile test naboja.
Dugo vremena su polja bila shvaćana kao matematičke konstrukcije kojima
su se pregledno mogle prikazati sile u okolišu električnih naboja. Realnim su
smatrane samo sile i naboji. Zahvaljujući Maxwell-u i Faraday-u, polja dobivaju
realna obilježja, ništa manje stvarna nego su vidljivi mehanički predmeti koji nas
okružuju. Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su proučavanjem
elektromagnetskih valova.

15

_______________________________________________________________________________
Slika 1-6 Električno polje dvaju naboja

a) suprotnog polariteta

b) istog polariteta

Tu naboji nemaju više svoja primarna značenja, već polje. Naboji postaju
samo mjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru električne silnice. Za pozitivan
naboj kaže se da je izvor, a za negativan da je ponor električnog polja (slika 1-6).
Za električno polje veli se da je homogeno ako u svakoj točki ima jakost
jednakog inteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Q u homogeno
električno polje (slika 1-7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj -Q
suprotna je smjeru polja. Budući da i dovedeni električni naboj stvara vlastito
električno polje, redovito se pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je
njegovo djelovanje zanemarivo.
→

E

F

Q

+

Q

F

-

Slika 1-7 Homogeno električno polje

Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, počinje i završava
na nabojima smještenim na površini. Budući da se naboji kojim je elektroda
nabijena (zbog istog polariteta) međusobno odbijaju, sav se naboj rasporedi po
površini, pa u unutrašnjosti elektrode nema električnog polja. Svojstvo
električnih polja da završavaju na površinama vodiča koristi se kod zaštite tijela
od djelovanja električnih polja zastorima od metalnih limova ili metalnih mreža.
To je načelo tzv. Faraday-evog kaveza.

1.2.1.

Polarizacija i influencija

Kao neposredni rezultat djelovanja sile u električnom polju uočavaju se
dvije važne pojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i influencijski učinci u
vodljivim tijelima.
Statička električna polja pri mirujućim nabojima moguća su samo u
električki nevodljivim sredstvima, tj. izolatorima. Izolatori se stoga nazivaju i
dielektrici (grčki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju električne sile.

16

Elektrostatika
________________________________________________________________________
U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se takvi materijali unesu u
električno polje, u njima može doći samo do određenog razmještanja naboja u
atomima i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja,
negativni u suprotnom, stvarajući tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija
(slika 1-8).

Slika 1-8 Polarizacija dielektrika

S druge pak strane, djelovanje polja na vodiče, koji imaju slobodne naboje,
manifestirat će se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka.
Ta se pojava zove influencija (slika 1-9). Količina influenciranog naboja
(razdvojenog) jednaka je količini naboja koje je influenciju izazvalo (slučaj a).

→

E

→

E

α

a) pod 900

b) pod 450

Slika 1-9 Električna influencija

Može se pokazati da količina influenciranog naboja ovisi i o površini na koju
je polje djelovalo. Metalne pločice postavljene u homogeno polje na slici 1-9 b)
pod kutem od 45°, zatim razdvojene u polju, pa izvučene van, primit će svaka
otprilike 71 % naboja u odnosu na pokus a).

17

_______________________________________________________________________________

1.2.2.

Gustoća električnog toka

Sve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q, čine u prostoru oko naboja
električni tok Ф. Radi lakšeg proučavanja pojava u polju pri različitim
dielektricima uvodi se nova vektorska veličina D . Istog je smjera kao i jakost
polja, a iznos joj je jednak gustoći influenciranog naboja koji bi se na vodiču u toj
točki električnog polja izdvojio, inducirao. Naziv tog vektora je gustoća električnog
toka, dielektrični pomak, ili električna indukcija.
Gustoća električnog toka D u nekoj točki prostora razmjerna je jakosti polja E :

D =ε ⋅E

(1.3)

Faktor razmjernosti ε, naziva se dielektričnost (ili dielektrična konstanta) i
značajka je tvari u kojoj je električno polje uspostavljeno. Dielektričnost vakuma
je ε0 = 8,85⋅10-12 As/Vm.
Dielektričnost tvari iskazuje se pomoću dielektričnosti vakuma i relativne
dielektričnosti εr

ε = ε0 ⋅εr

(1.4)

Reletivna dielektričnost εr je značajka pojedine tvari, koja pokazuje koliko
puta je veća gustoća električnog toka u toj tvari nego što bi, uz istu jakost polja,
bila u vakumu. Relativna dielektričnost εr je bezdimenzionalni broj i za većinu
materijala manji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2-4 za staklo), u nekim
keramičkim masama do 100, a najveće vijednosti idu čak i do 10000.
Poznavanjem naboja, geometrije tijela i materijala u prostoru električno je
polje u svakoj točki potpuno određeno.

1.2.3.

Homogeno električno polje

Polje je homogeno ako mu je gustoća silnica jednolika. Homogeno polje ima
u svakom dijelu prostora jednoliku gustoću toka D i jednaku jakost E tj. za svaku
točku polja vrijedi

D = konst.

E = konst.

i

(1.5)

Smjer homogenog polja svugdje je isti, a silnice su ravne, paralelne,
jednoliko razmaknute crte.
Uz naboj na jednoj ploči Q i površinu ploče A, za gustoću električnog toka D
u homogenom polju vrijedi jednadžba

D=

Q
A

(1.6)

U slučaju nabijene kugle površinska gustoća naboja je iz razloga simetrije
istog iznosa u svakoj točki površine:

D=

18

[

Q
C / m2
4 R02π

]

(1.7)

Elektrostatika
________________________________________________________________________
gdje je R0 polumjer kugle.
U homogenom polju napon ravnomjerno opada u smjeru polja. Jakost polja
može se odrediti ako znamo napon V i udaljenost d između ploča

1.2.4.

Coulombov zakon

Sila F kojom električno polje jakosti E stvoreno od naboja Q djeluje na naboj
točkasti naboj Q' (u točki A, slika 1-10 a) jednaka je:

F = Q′ ⋅ E = Q′

k=

1

Q
Q Q′
= k ⋅ 2 [N]
2
4π ⋅ ε ⋅ r
r

(1.8)

je konstanta.

4π ε 0ε r

Ovaj izraz (1.8) zove se Coulombov zakon, a dobiven je povezivanjem izraza
(1.1), (1.3) i (1.7).
→

− Q3

→

E rez

E1
→

+ Q'

+Q
r

A

E 1, 2

→

E3
→ →

E, F

+ Q2

A

→

E2

+ Q1
Slika 1-10 Sila na naboj
Vidi se da se sila između dvaju naboja smanjuje, ako izolator zamijenimo s
nekim veće dielektričnosti. Ovisnost električnih sila o prisutnosti materije jedan
je od osnovnih utjecaja materije izolatora na prilike u električnom polju.

Ako se u prostoru nalazi više točkastih naboja, kao na primjer +Q1, +Q2 i Q3 na slici 1-10 b), jakost polja u nekoj točki A određuje se vektorskom
superpozicijom jakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj QA u
točki A imala bi iznos i smjer prema (1.9) jednak F=QA Erez.

1.3. Električni potencijal
Određivanje jakosti polja u nekoj točki kao rezultat djelovanja više polja
pojedinačnih naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva zbog svoje
vektorske prirode složeni matematički aparat i duži račun. Očita je potreba za
jednostavnijom, lako mjerljivom skalarnom veličinom, koja bi ipak pružala bitne

19

_______________________________________________________________________________
informacije o prilikama u električnom polju. Tu potrebu zadovoljava električni
potencijal.
Do pojma električnog potencijala može se doći ako se električni naboj Q pod
utjecajem vektora jakosti polja E slobodno ili djelovanjem sile giba po nekoj stazi.
Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se
jednaka "potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske
sile, na novoj razini pripisuje mu se energija niža za onoliko koliko se rada dobije
kod tog spuštanja. S druge pak strane pomaci tijela po putu okomitom na smjer
djelovanja sile ne daju rad.
Slično se i naboju u električnom polju, a i samim točkama u kojima se
naboj nalazi ili ga tamo zamišljamo, mogu pripisati različite potencijalne energije,
odnosno energetske razine. Matematički je najjednostavnije da se početni nivo
potencijalne energije uzima u beskonačnosti. Tamo je jakost električnog polja
jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energije pri pomicanju. Ako se
pozitivni naboj Q dovede iz beskonačnosti u neku točku električnog polja izvršeni
rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u toj točki. Rad je pritom
jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja.
Ako bi pak pozitivan naboj pod utjecajem polja bio odveden u beskonačnost,
na tom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad.
Omjer između rada i naboja na kome je rad izvršen zove se električni
potencijal. Potencijal φ u nekoj točki polja je:

ϕ = − ∫ E ⋅ cos α ⋅ ds = − ∫ E ⋅ dl⋅ [V ]

(1.9)

a potencijalna energija naboja Q u nekoj točki električnog polja bit će:

W = Q ⋅ϕ [ J ]

(1.10)

Prema tome, ako se kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje
točke potencijala φ do bilo koje točke potencijala φ1 , potencijal promijeni za

ϕ1 − ϕ = −dϕ = E ⋅ dl

(1.11)

onda iz gornjih izraza (1.9 i 1.11) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izražen s pomoću
potencijala:
dϕ
(1.12)
E=−
dl
Razlika potencijala dviju točaka u električnom polju zove se napon i
označuje se s V. Napon je jedan od najvažnijih pojmova u elektrotehnici i za
razliku od E lako se mjeri.
Treba uočiti da bi rad između dviju točaka u električnom polju E bio isti bez
obzira na krivulju s (s1, ...) po kojoj bi se naboj gibao. Drugim riječima, to znači
da rad ovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu:

∫E

(s)

s

⋅ ds =

∫E

( s1 )

s

⋅ ds = ... = ϕ − ϕ1 = V

(1.13)

U posebnom slučaju, kad su izvorišna i odredišna točka iste, tj. kad je
krivulja puta zatvorena, krivuljni integral vektora E po bilo kakvoj zatvorenoj
krivulji imat će vrijednost nula:

20

Elektrostatika
________________________________________________________________________

∫E

s

⋅ ds = 0

(1.14)

Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika
potencijala između dviju točaka jednaka nuli), ne troši se (niti dobiva) rad. Linije
istog potencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije (slika 1-11).

