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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 15
4ème année du Département Génie Électrique
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 16
Premier état des lieux
Deux points importants :
la plupart des antennes sont métalliques
la grande majorité est de type antennes résonantes
Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut
de façon erratique. Quand on crée une différence de
potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne
commande alors la répartition de ces charges.
Les courants et charges créés sont alors autant de sources
élémentaires de champ électromagnétique.
Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ
global délivré par un élément métallique est la somme de
toutes les contributions de ces sources élémentaires.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 17
Mécanisme de rayonnement
Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante
ne produisent pas de rayonnement.
+++
Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture,
courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement.
+++
pas de rayonnement
rayonnement
+++
rayonnement
Dans une structure en résonance, les charges oscillent en
permanence, créant un flux de rayonnement continu.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 18
La ligne bifilaire sur une charge
x
x
x
jβ
Be
jβ
Ae
i 


Zr
Rappels sur les lignes de transmission :
x
Ligne bifilaire fermée sur une charge
superposition d’une onde
incidente et d’une onde
réfléchie
ligne sans pertes
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 19
La ligne bifilaire ouverte
y
r
ji
y
r
i
y
r
i
y
i 
sin
2
jβ
e
jβ
e







Ligne en circuit ouvert :
y
  t
y
Zc
r
v
t
y
i 
 cos
sin
,


Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires
C.O.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 20
Ligne en résonance
y
r
ji
y
r
i
y
r
i
x
i 
sin
2
jβ
e
jβ
e







  t
y
Zc
r
v
t
y
i 
 cos
sin
,


Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires
C.O.
En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants
étant en opposition de phase, le champ global rayonné est
pratiquement nul (heureusement d’ailleurs).
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 21
Écartement des brins
L’approximation classique considère que si on écarte les brins de la
ligne, la répartition du courant reste la même.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 22
Le dipôle rayonnant
On se retrouve
alors avec des
courants en phase
permettant un
rayonnement
efficace : principe
de l’antenne dipôle
Pb : en pratique, il y a désadaptation.
On cherchera alors une antenne
résonante présentant une impédance
d’entrée adaptée à une ligne en onde
progressive.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 23
Rappels sur le champ EM
Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes
électromagnétiques, un milieu sera définit par :
Sa permittivité électrique complexe

'
'
' 

 j


Sa perméabilité magnétique complexe
Sa conductivité
(F/m)
'
'
' 

 j


(S/m) pertes ohmiques
Caractéristiques du milieu :
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 24
Sources de rayonnement
Des courants et des charges présents dans ce milieu sont
appelés sources primaires :
Densité surfacique de courants
Densité volumique de charges
Ces sources créent :
p
I
Des champs électrique et magnétique
D’autres courants et charges
(A/m²)
p
Q (Cb/m3)
E (V/m)
H (A/m)
c
I c
Q
et
phénomènes d’induction
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 25
Equations de Maxwell
Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on
obtient les équations suivantes :
   
   
    0













b
div
q
d
div
e
i
e
d
t
e
e
h
rot
h
b
t
h
e
rot
c
c 





Les sources peuvent présenter des densités linéiques,
surfaciques ou même volumiques.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 26
Domaine de résolution
On considère deux domaines distincts de résolution
de ces équations : en présence de charges et
courants ou hors de toute charge ou courant.
La résolution en présence de charges et courants
permet de déterminer le champ produit par une
répartition linéique, surfacique ou volumique de charges
et courants (ce qui conduit au diagramme de
rayonnement de l’antenne).
Le second type de résolution permet de calculer les
ondes électromagnétiques propagées en espace libre.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 27
Régime sinusoïdal
Toujours dans le cas de milieux homogènes,
isotropes en régime harmonique on obtient les
équations suivantes :
   
    0






B
div
Q
D
div
E
j
E
H
rot
H
j
E
rot
C





On peut alors résoudre ces équations pour
déterminer le champ produit par les charges et
courants présents sur un conducteur.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 28
Relation à la surface
 Le champ électrique est toujours
perpendiculaire au conducteur.
 Le champ magnétique est toujours
tangent au conducteur.
 Le champ électrique est
proportionnel aux charges à la
surface.
 Le champ magnétique est
proportionnel aux courants à la
surface.
Interface avec un conducteur parfait
1, 1, 1
1
E 1
H
0
.
.
0
1
1
1
1






