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CNRS-Université Savoie Mont Blanc - l’UFR Sciences et Montagne
Laboratoire d’Annecy de physique des particules - Master 1, Physique 2015 - 2016
Examen Mécanique Quantique, janvier 2016
Dr. Karam Ouharou
Durée : 3h00
Documents interdits. Calculatrice autorisée. 1 feuille manuscrite autorisée. Le barème est indiqué entre
parenthèses. L'examen est noté sur 20. Le signe (star) signifie que le problème peut être traité à cet endroit
sans avoir nécessairement résolu les questions qui précèdent.
Etats liés du deuton
Le noyau du Deutérium, appelé deuton, est constitué de deux nucléons, un proton 𝑝 et un neutron 𝑛,
ayant chacun un spin
1
2
et une masse 𝑀 ≃
940MeV
𝑐2 . Les états possibles de spin du proton et neutron selon
l'axe 𝑧, sont notés |+𝑝⟩, |−𝑝⟩, |+𝑛⟩, |−𝑛⟩.
( Rappel dans la base (|+𝑝⟩, |−𝑝⟩), on a 𝑆
ˆ𝑝,𝑥 ≡
ℏ
2
(
0 1
1 0
) , 𝑆
ˆ𝑝,𝑦 ≡
ℏ
2
(
0 −𝑖
𝑖 0
) , 𝑆
ˆ𝑝,𝑧 ≡
ℏ
2
( 0
0 −1
) et de même
pour le neutron).
I. (2) On note 𝑆
ˆ𝑝,± = 𝑆
ˆ𝑝,𝑥 ± 𝑖𝑆
ˆ𝑝,𝑦 les "opérateurs d'échelle" du proton, (et de même pour le
neutron). Rappeler l'action respective de ces opérateurs 𝑆
ˆ𝑝,± sur les états de base |±𝑝⟩ du
proton? Définir les opérateurs de spin total 𝑆
⃗
ˆ = (𝑆
ˆ𝑥, 𝑆
ˆ𝑦, 𝑆
ˆ𝑧) du deutérium? Montrer la relation
𝑆
⃗
ˆ2
=
3
2
ℏ2
𝐼
ˆ + (𝑆
ˆ𝑝,+𝑆
ˆ𝑛,− + 𝑆
ˆ𝑝,−𝑆
ˆ𝑛,+ + 2𝑆
ˆ𝑝,𝑧𝑆
ˆ𝑛,𝑧).
II. (3) A l'aide de la question précédente, exprimer, en justifiant, les états singulet et triplets du
deuton |𝐽, 𝑀⟩, en fonction des états de spin de chacun des nucléons 𝑛, 𝑝. Préciser pour chaque
état |𝐽, 𝑀⟩ si il est symétrique ou antisymétrique par permutation des particules.
III. (⋆)(𝟏) Les deux nucléons intéragissent via un potentiel qui dépend de l'orientation relative de
leur spin :
𝑉(𝑟) = 𝑉1(𝑟) + 𝑉2(𝑟)𝑆
⃗
ˆ
𝑛 ⋅ 𝑆
⃗
ˆ
𝑝
1
ℏ2
Montrer que l'on obtient les potentiels effectifs 𝑉1(𝑟) +
1
4
𝑉2(𝑟) et 𝑉1(𝑟) −
3
4
𝑉2(𝑟) selon la valeur de 𝐽.
IV. (⋆)(2) On approxime 𝑉1(𝑟) par un potentiel de "puits carré " de largeur 𝑎 ≈ 1fm et profondeur
𝑉1. De même 𝑉2(𝑟) est de largeur a et profondeur 𝑉2. Pour simplifier, on traite ce problème de
façon unidimensionnelle (Hamiltonien 𝐻 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉(𝑟) avec la masse réduite 𝑚). En exprimant
les conditions de raccordement entre les états propres obtenus pour 0 < 𝑟 < 𝑎 et ceux obtenus
pour 𝑟 > 𝑎, montrer qu'un état lié d'énergie 𝐸, (𝐸 < 0), dans un potentiel de "puits carré" de
largeur 𝑎 et profondeur 𝑉, (𝑉 > 0), existe à la condition
V. (⋆)(2) Tracer l'allure schématique des fonctions 𝑓1(√𝜀) = √
𝜀
𝑉−𝜀
et 𝑓2(√𝜀) = −tan⁡(
𝑎√2𝑚𝜀
ℏ
)
(en fonction de √𝜀 ) et montrer sur le graphe où se trouvent les solutions de l'égalité 𝑓1(√𝜀) =
𝑓2(√𝜀). Donner l'intervalle [V ⁡min, 𝑉
max] des valeurs de 𝑉 possibles pour qu'il 𝑦 ait un seul état
lié. Application numérique : donner 𝑉min, 𝑉
max en MeV. (Donnée : ℏ𝑐 = 200𝑀𝑒𝑉 ⋅ 𝑓𝑚).
