SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 33
Baixar para ler offline
Ronildo Oliveira da Silva
Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve
Introdução ao Estudo de Integrais
Quixadá
2015, Junho
Ronildo Oliveira da Silva
Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução
ao Estudo de Integrais
Resumo à respeito do contexto, aplicabili-
dade, e definições sobre integrais aprendidos
no curso de Cálculo Diferencial e Integral I.
Universidade Federal do Ceará
Campus Quixadá
Bacharel em Ciência da Computação
Quixadá
2015, Junho
Agradecimentos
Agradeço aos meus professores de Cálculo da Universidade Federal do Ceará (UFC),
em especial ao Prof. Antônio Joel Ramiro de Castro que propôs esse trabalho, que nos
acompanhou e orientou durante o primeiro semestre de 2015.
Resumo
Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e
indefinidas.
Palavras-chaves: integral. cálculo.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I ESTUDO SOBRE INTEGRAIS 13
1 PARA QUE INTEGRAIS? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Aritméticas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Teorema da Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Área Como Limite de um Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II TABELA DE INTEGRAIS 23
2 TABELA DE INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Integrais Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Integral com Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Integrals with Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Integrais com Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Integrais de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11
Introdução
Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e
indefinidas.
Parte I
Estudo Sobre Integrais
15
1 Para que Integrais?
No cotidiano computacional, podemos nos deparar com a seguinte questão: Qual o melhor
algoritmo para se usar? Qual o mais rápido? Tendo dois algoritmos de complexidades
diferentes, como saber qual deles é o menos nocivo à máquina? Podemos ver nitidamente
qual o mais eficiente?
Para analisarmos essas informações, apresentaremos de uma forma objetiva as definições e
propriedades de Integrais.
Veremos também as diferenças entre integrais definidas e indefinidas, cálculo de áreas sob
curvas, as ideias iniciais de integral e os primeiros passos dos grandes nomes da matemática
que contribuíram para o estudo do Cálculo.
1.1 Primitivas
Como o título já diz tudo, veremos como são definidas funções primitivas o que nos
faz lembrar de derivadas, mas como os opostos se atraem, estudaremos com as duas
definições de mãos dadas. Considere duas funções f(x) e F(x) ∈ R e contínua num
intervalo real i. Utilizando dos conceitos aprendidos em derivadas, se derivarmos F(x),
essa será equivalente a f(x), ou seja, F (x) = f(x).
Chamemos F(x) de função primitiva.
Exemplificando a situação, se tivermos uma função G(x) = x2
+ 4x + 16 e se
também tivermos uma função g(x) = 2x + 4.
G(x) é uma primitiva de g(x).
No exemplo acima, percebemos que G(x) = ax2
+ bx + c, onde c é uma constante.
Para qualquer valor de c, a derivada de G(x) será a mesma, pois a derivação de uma
constante sempre é 0.
Se seus problemas são constantes, derive-os (??, 5.3).
Agora vamos às integrais. No caso geral, para qualquer função y = F(x) + c, com
c ∈ R, são todas primitivas de f(x), isso é o que denominamos de família de primitivas
representada pelo símbolo operador , e expressa da seguinte forma:
F(x) = F(x) + c = f(x) dx
16 Capítulo 1. Para que Integrais?
1.2 Integrais Indefinidas
Assim como os pães, bolos, biscoitos, arroz e demais produtos, vamos abordar o conceito
de Integrais de uma maneira bem light.
Na definição acima, f(x) é o integrando e f(x) dx é a integral indefinida de f(x).
1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio
Seja f(x) = 3x4
+ 4x2
+ 5, sua primitiva é:
F(x) = 3x4+1
4+1
+ 4x2+1
2+1
+ 51+1
1+1
=
F(x) = 3x5
5
+ 4x3
3
+ 52
2
Para termos certeza do conceito, calculamos F (x):
F (x) = 5·3x4
5
+ 3·4x2
3
+ 2·51
2
=
F (x) = 3x4
+ 4x2
+ 5
Isso nos leva a acreditar que F(x) nada mais é do que um candidato vindo da
família de primitivas da função f(x). O que nos leva a considerar que:
xn
dx =
1
n + 1
xn+1
+ c, n = −1 , c, n ∈ (1.1)
1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante
Já que estamos falando de constantes, seja a, uma constante real aplicada a uma integral
indefinida:
a · f(x)dx = a · f(x)dx (1.2)
Exemplo:
Seja f(x) = x3
+ 4x2
:
6 · (x3
+ 4x2
)dx = 6 · x3
+ 4x2
dx =
(6x3
+ 24x2
)dx = 6 · x3
+ 4x2
dx =
6x4
4
+
24x3
3
= 6 ·
x4
4
+
4x3
3
=
6x4
4
+
24x3
3
=
6x4
4
+
24x3
3
1.3. Métodos de Integração 17
1.2.3 Aritméticas de Integrais
Sejam f(x) e g(x) duas funções quaisquer, a integral da soma de ambas é equivalente a
soma das suas respectivas integrais.
(f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx (1.3)
1.2.4 Teorema da Linearidade
O que vimos nas subseções nos leva a considerar as seguinte informação:
Sejam F, G primitivas de f e g, respectivamente, num intervalo e α, β ∈ . Então
α · F + β · G é uma primitiva de α · f + β · g.
(α · f(x) + β · g(x)) dx = α f(x)dx + β · g(x)dx (1.4)
Exemplo:
Calcule sin2
(x)dx
sin2
(x) =
1
2
(1 − cos(2x))
sin2
(x)dx =
1
2
(1 − cos(2x))dx =
x
2
−
sin(2x)
4
+ c
1.3 Métodos de Integração
1.3.1 Método de Substituição
Sejam Fuma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F(g) esteja
definida. Usando a regra da cadeia, temos, (F(g(x))) = F (g(x)) · g (x) = f(g(x)) · g (x).
Então F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g (x), então: f(g(x)) · g (x)dx = F(g(x)) + c
Seja g(x) = u, du = g (x)dx. Feita a substituição:
f(g(x)) · g (x)dx = f(u)du = F(u) + c (1.5)
Exemplo:
Calcule 2x
1+x2 dx
Seja u = 1 + x2
, entãodu = 2xdx :
18 Capítulo 1. Para que Integrais?
2x
1 + x2
dx =
du
u
=
ln(u) + c = ln(x2
+ 1) + c
1.4 Integrais Definidas
Definiremos uma integral definida como um modelo de integral que estabelece limites de
integração na forma,
b
a
f(x)dx (1.6)
(lê-se integral de f(x) de a até b) onde {a, b} ∈ , a ≤ b e denotam os limites de
integração (a representa o limite de integração inferior e b o limite de integração superior).
Seja uma função f(X) = F(x)dx, então, pela definição acima, temos:
Note que, se tivermos uma variação de intervalo nula, teremos uma área nula.
b
a
F(x) = f(b) − f(a) (1.7)
Exemplo:
Calcule
1
−1
x
4
3 + 4x
1
3 dx
1
−1
x
4
3 + 4x
1
3 dx =
3
7
x
7
3 + 4 ·
