Rapport_DRT_PIERRE_Sylvain

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Rapport_DRT_PIERRE_Sylvain

  1. 1. CEA, LETI, MINATEC, F38054 Grenoble, France Diplôme de Recherche Technologique par ƒylv—in €ierre SUJET X Amélioration et implémentation d'algorithmes de reconstruction en nanotomographie électronique ƒoutenue le PP o™to˜re PHIH dev—nt l— ™ommission d9ex—men X te—nE‰ves fu0ère rapporteur pr—nçoise €eyrin rapporteur te—nE€ierre fru—ndet examinateur €ierre fleuet encadrant professionel v—urent hes˜—t encadrant universitaire
  2. 2. Remerciements gette étudeD d—ns le ™—dre d9un diplôme de re™her™he te™hnologiqueD — été ré—lisée d—ns le v—˜or—toire de g—r—™téris—tion €hysique y'Eline du gieE vétiF @gommiss—ri—t à l9inergie etomique G v—˜or—toire d9Éle™tronique et des „e™hnologies de l9snform—tion G hép—rtement €l—teforme „e™hnologie ƒiE li™ium G ƒervi™e g—r—téris—tion €hysique snEline et y'Eline G v—˜or—toire de g—r—™téris—tion €hysique y'ElineA te tiens tout d9—˜ord à remer™ier te—nEgl—ude ‚oyer @™hef de servi™eA et prédéri™ v—ugier @™hef de l—˜or—toireA qui m9ont permis d9intégrer leur l—˜or—toire pour ™ette —nnée d9étude pren—nte et p—ssionn—nteF wes remer™iements se tournent ensuite tout n—turellement vers €ierre fleuetD mon tuteur industrielD qui — su superviser ™es tr—v—ux —ve™ ˜e—u™oup d9optimisme et de rigueur m—is ég—lement pour ses ™ritiques ™onstru™tives qu—nt à l— réd—™tion de ™e r—pportF te tiens p—rti™ulièrementD à remer™ierD v—urent hes˜—tD mon en™—dr—nt universit—ireD pour son —ide pré™ieuse en re™onstru™tion tomogr—phiqueF t9—dresse mes remer™iements à edeline qrenier et €eter ghernsD pour leurs expli™—tions ™on™ern—nt l— tomogr—phie éle™tronique et le p—rt—ge de leurs donnéesF te tiens ég—lement à remer™ier p—r —v—n™e les r—pporteurs pr—nçoise €eyE rin et te—nE‰ves fu0èreD —insi que te—nE€ierre fru—ndetD pour —voir —™™epté de ™ons—™rer quelques heures à l— ™ritique de ™e mémoireF te voudr—is remer™ier xévine ‚o™h—sD ghristophe vi™itr— et ylivier hesE pl—t —ve™ qui j9—i p—rt—gé mon ˜ure—u pend—nt IV moisF w—is —ussi pour —voir supporter toutes mes questions ™on™ern—nt l— physique en génér—lF in(n un q‚exh mer™i à mes 4™ollègues de ™ouloir4 pour leurs —ides pon™tuelles sur ™es tr—v—ux m—is surtout pour l— ˜onne humeur et les ˜ons moments p—ssés i™i ou d—ns les ˜—rsF te pense not—mment à w—ylisD qeorgD w—thieuD gl—ireD gyrilD wi™k—ëlD eudeD uh—ledD €—ulineD w—rie et tous ™eux que j9—ur—is pu ou˜lierF i
  3. 3. Table des matières 1 Introduction 3 IFI gontexte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q IFP y˜je™tif et woyen F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S IFQ ƒtru™ture du do™ument F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T 2 Tomographie 7 PFI „omogr—phie à r—yons ˆ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U PFP „omogr—phie éle™tronique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W PFQ ƒonde —tomique tomogr—phique F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ 3 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 15 QFI gonventions F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS QFIFI p—ntôme de ƒheppEvog—n F F F F F F F F F F F F F F F F F IS QFIFP ves —xes et les not—tions F F F F F F F F F F F F F F F F F IT QFP „r—nsformée de pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU QFPFI €roduit de ™onvolution F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU QFPFP „r—nsformée de pourier inverse F F F F F F F F F F F F F F IV QFPFQ „r—nsformée de pourier Ph F F F F F F F F F F F F F F F F IV QFQ „r—nsformée de ‚—don F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW QFR „héorème de l— ™oupe ™entr—le @™oupe E proje™tionA F F F F F F PI QFS ypér—teur de rétroproje™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ QFT „r—nsformée de ‚—don inverse F F F F F F F F F F F F F F F F F F PR QFU ƒpé™i(™ité en tomogr—phique éle™tronique F F F F F F F F F F F F PT QFUFI sntérêt de l— tomogr—phie élé™tronique F F F F F F F F F PT QFUFP v9—ngle limité F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PU 4 Reconstruction en tomographie à angle limité 29 RFI €ro˜lém—tique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW RFP wéthodes —n—lytiques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ RFPFI ‚étroproje™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ RFPFP ‚étroproje™tion (ltrée F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR I
  4. 4. 2 TABLE DES MATIÈRES RFPFQ gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU RFQ wéthode —lgé˜rique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV RFQFI €rin™ipe m—thém—tique F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV RFQFP €rin™ipe —lgorithmique F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV RFQFQ wéthode e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hniqueA F QW RFQFR wéthode ƒs‚„ @ƒimult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hniqueA F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ RFQFS gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS RFR „omogr—phie en dou˜leE—xe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT RFRFI €rin™ipe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT RFRFP elgorithme F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RV RFRFQ ‚e™onstru™tion en dou˜leE—xe Qh F F F F F F F F F F F F SH RFRFR gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST RFS „omogr—phie vo™—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST RFSFI sntrodu™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST RFSFP smplément—tion d9une formule d9inversion en tomogr—E phie lo™—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW RFSFQ „omogr—phie multiErésolution F F F F F F F F F F F F F F TQ RFSFR gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS 5 Application pratique 67 SFI elignement des données F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU SFIFI i'et du dés—lignement F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW SFIFP elignement en tr—nsl—tion p—r ™orrél—tion ™roisée F F F UP SFP „omogr—phie sur les qee F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UR SFPFI sntrodu™tion sur les qee F F F F F F F F F F F F F F F F UR SFPFP wise en ™orrespond—n™e —ve™ les données équipementier UU SFPFQ wise en —ppli™—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UV 6 Conclusion et perspectives 83 Bibliographie 85
  5. 5. Chapitre 1 Introduction 1.1 Contexte ges tr—v—ux ™on™ernent l— re™onstru™tion tomogr—phique et plus p—rti™uE lièrement les —lgorithmes liés à ™e dom—ineF v— tomogr—phie est une te™hnique d9im—gerieF eu sens littér—l du termeD l— tomogr—phie est un moyen de représenter en ™oupe un o˜jet tridimenE sionnelF gette pro˜lém—tique — été énormément étudiée depuis le dé˜ut des —nnées IWUH et — eu de nom˜reuses —ppli™—tions ™omme le s™—nner en im—gerie médi™—le où elle est très l—rgement utilisée pour le di—gnostiqueF gette te™hnique ™onsiste à re™onstruire un o˜jet @le ™orps hum—in d—ns le ™—s de l9im—gerie médi™—leD des n—no ™ompos—nts en mi™ro et n—no éle™troE niqueD un m—téri—u en ™ontrôle non destru™tifA à p—rtir d9une série de mesures déportées à l9extérieur de l9o˜jetF in sonde —tomique tomogr—phiqueD l9o˜jet est dé™oupé et im—gé —u fur et à mesureD ™e qui rend l— te™hnique entièE rement destru™tiveF in tomogr—phie p—r r—yons ˆD l9o˜jet est soumis à un r—yonnement ionis—nt et l— te™hnique est nonEdestru™tiveF Q
  6. 6. 4 Introduction Figure IFI ! €rin™ipe de re™onstru™tion tomogr—phiqueF v9—™quisition des données est l— première ét—pe en tomogr—phieF in toE mogr—phie éle™troniqueD p—r exempleD ™el— ™onsiste à o˜tenir des proje™tions en P dimensions à di'érents —ngles de vuesF v— se™onde ét—pe est l— re™onstru™tion à proprement p—rlerF ve pro™essus de re™onstru™tion tomogr—phiqueD à p—rtir des données expériment—les perE met de déterminer l— distri˜ution tridimensionnelle d9une ™ert—ine qu—ntité physique selon le type d9inform—tion fournie p—r le ™—pteur @™—pture d9une p—rti™uleD pression —™oustiqueD —tténu—tion d9un f—is™e—u lumineuxD émission de r—yonnementD di'r—™tionDFFFAF h—ns le ™—s pré™édent de l— tomogr—phie éle™troniqueD les proje™tions —™quises à di'érents —ngles de vuesD permettent de re™onstruire des pl—ns —xi—uxD s—gitt—ux et front—ux de l— densité physiqueF „r—v—iller à l9—mélior—tion des méthodes de re™onstru™tion tomogr—phiqueD — pour ˜ut de mieux exploiter les sign—ux délivrés p—r les tomogr—phes pour fournir une ™—rtogr—phie de l— distri˜ution de l9o˜jet qui soit à l— fois de ˜onne qu—lité @en termes de résolution sp—ti—le et r—pport sign—lEsurE˜ruitA et qui se prête à une interprét—tion qu—ntit—tive X mesure de dist—n™eD de volumesD de porositésD —n—lyse de (ssuresF F F eu gieEvi„sD notre dom—ine d9—ppli™—tion ™on™erne les n—note™hnoloE giesF yn visu—liser— p—r exemple des n—noE(ls ou en™ore des n—noEsphèresF v— ™—r—™téris—tion de ™es o˜jets est don™ primordi—le et p—r ™onséquent l9étude des pro™édés de re™onstru™tion tomogr—phique prend tout son sensF
  7. 7. 1.2 Objectif et Moyen 5 1.2 Objectif et Moyen v9o˜je™tif m—jeur de ™e h‚„ est d9exploiter —u mieux les données en tomogr—phie éle™tronique et de limiter —u m—ximum les —rtef—™ts liés à l9—™E quisition sur un dom—ine —ngul—ire limitéF €our ™e f—ireD il f—udr— ™ommen™er p—r —™quérir un s—voirEf—ire en tomoE gr—phie éle™tronique et plus pré™isément en re™onstru™tionD ™e qui implique l— m—îtrise d9un ™ert—in nom˜re de ™on™epts m—thém—tiques —v—n™ésF insuiteD il f—udr— ré—liser un ét—t de l9—rt des di'érents —lgorithmes et méE thodes utilisésF e p—rtir de làD il ser— né™ess—ire d9—méliorer ™es —lgorithmes —(n de réduire les —rtéf—™ts dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntes et ég—leE ment —u ˜ruit import—nt que l9on peut —voir —ve™ des données expériment—lesF ges —mélior—tions p—sseront not—mment p—r l9optimis—tion de l— géométrie d9—™quisitionD en f—is—nt p—r exemple intervenir plusieurs jeux de données ™roisésF €—r —illeursD on ™her™he ég—lement à mieux ™ontrôler les p—r—mètres ou l9—lignement systém—tique des donnéesF v9—jout d9inform—tion — priori sur l9o˜jet d—ns le pro™essus de re™onstru™tion est ég—lement envis—géF €our l— simul—tion des données et l9implément—tion des —lgorithmes de reE ™onstru™tionD le logi™iel w—tl—˜ ser— utiliséF ge dernier o're une plus gr—nde )exi˜ilitéF e™tuellementD pour ré—liser l— re™onstru™tion de l9o˜jet visu—lisé —ve™ le „iwD l9équipementier fournit un logi™iel perform—nt permett—nt —u ™lient d9—ligner et de re™onstruire de m—nière ™onvivi—le les donnéesF xé—nE moinsD ™e logi™iel o're des fon™tionn—lités et une )exi˜ilité né™ess—irement limitéesD ne permet p—s de modi(er ou prendre en ™ompte tous les p—r—mètres de l— re™onstru™tionD ni de gérer les ™—s p—rti™uliersF