VI. (1) On suppose que 𝑉2 ≪ 𝑉1. Le seul état lié connu du deuton est l'état triplet avec l'énergie de
liaison Δ𝐸 = 2,2𝑀𝑒𝑉. Déduire une valeur approchée de 𝑉1 et une minoration de 𝑉2 (en MeV ).
Montrer que cet état est très peu lié.
VII. (⋆)(2) En utilisant le principe de Pauli, expliquer pourquoi il n'existe pas d'état lié à deux
protons ou deux neutrons ?
Mesures successives, effet Zeno
Un faisceau de photons polarisés rectilignement selon 𝑥 se déplace selon l'axe 𝑧. On place 𝑛 polariseurs
tournés respectivement d'un angle 𝛼𝑘 = (
𝑘
𝑛
)
𝜋
2
par rapport à l'axe 𝑥, où 𝑘 = 1, . . , 𝑛 est un entier.
Autrement dit, l'angle entre deux polariseurs successifs est 𝛼1 =
1
𝑛
𝜋
2
.
I. (1) Quelle est la probabilité pour qu'un photon traverse le dispositif pour 𝑛 = 1 et 𝑛 = 2?
II. (⋆)(3) Même question pour 𝑛 quelconque, et 𝑛 → ∞ (à l'ordre 1/𝑛 ) ? Interprétation du résultat
(appelé effet Zeno)?
Formules : cos⁡
(𝑥) = 1 −
𝑥2
2
+ 𝑜(𝑥2); log⁡
(1 + 𝑥) = 𝑥 + 𝑜(𝑥); 𝑒𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑜(𝑥).
Théorie des perturbations
I. (3) On considère l'oscillateur harmonique à une dimension, 𝐻
ˆ0 =
𝑝
ˆ2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑥2
perturbé par une
Gaussienne 𝐻
ˆ1 = 𝜆𝑒−𝛼𝑥2
. Pour le Hamiltonien 𝐻
ˆ = 𝐻
ˆ0 + 𝐻
ˆ1, calculer la correction Δ𝐸0 à l'énergie
de l'état fondamental 𝜑0(𝑥) = 𝐶0𝑒−𝛼𝑥2
et calculer le correction Δ𝐸1 à l'énergie du premier état
excité 𝜑1(𝑥) = 𝐶1𝑥𝑒−𝛼𝑥2
, au premier ordre en théorie des perturbations. Données :
𝛼 =
𝑚𝜔
ℏ
, ∫−∞
+∞
 𝑒−𝑐𝑋2
𝑑𝑋 = √
𝜋
𝑐
.
II. (⋆)(4) On considère toujours l'oscillateur harmonique 𝐻
ˆ0 auquel on applique un champ
électrique ℰ donnant lieu à une perturbation dépendant du temps : 𝐻
ˆ1(𝑡) = 0 pour 𝑡 < 0 et
𝐻
ˆ1(𝑡) = 𝑞ℰ𝑥
ˆ𝑒−𝑡/𝜏
pour 𝑡 > 0 avec 𝜏 > 0.
A. A l'instant 𝑡 = 0, le système est dans l'état fondamental 𝜑0. En détaillant le calcul, calculer la
probabilité 𝑃𝑛(𝑡) au premier ordre en théorie des perturbations, pour que le système soit dans
l'état 𝜑𝑛 à l'instant 𝑡 > 0? (avec 𝜑𝑛 = |𝑛⟩, 𝑛 ≠ 0 ).
Données : ⟨𝜑𝑛′|𝑥
ˆ|𝜑𝑛⟩ = √
ℏ
2𝑚𝜔
(√𝑛𝛿𝑛′,𝑛−1 + √𝑛 + 1𝛿𝑛′,𝑛+1).