3
4
x
4
3 lim inf −1 lim sup 1 =
3
7
+ 3 − (−
3
7
+ 3) =
6
7
1.5. A Integral de Riemann 19
1.5 A Integral de Riemann
Voltaremos alguns anos para conhecer um pouco de um grande nome da matemática:
Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826
— Selasca, Verbania, 20 de Julho de 1866) foi um matemático alemão, com contribuições
fundamentais para a análise e a geometria diferencial.No ramo da análise real, a integral de
Riemann foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo
dado e se tornou uma das definições mais simples que temos atualmente.
Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann
Fonte: wikipedia.com
A noção de integral definida, cuja origem foi a formalização matemática da ideia
do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções.
1.6 Gráficos
Se na antiguidade existia um problema matemático era o de calcular a área de figuras com
regiões curvas.Arquimedes (matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego
que viveu entre 287a.C. à 212a.C), criou por exaustão, um método que calculasse áreas
desse tipo, em especial, um círculo.
Essa metodologia consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número de
lados cada vez maior. A ideia é que devido ao aumento de lados do polígono em questão
(com melhor visualização se utilizar-mos polígonos regulares), nos aproximaríamos cada
vez mais da área desejada.
Observe:
De modo análogo, podemos calcular a área entre o gráfico de uma função em um
intervalo [a, b] e o eixo das abscissas. Para se ter uma ideia inicial da área compreendida
entre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos de
larguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos
20 Capítulo 1. Para que Integrais?
Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo
Fonte: wikipedia.com
pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. A
área da região será, aproximadamente a soma da área de todos os retângulos construídos.
Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
20
40
60
80
1
Aproximação com 3 retângulos
Percebe-se que, com um número pequeno de retângulos é muito provável que a
área não terá uma aproximação significante, pois alguns retângulos poderão ultrapassar os
limites do gráfico da função ou deixar espaços não pertencentes ao "limite"do gráfico.Assim,
dobrando a quantidade de retângulos, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, se
preenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todos
eles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas.
Alguns exemplos serão dados para demonstrar de maneira gráfica como o aumento da
quantidade de retângulos influencia na aproximação da área da curva sob o eixo x.
1.7. Área Como Limite de um Somatório 21
Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
20
40
60
80
1
Aproximação com 6 retângulos
Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
20
40
60
80
1
Aproximação com 60 retângulos
1.7 Área Como Limite de um Somatório
é dada por, Assim seja, função f(x) contínua no intervalo [a, b] cada área restringida pela
curva de f, pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x de cada retângulo xi, com
i = {0, 1, 2, 3, .., n} e n tendendo a ∞ é equivalente à quantidade de retângulos inscritos
sob à curva, podemos considerar que a área sob à curva seja:
A = lim
n=∞
∆x
n
i=1
|f(xi)| (1.8)
22 Capítulo 1. Para que Integrais?
onde:
∆x =
b − a
n
e xi = a + i · ∆x (1.9)
Continua . . .
Parte II
Tabela de Integrais
25
2 Tabela de Integrais
2.1 Integrais Básicas
xn
dx =
1
n + 1
xn+1
, n = −1 (2.1)
1
x
dx = ln |x| (2.2)
udv = uv − vdu (2.3)
1
ax + b
dx =
1
a
ln |ax + b| (2.4)
2.2 Integrais de Funções Racionais
1
(x + a)2
dx = −
1
x + a
(2.5)
(x + a)n
dx =
(x + a)n+1
n + 1
, n = −1 (2.6)
x(x + a)n
dx =
(x + a)n+1
((n + 1)x − a)
(n + 1)(n + 2)
(2.7)
1
1 + x2
dx = tan−1
x (2.8)
1
a2 + x2
dx =
1
a
tan−1 x
a
(2.9)
x
a2 + x2
dx =
1
2
ln |a2
+ x2
| (2.10)
x2
a2 + x2
dx = x − a tan−1 x
a
(2.11)
x3
a2 + x2
dx =
1
2
x2
−
1
2
a2
ln |a2
+ x2
| (2.12)
1
ax2 + bx + c
dx =
2
√
4ac − b2
tan−1 2ax + b
√
4ac − b2
(2.13)
26 Capítulo 2. Tabela de Integrais
1
(x + a)(x + b)
dx =
1
b − a
ln
a + x
b + x
, a = b (2.14)
x
(x + a)2
dx =
a
a + x
+ ln |a + x| (2.15)
x
ax2 + bx + c
dx =
1
2a
ln |ax2
+ bx + c| −
b
a
√
4ac − b2
tan−1 2ax + b
√
4ac − b2
(2.16)
2.3 Integral com Raízes
√
x − a dx =
2
3
(x − a)3/2
(2.17)
1
√
x ± a
dx = 2
√
x ± a (2.18)
1
√
a − x
dx = −2
√
a − x (2.19)
√
ax + b dx =
2b
3a
+
2x
3
√
ax + b (2.20)
(ax + b)3/2
dx =
2
5a
(ax + b)5/2
(2.21)
x
√
ax + b dx =
2
15a2
(−2b2
+ abx + 3a2
x2
)
√
ax + b (2.22)
x
√
x2 ± a2 dx =
1
3
x2
± a2 3/2
(2.23)
1
√
a2 − x2
dx = sin−1 x
a
(2.24)
x
√
x2 ± a2
dx =
√
x2 ± a2 (2.25)
x
√
a2 − x2
dx = −
√
a2 − x2 (2.26)
dx
(a2 + x2)3/2
=
x
a2
√
a2 + x2
(2.27)
2.4. Integrals with Logarithms 27
2.4 Integrals with Logarithms
ln ax dx = x ln ax − x (2.28)
x ln x dx =
1
2
x2
ln x −
x2
4
(2.29)
x2
ln x dx =
1
3
x3
ln x −
x3
9
(2.30)
ln ax
x
dx =
1
2
(ln ax)2
(2.31)
ln x
x2
dx = −
1
x
−
ln x
x
(2.32)
(ln x)2
dx = 2x − 2x ln x + x(ln x)2
(2.33)
(ln x)3
dx = −6x + x(ln x)3
− 3x(ln x)2
+ 6x ln x (2.34)
x2
(ln x)2
dx =
2x3
27
+
1
3
x3
(ln x)2
−
2
9
x3
ln x (2.35)
2.5 Integrais com Funções Exponenciais
eax
dx =
1
a
eax
(2.36)
xex
dx = (x − 1)ex
(2.37)
x2
ex
dx = x2
− 2x + 2 ex
(2.38)
x3
ex
dx = x3
− 3x2
+ 6x − 6 ex
(2.39)
xn
eax
dx =
xn
eax
a
−
n
a
xn−1
eax
dx (2.40)
xe−ax2
dx = −
1
2a
e−ax2
(2.41)
28 Capítulo 2. Tabela de Integrais
2.6 Integrais de Funções Trigonométricas
sin ax dx = −
1
a
cos ax (2.42)
cos ax dx =
1
a
sin ax (2.43)
cos2
ax dx =
x
2
+
sin 2ax
4a
(2.44)
sin2
x cos x dx =
1
3
sin3
x (2.45)
cos2
ax sin ax dx = −
1
3a
cos3
ax (2.46)
tan2
ax dx = −x +
1
a
tan ax (2.47)
sec x tan x dx = sec x (2.48)
sec2
x tan x dx =
1
2
sec2
x (2.49)
csc2
ax dx = −
1
a
cot ax (2.50)
29
3 Conclusão
Finalizo esse trabalho tendo em mente que os pontos básicos e de maiores importâncias
dentro do estudo de Integrais foram claramente abordados.
Espero que esse documento seja de grande utilidade para os interessados em
aprender um pouco dessa ciência tão abrangente.
31
4 Referências bibliográficas
Bernhard Riemann, Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_
Riemann> Acesso em 20 de junho de 2015.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC,
2001.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1. Harbra, 1994.
PEREIRA, Ricardo Reis. Cálculo Essencial.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados (20)