  8. 8. 6 Introduction 1.3 Structure du document ge m—nus™rit ™omporte qu—tre p—rtiesF h—ns l— première p—rtieD nous préE senterons de m—nière génér—le l— tomogr—phieF €our ™el— on étudier— les trois prin™ip—les te™hnique de tomogr—phie X l— tomogr—phie à r—yons ˆD l— tomoE gr—phie éle™tronique et (n—lement l— sonde —tomique tomogr—phiqueF €our ™h—™une de ™es méthodes seront ˜rièvement dé™rits le prin™ipeD les données que l9on peut en extr—ire et ég—lement les ™ontr—intes liéesF ge ™h—pitre — pour ˜ut de nous é™l—irer sur les —v—nt—ges et in™onvénients de ™h—que te™hnique et de dé(nir quelle est l— meilleure te™hnique pour un ™—s s™ienti(que donnéF v— se™onde p—rtie du m—nus™rit introduit les opér—teurs m—thém—tiques utilisés en tomogr—phieF ille met not—mment en —v—nt les prin™ipes fond—E ment—ux de l— re™onstru™tion tomogr—phique et plus pré™isément en tomogr—E phie éle™troniqueF ge ™h—pitre est primordi—l pour ™omprendre le pro™essus de re™onstru™tion —n—lytiqueF ve troisième ™h—pitre est un ét—t de l9—rt des te™hniques de re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF yn expose tout d9—˜ord pourquoi le d阗tteE ment —ngul—ire est limité et quels sont les pro˜lèmes qui en dé™oulentF €—r l— suite les di'érentes te™hniques ré™entes de re™onstru™tion sont exposéesF gel— in™lut les te™hniques —n—lytiquesD —u sens très m—thém—tique du terme m—is ég—lement p—r des te™hniques dites —lgé˜riquesD itér—tivesF yn (nit p—r deux —ppro™hes plus —v—n™ées X l— re™onstru™tion 4dou˜leE—xe4 où plusieurs jeux de données interviennent et l— tomogr—phie lo™—le où il est question de reE ™onstruire un o˜jet à p—rtir de données tronquéesF ge ™h—pitre nous —pporte une ™onn—iss—n™e théorique solide —(n de pouvoir tr—iter des données réellesF v— qu—trième p—rtie est don™ une —ppli™—tion pr—tique de tout ™e que l9on — vu pré™édemmentD —ve™ en plus une se™tion ™ons—™rée à l9—lignement des donnéesD pro˜lème qui ne se pos—it p—s —ve™ des données simuléesF yn tr—ite ensuite une re™onstru™tionD —ve™ tous les pro˜lèmes qu9il peut y —voirD d9o˜jet expériment—l de type tr—nsistor qee @en —ngl—is 4q—teEellEeround devi™e4AF
  9. 9. Chapitre 2 Tomographie 2.1 Tomographie à rayons X ve r—yonnement ˆ est un r—yonnement éle™trom—gnétique ™omme les ondes r—dioD l— lumière visi˜leD ou les infr—rougesF v— tomogr—phie p—r —˜E sorption de r—yons ˆ est une te™hnique non destru™tive qui permet l— re™onsE tru™tion d9im—ges 4en ™oupe4 d9un o˜jet tridimensionnel ‘I“F xée d—ns les —nnées IWUH pour le dom—ine médi™—lD ™ette te™hnique proE metteuse s9est —d—ptée —u dom—ine industriel dont tous les se™teurs peuvent ˜éné(™ier des possi˜ilitésD que ™e soit en —éron—utiqueD d—ns le se™teur —utoE mo˜ileD en fonderieD d—ns l9industrie minière ou pétrolière ou en™ore le se™teur —groE—liment—ireF ƒon prin™ipe repose sur l9—n—lyse multidire™tionnelle de l9inter—™tion d9un f—is™e—u de r—yons ˆ —ve™ l— m—tièreF ve r—yonnement tr—nsmis est enregistré p—r des déte™teurs —près que les r—yons ˆ —ient tr—versé un o˜jetF ves données —™quises lors de l— prise de mesure @dont l— durée v—rie d9une fr—™tion de se™onde à quelques heures selon l9inst—ll—tionAD sont ™olle™tées suiE v—nt des orient—tions multiples dont le nom˜re et le p—s sont fon™tion du type d9—pp—reil et de l— (nesse de résolution souh—itéeF ves r—yons ˆ sont produits p—r —™™élér—tion d9éle™trons m—is peuvent l9être f—it de deux m—nières di'érentesF v— première méthode est l— tomogr—phie ˆ ˜—sé sur un tu˜e à r—yon ˆF …ne h—ute tension éle™trique @de l9ordre de PH à RHH k†A est ét—˜lie entre deux éle™trodesF sl se produit —lors un ™our—nt d9éle™trons de l— ™—thode vers l9—nodeF ves éle™trons sont freinés p—r les —tomes de l— ™i˜le @l9—nodeAD ™e qui provoque un r—yonnement ™ontinu de frein—geD dont une p—rtie du spe™tre U
  10. 10. 8 Tomographie est d—ns le dom—ine des r—yons ˆF €—r —illeursD les —tomes de l— ™i˜le sont ex™ités et émettent à leur tour un r—yonnement ˆ à ™ert—ines énergies ™—r—™E téristiques du m—téri—u de l9—node Y on p—rle —lors de )uores™en™e ˆF v— se™onde méthode est l— tomogr—phie dite 4syn™hrotron4F ve r—yonnement syn™hrotron est un r—yonnement éle™trom—gnétique émis p—r des éle™trons rel—tivistes qui suivent une tr—je™toire ™ir™ul—ire d—ns un —nE ne—u de sto™k—geF €uisque ™es éle™trons modi(ent régulièrement leur ™ourseD leur —™™élér—tion ™h—nge régulièrementF vorsque ™e ™h—ngement survientD ils émettent de l9énergie sous forme de photonsF h—ns un tel —™™élér—teur un ™h—mp m—gnétique intense permet d9—™™élérer un f—is™e—u de p—rti™ulesF hu f—it que les p—rti™ules ™h—rgées se dépl—™ent de f—çon nonEuniforme @p—r exemple sur une tr—je™toire ™ir™ul—ireAD elles émettent un r—yonnement éle™E trom—gnétiqueF ge r—yonnement dépend de l— vitesse des éle™trons m—is ™ouvre une très l—rge p—rtie du spe™tre éle™trom—gnétique X de l9infr—rouge —ux r—yons ˆ dursF gette te™hnique est not—mment mise en pl—™e à l9iƒ‚p @iurope—n ƒyn™hrotron ‚—di—tion p—™ilityA de qreno˜le ‘P“ ‘Q“F …ne fois l— sour™e de r—yon ˆ mise en pl—™eD l9é™h—ntillon à o˜server est pl—™é sur un porte é™h—ntillon qui —ssure l— rot—tionF ve f—is™e—u tr—verse l9é™h—ntillon et le f—is™e—u tr—nsmis est re™ueilli p—r une ™—mér— ghh @en —ngl—is 4gh—rgeEgoupled hevi™e4AF …ne im—ge r—diogr—phique est —insi forE méeF ves deux te™hniques fournissent un résult—t —n—logueF illes di'érent p—r l— t—ille de l9équipement X un tu˜e à r—yons ˆ mesure quelques diz—ines de ™entimètresD un syn™hrotron quelques ™ent—ines de mètresF h—ns l— première l9é™h—ntillon est pl—™é à quelques ™entimètres de l— sour™e —lors que d—ns l— se™ondeD il peut être est situé à plus de ™ent mètresF ves —v—nt—ges du r—yonE nement syn™hrotron sont not—mment l— ˜rill—n™e du f—is™e—uD qui permet de f—ire des —n—lyses mono™hrom—tiques et d9éviter —insi des —rtef—™ts dur™isseE ment de spe™tre propres —ux f—is™e—ux poly™hrom—tiques des tu˜es à r—yons ˆF gel— permet p—r —illeurs de f—ire des —n—lyses r—pides et des expérien™es inEsitu tout en exploit—nt l— ™ohéren™e du f—is™e—uD qui permet d9im—ger des o˜jets peu —˜sor˜—ntsF v9—™quisition des r—diogr—phies à di'érents —ngles de vue permet p—r l— suiteD p—r re™onstru™tion m—thém—tiqueD d9—˜outir à une distri˜ution Qh du ™oe0™ient d9—tténu—tion lo™—l de l9é™h—ntillonF in ™l—ir on —™™ède à l— forme de l9o˜jet en QhF
  11. 11. 2.2 Tomographie électronique 9 Figure PFI ! €hotogr—phie du syn™hrotron de l9iƒ‚pF 2.2 Tomographie électronique v— mi™ros™opie éle™tronique en tr—nsmission @wi„ ou „iw en —ngl—is pour 4„r—nsmission ile™tron wi™ros™opy4A est ™onnue pour être un import—nt outil de re™her™heF v— résolutionD ˜ien meilleure qu9en mi™ros™opie optiqueD lui — —ssuré une utilis—tion ™our—nte d—ns les s™ien™es physiques et ˜iologiquesF ve prin™ipe du mi™ros™ope éle™tronique en tr—nsmission — été mis —u point en IWQI p—r w—x unoll et irnst ‚usk—D ™e dernier — d9—illeurs reçu le prix xo˜el de physique en IWVT pour ™ette inventionF hepuis l— résolution n9— p—s ™essé d9—ugmenter en p—ss—nt de I nm à HFInm —ve™ plusieurs te™hniques —n—lytiques permett—nt de déterminer à l9é™helle —tomiqueD l— stru™tureD les propriétés m—gnétiques ou éle™troniques de l9é™h—ntillonF v9instrument est prin™ip—lement ™omposé d9une sour™e d9éle™tronD d9un ensem˜le de lentilles m—gnétiques et d9un déte™teurF ve f—is™e—u d9éle™trons est tr—nsmis à tr—vers un é™h—ntillon très min™e pour être ensuite enregistré p—r un ™—pteur dédié qui donne n—iss—n™e à une im—geF ƒelon l— théorie d9e˜˜eD l— résolution m—xim—le qu9il est possi˜le d9o˜tenir —ve™ un mi™ros™ope éle™tronique dépend de l— longueur d9onde des éle™tronsF v— limite de résolution R d9un mi™ros™opeD ™9estEàEdire l— plus petite dist—n™e en dessous de l—quelle deux points voisins ne seront plus distinguésD peut être exprimée à l9—ide de l— longueur d9onde d9illumin—tion λD de l9indi™e de réE
  12. 12. 10 Tomographie fr—™tion n en sortie d9o˜je™tifD et de l9—ngle d9ouverture du f—is™e—u d9éle™tron αF R = λ 2n sin α @PFIA v— longueur d9onde équiv—lente d9un éle™tron est donnée p—r l9équ—tion de he froglie X λ = h p @PFPA h—ns ™ette équ—tionD λ est l— longueur d9ondeD h est l— ™onst—nte de €l—n™k et p l— qu—ntité de mouvement de l9éle™tron @„—˜le IAF yn ™omprend don™ que plus l— qu—ntité de mouvement de l9éle™tron est élevée plus l— longueur ser— petite et p—r ™onséquent l— résolution élevéeF e titre de ™omp—r—isonD d—ns un „iwD où le potentiel d9—™™élér—tion est h—˜ituellement de plusieurs diz—ines de milliers de †oltsD l— longueur d9onde peut être de l9ordre de quelques piE ™omètres @10−12 mAD —lors qu9en tomogr—phie ˆD l— longueur d9onde est de l9ordre de un engströmF v— di'éren™e de longueur d9onde entre les ˆ et les éle™trons explique en p—rtie l— di'éren™e de résolution entre mi™ros™opie ˆ et mi™ros™opie éle™troniqueF h—ns un mi™ros™ope éle™troniqueD les éle™trons sont générés p—r un ™—non à éle™trons et —™™élérés p—r un ™h—mp éle™trique produit p—r une di'éren™e de potentiel entre l— sour™e et une —nodeD puis fo™—lisés sur l9é™h—ntillon p—r des lentilles m—gnétiquesF ve f—is™e—u d9éle™trons inter—git —ve™ l9é™h—ntillon —ve™ un ™ontr—ste sp—ti—l résult—nt de di'éren™es de densitéD et mesuré p—r un déte™teur permett—nt —insi de former une im—ge de l— proje™tion d9un é™h—ntillonF U(kv) λ(pm) IHH QDSU QHH IDWU IHHH HDVU „—˜le I E vongueur d9onde en fon™tion de l— qu—ntité de mouvementF
  13. 13. 2.2 Tomographie électronique 11 ge f—is™e—u d9éle™trons est utilisé de m—nière simil—ire —u f—is™e—u ˆ pour générer des proje™tions Ph d9un o˜jet QhF v— géométrie d9—™quisition en toE mogr—phie ˆ peut —insi être tr—nsposée —u ™—s des éle™trons ‘R“ ‘S“ ‘T“F ves données —™quises sont des proje™tions de l9o˜jet o˜tenues à di'érent —ngles de vuesF heux p—r—mètres ™—r—™térisent ™es donnéesD tout d9—˜ord le d阗ttement —ngul—ire puis l9é™h—ntillonn—ge —ngul—ireF …n d阗ttement —ngul—ire idé—lD pour éviter l— perte de donnéesD est de IVH degrés en géométrie p—r—llèleF yrD en mi™ros™opie éle™tronique il est resE treint pour plusieurs r—isonsF v— première est te™hniqueD le mi™ros™ope ne peut p—s ex™éder un d阗ttement —ngul—ire de ISH degrés à ™—use du porte é™h—ntillonF v— se™onde vient de l9é™h—ntillon luiEmêmeF vorsque qu9un o˜E jet est ép—isD le p—r™ours des éle™trons à tr—vers l9o˜jet est —ugmenté et p—r ™onséquent on o˜tient une perte d9inform—tion due à l9—˜sorption des éle™E trons d—ns l— m—tièreF †oilàD l— r—ison pour l—quelleD en mi™ros™opie éle™E troniqueD on p—rle souvent de re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF v9é™h—ntillonn—ge —ngul—ire détermine le nom˜re de proje™tionsF v— formule suiv—nte nous donne l9é™h—ntillonn—ge théoriqueD N le nom˜re de proje™tionD et Nb•pix le nom˜re de pixel sur le ™—pteur ghh ‘I“ X N = Nb•pix PI 2 @PFQA h—ns notre ™—sD il f—udr—it don™ environ ISHH proje™tions pour —voir peu de perte de donnéesF in tomogr—phie éle™troniqueD l est ™our—nt de n9utiliser que ISH proje™tions pour limiter le temps d9—n—lyse et diminuer l— dose déliE vréeF v— longueur d9—tténu—tion est un ˜on moyen de ™omp—r—ison —ve™ les r—yons ˆF v— longueur d9—tténu—tion est l— dist—n™e à p—rtir de l—quelle l9inE tensité du f—is™e—u — diminué d9un f—™teur 1/eD soit environ QU7 de s— v—leur initi—leF €our les r—yons ˆD —ve™ une intensité de Pke† et d—ns du sili™iumD on — longueur d9—tténu—tion du mi™romètreF in mi™ros™opie éle™tronique à tr—nsmissionD on p—rle plus de 4–li˜re p—rE ™ours moyen49 @en —ngl—is 4we—n pree €—th4AD —ve™ les mêmes donnéesD on o˜tient une v—leur de quelques n—nomètres ‘U“F he plusD —ve™ ™ette ™ontr—inteD pour que les é™h—ntillons ne soient p—s dégr—dés dur—nt l9o˜serv—tion et puissent être o˜servés p—r tr—nsmissionD les
