Actividades

1. Cuaderno de actividades 1
1.O Bachillerato
Ángel Peña Sainz
José Antonio García Pérez
Revisión técnica
JACINTO SORIANO MINNOCCI
McGraw-Hill
MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA,. LISBOA MÉXICO
NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTAFE DE BOGOTA SANTIAGO SAO PAULO
AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MlLAN MONTREAL NUEVA DELHl
PARIS SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUlS TOKIO TORONTO

2. Cuaderno de actividades. 1. Cinemitica.Física. 1."Bachillerato
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DERECHOS RESERVADOS O 1997, respecto a La pgmera edición en español por
M c G R A W - H L ~ R A M E R I C A N ADE ESPANA, S. A.
Edificio Valrealty, 1."planta
Basaun, 17
28023 Aravaca (Madrid)
ISBN: 84-481-0873-6
Depósito legal: M. 45.725-1996
Editora: Belén Mamil
Ayudante editorial: Estrella Marinas
Ilustraciones: MonoComp, S. A.
Cubierta: Estudio F. Piñuela
Compuesto en MonoComp, S. A.
Impreso en Edigrafos. S. A.
IMPRESO EN ESPMA - PRINTED IN SPAIN

3. ¿Cómo resolver un problema de cinemática'? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compmeba tu nivel de conociinientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l. Movimientos en una dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Movimientos rectilíneos sobre el eje Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Movimientos verticales bajo la acción de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Movimientos en dos dimensiones
Movimientos parabólicos
Movimiento circular . . .
3. Diagramas del movimiento
Problemas de recapitulación
Problemas propuestos
Solucionario del apartado acompmeba tu nivel de conocimientos»

4. Para resolver un problema de cinemática debes tener presente lo siguiente:
1. Es necesario elegir un objeto o una serie de objetos, reales o ficticios, en reposo relativo, para
determinar, respecto de ellos, los cambios de posición de los cuerpos en movimiento.
Estos objetos en reposo relativo reciben el nombre de sistema de referencia.En el sistema
de referencia se suponeque estj situadoel observador,el que cronometrael movimiento,el
que resuelve el problema, etc.
Al resolver un problenia se debe indicar qué sistema de referencia se ha elegido. En los
problemas resueltos hacemos especial hincapié en este aspecto.
2. El movimiento de un cuerpo queda bien determinado si somos capaces de calcular:
Dónde se encuentra en cualquier momento el objeto que se mueve. Es decir, conocemos su
posición instantánea.
Qué velocidad posee en cualquier instante o en cualquier posición.
Qué trayectoria describe.
3. La mayoría de los problemas que vamos a resolver versarán sobre el movimiento rectilíneo
con aceleración constante. Este movimiento concreto queda perfectamente definido en las
siguientes ecuaciones:
para calcular la posición en cualquier instante;
para calcular la velocidad en cualquier instante;
para hallar la velocidad en cualquier posición.
Siendo:
x, v la posición y la velocidad en cualquier instante.
x,. o, la posición y la velocidad iniciales (para t == 0).
4. Recuerda que la posición,la velocidad y la aceleraciónson magnitudesvectoriales. El sentido
de estos vectores viene deteirninado por los signos +, -.Para averiguar el signo que tienen
en un problema concreto utilizaremos el siguiente criterio:

5. a) Para la posición.Si el punto O es el sistema de referencia elegido, el signo de la posición
coincide con el signo de los semiejes cartesianos,como se indica en las figuras siguientes:
v
Movimientos horizontales Movimientos verticales
Y < O
b) Para la velocidad. Para movimientos horizontales la velocidad es positiva cuando el
móvil se desplaza en el mismo sentido del semieje positivo de las x, y será negativa si el
desplazamiento se realiza en sentido contrario. Para movimientos verticales la velocidad
se toma positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido del semieje positivo de las y.
Es decir, si el cuerpo sube. Será negativa si el cuerpo baja. Este criterio de signos se
indica en las figuras siguientes:
c) Para la aceleración. Una acelera-
ción será positiva si su sentido coin-
cide con la velocidad positiva. Y se-
....rá negativa si su sentido es contrario .L...... *
a la velocidad positiva, como se in- 4 .........~'
dica en la figura adjunta.
7 -
Ia c O :
Nota: Según este criterio la acele-
ración de la gravedad será siempre
negativa.
No lo olvides: Este criterio de signos solamente es válido para movimientos rectilineos.