TEORIA DE CONJUNTOS
TEORIA DE CONJUNTOS TEORIA DE CONJUNTOS
TEORIA DE CONJUNTOS
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
 
Potenciação e Radiciação
Potenciação e RadiciaçãoPotenciação e Radiciação
Potenciação e Radiciação
 
Equação do 1º grau
Equação do 1º grauEquação do 1º grau
Equação do 1º grau
 
Função logarítmica
Função logarítmicaFunção logarítmica
Função logarítmica
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Potenciacao
PotenciacaoPotenciacao
Potenciacao
 
Aula 12 medidas de dispersão
Aula 12   medidas de dispersãoAula 12   medidas de dispersão
Aula 12 medidas de dispersão
 
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.pptUnidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
 
Mat funcoes exercicios resolvidos
Mat funcoes exercicios resolvidosMat funcoes exercicios resolvidos
Mat funcoes exercicios resolvidos
 
O conjunto-dos-números-reais
O conjunto-dos-números-reaisO conjunto-dos-números-reais
O conjunto-dos-números-reais
 
Plano cartesiano animado
Plano cartesiano animadoPlano cartesiano animado
Plano cartesiano animado
 
Aula funcoes 1° e 2° graus
Aula   funcoes 1° e 2° grausAula   funcoes 1° e 2° graus
Aula funcoes 1° e 2° graus
 
Slides- Progressão Geométrica
Slides- Progressão GeométricaSlides- Progressão Geométrica
Slides- Progressão Geométrica
 
Potenciação
PotenciaçãoPotenciação
Potenciação
 
Função.quadratica
Função.quadraticaFunção.quadratica
Função.quadratica
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
Equação do 1º e 2º grau
Equação do 1º e 2º grauEquação do 1º e 2º grau
Equação do 1º e 2º grau
 
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e InequaçõesMatemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
 

Destaque

Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraistrigono_metrico
 
Cálculo de primitivas
Cálculo de primitivasCálculo de primitivas
Cálculo de primitivasbdeotto
 
Aula 4 Cálculo III Integral de linha :)
Aula 4   Cálculo III Integral de linha :)Aula 4   Cálculo III Integral de linha :)
Aula 4 Cálculo III Integral de linha :)João Monteiro
 
Apostila de cálculo diferencial e integral 1
Apostila de cálculo diferencial e integral 1Apostila de cálculo diferencial e integral 1
Apostila de cálculo diferencial e integral 1Gabriele Veleda
 
Metodos de integracion
Metodos de integracionMetodos de integracion
Metodos de integracionhesus_51
 
Introdução Ao Cálculo
Introdução Ao CálculoIntrodução Ao Cálculo
Introdução Ao Cálculoomineirinhobom
 
Coleção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercícios
Coleção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercíciosColeção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercícios
Coleção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercíciosRogério Caiado Machado
 
Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)matheuslw
 
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferroImportância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferroDébora Neves
 
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas IsostáticasAplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticasdanielceh
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definidaeducacao f
 
Eletrólise aquosa
Eletrólise aquosaEletrólise aquosa
Eletrólise aquosaEdson Karot
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadastrigono_metrico
 

Destaque (20)

Calculo integral e_diferencial_3[1]
Calculo integral e_diferencial_3[1]Calculo integral e_diferencial_3[1]
Calculo integral e_diferencial_3[1]
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
 
Cálculo de primitivas
Cálculo de primitivasCálculo de primitivas
Cálculo de primitivas
 
Calculo de primitivas
Calculo de primitivasCalculo de primitivas
Calculo de primitivas
 
Aula 4 Cálculo III Integral de linha :)
Aula 4   Cálculo III Integral de linha :)Aula 4   Cálculo III Integral de linha :)
Aula 4 Cálculo III Integral de linha :)
 
Calculo integral
Calculo integralCalculo integral
Calculo integral
 
Apostila de cálculo diferencial e integral 1
Apostila de cálculo diferencial e integral 1Apostila de cálculo diferencial e integral 1
Apostila de cálculo diferencial e integral 1
 
Metodos de integracion
Metodos de integracionMetodos de integracion
Metodos de integracion
 
Introdução Ao Cálculo
Introdução Ao CálculoIntrodução Ao Cálculo
Introdução Ao Cálculo
 
Coleção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercícios
Coleção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercíciosColeção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercícios
Coleção Schaum - Cálculo diferencial e integral - teoria e exercícios
 
Oxi-redução
Oxi-reduçãoOxi-redução
Oxi-redução
 
Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)
 
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferroImportância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferro
 
Tópico 09 - Integral
Tópico 09 - IntegralTópico 09 - Integral
Tópico 09 - Integral
 
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas IsostáticasAplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definida
 
Citoesqueleto ppt
Citoesqueleto pptCitoesqueleto ppt
Citoesqueleto ppt
 
Eletrólise aquosa
Eletrólise aquosaEletrólise aquosa
Eletrólise aquosa
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 

Semelhante a Breve introdução ao estudo de integrais definidas e indefinidas

Topologiaespacometri (1)
Topologiaespacometri (1)Topologiaespacometri (1)
Topologiaespacometri (1)Gutemberg Sales
 
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2Claudia Sá de Moura
 
Livro de ..calculo 3
Livro de ..calculo 3Livro de ..calculo 3
Livro de ..calculo 3Ana Chavier
 
Introdução às Distribuições e às Transformadas de Fourier
Introdução às Distribuições e às Transformadas de FourierIntrodução às Distribuições e às Transformadas de Fourier
Introdução às Distribuições e às Transformadas de Fourierporratudojafoiusado
 
Tccfinal
TccfinalTccfinal
Tccfinalabbeg
 
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...OSCONEYRALEIBNIZ
 
Relatorio integrais rev
Relatorio integrais  revRelatorio integrais  rev
Relatorio integrais revEstela Lasmar
 
Algebra linear 1
Algebra linear 1Algebra linear 1
Algebra linear 1Yasmim Yang
 
Matemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administraçãoMatemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administraçãoCamila Santos
 
Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3
Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3
Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3Matheus Alves
 

Semelhante a Breve introdução ao estudo de integrais definidas e indefinidas (20)

Apostila funções
Apostila funçõesApostila funções
Apostila funções
 
Sfourier
SfourierSfourier
Sfourier
 
Funcões de uma variável
Funcões de uma variávelFuncões de uma variável
Funcões de uma variável
 
Topologiaespacometri (1)
Topologiaespacometri (1)Topologiaespacometri (1)
Topologiaespacometri (1)
 
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
 
Analise 1
Analise 1Analise 1
Analise 1
 
Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
 
Espaços metricos
Espaços metricosEspaços metricos
Espaços metricos
 
Livro de ..calculo 3
Livro de ..calculo 3Livro de ..calculo 3
Livro de ..calculo 3
 
Introdução às Distribuições e às Transformadas de Fourier
Introdução às Distribuições e às Transformadas de FourierIntrodução às Distribuições e às Transformadas de Fourier
Introdução às Distribuições e às Transformadas de Fourier
 
Tccfinal
TccfinalTccfinal
Tccfinal
 
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Relatorio integrais rev
Relatorio integrais  revRelatorio integrais  rev
Relatorio integrais rev
 
Algebra linear 1
Algebra linear 1Algebra linear 1
Algebra linear 1
 
Algebra linear
Algebra linearAlgebra linear
Algebra linear
 
Ap ami v8
Ap ami v8Ap ami v8
Ap ami v8
 
Matemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administraçãoMatemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administração
 
Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3
Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3
Apostila de Cálculo (UFRPE) - Volume 3
 

Mais de Ronildo Oliveira

Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017
Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017
Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017Ronildo Oliveira
 
Towards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic Music
Towards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic MusicTowards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic Music
Towards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic MusicRonildo Oliveira
 
Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de Estrutura de Dados, Estr...
Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de  Estrutura de Dados, Estr...Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de  Estrutura de Dados, Estr...
Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de Estrutura de Dados, Estr...Ronildo Oliveira
 
Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...
Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...
Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...Ronildo Oliveira
 
A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...
A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...
A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...Ronildo Oliveira
 
Resolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª Edição
Resolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª EdiçãoResolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª Edição
Resolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª EdiçãoRonildo Oliveira
 
Realidade Virtual e Realidade Aumentada em Jogos
Realidade Virtual e Realidade Aumentada em JogosRealidade Virtual e Realidade Aumentada em Jogos
Realidade Virtual e Realidade Aumentada em JogosRonildo Oliveira
 
Scape From Weirdland - O Jogo
Scape From Weirdland - O JogoScape From Weirdland - O Jogo
Scape From Weirdland - O JogoRonildo Oliveira
 