  14. 14. 12 Tomographie é™h—ntillons doivent être d—ns l— plup—rt des ™—s prép—rés minutieusementF gette ph—se est très import—nteD ™—r ™9est elle qui détermine en p—rtie l— qu—E lité des résult—ts o˜tenusF v— prép—r—tions ™onsiste à 4usiner4 l9é™h—ntillon pour qu9il —tteigne des dimensions ™omp—ti˜le —ve™ l9instrument @™fF p—rtie RFSAF Figure PFP ! ve „it—n de l— so™iété pisF
  15. 15. 2.3 Sonde atomique tomographique 13 2.3 Sonde atomique tomographique v— tomogr—phie p—r r—yons ˆ permet d9—tteindre des résolutions de l9ordre de SHnmD —ve™ des profondeurs de pénétr—tions ™entimétriquesF v— tomogr—E phie éle™tronique permet d9—tteindre des résolutions de l9ordre de PnmD —ve™ des profondeurs de pénétr—tion de quelques ™ent—ines de n—nomètresF ‚é™emE ment est —pp—ru un nouve—u type de sonde permett—nt de f—ire de l9im—gerie Qh ultimeD —ve™ des résolutions —tomiques X ™9est l— sonde —tomique tomogr—E phique @etom €ro˜e „omogr—phyD e€„AF wême si ™e r—pport ne tr—ite p—s de l9e€„ dire™tementD nous dét—illons ˜rièvement d—ns ™e p—r—gr—phe son fon™tionnementF …ne sonde —tomique tomogr—phique est un mi™ros™ope —n—lytique fourE niss—nt des im—ges tridimensionnelles d9un volume à l9é™helle —tomique ‘V“F v— sonde —tomique ‘W“ peut être —ssimilée à un mi™ros™ope à proje™tion dont le prin™ipe est ˜—sé sur l— physique de l9e'et de ™h—mp et l— spe™trométrie de m—sse à temps de volF v— sonde —tomique tomogr—phique est une sonde —tomique ™l—ssique dotée d9un déte™teur sp—ti—l Ph ‘IH“F ve s™hém— de prin™ipe est présenté sur l— (gure PFQF v9é™h—ntillon est prép—ré sous forme d9une pointe dont le r—yon de ™our˜ure à son extrémité est inférieur à SH nmF ves —tomes en surf—™e de l— pointe sont 4év—porés4 sous l— forme d9ions positifs n fois ™h—rgés grâ™e à l— superposition d9impulsions éle™triques ou l—serD à un potentiel éle™trique positif ™ontinu de plusieurs k†F v— n—ture ™himique des ions est identi(ée p—r un spe™tromètre de m—sse à temps de vol @mesure du temps de vol de l9ion entre l9—pex de l— pointe et le déte™teurAF v— position l—tér—le de l9ion est déterminée à p—rtir des ™oordonnées de son imp—™t sur le multi déte™teur sp—ti—lF v9é™h—ntillon ét—nt év—poré ™ou™he —tomique p—r ™ou™he —tomiqueD l9étude en profondeur permet une re™onstru™tion tridimensionnelle du volume de m—tière év—poréeF „oute l— di0™ulté de ™ette te™hnique réside d—ns l— prép—r—tion d9é™h—nE tillons sous forme de pointes —(n d9o˜tenir un ™h—mp éle™trique intense à son —pexF in mi™roéle™troniqueD les pointes sont l—rgement prép—rées p—r f—is™e—u d9ions q— fo™—lisés et sont o˜tenues en deux ét—pesF h—ns un premier tempsD l9é™h—ntillon à —n—lyser est prélevé du w—fer d9origine et ensuite ™ollé sur 4un support4 de sonde —tomiqueF h—ns un se™ond tempsD on impose —u psf de ˜—l—yer le f—is™e—u d9ions q— à l9intérieur d9un m—sque —nnul—ire —ve™ un di—E mètre interne qui réduit progressivement —(n d9o˜tenir une pointe dont le r—yon de ™our˜ure à l9—pex est inférieur à SH nmF e titre d9exempleD l— (gure PFR présente une —n—lyse en sonde —tomique
  16. 16. 14 Tomographie tomogr—phique o˜tenue sur une multi™ou™he m—gnétostri™tive ™omposée d9un empilement d9une ™ou™he m—gnétostri™tive „˜peP @SnmA et d9une ™ou™he m—E gnétique dou™e go @Q nmAF Figure PFQ ! ƒ™hém— de prin™ipe de l— sonde —tomique tomogr—phiqueF Figure PFR ! ƒ™hèm— ™omp—r—nt les di'érentes te™hniques de tomogr—hpie —ve™ le volume de l9o˜jet en fon™tion de l— résolutionF
  17. 17. Chapitre 3 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 3.1 Conventions 3.1.1 Fantôme de Shepp-Logan ve f—ntôme de ƒheppEvog—n en deux dimensions — été développé en IWUR p—r vFeF ƒhepp et fFpF vog—nF sl simule une tête et un ™erve—u en Ph d—ns le ˜ut de devenir un outil de test en tomodensitométrie et en re™onstru™tion à p—rtir de proje™tion ‘II“F ve modèle utilise dix ellipses de t—illeD d9intensité et de densité des m—téri—ux v—ri—˜lesD —(n de ™orrespondre —u mieux —ux propriétés d9—tténu—tion des r—yons ˆF eve™ l9—vènement de l— QhD un nouve—u f—ntôme Qh — été développé en IWVH p—r vFeF ƒhepp en utilis—nt IU ellipsoïdes —ve™ T nouvelles ™—r—™térisE tiques —n—tomiques @oreillesD nez et ˜ou™heF F F AF ‘IP“ eu ™ours des —nnées VH et WHD le f—ntôme — plusieurs fois évolué —u grès des pu˜li™—tionsF ve dernier f—ntôme QhD f—is—nt o0™e de référen™eD et ™elui présenté d—ns le p—pier de uFwueller ‘IQ“F IS
  18. 18. 16 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Figure QFI ! p—ntôme de ƒheppEvog—n en deux dimensions 3.1.2 Les axes et les notations hur—nt tout le r—pport les mêmes —xes seront utilisésF €our les im—ges et les re™onstru™tionsD l9—ngle de proje™tion ϕ est d—ns le pl—n (x, y)D les im—ges seront don™ re™onstruites d—ns ™e pl—nF v9—xe de tilt est suiv—nt l9—xe zD lors d9une re™onstru™tion QhD l9empilement d9im—ges est don™ suiv—nt ™ette —xeF €our un sinogr—mmeD l9—xe des ϕ est toujours représenté horizont—lementF gon™ern—nt les not—tions les plus utilisées X F est l9opér—teur de l— tr—nsformée de pourier R est l9opér—teur de l— tr—nsformée de ‚—don p est l9opér—teur de proje™tion R# est l9opér—teur de rétroproje™tion
  19. 19. 3.2 Transformée de Fourier 17 3.2 Transformée de Fourier v— tr—nsformée de pourier F est une opér—tion qui tr—nsforme une fon™E tion intégr—˜le sur ‚ en une —utre fon™tionD dé™riv—nt le spe™tre fréquentiel de ™ette dernièreF ƒi f est une fon™tion intégr—˜le sur RD s— tr—nsformée de pourier est l— fon™tion F(f) = ˆf donnée p—r l— formule X F(f) : ξ → ˆf(ξ) = +∞ −∞ f(x)e-iξxdx @QFIA in tr—itement d9im—geD l— tr—nsformée de pourier est un outil m—théE m—tique qui permet p—r exemple de p—sser d9une représent—tion sp—ti—le à une représent—tion fréquentielle des donnéesF ve ™oupl—ge de moyens inforE m—tiques modernes et d9un —lgorithme e0™—™e permett—nt de minimiser le nom˜re d9opér—tions —rithmétiques @p—st pourier „r—nsformA permet d9utiliE ser l— tr—nsformée de pourier de m—nière intensiveD not—mment pour l— reE ™onstru™tion tomogr—phiqueF 3.2.1 Produit de convolution …ne propriété intéress—nte de l— tr—nsformée de pourier est que l— tr—nsE formée de pourier du produit de ™onvolution de deux fon™tions ™orrespond à l— multipli™—tion des tr—nsformées de pourier de ™h—™une des fon™tionsF f g = F-1(F(f) · F(g)) @QFPA gette propriété permet de f—™ilement m—nipuler l9—ppli™—tion su™™essive de deux (ltres @h1 et h2A à une fon™tion fF @h2 (h1 f)A ƒoitD on peut ™—l™uler dire™tement @h1 h2AF €our ensuite tronquer ou —jouter des 0 —u produit pour que l— t—ille de l— ™onvolution ™orreponde à l— t—ille de l9im—ge initi—leF ƒoitD on peut dire™tement se servir de l— tr—nsformée de pourier X F(h2 (h1 f)) = F(h2) · F(h1 f) = F(h2) · F(h1) · F(f) @QFQA
  20. 20. 18 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 3.2.2 Transformée de Fourier inverse ƒi l— tr—nsformée de pourier de f est elleEmême une fon™tion intégr—˜leD l— formule dite de tr—nsform—tion de pourier inverseD opér—tion notée F−1 D est ™elle qui permet de retrouver f à p—rtir des données fréquentielles X f(x) = 1 2π +∞ −∞ ˆf(ξ)e+iξx dξ @QFRA —ve™ X ˆf(ξ) = +∞ −∞ f(x)e−iξx dx @QFSA 3.2.3 Transformée de Fourier 2D v— représent—tion fréquentielle des sign—ux Ph est l9extension dire™te de ™elle des sign—ux monodimensionnelsF v— tr—nsformée de pourier F(u, v) d9un sign—l f(x, y) est X F(u, v) = +∞ −∞ +∞ −∞ f(x, y)e−j(ux+vy)dxdy@QFTA gette formule permet de ™—l™uler l9—mplitude de l— ™ompos—nte du sign—l f(x, y) à l— fréquen™e sp—ti—le (u, v)F
  21. 21. 3.3 Transformée de Radon 19 3.3 Transformée de Radon in IWIUD tF‚—don introduit pour l— première fois l— tr—nsformée de ‚—don ‘IR“F in PhD l— tr—nsformé de ‚—don d9une fon™tion de deux v—ri—˜les est donnée p—r l9ensem˜le des intégr—les sur les droites du pl—inF ille ™orrespond à l— formul—tion m—thém—tique d9une proje™tion X Figure QFP ! †isu—lis—tion géométrique de l— tr—nsformée de ‚—don v— tr—nsformée de ‚—don s9é™rit don™ sous ™ette forme X Rf(ϕ, l) = D(ϕ,l) f(x, y)ds = pϕ(l) @QFUA —ve™ X D(ϕ, l) = {(x, y) ∈ R2 tq x cos ϕ + y sin ϕ = l} @QFVA = {l cos ϕ sin ϕ + s − sin ϕ cos ϕ , ∀s ∈ R2 } @QFWA …ne —utre formul—tion ™our—nte de l— tr—nsformée de ‚—don utilise l— fon™tion hir—™ X
  22. 22. 20 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Rf(l, ϕ) = +∞ −∞ +∞ −∞ f(x, y)δ(x cos ϕ + y sin ϕ − l)dxdy @QFIHA ƒi l9on représente les v—leurs des proje™tions pϕ(l) d—ns un pl—n (ϕ, l) pour tous les ϕ et tous les lD on o˜tient ™e qu9on —ppelle un sinogr—mmeF …n sinogr—mme est en f—it une im—ge dont les lignes su™™essives sont les proje™tions Ih su™™essives Figure QFQ ! @—A sm—ge du f—ntôme de ƒheppEvog—n @im—ge test ™onnue en tomogr—phieAD @˜A ƒinogr—mme ™omplet pour ϕ ™ompris entre −90¦et +90¦F
  23. 23. 3.4 Théorème de la coupe centrale (coupe - projection) 21 3.4 Théorème de la coupe centrale (coupe - projection) ge théorème nous montre qu9il existe un lien dire™t entre l9esp—™e de ‚—don et l9esp—™e de pourier X v— tr—nsformée de pourier Ih de l— proje™tion à l9—ngle ϕ est ég—le à l— ™oupe de l— tr—nsformée de pourier Ph —u même —ngle ‘IS“ ‘IT“F w—thém—tiquement et gr—phiquement ™e™i se tr—duit de l— m—nière suiE v—nte X F1D(Rϕf)(λ) = F2Df(λ cos ϕ, λ sin ϕ) @QFIIA Figure QFR ! ‚eprésent—tion du théorème de l— ™oupe ™entr—leF
  24. 24. 22 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique ge théorème nous —pporte plusieurs éléments fond—ment—ux en re™onsE tru™tion tomogr—phiqueF …n premier pointD que nous verrons d—ns ™ette p—rtieD ™on™erne le nom˜re de proje™tionsF yn rem—rque queD quelque soit le nom˜re de proje™tions uniE formément rep—rtis de H à IVH degrésD l9é™h—ntillonn—ge d—ns l9esp—™e de pouE rier est ˜e—u™oup (n plus —ux ˜—sses fréquen™es @(gF QFSAF gette ™—r—™térisE tique —ur— un imp—™t dire™t sur l— re™onstru™tionF v9im—ge re™onstruite —ur— un e'et de )ou et ™e™i même si l9esp—™e de fourier est entièrement é™h—nE tillonné @(gF QFTAF Figure QFS ! i™h—ntillonn—ge —ngul—ire et r—di—l d—ns le dom—ine de pourier d—ns le ™—s de données ™omplètesF
  25. 25. 3.5 Opérateur de rétroprojection 23 Figure QFT ! ‚étroproje™tion du f—ntôme de ƒheppEvog—n @SIPxSIP pixelsA à p—rtir de IVI proje™tions o˜tenues entre −90¦et +90¦F 3.5 Opérateur de rétroprojection v— rétroproje™tion est un opér—teur permett—ntD à p—rtir de proje™tionsD de re™onstruire une estim—tion de l9im—ge initi—leF h—ns son modèle le plus simpleD il ™onsiste à —™™umuler d—ns ™h—que pixel de l9im—ge à re™onstruire les v—leurs des proje™tions qui le ™on™ernent norm—lisé p—r le nom˜re de pixels —y—nt ™ontri˜ués à ™h—que proje™tion ‘IS“ ‘IT“F eu nive—u m—thém—tiqueD ™et opér—teur s9exprime de l— m—nière suiv—nte X l— rétroproje™tion en (x, y) d9une proje™tion est l— v—leur de l— proje™tion d9—ngle (ϕ, l) @iFe pϕ(l)A —u point sur lequel se projette (x, y)D et v—ut X hϕ(x, y) = pϕ(x cos ϕ + y sin ϕ) @QFIPA €—r ™onséquent l— rétroproje™tion de toutes les proje™tions dé(nit l9opér—E teur de rétroproje™tionF yn l9o˜tient en somm—nt sur tous les —ngles l9équ—E tion pré™édenteF