6. 5. Lee con atención el enunciado, las veces que sea necesario, hasta estar seguro de que has
comprendido el tipo de fenómeno que se describe. Habrás entendido el problema cuando
hayas descubierto lo que se pretende calcular y los datos de que dispones para ello.
Es muy importante que identifiques los datos y las incógnitas que aparecen en cada
apartado del problema. Resulta muy útil escribirlos apane. Esto te facilitará la resolución del
ejercicio y, además, evitará que tengas que leer el enunciado cada vez que resuelvas una
incógnita. Por esto, en los primeros problemas resueltos hacemos especial hincapié en anotar
los datos.
6. Si es posible, ayúdate de un diagrama o esquema gráfico con los datos del problema y busca '
las relaciones que pueda haber entre las diferentes partes del mismo. 1
7. Selecciona las leyes, principios, ecuaciones, modelos y estrategias en general que te permitan
calcular una incógnita determinada. l8. Resuelve el problema haciendo una descripción algebraica, dejando para el final la sustitución
de los datos numéricos una vez que hayas despejado la incógnita.
9. Los datos numéricos deben ir acompañados de sus correspondientes unidades, expresadas
siempre en el SI, y operar con ellas. Esto te indicará si los cálculos que vas haciendo son ,
dimensionalmente correctos.
10. Una vez obtenido el valor de la incógnita, haz una evaluación del resultado. 'Es razonable? !
¿Está de acuerdo con los datos? ¿Coinciden las unidades? ¿El signo es apropiado o no tiene
sentido físico?, etc.
uCompruebatu niwl de conocimientos
Antes de resolver los problemas que aparecen en los epígrafes siguientes averigua tus conociiiiientosde
teoría resolviendo estos ejercicios y cuestiones. Te servirán de test para ver si dominas los conceptos
básicos. Si al resolver estas pruebas observas que el número de fallos es alto, debes repasar la teoría antes
de comenzar la resolución de los problemas.
J1 Indica qué afirmaciones son correctas. Movimiento es:
a) Un cambio de lugar.
b) Un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material
C) Un desplazamiento.
d ) Un cambio de posición
J2 Antonio sale de su casa a comprar el periódico en una papelería situada a 120 m de la vivienda.
Después de 15 minutos Antonio regresa a su casa. ¿Qué afirmación es correcta?
a) Antonio se ha desplazado 120 m.
b) Antonio se ha desplazado 240 m.

7. C ) Antonio no se ha desplazado.
d ) Antonio ha recomdo un espacio de 240 ni.
J3 Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1.250 m del punto de
referencia, el ciclista inició su recomdo desde una posición de:
a) 750 m.
b) 1.250 m.
c ) No se puede hallar la posición de partida.
d ) 500 m.
J4 Un coche lleva una velocidad de 144 km,%;esta velocidad en el SI es:
a) 25 m/s.
b) 30 m/s.
C ) 35 m/s.
d ) 40 m/s.
J5 Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. la velocidadde un avión en km/hcuando rompe la
barrera del sonido será:
a) 1.224 km/h.
b) 1.315 km/h.
C ) 1.608 km/h.
d ) 3.400 km/h.
J6 Desde un puente dejas caer un objeto y observas que tarda 1,5 s en llegar al agua. Dirás que la
altura del puente es:
a) 11,075m.
b) 11,025 m.
c) 12,148m.
d ) 9.8 m.
J7 Un coche pasa de 90 hn/h a 126 km/h en 8 s. La aceleración del coche ha sido:
a) 4,5 m/sZ.
b) 2,25 m/s2.
C ) 1,25 mis2.
d ) 1,5 m/s2.

