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外積代数で読み解く平⾏体
~究極の関係式を追い求めて~
2018/08/11(Sat.) ロマンティック数学ナイト@渋⾕
東京⼤学 理科⼀類 ⼆年 内藤 壮俊
⾃⼰紹介
• 19歳。⼤学2年⽣。
• 趣味は数学(←⾃明)とプログラミング。
• 興味のある分野は線形代数。
• 好きな数字は1729と6174。
1
おしながき
• Part1: ⻘春の夢
• Part2: 外積代数に触れる
• Part3: 「⻘春の夢」の解釈
• Part4: (おまけ)実験コーナー
2
今回使う⾔葉
• 「ベクトル」:数の並びであり、有向線分な存在。
• 「平⾏体」:平⾏四辺形や平⾏六⾯体などの総称。
• 「平⾏体ベクトル」:⾮公式な造語です。。。
3
Part1:
⻘春の夢
4
⻘春の夢
	𝑛	次元ユークリッド空間における	𝑘	本のベクトルの組	𝑣%~𝑣'	に
対して、それらが張る平⾏体の体積は以下の関係式を満たすか。
5
⻘春の夢
	𝑛	次元ユークリッド空間における	𝑘	本のベクトルの組	𝑣%~𝑣'	に
対して、それらが張る平⾏体の体積は以下の関係式を満たすか。
𝑉)
= + det
𝑣%,01
𝑣),01
⋯ 𝑣',01
𝑣%,03
𝑣),03
⋯ 𝑣',03
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣%,05
𝑣),05
⋯ 𝑣',05
)
	
%6017⋯70568
6
⻘春の夢
	𝑛	次元ユークリッド空間における	𝑘	本のベクトルの組	𝑣%~𝑣'	に
対して、それらが張る平⾏体の体積は以下の関係式を満たすか。
𝑉)
= + det
𝑣%,01
𝑣),01
⋯ 𝑣',01
𝑣%,03
𝑣),03
⋯ 𝑣',03
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣%,05
𝑣),05
⋯ 𝑣',05
)
	
%6017⋯70568
ベクトル	𝑣%	の	𝑐%	番⽬の成分
考えうるすべての組み合わせに
ついて、⾜し合わせる
7
「⻘春の夢」の具体例(	𝑛 = 3, 𝑘 = 2	)
2本のベクトル	𝑣% =
1
0
2
, 𝑣) =
2
3
1
	の成す平⾏四辺形の⾯積
8
「⻘春の夢」の具体例(	𝑛 = 3, 𝑘 = 2	)
2本のベクトル	𝑣% =
1
0
2
, 𝑣) =
2
3
1
	の成す平⾏四辺形の⾯積
𝑆) = + det
𝑣%,01
𝑣),01
𝑣%,03
𝑣),03
)
	
%6017036?
=
1 2
0 3
)
+
1 2
2 1
)
+
0 3
2 1
)
= 3) + −3 ) + −6 ) = 54
9
「⻘春の夢」の具体例(	𝑛 = 3, 𝑘 = 2	)
2本のベクトル	𝑣% =
1
0
2
, 𝑣) =
2
3
1
	の成す平⾏四辺形の⾯積
𝑆) = + det
𝑣%,01
𝑣),01
𝑣%,03
𝑣),03
)
	
%6017036?
=
1 2
0 3
)
+
1 2
2 1
)
+
0 3
2 1
)
= 3) + −3 ) + −6 ) = 54
→外積ベクトルを使った⽅法と同じ!
10
「⻘春の夢」の命題を証明したい
11
「⻘春の夢」の命題を証明したい
• 本当は直接証明できたら最⾼なのだが、
(少なくとも⾃分は)上⼿くできなかった…
• それに、本当に正しいかもよく分からない…
12
「⻘春の夢」の命題を証明したい
• 本当は直接証明できたら最⾼なのだが、
(少なくとも⾃分は)上⼿くできなかった…
• それに、本当に正しいかもよく分からない…
何か別のものに置き換えられないか?