Slika 1-11 Ekvipotencijalne linije

S obzirom da je prostiranje električnog polja trodimenzionalano, govorimo o
ekvipotencijalnim plohama. Budući da za gibanje naboja po ekvipotencijalnoj
plohi nije potreban rad, vektori jakosti električnog polja (električne silnice)
okomiti su na ekvipotencijalne plohe.

1.4. Električni kapacitet
Priključimo li pločaste elektrode na električki izvor (npr. na bateriju ili
akumulator), na njima će se pod utjecajem napona izvora razdvojiti jednake
količine naboja suprotnog predznaka, koji će u dielektriku među pločama stvoriti
električno polje.
Odspojimo li potom elektrode od izvora, razdvojeni naboji ostat će i dalje na
pločama vezani međusobno električnom silom, a odvojeni dielektrikom u kojem
stvaraju električno polje.
Na taj način, u ovom sustavu vodljivih elektroda razdvojenih dielektrikom,
može se pohraniti električni naboj. Količina pohranjenog naboja Q pritom je
razmjerna naponu V između elektroda.
To znači da je za određeni sustav elektroda (i vrstu dielektrika) stalan omjer
pohranjenog naboja Q i napona V između elektroda. Taj omjer naziva se
električni kapacitet sustava. Oznaka kapaciteta je C, a jedinica je farad (F).

C=

Q
V

Kapacitet pokazuje sposobnost tijela
pohranjuje naboj. To sad možemo izvesti.

(1.15)
da

se

pod

utjecajem

napona

Između pločastih, različito nabijenih elektroda, paralelno razmaknutih za
udaljenost d, jakost električnog polja može se odrediti s pomoću izraza:

21

_______________________________________________________________________________

Es = −

dϕ
ds

(1.16)

Kako je polje homogeno, svuda konstantnog iznosa, može se uzeti da je
ds=d, a dφ = φa - φb = V, pa slijedi da je jakost polja unutar elektroda jednaka:

E=

V
[V / m]
d

(1.17)

Na slici 1-12 vidi se homogeno polje unutar elektroda i potencijal svake
točke između njih. Rad utrošen u pomaku pozitivnog naboja iz točke M1 u točku
M2 bit će:

W = Q ⋅ ϕ1 − Q ⋅ ϕ 2 = Q (ϕ1 − ϕ 2 ) = Q ⋅ V12

(1.18)

Treba uočiti da je φ1<φ2, pa je V12<0, što daje negativan rezultat: rad je
utrošen, a ne dobiven pomicanjem pozitivnog naboja.
d
→

−Q

+Q

E

Q

V
V2

V1

M1

M2

l

Slika 1-12 Električno polje i potencijal kondenzatora

1.5. Kondenzator
Pločaste elektrode između kojih se nalazi izolator tvore kondenzator. Izvedbe
kondenzatora razlikuju se s obzirom na oblik elektroda (pločasti, cilindrični,
kuglasti...) i vrstu izolatora (zračni, keramički, elektrolitski, ...).

22

Elektrostatika
________________________________________________________________________
Ako se kondenzator priključi na izvor napona V, naboj iz izvora strujat će
prema elektrodama dok se između njih ne uspostavi isti napon. Taj proces
zovemo nabijanje kondenzatora. Na svakoj elektrodi naći će se jednaka količina
naboja, samo suprotnog predznaka. Izolator između elektroda spriječava da se
naboji ponište.
Polazeći od površinske gustoće naboja na pločama D=Q/A (izraz 1.6) i
njezine veze s jakošću električnog polja D=ε·E (izraz 1.3), te odnosa jakosti polja s
primijenjenim naponom E=V/d (izraz 1.17), slijedi:

Q = D⋅ A = ε ⋅E⋅ A = ε

V
A
A = ε V = C ⋅V
d
d

(1.19)

Konstanta C zove se kapacitet kondenzatora, i ona za pločasti kondenzator,
kako se vidi iz izraza (2.27) ovisi o površini ploča, razmaku ploča i dielektriku.
Kapacitet se mjeri u faradima F [As/V], a realne izvedbe kondenzatora
imaju kapacitete u iznosima μF (10-6F), nF (10-9F) i pF(10-12F).
S obzirom na stalnost kapaciteta razlikuju se nepromjenljivi i promjenljivi
kondenzatori. Simboli kondenzatora prikazani su na slici 1-13.

a) stalnog kapaciteta

b) promjenljivog

c) elektrolitski

Slika 1-13 Simboli kondenzatora

Osnovna obilježja kondenzatora su:
•

nazivni kapacitet Cn u [F],

•

tolerancija (dopušteno odstupanje od Cn ) u postocima,

•

dopušteno temperaturno područje u °C,

•

nazivni radni napon [V] i napon proboja.

Vrijednosti kapaciteta standardizirane su u nizove.

1.5.1.

Spojevi kondenzatora

Ako su u praksi potrebni kapaciteti čija vrijednost se ne nalazi u nizu
raspoloživih, moguće je različitim spajanjem više kondenzatora postići željenu
vrijednost kapaciteta. Spajanje dvaju kondenzatora moguće je na dva osnovna
načina: serijski i paralelno. Složeni ili mješoviti spojevi dobiju se kombinacijom
osnovnih načina s tri i više kondenzatora.

23

_______________________________________________________________________________
Serijski spoj postiže se tako da se jedna stezaljka kondenzatora (jedna
elektroda) spoji s jednom stezaljkom drugog, a paralelni da se međusobno povežu
obje stezaljke. Paralelnim spajanjem kondenzatora povećava se kapacitet spoja, a
serijskim se smanjuje. S obzirom da kapacitet kondenzatora predstavlja vezu
dovedenog naboja i dobivenog napona na kondenzatoru, prema izrazu 1.20, za
razumijevanje spojeva kondenzatora potrebno je dva ili više kondenzatora spojiti
(priključiti) na izvor napona.

1.5.2.

Serijski spoj

Priključi li se serijski spoj triju kondenzatora na izvor napona V (slika 1-14),
lijeva ploča kondenzatora C1 i desna ploča kondenzatora C3 nabit će se u
kratkom vremenu nabojima istog iznosa i suprotnog predznaka.
Influencijom će se i na desnoj ploči kondenzatora C1, kao i na lijevoj ploči
kondenzatora C3, pojaviti jednak naboj, dakako suprotnog predznaka. Lijeva
ploča kondenzatora C2 osiromašena odlaskom negativnog naboja na desnu ploču
C1 postaje pozitivna, a njegova druga ploča s istog razloga negativna. Tako se
nakon nabijanja (prijelaznog procesa strujanja naboja) na svakom kondenzatoru
nalazi jednak iznos naboja, i to je ujedno ukupni naboj Qs serijskog spoja
doveden iz izvora napona V :

C1
+

−

C2
+

V1

−

V2

C3
+

−

V3

+ V −

Slika 1-14 Serijski spoj triju kondenzatora

Q1 = Q2 = Q3 = Qs

(1.20)

gdje je Qs očevidno onaj naboj kojim bi se i kondenzator ekvivalentnog kapaciteta
Cs nabio na isti napon izvora V, prema:

V = Vs =

Qs
Cs

(1.21)

Cs se naziva kapacitet serijskog spoja kondenzatora.
Ukupna razlika potencijala jednaka je zbroju pojedinačnih:

V = V1 + V2 + V3
Iz (1.20) mora i za svaki kondenzator vrijediti:

24

(1.22)

Elektrostatika
________________________________________________________________________

V1 =

Q
Q1
Q
V2 = 2 V3 = 3
C1
C2
C3

(1.23)

što zajedno s (1.21) i (1.22) daje za spoj na slici 1-14:

1
1
1
1
=
+
+
C s C1 C 2 C3

(1.24)

1
1
=∑
Cs
n Cn

(1.25)

odnosno općenito:

Kapacitet serijskog spoja dva kondenzatora prema (1.25) iznosi tako:

Cs =

C1C 2
C1 + C 2

(1.26)

C1
n

(1.27)

a za n jednakih kondenzatora C1 :

Cs =

1.5.3.