8. J8 Un automóvil parte del reposocon una aceleración constantede 1,8m/s2
. Despuésde 20 S de estar
acelerando, la distancia recorrida por el coche es:
(1) 360 m.
b) 720 m.
C) 18m.
d ) 36 m.
J9 La velocidad de un coche en un punto A es de 60 km/h y en otro punto B su velocidad es de
100 km/h. La velocidad media del coche entre los puntos A y B ha sido:
b) No se puede hallar porque no conocemos el desplazamiento.
C ) Aunque conociéramos la distancia entre A y B tampoco se podría hallar porque no conoce-
mos el tiempo.
J10 Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con velocidad constante de 36 km/h. ¿Cuáles de
las siguientes afirmaciones son correctas?
a) El coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante.
b) El coche tiene aceleración porque su velocidad varía.
C ) El coche tiene aceleración tangencial.
d ) La aceleración del coche vale 1 m/s2
.
J11 Las coordenadasdel extremo del vector de posición de una partícula móvil son P(2, -1, O) en un
instante dado.
a) En ese instante el punto se encuentra en el plano xy.
b) El punto se encuentra en el plano yz.
C ) El vector de posición es r = 2i - j.
d ) El vector de posición es r = i + 2j.
¿Qué afirmaciones son falsas?
J12 El vector de posiciónde un punto material en movimientoes r = ti + tzj + k. El punto móvil se
encuenira inicialmente en:
a) (0, o,O).
b) (0, 1 , 1).
C) (O,o, 11.
¿Cuál es la posición correcta?

9. J13 El vector de posición de un punto material que se desplaza en el espacio es r, = 4i - 3j en el
instante t,, mientras que en el instante 1, es r2 = 5j + 2k. El desplazamiento del punto en el
intervalo t, - 1, ha sido:
a) i + 2k.
b) 3j +Zk.
c) 4i + 8j + 2k.
d ) -4i + 8j + 2k.
Indica la solución verdadera.
J14 El vector de posición de una partícula móvil es r = (t + 2)i + r2j - 3k. ¿Qué desplazamientoha
experimentado la partícula e11 el intervalo de tiempo de 2 a 4 S'?
J15 Dada la ecuación horaria del movimiento de una partícula s = 2 - 3t + t2
(en unidades SI), la
velocidad escalar media en m/s entre 2 y 4 s ha sido:
a) 2.
b) 3.
C ) 4.
d ) 5.
J16 La velocidad media de una partícula en un intervalo de tiempo es:
a) El cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo.
b) El cociente entre el espacio recomdo y el intervalo de tiempo.
c) Es igual cualquiera que sea la trayectoria.
d ) Tiene igual módulo que la velocidad escalar media si la trayectoria es rectilínea
e) Tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento.
¿Qué afirmaciones son verdaderas?
J17 En la figura se representa el movimiento de una partí-
cula. En el instante t , dicha partícula se encuentra en
P,,mientras que en r, ya está en P,. ¿Cuáles de las
siguientes expresiones representan la velocidad me-
dia?

10. J 1 8 El movimiento de una partícula puede determinarse mediante s = v,t + 1/2at2 o bien
x = x, + v,t + 1/2at2
.
a) Ambas ecuaciones son equivalentes.
b) La primera representa el espacio recomdo y la segunda la posición del nióvil en un instante
dado.
c) Ambas representan el espacio recomdo si el iiiovimientoes rectilíneo.
d ) Ambas representan la posición del móvil en un instante
e) La primera recibe el nombre de ecuación horaria.
¿Qué afirmaciones son correctas?
J19 El vector de posición de un punto móvil es:
El punto se inueve:
U ) En el plano y.
b) En el plano xz.
C ) En un plano paralelo a xz.
d ) En un plano perpendicular al plano q.
Indica las soluciones verdaderas.
JZO El vector de posiciún de un punto móvil es r = (2t + 5t2
)i.
a) El punto se mueve en el plano xy.
b) El punto se mueve sobre el eje x.
c) El punto se mueve sobre una recta paralela al eje x.
d) El movimiento es rectilíneo y uniforme.
e ) La ecuación dada es equivalente a la ecuación x = 2t + 5t2
.
Señala las afmacioues correctas.
J Z 1 El vector de posición de una partícula es r = (2 - 2tz)i + 8j.
a) La partícula se inueve sobre el eje x.
b) La partícula se mueve en el plano ny.
c) La panícula se mueve en un plano paralelo al plano .v.
d ) El movimiento es rectilíneo.
e) El movimiento es parabólico.
¿Qué afirmaciones son correctas?