Documento de Requisitos do Sistema - Meu Telefone
Documento de Requisitos do Sistema - Meu TelefoneDocumento de Requisitos do Sistema - Meu Telefone
Documento de Requisitos do Sistema - Meu TelefoneRonildo Oliveira
 
Slide Encontros Universitários 2015 UFC - SOLID, Design de Software e Progra...
Slide Encontros Universitários 2015 UFC  - SOLID, Design de Software e Progra...Slide Encontros Universitários 2015 UFC  - SOLID, Design de Software e Progra...
Slide Encontros Universitários 2015 UFC - SOLID, Design de Software e Progra...Ronildo Oliveira
 
Apresentação de Slide - Deadlocks
Apresentação de Slide - DeadlocksApresentação de Slide - Deadlocks
Apresentação de Slide - DeadlocksRonildo Oliveira
 
Resolução de Problemas - Sistemas Operacionais
Resolução de Problemas - Sistemas OperacionaisResolução de Problemas - Sistemas Operacionais
Resolução de Problemas - Sistemas OperacionaisRonildo Oliveira
 
Conceitos básicos de sistemas operacionais
Conceitos básicos de sistemas operacionaisConceitos básicos de sistemas operacionais
Conceitos básicos de sistemas operacionaisRonildo Oliveira
 
Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.
Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.
Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.Ronildo Oliveira
 
Exercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de Computadores
Exercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de ComputadoresExercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de Computadores
Exercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de ComputadoresRonildo Oliveira
 
Minicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CE
Minicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CEMinicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CE
Minicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CERonildo Oliveira
 
Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...
Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...
Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...Ronildo Oliveira
 
Curso Android - 01 Introdução ao Android
Curso Android - 01 Introdução ao AndroidCurso Android - 01 Introdução ao Android
Curso Android - 01 Introdução ao AndroidRonildo Oliveira
 
Curso Android - 03 Conceitos Chaves
Curso Android - 03 Conceitos ChavesCurso Android - 03 Conceitos Chaves
Curso Android - 03 Conceitos ChavesRonildo Oliveira
 

Mais de Ronildo Oliveira (20)

Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017
Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017
Desenvolvimento de jogos Mobile - FliSol 2017
 
Towards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic Music
Towards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic MusicTowards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic Music
Towards a Computational Model of Melody Identification in Polyphonic Music
 
Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de Estrutura de Dados, Estr...
Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de  Estrutura de Dados, Estr...Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de  Estrutura de Dados, Estr...
Relato de Experiência de Monitoria da Disciplina de Estrutura de Dados, Estr...
 
Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...
Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...
Avaliação Heurística de um Ambiente Virtual para Análise de Rotas de Execução...
 
A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...
A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...
A relevância da participação em centros acadêmicos para a formação complement...
 
Resolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª Edição
Resolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª EdiçãoResolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª Edição
Resolução Parcial - Redes de Computadores - Kurose 6ª Edição
 
Realidade Virtual e Realidade Aumentada em Jogos
Realidade Virtual e Realidade Aumentada em JogosRealidade Virtual e Realidade Aumentada em Jogos
Realidade Virtual e Realidade Aumentada em Jogos
 
Scape From Weirdland - O Jogo
Scape From Weirdland - O JogoScape From Weirdland - O Jogo
Scape From Weirdland - O Jogo
 
Documento de Requisitos do Sistema - Meu Telefone
Documento de Requisitos do Sistema - Meu TelefoneDocumento de Requisitos do Sistema - Meu Telefone
Documento de Requisitos do Sistema - Meu Telefone
 
Slide Encontros Universitários 2015 UFC - SOLID, Design de Software e Progra...
Slide Encontros Universitários 2015 UFC  - SOLID, Design de Software e Progra...Slide Encontros Universitários 2015 UFC  - SOLID, Design de Software e Progra...
Slide Encontros Universitários 2015 UFC - SOLID, Design de Software e Progra...
 
Apresentação de Slide - Deadlocks
Apresentação de Slide - DeadlocksApresentação de Slide - Deadlocks
Apresentação de Slide - Deadlocks
 
Deadlocks (Resumo)
Deadlocks (Resumo)Deadlocks (Resumo)
Deadlocks (Resumo)
 
Resolução de Problemas - Sistemas Operacionais
Resolução de Problemas - Sistemas OperacionaisResolução de Problemas - Sistemas Operacionais
Resolução de Problemas - Sistemas Operacionais
 
Conceitos básicos de sistemas operacionais
Conceitos básicos de sistemas operacionaisConceitos básicos de sistemas operacionais
Conceitos básicos de sistemas operacionais
 
Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.
Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.
Fases do desenvolvimento de software baseado no código de ética.
 
Exercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de Computadores
Exercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de ComputadoresExercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de Computadores
Exercícios Resolvidos - Arquitetura e Organização de Computadores
 
Minicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CE
Minicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CEMinicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CE
Minicurso de Desenvolvimento Android - Iguatu - CE
 
Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...
Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...
Curso Android - 02 configuração do ambiente (Tutorial de Instalação Eclipse +...
 
Curso Android - 01 Introdução ao Android
Curso Android - 01 Introdução ao AndroidCurso Android - 01 Introdução ao Android
Curso Android - 01 Introdução ao Android
 
Curso Android - 03 Conceitos Chaves
Curso Android - 03 Conceitos ChavesCurso Android - 03 Conceitos Chaves
Curso Android - 03 Conceitos Chaves
 

Último

“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx
“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx
“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptxthaisamaral9365923
 
Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029
Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029
Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029Centro Jacques Delors
 
A experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptx
A experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptxA experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptx
A experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptxfabiolalopesmartins1
 
Apostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptx
Apostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptxApostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptx
Apostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptxIsabelaRafael2
 
Gerenciando a Aprendizagem Organizacional
Gerenciando a Aprendizagem OrganizacionalGerenciando a Aprendizagem Organizacional
Gerenciando a Aprendizagem OrganizacionalJacqueline Cerqueira
 