  26. 26. 24 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Figure QFU ! ixemple de proje™tion et rétroproje™tionF R#[p](x, y) = ϕ pϕ(x cos ϕ + y sin ϕ)dϕ @QFIQA in f—itD on ™onst—te que ™ette rétroproje™tion est une estim—tion imp—rE f—ite de l9im—ge initi—leF sl s9—vèreD qu9en e'etD une simple rétroproje™tion ne su0t p—s à re™onstruire ™orre™tement une im—geF v9im—ge o˜tenue n9est qu9une version )oue de l9im—ge initi—leF v9opér—teur de rétroproje™tion n9est m—thém—tiquement p—s l9inverse de l— tr—nsformée de ‚—donF yn verr— plus t—rd qu9il ™onvient de f—ire pré™éder l9opér—tion de rétroproje™tion p—r une opér—tion de (ltr—geF 3.6 Transformée de Radon inverse gomme on vient de le voirD l— rétroproje™tion n9est p—s l9inverse de l— tr—nsformée de ‚—donF sl est né™ess—ire d9—ppliquer un (ltre —u pré—l—˜leF gette méthode est l— rétroproje™tion (ltréeF ƒ— formule m—thém—tique est donnée p—r ‘IS“ ‘IT“ X f = R#( ˜pϕ) @QFIRA
  27. 27. 3.6 Transformée de Radon inverse 25 —ve™ X ˜pϕ = F-1(F(pϕ) · |W|)) @QFISA gette formul—tion exprime f ™omme l— rétroproje™tion des proje™tions (ltrées p—r le (ltre ‚—mpe |W|F ge résult—t s9o˜tient en é™riv—nt que f est l— tr—nsformée de pourier inverse de s— tr—nsformée de pourier et en utilis—nt le théorème de l— ™oupe ™entr—le dé™rit d—ns le p—r—gr—phe QFRF yn ™ommen™e p—r ™—l™uler l— tr—nsformée de pourrier des proje™tionsF insuite on multiplie p—r un (ltre D en génér—l —ppelé (ltre ‚—mpeF yn prend l— tr—nsformée de pourrier inverse de ™e résult—tF pin—lement on —pplique notre opér—teur de rétroproje™tion sur ™es proje™tions (ltréesF
  28. 28. 26 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 3.7 Spécicité en tomographique électronique 3.7.1 Intérêt de la tomographie éléctronique v— ™ompréhension du pro™essus de re™onstru™tion Qh est ˜—sée sur un ™ert—in nom˜re d9hypothèsesD l— plus intuitive est l9hypothèse que ™e qui est déte™té est une proje™tion de l9o˜jetF in pr—tiqueD l— notion de 4proje™tion4 est très l—rgement —doptéeD et ™9est d—ns ™ette optique que tF‚—don — proposé une première formul—tion m—thém—tique du ™on™ept de proje™tion ‘IR“F …ne question légitime est de se dem—nder si l— notion de proje™tion est v—lide en mi™ros™opie éle™troniqueD où l9intuition pourr—it ˜ien nous —mener à penser le ™ontr—ireF v— plup—rt des prin™ipesD vus pré™édemmentD ont d9—˜ord été él—˜orés pour l— tomogr—phie à r—yon ˆF in e'etD les inter—™tions éle™tronE é™h—ntillon sont très di'érentes de ™elles ren™ontrées d—ns l— tomogr—phie p—r r—yons ˆD les é™h—ntillons euxEmêmes sont de n—ture très di'érentesF sl — été montré ‘IU“ ‘IV“D qu9un p—r—llèle peut être f—it entre l— proje™tion d9un o˜jet en mi™ros™opie en r—yon ˆ et l— proje™tion d9un o˜jet en mi™ros™oE pie éle™troniqueF in tomogr—phie à ‚—yon ˆD l— loi de feerEv—m˜ert permet d9exprimer un )ux tr—nsmis I0 en fon™tion du )ux in™ident I X I(E) = I0(E)e-µ(E, z)e @QFITA µ est le ™oe0™ient d9—tténu—tionF sl dépend de l9énergie et du m—téri—u @numéros —tomique AF e est l9ép—isseur tr—verséeF …ne formul—tion simil—ire peut être ét—˜lie —ve™ des )ux d9éle™trons X I = I0(E)e-n ψ(α)ρe @QFIUA xous —vons i™i N qui est le nom˜re d9evog—droD ψ est l— se™tion e0™—™e de di'usion qui dépend de l9—ngle limite de di'usionF ρ et e ét—nt respe™tivement l— densité et l9ép—isseur de l9o˜jet tr—verséF v9inversion de l— tr—nsformée de ‚—don et l— notion d9intégr—le liné—ire sont don™ —ppli™—˜le à l— tomogr—phie éle™troniqueF
  29. 29. 3.7 Spécicité en tomographique électronique 27 3.7.2 L'angle limité h—ns les p—rties pré™édentesD nous —vons vu que le théorème de l— ™oupe ™entr—leD nous —pport—it des éléments fond—ment—ux en re™onstru™tion tomoE gr—phique …n des points ™on™erne le d阗ttement —ngul—ire de l9—™quisitionF gomme nous l9—vons vu d—ns le ™h—pitre pré™édentD en tomogr—phie éle™troE nique nous —vons un pro˜lème d9—ngle limitéF in e'etD les proje™tions RfϕD ne sont ™onnues que pour les —ngles ϕ —pp—rten—nt à un sous ensem˜le de l— demiEsphèreF in règle génér—leD ™e sous ensem˜le est de l9ordre de −75¦à +75¦F ge™i entr—îne dire™tement une perte de donnée d—ns l9esp—™e de pourier @pigF QFVA et p—r ™onséquent une perte de donnée d—ns l9esp—™e réelF †isuelleE ment ™el— se tr—duit p—r une grosse perte de résolution d—ns le sens verti™—lF €—r exempleD l— re™onstru™tion d9un ™er™le —ur— tend—n™e à ressem˜ler plutôt à une ellipse @pigF QFWAF yn ne s—it p—s re™onstruire les v—ri—tions d—ns ™erE t—ines dire™tionsF Figure QFV ! i™h—ntillonn—ge —ngul—ire et r—di—l d—ns le dom—ine de pourier d—ns le ™—s de données —ngul—ires m—nqu—ntes typiques de l— tomogr—phie éle™troniqueF
  30. 30. 28 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Figure QFW ! ‚étroproje™tion du f—ntôme de ƒheppEvog—n @SIPxSIP pixelsA à p—rtir de IPI proje™tions o˜tenues entre −60¦et +60¦F
  31. 31. Chapitre 4 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.1 Problématique gomme il — été présenté plus h—ut l— re™onstru™tion tomogr—phique ™onsiste à re™onstruire un o˜jet à p—rtir des ses proje™tionsF h—ns le ™—s p—rti™ulier de l— tomogr—phie éle™troniqueD il n9est p—s possi˜le d9—™™éder à un d阗ttement —ngul—ire su0s—nt pour re™onstruire de m—nière optim—leF h9un point de vue m—thém—tique —ppliquéeD ™e™i en f—it un pro˜lème inverse m—l posé —u sens où X ! sl n9existe p—s une solution uniqueD en e'et il exister— toujours plusieurs o˜jets ™omp—ti˜les —ve™ un ensem˜le (ni de proje™tionsF ! ve ˜ruit des données f—usse énormément l— re™onstru™tionF …ne di'éE ren™e minime d—ns les proje™tions engendre un 陗rt import—nt d—ns l— re™onstru™tionF v— solution risque don™ de ne p—s être st—˜leF PW
  32. 32. 30 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFI ! ixemple de deux im—ges di'érentes donn—nt des proje™tions de forme identique m—is dont les intensités sont di'érentesF eve™ ™ette (gureD on s9—perçoitD qu9—u delà de l— formeD les intensités sont très import—ntes en re™onstru™tionF in pr—tique on n9o˜tiendr— don™ p—s de solution m—is plutôt une —pproxiE m—tionF h9un point de vue m—thém—tiqueD l— re™onstru™tion ™orrespond à l— minimis—tion d9une fon™tionnelle et d—ns notre ™—s pré™isD il ser— di0™ile de ™onverger vers le minimum glo˜—l de l— fon™tionnelleF e ™el— on —joute un —utre pro˜lème de t—illeD qui est l9—ngle limitéF gomme nous —vons pu le voir d—ns le ™h—pitre pré™édentD il dén—ture gr—ndement l9im—geF v— (gure PD qui montre trois re™onstru™tions d9un même o˜jetD nous f—it ˜ien ™omprendre le pro˜lèmeF
  33. 33. 4.1 Problématique 31 Figure RFP ! @—A sm—ge origin—leD @˜A h阗ttement —ngul—ire des Q re™onsE tru™tionsD @™A ‚e™onstru™tion —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de −65¦à +65¦D @dA ‚e™onstru™tion —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de +25¦à +155¦D @eA ‚eE ™onstru™tion —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de −20¦à +110¦F e(n de ˜ien ™omprendre le pro˜lème de l9—ngle limitéD nous —vons simulé un o˜jet Ph dont nous —vons généré numériquement les proje™tions sur des dom—ines —ngul—ires di'érents et illustrés sur l— (gure RFPF h—ns le premier ™—s @(gF RFP™AD le d阗ttement —ngul—ire permet de mesuE rer des proje™tions et don™ des intégr—les liné—ires perpendi™ul—irement —ux fréquen™es horizont—les sur les im—gesD ™e qui permet de re™onstruire ™orE re™tement les dis™ontinuités horizont—les m—is ne permet p—s d9—™™éder —ux fréquen™es verti™—lesF h—ns le ™—s de l— (gure RFPdD l— situ—tion est inverséeF v— (gure RFPe montre l9intérêt d9—d—pter l9orient—tion initi—le de l9o˜jet p—r r—pport —u f—is™e—u pour un d阗ttement —ngul—ire restreint donnéF €our un o˜jet ™onten—nt essentiellement des fréquen™es verti™—les et horizont—les et pour un même d阗ttement —ngul—ire restreint donnéD i™i 130¦D il est plus intéress—nt de mesurer sur un d阗ttement [+20¦; +110¦] que sur [−65¦; +65¦] ™—r on re™onstruit —lors rel—tivement ˜ien les dis™ontinuités verti™—les et horiE zont—les —u dépend des dis™ontinuités 4di—gon—les4D peu présentes sur l9o˜jetF
  34. 34. 32 Reconstruction en tomographie à angle limité gomme il — été énon™é d—ns les o˜je™tifsD —(n de ˜ien ™omprendre tous les m陗nismes de l— re™onstru™tion tomogr—phiqueD nous —llons ™ommen™er p—r tr—v—iller en Ph —ve™ le f—ntôme de ƒheppEvog—n —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de 150¦F ves deux ™h—pitres qui suiventD ™on™erneront deux types de re™onstru™E tions di'érentesF v— re™onstru™tion —n—lytique —ve™ l— rétroproje™tion (ltrée @‡eight f—™kE€roje™tion ‡f€AF g9est une résolution du pro˜lème exprimé sous forme ™ontinueD vi— le théorème de l— ™oupe ™entr—leF ve pro˜lème inE verse est exprimé m—thém—tiquement sous l— forme d9une équ—tion intégr—leD et l— dis™rétis—tion se f—it à l9implément—tionF v— se™onde méthode ™on™erne les —lgorithmes itér—tifs tels que le ƒs‚„ @ƒiE mult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hni™A ou en™ore le e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hni™AF gette fois ™iD ™9est une résolution du pro˜lème sous forme dis™rèteD vi— l— résolution d9un système m—tri™ielF ve pro˜lème dire™t est dis™rétisé d9em˜lée et est ensuite inverséF it—nt donné que l9on — les im—ges initi—lesD on pourr— voir à quel point les —lgorithmes ™onvergentF h—ns les p—rties qui suivent nous —llons ég—lement présenter les —lgoE rithmes de re™onstru™tion en w—tl—˜D il est don™ né™ess—ire de se mettre d9—™™ord sur les not—tions utilisées X „het— viste des —ngles d9—™quisitions €r „—˜le—u ™onten—nt toutes les proje™tions ‚es sm—ge résult—t
  35. 35. 4.2 Méthodes analytiques 33 4.2 Méthodes analytiques ges méthodes sont très ˜ien dét—illées d—ns les référen™es ‘I“@théorie et implément—tionAD ‘IT“@théorieA et ‘IW“F 4.2.1 Rétroprojection gette te™hnique de re™onstru™tion est l— plus simpleD elle ™orrespond à l— méthode dé™rite pré™édemment d—ns l— p—rtie QFSF ve d阗ttement —ngul—ire ϕ v— de −75¦à +75¦F R#[p](x, y) = ϕ pϕ(x cos ϕ + y sin ϕ)dϕ @RFIA Figure RFQ ! ixemple de ‚étroproje™tion —ve™ son histogr—mme des intenE sitésF yn rem—rque ˜ien l9e'et de )ou qui résulte de ™ette re™onstru™tionF get e'et est —ussi per™epti˜le sur l9histogr—mme des intensitésD le résult—t est un liss—ge de l9origin—lF
  36. 36. 34 Reconstruction en tomographie à angle limité eu nive—u de l9—lgorithmeD il est ég—lement très simple en w—tl—˜ X Figure RFR ! elgorithme de ‚étroproje™tionF 4.2.2 Rétroprojection ltrée gette méthode de re™onstru™tion est un peu plus él—˜orée que l— pré™éE dente et permet de re™onstruire de m—nière ex—™te un o˜jet d—ns le ™—s de données ™omplètesF ille ™orrespond vr—iment à l— tr—nsformée de ‚—don inE verseD ™omme elle — été dé™rite d—ns l— p—rtie QFTF ve d阗ttement —ngul—ire ϕ v— de −75¦à +75¦F f(x, y) = R#(F-1(F(pϕ) · |W|)))(x, y) @RFPA gette méthode ™onsiste à dé™omposer l9im—ge rétroprojetée grâ™e à l— tr—nsformée de pourier puis à l— re™omposer en ™h—nge—nt pré—l—˜lement le poids des ™ompos—ntes de fréquen™es di'érentesF einsiD on peut diminuer l— ™ompos—nte de ˜—sse fréquen™e de l9im—ge que l9on s—it être l— sour™e du )ou o˜servéF