11. J22 Tres partículas A,B' C se desplazan desde la posición P, a la
posición P,siguiendo las trayectoriasque se indican en la figura.
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
a) Las tres tienen el mismo desplazamiento.
b) Las tres se han movido con la misma rapidez si han emplea-
do el mismo tiempo.
c) Las tres tienen la misma velocidad si han empleado el mis-
mo tiempo.
J23 Un barco se desplaza 8 km hacia el norte y luego 6 km hacia el
este empleando media hora. Indica cuáles de las siguientes afir-
maciones son correctas.
a) El desplazamiento total ha sido 14 km.
b) El desplazamiento total ha sido 10 km.
c) El módulo de la velocidad media es 28 km/h.
d ) El módulo de la velocidad media es 20 km/h.
J24 De las afirmaciones siguientes indica cuáles son falsas.
a) Si la velocidad de un cuerpo es nula, la aceleración también lo es.
b) Si la aceleración de un cuerpo es nula, la velocidad también lo es.
c) La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección aunque su
sentido puede ser diferente.
J25 Si el módulo del vector velocidad de un móvil es constante:
a) El movimiento es uniforme.
b) El movimiento puede no ser uniforme.
C) Sólo será uniforme si su trayectoria es una recta.
Una de las afirmaciones anteriores es falsa. ¿Cuál es?

12. NOVIMlENTOS
EN UNA DIM'ENSI~N
@lbMovimientos rectilíneos sobre el eje Ox
La mayoría de los movimientos complicados
que se dan en la naturaleza se pueden conside-
rar como suma de movimientosrectilíneos a lo
largo de los ejes cartesianos de referencia. Es
el caso del movimiento parabólico que vere-
iiios más adelante. Por ello es importante que
doiniiies el movimiento rectilíneo.
Vamos a considerar dos casos: el movi-
miento vertical, en caída libre, bajo la acción
de la gravedad, y el movimiento horizontal. El
primero es un ejemplo típico de movimiento
rectilíneo y uniformemente acelerado, mien-
tras que el segundo puede ser uniforme y uni-
formemente acelerado. Nosotros considerare-
mos el movimiento uniforme como un caso
paaicular de movimiento uniformemente ace-
lerado (a = 0).
Entendemos como movimiento horizontal
cualquier movimiento rectilíneo realizado so-
bre el suelo, sin que actúe la gravedad.
Tomaremos como eje x la dirección del mo-
vimiento.
Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una veloci-
dad de 36 km/h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración? ¿Qué distancia ha recorrido en los LO S?
Solución
El ciclista parte del reposo, sin velocidad inicial por tanto, y con aceleración constante. Se trata,
pues, de un movinliento rectilíneo y uniformemente acelerado. Si la velocidad al cabo de 10 s es
36 km/h = 10 m/s se cumple que:
u - u, 10 m/s - O m/s
v = c, + rrt. de donde a = -
-- = 1 m/s2
t 10 S

13. Si tomamos como origen del sistema de referenciael punto de partida, la distancia recorrida
en 10 s equivale a la posición final correspondiente a dicho intervalo de tiempo. Por tanto,
Un automóvil al pasar por un punto A tiene una velocidad de 120 km/h y cuando pasa por otro
punto B, distante 100 m del anterior, la velocidad es de 30 km/h. Calcula:
a) El valor de la aceleración supuesta constante.
b) ¿Cuánto tiempo tarda el auto en pasar desde A hasta E?
c) ¿A qué distancia de A se detendrá el automóvil?
Solución
Tomamos como sistema de referencia el punto A.
Se trata de un inovimiento rectilíneo unifoniiemente acelerado.
Datos
Posición inicial: xo = O. Porque empezamos a contar el tiempo cuando el coche se encuentra en
el punto A (sistenia de referencia).
Velocidad inicial: v, = 120 h,'h = 33,33 ni/s.
Posición final: x = 100 m.
Velocidad final: v = 30 km/h = 8,33 m/s.
a) De acuerdo con estos datos, la aceleración se obtiene despejándola de la ecuación:
b) Calculamos el tiempo transcumdo desde A hasta E:

14. C) Supongamos que C es el punto pedido
Si tomamos el punto A como referencia los datos son:
Posiciún inicial: x, = 0.
Velocidad inicial: u, = 33,33 m/s.
Velocidad final: u = 0.
Aceleración: a = -5.2 m/s2.
En este caso la incógnita es la posición final x.
La despejamos de la ecuación:
Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se pone la luz verde arranca con aceleración
constante de 2 ni/s2.En el momento de mancar es adelantado por un camión que se mueve con
velocidad constante de 54 km/h. Calcula:
a) j,A qué distancia del semáforo alcanzará el coche al camión?
b) ¿Qué velocidad posee el coclie en ese momento?
Solución
Tomamos el semáforo conio origen del sistema de referencia.