H
n
Q
E
n
I
H
n
E
n
S
S

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 29
Potentiels électromagnétiques
Pour évaluer les effets d’une source isotrope en un
point P de l’espace on peut introduire les potentiels
vecteur et scalaire :
)
,
(
)
,
( t
r
A
t
r
B






t
)
t
,
r
(
A
)
t
,
r
(
V
)
t
,
r
(
E









  0

B
div
Puisque on peut écrire
o
x
y
z
P
r
q
j
Le vecteur A est donc défini à un
gradient près, il existe alors une
fonction V vérifiant :
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 30
Potentiels électromagnétiques
En exprimant les équations de Maxwell en fonction
des potentiels, on obtient les équations d’ondes :








L
r
j
l
L
r
j
l
dl
r
e
r
I
A
dl
r
e
r
Q
V
.
)
(
4
.
)
(
4
1
0







potentiel scalaire
potentiel vecteur


Q
t
V
V 




 2
2
2

I
t
A
A





 




 2
2
2
La résolution (complexe basée sur les fonctions
de Green) donne pour une répartition linéique :
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 31
Source élémentaire
Le doublet électrique élémentaire est un élément
conducteur de taille négligeable dl où l’on peut supposer
le courant constant sur la longueur (vitesse infinie).
+q
-q
i(t)
r
P
q
z
x
)
r
(
E

r0
r1
C’est un outil théorique qui permet de déduire le comportement de
toute antenne comme la somme de sources élémentaires.
t
j
Qe 

charges
Q
j
courant
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 32
Calcul du champ rayonné
Le problème apparaît à symétrie de révolution par
rapport à Oz. Le potentiel vecteur n’a qu’une
composante Az :
Champ magnétique à une seule composante
r
e
dl
I
Az
r
j
m


 

 .
.
4
On obtient alors :
H

0

r
H
0

q
H








 
2
1
.
sin
.
.
4
1
r
r
j
e
dl
I
H r
j
m

q


j
j
H
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 33
Calcul du champ électrique
On peut déduire par la suite le champ électrique produit :
Champ électrique à deux composantes et
E









 
3
2
1
.
cos
.
.
2
1
r
j
r
e
dl
I
E r
j
m
r


q


0

j
E









 
3
2
1
.
sin
.
.
4
1
r
j
r
r
j
e
dl
I
E r
j
m



q


q
r
E q
E
On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de
champ rayonné.
Suivant la distance du point d’observation P par rapport à la
source, on va faire des approximations différentes pour
simplifier les expressions.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 34
Approximations en fonction de r








 
3
2
1
.
cos
.
.
2
1
r
j
r
e
dl
I
E r
j
m
r


q











 
3
2
1
.
sin
.
.
4
1
r
j
r
r
j
e
dl
I
E r
j
m



q


q








 
2
1
.
sin
.
.
4
1
r
r
j
e
dl
I
H r
j
m

q


j
Les termes en 1/r représentent le champ rayonné
(prédominant quand r grand), les termes en 1/r2 donnent
les champs induits et les termes en 1/r3 le champ
électrostatique.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 35
)
(
)
(
sin
2
)
,
(
sin
2
)
,
(
r
t
j
r
t
j
e
dl
I
r
j
t
r
E
e
dl
I
r
j
t
r
H


q


j
q



q
















 377
120
)
,
(
)
,
(




q
o
o
t
r
H
t
r
E
Rayonnement du doublet
Approximation en champ lointain :
dans le vide
i(t)
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 36
Les zones de rayonnement
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 37
Les zones de rayonnement
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 38
Propagation champ lointain
   
    0
0 




B
div
D
div
E
j
H
rot
H
j
E
rot 



En revenant aux équations dans le cas de milieux
homogènes, isotropes et ne contenant pas les
sources primaires, en régime harmonique on obtient
les équations suivantes :
Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont
presque symétriques, la seule différence étant l’absence de charges
et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources
magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du
problème électrique donne alors celle du problème magnétique et
inversement.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 39
Equations de propagation
Les équations de propagation pour les champs et (exprimés
en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme
suivante :
0
t
e
e 2
2





 0
t
h
h 2
2






Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction
Oz :
et
Le rapport représente la vitesse de propagation de l’onde.
Sachant que généralement on considère que (sauf milieux
ionisés et magnétiques) on écrit :
0
t
e
z
e
2
2
2
2







0
t
h
z
h
2
2
2
2









1
v
1
r 

n
c
c
1
1
v
r
r
0
0









Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 40
Solutions
En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme :
et
avec : (paramètre de phase de l’onde)
Le rapport des modules de et exprime l’impédance d’onde du milieu
considéré (en W) :
c’est une quantité réelle.
)
kz
t
(
j
exp
E
)
t
,
z
(
e 