Paralelni spoj

Priključe li se dva ili više kondenzatora paralelno spojena na izvor napona
V, kao na slici 1-15, na svakom će od njih postojati isti napon:

V = V1 = V2 = V3

(1.28)

a naboj na pojedinom kondenzatoru ovisit će od veličine njegova kapaciteta.
Za pojedine kondenzatore vrijedi:

V

−

Q3 = C3 ⋅ V3

C1

(1.29)

+

+

+

Q2 = C2 ⋅ V2

+

Q1 = C1 ⋅ V1

C2

C3

Slika 1-15 Paralelni spoj kondenzatora

25

_______________________________________________________________________________
Za ekvivalentni kondenzator kapaciteta Cp bilo bi:

Qp = C p ⋅V
S obzirom
kondenzatora:

da

je

naboj

paralelnog

Q p = Q1 + Q2 + Q3

(1.30)
spoja

zbroja

naboja

pojedinih
(1.31)

iz izraza (1.28), (1.29) i (1.30) slijedi da ekvivalentni kapacitet Cp paralelno
spojenih kondenzatora jednak:

C p = C1 + C2 + C3

(1.32)

C p = ∑ Cn

(1.33)

odnosno općenito:
n

Za paralelni spoj n kondenzatora jednakog kapaciteta C, ekvivalentni Cp
jednak je:

C p = nC

1.5.4.

(1.34)

Mješoviti spoj

Paralelnim spajanjem povećava se ukupni kapacitet spoja, a serijskim
smanjuje. Kod serijskog spoja ukupni priključeni napon dijeli se na pojedine
kondenzatore, a kod paralelnog spoja je napon na svim kondenzatorima isti.
Ponekad je potrebno realizirati kapacitet čija vrijednost nije u standardiziranom
nizu. U tu svrhu koriste se različiti mješoviti spojevi, od kojih jedan prikazuje
slika 1-16.

26

Elektrostatika
________________________________________________________________________
C3

C2

C23
C1

C1

C5

C4

C45

V

C23 =
C1

V

C2 ⋅ C3
C2 + C3

C45 =

CP

C4 ⋅ C5
C4 + C5

C

V

V

C p = C23 + C45

C =

C1 ⋅ C p
C1 + C p

Slika 1-16 Mješoviti spoj kondenzatora

Mogu se ostvariti različite kombinacije. Ukupni kapacitet mješovitog spoja
dobije se postupnim određivanjem kapaciteta pojedinih paralelnih i serijskih
grupa. On može biti manji ili veći od kapaciteta pojedinog kondenzatora ili
pojedine skupine kondenzatora, već prema tome da li prevladava utjecaj serijskih
ili paralelnih skupina.

1.5.5.

Energija nabijenog kondenzatora

Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona V, kao na slici 1-17,
kondenzatoru se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala V među
pločama. Nakon određenog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem
Q=C·V, i poprimi napon izvora V.

27

_______________________________________________________________________________

Q
+

C
−

i

+

V

−

Slika 1-17 Nabijanje kondenzatora

Tijekom nabijanja kondenzatora porast naboja za dq uzrokuje porast
napona za dv, prema:

dq = C ⋅ dv

(1.35)

Malim slovima označuju se trenutne vrijednosti pojedinih veličina. Kod
gibanja naboja dq, električno polje prema izrazu (1.18) obavlja rad:

dW = v ⋅ dq = v ⋅ C ⋅ dv = C ⋅ v ⋅ dv

(1.36)

Ukupni obavljeni rad za vrijeme nabijanja kondenzatora je:
V

C V2
W = C ∫ v dv =
2
0

[J ]

(1.37)

S pomoću izraza (1.19) slijede još dva ekvivalentna izraza za energiju
nabijenog kondenzatora:

W=

CV 2 QV Q 2
=
=
2
2
2C

(1.38)

Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru između ploča
(elektroda), kao energija električnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, električno
polje u izolatoru se razgrađuje. Ta se energija oslobađa i može se pretvoriti u neki
drugi oblik energije: toplinsku, svjetlosnu ili opet u električnu. Pritom se nabijeni
kondenzator može izbiti u dužem ili kraćem vremenu. Srednja snaga kod
izbijanja, ako se odvija u kratkom vremenu, može biti velika. To se koristi kod
elektronskih bljeskalica, za paljenje stroboskopskih cijevi i sl. Kod pražnjenja u
zraku ili izolacijskoj tekućini mogu nastati iskre, pa se na tome zasniva i načelo
elektroerozijske obrade metala.
Da je energija u kondenzatoru lokalizirana u izolatoru kao energija
električnog polja, lako se vidi povezujući izraze (1.38), (1.19) i (1.17):

W=

CV 2
A 2
A 2 2 ε E2
ε E2
V =ε
E d =
A d=
Vol
=ε
2
2d
2d
2
2

gdje je: Vol - volumen kondenzatora.

28

(1.39)

Elektrostatika
________________________________________________________________________

1.5.6.

Prirodni kondenzator

Oblaci i zemlja se mogu usporediti s velikim kondenzatorom. Proces
isparavanja i kondenziranja vode u unutrašnjosti oblaka uzrokuje sudare između
kapljica vode i različitih čestica u oblacima (prašina, ioni, fotoni). U tim sudarima
elektroni izbijeni iz čestica čine negativan naboj, koji se nakuplja u podnožju
oblaka. Tako se podnožje oblaka može usporediti s negativnom pločom
kondenzatora. Taj naboj uzrokuje nakupljanje pozitivnog naboja na zemlji, koja
se zbog toga može usporediti s pozitivnom pločom kondenzatora.
Zrak između oblaka i zemlje postaje dielektrik prirodnog kondenzatora.
Električno polje između oblaka i zemlje može proizvesti ione i slobodne elektrone
u zraku. Razlika potencijala između oblaka i zemlje može postati tako velika da
se zračni dielektrik počinje raspadati. Ioni i slobodni elektroni omogućuju kratki
spoj (struju) između oblaka i zemlje. Tada se pojavljuju munje i svjetlost.

29

_______________________________________________________________________________

1.6. Appleti
1.6.1.

Električno polje naboja

Ovaj applet omogućuje promatranje električnog polja dobivenog različitim
kombinacijama pozitivnih i negativnih naboja. Žuti krug predstavlja pozitivni
naboj, a plavi krug negativni naboj. Bijele krivulje oko njih su ekvipotencijalne
linije (linije istog potencijala). Zelene strelice pokazuju vektore električnog polja.
Naboje možemo pomicati po ekranu pomoću miša.
Slijedi opis padajućeg izbornika:
SETUP – pruža mnogo mogućnosti, od kojih je ovog časa zanimljivo samo
električno polje naboja (pozitivnih i negativnih):
•

SINGLE CHARGE – jedan pozitivan naboj

•

DOUBLE CHARGE – dva pozitivna naboja

•

DIPOLE CHARGE – jedan pozitivan i jedan negativan naboj

MOUSE – određuje što će se događati lijevim click-om miša:
•

MOVE OBJECT – vući ćemo objekte po ekranu

•

DELETE OBJECT – brišemo objekte sa ekrana

•

ADD +DRAGGABLE CHARGE – dodajemo na ekran pozitivne naboje

•

ADD −DRAGGABLE CHARGE – dodajemo na ekran negativne naboje

•

CLEAR SQUARE – brišemo pozadinu

SHOW – određuje što će biti prikazano na ekranu:
•

•

30

SHOW ELECTRIC FIELD (E) – bit će prikazano električno polje
pomoću strelica. Strelice idu od tamno zelenih do svijetlozelenih,
zatim postaju bijele, kako polje postaje jače.
SHOW E LINES – bit će prikazane linije električnog polja. Boja linija
ide od tamno zelene do svijetlo zelene, zatim postaje bijela kako polje

Elektrostatika
________________________________________________________________________
postaje jače. Gustoća linija se skoro ne mijenja, pa ako nas zanima
jačina polja trebamo gledati boju linija, a ne njihovu gustoću.
•

ACCURACY – određuje točnost prikazivanja polja

Lijevim click-om na gumb CLEAR ALL brišemo cijeli ekran.
Biranjem opcije:
•

STOP CALCULATION – zaustavljamo računanje polja

•

ENABLE CURRENT – prikazan je tok struje

•

DRAW EQUIPOTENTIALS – prikazane su ekvipotencijalne linije (linije
istog potencijala)

Pomoću klizača:
•

RESOLUTION – podešavamo rezoluciju

•

BRIGHTNESS – podešavamo osvjetljenje

•

EQUIPOTENTIAL COUNT – podešavamo broj ekvipotencijalnih linija
bez obzira na osvjetljenje.