15. Datos de cada móvil:
Velocidad inicial
Se nos pide la posición final x, en donde el coche alcanza al camión y la velocidad del coche
en esa posición.
u) El coche habrá alcanzado al camión cuando los dos vehículos estén a la misma distancia del
semáforo. Es decir, cuando los dos vehículos estén en la misma posicióii y en el mismo instante.
La posición de cada vehículo viene dada por la siguiente expresión:
Para e1 coche: x = 0 + 0 + 112. 2tZ
Para el camión: x = 0 + 15t
Si en este sistema de ecuaciones eliminamos el tiempo, tenemos:
De donde x = 225 m o x = O. (Intenta explicar el significado de esta segunda solución.)
6) Velocidad del coche: u' = 11; + 2a(x - x,)
El Código de la Circulación establece que la distancia mínima que debe guardar un vehículo con
respecto al vehículo anterior debe ser igual, en metros, al cuadrado de la velocidad expresada en
miriámetros por hora. Por ejemplo,en el supuestode que la velocidad fuera 120 km/h = 12 Mmh,
la distancia debe ser 144 m.
o) ¿Cuál debe ser la distancia de seguridad para un coche que circula a 25 m/s?
b) ¿Para qué valor de la aceleración está establecida la norma?
c) Uii coche A circula con una velocidad -
de 45 km/h a una distancia de 20 m del
coche B que le precede. ¿Cumple el co- A 8
che A la disposición legal? -..............20m........-~...*

16. d ) Si el coche B para bmscamente y el conductor del coche A tarda dos segundos en frenar,
¿habrá colisión entre los dos vehículos suponiendo que la máxima deceleración que puede
soportar el automóvil es de 8 m/s2?
Solución
a) En primer lugar expresamos la velocidad del automóvil en Mm/h:
De acuerdo con la norma del Código la distancia mínima debe ser:
b) La aceleración se obtiene de la ecuación:
Tomamos como referencia el punto en donde empieza a frenar. Con estas condiciones
x, = O y x representa la distancia de seguridad:
c ) La distancia mínima entre los dos vehículos debe ser:
Por tanto, no cumple la normativa.
d ) Durante los dos segundos que tarda el conductor en aplicar el freno el coche A avanza con
velocidad constante una distancia:
El coche A colisiona, pues, con el coche B antes de frenar.
Un avión que parte del reposo acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de despegue
de 75 m/s en 5 s.
a) ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión.
b) ¿Cuál es su aceleración?
C) ¿Qué longitud de pista ha recomdo hasta despegar?
d ) ¿Qué distancia recorre en el último segundo?

17. Solución
Para comenzar. elige tú el sistema de referencia más adecuado.
De acuerdo con el sistema de referencia elegido, escribe los datos.
a) El avión despega con una velocidad v = 75 m/s = 270 km/h
b) La aceleración la hallamos a partir de: c = u, + at
C) La longitud de pista recomda coincide con la posición final:
x = x, + v,t + 1/2atz = 0.5 . 15 m/s2. 25 S' = 187,s m
d ) Hallamos la posición a los 4 S:
x = 0,s . 15 mis2. 16 s2
= 120 m
La distancia recomda en el último segundo será:
d = x, - x, = 187,5 m - 120 m = 67,s m
Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despe,-ar con una
velocidad de 72 m/s. Estos aviones pueden acelerar unifomiemente, a razón de 4 m/s2.
a) ¿Cuánto tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de despegue?
b) ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de despegue?
Solución
Tomamos como referencia el comienzo de la pista de despegue
Disponemos de los siguientes datos:
a) El tiempoque necesita el avión para alcanzar la velocidad de despegue lo calculamos a partir
de la ecuación:
b) Si hemos tomado el comienzo de la pista como posición inicial, el final de la pista será la
posición final:
x = x, + v,t + 1/2at2 = 0,s . 4 m/s2
. 18' s2
= 648 m
d