 )
kz
t
(
j
exp
H
)
t
,
z
(
h 










2
v
k
E H





H
E
Valeur dans l’air : 377 ohms



 u
H
E
On a alors la relation fondamentale :
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 41
Onde sphérique - onde plane
Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement
d’une onde sphérique.
En effet la résolution des équations de potentiels dans le
cas d’une source ponctuelle est à symétrie de révolution
sphérique, et donne pour solution :








 
2
1
.
4
1
)
(
r
r
j
e
Q
r
E r
j 


En champ lointain, cela donne :
r
j
e
r
Eo
r
E 


)
(
La surface d’onde est une sphère centrée sur la source
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 42
Approximation d’onde plane
Sens de propagation
E
H
l
  z
d
z
t
E
E





 

cos
0
Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses
(dépendant des conditions initiales).
Toutes peuvent s’exprimer comme la somme d’ondes planes.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 43
Puissance transportée
Quand la condition de champ lointain est respectée, la
surface d’onde peut être assimilée à un front d’onde
plane. La puissance transportée par l’onde est traduite
par le vecteur de Poynting : *
H
E
2
1
P 

x
y
z
E
E
H
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 44
Polarisation de l’onde
On sait qu’en champ lointain E et H sont perpendiculaires
entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.
Par contre, suivant le type de source utilisé, l’orientation de
ces vecteurs dans le plan d’onde peut varier.
En se basant sur les variations de l’orientation du champ E
au cours du temps, on définit la polarisation de l’onde.
En repère sphérique, le champ E d’une onde plane est décrit
par ses composantes :
j
j
q
q u
E
u
E
E







 
a
t
A
E 

q 
 sin  
b
t
B
E 

j 
 sin
avec et
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 45
Polarisation rectiligne
Première hypothèse : les composantes vibrent en phase
b
a 
 
  
j
q

 u
B
u
A
t
E





sin
Plusieurs possibilités :
polarisation horizontale,
verticale ou oblique
q
E
j
E
E

animation
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 46
i(t)
Polarisation rectiligne verticale
Exemple d’un doublet
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 47
i(t)
Polarisation rectiligne horizontale
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 48
i(t)
Polarisation rectiligne oblique
Exemple de 2 doublets en phase
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 49
Polarisation circulaire
Deuxième hypothèse : les composantes vibrent en
quadrature de phase et leurs modules sont égaux
2


 
 a
b
   
 
j
q 


 u
a
t
u
a
t
A
E






 cos
sin
q
E
j
E
E

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 50
i(t)
Polarisation circulaire par
dé-synchronisation
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 51
3 modes de polarisation
– polarisation rectiligne
• verticale, horizontale (plan H ou E)
– polarisation circulaire
• droite ou gauche
– polarisation elliptique
• droite ou gauche
Polarisation elliptique
animations
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 52
Les grands théorèmes
Pour l’étude du fonctionnement des antennes, quatre grands
théorèmes fondamentaux sont à connaître :
 le théorème de réciprocité de Lorentz
le théorème de Huygens-Fresnel
la théorie des images
le principe de Babinet
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 53
Réciprocité de Lorentz
Si on considère deux distributions de courants I1 et I2 qui
sont à l’origine de champs E1 et E2, on montre d’après les
équations de Maxwell :

 
v
v
dv
I
E
dv
I
E .
.
.
. 2
1
1
2




les systèmes rayonnants sont réciproques
(attention seulement dans le cadre des antennes
passives).
Pf Pr
Pf
Pr
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 54
Principe de Huyghens-Fresnel
Principe permettant de calculer le rayonnement à
l’infini de n’importe quel type de source
sources
surface arbitraire
champs nuls
sources
superficielles
équivalentes
(électriques et
magnétiques)
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 55
Application radar
Principe permettant de calculer le rayonnement à
l’infini de n’importe quel type de source
cible
Le champ reçu en P est la somme du champ que l’on
recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par
l’obstacle. On peut alors à l’inverse calculer la surface
constituée de sources fournissant un tel champ.
onde plane
point
d’observation
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 56
Théorème des images
Au niveau d’un point d’observation, le champ créé par une
source +q placée au-dessus d’un plan réflecteur parfait de
dimensions infini est équivalent au champ créé par
l’association de cette charge avec son image par symétrie
par rapport au plan de charge –q.
+q
P
x
+q
P
x
-q
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 57
Images en courant
Le même principe s’applique pour les sources de courants.
L’image sera formée de la symétrie de la répartition de
courant de signe opposé (opposition de phase).
P
x
P
x
I I
I
à la base de très nombreuses applications en antennes
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 58
Principe de Babinet
Le théorème de Babinet reprend l’aspect symétrique
des équations de Maxwell.
E
H
cas 1
cas 2
Le champ total du cas 1 va être égal au champ
diffracté du cas 2 et inversement.
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 59
Application aux antennes
Toute fente pratiquée dans un plan de masse de
grande dimension aura le même comportement en
rayonnement que l’antenne métallique complémentaire
à ceci près que les champs E et H sont inversés.
E H