1.6.2.

Test naboj u električnom polju

Ovaj applet omogućuje promatranje djelovanja električnog polja na test
naboj. Električno polja može se stvoriti s jedinim ili dva naboja u različitim
kombinacijama polariteta i iznosa. Mogu se prikazati ekvipotencijalne plohe,
silnice i vektori polja. Click-om na restart/play započinje djelovanje polja,
animacija, na test naboj. Naboji se također mogu pomicati po ravnini.

31

_______________________________________________________________________________

1.6.3.

Elektroskop

Za model elektroskopa sastavljenog od dvije kuglice jednakih masa m i
naboja q, obješenih na klatno duljine L vrijede jednadžbe:

T ⋅ cos Θ = m ⋅ g

L

Θ

T

tan Θ ⋅ sin 2 Θ =
m, q

m⋅ g

Θ3 =

T ⋅ sin Θ = Fe =

k ⋅ q2
r2

r = 2 ⋅ L ⋅ sin Θ

k ⋅ q2
4 ⋅ m ⋅ g ⋅ L2

k ⋅ q2
4 ⋅ m ⋅ g ⋅ L2

Ovaj applet omogućuje animaciju elektroskopa za različite m, q i L.

1.6.4.

32

Kapacitet pločastog kondenzatora

Elektrostatika
________________________________________________________________________
Otvaranjem padajućeg izbornika (lijevi click):
•

DIELECTRIC
(dielektrik),
kondenzatora,

•

PLATE AREA ( površina ploča), biramo površinu ploča,

•

DISTANCE (udaljenost), biramo udaljenost između ploča

biramo

dielektrik

između

ploča

Za odabrane vrijednosti ε (dielektričnost), S (površina ploča) i d (udaljenost
ploča), dobit ćemo vrijednost kapaciteta kondenzatora (engl. capacitance).
ZAKLJUČAK: Povećanjem površine ploča, povećava se i kapacitet. Ako
povećavamo udaljenost među pločama , kapacitet se smanjuje. Dielektrik veće
dielektričnosti uzrokovat će i veći kapacitet. To znači da je kapacitet
proporcionalan dielektričnosti i površini ploča, a obrnuto proporcionalan
razmaku između ploča.

1.6.5.

Prirodni kondenzator

Skupljanjem (gomilanjem) pozitivnog naboja na zemlji i negativnog u
oblacima (atmosferi) dolazi do prirodnog izbijanja naboja (munje).

33

_______________________________________________________________________________

1.7. Zadaci
1. Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da im se
površine dodiruju. Pošto smo ih nabili nabojem 5·10-9 C, one su se otklonile tako
da međusobno zatvaraju kut 40°. Kolika je masa svake kuglice ako je udaljenost
od mjesta gdje je nit obješena do središta kuglice 20 cm?
Rješenje:

3.364·10-6

[kg]

2. Atom vodika ima jedan proton u jezgri i jedan elektron koji kruži oko jezgre.
Uz pretpostavku daje staza elektrona kružna, nađite: a) silu kojom međusobno
djeluju proton i elektron ako je razmak između tih dviju čestica 5.3·10-11 m, b)
linearnu brzinu elektrona.
Rješenje:

a) 8.202·10-8 [N]
b) 2.1844·106 [m/s]

3. Koliki rad moramo utrošiti da u električnom polju premjestimo naboj 10-9 C iz
jedne točke polja u drugu ako je razlika potencijala između tih točaka 200 V?
Rješenje:

2·10-7 [J]

4. Dva naboja Q1 = 1.5 ·10-9 C i Q2 = 6 ·10-8 C nalaze se u zraku i udaljeni su
međusobno za r = 70 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini između njih?
Rješenje:

2498 [N/C]

5. Dvije paralelne nabijene ploče svaka s površinom 1 m2 nalaze se u vakumu
udaljene 2 cm. Između točaka A i B postoji razlika potencijala 5 V.
a) koliki je napon između ploča,
b) koliki je iznos plošne gustoće na pločama,
c) koliki je iznos vektora električne indukcije u točki A, a koliki u točki B i
kojeg je smjera,
d) koliki je iznos energije po jedinici volumena među pločama,
e) ako naboj negativne ploče čine elektroni, a naboj pozitivne se sastoji u
manjku elektrona, kolika je razlika u broju elektrona na pločama.

−

+

A
34

5

B
10 m m

5

Elektrostatika
________________________________________________________________________
Rješenje:

a) 10 [V]
b) 4.427·10-9 [C/m^2]
c) D je neovisan o točki, iznosa D, smjer A→B
d) 1.101·10-6 [J/m^3]

e) 5.534·1010 [elektrona]

6. U homogeno električno polje jakosti 4 000 V/m uleti okomito na silnice polja
elektron brzinom 5.7·103 km/s.
a) Koliko će elektron skrenuti od svojega početnog smjera pošto u polju
prijeđe put od 8 cm?
b) Kakav oblik ima staza elektrona?
Rješenje:

a) 6.88 [cm]
b) parabola (horizontalni hitac)

7. Na istosmjerni izvor stalnog napona E serijski su spojeni kondenzatori C1=1μF
i C2=3 μF.
a) koliki je napon na C1 ako je na C2 napon E2=50 V,
b) koliki je napon izvora E,
c) kolika je energija pohranjena u spoju,
d) ako se paralelno kondenzatoru C1 doda još jedan istog kapaciteta, koliki će
napon biti na njemu,
e) koliki naboj sadrži tada C1?
Rješenje:

a)
b)
c)
d)
e)

150 [V]
200 [V]
15 [mJ]
120 [V]
1.2·10-4 [C]

8. Kondenzator kapaciteta 0.6 uF nabijemo na napon 200 V i zatim ga isključimo
s izvora napona. Zatim paralelno kondenzatoru priključimo drugi kondenzator
kapaciteta 0,4 uF. Odredi energiju iskre koja preskoči pri spajanju kondenzatora.
Rješenje:

a)

4.8

[m

35

2.0 ISTOSMJERNA STRUJA
Električnom strujom nazivamo usmjereno gibanje električnih naboja. Da bi
gibanje bilo moguće, nužna su dva uvjeta: postojanje slobodnog (pokretnog)
naboja i postojanje električnog polja.
Slobodan naboj je za različite tvari različit: u metalima i njihovim legurama
slobodni naboj čine elektroni, u elektrolitskim otopinama to su pozitivni i
negativni ioni, kod poluvodiča elektroni i šupljine, a kod plinova elektroni i ioni.
Zbog jednostavnosti prikaza i tumačenja promatrat će se u nastavku djelovanje
električnog polja na metalne vodiče, a struji u elektrolitskim otopinama i
plinovima posvetit će se posebna potpoglavlja.
Električno polje je vektor, pa osim inteziteta (sile na naboj) ima i smjer. Ako
se smjer električnog polja ne mijenja, ne mijenja se ni smjer gibanja naboja u
vodiču, pa odatle naziv istosmjerna struja. Ako se uz to ni jakost polja ne mijenja,
onda je struja stalna ili konstantna istosmjerna struja.
U praktičnoj primjeni izvori konstantnog električnog polja najčešće su
elektrokemijski izvori (ili galvanski elementi), tj. različite vrste baterija i
akumulatora. Takvi izvori pretvaraju kemijsku energiju u električnu i pritom na
svojim stezaljkama osiguravaju stalnu razliku potencijala. Svi slobodni elektroni
unutar metalnog vodiča konstantnog presjeka spojenog na takav izvor bit će
izloženi djelovanju sile iste jakosti i smjera, pa će kroz sve paralelne presjeke
vodiča istodobno proći isti broj elektrona. Brzina gibanja pojedinačnog naboja
mnogo je manja od brzine širenja električnog efekta: iako žarulja u New Yorku
spojena preko transatlanskog kabela zasvijetli gotovo istodobno s uključenjem
izvora u Zagrebu, elektroni kroz to vrijeme prođu neznatan put.
Smjer istosmjerne struje jednak je smjeru električnog polja, dakle suprotan
je smjeru gibanja elektrona.
Gibanje naboja ima za posljedicu nekoliko različitih učinaka: zagrijavanje
vodiča (Jouleov efekt), stvaranje magnetskog polja u njegovu okolišu, prijenos
tvari u elektrolitičkim otopinama, te emitiranje zračenja pri vođenju u plinu.
Ponekad štetne, sve te pojave praktično su iskorištene u velikom broju trošila,
uređaja i procesa.

2.1

Električni napon

Energija koju tijelo ima zbog svojeg naboja nazivamo električna potencijalna
energija (W). Omjer te energije i veličine naboja u nekoj točki je stalan i
predstavlja svojstvo pojedine točke električnog polja, koje nazivamo električni
potencijal.
Električni potencijal (prema izrazu 1.10) označavamo sa ϕ, a jedinica mu je
volt (V).