13
探しました。
14
ありました。
15
外積代数
16
Part2:
外積代数に触れる
17
外積代数のキホン
• 	∧	(くさび)の記号を使うウェッジ積は、以下の性質を満たす。
18
外積代数のキホン
• 	∧	(くさび)の記号を使うウェッジ積は、以下の性質を満たす。
• 結合則、分配則
𝑎𝑒% + 𝑏𝑒) ∧ 𝑐𝑒? + 𝑑𝑒J =
𝑎𝑐𝑒% ∧ 𝑒? + 𝑎𝑑𝑒% ∧ 𝑒J + 𝑏𝑐𝑒) ∧ 𝑒? + 𝑏𝑑𝑒) ∧ 𝑒J
• 交代性
𝑒K ∧ 𝑒L = −𝑒L ∧ 𝑒K ⟺ 𝑒K ∧ 𝑒K = 0
19
外積代数のキホン
• ベクトルは基底の⼀次結合に。ここでは1-ベクトルと呼ぶ。
ex) 𝑣% =
1
2
−1
	の場合、𝑣% = 𝑒% + 2𝑒) − 𝑒?
• [	𝑝	-ベクトル ]	∧	[	𝑞	-ベクトル ] = [	 𝑝 + 𝑞 	-ベクトル ]
• 	𝑛	次元空間における	𝑘	-ベクトルは	 8
'
	個の成分を持つ。
(	𝑛	個の基底から	𝑘	個選ぶ)
20
平⾏体に対応する外積代数
• 平⾏体を構成する	𝑘	本の1-ベクトルに対して、
これらをウェッジ積で繋げた	𝑘-ベクトルを考える。
• ここでは「平⾏体ベクトル」と呼ぶことにする。
21
ウェッジ積の計算例
𝑣% =
1
0
2
=	𝑒% + 2𝑒?												𝑣) =
2
3
1
= 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
22
ウェッジ積の計算例
𝑣% =
1
0
2
=	𝑒% + 2𝑒?												𝑣) =
2
3
1
= 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) = 𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
23
ウェッジ積の計算例
𝑣% =
1
0
2
=	𝑒% + 2𝑒?												𝑣) =
2
3
1
= 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) = 𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 2𝑒% ∧ 𝑒% + 3𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑒% ∧ 𝑒? + 4𝑒? ∧ 𝑒% + 6𝑒? ∧ 𝑒) + 2𝑒? ∧ 𝑒?
24
ウェッジ積の計算例
𝑣% =
1
0
2
=	𝑒% + 2𝑒?												𝑣) =
2
3
1
= 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) = 𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 2𝑒% ∧ 𝑒% + 3𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑒% ∧ 𝑒? + 4𝑒? ∧ 𝑒% + 6𝑒? ∧ 𝑒) + 2𝑒? ∧ 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑒% ∧ 𝑒? + −4 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
25
ウェッジ積の計算例
𝑣% =
1
0
2
=	𝑒% + 2𝑒?												𝑣) =
2
3
1
= 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) = 𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 2𝑒% ∧ 𝑒% + 3𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑒% ∧ 𝑒? + 4𝑒? ∧ 𝑒% + 6𝑒? ∧ 𝑒) + 2𝑒? ∧ 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑒% ∧ 𝑒? + −4 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + −3 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
平⾏体ベクトル
26
⼀般の場合では
𝑣% =
𝑎%
𝑎)
𝑎?
=𝑎% 𝑒% + 𝑎) 𝑒) + 𝑎? 𝑒?					𝑣) =
𝑏%
𝑏)
𝑏?
= 𝑏% 𝑒% + 𝑏) 𝑒) + 𝑏? 𝑒?
27
⼀般の場合では
𝑣% =
𝑎%
𝑎)
𝑎?
=𝑎% 𝑒% + 𝑎) 𝑒) + 𝑎? 𝑒?					𝑣) =
𝑏%
𝑏)
𝑏?
= 𝑏% 𝑒% + 𝑏) 𝑒) + 𝑏? 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) =
𝑎% 𝑏) − 𝑎) 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑎% 𝑏? − 𝑎? 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒? + 𝑎) 𝑏? − 𝑎? 𝑏) 𝑒) ∧ 𝑒?
