Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

Particle Motion in Schwarzschild Spacetime

General Relativity, Curved Spacetime, Schwarzschild Metric, Christoffel Symbols

  • Soyez le premier à commenter

Particle Motion in Schwarzschild Spacetime

  1. 1. Θεόκλητος Μπαμπούρης https://science4allstudents.wordpress.com Κίνηση Σωματιδίου σε Χωροχρόνο Schwarzschild Θεωρήστε την κίνηση ελεύθερου σωματιδίου σε κοσμικές γραμμές στο ισημερινό επίπεδο ενός χωροχρόνου που περιγράφεται από την μετρική Schwarzschild ds2 = − ( 1 − 2M r ) dt2 + ( 1 − 2M r )−1 dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) (1) σε γεωμετροποιημένες μονάδες (c = G = 1). α) Δείξτε ότι οι ποσότητες E = ( 1 − 2M r ) ˙t και J = r2 ˙ϕ είναι σταθερές. Η τελεία υποδεικνύει παράγωγο ως προς τον ιδιοχρόνο τ. β) Γιατί το σωματίδιο δεν μπορεί να διαφύγει στο άπειρο όταν E < 1; γ) Δείξτε ότι ˙r2 + ( 1 + J2 r2 )( 1 − 2M r ) = E2 , ¨r − J2 r3 + 3 MJ2 r4 + M r2 = 0. δ) Για κυκλική κίνηση ακτίνας r = R δείξτε ότι J2 = MR2 R − 3M και dϕ dt = ( M R3 )1/2 . ε) Υπολογίστε τα σύμβολα Christoffel. Λύση Πριν προβούμε στις απαντήσεις των ως άνω ερωτημάτων, ας σχολιάσουμε εν συ- ντομία την μορφή της μετρικής Schwarzschild, Εξ. (1) (βλ. π.χ. [Car04, Har03, Wal84, Wei72]). Περιγράφει την γεωμετρία τού κενού χώρου στο εξωτερικό μιας σφαιρικά συμ- μετρικής πηγής καμπυλότητας, όπως είναι για παράδειγμα ένα σφαιρικό άστρο. Η γε- ωμετρία αυτή ονομάζεται γεωμετρία Schwarzschild προς τιμήν τού Karl Schwarzschild, που το 1916 βρήκε την πρώτη ακριβή μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Einstein για την βαρύτητα στον κενό χώρο. Η σταθερή παράμετρος M της Εξ. (1) ερμηνεύεται ως η συνολική μάζα τής πηγής κα- μπυλότητας. Επίσης, η μετρική Schwarzschild διαθέτει χρονική ανεξαρτησία, καθώς και σφαρική συμμετρία. Η συντεταγμένη r δεν αποτελεί την απόσταση από κάποιο κέντρο, αλλά μετρά την ακτινική απόσταση πάνω στην υπερεπιφάνεια t = σταθ. Μπορούμε λοιπόν να την συνδέσουμε με την σφαιρική επιφάνεια περιφέρειας 2πr και εμβαδού 4πr2 . Για r = 0 και r = 2M η Εξ. (1) παρουσιάζει ιδιομορφία. Η δεύτερη από αυτές ονομάζεται ακτίνα Schwarzschild και αποτελεί χαρακτηριστικό τής κλίμακας μεγέθους της καμπύλωσης στην γεωμετρία Schwarzschild. 1