  37. 37. 4.2 Méthodes analytiques 35 Figure RFS ! ixemple de ‚étroproje™tion (ltrée —ve™ son histogr—mme des intensitésF eve™ ™ette méthodeD on o˜tient un meilleur résult—tF in o˜serv—nt l9hisE togr—mmeD on rem—rque que l— distri˜ution des nive—ux de gris est plus (neD on — ˜e—u™oup moins l9e'et de )ouF ves —rtef—™ts résiduels en h—ut et en ˜—s du f—ntôme sont dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF yn note —ussi l— présen™e d9—rtéf—™ts de r—ies d—ns l9im—geD ™es stries ét—ient —ussi présentes d—ns l— rétroproje™tion simple m—is —tténuées à ™—use du )ouF illes sont dues à l9é™h—ntillonn—ge —ngul—ire qui est trop f—i˜leF in e'etD nous —vonsD i™iD que ISI proje™tionsF v— règle dé™rite d—ns le ™h—pitre PFP n9est p—s respe™tée ™—r d9une p—rtD on souh—ite réduire le temps d9—n—lyse —insi que l— dose délivréeD et d9—utre p—rt on ™her™he à limiter le temps de ™—l™ulF gon™ern—nt les (ltresD il existe plusieurs types v—ri—ntes d9un même (ltreF ve (ltre 4‚—mp4 est le plus utiliséF w—tl—˜ propose des v—ri—ntes ™omme les (ltres 4r—nning4 ou 4r—mming4F w—is le (ltre 4‚—mp4 ser— ™elui qu9on utiliser— d—ns nos re™onstru™tionsF
  38. 38. 36 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFT ! ixemple de (ltre d—ns l9esp—™e de pourierD @—xe gr—dué en fréquen™eAF ve (ltre théorique est le (ltre 4r—mpe4 @(gF RFT—AF sl possède deux ™—r—™E téristiques prin™ip—les X il —mpli(e les ™ompos—ntes de h—utes fréquen™es et il —nnule l— ™ompos—nte ™ontinue du sign—l ™e qui — pour e'et d9introduire des v—leurs nég—tives ™—r l— ™ompos—nte ™ontinue représente l— moyenne du sign—lF ve (ltr—ge introduit lo™—lement des v—leurs nég—tives sur ™h—™une des proje™E tions (ltrées qui ne sont p—s ™ompensées p—r les —utres proje™tions (ltréesD puisque ™ert—ines proje™tions sont m—nqu—ntesF ƒi l9on dispose de toutes les proje™tionsD —lors il n9y — plus de v—leurs nég—tivesF ve (ltre r—mpe seul est un (ltre p—sseEh—ut qui —mpli(e fortement les h—utes fréquen™es et don™ le ˜ruitF €our ™orriger ™et e'etD il est né™ess—ire de f—ire un fenêtr—ge de ™e (ltre —(n de r—mener les extrémités à HF v— méthode l— plus ™l—ssique ™onsiste à multiplier le (ltre ‚—mp p—r une fenêtre de r—nning @(ltre p—sseE˜—sA pour o˜tenir le (ltre de r—nning de l— (gure RFT˜F sl existe ég—lement d9—utre (ltre ™onnu tel que r—mming ou futterworthF v9—lgorithme ™on™ern—nt ™ette te™hnique est ég—lement très simple X Figure RFU ! elgorithme de rétroproje™tion (ltréeF
  39. 39. 4.2 Méthodes analytiques 37 4.2.3 Conclusion €our ™on™lure sur ™es deux te™hniques de re™onstru™tionD on dir— juste qu9elles ne sont p—s —d—ptées à notre pro˜lèmeF fien qu9elles nous —ient perE mis de ™omprendre les prin™ipes de ˜—ses de l— re™onstru™tion tomogr—phiqueD elles ne se prêtent p—s à une ™—r—™téris—tion dét—illéeF in e'etD ™omme on — pu le voir d—ns l— p—rtie RFPFID l— re™onstru™tion qui résulte de l— rétroproE je™tion simple est ˜e—u™oup trop )oue pour espérer tr—v—iller dessusF h—ns l— p—rtie RFPFP nous —vons vu que même si le pro˜lème de )ou est régléD il réside en™ore plusieurs pro˜lèmes tel queD les —rtéf—™ts de r—ies ou en™ore les v—leurs nég—tives d—ns les im—gesF ges pro˜lèmesD dus respe™tivement à l9é™h—ntillonn—ge et —u (ltreD ne nous permettent toujours p—s d9—voir une ™—r—™téris—tion dét—illée de l9o˜jetF he plus les —rtéf—™tsD engendrés p—r les données —ngul—ires m—nqu—ntesD présent en h—ut et en ˜—s de l9im—geD dén—E turent fortement ™ette dernièreF h—ns l— p—rtie suiv—nteD nous verrons don™ d9—utres —lgorithmes dits 4itér—tifs4 qui tendent à réduire ™es —rtéf—™tsF Figure RFV ! @—A sm—ge origin—leD @˜A ‚étroproje™tionD @™A ‚étroproje™tion (ltréeF
  40. 40. 38 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.3 Méthode algébrique ges méthodes sont très ˜ien dét—illées d—ns les référen™es ‘PH“ ‘PI“ ‘PP“F 4.3.1 Principe mathématique ves —lgorithmes de re™onstru™tion itér—tive reposent sur l— résolution d9un système m—tri™iel qui s9exprime de l— m—nière suiv—nte X P = R · f @RFQA P est le ve™teur de mesuresD ™h—que ™ompos—nte ét—nt une v—leur de proE je™tionF ƒ— t—ille 4m4 est ég—l —u produit du nom˜re de proje™tions p—r le nom˜re de points p—r proje™tionF f est le ve™teur des v—leurs re™her™hées en ™h—que pixelD ™h—que ™ompos—nte ét—nt l— v—leur d9—tténu—tion en un pixel de l9im—ge Y elle est de t—ille 4n4 ég—le —u nom˜re tot—l de pixelsF R est l— m—tri™e de proje™tionD de t—ille m ∗ nF gette m—tri™e ne dépend que de l9—™quisition et p—s des donnéesF €our —voir un ordre d9idée si on — 150 proje™tions d9une im—ge de t—ille 300 ∗ 300 pixelsD —lors on o˜tiendr— IQ SHH HHH équ—tions —ve™ —ut—nt d9inE ™onnuesF h—ns le ™—dre de l9év—lu—tion rel—tive des di'érentes —lgorithmes en tomoE gr—phie éle™troniqueD nous —vons implémenté ™h—que —lgorithme en utilis—nt le logi™iel w—tl—˜ et not—mment les fon™tions 4r—don4 et 4ir—don4F gette imE plément—tion s9est f—it sous ‡indowsF ve €g possède un g€… gore P huo PDQ qrz et Pqo ‚ewF 4.3.2 Principe algorithmique €our expliquer plus ™l—irement les —lgorithmes itér—tifsD —dmettons que l9on ™omp—re les proje™tions de dép—rt @les données initi—lesA —ve™ les proje™E tions o˜tenues —près —voir reprojeté une re™onstru™tion simple des données initi—lesF gette reproje™tion ne ser— p—s identique à l9origin—lD et l— di'éren™e entre elles est ™—r—™téristique de l9erreur de l— re™onstru™tion à p—rtir de donE nées in™omplètesF
  41. 41. 4.3 Méthode algébrique 39 sl existe plusieurs f—çons pour mesurer ™ette di'éren™e et l9utiliser —(n d9—méliorer l— première re™onstru™tionF xous verrons deux te™hniquesF v— première est l— méthode e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hniqueA et l— seE ™onde l— méthode ƒs‚„ @ƒimult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hniqueAF v9e‚„ — l— p—rti™ul—rité de tr—iter les proje™tions une p—r une —u ™ours de l9—lgorithme ™ontr—irement —u ƒs‚„ qui les tr—ite toutes en même tempsF ƒiE non le prin™ipe glo˜—l est le mêmeF v— di'éren™e que l9on — énon™ée pré™édemment peut être vue ™omme une 4di'éren™e de sinogr—mme4F g9est le point de dép—rt des —lgorithmesF gette di'éren™e — été ™—l™ulée en ™omp—r—nt les proje™tions initi—les —ve™ les proje™tions d9une im—ge pré—l—˜lement initi—lisée @(gF RFWAF insuite ™ette di'éren™e est rétroprojetéeD on o˜tient —lors une 4di'éren™e de re™onstru™tion4F qrâ™e à ™ette dernière on met à jour notre im—ge qui —v—it été pré—l—˜lement initi—liséeF yn o˜tient —lors une première —pproxim—tion de re™onstru™tionF sl est néE ™ess—ire de répéter ™ette pro™édure plusieurs foisD —ve™ l9im—ge mise à jour à l— pl—™e de l9im—ge initi—liséeD pour o˜tenir un résult—t ™orre™tF ve ™—l™ul des di'éren™es et l— mise à jour peuvent se f—ire de f—çon —dditive ou multipli™—tiveF in e'etD soit on ™—l™ule les di'éren™es —ve™ une soustr—™E tion et d—ns ™e ™—s l— mise à jour ser— une simple —ddition soit en f—is—nt un r—tio et d—ns ™e ™—s l— mise à jour ser— une multipli™—tionF v9initi—lis—tion se fer— di'éremment selon le ™hoix de l— mise à jour X si on ™hoisit une version —dditive —lors il f—ut initi—liser l9im—ge —ve™ à zéro et à un si on ™hoisit l— version multipli™—tiveF ve nom˜re d9itér—tions est ™hoisi de m—nière empirique et vient 4régul—riE ser4 l— re™onstru™tionF €our le ƒs‚„D il f—ut ™ompter environs une vingt—ine d9itér—tions p—r ™ontre pour le e‚„ il en f—ut ˜e—u™oup moinsD environ R ou SF in e'etD d—ns le e‚„ à ™h—que itér—tionD on ™omp—re ™h—que proje™E tion indépend—mment et on rétroprojette ég—lement ™h—que 4di'éren™e de proje™tions4 indépend—mmentF 4.3.3 Méthode ART (Algebraic Reconstruction Tech- nique) v— méthode e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hniqueA ™onsiste à ™orE riger les ™oe0™ients fi de f en utilis—nt une proje™tion à ™h—que foisF v9exE
  42. 42. 40 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFW ! ƒ™hém— dé™riv—nt le pro™essus d9une re™onstru™tion itér—tiveD —ve™ N ™omme nom˜re d9itér—tion ‘PQ“ ‘PR“F
  43. 43. 4.3 Méthode algébrique 41 Figure RFIH ! @—A e‚„ —dditif à plusieurs itér—tionsD @˜A ristogr—mme des intensitésF pression m—thém—tique de l— ™orre™tion selon l— méthode e‚„ s9é™rit de l— m—nière suiv—nte X f (k) i = f (k−1) i + λ · Rij · (pj − Rj · f(k−1) ) ||Rj||2 @RFRA gette équ—tion s9interprète de l— m—nière suiv—nte X gh—que ™ompos—nte i du ve™teur f(k) à l9itér—tion k est ™orrigée en —jouE t—nt à l— v—leur f (k−1) i o˜tenue à l9itér—tion pré™édente un ™oe0™ient proporE tionnel à l— di'éren™e entre l— donnée pj et l— proje™tion re™—l™ulée à p—rtir de f(k−1) D ég—le à Rj ·f(k−1) F λ estD d—ns ™ette équ—tionD un f—™teur de rel—x—tion qui permet de m—itriser l— ™onvergen™e de l9—lgorithmeF
  44. 44. 42 Reconstruction en tomographie à angle limité ves im—ges o˜tenues p—r re™onstru™tion e‚„ présentent moins d9—rtef—™ts que ™elles o˜tenues p—r rétroproje™tion (ltréeF fien qu9—u nive—u des intensiE tés ™el— sem˜le ™orre™tD on — un petit e'et de )ou m—is surtout des r—ies très import—ntesF get —rtef—™t est dû —u f—it qu9on tr—ite les proje™tions les unes —près les —utres et don™ que l— dernière — plus de poids d—ns l— re™onstru™tionF €our minimiser ™et e'etD les proje™tions peuvent être tr—itées —lé—toirementF yn p—rle en —ngl—is d9 yrdered ƒu˜setF gomme on peut le voirD ™et —lgorithme ™onverge —près très peu d9itér—E tionF gepend—ntD —u nive—u du temps d9exé™utionD il est tout de même moins r—pide que l9—lgorithme ƒs‚„F e ™h—que itér—tionD on rétroprojette —ut—nt de fois qu9il y — de proje™tionsF ves rétroproje™tions ne sont f—ites que sur une seule proje™tion ™ontr—irement —u ƒs‚„D don™ ˜e—u™oup moins ™oûteuses m—is il y — en — ˜e—u™oup plusF
  45. 45. 4.3 Méthode algébrique 43 Figure RFII ! elgorithme e‚„ —dditifF get —lgorithme 4e‚„ 4 est très pro™he de l9—lgorithme dé™rite sur l— (gure RFWD il possède juste une ˜ou™le supplément—ire sur les proje™tionsD qui permet de les tr—iter ™h—™une à leur tourF 4.3.4 Méthode SIRT (Simultaneous Iterative Recons- truction Technique) v— méthode ƒs‚„ @ƒimult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hniqueA ™onsiste à e'e™tuer l— ™orre™tion de ™h—que ( en utilis—nt tous les proje™E tions à l— foisF v9équ—tion permett—nt d9év—luer f(k) p—r ™orre™tion de f(k−1) est l— suiE v—nte X
  46. 46. 44 Reconstruction en tomographie à angle limité f (k) i = f (k−1) i + λ · ( j pj ij Rij − j Rj · f(f−1) j ||Rj||2 ) @RFSA v— somm—tion port—nt sur l9ensem˜le des indi™es j tels que le r—yon j tr—verse le voxel à re™onstruireF gette méthode est plus lente que l9e‚„ et né™essite plus de mémoireF Figure RFIP ! @—A ƒs‚„ multipli™—tif à plusieurs itér—tionsD @˜A ristogr—mme des intensitésF gontr—irement à l— rétroproje™tion (ltrée on — plus ™et e'et indésir—˜le de )ouF ve ™ontr—ste est ˜e—u™oup plus fortD ™e qui se ™on(rme —ve™ l9histoE gr—mme des intensitésF ves —rtéf—™ts des r—ies ont ég—lement disp—rusF w—is le plus s—tisf—is—nt ™9est le f—it que le pro˜lème des données —ngul—ires m—nE qu—ntes est moins )—gr—ntF gertes il est toujours présent m—is le ˜ut n9est p—s de le supprimerD ™e qui est impossi˜leD m—is d9exploiter —u mieux les données disponi˜les pour le réduire —u m—ximumF
  47. 47. 4.3 Méthode algébrique 45 Figure RFIQ ! elgorithme ƒs‚„ multipli™—tifF get —lgorithmeD un peu plus ™omplexe qu9une rétroproje™tionD et ˜e—uE ™oup plus e0™—™e en terme de rendu p—r ™ontre —u nive—u du temps d9exé™uE tion il est ˜e—u™oup plus longF yn peut f—™ilement ™—l™uler ™e temps d9exéE ™ution —ve™ ™et —lgorithme X ƒoit ND le nom˜re d9itér—tion et s—™h—nt qu9une rétroproje™tion est environ deux fois plus longue qu9une proje™tionD on peut dire que ™et —lgorithme est entre 1.5 et 2N fois plus lent qui rétroproje™tion (ltréeF 4.3.5 Conclusion yn vient de présenter les ˜—ses des prin™ip—ux —lgorithmes itér—tifs que l9on peut utiliser en re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF gette liste est non exh—ustive et n9in™lut p—sD p—r exempleD les —ppro™hes —n—lytiques —ve™ des (ltres —d—ptésD les —ppro™hes in™lu—nt une régul—ris—tion ou un moE dèle d9o˜jetD ou en™ore les —ppro™hes ˜—sées sur les ondelettesF