28
⼀般の場合では
𝑣% =
𝑎%
𝑎)
𝑎?
=𝑎% 𝑒% + 𝑎) 𝑒) + 𝑎? 𝑒?					𝑣) =
𝑏%
𝑏)
𝑏?
= 𝑏% 𝑒% + 𝑏) 𝑒) + 𝑏? 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) =
𝑎% 𝑏) − 𝑎) 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑎% 𝑏? − 𝑎? 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒? + 𝑎) 𝑏? − 𝑎? 𝑏) 𝑒) ∧ 𝑒?
=
𝑎% 𝑏%
𝑎) 𝑏)
𝑒% ∧ 𝑒) +
𝑎% 𝑏%
𝑎? 𝑏?
𝑒% ∧ 𝑒? +
𝑎) 𝑏)
𝑎? 𝑏?
𝑒) ∧ 𝑒?
29
⼀般の場合では
𝑣% =
𝑎%
𝑎)
𝑎?
=𝑎% 𝑒% + 𝑎) 𝑒) + 𝑎? 𝑒?					𝑣) =
𝑏%
𝑏)
𝑏?
= 𝑏% 𝑒% + 𝑏) 𝑒) + 𝑏? 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) =
𝑎% 𝑏) − 𝑎) 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑎% 𝑏? − 𝑎? 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒? + 𝑎) 𝑏? − 𝑎? 𝑏) 𝑒) ∧ 𝑒?
=
𝑎% 𝑏%
𝑎) 𝑏)
𝑒% ∧ 𝑒) +
𝑎% 𝑏%
𝑎? 𝑏?
𝑒% ∧ 𝑒? +
𝑎) 𝑏)
𝑎? 𝑏?
𝑒) ∧ 𝑒?
係数が⾏列式に!
30
係数が⾏列式になる理由
平⾏体ベクトルのそれぞれの基底の組に対して、
ウェッジ積の結合則と分配則の適⽤で得る式では
基底の順番がバラバラに⼊れ替わっている。
31
係数が⾏列式になる理由
平⾏体ベクトルのそれぞれの基底の組に対して、
ウェッジ積の結合則と分配則の適⽤で得る式では
基底の順番がバラバラに⼊れ替わっている。
ex)	𝑛 = 4	, 𝑘 = 3	にて、基底の組	𝑒% ∧ 𝑒) ∧ 𝑒Jに対しては、
𝑒% ∧ 𝑒) ∧ 𝑒J	, 𝑒% ∧ 𝑒J ∧ 𝑒)	, 𝑒) ∧ 𝑒% ∧ 𝑒J	, 𝑒) ∧ 𝑒J ∧ 𝑒%	,		
𝑒J ∧ 𝑒% ∧ 𝑒)	, 𝑒J ∧ 𝑒) ∧ 𝑒%	 の6つが出てくる。
32
係数が⾏列式になる理由
基底の順番を揃えるとき、交代性により、
奇置換の並びの項では符号の反転が起こる。
これが⾏列式の符号に対応する。
33
⾯積や体積を計算するために
• 「平⾏体ベクトル」の「ノルム」を定義したい。
34
⾯積や体積を計算するために
• 「平⾏体ベクトル」の「ノルム」を定義したい。
• 「⻑さ」同様、	 各成分の⼆乗和	で良さそう?
35
先ほどの例では
𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + −3 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
について、各成分の⼆乗和を計算すると、
平⾏体ベクトル
𝑣% 𝑣)
36
先ほどの例では
𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + −3 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
について、各成分の⼆乗和を計算すると、
3)
+ −3 )
+ −6 )
= 54
平⾏体ベクトル
𝑣% 𝑣)
37
先ほどの例では
𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + −3 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
について、各成分の⼆乗和を計算すると、
3)
+ −3 )
+ −6 )
= 54
平⾏体ベクトル
平⾏四辺形の⾯積!
外積ベクトルの⻑さ!