  2. 2. Θεόκλητος Μπαμπούρης https://science4allstudents.wordpress.com α) Στο ισημερινό επίπεδο είναι θ = π/2, dθ = 0. Αν παραμετροποιήσουμε την καμπύλη κίνησης ως προς τον ιδιοχρόνο τ, όπου dτ2 = − ds2 , τότε το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι uα ≡ ˙xα ≡ dxα dτ (2) και συνεπώς η Lagrangian γράφεται L(xα , ˙xα ) = gαβ ˙xα ˙xβ = − ( 1 − 2M r ) ˙t2 + ( 1 − 2M r )−1 ˙r2 + r2 ˙ϕ2 . (3) Οι συντεταγμένες t, ϕ είναι αγνοήσιμες και επομένως από τις εξισώσεις Euler- Lagrange προκύπτει ∂L ∂ ˙t = σταθ. ⇒ −2 ( 1 − 2M r ) ˙t = σταθ. ⇒ ( 1 − 2M r ) ˙t = E = σταθ. (4) και ∂L ∂ ˙ϕ = σταθ. ⇒ 2r2 ˙ϕ = σταθ. ⇒ r2 ˙ϕ = J = σταθ. (5) ▶ Μια διαφορετική αντιμετώπιση γίνεται μέσω των διανυσμάτων Killing. Λόγω της συμμετρίας τής μετρικής ως προς την συντεταγμένη t, ορίζεται το διάνυσμα Killing Tα = (∂t)α = (1, 0, 0, 0), (6) ενώ λόγω συμμετρίας ως προς την συντεταγμένη ϕ, ορίζουμε το Kα = (∂ϕ)α = (0, 0, 0, 1). (7) Επομένως, διατηρούνται οι ποσότητες (T |u) ≡ gαβTα uβ = − ( 1 − 2M r ) ˙t, (8) (K|u) ≡ gαβKα uβ = r2 ˙ϕ. (9) Δηλαδή, ( 1 − 2M r ) ˙t = −(T |u) ≡ E = σταθ., (10) r2 ˙ϕ = (K|u) ≡ J = σταθ.. (11) Για άμαζα σωματίδια, οι ποσότητες αυτές μπορούν να θεωρηθούν αντιστοίχως ως η διατηρούμενη ενέργεια και η διατηρούμενη στροφορμή, ενώ για σωματίδια με μάζα είναι η διατηρούμενη ενέργεια και η διατηρούμενη στροφορμή ανά μονάδα μάζας τού σωματιδίου. β) Όταν E < 1, τότε έχουμε διαδοχικά μέσω της Εξ. (4): ( 1 − 2M r ) ˙t < 1 ⇒ ˙t − 2M ˙t r < 1 ⇒ r < 2M ˙t ˙t − 1 (12) 2
  3. 3. Θεόκλητος Μπαμπούρης https://science4allstudents.wordpress.com Επομένως, η ακτινική συνιστώσα r είναι δέσμια και το σωματίδιο δεν μπορεί να δια- φύγει στο άπειρο. γ) Η κανονικοποίηση τής τετραταχύτητας δίνει (u|u) = gαβuα uβ = −1 ⇒ − ( 1 − 2M r ) ˙t2 + ( 1 − 2M r )−1 ˙r2 + r2 ˙ϕ2 = −1 (4), (5) ===⇒ − ( 1 − 2M r )−1 E2 + ( 1 − 2M r )−1 ˙r2 + J2 r2 ⇒ ˙r2 + ( 1 + J2 r2 )( 1 − 2M r ) = E2 . (13) Παραγωγίζοντας την Εξ. (13) ως προς r παίρνουμε 0 = dE2 dr = d ˙r2 dr − 2 J2 r3 ( 1 − 2M r ) + ( 1 + J2 r2 ) 2M r2 = d ˙r2 dr − 2 J2 r3 + 6 MJ2 r4 + 2 M r2 . (14) Όμως, d ˙r2 dr = d ˙r2 dτ dτ dr = 2 ˙r¨r 1 ˙r = 2¨r. (15) Άρα, ¨r − J2 r3 + 3 MJ2 r4 + M r2 = 0 . (16) δ) Για r = R είναι ˙r = ¨r = 0 και οπότε η Εξ. (16) δίνει − J2 R3 + 3 MJ2 R4 + M R2 = 0 ⇒ J2 = MR2 R − 3M (17) Επίσης, dϕ dt = dϕ dτ dτ dt = ˙ϕ 1 ˙t (4), (5) ===⇒ dϕ dt = J R2 ( 1 − 2M R ) 1 E . (18) Αλλά, από την Εξ. (13) είναι E2 = ( 1 + J2 R2 )( 1 − 2M R ) = (R − 2M)2 R(R − 3M) . Επομένως, ( dϕ dt )2 = J2 R4 (R − 2M)2 R2 R(R − 3M) (R − 2M)2 = M R3 ⇒ dϕ dt = ( M R3 )1/2 . (19) 3