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADOactivIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADOcarolinacespedes23
 
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveAula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveaulasgege
 
Cultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdf
Cultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdfCultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdf
Cultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdfaulasgege
 
Aula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologia
Aula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologiaAula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologia
Aula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologiaaulasgege
 
LEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃO
LEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃOLEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃO
LEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃOColégio Santa Teresinha
 
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfSimulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfEditoraEnovus
 
Slides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptxSlides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
Guia completo da Previdênci a - Reforma .pdf
Guia completo da Previdênci a - Reforma .pdfGuia completo da Previdênci a - Reforma .pdf
Guia completo da Previdênci a - Reforma .pdfEyshilaKelly1
 
AD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptx
AD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptxAD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptx
AD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptxkarinedarozabatista
 
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024Jeanoliveira597523
 
Pedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptx
Pedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptxPedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptx
Pedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptxleandropereira983288
 
UFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdf
UFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdfUFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdf
UFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdfManuais Formação
 
Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.
Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.
Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.Susana Stoffel
 
Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 

Último (20)

“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx
“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx
“Sobrou pra mim” - Conto de Ruth Rocha.pptx
 
Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029
Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029
Apresentação | Eleições Europeias 2024-2029
 
A experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptx
A experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptxA experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptx
A experiência amorosa e a reflexão sobre o Amor.pptx
 
Apostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptx
Apostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptxApostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptx
Apostila da CONQUISTA_ para o 6ANO_LP_UNI1.pptx
 
Em tempo de Quaresma .
Em tempo de Quaresma                            .Em tempo de Quaresma                            .
Em tempo de Quaresma .
 
Gerenciando a Aprendizagem Organizacional
Gerenciando a Aprendizagem OrganizacionalGerenciando a Aprendizagem Organizacional
Gerenciando a Aprendizagem Organizacional
 
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADOactivIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADO
 
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveAula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
 
Cultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdf
Cultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdfCultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdf
Cultura e Sociedade - Texto de Apoio.pdf
 
Aula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologia
Aula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologiaAula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologia
Aula - 1º Ano - Émile Durkheim - Um dos clássicos da sociologia
 
LEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃO
LEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃOLEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃO
LEMBRANDO A MORTE E CELEBRANDO A RESSUREIÇÃO
 
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfSimulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
 
Slides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptxSlides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, Betel, Ordenança quanto à contribuição financeira, 2Tr24.pptx
 
Guia completo da Previdênci a - Reforma .pdf
Guia completo da Previdênci a - Reforma .pdfGuia completo da Previdênci a - Reforma .pdf
Guia completo da Previdênci a - Reforma .pdf
 
AD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptx
AD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptxAD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptx
AD2 DIDÁTICA.KARINEROZA.SHAYANNE.BINC.ROBERTA.pptx
 
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
 
Pedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptx
Pedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptxPedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptx
Pedologia- Geografia - Geologia - aula_01.pptx
 
UFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdf
UFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdfUFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdf
UFCD_10392_Intervenção em populações de risco_índice .pdf
 
Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.
Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.
Família de palavras.ppt com exemplos e exercícios interativos.
 
Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 5, CPAD, Os Inimigos do Cristão, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
 