  48. 48. 46 Reconstruction en tomographie à angle limité gomme on vient de le voirD ™es —ppro™hes sem˜lent st—˜les m—is il ne f—ut p—s ou˜lier qu9i™i on ne tr—v—ill—it qu9—ve™ un f—ntôme numériqueD des proje™tions —™quises suiv—nt une géométrie p—rf—ite et des proje™tions non ˜ruitéesF ge ser— tout —utre —ve™ de vr—ies données expériment—lesF 4.4 Tomographie en double-axe 4.4.1 Principe h—ns le ™h—pitre pré™édentD nous venons de voir quelques —lgorithmes de re™onstru™tion qui ont f—it ressortir l— dégr—d—tion des im—ges à ™—use des données —ngul—ires m—nqu—ntesF Figure RFIR ! ‚eprésent—tion des données en Qh d—ns l9esp—™e de pourierD en rouge l9—xe de tiltF
  49. 49. 4.4 Tomographie en double-axe 47 h—ns ™ette p—rtieD nous —llons étudier l— méthode dite 4dou˜leE—xes4 @4du—lE—xis4 en —ngl—isA qui permet de réduire les —rtéf—™ts dus —ux donE nées —ngul—ires m—nqu—ntesF gette te™hnique utilise plusieurs jeux de donE nées ™roisés —(n de ™ompléter plus en dét—il l9esp—™e de pourier ‘PS“ ‘PT“F v9—™quisition des données — un rôle prépondér—nt d—ns ™ette te™hniqueF in e'etD l— géométrie d9—™quisition se doit d9être étudiée pour —voir le moins de vide possi˜le d—ns l9esp—™e de pourierF vorsque l9on possède deux jeux de donnéesD d—ns l9idé—lD ils doivent —voir leurs —xes de tilt perpendi™ul—iresF Figure RFIS ! ‚eprésent—tion de deux jeux de données en Qh d—ns l9esp—™e de pourierD en rouge les —xes de tilt perpendi™ul—iresF
  50. 50. 48 Reconstruction en tomographie à angle limité ges jeux de données peuvent ensuite être —sso™iésD pour venir ™ompléter le dom—ine de pourier @(gF RFITAF Figure RFIT ! ‚eprésent—tion de l9esp—™e de pourier en du—lE—xis Qh ‘PU“F 4.4.2 Algorithme v— te™hnique de re™onstru™tion en dou˜leE—xe repose sur les mêmes te™hE niques de re™onstru™tion vues pré™édemmentF v— première méthode de re™onstru™tion en dou˜leE—xeD l— plus intuitiveD ™onsiste à sommer d—ns l9esp—™e de pourier le résult—t des re™onstru™tions o˜tenues —ve™ les deux jeux de donnéesF gette méthode est indépend—nte de l— te™hnique de re™onstru™tion que l9on utiliseF €our une rétroproje™tion simpleD on o˜tient l— formul—tion m—thém—tique suiv—nte X f(x, y) = F−1 (F(R# (pϕ)(x, y)) + F(R# (pφ)(x, y))) @RFTA ϕ et φ représente deux d阗ttements —ngul—ires @(gF RFITAF
  51. 51. 4.4 Tomographie en double-axe 49 sl existe une se™onde méthodeD liée —ux —lgorithmes itér—tifsD qui v— utiliE ser un jeu de données di'érents à ™h—que itér—tionF ge pro™édé est très ˜ien dé™rit d—ns ™e s™hém— X Figure RFIU ! ƒ™hém— dé™riv—nt l9—lgorithme ƒs‚„ en dou˜leE—xeF gette te™hnique est très pro™he de l9—lgorithme ƒs‚„ du ™h—pitre pré™éE dentF gepend—nt l9initi—lis—tion di'ère légèrementF gontr—irement —ux —lgoE rithmes itér—tifs vus pré™édemmentD où l9initi—lis—tion ét—it f—ite —ve™ une rétroproje™tionD l9initi—lis—tion pour l9—lgorithme dou˜leE—xe ™orrespond à l— formul—tion m—thém—tique ™iEdessusF …ne rétroproje™tion est f—ite pour ™h—que jeu de données puis les résult—ts sont sommés d—ns l9esp—™e de pouE rierF v— ˜ou™le itér—tive di'ère ég—lementD selon que l9itér—tion soit p—ire ou imp—ireF ƒelon les ™—sD p—ire ou imp—ireD l— mise à jour du volume re™onstruit se fer— —ve™ un jeu de donnée ou un —utreF e l9itér—tion suiv—nte le se™ond jeu de donnée ser— utiliséF
  52. 52. 50 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.4.3 Reconstruction en double-axe 3D e(n de tester l9—lgorithme dou˜leE—xe on utilise le f—ntôme de ƒheppE vog—n QhF ve volume f—it 256∗256∗256 pixelsF xotre ™on(gur—tion de w—tl—˜ ne permett—nt p—s de tr—iter des données plus volumineusesD il ser— né™esE s—ire de s—uveg—rder les données intermédi—ire en ˜in—ire d—ns des (™hiers tempor—iresF v9—™quisition des données s9est f—ite selon les —xes de tilt X et ZF e ™h—que fois nous —vons utilisé un d阗ttement —ngul—ire de 120¦F e(n de ™omp—rer les —lgorithmes et les im—ges o˜tenuesD on étudier— les ™oupes pour Z = 128 et Z = 75 sur un tot—l de 256 ™oupesF gette im—ge nous donne déjà un —perçu du f—ntôme origin—l X Figure RFIV ! sm—ge origin—le du f—ntôme vu @en h—utA d—ns le pl—n @ˆ‰A et @in ˜—sA d—ns le pl—n @‰AF
  53. 53. 4.4 Tomographie en double-axe 51 €our ˜ien ™omprendre l9imp—™t des données —ngul—ires m—nqu—ntes en fon™tion de l9—xe de tiltD nous —llons ™omp—rer les mêmes ™oupes que d—ns l— (gure RFIV m—is —ve™ deux re™onstru™tions di'érentesF illes sont toutes les deux re™onstruites —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„ —ve™ PH itér—tions m—is —ve™ des —xes de tilt di'érentsF v— première est selon l9—xe Z et l— se™onde selon l9—xe XF Figure RFIW ! ‚e™onstru™tionD d9un jeu de donnée —y—nt l9—xe Z ™omme —xe de tiltD —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„ @PH itér—tionsAF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F
  54. 54. 52 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPH ! ‚e™onstru™tionD d9un jeu de donnée —y—nt l9—xe X ™omme —xe de tiltD —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„ @PH itér—tionsAF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F gomme on peut le voir ™es (gure RFIW et RFPHD l9inform—tion présente d—ns ™es deux re™onstru™tions est très di'érenteF illes sontD en f—itD ™omplémenE t—iresF ƒi l9on somme ™es deux re™onstru™tions d—ns l9esp—™e de pourier on o˜E tient une meilleure re™onstru™tion X
  55. 55. 4.4 Tomographie en double-axe 53 Figure RFPI ! ƒomme selon l9équ—tion @IA de deux re™onstru™tions —ve™ des —xe de tilt selon X et ZF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F gomme on peut le voir sur l— (gure RFPID le f—it de sommer nos deux re™onstru™tions d—ns l9esp—™e de pourierD ™orrige en p—rtie les —rtéf—™ts dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF gepend—ntD ™ette te™hnique ne les ™orE rige p—s entièrementD il su˜siste un e'et de )ou import—nt selon les —xes de tilt @respe™tivement horizont—le et verti™—leAF g9est pourquoi il est né™ess—ire d9utiliser l9—lgorithme itér—tif dé™rit d—ns l— (gure RFIUF yn o˜tient —lors l— re™onstru™tion suiv—nte X
  56. 56. 54 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPP ! ‚e™onstru™tion de deux jeux de données —ve™ l9—lgorithme en dou˜leE—xe de™rit d—ns l— (gure RFIUF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F gette (gure nous montre que l9—lgorithme en dou˜leE—xe —pporte plus de dét—il à l— re™onstru™tion que l9—lgorithme illustré —ve™ l— (gure RFPIF in e'etD on ne voit plus les zones de )ou que l9on —v—it suiv—nt les —xes verti™—ux et horizont—uxF
  57. 57. 4.4 Tomographie en double-axe 55 Figure RFPQ ! v— ligne du h—ut ™orrespond —u ™oupe ™entr—le selon l9—xe Z = 128F v— ligne du ˜—s ™orrespond —ux ™oupes Z = 75F e droiteD le f—ntôme origin—lF eu milieu g—u™heD une re™onstru™tion ƒs‚„ ™l—ssique @PH itér—tionsAF eu milieu droitD une re™onstru™tion dou˜leE—xe ™l—ssique selon l9équ—tion @IAF e g—u™heD une re™onstru™tion dou˜leE—xe itér—tive @PH itér—tionsAF v— (gure RFPQ illustre p—rf—itement les —v—nt—ges et in™onvénients de l— re™onstru™tion en dou˜leE—xeF ves —rtéf—™ts de re™onstru™tion sur l— ™oupe ™entr—le selon l9—xe ZD ne sont p—s du tout ™orrigésD ™ontr—irement à ™eux des ™oupes extérieuresF in e'etD d—ns le ™—s d9une re™onstru™tion en Qh en du—lE—xisD les ™oupes ™entr—les ne possèdent p—s plus d9inform—tion que d—ns une re™onstru™tion Qh ™l—ssique @(gF RFITAF
  58. 58. 56 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.4.4 Conclusion ve p—r—gr—phe pré™édent nous montre ™l—irement l9intérêt de l9—lgorithme en du—lE—xisF ve prin™ip—l —v—nt—ge de ™et —lgorithme est de gr—ndement réduire les —rtéf—™ts en —pport—nt plus d9inform—tion lors de l— re™onstru™tionF gepend—ntD ™ette inform—tion n9est p—s gr—tuiteD surtout si l9on ne tr—v—ille p—s —ve™ des données simuléesF eve™ des données réellesD il ser— né™ess—ire de ré)é™hir à une stru™ture d9—™quisition et à l— mise en ™orrespond—n™e des di'érents jeux de donnéesF he plus ™ette idée est renfor™ée p—r le f—it qu9—ve™ des données réelles en Qh ™e seront souvent les ™oupes ™entr—les qui nous intéresserons le plusF yr on vient de voir que ™e sont ™es dernières qui ont leur géométrie l— moins —mélioréeF ve se™ond point fort de ™et —lgorithme ™on™erne le temps d9exé™utionF ƒi on le ™omp—re —u temps d9exé™ution d9un —lgorithme ƒs‚„ ™l—ssiqueD on s9—perçoit qu9ils sont ég—uxF in e'etD il dépend du nom˜re d9itér—tion et non de l— qu—ntité d9inform—tionF in sommeD on tr—ite deux fois plus d9inform—E tion en —ut—nt de tempsF 4.5 Tomographie Locale 4.5.1 Introduction h—ns les ™h—pitres pré™édentsD nous —vons tr—ité le ™—s de re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF yn — vu que ™et —ngle limité se tr—duis—itD sur un sinogr—mmeD p—r un m—nque d9inform—tion selon l9—xe des ϕF h—ns ™ette p—rtie nous —llons étudier l— tomogr—phie lo™—le ‘PV“ ‘PW“ ‘QH“D qui ™orrespond à un —utre type de données m—nqu—ntesF gette fois ™iD ™e ser— selon l9—xe des proje™tions F gomme on peut le voir sur l— (gure RFPRD le siE nogr—mme de droite ™orrespond à de l— tomogr—phie lo™—leF ves proje™tions sont dites 4tronquées4F
  59. 59. 4.5 Tomographie Locale 57 Figure RFPR ! @e g—u™heA ƒinogr—mme ™ompletD @eu milieuA ƒinogr—mme à —ngle limitéD @e droiteAD ƒinogr—mme à proje™tion tronquéeF xous —llons don™ étudier l— tomogr—phie lo™—leD tout en g—rd—nt l9—ngle limitéF xous —urons don™ des sinogr—mmes à —ngle limité et à proje™tions tronquéesD ™e qui ™orrespond à un pro˜lème inverse d9une extrême ™omplexité m—is pourt—nt ˜—sé sur un ˜esoin pr—tique réelF ge sinogr—mme permettr— de re™onstruire uniquement une p—rtie de l9im—geF gette zone que l9on re™onsE truit est —ppelé 4région d9intérêt4F yn se retrouve d—ns ™e ™—sD lorsque notre déte™teur est plus petit que l9o˜jet à re™onstruireF g9est très souvent le ™—s en im—gerie médi™—le et tomogr—phie éle™troniqueF
  60. 60. 58 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPS ! ‚e™onstru™tion d9un sinogr—mme à —ngle limité et à proje™tion tronquée —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„F v— (gure RFPS illustre un ™—s sévère de tomogr—phie lo™—leD —ve™ à g—u™he deux sinogr—mmesD l9un ™omplet et l9—utre tronqué à h—uteur de SH7F v— re™onstru™tion —ve™ les données tronquées montre que le ™er™le de re™onsE tru™tion @dont le di—mètre ™orrespond à l— tron™—ture du sinogr—mmeA est qu—lit—tivement ™orre™tement re™onstruitF €—r ™ontreD de fortes v—leurs de nive—ux de gris viennent délimiter ™e ™er™le Y ™e genre d9—rtef—™t est ™our—mE ment o˜servé en tomogr—phie éle™troniqueF eu delà de ™e ™er™leD l— qu—lité de l9im—ge est très m—uv—iseD ™e qui est logique puisque les données ™orresponE d—ntes n9existent p—s @ou peuAF yn o˜serve né—nmoins ™ert—ines stru™tures du f—ntôme initi—lF hes stries import—ntes —pp—r—issentD qui viennent du ™ouE pl—ge —ngle limité et tomogr—phie lo™—leF gette im—ge nous permet de nous rendre ™ompte de l— di0™ulté à re™onstruire d—ns de telles ™onditionsF sl est à noter que des —rtef—™ts supplément—ires peuvent —pp—r—ître et venir ™orE rompre le ™er™le de re™onstru™tion X si une stru™ture dense se situe loin de l9—xe de rot—tionD elle v— introduire des stries import—ntes à l9intérieur du ™er™leF ƒi p—r ™ontre l— p—rtie de l9o˜jet non in™luse d—ns le sinogr—mme est de f—i˜le intensitéD et plutôt ˜—sse fréquen™eD —lors seule une ™ompos—nte ™ontinue v— venir s9—jouter d—ns le ™er™le de re™onstru™tion et —ur— un e'et limitéD ™e qui est le ™—s de l— (gure RFPSF