18. Una caja se cae desde un camión en marcha y se desliza por la calle una distancia de 45 m antes de
detenerse. El rozamiento entre la caja y la calle produce una deceleración de 4 m/s2. ¿Cuál era la
velocidad del camión cuando se cayó la caja?
Solución
Tomamos como referencia el punto en donde se desprende la caja.
Por la ley de la inercia la velocidad del camión equivale a la velocidad horizontal inicial de la
caja.
Con estas indicaciones escribe los datos del problema.
La velocidad de la caja la obtienes resolviendo la ecuación:
v2
= 0; + 2a(x - x,)
u; = u2 - 2a(x - x,) = O - 2 . (-4 m/s2) . 45 m = 360 mZ/s2
De donde: u = 19 m/s = 68,3 h / h
Al planificar un viaje, has decidido hacerlo a una velocidad media de 90 km/h. Tu coche ha
sufrido una avena y has recomdo la mitad del trayecto con una velocidad media de 50 km/h.
¿Cuál debe ser la velocidad media en la segunda mitad del viaje para lograr tus propósitos? ¿Es
razonable esa velocidad?
Solución
Recuerdaque la velocidad media es el cociente entre el desplazamientorealizado
y el tiempo empleado en realizarlo. Si tomamos como referencia el punto de
partida, la longitud del trayecto coincide con el desplazamiento.
La velocidad media se considera constante. Por tanto, se cumple que x = uf. De haber
realizado el viaje según lo previsto habrías tardado un tiempo t (en horas):
Sin embargo, para recorrer la mitad del trayecto has empleado el tiempo:
Por tanto, el tiempo de que dispones para recorrer la segunda parte será:

19. x/2 x
Este tiempo debe coincidir con t, = - = -
v 2u
Por consiguiente:
De donde: v = 450 km/h
Como puedes comprender. esta velocidad no es razonable para un coche noniial.
Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriballeva
una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas abajo de 20 km/h. i.Cuáles la velocidad media
si las subidas y bajadas tienen la misma longitud?
Solución
Sea x la longitud de las subidas y de las bajadas: x = x, = x,
La velocidad media al final del trayecto será:
x (total) x, + x, -u = - - - -
2.x - u 2 . 5 km/h . 20 km,%=-- - -- -- - -- = 8 kmjh
t (total) x, x, u&-, + u$, i + 1 , 5 km/h + 20 hn/h
- + -
05 Ub 1!,Vb
Un estudiante ha determinado la posición de un móvil en función del tiempo. El resultado de su
investigación está reflejado en la tabla siguiente:
Analizando los datos de dicha tabla puedes deducü:
Que el móvil se desplazó primero en el sentido positivo del eje x hasta alcanzar 8 m.
Luego cambia de sentido dirigiéndose hacia el origen, pasando por él al cabo de 4 s.
Continúa su movimiento en el sentido negativo del eje x.
Calcula la velocidad media y la rapidez media (velocidad media escalar) en los intervalos:
a) D e O a 3 s .
b) De O a 4 s.
C) D e 3 a 8 s .

20. Solución
X - Xo S
De acuerdo con la definición de velocidad media: u = -y de rapidez media: u = -.t - to t
tenemos:
8 m + 3 m I l m
u = - - 3,66 m/s
3 s 3 S
Observa que en el cálculo de la rapidez media se ha tenido en cuenta el espacio recorrido o
longitud de trayectoria. El móvil avanzó primero 8 m en 2 s y luego regresó 3 m en el segundo
siguiente. Por tanto, en total ha recorrido 11 m.
Procediendo de igual manera tenemos:
Observa cómo la velocidad media, que es una magnitud vectorial, puede ser nula
e incluso negativa en un intervalo de tiempo.
En cambio, la rapidez, que es una magnitud escalar, es siempre positiva.
Movimientos verticales bajo la acción de la gravedad
Para resolver estos problemas utilizaremos las Velocidad en cualquier posición:
ecuaciones siguientes:
Posición en cualquier instante: u2 = UO + %(Y - YO)
y = yo + uot + 1/2gt2
Velocidad en cualquier instante:
Recuerda que la aceleración de la grave-
dad será siempre negativa, de acuerdo con el
criterio de signos indicado anteriormente.