𝑣% 𝑣)
38
外積代数からわかること
39
外積代数からわかること
• 外積代数のルールを平⾏体に適⽤すると、
「平⾏体ベクトル」なるものが構成できる。
• ⼀般の	𝑘	-ベクトルに対しても、ノルムが定義できる。
• 「平⾏体ベクトル」のノルムは、
平⾏体の⾯積や体積に⼀致しそう。
40
Part3:
「⻘春の夢」の解釈
41
「⻘春の夢」再考
• はじめの式をもう⼀度眺めてみる。
𝑉)
= + det
𝑣%,01
𝑣),01
⋯ 𝑣',01
𝑣%,03
𝑣),03
⋯ 𝑣',03
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣%,05
𝑣),05
⋯ 𝑣',05
)
	
%6017⋯70568
42
「⻘春の夢」再考
• はじめの式をもう⼀度眺めてみる。
𝑉)
= + det
𝑣%,01
𝑣),01
⋯ 𝑣',01
𝑣%,03
𝑣),03
⋯ 𝑣',03
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣%,05
𝑣),05
⋯ 𝑣',05
)
	
%6017⋯70568
• 𝑐% < ⋯ < 𝑐'の取り⽅は	 8
'
	通り。
• ⾏列式の2乗和を計算している。
43
あれ、もしかして…
44
外積代数のキホン
• ベクトルは基底の⼀次結合に。ここでは1-ベクトルと呼ぶ。
ex) 𝑣% =
1
2
−1
	の場合、𝑣% = 𝑒% + 2𝑒) − 𝑒?
• [	𝑝	-ベクトル ]	∧	[	𝑞	-ベクトル ] = [	 𝑝 + 𝑞 	-ベクトル ]
• 	𝑛	次元空間における	𝑘	-ベクトルは	 8
'
	個の成分を持つ。
(	𝑛	個の基底から	𝑘	個選ぶ)
45
⼀般の場合では
𝑣% =
𝑎%
𝑎)
𝑎?
=𝑎% 𝑒% + 𝑎) 𝑒) + 𝑎? 𝑒?					𝑣) =
𝑏%
𝑏)
𝑏?
= 𝑏% 𝑒% + 𝑏) 𝑒) + 𝑏? 𝑒?
𝑣% ∧ 𝑣) =
𝑎% 𝑏) − 𝑎) 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒) + 𝑎% 𝑏? − 𝑎? 𝑏% 𝑒% ∧ 𝑒? + 𝑎) 𝑏? − 𝑎? 𝑏) 𝑒) ∧ 𝑒?
=
𝑎% 𝑏%
𝑎) 𝑏)
𝑒% ∧ 𝑒) +
𝑎% 𝑏%
𝑎? 𝑏?
𝑒% ∧ 𝑒? +
𝑎) 𝑏)
𝑎? 𝑏?
𝑒) ∧ 𝑒?
係数が⾏列式に!
46
先ほどの例では
𝑒% + 2𝑒? ∧ 2𝑒% + 3𝑒) + 𝑒?
= 3𝑒% ∧ 𝑒) + −3 𝑒% ∧ 𝑒? + −6 𝑒) ∧ 𝑒?
について、各成分の⼆乗和を計算すると、
3)
+ −3 )
+ −6 )
= 54
平⾏体ベクトル
𝑣% 𝑣)
47
なんと!!
48
「⻘春の夢」の正体
「⻘春の夢」の式	𝑉)
= ∑ det
𝑣%,01
𝑣),01
⋯ 𝑣',01
𝑣%,03
𝑣),03
⋯ 𝑣',03
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣%,05
𝑣),05
⋯ 𝑣',05
)
	
%6017⋯70568 	は、
49
「⻘春の夢」の正体
「⻘春の夢」の式	𝑉)
= ∑ det
𝑣%,01
𝑣),01
⋯ 𝑣',01
𝑣%,03
𝑣),03
⋯ 𝑣',03
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣%,05
𝑣),05
⋯ 𝑣',05
)
	
%6017⋯70568 	は、
平⾏体ベクトルのノルムだった!