Breve introdução ao estudo de integrais definidas e indefinidas

  • 1. Ronildo Oliveira da Silva Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais Quixadá 2015, Junho
  • 2.
  • 3. Ronildo Oliveira da Silva Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais Resumo à respeito do contexto, aplicabili- dade, e definições sobre integrais aprendidos no curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Universidade Federal do Ceará Campus Quixadá Bacharel em Ciência da Computação Quixadá 2015, Junho
  • 4.
  • 5. Agradecimentos Agradeço aos meus professores de Cálculo da Universidade Federal do Ceará (UFC), em especial ao Prof. Antônio Joel Ramiro de Castro que propôs esse trabalho, que nos acompanhou e orientou durante o primeiro semestre de 2015.
  • 6.
  • 7. Resumo Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e indefinidas. Palavras-chaves: integral. cálculo.
  • 8.
  • 9. Lista de ilustrações Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  • 10.
  • 11. Sumário Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I ESTUDO SOBRE INTEGRAIS 13 1 PARA QUE INTEGRAIS? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Aritméticas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Teorema da Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Área Como Limite de um Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II TABELA DE INTEGRAIS 23 2 TABELA DE INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Integrais Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Integral com Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Integrals with Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Integrais com Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Integrais de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
  • 12.
  • 13. 11 Introdução Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e indefinidas.
  • 14.
  • 15. Parte I Estudo Sobre Integrais
  • 16.
  • 17. 15 1 Para que Integrais? No cotidiano computacional, podemos nos deparar com a seguinte questão: Qual o melhor algoritmo para se usar? Qual o mais rápido? Tendo dois algoritmos de complexidades diferentes, como saber qual deles é o menos nocivo à máquina? Podemos ver nitidamente qual o mais eficiente? Para analisarmos essas informações, apresentaremos de uma forma objetiva as definições e propriedades de Integrais. Veremos também as diferenças entre integrais definidas e indefinidas, cálculo de áreas sob curvas, as ideias iniciais de integral e os primeiros passos dos grandes nomes da matemática que contribuíram para o estudo do Cálculo. 1.1 Primitivas Como o título já diz tudo, veremos como são definidas funções primitivas o que nos faz lembrar de derivadas, mas como os opostos se atraem, estudaremos com as duas definições de mãos dadas. Considere duas funções f(x) e F(x) ∈ R e contínua num intervalo real i. Utilizando dos conceitos aprendidos em derivadas, se derivarmos F(x), essa será equivalente a f(x), ou seja, F (x) = f(x). Chamemos F(x) de função primitiva. Exemplificando a situação, se tivermos uma função G(x) = x2 + 4x + 16 e se também tivermos uma função g(x) = 2x + 4. G(x) é uma primitiva de g(x). No exemplo acima, percebemos que G(x) = ax2 + bx + c, onde c é uma constante. Para qualquer valor de c, a derivada de G(x) será a mesma, pois a derivação de uma constante sempre é 0. Se seus problemas são constantes, derive-os (??, 5.3). Agora vamos às integrais. No caso geral, para qualquer função y = F(x) + c, com c ∈ R, são todas primitivas de f(x), isso é o que denominamos de família de primitivas representada pelo símbolo operador , e expressa da seguinte forma: F(x) = F(x) + c = f(x) dx
  • 18. 16 Capítulo 1. Para que Integrais? 1.2 Integrais Indefinidas Assim como os pães, bolos, biscoitos, arroz e demais produtos, vamos abordar o conceito de Integrais de uma maneira bem light. Na definição acima, f(x) é o integrando e f(x) dx é a integral indefinida de f(x). 1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio Seja f(x) = 3x4 + 4x2 + 5, sua primitiva é: F(x) = 3x4+1 4+1 + 4x2+1 2+1 + 51+1 1+1 = F(x) = 3x5 5 + 4x3 3 + 52 2 Para termos certeza do conceito, calculamos F (x): F (x) = 5·3x4 5 + 3·4x2 3 + 2·51 2 = F (x) = 3x4 + 4x2 + 5 Isso nos leva a acreditar que F(x) nada mais é do que um candidato vindo da família de primitivas da função f(x). O que nos leva a considerar que: xn dx = 1 n + 1 xn+1 + c, n = −1 , c, n ∈ (1.1) 1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante Já que estamos falando de constantes, seja a, uma constante real aplicada a uma integral indefinida: a · f(x)dx = a · f(x)dx (1.2) Exemplo: Seja f(x) = x3 + 4x2 : 6 · (x3 + 4x2 )dx = 6 · x3 + 4x2 dx = (6x3 + 24x2 )dx = 6 · x3 + 4x2 dx = 6x4 4 + 24x3 3 = 6 · x4 4 + 4x3 3 = 6x4 4 + 24x3 3 = 6x4 4 + 24x3 3
  • 19. 1.3. Métodos de Integração 17 1.2.3 Aritméticas de Integrais Sejam f(x) e g(x) duas funções quaisquer, a integral da soma de ambas é equivalente a soma das suas respectivas integrais. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx (1.3) 1.2.4 Teorema da Linearidade O que vimos nas subseções nos leva a considerar as seguinte informação: Sejam F, G primitivas de f e g, respectivamente, num intervalo e α, β ∈ . Então α · F + β · G é uma primitiva de α · f + β · g. (α · f(x) + β · g(x)) dx = α f(x)dx + β · g(x)dx (1.4) Exemplo: Calcule sin2 (x)dx sin2 (x) = 1 2 (1 − cos(2x)) sin2 (x)dx = 1 2 (1 − cos(2x))dx = x 2 − sin(2x) 4 + c 1.3 Métodos de Integração 1.3.1 Método de Substituição Sejam Fuma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F(g) esteja definida. Usando a regra da cadeia, temos, (F(g(x))) = F (g(x)) · g (x) = f(g(x)) · g (x). Então F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g (x), então: f(g(x)) · g (x)dx = F(g(x)) + c Seja g(x) = u, du = g (x)dx. Feita a substituição: f(g(x)) · g (x)dx = f(u)du = F(u) + c (1.5) Exemplo: Calcule 2x 1+x2 dx Seja u = 1 + x2 , entãodu = 2xdx :
  • 20. 18 Capítulo 1. Para que Integrais? 2x 1 + x2 dx = du u = ln(u) + c = ln(x2 + 1) + c 1.4 Integrais Definidas Definiremos uma integral definida como um modelo de integral que estabelece limites de integração na forma, b a f(x)dx (1.6) (lê-se integral de f(x) de a até b) onde {a, b} ∈ , a ≤ b e denotam os limites de integração (a representa o limite de integração inferior e b o limite de integração superior). Seja uma função f(X) = F(x)dx, então, pela definição acima, temos: Note que, se tivermos uma variação de intervalo nula, teremos uma área nula. b a F(x) = f(b) − f(a) (1.7) Exemplo: Calcule 1 −1 x 4 3 + 4x 1 3 dx 1 −1 x 4 3 + 4x 1 3 dx = 3 7 x 7 3 + 4 · 3 4 x 4 3 lim inf −1 lim sup 1 = 3 7 + 3 − (− 3 7 + 3) = 6 7