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1- Les Grands Principes du Rayonnement.ppt

  • 1. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 15 4ème année du Département Génie Électrique
  • 2. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 16 Premier état des lieux Deux points importants : la plupart des antennes sont métalliques la grande majorité est de type antennes résonantes Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut de façon erratique. Quand on crée une différence de potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne commande alors la répartition de ces charges. Les courants et charges créés sont alors autant de sources élémentaires de champ électromagnétique. Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ global délivré par un élément métallique est la somme de toutes les contributions de ces sources élémentaires.
  • 3. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 17 Mécanisme de rayonnement Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante ne produisent pas de rayonnement. +++ Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture, courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement. +++ pas de rayonnement rayonnement +++ rayonnement Dans une structure en résonance, les charges oscillent en permanence, créant un flux de rayonnement continu.
  • 4. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 18 La ligne bifilaire sur une charge x x x jβ Be jβ Ae i    Zr Rappels sur les lignes de transmission : x Ligne bifilaire fermée sur une charge superposition d’une onde incidente et d’une onde réfléchie ligne sans pertes
  • 5. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 19 La ligne bifilaire ouverte y r ji y r i y r i y i  sin 2 jβ e jβ e        Ligne en circuit ouvert : y   t y Zc r v t y i   cos sin ,   Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires C.O.
  • 6. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 20 Ligne en résonance y r ji y r i y r i x i  sin 2 jβ e jβ e          t y Zc r v t y i   cos sin ,   Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires C.O. En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants étant en opposition de phase, le champ global rayonné est pratiquement nul (heureusement d’ailleurs).
  • 7. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 21 Écartement des brins L’approximation classique considère que si on écarte les brins de la ligne, la répartition du courant reste la même.
  • 8. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 22 Le dipôle rayonnant On se retrouve alors avec des courants en phase permettant un rayonnement efficace : principe de l’antenne dipôle Pb : en pratique, il y a désadaptation. On cherchera alors une antenne résonante présentant une impédance d’entrée adaptée à une ligne en onde progressive.
  • 9. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 23 Rappels sur le champ EM Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques, un milieu sera définit par : Sa permittivité électrique complexe  ' ' '    j   Sa perméabilité magnétique complexe Sa conductivité (F/m) ' ' '    j   (S/m) pertes ohmiques Caractéristiques du milieu :
  • 10. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 24 Sources de rayonnement Des courants et des charges présents dans ce milieu sont appelés sources primaires : Densité surfacique de courants Densité volumique de charges Ces sources créent : p I Des champs électrique et magnétique D’autres courants et charges (A/m²) p Q (Cb/m3) E (V/m) H (A/m) c I c Q et phénomènes d’induction
  • 11. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 25 Equations de Maxwell Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on obtient les équations suivantes :             0              b div q d div e i e d t e e h rot h b t h e rot c c       Les sources peuvent présenter des densités linéiques, surfaciques ou même volumiques.
  • 12. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 26 Domaine de résolution On considère deux domaines distincts de résolution de ces équations : en présence de charges et courants ou hors de toute charge ou courant. La résolution en présence de charges et courants permet de déterminer le champ produit par une répartition linéique, surfacique ou volumique de charges et courants (ce qui conduit au diagramme de rayonnement de l’antenne). Le second type de résolution permet de calculer les ondes électromagnétiques propagées en espace libre.
  • 13. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 27 Régime sinusoïdal Toujours dans le cas de milieux homogènes, isotropes en régime harmonique on obtient les équations suivantes :         0       B div Q D div E j E H rot H j E rot C      On peut alors résoudre ces équations pour déterminer le champ produit par les charges et courants présents sur un conducteur.
  • 14. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 28 Relation à la surface  Le champ électrique est toujours perpendiculaire au conducteur.  Le champ magnétique est toujours tangent au conducteur.  Le champ électrique est proportionnel aux charges à la surface.  Le champ magnétique est proportionnel aux courants à la surface. Interface avec un conducteur parfait 1, 1, 1 1 E 1 H 0 . . 0 1 1 1 1       H n Q E n I H n E n S S 