50
「⻘春の夢」の正体
「⻘春の夢」は、以下の命題と同値になる。
51
「⻘春の夢」の正体
「⻘春の夢」は、以下の命題と同値になる。
「	𝑛	次元ユークリッド空間における
	𝑘	本のベクトルの組	𝑣%~𝑣'	に対して、
それらが張る平⾏体の体積は、
平⾏体ベクトルのノルムに等しいか。」
52
理論的な進展はここまで。
53
以下、Romantic な妄想。
54
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
55
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
どのような	𝑛	、どのような	𝑘	に対しても、
⾯積や体積を「機械的に」計算できる!
頭を使わなくて良い!
56
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
どのような	𝑛	、どのような	𝑘	に対しても、
⾯積や体積を「機械的に」計算できる!
⻑さ、⾯積、体積はすべて「ノルム」に!
頭を使わなくて良い!
次元の壁を超えた!
57
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
58
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
数多の関係式が⼀つにまとまる!
59
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
数多の関係式が⼀つにまとまる!
• (ベクトルの⻑さ)	𝑑) = 𝑥%
)
+ ⋯ + 𝑥8
)				
• (四平⽅の定理)	𝑆) = 𝑆%
)
+ 𝑆)
)
+ 𝑆?
)
			
• (平⾏	2𝑛	胞体の体積)	𝑉 = det 𝑣% ⋯ 𝑣8
60
Romantic な妄想
もし「⻘春の夢」の命題が正しかったら…
数多の関係式が⼀つにまとまる!
• (ベクトルの⻑さ)	𝑑) = 𝑥%
)
+ ⋯ + 𝑥8
) 				→ 			𝑘 = 1	の場合。
• (四平⽅の定理)	𝑆) = 𝑆%
)
+ 𝑆)
)
+ 𝑆?
)
				→ 			𝑘 = 2, 𝑛 = 3	の場合。
• (平⾏	2𝑛	胞体の体積)	𝑉 = det 𝑣% ⋯ 𝑣8 → 			𝑘 = 𝑛	の場合。
61
Romantic な妄想
つまり「⻘春の夢」は…
62
Romantic な妄想
つまり「⻘春の夢」は…
どんな次元の、どんな形の平⾏体に対しても通⽤し、
次元を超えて数多の関係式を包含する、
まさに、「究極の関係式」なのです!
63
64
ということで、
65
Part4(おまけ):
実験コーナー
66
実験の下準備
• 平⾏体の「正しい体積」として、グラム⾏列を使う。
• 	𝐺 =
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V 𝑣'
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V 𝑣'
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣' V 𝑣% 𝑣' V 𝑣) ⋯ 𝑣'
)
	の⾏列式は体積の2乗に。
67
グラム⾏列の性質
• 	𝑉'
)
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
)
𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V 𝑣'
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
)
⋯ 𝑣) V 𝑣'
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣' V 𝑣% 𝑣' V 𝑣) ⋯ 𝑣'
)
	を帰納的に⽰す。
• 	𝑣'X%	の垂直成分を	ℎ	とすると、𝑉'X%
)
= 𝑉'
)
V ℎ
)
である。
68
グラム⾏列の性質
グラム・シュミッドの⽅法を使い、 	𝑣'X%	を分解する。
𝑣'X% = +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
これを以下に代⼊する。
𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V 𝑣'X%
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V 𝑣'X%
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣'X% V 𝑣% 𝑣'X% V 𝑣) ⋯ 𝑣'X%
)
69
グラム⾏列の性質
⼀部、代⼊した。
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣'X% V 𝑣% 𝑣'X% V 𝑣) ⋯ 𝑣'X% V +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
70
グラム⾏列の性質
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣'X% V 𝑣% 𝑣'X% V 𝑣) ⋯ 𝑣'X% V +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ
71線形性より、Σを外に。
グラム⾏列の性質
= +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V 𝑣K
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V 𝑣K
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣'X% V 𝑣% 𝑣'X% V 𝑣) ⋯ 𝑣'X% V 𝑣K
'
KZ%
+𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣'X% V 𝑣% 𝑣'X% V 𝑣) ⋯ 𝑣'X% V ℎ
72
0に!