ϕ=

W
Q

(2.1)

Razlika potencijala između dvije točke naziva se napon. Napon između
točaka B i A, VBA , je pozitivan ako je točka B na većem potencijalu od točke A, a

_______________________________________________________________________________
negativan je ako je obrnuto. Za uspostavljanje električnog napona treba razdvojiti
raznoimene naboje, a za to je potrebno uložiti rad, tj. utrošiti energiju.
Pozitivni i negativni naboji se razdvajaju u izvorima električnog napona.
Zbog toga se priključnice napona označavaju sa „+“ i „−“ i nazivaju se polovi
naponskog izvora. Instrument za mjerenje napona zove se voltmetar.
Napone dijelimo na istosmjerne i izmjenične. Istosmjerni napon stalnog je
polariteta, a kod izmjeničnog, polaritet se izmjenično mijenja.

2.2

Električni izvori

Električni izvor je uređaj koji na svojim stezaljkama trajno održava razliku
potencijala kako bi mogao davati struju priključenom trošilu.
Trošilo će u načelu obavljati neki koristan rad. Izvor ima zadatak pretvoriti
jedan oblik energije (mehaničku, kemijsku, toplinsku i sl.) u električnu, dok
trošilo radi obrnut postupak. S obzirom na vrstu i način pretvorbe jednog oblika
energije u drugi, najvažniji tipovi električnih izvora su :
Kemijski električni izvori: pretvaraju kemijsku energiju u električnu. Takav
izvor se (nazvan galvanski element u čast L. Galvaniu) sastoji u načelu od dviju
elektroda i elektrolita. Na elektrodama se pojavljuje napon kao posljedica
kemijskog procesa u kojem sudjeluju tvari od kojih su elektrode napravljene i
elektrolitska otopina u koju su one uronjene. Razlikujemo primarne i
sekundarne elemente. Za razliku od primarnih, u sekundarnima je kemijski
proces reverzibilan, što znači da se električna energija dovedena iz drugog izvora
može u izvoru koji je "ispražnjen" opet povratiti u kemijsku.
Fotonaponski elementi: izvori koji djelovanjem vidljivog svjetla stvaraju
električni napon. Na temelju ponašanja poluvodiča kao osnovni materijal koristi
se silicij i galijev arsenid. Vrlo efikasnim smatraju se silicijevi fotonaponski
elementi, koji danas pretvaraju do 20 % dobivene svjetlosne energije u
električnu. Napon takvog fotoelementa iznosi do 0.6 V, a maksimalna postiziva
struja ovisi o materijalu, površini i tehnologiji. Solarni silicijevi elementi daju i do
180 W/m2 ovisno o svjetlosnom zračenju.
Termoelementi: izvori koji daju napon pretvorbom toplinske energije. U
načelu se za tu svrhu uzmu dvije žice različitog materijala i na jednom kraju
međusobno spoje. Ako se spojno mjesto izloži višoj temperaturi, onda se na
hladnijim krajevima javlja istosmjerni napon. Veličina tog napona ovisi o razlici
temperatura i vrsti upotrijebljenih materijala. Primjerice, kod para željezokonstantan dobiva se prosječno 52 μV/°C.
Generatori: strojevi koji mehaničku energiju (rotacija rotora) magnetskim
putem (indukcija) pretvaraju u (izmjenični) napon. Daleko najveći dio električne
energije dobiva se danas putem generatora. Istosmjerni se napon lako dobiva iz
izmjeničnog s pomoću ispravljača.
Nuklearni izvori : atomska se energija složenim postupkom preko toplinske i
mehaničke putem generatora (atomske centrale) pretvara u električnu energiju.
Ekonomični i neopasni izvori s izravnim pretvaranjem nuklearne energije u
električnu još se očekuju.
Električne izvore dijelimo na naponske i strujne. Zadatak naponskog izvora
je da na svojim stezaljkama (vanjskim priključnicama) daje konstantan napon, a

38

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________
strujnog izvora da daje konstantnu struju, neovisno o opterećenju. Zbog
uobičajenog korištenja promatrat će se samo ponašanje realnog naponskog
izvora.
Istosmjerni naponski i strujni izvori u električnim shemama obilježavaju se
simbolom kao na slici 2-1. Elektroda na višem potencijalu označuje se oznakom
"+". Označi li se u spojnoj električnoj shemi jedna točka s oznakom "a", a druga s
oznakom "b" (to mogu biti i elektrode, tzv. stezaljke izvora), onda je napon između
točaka "a" i "b" jednak razlici potencijala "a" i "b", pa se dogovorno

E

+

I

a) naponski

b) strujni
Slika 2-1 Istosmjerni izvori

označuje indeksima:

Vab = Va − Vb

(2.2)

Ako je algebarski iznos Vab pozitivan, onda je točka koja odgovara prvom
indeksu (a) pozitivna, odnosno, nalazi se na višem potencijalu od točke drugog
indeksa (b). Za slučaj negativnog iznosa V točka "b" ima viši potencijal od točke
"a". Dobro je uočiti da je Vab=-Vba.

a
+

a

I

I

Vab > 0

Vab < 0

b

+
b

Slika 2-2 Označavanje naponskih i strujnih veličina

Uvedenim označivanjem potencijala određen je i smjer struje koja u
strujnom krugu s takvim izvorom teče izvan izvora. Smjer struje izvan izvora
poklapa se s orijentacijom od točke višeg prema točki nižeg potencijala i u
spojnim shemama najčešće se označuje strelicom (slika 2-2).

39

_______________________________________________________________________________

2.3

Električna struja

Među raznoimenim nabojima, razdvojenim na priključnicama izvora, vlada
privlačna sila. Ako se priključnice izvora vodljivo spoje, između naboja se
uspostavi vodljivi put, kroz koji nastaje gibanje naboja, koje nazivamo električna
struja.
Električna struja je usmjereno gibanje naboja. Uzrok struje je napon. Kao
dogovorni smjer struje uzima se smjer kojim bi se gibali pozitivni naboji.
Glavna značajka električne struje je njena jakost. Jakost struje jednaka je
količini naboja koja prođe presjekom vodiča u jednoj sekundi. Oznaka za jakost
struje je I, a mjerna jedinica je amper (A). Jakost električne struje skalarna je
veličina definirana kao količina naboja koja prođe kroz jedinicu površine u
jedinici vremena. Trenutna vrijednost jakosti struje opisana je izrazom:

i=

dQ
dt

(2.3)

gdje je dQ diferencijal (djelić) naboja, a dt diferencijal vremena. Za stalnu
istosmjernu struju izraz (2.3) postaje:

I=

Q
t

(2.4)

Instrument za mjerenje jakosti struje zove se ampermetar. Kao i napone,
struje dijelimo na istosmjerne i izmjenične. Istosmjerna struja teče stalno istim
smjerom, dok se kod izmjenične struje smjer s vremenom periodički mijenja.
Gustoća struje definirana je kao kvocijent iznosa struje i površine okomitog
presjeka kroz koji teče:

J=

2.4

I
A

[A / m ]
2

(2.5)

Električni otpor

Pri toku struje kroz metalnu žicu (vodič) slobodni elektroni nailaze na
atome, koji zbog topline titraju oko svojih ravnotežnih položaja u kristalnoj
rešetki metala. Možemo zamisliti da atomi tako priječe slobodni put elektronima,
što se očituje kao opiranje tvari protoku električne struje.
Općenito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja, koja se
nazivaju električni radni otpor (kraće električni otpor ili samo otpor). Oznaka za
električni otpor je R, a jedinica Ω.
Otpor vodiča proporcionalan je duljini vodiča l, a obrnuto proporcionalan
njegovu presjeku A. Faktor proporcionalnosti različit je za pojedini materijal i
predstavlja svojstvo tvari koje se naziva otpornost (ili specifični otpor) i označava
sa ρ.
Prema tomu, otpor vodiča računa se kao:

40

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________

R=ρ

l
A

(2.6)

Recipročna vrijednost otpora zove se vodljivost i označuje sa G:

G=

1 1 A
A
= ⋅ =γ
R ρ l
l

(2.7)

Gdje je specifična vodljivost:

γ=

1

ρ

[S / m].

(2.8)

Specifični otpor ρ ima jedinicu Ω·m, a zbog čestog izražavanja presjeka
vodiča u mm2 i duljine u m koristi se i Ω·mm2/m.
Jedinica električnog otpora je om (Ω), a električne vodljivosti simens (S).
Simbol i oznaka električnog otpora prikazan je na slici 2-3.

R

Slika 2-3 Simbol i oznaka električnog otpora

2.4.1 Promjena otpora s temperaturom
Povećanje temperature metalnih vodiča izaziva veću amplitudu titranja
kristalne rešetke. To uvjetuje povećanje broja sudara slobodnih elektrona i
smanjenje gustoće struje, jer se smanjuje njihova rezultantna brzina. Pad jakosti
struje uz isti napon odgovara povećanju otpora . Dakle, otpor vodiča se kod
većine materijala povećanjem temperature povećava:

Rϑ = R20 + ΔR

(2.9)

gdje su:
•

R20 - vrijednost otpora kod sobne temperature (20°C),

•

ΔR - povećanje otpora s porastom temperature,

•

Rϑ - nova vrijednost otpora na temperaturi ϑ.

