Akiyasu Tomoeda

1. 2014年12月8日（月） 数理人セミナー @ 早稲田大学西早稲田キャンパス63号館102号室
友枝 明保 （Akiyasu Tomoeda）
武蔵野大学 / JST CREST
共同研究者： 杉原 厚吉 （明治大学/JST CREST)
小野 隼 （明治大学卒業生）
錯視現象を計算する：
幾何計算による現象の理解から錯視作品の創作へ

2. 講演概要
 「計算錯覚学（Computational Illusion）」
– 錯視現象を計算する意義
– 錯覚美術館
– 錯視と渋滞 （縦断勾配錯視）
 “ホロウマスク錯視”と同じ効果を持つ錯視立体の数理設計法
– 回転速度計算による錯視現象の理解
– 幾何計算を用いた立体の設計法
– 陰影計算による無照明下での実現
 “フットステップ錯視” アート
– 観察される錯視効果の条件計算と分類
– Best illusion of the Year Contest
 まとめ

3. 計算錯覚学の紹介

4. JST CREST 「計算錯覚学の構築」
 視覚における錯覚：錯視
– 対象が実際とは異なるように見えてしまう現象
– 錯覚は理性で答えがわかっていても，必ずまた起こる．
 錯視現象を計算する意義
– 錯視の仕組みを理解し，錯視効果を数量化することで，
錯視（量）を制御する・予測することが可能となる．
» 錯視量の最小化
→ 錯視の解消
• 交通事故防止
• 渋滞緩和
» 錯視量の最大化
→ 錯視の利用
• 目をひく標識や看板広告の設計

5. 錯視と渋滞
 サグ(sag) = ドライバーが気がつかない程度の上り坂
上り坂を正しく上り坂と認識できていない
傾斜の誤認：「縦断勾配錯視」と呼ばれる錯視現象
データ図：NEXCO東日本HP http://www.e-nexco.co.jp/activity/safety/detail_07.html より

6. 縦断勾配錯視の例（屋島ドライブウェイ，下り）

7. ホロウマスク錯視と同じ効果を持つ
錯視立体の数理設計法

8. ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）
 ホロウマスク錯視の視線は観測者を追い越していく．
– 観測者：点Eから点P（点P’）を見る．
– Pの周りに一様な密度の模様が書かれているとする．
– 正面から見たときの模様密度：
– 見かけの密度
– 観測者の視点移動による
見かけの密度変化
D
0
cos
D
D


0
2
sin
cos
Dd
D
d


 

(b) Illusion
(a) Real

マスク面
P
P

E
0D

9. ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）
 観察者が面に向かって右に動く
(a) Real
（実際のマスク面の場合）
– 見かけの密度の変化
→ 見かけの密度は 増加する
    
0
2
sin
0
cos
D 


 
0 
0
2
sin
cos
Dd
D
d


 

密度変化
(a) Real

マスク面
P

E

10. ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）
 観察者が面に向かって右に動く
(b) Illusion
（錯視の状態のマスク面の場合）
– 見かけの密度の変化
→ 見かけの密度は 減少する
0
2
sin
cos
Dd
D
d


 

密度変化
(b) Illusion

マスク面
E
P

    0 
0
2
sin
0
cos
D 


  
減少するはずが，実際は増加！

11. ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）
 期待していた密度変化と実際の密度変化の差
– (a) 実際の密度変化
 錯覚に気付かない観察者
– 壁面が回転して向きを変えているために，観察された密度の
変化が生じている．と解釈
0
2
sin
cos
D 


 
(b) 錯視の状況での密度変化
– (a)と(b)の差
0
2
sin
cos
D 



0
2
sin
2
cos
D 



0 0
2 2
sin sin
2
cos cos
D D 
 
 
   2   
視点の二倍で回転
（回転角 とする）

12. 【作成立体】 立体俯瞰図
底面の形状を与えて，立体を作成する
（線分ボロノイ図, Straight Skeleton）

13. ボロノイ図（Voronoi Diagram）
 直感的説明
ボロノイ図は一種の「なわばり」図
領域の境界は
二点の垂直二等分線の一部
母点
ボロノイ点
ボロノイ領域

14. 線分ボロノイ図
 線分ボロノイ図 (Voronoi diagram for line segments)
– 線分を生成元とするボロノイ図
– Straight skeleton (ex. 屋根の設計)
» 各生成元からの直線距離(Straight line distance)で勢力圏を分割
» 得られるボロノイ境界は全て直線で表される．
[O. Aichholzer, et al. (1995), D. Eppstein, et al. (1999), Huber, et al. (2010). ]
l
l
Euclid distanceStraight line distance