グラム⾏列の性質
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣'X% V 𝑣% 𝑣'X% V 𝑣) ⋯ 𝑣'X% V ℎ
同様に、⼀番下の⾏に
	𝑣'X% = +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑣K
'
KZ%
+ ℎ	
を代⼊する。
73
グラム⾏列の性質
= +
𝑣'X% V 𝑣K
𝑣K
)
𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣K V 𝑣% 𝑣K V 𝑣) ⋯ 𝑣K V ℎ
'
KZ%
+𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
ℎ V 𝑣% ℎ V 𝑣) ⋯ ℎ
)
74
0に!
グラム⾏列の性質
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V ℎ
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 𝑣) V ℎ
⋮ ⋮ 	 ⋮
ℎ V 𝑣% ℎ V 𝑣) ⋯ ℎ
)
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
) 𝑣% V 𝑣) ⋯ 0
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
) ⋯ 0
⋮ ⋮ 	 ⋮
0 0 ⋯ ℎ
)
75
ℎ	は垂直成分。
グラム⾏列の性質
= 𝑑𝑒𝑡
𝑣%
)
𝑣% V 𝑣) ⋯ 𝑣% V 𝑣'
𝑣) V 𝑣% 𝑣)
)
⋯ 𝑣) V 𝑣'
⋮ ⋮ 	 ⋮
𝑣' V 𝑣% 𝑣' V 𝑣) ⋯ 𝑣'
)
V ℎ
)
= 𝑉'
)
V ℎ
)
= 𝑉'X%
)
よって、帰納的に⽰された。
76
コンピューターを使った実験
• C++でコードを書いて、実際に数値計算を⾏う。
• 正しそうかどうかだけでも知りたい。
77
⼤まかな処理の流れ
• 	𝑛次元ベクトルのクラスと、⾏列式の関数を⽤意する。
• 乱数を⽤いて	𝑛	次元ベクトルを	𝑘	本⽤意する。
• グラム⾏列と、その⾏列式を求めて表⽰する。
• 「⻘春の夢」の計算結果を表⽰する。
78
⼤まかな処理の流れ
• 	𝑛次元ベクトルのクラスと、⾏列式の関数を⽤意する。
• 乱数を⽤いて	𝑛	次元ベクトルを	𝑘	本⽤意する。
• グラム⾏列と、その⾏列式を求めて表⽰する。
• 「⻘春の夢」の計算結果を表⽰する。
⽐べる。
79
実験結果(	𝑛 = 4, 𝑘 = 2	)
80
実験結果(	𝑛 = 4, 𝑘 = 2	)
81
実験結果(	𝑛 = 4, 𝑘 = 2	)
⽤意したベクトル
グラム⾏列の計算
「⻘春の夢」で計算
82
実験結果(	𝑛 = 4, 𝑘 = 2	)
⽤意したベクトル
グラム⾏列の計算
「⻘春の夢」で計算
91
91
⼀致!
83
実験結果(	𝑛 = 5, 𝑘 = 3	)
84
実験結果(	𝑛 = 5, 𝑘 = 3	)
221
221
⼀致!
85
実験結果(	𝑛 = 7, 𝑘 = 3	)
5424
5424
⼀致!!
86
実験結果(	𝑛 = 11, 𝑘 = 6	)
3.85292e+07
3.85292e+07
⼀致!!!
87
結論
88
結論
なんか正しそう。
89
最後に
• 今回使⽤したスライドはSlideShareにあります。
• 併せて、C++のコードも公開します。改変⾃由。
https://drive.google.com/open?id=1cGN3yzxQEj
F6nHxISilTUrif6sepWVBM
• (「⻘春の夢」の証明ができた⽅はご⼀報ください。)
90
お知らせ
このpdfは8/11ロマンティック数学ナイト@渋⾕にて⾏われた
「外積代数で読み解く平⾏体~究極の関係式を追い求めて~」で
⽤いた資料のパワーアップ版です。
この中で紹介している予想は未解決扱いですが、プレゼンの前⽇
に証明が完成してしまったため、後々変更が⼊るかもしれません。
詳しい情報は以下のtwitterアカウントで確認するか、私のメール
アドレスにご連絡ください。
twitter : @hamburg_soshun
mail : soshun1005hamburg@gmail.com

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