Prirast otpora ovisi o materijalu (temperaturni koeficijent otpora α[1/°C]),
o
prirastu temperature ( Δϑ = ϑ − 20 C ) i početnoj vrijednosti otpora R20 :

ΔR = α Δϑ R20

(2.10)

41

_______________________________________________________________________________
Naziv
Aluminij
Bakar (mek)
Bronca
Kositar
Mjed
Nikal
Olovo
Srebro
Željezo
Živa
Cekas
Kanthal
Manganin
Konstantan

ρ[Ω mm2/m]
0,0270
0,0172
0,0278
0,115
0,075
0,09
0,208
0,0163
0,098
0,958
1,11
1,45
0,48
0,49

Oznaka
Al
Cu
Bc
Sn
Mj
Ni
Pb
Ag
Fe
Hg

γ[Sm/mm2]
37
58
35,8
8,6
13,3
11
4,8
61,4
10,1
1,04
0,93
0,7
2,14
2,1

α[1/C0]
0,0040
0,0039
0,004
0,0042
0,0016
0,006
0,0043
0,0041
0,0065
0,0009
0,00019
0,000032
0,000015
0,00005

Tablica 2.1. Električna svojstva metalnih vodiča
Tablica 2.1. pokazuje metale i metalne legure s njihovim specifičnim
otporom, specifičnom vodljivosti i temperaturnim koeficijentima.
Uvrsti li se izraz (2.10) u izraz (2.9) dobiva se:

Rϑ = R20 (1 + α Δϑ ) =

ρl
A

[1 + α (ϑ − 20)]

(2.11)

Lako se iz ovog izraza vidi da se kod pozitivnog a smanjivanjem temerature
kod istog materijala smanjuje i njegov otpor, tj. da je za temperature manje od
20°C otpor Rϑ manji od R20 .
Treba napomenuti da je temperaturni koeficijent α konstantan samo za
uski temperaturni opseg. Za točniju temperaturnu ovisnost linearni model nije
dovoljan, pa se proširuje s kvadratičnim koeficijetnom β i početak izraza (2.11)
postaje:

(

Rϑ = R20 1 + α Δϑ + β [Δϑ ]

2

)

(2.12)

Zanimljivo bi bilo izračunati kod koje temperature otpor vodiča postaje
jednak nuli. Iz izraza (2.11) uz pretpostavku konstantnog α slijedi:

R20 ⎡1 + α (ϑ − 20 ) ⎤ = 0,
⎣
⎦

(2.13)

pa je

⎛1
⎞
− 20 ⎟
⎝α
⎠

ϑ = −⎜

(2.14)

Primjer: Za bakar (α=0,00392) iz izraza (2.14) slijedi ϑ=-235,14°C. Međutim,
mjerenja pokazuju da bezotporno stanje, tzv. supravodljivost, nastaje tek na
temperaturama oko apsolutne nule (0K = -273,15°C). To ujedno potvrđuje da
ovisnost R=f(ϑ) nije linearna.

42

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________
Veza otpora i temperature može se prikazati dijagramom kao na slici 2-4.
Pri stanovitoj kritičnoj temperaturi ϑK (koja je, na primjer, za živu 4,12 K,
aluminij 1,14 K, cink 0,79 K) otpor naglo pada i približno je jednak nuli.

R

Θ

ΘK

Slika 2-4. Ovisnost otpora i temperature

Pojava supravodljivosti za buduću elektrotehniku je od izuzetnog značenja.
Usmjereno gibanje naboja u takvoj okolini ne nailazi na prepreke, pa nema
toplinskih gubitaka.

2.5

Ohm-ov zakon

Jakost struje kroz otpornik ovisi samo o naponu na otporiniku i otporu
otpornika: raste s naponom V, a opada s porastom otpora R. To je Ohm-ov zakon,
koji napisan u obliku jednadžbe izgleda ovako:

I=

V
R

(2.15)

Ohm-ov zakon općenito se može iskazati ovako: u zatvorenom strujnom
krugu jakost struje I razmjerna je priključenom naponu V, a obrnuto razmjerna
otporu kruga R.

I
I1
I2
−V

a

b

α
V

−I

Slika 2-5 I=f(V) u metalnom vodiču

Jakost struje kroz vodič proporcionalna je naponu na krajevima vodiča, a
obrnuto proporcionalna otporu vodiča. Iz grafičkog prikaza tog zakona (slika 2-5)
zorno je predočena linearnost između napona, kao uzroka pojave, i njegove

43

_______________________________________________________________________________
posljedice, električne struje. I još nešto: električni otpor R u grafičkom prikazu
predočen je kutem α nacrtanog pravca, i jednak je kotangensu tog kuta. Za veći
otpor (pravac b) uz isti napon teče manja struja (I2<I1). Otpor vodiča može se
povećati (izraz 2.6) smanjenjem presjeka, povećanjem duljine vodiča ili uporabom
materijala većeg specifičnog otpora.
Iako pokazan na metalnom vodiču, Ohmov zakon nije ograničen
materijalom. U tablici 2-2. predočeni su iznosi veličina specifičnih otpora
različitih materijala pri sobnoj temperaturi, kako bi se što bolje istaknule podjele
materijala s obzirom na njihov specifični otpor.

1,7 ⋅10 −8

aluminij

2,9 ⋅10 −8
1,0 ⋅10 −7

konstantan

5,0 ⋅10 −7

germanij

6,0 ⋅10 −6

silicij

2,3 ⋅10 −2

staklo
izolatori

1,6 ⋅10 −8

željezo

poluvodiči

ρ [Ω m]

bakar
vodiči

Materijal
srebro

Tip

1010 do 1014

teflon

1013
1015

kvarc
Tablica 2-2. Specifični otpori različitih materijala

2.6

Kirchhoff-ovi zakoni

Spajanjem dvaju ili više električnih elemenata dobiva se električna mreža.
Teorijsko proučavanje električnih mreža temelji se na teoriji grafova, jer se svaka
realna električna mreža može predočiti grafom. Osnovni elementi grafa su grane i
čvorišta. Svaka grana ima dva čvorišta. Realni električni elementi koji se ovdje
spominju (otpornik, kondenzator, zavojnica, izvor) imaju po dvije stezaljke ili
priključnice. Stezaljkama odgovaraju čvorišta grafa, a elementi se označuju
odgovarajućim simbolima u granama.
Opisani jednostavni strujni krug je također električna mreža, i to s dvije
grane i dva čvorišta. U jednoj grani je simbol naponskog izvora, a u drugoj,
paralelno spojenoj, simbol otpornika.
U električnim mrežama vrijede tri zakona. Prva dva se zovu Kirchhoff-ovi
zakoni i izriču strujno-naponske prilike u mreži. Pritom je bitno samo kako su
elementi međusobno spojeni (topologija mreže), a nije bitan karakter (vrsta)
elemenata. Treći zakon definira odnos struje i napona u pojedinoj grani, što
dakako ovisi o vrsti elementa. Za otpor je ovaj odnos već izrečen u obliku Ohmova zakona.

44

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________

2.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon
Budući da je električna mreža izoliran sustav, iz zakona o očuvanju materije
može se zaključiti, a eksperimentalno potvrditi, da je zbroj jakosti struja koji u
bilo koje čvorište ulaze jednak zbroju jakosti struja koje iz tog čvorišta izlaze.
Ulazak struje u čvorište razlikuje se po predznaku od izlaska struje iz čvorišta. To
znači da se u strujnom krugu ne može pojaviti točka (čvorište) u kojoj bi se naboj
gomilao, nestajao ili stvarao.
Općenito, za svaku točku dijeljenja struje vrijedi: zbroj struja koje ulaze u
točku (čvorište mreže) jednak je zbroju struja koje iz te točke (čvorišta) izlaze.
Prvi Kirchhoff-ov zakon izražen jednadžbom, za bilo koje čvorište mreže,
dakle glasi:
n

∑I
i =1

i

=0

(2.16)

gdje je n broj grana spojenih u promatrano čvorište.
Ako imamo neko čvorište u koje ulazi struja I, a iz tog čvorišta izlaze struje
I1, I2 i I3, onda vrijedi:

I = I1 + I 2 + I 3

(2.17)

Prebacimo li sve struje na lijevu stranu gornje jednadžbe dobivamo sljedeći
izraz:

I − I1 − I 2 − I 3 = 0

(2.18)

S lijeva strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) sve struje iz
promatranog čvorišta. Pozitivan predznak pritom imaju struje koje ulaze u
čvorište, a negativan predznak imaju one struje koje iz čvorišta izlaze.
To vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo
koje čvorište s bilo kojim brojem grana. Kada algebarski zbrojimo pojedine struje
Ii u svim granama promatranog čvorišta (ulazne s pozitivnim, a izlazne s
negativnim predznakom, ili obratno), rezultat mora biti nula.
Ovo je lako objasniti imajući u vidu da električna struja pretstavlja protok
naboja u vremenu. Koliko naboja uđe u neku točku, toliko mora iz nje i izaći.
Primjer: Za čvor na slici 2-6. po I. Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi:

I1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5
I1 + I 2 + I 3 − I 4 − I 5 = 0

45

_______________________________________________________________________________

I2

I4
I1

I5
I3

Slika 2-6. I Kirchhoff-ov zakon

Ako je mjerenjem utvrđeno da su I1=I2=I3=2A, a I4=1A, onda se sigurno zna
(nesigurni neka provjere), da je I5=5A.
Ako je uz iste vrijednosti struja I1, I2 i I3 izmjereno I4=10 A, znači da je I5=4A,
ali ovog puta suprotnog smjera (struja I5 utječe u čvorište).