15. 等しい傾斜壁を持つくぼみ構造の作り方
 傾斜壁を持つくぼみ構造
– 立体表面は広い観察角度から完全に見えるように作成
– 深さも必要
: 線分で囲まれた二次元閉領域
: 境界の線分の集合
: xy平面と傾斜壁とのなす角
: くぼみ構造の高さ
P
 1 2, ,p nE e e e

h
1. 多角形の境界を外側にのばしていき，長さが になったところで止める．
2. 長さが になる前に壁同士が交差した場合，その交差部で止める．
3. xy平面上で得られた座標に対して，Z座標を追加する．
coth 
coth 
 z h

16. Straight line Voronoi diagram
 Straight line Voronoi diagram
– ボロノイ領域 の集まり
» は に対して，直線距離で定義されるボロノイ領域ie
 iR e
 iR e
» 得られたボロノイ領域はxy平面から傾斜 α を持った傾斜壁となる．
» 任意の多角形底面Pに対して，くぼみ構造を作成することが可能．
P

17. 立体形状の計算（イメージ）
0z 
z h
 1 1 1 1, ,V x y z

18. 【作成立体：再掲】 立体俯瞰図

19. 立体の展開図

20. 「矢印の幻惑」
 矢印は両方ともくぼんでいて，左は正しくくぼんで見えるが，右の矢印は出っ張って見える．
 矢印立体から目を離さずに左右に移動すると，矢印がずっと追いかけてくるように見える．
1. A. Tomoeda, K. Sugihara, (ISVD 2012), pp. 144–147 (2012), doi:10.1109/ISVD.2012.26.
2. 日本応用数理学会年会2012 予稿集 稚内
3. (Wikipedia) http://en.wikipedia.org/wiki/Straight_skeleton
作：友枝明保，杉原厚吉 (2012)

21. 「矢印の幻惑（照明透過ver）」
 錯視立体に光を裏から当てた状況
（ケント紙ではなく，3Dプリンタで作成した錯視立体）
作：友枝明保，杉原厚吉 (2012)

22. 「駐車場マーク」 作：友枝明保，杉原厚吉 (2012)

23. 「矢印の幻惑」 照明による比較
下からの照明上からの照明
照明によって凹凸が反転 （陰影の効果）
→ クレーター錯視

24. クレーター錯視
– 画像を回転させると，凹部が凸部に見える．
» 陰影による形状(立体)復元：Shape from Shading
» 「地球上では光が上から来る」 → 知覚の学習という説
Fieandt, K. von (1938). Helsinki, Finland: Psychologisches Itistitut Universitat Helsinki.
Fieandt, K. von (1949). Ada Psychologica, 6, 337-357.

25. 「はぐれ矢印」の作成に向けて
【アイデア】
• 錯視立体の各面に予め陰影を付けておけば，照明ナシでも立体に見えるハズ
→ 実用化における照明設置のコスト削減につながる．
• 平面矢印であっても，適切な陰影を付ければ立体に見えるハズ．
→ ある視点から見ると，平面矢印と錯視立体を同一に見せることができる．
• 複数の平面矢印の中に，一つだけ「矢印の幻惑」を紛れ込ませる．
→ 錯視立体だけが視点移動に伴って回転する錯視効果により，
目を惹く看板を作成できる．
【作成手順】
1. 錯視立体に対して，ある視点で見た場合の投影面の頂点座標を求める．
立体 → 平面
2. 投影面の平面矢印に対して，出っ張って見えるような陰影を与える．
平面 → 立体に見せる
3. その色を元に，「拡散反射」を仮定して立体面の陰影計算を行う．
立体に見える平面 → 同一に見える立体
平面 立体
平面 平面
「はぐれ矢印」

26. 投影変換
 視点O(0,0,f)となるように平行移動したのち，P(x,y,z)を
Z=0に射影した座標P0
 0 : :x f x f z 
 0,0,O f
Z
Y
X
 0 0 0, ,0P x y  , ,P x y z
0
fx
x
f z


0
fy
f z


同様に，y
【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．
2. 平面矢印の各面に陰影を与える．
3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

27. 平面矢印に与える色
 面：{A,B,C,D,E,F,G,H}
【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．
2. 平面矢印の各面に陰影を与える．
3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．
【仮定する条件】
 各面は色の大小関係を
保てばよく，0(黒)-255(白)
のとき，
F<D<B=E=G(=H)<C<A
である．
 面HはB=E=Gと同じである
必要はないが，鉛直方向
の陰影が重要なので，こ
こでは同じ色とした
(B=E=G=H) ．
0Z 
Z d 
A
B
C
D
E
F
G H

28. 平面矢印に与える色
 仮定に基づいて設定した色
0(黒)-255(白)
A:180 B:115
C:150 D:90
E:115 F:60
G:115 H:115
F<D<B=E=G(=H)<C<A
Processingによる表示
（平行光線，拡散反射）
【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．
2. 平面矢印の各面に陰影を与える．
3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