B. Quelle est la probabilité pour qu'il reste dans l'état 𝜑0? Quelle est la limite pour 𝑡 → ∞ ?
Fin
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Examen mécanique quantique - j anvier 2016 - de lab. d'annecy - Dr. Karam Ouharou

  • 1. CNRS-Université Savoie Mont Blanc - l’UFR Sciences et Montagne Laboratoire d’Annecy de physique des particules - Master 1, Physique 2015 - 2016 Examen Mécanique Quantique, janvier 2016 Dr. Karam Ouharou Durée : 3h00 Documents interdits. Calculatrice autorisée. 1 feuille manuscrite autorisée. Le barème est indiqué entre parenthèses. L'examen est noté sur 20. Le signe (star) signifie que le problème peut être traité à cet endroit sans avoir nécessairement résolu les questions qui précèdent. Etats liés du deuton Le noyau du Deutérium, appelé deuton, est constitué de deux nucléons, un proton 𝑝 et un neutron 𝑛, ayant chacun un spin 1 2 et une masse 𝑀 ≃ 940MeV 𝑐2 . Les états possibles de spin du proton et neutron selon l'axe 𝑧, sont notés |+𝑝⟩, |−𝑝⟩, |+𝑛⟩, |−𝑛⟩. ( Rappel dans la base (|+𝑝⟩, |−𝑝⟩), on a 𝑆 ˆ𝑝,𝑥 ≡ ℏ 2 ( 0 1 1 0 ) , 𝑆 ˆ𝑝,𝑦 ≡ ℏ 2 ( 0 −𝑖 𝑖 0 ) , 𝑆 ˆ𝑝,𝑧 ≡ ℏ 2 ( 0 0 −1 ) et de même pour le neutron). I. (2) On note 𝑆 ˆ𝑝,± = 𝑆 ˆ𝑝,𝑥 ± 𝑖𝑆 ˆ𝑝,𝑦 les "opérateurs d'échelle" du proton, (et de même pour le neutron). Rappeler l'action respective de ces opérateurs 𝑆 ˆ𝑝,± sur les états de base |±𝑝⟩ du proton? Définir les opérateurs de spin total 𝑆 ⃗ ˆ = (𝑆 ˆ𝑥, 𝑆 ˆ𝑦, 𝑆 ˆ𝑧) du deutérium? Montrer la relation 𝑆 ⃗ ˆ2 = 3 2 ℏ2 𝐼 ˆ + (𝑆 ˆ𝑝,+𝑆 ˆ𝑛,− + 𝑆 ˆ𝑝,−𝑆 ˆ𝑛,+ + 2𝑆 ˆ𝑝,𝑧𝑆 ˆ𝑛,𝑧). II. (3) A l'aide de la question précédente, exprimer, en justifiant, les états singulet et triplets du deuton |𝐽, 𝑀⟩, en fonction des états de spin de chacun des nucléons 𝑛, 𝑝. Préciser pour chaque état |𝐽, 𝑀⟩ si il est symétrique ou antisymétrique par permutation des particules. III. (⋆)(𝟏) Les deux nucléons intéragissent via un potentiel qui dépend de l'orientation relative de leur spin : 𝑉(𝑟) = 𝑉1(𝑟) + 𝑉2(𝑟)𝑆 ⃗ ˆ 𝑛 ⋅ 𝑆 ⃗ ˆ 𝑝 1 ℏ2
  • 2. Montrer que l'on obtient les potentiels effectifs 𝑉1(𝑟) + 1 4 𝑉2(𝑟) et 𝑉1(𝑟) − 3 4 𝑉2(𝑟) selon la valeur de 𝐽. IV. (⋆)(2) On approxime 𝑉1(𝑟) par un potentiel de "puits carré " de largeur 𝑎 ≈ 1fm et profondeur 𝑉1. De même 𝑉2(𝑟) est de largeur a et profondeur 𝑉2. Pour simplifier, on traite ce problème de façon unidimensionnelle (Hamiltonien 𝐻 = 𝑝2 2𝑚 + 𝑉(𝑟) avec la masse réduite 𝑚). En exprimant les conditions de raccordement entre les états propres obtenus pour 0 < 𝑟 < 𝑎 et ceux obtenus pour 𝑟 > 𝑎, montrer qu'un état lié d'énergie 𝐸, (𝐸 < 0), dans un potentiel de "puits carré" de largeur 