2.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon
Drugi Kirchhoff-ov zakon odnosi se na naponske prilike u mreži. Put kojim
se iz bilo kojeg čvorišta, idući po uvijek novim granama mreže, dođe u isto
čvorište, zove se petlja. Drugi Kirchhoffov zakon izriče da je zbroj napona u bilo
kojoj petlji u električnoj mreži jednak nuli. Budući da je napon u svakoj grani
mreže razlika potencijala dvaju njezinih čvorišta, taj zakon ne govori ništa drugo,
nego već poznati izraz (1.15) iz elektrostatike, primijenjen na prilike u električnoj
mreži.
Zakon se obično formulira u sljedećem obliku:
n

m

i =1

i =1

∑ Ei = ∑ I i Ri

(2.19)

gdje je:
• n - broj električnih izvora u promatranoj petlji, a
• m - broj otpora u ostalim granama iste petlje.
U serijskom krugu ukupni napon izvora jednak je ukupnom zbroju napona
na otporima.
Ako u strujnom krugu imamo izvor napona E, i dva otpora na kojima su
padovi napona V1 i V2 vrijedi

E = V1 + V2

(2.20)

Prebacimo li sve napone na jednu stranu gornje jednadžbe, dobivamo
sljedeći izraz:

46

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________

E − V1 − V2 = 0

(2.21)

S lijeve strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) svi naponi iz
promatrane petlje, što potvrđuje opći oblik da je algebarski zbroj napona uzduž
(zatvorene) petlje električnog kruga jednak nuli, tj.
n

m

i =1

i =1

∑ Ei − ∑Vi = 0

(2.22)

Ovo vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati
bilo koju zatvorenu putanju (petlju) i obići je zbrajajući algebarski pojedine
napone Vi svakog električnog elementa na tom putu. Rezultat uvijek mora biti
nula.
To je lako objasniti gledamo li napon kao razliku potencijala: iz koje god
točke kruga započeli obilazak, na kraju se vratimo na istu točku, a to znači na
isti potencijal.

2.7

Spajanje električnog otpora u strujnom krugu

U bilo kojem dijelu strujnog kruga dva otpornika mogu biti međusobno
spojena samo na dva načina: serijski ili paralelno. Kombinacijom tih načina
dobivaju se različite složene sheme. Pri rješavanju odnosa u strujnim krugovima
česta je potreba da se spoj s više otpora zamijeni ili izrazi ekvivalentnim otporom.
Sljedeći primjeri, osim rješavanja tog zadatka, pokazuju i tehniku rješavanja
električnih mreža, koristeći Ohm-ov zakon i Kirchhoff-ove zakone.

2.7.1 Serijski spoj otpora
Neka se spoje serijski dva otpornika u strujni krug, kao što prikazuje slika
2-7. Po I Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi da je struja kroz oba otpora ista (slika 27. a) :

I1 = I 2 = I

(2.23)

a po II. Kirchhoff-ovom zakonu da je:

V = V1 + V2 = I1 R1 + I 2 R2

I1 +

R1

I2 +

R2

(2.24)

I

+

RS

I
V

V

a) dva serijski spojena otpornika
b) ekvivalentni nadomjesni spoj
Slika 2-7 Serijski spoj otpornika

47

_______________________________________________________________________________
Za ekvivalentni strujni krug (slika 2-7.b)) u kojem pod djelovanjem iste EMS
(elektromotorne sile, naponskog izvora E) teče ista struja I kao u a) slučaju,
vrijedi:

V = IRs

(2.25)

Povežu li se sva tri izraza: (2.23), (2.24) i (2.25) dobiva se:

IRs = IR1 + IR2

(2.26)

Rs = R1 + R2

(2.27)

odnosno:

Za više serijski spojenih otpora, razmatranje bi bilo analogno, pa se može
zaključiti: ekvivalentni otpor serijski spojenih otpora jednak je njihovu zbroju:
n

Rs = ∑ Ri

(2.28)

i =1

Kroz serijski spojene elemente teče ista struja. Zbog toga se ampermetar
uvijek spaja serijski. Općenito, za serijski spoj raznih otpora omjer napona
dobiva se iz uvjeta jednakosti struja

I = I1 = I 2
V1 V2
=
R1 R2

(2.29)

iz čega proizlazi:

V1 R1
=
V2 R2

(2.30)

Na serijskom spoju otpora napon se dakle, dijeli u omjeru veličina otpora.
Ako mijenjamo serijski spojene otpore u strujnom krugu, zbroj padova
napona na otporima neće se promijeniti i bit će uvijek jednak ukupnom naponu
izvora.
Kod serijskog spoja n jednakih otpora, ukupni otpor je n puta veći od
pojedinog otpora u spoju. Priključak na izvor serijskog spoja otpora opterećuje
izvor isto tako kao jedan otpor koji bi bio jednak ukupnom otporu tog serijskog
spoja.

2.7.2 Paralelni spoj otpora
Paralelno spojeni otpori imaju isti napon, jer imaju zajednička čvorišta

48

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________
I

I

I1
+

+

R1

I2

+

R2

+
+

Rp

Slika 2-8 Paralelni spoj otpornika
a) dva paralelno spojena otpornika
b) ekvivalentni nadomjesni spoj

Ako u strujnom krugu imamo dva paralelno spojena otpora R1 i R2, naponi
na njima V1 i V2, bit će jednaki

V1 = V2

(2.31)

Iz Ohmovog zakona (2.15) slijedi:

I1 R1 = I 2 R2

(2.32)

Iz ovoga proizlazi sljedeći odnos struja kroz paralelno spojene otpore

I1 R1 G2
= =
I 2 R2 G1

(2.33)

gdje su G1 i G2 vodljivosti.
Struja se dijeli na paralelne grane električnog kruga tako da se jakosti
struja u granama odnose obrnuto razmjerno otporima grana, to jest upravo
razmjerno vodljivostima grana.
Ovo znači da u paralelnom spoju otpora jača struja teče kroz manji otpor.
U krajnjem slučaju, kad bismo paralelno nekom otporu imali kratki spoj
(otpor jednak nuli) tad bi sva struja tekla kroz kratki spoj.
Ako imamo strujni krug sa izvorom napona V i dva paralelno spojena otpora
R1 i R2, vrijedi Kirchhoff-ova jednadžba za struje (2.16)

I = I1 + I 2

(2.34)

Dijeljenjem obje strane jednadžbe s naponom izvora dobivamo

I I1 I 2
= +
V V V

(2.35)

Omjer struje i napona jednak je recipročnoj vrijednosti otpora ili električnoj
vodljivosti G.
Na desnoj strani jednadžbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok
lijeva strana (omjer struje i napona izvora) pretstavlja ukupnu vodljivost kruga,
što se može napisati kao:

G p = G1 + G2

(2.36)

49

_______________________________________________________________________________
Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti
paralelnih grana.
Za više paralelno spojenih otpora razmatranje bi bilo analogno, pa se može
zaključiti: ekvivalentna vodljivost (vidi 2.7) paralelno spojenih otpornika jednaka
je zbroju njihovih pojedinačnih vodljivosti:
n

G p = ∑ Gi

(2.37)

n
1
1
=∑
R p i =1 Ri

(2.38)

i =1

odnosno

što se može raspisati za otpor Ruk paralelnog spoja n otpora: R1, R2, do Rn:

1
1 1
1
= + + ... +
Ruk R1 R2
Rn

(2.39)

Na temelju ove jednadžbe (2.39), ukupni otpor dvaju paralelno spojenih
otpora R1 i R2, računa se kao

Ruk =

R1 ⋅ R2
R1 + R2

(2.40)

Iz jednadžbe za vodljivost (2.37) vidi se da povećanjem broja paralelno
spojenih otpora raste ukupna vodljivost, tj. smanjuje se ukupni otpor spoja.
Otpor paralelnog spoja n jednakih otpora R, n puta je manji od pojedinog
otpora, tj.