  61. 61. 4.5 Tomographie Locale 59 v— tomogr—phie lo™—le — trouvé des —ppli™—tions d—ns les dom—ines de l9im—gerie médi™—le pour son ™oté non inv—sif puisqu9on irr—die qu9un org—ne et p—s le ™orps entier Y l— dose de r—yonnement est gr—ndement réduiteF in tomogr—phie éle™troniqueD l— résolution est telle qu9il n9est souvent possi˜le d9illuminer qu9une p—rtie de l9o˜jet à —n—lyserD ™e dernier ét—nt souvent plus gros que le ™h—mp de vue du mi™ros™ope ‘QI“ ‘QP“F 4.5.2 Implémentation d'une formule d'inversion en to- mographie locale xous nous ˜—sons sur les re™her™hes d9edel p—rid—ni d—ns ‘QQ“ ‘QR“ ‘QS“ pour implémenter un —lgorithme de tomogr—phie lo™—leF in tomogr—phie ™l—ssiqueD l— re™onstru™tion en un point x requiert les mesures d9—tténu—tion sur toutes les droites du pl—n ™onten—nt xF in tomoE gr—phie lo™—leD l9idée est de re™onstruire une fon™tion —ve™ uniquement des données lo™—lesF €our ™e f—ireD on ne re™onstruit p—s l— fon™tion f elleEmême m—is Lf = α(f + µΛ−1 f)F gette méthode — été introduite en premier d—ns les tr—v—ux d9eFp—rid—niF s™iD l9opér—teur Λ2 = −∆ F get opér—teur est l— r—™ine ™—rré du l—pl—™ien positifF in tr—itement d9im—geD le l—pl—™ien est un opér—teur de déte™tion de ™ontourF ge tr—itement —ur— don™ tend—n™e à supprimer les ˜—sses fréquen™es et mettre en éviden™e les h—utes fréquen™es pour une déte™tion des dis™ontiE nuités de l— fon™tionF Λf est un opér—teur lo™—lD ™ontr—irement à fD il peut être identi(é d—ns une région d9intérêt à p—rtir des seules mesures de l— tr—nsformée de ‚—don à tr—vers ™ette régionF he plus il possède les mêmes singul—rités que fF yn peut don™D en re™onstruis—nt Λf à p—rtir des données lo™—lesD —voir toutes les inform—tions de f d—ns ™ette région d9intérêtF Λ−1 f — qu—nt à luiD un rôle se™ond—ireD il ne possède p—s un intérêt m—E thém—tique dire™tF ve f—it de re™onstruite l— ™om˜in—ison liné—ire LfD nous permet juste d9o˜tenir une im—ge qui ressem˜l—nt plus à fF ve ™hoix des ™oe0™ients est f—it de m—nière empiriqueF gette opér—teur nous est donné p—s l— formul—tion suiv—nte —ve™ m = ±1 X
  62. 62. 60 Reconstruction en tomographie à angle limité Λm f(x) = 1 4π2 ϕ Λm+1 Rϕf(x)dϕ @RFUA = 1 4π2 R# Λm+1 Rf(x) @RFVA h—ns le ™—s où m a I X Λf(x) = 1 4π2 R# (Λ2 Rf)(x) @RFWA = 1 4π2 ϕ ∂2 ∂S2 Rϕf(x)dϕ @RFIHA h—ns le ™—s où m a EI X Λ−1 f(x) = 1 4π2 R# (Rf)(x) @RFIIA h—ns l— pr—tiqueD pour o˜tenir ΛfD on (ltre les données —ve™ un (ltre 4v—E pl—™ien g—ussien4 puis on e'e™tue une rétroproje™tionF yn o˜tient un tout —utre sinogr—mme @(gF RFPTAF u—nt à Λ−1 fD ™9est tout simplement une réE troproje™tionF
  63. 63. 4.5 Tomographie Locale 61 Figure RFPT ! sllustr—tion sur des données ™omplètes de l9—lgorithme de p—E rid—niF@in h—ut à g—u™heA ƒinogr—mme origin—l et ƒinogr—mme (ltréD Λ2 RfF @in h—ut à droiteA ‚e™onstru™tion du sinogr—mme (ltréD ΛfF @in ˜—s à g—u™heA ‚étroproje™tion du sinogr—mme origin—lD Λ−1 fF @in ˜—s à droiteA ‚e™onstru™tion de LfF h—ns le ™—s d9un sinogr—mme tronquéD ™omme on peut le voir sur l— (gure RFPSD on re™onstruit une région d9intérêt ˜ien spé™i(queF h—ns les (gures suiE v—ntesD on —pplique notre —lgorithme de tomogr—phie lo™—le sur le sinogr—mme tronquéF illes nous —pportent ˜ien l— preuve que l9opér—teur Λf est un opéE r—teur lo™—l qui ™onserve ex—™tement les mêmes singul—rités que l— fon™tion fF in e'etD si l9on ™omp—re —ve™ l— (gure RFPSD du f—it de l— lo™—lité de notre opér—teurD nous n9—vons plus de pro˜lèmes dus à de fortes intensités situées loin de l9—xe de rot—tionF
  64. 64. 62 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPU ! @e g—u™heA ƒinogr—mme (ltréD Λ2 RfF @e droiteA ‚e™onstru™E tion du sinogr—mme (ltréD ΛfF @ger™le rougeA ‚égion d9intérêtF
  65. 65. 4.5 Tomographie Locale 63 Figure RFPV ! @in h—ut à g—u™heA Λ−1 fF @in h—ut à droiteA ΛfF @in ˜—s à g—u™heA ‚égion d9intérêt origin—leF @in ˜—s à droiteA LfF 4.5.3 Tomographie multi-résolution ves —ppro™hes multiErésolutionD en tomogr—phieD ™onsistent à ™om˜iner des inform—tions de résolutions di'érentes pour —méliorer le résult—t (n—l ‘QT“ ‘QU“F gette ™on(gur—tion peut être ™our—nte d—ns le milieu médi™—l ou d—ns l9industrie qu—nd on est —mené à utiliser plusieurs pro™édés d9—™quisitionF h—ns notre ™—sD on peut p—r exemple o˜tenir nos jeux de données en tomoE gr—phie ˆ et éle™troniqueF in tomogr—phie ˆD il ser— plus simple d9o˜tenir l9inform—tion glo˜—le d9un o˜jetF in e'et d—ns ™e ™—sD on possède deux jeux de donnéesF gomme en tomoE
  66. 66. 64 Reconstruction en tomographie à angle limité gr—phie lo™—le on possède un jeu de donnée lo™—l de l— région d9intérêt en h—ute résolutionF €—r ™ontre l9—utre ser— un se™ond jeu de donnée m—is ™ette fois de l9é™h—ntillon d—ns s— glo˜—lité m—is en plus f—i˜le résolutionF @(gF RFPWA Figure RFPW ! @in h—utA teu de donnée h—ute résolution —ve™ des proje™E tions tronquéesD @in ˜—sA teu de donnée ˜—sse résolution —ve™ des proje™tions entièresF
  67. 67. 4.5 Tomographie Locale 65 h—ns ™et exempleD les deux jeux de données sont mis en ™orrespond—n™eF yn re™onstruit le sinogr—mme ˜—sse résolution d—ns s— tot—litéD m—is pour les pixels de l— région d9intérêt on utilise le jeu de donnée h—ute résolutionF Figure RFQH ! f—ntôme re™onstruit —ve™ une retroproje™tion (ltrée à p—rtir des deux jeux de données de l— (gure RFPW 4.5.4 Conclusion h—ns ™e ™h—pitreD nous —vons p—r™ourus les prin™ip—les méthodes de reE ™onstru™tion tomogr—phique à —ngles limitésF ves méthodes itér—tives de type e‚„ ou ƒs‚„D à p—rtir de données glo˜—lesD sem˜lent donner de ˜ons résulE t—tsF it puisD le f—it que l9on puisse ™oupler ™es —lgorithmes —ve™ des —lgoE rithmes en dou˜leE—xe permet d9—méliorer en plus l— qu—lité de l— re™onstru™E tionF gepend—nt ™es —lgorithmes sont gourm—nds en temps de ™—l™ul et l— gestion des données en termes de mémoire est ™ontr—ign—nteF xous —vons ég—lement étudié les —lgorithmes de tomogr—phie lo™—leD qui opère à p—rtir de données lo™—lesF fien que les re™onstru™tions sem˜lent de
  68. 68. 66 Reconstruction en tomographie à angle limité moins ˜onnes qu—lités que ™elles o˜tenues —ve™ les —lgorithmes itér—tifsD elles restent tout de même très en™our—ge—ntesF in e'etD l— tomogr—phie lo™—le est très —d—ptée à l— tomogr—phie éle™tronique à ™—use de l— petite t—ille des ™—pteurs en ™omp—r—ison des o˜jetsF h—ns le ™h—pitre suiv—ntD nous étudierons plus les données réelles o˜tenues à p—rtir du mi™ros™ope éle™troniqueF xous verrons tout d9—˜ord une ét—pe prélimin—ire à l— re™onstru™tionD qui est l9—lignement des donnéesF insuite nous étudierons des tr—nsistors de type qee @en —ngl—is 4q—teEellEeround devi™e4AF gel— p—sser— premièrement p—r l9étude des données équipementier et de leurs (™hiers de sortiesD puis p—r l— ™omp—r—ison de nos résult—t —ve™ les leursF
  69. 69. Chapitre 5 Application pratique 5.1 Alignement des données h—ns le ™h—pitre pré™édent nous —vons f—it plusieurs types de re™onstru™E tionF „outes ™es re™onstru™tions ont été f—ites à p—rtir de sinogr—mme o˜tenus —ve™ des données simuléesF he ™e f—it nous n9—vions —u™un pro˜lème de donE nées erronéesF v— ré—lité est tout —utreD il est très ™our—nt que lorsque l9on o˜serve les s™—ns o˜tenus —ve™ le mi™ros™ope éle™troniqueD on —perçoive des dis™ontinuités entre les di'érentes im—gesF ge™i est dû à des rot—tions de l9é™h—ntillon à ™—use d9une m—uv—ise st—˜ilité du porteEé™h—ntillon ou du goniomètreF yn p—rle de m—uv—is —lignement des donnéesF ge dés—lignement entr—îner— p—r l— suite une re™onstru™tion )oue —ve™ ˜e—u™oup de striesF sl est don™ né™ess—ire d9—ligner les données de m—nière pré™ise —v—nt l9ét—pe de re™onstru™tionF ge pro™essus est primordi—l pour o˜tenir une re™onstru™E tion tomogr—phie de qu—litéF sdé—lementD toutes les im—ges doivent être —liE gnées de m—nière à ™e que ™h—™une représente une proje™tion du même o˜jet à un —ngle d9—™quisition ™onnuF ve pro˜lème est d9—ut—nt plus di0™ile ™—r l9exposition —u f—is™e—u d9éle™trons peut induire des dégâts d9irr—di—tion qui modi(e l— géométrie de l9o˜jetF TU
  70. 70. 68 Application pratique sl existe deux prin™ip—les méthodes pour f—ire ™et —lignementF v— première ™onsiste à utiliser des m—rqueurs (du™i—ux ‘QV“F yn p—rle d9—lignement semiE—utom—tique en utilis—nt des m—rqueurs externesF ges m—rE queurs sont génér—lement des p—rti™ules à fort ™ontr—ste du type ˜ille d9orF gette méthode est ™onsidéré ™omme ét—nt l— plus (—˜le est l— plus pré™ise pour —ligner les donnéesF gepend—ntD elle est rel—tivement lente est né™essite d9—voirD —u pré—l—˜leD des m—rqueurs en qu—ntité su0s—nte et uniformément rep—rtis sur l9o˜jetF ves é™h—ntillons étudiés —u l—˜or—toire ne se prêtent p—s ™e genre de tr—itement prélimin—ireF xous n9utiliserons don™ p—s ™ette méE thodeF v— se™onde méthode est ˜—sée sur l— ™orrél—tion ™roisée des im—ges ‘QW“ ‘RH“F yn p—rle d9—lignement en tr—nsl—tion p—r ™orrél—tion ™roiséeF in e'etD ™h—™un des proje™tions est ™omp—rée —ve™ l— proje™tions voisine d—ns un proE ™essus —ppelé ™orrél—tion ™roiséeF sl — pour e'et d9—ligner de pro™he en pro™he les pi™s d9hyper ré)e™tivités pour re™onstituer une ligne horizont—leF sl peut don™ 4gommer4 ™ert—ines irrégul—rités réellement présentesF gette méthode est r—pide et peut être mise en pl—™e de m—nière —utom—tiqueF yn peut ég—E lement utiliser des (ltres @(ltre de pourierD (ltre de ƒo˜elD F F F A pour —mélioE rer l9—lignementF gepend—ntD elle n9est p—s toujours perform—nte à ™—use des ™h—ngements d9—ngle que l9on peut —voir lors de l9—™quisitionF gette méthode est ™elle mise en ÷uvre d—ns le logi™iel équipementierD snspe™tQh de l— so™iété pisF
  71. 71. 5.1 Alignement des données 69 5.1.1 Eet du désalignement v— position de l9—xe de rot—tion est fond—ment—le pour pouvoir re™onsE truireF in pr—tiqueD nous n9—vons p—s une ™onn—iss—n™e pré™ise de ™et —xe et il né™essite d9être ™—l™ulé — posterioriF xous —vons simulé l9e'et d9une in™erE titude de l— position de l9—xe de rot—tionF gel— revient à d陗ler en ˜lo™ le sinogr—mme p—r r—pport à son ™entreF h—ns ™ette p—rtie nous —llons étudier les e'ets que peuvent —voir un m—uE v—is —lignement des donnéesF xous —llons visu—liser plusieurs sortes de dés—liE gnement —ve™ des données simuléesF ge seront don™ les sinogr—mmes o˜tenus à p—rtir du f—ntôme de ƒheppEvog—n qui seront dés—lignésF v9im—ge origin—le — une t—ille de SIPxSIP pixelsF ve premier dés—lignement que nous —llons voir est le plus ™l—ssiqueF sl est extrêmement pro˜—˜le que l9on o˜serve ™et e'et —ve™ des données expériE ment—lesF in e'etD ™h—que sinogr—mmeD de ™h—que ™oupe d9un o˜jet QhD est d陗lé p—r r—pport à son voisinD suiv—nt l9—xe des proje™tions ρ @(gF SFIAF Figure SFI ! @e g—u™heA sm—ge origin—leD @eu milieuA ƒinogr—mme origin—l pour ϕ —ll—nt de −75¦ à +75¦D @e droiteA ƒinogr—mme d陗lé de PH pixels suiv—nt l9—xe F v— (gure SFP nous montre les e'ets dév—st—teurs que peut —voir ™e dés—liE gnement sur une re™onstru™tion —ve™ l9—lgorithme de rétroproje™tion (ltréeF