  • 15. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 29 Potentiels électromagnétiques Pour évaluer les effets d’une source isotrope en un point P de l’espace on peut introduire les potentiels vecteur et scalaire : ) , ( ) , ( t r A t r B       t ) t , r ( A ) t , r ( V ) t , r ( E            0  B div Puisque on peut écrire o x y z P r q j Le vecteur A est donc défini à un gradient près, il existe alors une fonction V vérifiant :
  • 16. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 30 Potentiels électromagnétiques En exprimant les équations de Maxwell en fonction des potentiels, on obtient les équations d’ondes :         L r j l L r j l dl r e r I A dl r e r Q V . ) ( 4 . ) ( 4 1 0        potentiel scalaire potentiel vecteur   Q t V V       2 2 2  I t A A             2 2 2 La résolution (complexe basée sur les fonctions de Green) donne pour une répartition linéique :
  • 17. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 31 Source élémentaire Le doublet électrique élémentaire est un élément conducteur de taille négligeable dl où l’on peut supposer le courant constant sur la longueur (vitesse infinie). +q -q i(t) r P q z x ) r ( E  r0 r1 C’est un outil théorique qui permet de déduire le comportement de toute antenne comme la somme de sources élémentaires. t j Qe   charges Q j courant
  • 18. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 32 Calcul du champ rayonné Le problème apparaît à symétrie de révolution par rapport à Oz. Le potentiel vecteur n’a qu’une composante Az : Champ magnétique à une seule composante r e dl I Az r j m       . . 4 On obtient alors : H  0  r H 0  q H           2 1 . sin . . 4 1 r r j e dl I H r j m  q   j j H
  • 19. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 33 Calcul du champ électrique On peut déduire par la suite le champ électrique produit : Champ électrique à deux composantes et E            3 2 1 . cos . . 2 1 r j r e dl I E r j m r   q   0  j E            3 2 1 . sin . . 4 1 r j r r j e dl I E r j m    q   q r E q E On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de champ rayonné. Suivant la distance du point d’observation P par rapport à la source, on va faire des approximations différentes pour simplifier les expressions.
  • 20. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 34 Approximations en fonction de r           3 2 1 . cos . . 2 1 r j r e dl I E r j m r   q              3 2 1 . sin . . 4 1 r j r r j e dl I E r j m    q   q           2 1 . sin . . 4 1 r r j e dl I H r j m  q   j Les termes en 1/r représentent le champ rayonné (prédominant quand r grand), les termes en 1/r2 donnent les champs induits et les termes en 1/r3 le champ électrostatique.
  • 21. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 35 ) ( ) ( sin 2 ) , ( sin 2 ) , ( r t j r t j e dl I r j t r E e dl I r j t r H   q   j q    q                  377 120 ) , ( ) , (     q o o t r H t r E Rayonnement du doublet Approximation en champ lointain : dans le vide i(t)
  • 22. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 36 Les zones de rayonnement
  • 23. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 37 Les zones de rayonnement
  • 24. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 38 Propagation champ lointain         0 0      B div D div E j H rot H j E rot     En revenant aux équations dans le cas de milieux homogènes, isotropes et ne contenant pas les sources primaires, en régime harmonique on obtient les équations suivantes : Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont presque symétriques, la seule différence étant l’absence de charges et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du problème électrique donne alors celle du problème magnétique et inversement.
  • 25. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 39 Equations de propagation Les équations de propagation pour les champs et (exprimés en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme suivante : 0 t e e 2 2       0 t h h 2 2       Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction Oz : et Le rapport représente la vitesse de propagation de l’onde. Sachant que généralement on considère que (sauf milieux ionisés et magnétiques) on écrit : 0 t e z e 2 2 2 2        0 t h z h 2 2 2 2          1 v 1 r   n c c 1 1 v r r 0 0         
  • 26. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 40 Solutions En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme : et avec : (paramètre de phase de l’onde) Le rapport des modules de et exprime l’impédance d’onde du milieu considéré (en W) : c’est une quantité réelle. ) kz t ( j exp E ) t , z ( e    ) kz t ( j exp H ) t , z ( h            2 v k E H      H E Valeur dans l’air : 377 ohms     u H E On a alors la relation fondamentale :
  • 27. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 41 Onde sphérique - onde plane Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement d’une onde sphérique. En effet la résolution des équations de potentiels dans le cas d’une source ponctuelle est à symétrie de révolution sphérique, et donne pour solution :           2 1 . 4 1 ) ( r r j e Q r E r j    En champ lointain, cela donne : r j e r Eo r E    ) ( La surface d’onde est une sphère centrée sur la source