𝑎 et profondeur 𝑉, (𝑉 > 0), existe à la condition V. (⋆)(2) Tracer l'allure schématique des fonctions 𝑓1(√𝜀) = √ 𝜀 𝑉−𝜀 et 𝑓2(√𝜀) = −tan⁡( 𝑎√2𝑚𝜀 ℏ ) (en fonction de √𝜀 ) et montrer sur le graphe où se trouvent les solutions de l'égalité 𝑓1(√𝜀) = 𝑓2(√𝜀). Donner l'intervalle [V ⁡min, 𝑉 max] des valeurs de 𝑉 possibles pour qu'il 𝑦 ait un seul état lié. Application numérique : donner 𝑉min, 𝑉 max en MeV. (Donnée : ℏ𝑐 = 200𝑀𝑒𝑉 ⋅ 𝑓𝑚). VI. (1) On suppose que 𝑉2 ≪ 𝑉1. Le seul état lié connu du deuton est l'état triplet avec l'énergie de liaison Δ𝐸 = 2,2𝑀𝑒𝑉. Déduire une valeur approchée de 𝑉1 et une minoration de 𝑉2 (en MeV ). Montrer que cet état est très peu lié. VII. (⋆)(2) En utilisant le principe de Pauli, expliquer pourquoi il n'existe pas d'état lié à deux protons ou deux neutrons ? Mesures successives, effet Zeno Un faisceau de photons polarisés rectilignement selon 𝑥 se déplace selon l'axe 𝑧. On place 𝑛 polariseurs tournés respectivement d'un angle 𝛼𝑘 = ( 𝑘 𝑛 ) 𝜋 2 par rapport à l'axe 𝑥, où 𝑘 = 1, . . , 𝑛 est un entier. Autrement dit, l'angle entre deux polariseurs successifs est 𝛼1 = 1 𝑛 𝜋 2 . I. (1) Quelle est la probabilité pour qu'un photon traverse le dispositif pour 𝑛 = 1 et 𝑛 = 2? II. (⋆)(3) Même question pour 𝑛 quelconque, et 𝑛 → ∞ (à l'ordre 1/𝑛 ) ? Interprétation du résultat (appelé effet Zeno)? Formules : cos⁡ (𝑥) = 1 − 𝑥2 2 + 𝑜(𝑥2); log⁡ (1 + 𝑥) = 𝑥 + 𝑜(𝑥); 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑜(𝑥).
  • 3. Théorie des perturbations I. (3) On considère l'oscillateur harmonique à une dimension, 𝐻 ˆ0 = 𝑝 ˆ2 2𝑚 + 1 2 𝑘𝑥2 perturbé par une Gaussienne 𝐻 ˆ1 = 𝜆𝑒−𝛼𝑥2 . Pour le Hamiltonien 𝐻 ˆ = 𝐻 ˆ0 + 𝐻 ˆ1, calculer la correction Δ𝐸0 à l'énergie de l'état fondamental 𝜑0(𝑥) = 𝐶0𝑒−𝛼𝑥2 et calculer le correction Δ𝐸1 à l'énergie du premier état excité 𝜑1(𝑥) = 𝐶1𝑥𝑒−𝛼𝑥2 , au premier ordre en théorie des perturbations. Données : 𝛼 = 𝑚𝜔 ℏ , ∫−∞ +∞  𝑒−𝑐𝑋2 𝑑𝑋 = √ 𝜋 𝑐 . II. (⋆)(4) On considère toujours l'oscillateur harmonique 𝐻 ˆ0 auquel on applique un champ électrique ℰ donnant lieu à une perturbation dépendant du temps : 𝐻 ˆ1(𝑡) = 0 pour 𝑡 < 0 et 𝐻 ˆ1(𝑡) = 𝑞ℰ𝑥 ˆ𝑒−𝑡/𝜏 pour 𝑡 > 0 avec 𝜏 > 0. A. A l'instant 𝑡 = 0, le système est dans l'état fondamental 𝜑0. En détaillant le calcul, calculer la probabilité 𝑃𝑛(𝑡) au premier ordre en théorie des perturbations, pour que le système soit dans l'état 𝜑𝑛 à l'instant 𝑡 > 0? (avec 𝜑𝑛 = |𝑛⟩, 𝑛 ≠ 0 ). Données : ⟨𝜑𝑛′|𝑥 ˆ|𝜑𝑛⟩ = √ ℏ 2𝑚𝜔 (√𝑛𝛿𝑛′,𝑛−1 + √𝑛 + 1𝛿𝑛′,𝑛+1). B. Quelle est la probabilité pour qu'il reste dans l'état 𝜑0? Quelle est la limite pour 𝑡 → ∞ ? Fin Bonne Chance