  72. 72. 70 Application pratique Figure SFP ! i'et du dés—lignement d sur l— rétroproje™tion (ltréeF @d est en pixelsAF ve se™ond dés—lignement ™orrespondr—it plus à des vi˜r—tions perçues p—r l9o˜jet ou l— sour™e d9éle™tronF gepend—nt il est déjà plus r—reF in e'etD les s—lles où sont les mi™ros™opes sont très ˜ien isolées —ve™ des supports —ntivi˜r—toiresF s™iD ™h—que proje™tion du sinogr—mmeD ser— don™ d陗lée p—r r—pport à l— norm—le de m—nière —lé—toire @(gF SFQAF
  73. 73. 5.1 Alignement des données 71 Figure SFQ ! @e g—u™heA sm—ge origin—leD @eu milieuA ƒinogr—mme origin—l pour ϕ —ll—nt de −75¦à +75¦D @e droiteA ƒinogr—mme dont ™h—que proje™tion est d陗lée indépend—mmentF v— (gure SFR nous montre l9e'et du dés—lignement dé™rit pré™édemment sur l— région d9intérêt que l9on peut voir sur l— (gure SFQF €our ™et exempleD l— rétroproje™tion (ltrée — été utiliséeF ves histogr—mmes du ˜—s nous déE ™rivent l9intensité suiv—nt l— ligne rouge de l9im—ge origin—le de l— (gure SFRF yn s9—perçoit très vite qu9à p—rtir de ±2 pixels de d陗l—ge @sur une im—ge SIPxSIP pixelsAD l— re™onstru™tion ser— très —pproxim—tiveF get exemple et le pré™édent nous ™on(rment ˜ien que l9—lignement des données en re™onstru™tion tomogr—phique est une ét—pe primordi—leF
  74. 74. 72 Application pratique Figure SFR ! @in h—utA ‚e™onstru™tion —ve™ une rétroproje™tion (ltrée @zoomé sur l— région d9intérêt de l— (gure SFQAD ristogr—mme d9intensité suiE v—nt l— ligne rouge de l9im—ge origin—leF 5.1.2 Alignement en translation par corrélation croisée v9—lignement des données p—r ™orrél—tion ™roisée est ˜—sé sur l— fon™tion de ™orrél—tion ™roisée Ph dis™rète X h(m, n) = 1 MN M−1 j=0 N−1 k=0 f(j, k)g(j + m, k + n) @SFIA f et g sont les mesures de l— densité optique des deux im—ges et M et N sont respe™tivement l— l—rgeur et l— h—uteurF ƒi les im—ges f et g possèdent un même motif suiv—nt l— même orient—tion m—is à des positions di'érentes r1 et r2D —lors le ve™teur de ™orrél—tion ™roisée h —ur— un pi™F ge pi™ ser— situé à une dist—n™e ∆r = (r1 − r2) = (m0, n0) du ™entre du ve™teurF e p—rtir de ™ette formul—tionD il — été dé™rit tout un ™heminement pour —ligner deux proje™tions issues d9une série d9—™quisition @(gF SFSA X ƒoient deux im—ges Im1 et Im2 que nous souh—itons —ligner pré™isément suiv—nt le même —xeF v— première ét—pe ™onsiste à ™—l™uler les tr—nsformée de pourier des deux im—ges im1 et im2F insuiteD il est né™ess—ire de (ltrer les résult—ts p—r des (ltre p—sse h—ut et p—sse ˜—s pour not—mment éviter le pro˜lème du ˜ruitF ges (ltres sont utilisés pour o˜tenir un résult—t (n—l
  75. 75. 5.1 Alignement des données 73 (—˜leD ™9est à dire un pi™ intense et étroitF xous —ppliquons ensuite l— ™orréE l—tion ™roisée qui ser— une multipli™—tion de im1 p—r le ™onjugué de im2F sl f—ut ensuite ™—l™uler l— tr—nsformée de pourier inverse de ™ette im—ge ImF ƒur ™ette im—ge ImD il su0t de déte™ter l— position du pi™ d9intensité m—ximum X ™ette position p—r r—pport —u ™entre de l9im—ge nous donner— le ve™teur déE pl—™ement de Im2 p—r r—pport à Im1F Figure SFS ! gheminement pour l9—lignement de deux im—gesF €our ré—liser ™e tr—itement sur une série de proje™tions ordonnées suiv—nt l9in™lin—ison —ngul—ireD il f—ut rendre ™e tr—itement périodique suiv—nt un toreF
  76. 76. 74 Application pratique 5.2 Tomographie sur les GAA 5.2.1 Introduction sur les GAA eu gieEvi„sD et plus pré™isément d—ns notre l—˜or—toireD nous déveE loppons l— tomogr—phie éle™tronique sur des tr—nsistors qee @en —ngl—is 4q—teEellEeround4AF €our inform—tionD les tr—nsistors qee sont des tr—nsistors de type wyƒE pi„ @en —ngl—is 4wet—l yxide ƒemi™ondu™tor pield i'e™t „r—nsistor4AF in fr—nç—isD on p—rle de tr—nsistor à e'et de ™h—mp à grille isoléF g9est un type de tr—nsistor à e'et de ™h—mpD ™omme tous les tr—nsistors le wyƒpi„ moE dule le ™our—nt qui le tr—verse à l9—ide d9un sign—l —ppliqué sur son éle™trode ™entr—le nommée 4grille4F sl trouve ses —ppli™—tions d—ns les ™ir™uits intégrés numériquesD en p—rti™ulier —ve™ l— te™hnologie gwyƒD —insi que d—ns l9éle™E tronique de puiss—n™eF ve terme gwyƒ @en —ngl—is 4gomplement—ry wet—l yxide ƒemi™ondu™tor4A désigne une te™hnologie de f—˜ri™—tion de ™ompoE s—nts éle™troniquesF h—ns ™es ™ir™uitsD un ét—ge de sortie est ™omposé d9un ensem˜le de tr—nsistors à e'et de ™h—mp pl—™és de m—nière symétrique et ré—lis—nt ™h—™un l— même fon™tionF Figure SFT ! „r—nsistor qee vu p—r wif @mi™ros™ope éle™tronique à ˜—E l—y—geAF
  77. 77. 5.2 Tomographie sur les GAA 75 Figure SFU ! ƒ™hém— d9un tr—nsistor qee vu en ™oupeF v— se™tion ™—rrée est un n—no(lF v— stru™ture en n—no(ls des tr—nsistors qee ne peut p—s être étudiée diE re™tement en tomogr—phie éle™troniqueF v— prép—r—tion d9é™h—ntillons — été optimiséeD en isol—nt quelques n—no(ls d—ns une pointeD grâ™e à une sonde ionique fo™—lisé @en —ngl—is psf 4po™used son fe—m4AF qrâ™e à ™ette te™hE niqueD les proje™tions ont pu être —™quises en tomogr—phie éle™tronique sur une pl—ge d9in™lin—ison —ll—nt jusqu9à ±80¦F
  78. 78. 76 Application pratique Figure SFV ! €ointe vu —ve™ un „iw @„r—nsmission ile™tron wi™ros™opeAF Figure SFW ! ƒ™hém— de pointe prép—rée —u psf suiv—nt deux géométries di'érentesF
  79. 79. 5.2 Tomographie sur les GAA 77 Ét—nt donné que nous tr—v—illons toujours —ve™ des données —ngul—ires m—nqu—ntesD nous verronsD d—ns les pro™h—ines p—rtiesD que l— di'éren™e de géométrie lors de l— prép—r—tion de l9é™h—ntillonD nous permet de visu—liser des ™—r—™téristiques di'érentes de l9o˜jetF ge tr—v—il de prép—r—tion — été f—it p—s edeline qrenierD qui est en postEdo™ en mi™ros™opie —u l—˜or—toireF 5.2.2 Mise en correspondance avec les données équipe- mentier gomme nous —vons pu le voir d—ns ™e r—pportF vorsqu9une série de proE je™tions est —™quise sur le mi™ros™ope @(gF SFIHAD il f—ut les tr—iterF yr ™es données sont en™ore ˜rutesD il est don™ né™ess—ire d9utiliser le logi™iel fourni p—r l9équipementier pisD à s—voir snspe™t QhF ge logi™iel nous permet ensuite d9o˜tenir nos données —u form—t 4Fmr™4F Figure SFIH ! Q proje™tions d9un tr—nsistor qee o˜tenues —ve™ le „it—nF ge form—t est un form—t li˜re qui est devenu un st—nd—rd en mi™ros™opie éle™troniqueF sl ™ontient une grille tridimensionnelle de voxels —y—nt ™h—™un une v—leur ™orrespond—nt à l— densité d9éle™tronF get —gen™ement de donE née à l9—v—nt—ge d9être supporté p—r tous les logi™iels qui gèrent les données volumétriquesF gepend—nt ™h—que logi™iel qui ser— —mené à ™réer des (™hiers —u form—t 4Fmr™4D le fer— —ve™ un 4enEtête4 di'érentF h—ns un (™hierD l9enEtête sert noE t—mment à donner des inform—tions sur les données présentes d—ns le (™hierF €our exploiter les données expériment—les et p—r l— même o™™—sion tester nos —lgorithmes de re™onstru™tionD il — été né™ess—ire d9exporter ™es données sous w—tl—˜F yr w—tl—˜D ne permet p—s d9exporter ™e type de (™hierF sl — don™ f—llu implémenter des routines de le™ture et d9é™ritureF €our ™e f—ireD nous
  80. 80. 78 Application pratique devons ™ommen™er p—r dé™hi'rer l9enEtête du (™hier et en extr—ire toutes les inform—tions né™ess—ires à l— le™ture des donnéesF xous devons don™ ™onn—ître l— t—ille pré™ise de ™et enEtête pour s—voir où ™ommen™e les donnéesF insuiteD nous devons ™onn—itre prin™ip—lement l— t—ille de l— grille triE dimensionnelle et l— dimension des v—leurs @d—ns l— plup—rt des ™—s nous —vons du ITE˜it signéAF …ne fois que ™es inform—tions sont —™quises et que l— géométrie d9—gen™ement des données est ™ompriseD nous pouvons extr—ire les données ou é™rire —u form—t 4Fmr™4F gepend—ntD il y — un —utre pro˜lème de t—illeD w—tl—˜ est un outil très puiss—ntD m—is m—lheureusementD il ne permet p—s de tr—iter de gros volume de donnéeD surtout —ve™ une —r™hite™ture ‡indows QP˜itsD dont un pro™essus ne peut ex™éder PqoF ge™i et le f—it que w—tl—˜ ne gère les t—˜le—ux uniquement de m—nière ™ontigüeD ne nous permet p—s de tr—iter un volume de données de plus de VHH wo d—ns l9environnement w—tl—˜F e titre de ™omp—r—isonD les (™hiers de données issue du „it—n font une t—ille de l9ordre de QHHwo et une re™onstru™tion une t—ille de l9ordre de IDSqoF €our pouvoir exploiter ™es données et réussir nos re™onstru™tionsD il — f—llu s—uveg—rderD en temps réelD les inform—tions d—ns des (™hiers tempor—ires dur—nt le tr—itementF …ne fois que l— re™onstru™tion est f—ite et que le (™hier 4Fmr™4 est ™réeD nous pouvons visu—liser notre volume d—ns des logi™iel gr—tuit tel que sm—get ou ghimer—F 5.2.3 Mise en application w—inten—nt que nous —vons vuD quels ét—ient les é™h—ntillons et ™omment ils ét—ient f—˜riquésD —insi queD tous les pro˜lèmes logi™iels et leurs solutions nous pouvons pro™éder à l— re™onstru™tionF ges deux premières im—ges sont issues de l— même re™onstru™tion d9un tr—nsistor de type qeeF ille — été o˜tenue à p—rtir d9une re™onstru™tion —ve™ l9—lgorithme e‚„ @S itér—tionsAF ge sont don™ deux ™oupes du même o˜jet m—is o˜servés d—ns des pl—ns di'érentsF v— première est d—ns le pl—n @ZXAF yn y voit très ™l—irement —pp—r—itre le n—no(lF yn y distingue ég—lement les éléments ™himiques qui le ™omposent @(gF SFIIAF
  81. 81. 5.2 Tomographie sur les GAA 79 Figure SFII ! goupeD re™onstruite —ve™ l9—lgorithme e‚„D vue d—ns le pl—n @ZXA u—nt à l— se™onde ™oupe @(gF SFIPAD elle est o˜servée d—ns le pl—n @XY AF xous somme ™ensés y o˜server l— se™tion ™—rré d—ns n—no(lsF yr l— qu—lité de l— re™onstru™tion selon ™et —xe est très peu s—tisf—is—nteF ge™i est dû en gr—nde p—rtie —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF in e'etD l9—xe de tilt est d—ns ™et exemple selon l9—xe ZD les ™oupes ont don™ été re™onstruites selon ™et —xeF sl est don™ logique que lorsque l9on o˜serve une ™oupe selon ™et —xeD on voit —pp—r—itre les —rtéf—™ts dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF
  82. 82. 80 Application pratique Figure SFIP ! goupeD re™onstruite —ve™ l9—lgorithme e‚„D vue d—ns le pl—n @XY A gette re™onstru™tion — été f—ite à p—rtir d9un é™h—ntillon prép—ré selon l— géométrie dé™rite d—ns l— (gure SFW—F e(n d9o˜server l— se™tion ™—rré des n—no(lD il f—ut que l9é™h—ntillon soit prép—ré selon une —utre géométrieF €our pouvoir f—ire une re™onstru™tion des ™oupes selon l9—xe Y F h—ns l— (gure SFIQD l9é™h—ntillon — été prép—ré selon l— méthode de l— (gure SFW˜D et nous o˜servonsD ™ette foisD très ˜ien l— se™tion ™—rrée du n—no(lF
  83. 83. 5.2 Tomographie sur les GAA 81 Figure SFIQ ! goupeD re™onstruite —ve™ une rétroproje™tion (ltréeD vue d—ns le pl—n @XY A ges exemples de re™onstru™tion nous r—ppellent ˜ien évidement les re™onsE tru™tions o˜tenues sur les données simulées d—ns le ™h—pitre RFRFQ tr—it—nt de l9—lgorithme dou˜leE—xeF ves jeux de données o˜tenues —ve™ les di'érentes géométries de prép—r—tion d9é™h—ntillon sont ™omplément—iresF sl ser—it don™ très intéress—nt d9utiliser les —lgorithmes dou˜leE—xe —(n de ˜ien pour pouvoir ™—r—™tériser le n—no(l et ég—lement visu—liser ™orre™tement s— géométrieF he plusD ™omme nous pouvons le voir sur les re™onstru™tionsD nos données sont tronquéesF he ™e f—itD il ser—it —v—nt—geux de pouvoir utiliserD p—r l— suiteD l— tomogr—phie lo™—le sur ™es donnéesF
  84. 84. 82 Application pratique

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