Ruk =

2.8

R
n

(2.41)

Električna struja u ioniziranom plinu

Dok je u metalnim vodičima struja moguća pod djelovanjem polja
zahvaljujući postojanju slobodnih elektrona, unaprijed nije sigurno da i u
plinovima ima slobodnih naboja. Na prvi pogled nisu jasne okolnosti pod kojima
struja nastaje i održava se u plinu. Također je problematično da li struja može
teći u vakuumu (plinu pri tlaku 0) ili ne. Intenzivno eksperimentiranje strujom u
plinu, već od sredine 19. stoljeća, dovelo je do spoznaja koje se mogu sažeti u
nekoliko točaka:
1. Struja u plinu znači naboj u gibanju, za što su neophodni dakako
naboji i polje. Polje se održava vanjskim izvorom priključenim na
granice prostora s plinom (elektrode).
2. Pojava struje u plinu ovisi o porijeklu naboja. U prvom slučaju jedna
od elektroda (katoda) žarenjem isijava elektrone u plin (katodne
zrake), a druga elektroda (anoda) ih skuplja, a u drugom slučaju

50

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________
(hladna katoda), naboj se stvara ionizacijom atoma plina preko
stranog zračenja i/ili djelovanjem polja.
3. Na jakost struje u plinu, osim jakosti električnog polja utječe i vrsta
korištenog plina (helij, neon, argon, živine i litijeve pare itd.) i njegov
tlak. Plin vodi struju kod normalnog tlaka (oko 100 kPa), pri
razrijeđenom plinu (između 100 i 1000 Pa), te uz tehnički vakuum
(između 1 i 100 mPa). Dakako, idealni vakuum predstavlja savršen
izolator, koji to prestaje biti kada se u njega ubace, na primjer,
elektroni.
4. Povećanjem napona između elektroda raste brzina slobodnih naboja
u plinu. Oni sudarom s drugim česticama plina generiraju nove
slobodne ione i taj se učinak razvija poput lavine.
Na slici 2-9. prikazana je (V, I) karakteristika zraka za normalni tlak uz
razmak elektroda od 1 mm. Slijedi kratak opis pojedinih područja:
a) 0 - A : vrijedi Ohmov zakon - za veći napon imamo veću struju, premda
izuzetno male jakosti. Među 27ÿ1018 molekula po cm2 zraka postoji samo 100 do
1000 ioniziranih molekula.
b) A - B : područje zasićenja. Kinetička energija slobodnih elektrona tako je
mala da se poništava prilikom sudara s molekulama plina, pa porastom napona
ne raste jakost struje.
c) B - C : udarna ionizacija. Elektroni dobivaju povećanjem napona dovoljnu
energiju za ionizaciju plina, uslijed čega se broj nosilaca naboja (ioni i elektroni)
povećava. U točki C pojavljuje se tinjavi izboj - pojava svjetla između katode i
anode.

I [A]

D

1

10−3
10 −6
10−9

10−12
10 −15

C

B

A
10

102

103

V [V ]

Slika 2-9 (V,I) karakteristika električne struje u zraku

d) C - D : daljnjim povećanjem napona gustoća struje na katodi raste,
svjetlosni učinak se pojačava i u točki D dolazi do lučnog izboja. Za lučni izboj
karakteristične su velike gustoće struje (od 102 do 104 A/cm2 ) i smanjenje
napona na samo 15 do 55 V.
Premda pojedini efekti imaju štetan karakter, kao na primjer iskrenje na
kontaktima ili pojava korone na dalekovodima visokog napona, ipak električna
struja u plinu ima brojne primjene: različite svijetleće cijevi (područje C-D),
zavarivanje (iznad točke D), elektrofilter, elektrostatsko lakiranje i slično.

51

_______________________________________________________________________________

2.9

Elektrokemijske pojave

Kad se u vodi ili nekom otapalu otope molekule soli, kiseline ili lužine,
dolazi do dijeljenja neutralnih molekula na pozitivno i negativno nabijene ione.
Atomi vodika i metala predaju svoje valentne elektrone ostalom dijelu molekule
koja tako postaje negativni ion. Urone li se elektrode u takvu otopinu (elektrolit) i
na njih priključi istosmjerni napon dolazi do elektrolize. Pozitivna elektroda
(anoda) privući će k sebi negativne ione, dok će negativna elektroda (katoda)
privući pozitivne ione. Gibanje iona - molekula i/ili dijelova molekule znači
prijenos tvari prema elektrodama, na kojima su moguće i naknadne, sekundarne
kemijske reakcije.
Kao primjer može se promotriti proces elektrolize u vodenoj otopini srebrnog
nitrata AgNO3. Kao anoda koristi se srebrena pločica, a kao katoda neki metalni
predmet, na primjer od bakra (slika 2-10).

+A

−K

Ag

Cu

AgNO3

Ag

V
Slika 2-10 Proces elektrolize

Ioni srebra koji su predali svoje valentne elektrone kiselinskom ostatku NO3
postaju pozitivni, pa se talože na bakrenoj katodi, dok se NO3 lako spaja sa
srebrom anode,dajući opet AgNO3 u otopinu. Koncentracija soli AgNO3 ostaje
tako u otopini nepromijenjena i konačni rezultat je da se srebro s ploče,
posredstvom elektrolita i električne struje, prenijelo na katodu. To je jedan od
brojnih postupaka u galvanostegiji, gdje se na predmete zbog zaštite od korozije
ili estetskih razloga električnim putem nanosi sloj metala.

2.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize
Proučavajući elektrolitičke reakcije Faraday je uočio i formulirao dva
zakona. Prvi izriče da je količina izlučenih čestica materije na elektrodama ovisna
o vrsti tvari koja se izlučuje i količini protjecanog elektriciteta koji u elektrolizi
djeluje.
Ako sa m označimo masu izlučene tvari, a sa Q količinu elektriciteta, onda
vrijedi:

m=aQ

(2.42)

Faktor proporcionalnosti a nazvan je elektrokemijski ekvivalent i razlikuje se
za pojedine tvari. To znači da će za istu količinu elektriciteta količina izlučene
tvari za različite tvari biti različita. Kako je Q=I t , isti se izraz može napisati i kao:

52

Istosmjerna struja
________________________________________________________________________

m=aI t

(2.43)

Količina izlučene tvari na elektrodama proporcionalna je ukupnoj količini
elektriciteta koja je prošla kroz elektrolit. Pritom svaki ion u elektrolitu u sebi
nosi određenu količinu naboja (koja je za različite tvari različita, a za iste ista).
Drugi Faraday-ev zakon opisuje elektrokemijski ekvivalent elementa s
obzirom na njegovu atomsku strukturu, te međusobne odnose elektrokemijskih
ekvivalenata različitih kemijskih elemenata.
Ako se s A označi atomsku masa, a s v valencija, onda za dva kemijska
elementa vrijedi:

a1 : a2 =

A1 A2
:
v1 v2

(2.44)

To znači da se elektrokemijski ekvivalenti dvaju elemenata odnose kao
njihove ekvivalentne mase (omjer atomske mase i valencije). Drugim riječima:
ioni elemenata kojih je valencija dva, tri, četiri, ... puta veća u odnosu na vodik,
prenose dvostruku, trostruku, četverostruku, ... količinu naboja.
Iz izraza (2.44) slijedi još jedan zanimljiv rezultat:

A1
A
A
= 2 = ... =
= QF
a1v1 a2 v2
a⋅v

(2.45)

gdje je QF = 96.489ÿ106 As/kg (Faraday-eva konstanta).
Elektrokemijski ekvivalent nije neka empirijska konstanta proporcionalnosti,
kako bi se to iz izraza (2.42) moglo pomisliti, nego egzaktna veličina koja se za
svaki element može unaprijed izračunati (a=A/QFv). Tako se povezujući oba
izraza (I. Faraday-ev zakon (2.42) i II. Faraday-ev zakon (2.45)) za masu izlučene
tvari kao rezultat elektrolize dobije:

m=

A 1
1
A
⋅
⋅I t =
⋅ ⋅ Q [ kg ]
6
96.489 ⋅10 v
v QF

(2.46)

i time elektrolitički odnosi postaju potpuno određeni.

2.9.2 Primarni elementi
Do sada je bilo opisano ponašanje elektrolita pod djelovanjem električnog
napona priključenog na elektrode uronjene u elektrolit. Druga zanimljiva pojava
vezana je uz elektrolitsku polarizaciju koja se događa kad se u elektrolit urone
dvije elektrode različitog kemijskog sastava. Između takvih dviju elektroda, bez
vanjskog djelovanja, pojavit će se napon. Iznos napona osim o kemijskom
sastavu elektroda ovisi također i o elektrolitu. Tako su dobiveni prvi električni
izvori, nazvani galvanski elementi. Na istim načelima, uz stanovita poboljšanja u
veličini napona i vijeku trajanja, ti elementi nalaze svoju široku primjenu gotovo
već dva stoljeća. (Prvi element konstruirao je A.Volta 1800. godine.)
Ne ulazeći u kemijske promjene koje se pritom događaju vrijedno je
napomenuti da se izmjenom kemijskog sastava (kako elektroda tako i elektrolita)

53

Elektricitet i magnetizam

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Plus de smail hondo

Plus de smail hondo (20)

Elektricitet i magnetizam