  4. 4. Θεόκλητος Μπαμπούρης https://science4allstudents.wordpress.com ε) Στον (3 + 1)διάστατο χώρο (δηλαδή με υπογραφή (signature) μετρικής (-+++)) υπάρχουν 64 σύμβολα Christoffel. Όμως, μόνον 40 από αυτά είναι ανεξάρτητα, εξαιτίας της συμμετρίας Γα βγ = Γα γβ. Ωστόσο, σε πολλές πρακτικές εφαρμογές τα περισσότερα είναι μηδενικά. Η εξίσωση κίνησης κατά μήκος μιας γεωδαιτικής είναι ¨xα + Γα βγ ˙xβ ˙xγ = 0. (20) Με την βοήθεια τής Εξ. (20), τής Lagrangian Εξ. (3) και των εξισώσεων Euler-Lagrange θα υπολογίσουμε τα ζητούμενα σύμβολα. Έχουμε, ∂L ∂t = 0, ∂L ∂ ˙t = −2 ( 1 − 2M r ) ˙t, d dτ ( ∂L ∂ ˙t ) = − 4M r2 ˙r˙t − 2 ( 1 − 2M r ) ¨t (21) Δηλαδή, ¨t + 2M r(r − 2M) ˙r˙t = 0 (22) Άρα, Γt rt = Γt tr = M r(r − 2M) . (23) Ομοίως, ∂L ∂r = − 2M r2 ˙t2 − ( 1 − 2M r )−2 2M r2 ˙r2 + 2r2 ˙ϕ2 , (24) ∂L ∂ ˙r = 2 ( 1 − 2M r )−1 ˙r, (25) d dτ ( ∂L ∂ ˙r ) = −2 ( 1 − 2M r )−2 2M r2 ˙r ˙r + 2 ( 1 − 2M r )−1 ¨r. (26) Η εξίσωση κίνησης είναι ¨r − M r(r − 2M) ˙r2 + M(r − 2M) r3 ˙t2 − (r − 2M) ˙ϕ2 = 0. (27) Άρα, Γr rr = − M r(r − 2M) , Γr tt = M(r − 2M) r3 , Γr ϕϕ = −(r − 2M) . (28) Επίσης, ∂L ∂ϕ = 0, ∂L ∂ ˙ϕ = 2r2 ˙ϕ, d dτ ( ∂L ∂ ˙ϕ ) = 4r ˙r ˙ϕ + 2r2 ¨ϕ. (29) Συνεπώς, ¨ϕ + 2 r ˙r ˙ϕ = 0 (30) και Γϕ rϕ = Γϕ ϕr = 1 r . (31) Τα υπόλοιπα σύμβολα Christoffel είναι όλα μηδενικά. 4
  5. 5. Θεόκλητος Μπαμπούρης https://science4allstudents.wordpress.com Αναφορές [Car04] S. M. Carroll, Spacetime and geometry. An introduction to general relativity, Addison Wesley, 2004. [Har03] J. B. Hartle, Gravity: an introduction to Einstein’s general relativity, Addison Wesley, 2003. [Wal84] R. M. Wald, General relativity, University of Chicago Press, 1984. [Wei72] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley-VCH, 1972. 5

    Soyez le premier à commenter

    Identifiez-vous pour voir les commentaires

  • katerinaaroni

    Oct. 6, 2017
  • JohnFiorentinos

    Feb. 23, 2021

General Relativity, Curved Spacetime, Schwarzschild Metric, Christoffel Symbols

Vues

Nombre de vues

262

Sur Slideshare

0

À partir des intégrations

0

Nombre d'intégrations

96

Actions

Téléchargements

0

Partages

0

Commentaires

0

Mentions J'aime

2

×