  • 28. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 42 Approximation d’onde plane Sens de propagation E H l   z d z t E E         cos 0 Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses (dépendant des conditions initiales). Toutes peuvent s’exprimer comme la somme d’ondes planes.
  • 29. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 43 Puissance transportée Quand la condition de champ lointain est respectée, la surface d’onde peut être assimilée à un front d’onde plane. La puissance transportée par l’onde est traduite par le vecteur de Poynting : * H E 2 1 P   x y z E E H
  • 30. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 44 Polarisation de l’onde On sait qu’en champ lointain E et H sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation. Par contre, suivant le type de source utilisé, l’orientation de ces vecteurs dans le plan d’onde peut varier. En se basant sur les variations de l’orientation du champ E au cours du temps, on définit la polarisation de l’onde. En repère sphérique, le champ E d’une onde plane est décrit par ses composantes : j j q q u E u E E          a t A E   q   sin   b t B E   j   sin avec et
  • 31. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 45 Polarisation rectiligne Première hypothèse : les composantes vibrent en phase b a       j q   u B u A t E      sin Plusieurs possibilités : polarisation horizontale, verticale ou oblique q E j E E  animation
  • 32. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 46 i(t) Polarisation rectiligne verticale Exemple d’un doublet
  • 33. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 47 i(t) Polarisation rectiligne horizontale
  • 34. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 48 i(t) Polarisation rectiligne oblique Exemple de 2 doublets en phase
  • 35. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 49 Polarisation circulaire Deuxième hypothèse : les composantes vibrent en quadrature de phase et leurs modules sont égaux 2      a b       j q     u a t u a t A E        cos sin q E j E E 
  • 36. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 50 i(t) Polarisation circulaire par dé-synchronisation
  • 37. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 51 3 modes de polarisation – polarisation rectiligne • verticale, horizontale (plan H ou E) – polarisation circulaire • droite ou gauche – polarisation elliptique • droite ou gauche Polarisation elliptique animations
  • 38. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 52 Les grands théorèmes Pour l’étude du fonctionnement des antennes, quatre grands théorèmes fondamentaux sont à connaître :  le théorème de réciprocité de Lorentz le théorème de Huygens-Fresnel la théorie des images le principe de Babinet
  • 39. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 53 Réciprocité de Lorentz Si on considère deux distributions de courants I1 et I2 qui sont à l’origine de champs E1 et E2, on montre d’après les équations de Maxwell :    v v dv I E dv I E . . . . 2 1 1 2     les systèmes rayonnants sont réciproques (attention seulement dans le cadre des antennes passives). Pf Pr Pf Pr
  • 40. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 54 Principe de Huyghens-Fresnel Principe permettant de calculer le rayonnement à l’infini de n’importe quel type de source sources surface arbitraire champs nuls sources superficielles équivalentes (électriques et magnétiques)
  • 41. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 55 Application radar Principe permettant de calculer le rayonnement à l’infini de n’importe quel type de source cible Le champ reçu en P est la somme du champ que l’on recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par l’obstacle. On peut alors à l’inverse calculer la surface constituée de sources fournissant un tel champ. onde plane point d’observation
  • 42. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 56 Théorème des images Au niveau d’un point d’observation, le champ créé par une source +q placée au-dessus d’un plan réflecteur parfait de dimensions infini est équivalent au champ créé par l’association de cette charge avec son image par symétrie par rapport au plan de charge –q. +q P x +q P x -q
  • 43. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 57 Images en courant Le même principe s’applique pour les sources de courants. L’image sera formée de la symétrie de la répartition de courant de signe opposé (opposition de phase). P x P x I I I à la base de très nombreuses applications en antennes
  • 44. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 58 Principe de Babinet Le théorème de Babinet reprend l’aspect symétrique des équations de Maxwell. E H cas 1 cas 2 Le champ total du cas 1 va être égal au champ diffracté du cas 2 et inversement.
  • 45. Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 59 Application aux antennes Toute fente pratiquée dans un plan de masse de grande dimension aura le même comportement en rayonnement que l’antenne métallique complémentaire à ceci près que les champs E et H sont inversés. E H