29. 拡散反射
 ランバートの余弦則
– 拡散反射光は見る方向によって明るさは変わらない．
– 明るさは面の法線方向と入射光のなす角の余弦に比例
【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．
2. 平面矢印の各面に陰影を与える．
3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．
0 cosdL x I C    
0I

n
ランバートモデル
：光源の強度
x
C
：面の反射率(0~1)
：色の値

30.  面Xの輝度
立体面の色計算
 面Xの輝度
 色つき平面と色つき立体面が同じ色に見える
【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．
2. 平面矢印の各面に陰影を与える．
3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．
0 cosXd X XL xI C  0 cosXd X XL xI C 
cos
cos
X
X X
X
C C



     cos X
n L a b L
n L a b L

    
 

0 0cos cos
Xd a Xd a
X X a X X a
L L L L
xI C L xI C L 
  
  
   
       
   XX X
a b La b L
C
a b La b
a b La b
C C
a b bL a L
  

 
  

   
n a b 
a
b
XC
L

31. Processingによる表示
 (視点距離) f=200の場合，平行光線，拡散反射
平面に色付けした矢印 立体面に色付けした矢印

32. 「陰影付き矢印の幻惑」
陰影付き平面矢印 陰影付き立体矢印
作：友枝明保，小野隼，杉原厚吉(2013)

33. 「はぐれ矢印」 作：友枝明保，小野隼，杉原厚吉(2013)
矢印の一つが「矢印の幻惑」（錯視立体）で構成され，他の矢印は平面矢印で構成された作品．
視点角度の変化（回転）に伴って，錯視立体矢印だけが変化（回転）して見える．

34. フットステップ錯視アート

35. フットステップ錯視
二つの長方形（オブジェクト）が
等速に動いているが背景が縞
模様だと、まるで交互に動いて
いるように見える。
S. Anstis,
Footsteps and inchworms: Illusions
show that contrast affects apparent
speed, Perception, 30, 785-794, (2001).
コントラスト差が要因

36. オブジェクトの大きさ（幅）による錯視の変化
間欠運動
（フットステップ錯視）
伸び縮み
（インチワーム錯視）

37. エッジが隠れている時間の計算
 フットステップ錯視：両エッジが同時に隠れるとき
→ ストライプ幅の偶数倍のとき
最も長い時間両エッジが隠れる．
x
x
 2
2
x
x

 


 
 
3
2 3
2
x
x

 


 

3 x 
x 

38. エッジが隠れている時間の計算
 インチワーム錯視：両エッジが交互に隠れるとき
→ ストライプ幅の奇数倍のとき
最も短い時間両エッジが隠れる．
x
x

3 x 
3x  
3
3 4
2
x
x

 


 
 
3
2 3
2
x
x

 


 

39. フットステップ錯視の見え方の分類
 オブジェクトの設定で８パターンに分類
width Apparent motion
x1 x2 d O1 O2 Timing
1 even even even Footstep Footstep synchronously
2 even even odd Footstep Footstep alternately
3 odd odd even Inchworm Inchworm alternately
4 odd odd odd Inchworm Inchworm synchronously
5 even odd even Footstep Inchworm synchronously
6 even odd odd Footstep Inchworm alternately
7 odd even even Inchworm Footstep alternately
8 odd even odd Inchworm Footstep synchronously

40. フットステップ錯視アートの実用化に向けて
 時計のデザイン技術
– 特願2012-173418，特願2013-110085
CGによるデモ 試作によるデモ

41. フットステップ錯視アートの実用化に向けて
 パターンの組み合わせによるデザイン

42. Best Illusion of the Year Contest 2013

43. Best Illusion of the Year Contest 2013 ―概要―
 錯覚の新作を競う世界コンテスト
– Vision Science Society（視覚科学協会）年会のサテライトイベント
– 応募作品から、専門家による１次審査でベストテンが選ばれ、それがファ
イナリストとして決勝戦に臨み、１位から３位を競う．
– 決勝戦の結果は、NatureやScientific Americanなどに紹介され、速報HP
には、数百万回のアクセスが殺到するなど、視覚科学の分野で大変注目
されている大イベント．

44. Best Illusion of the Year Contest 2014

45. Best Illusion of the Year Contest 2014
 Top 10 Finalist “Pigeon-Neck Illusion”
「行ったり来たりする動きを錯視で表現」
Contents : “Tag”, “UFO”, “Clock”

46. まとめ
 計算錯覚学の紹介
– 錯視現象の数理モデリング
» 錯視（量）を制御する・予測することを目指す
– 錯視の解消：錯視量の最小化
» 環境誤認からくる事故防止や渋滞緩和
（縦断勾配錯視）
– 錯視の利用：錯視量の最大化
» 新しいエンタテイメント・芸術表現
（ホロウマスク型錯視立体の数理設計）
（フットステップ錯視アート）