  • 21. 1.5. A Integral de Riemann 19 1.5 A Integral de Riemann Voltaremos alguns anos para conhecer um pouco de um grande nome da matemática: Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 — Selasca, Verbania, 20 de Julho de 1866) foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial.No ramo da análise real, a integral de Riemann foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo dado e se tornou uma das definições mais simples que temos atualmente. Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann Fonte: wikipedia.com A noção de integral definida, cuja origem foi a formalização matemática da ideia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções. 1.6 Gráficos Se na antiguidade existia um problema matemático era o de calcular a área de figuras com regiões curvas.Arquimedes (matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego que viveu entre 287a.C. à 212a.C), criou por exaustão, um método que calculasse áreas desse tipo, em especial, um círculo. Essa metodologia consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número de lados cada vez maior. A ideia é que devido ao aumento de lados do polígono em questão (com melhor visualização se utilizar-mos polígonos regulares), nos aproximaríamos cada vez mais da área desejada. Observe: De modo análogo, podemos calcular a área entre o gráfico de uma função em um intervalo [a, b] e o eixo das abscissas. Para se ter uma ideia inicial da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos de larguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos
  • 22. 20 Capítulo 1. Para que Integrais? Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo Fonte: wikipedia.com pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. A área da região será, aproximadamente a soma da área de todos os retângulos construídos. Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x 2 4 6 8 10 20 40 60 80 1 Aproximação com 3 retângulos Percebe-se que, com um número pequeno de retângulos é muito provável que a área não terá uma aproximação significante, pois alguns retângulos poderão ultrapassar os limites do gráfico da função ou deixar espaços não pertencentes ao "limite"do gráfico.Assim, dobrando a quantidade de retângulos, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, se preenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todos eles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas. Alguns exemplos serão dados para demonstrar de maneira gráfica como o aumento da quantidade de retângulos influencia na aproximação da área da curva sob o eixo x.
  • 23. 1.7. Área Como Limite de um Somatório 21 Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x 2 4 6 8 10 20 40 60 80 1 Aproximação com 6 retângulos Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x 2 4 6 8 10 20 40 60 80 1 Aproximação com 60 retângulos 1.7 Área Como Limite de um Somatório é dada por, Assim seja, função f(x) contínua no intervalo [a, b] cada área restringida pela curva de f, pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x de cada retângulo xi, com i = {0, 1, 2, 3, .., n} e n tendendo a ∞ é equivalente à quantidade de retângulos inscritos sob à curva, podemos considerar que a área sob à curva seja: A = lim n=∞ ∆x n i=1 |f(xi)| (1.8)
  • 24. 22 Capítulo 1. Para que Integrais? onde: ∆x = b − a n e xi = a + i · ∆x (1.9) Continua . . .
  • 25. Parte II Tabela de Integrais
  • 26.
  • 27. 25 2 Tabela de Integrais 2.1 Integrais Básicas xn dx = 1 n + 1 xn+1 , n = −1 (2.1) 1 x dx = ln |x| (2.2) udv = uv − vdu (2.3) 1 ax + b dx = 1 a ln |ax + b| (2.4) 2.2 Integrais de Funções Racionais 1 (x + a)2 dx = − 1 x + a (2.5) (x + a)n dx = (x + a)n+1 n + 1 , n = −1 (2.6) x(x + a)n dx = (x + a)n+1 ((n + 1)x − a) (n + 1)(n + 2) (2.7) 1 1 + x2 dx = tan−1 x (2.8) 1 a2 + x2 dx = 1 a tan−1 x a (2.9) x a2 + x2 dx = 1 2 ln |a2 + x2 | (2.10) x2 a2 + x2 dx = x − a tan−1 x a (2.11) x3 a2 + x2 dx = 1 2 x2 − 1 2 a2 ln |a2 + x2 | (2.12) 1 ax2 + bx + c dx = 2 √ 4ac − b2 tan−1 2ax + b √ 4ac − b2 (2.13)
  • 28. 26 Capítulo 2. Tabela de Integrais 1 (x + a)(x + b) dx = 1 b − a ln a + x b + x , a = b (2.14) x (x + a)2 dx = a a + x + ln |a + x| (2.15) x ax2 + bx + c dx = 1 2a ln |ax2 + bx + c| − b a √ 4ac − b2 tan−1 2ax + b √ 4ac − b2 (2.16) 2.3 Integral com Raízes √ x − a dx = 2 3 (x − a)3/2 (2.17) 1 √ x ± a dx = 2 √ x ± a (2.18) 1 √ a − x dx = −2 √ a − x (2.19) √ ax + b dx = 2b 3a + 2x 3 √ ax + b (2.20) (ax + b)3/2 dx = 2 5a (ax + b)5/2 (2.21) x √ ax + b dx = 2 15a2 (−2b2 + abx + 3a2 x2 ) √ ax + b (2.22) x √ x2 ± a2 dx = 1 3 x2 ± a2 3/2 (2.23) 1 √ a2 − x2 dx = sin−1 x a (2.24) x √ x2 ± a2 dx = √ x2 ± a2 (2.25) x √ a2 − x2 dx = − √ a2 − x2 (2.26) dx (a2 + x2)3/2 = x a2 √ a2 + x2 (2.27)
  • 29. 2.4. Integrals with Logarithms 27 2.4 Integrals with Logarithms ln ax dx = x ln ax − x (2.28) x ln x dx = 1 2 x2 ln x − x2 4 (2.29) x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − x3 9 (2.30) ln ax x dx = 1 2 (ln ax)2 (2.31) ln x x2 dx = − 1 x − ln x x (2.32) (ln x)2 dx = 2x − 2x ln x + x(ln x)2 (2.33) (ln x)3 dx = −6x + x(ln x)3 − 3x(ln x)2 + 6x ln x (2.34) x2 (ln x)2 dx = 2x3 27 + 1 3 x3 (ln x)2 − 2 9 x3 ln x (2.35) 2.5 Integrais com Funções Exponenciais eax dx = 1 a eax (2.36) xex dx = (x − 1)ex (2.37) x2 ex dx = x2 − 2x + 2 ex (2.38) x3 ex dx = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex (2.39) xn eax dx = xn eax a − n a xn−1 eax dx (2.40) xe−ax2 dx = − 1 2a e−ax2 (2.41)
  • 30. 28 Capítulo 2. Tabela de Integrais 2.6 Integrais de Funções Trigonométricas sin ax dx = − 1 a cos ax (2.42) cos ax dx = 1 a sin ax (2.43) cos2 ax dx = x 2 + sin 2ax 4a (2.44) sin2 x cos x dx = 1 3 sin3 x (2.45) cos2 ax sin ax dx = − 1 3a cos3 ax (2.46) tan2 ax dx = −x + 1 a tan ax (2.47) sec x tan x dx = sec x (2.48) sec2 x tan x dx = 1 2 sec2 x (2.49) csc2 ax dx = − 1 a cot ax (2.50)
  • 31. 29 3 Conclusão Finalizo esse trabalho tendo em mente que os pontos básicos e de maiores importâncias dentro do estudo de Integrais foram claramente abordados. Espero que esse documento seja de grande utilidade para os interessados em aprender um pouco dessa ciência tão abrangente.
  • 32.
  • 33. 31 4 Referências bibliográficas Bernhard Riemann, Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_ Riemann> Acesso em 20 de junho de 2015. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC, 2001. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1. Harbra, 1994. PEREIRA, Ricardo Reis. Cálculo Essencial.