21. Desde un punto situado a 55 m de altura se deja caer un cuerpo.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
Tomamos el suelo como nivel de referencia. Por consiguiente. la posición inicial del cuerpo es
v, = 55 m. Si el cuerpo se suelta quiere decir que inicia el movimiento partiendo del reposo
(u, = 0) con aceleraciónconstante.Se trata, pues, de un movimientorectilíneo y unifonnemente
acelerado.
a) El cuerpo llegará al suelo cuando la posición final sea cero. Por tanto, el tiempo transcurrido
se obtiene resolviendo la ecuación:
0 = 55 m + 1/2(-9.8 m/s2)t2
De donde:
b) Velocidad con que llega a la calle:
¿Qué interpretación das al signo negativo del resultado?
Desde el mismo punto del problema anterior se lanza el cuerpo verticalmentehacia abajo con una
velocidad de 30 m/s.
a) ¿Con que velocidad llega a la calle?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en caer?
C) ¿Qué velocidad posee cuando se encuentra a 10 m del suelo?
Solución
Tomamos la calle como referencia.
¿Existe alguna diferencia entre los datos de este problema y los datos del problema anterior?
/,Cuál?
a) vZ = (-30 m/s)' + 2 . (-93 m/s2). (O - 55 m) = 1.978 m'/s2
u = 2JG¡G2/s2= -44,47 m/s
¿Sabes por qué tomamos la solución negativa?

22. b) De la ecuación u = u, + at despejamos el tiempo que tarda en caer:
c) Velocidad cuando y = 10 m
Carlos y Ana están disfrutando de una tarde en el campo. La distracción favorita de Carlos es
arrojar piedras al aire sin un blanco definido. En un momento dado Ana, que es una estudiante
aventajada de Física. dice a su compañero: «Lanza una piedra verticalmente hacia amba con todas
tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado.*>u¿Cómo lo vas a medir?*, pregunta Carlos
incrédulo. «Con eston, responde Ana, mostrando un cronómetro.
Lanza Carlos la piedra y Ana observa que tarda S s en volver al suelo.
a) ¿Con qué velocidad lanzó Carlos la piedra?
b) ¿Qué altura alcanzó ésta?
Solución
Tomamos como referencia el punto de lanzamiento. Suponemos que este punto está, aproxima-
damente, en el suelo. ¿Por qué hacemos esta aproximación?
a) La velocidad de lanzamiento se obtiene de la ecuación:
De donde:
b) La piedra alcanzará la altura máxima cuando la velocidad que posee sea cero.
Despejamos y de la ecuación:
v2
= u; + 2a(y - y,)
O = (39,2 m/s)' - 2 . 9,s m/s2
(y - O)
Resuelve el mismo problema suponiendo que la distancia al suelo desde el punto en donde
Carlos suelta la piedra es 1,75 m.

23. Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el
suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s.
a) ¿A qué altura se cruzan?
b) ¿Qué velocidad tiene cada objeto en ese instante?
c) ¿Dónde se encuentra el segundo objeto cuando el primero llega al suelo?
Solución
Tomamos el suelo como referencia.
1 Posición inicial 1 y, = 80 rn 1 Yo = 0 1
1 Tiempo transcurrido 1 fl = f 1 r, = t - 2 s 1
) Velocidad inicial
Aceleración
l
a) Los dos cuerpos se cruzarán cuando estén en la misma posición:
Objeto 1: y = 80 m - 0,5 . 9,8 m/s2 . tZ
Objeto 2: y = 20 m/s (t - 2 S) - 0,5 . 9,8 m/s2. (t - 2 S)'
u, = O
a = -9.8 m/s2
Al ser común la posición de los dos objetos, la podemos eliminar igualando las dos ecua-
ciones:
u, = 20 m/s
a - -9,s m/s2
De donde se obtiene que se cruzan al cabo de:
139.6
t = - = 3,52 s desde que salió el primer objeto.
39,6
Sustituimos este tiempo en la ecuación: y = 80 - 4.9 tZ
y = 80 m - 4,9 m/s2
. 3,5Z2s2
= 19,28 m
Se cruzarán, pues, a 19.28 m del suelo.
%a

24. b) Para hallar la velocidad, sustituimos el valor del tiempo en la ecuación: u = v, + at
Primer cuerpo: c, = O - 9,8 m/s2
. 3,52s = -34,49 m/s
Segundo cuerpo: v2 = 20 m/s - 9,8 m/s2 . (3,52- 2) S = 5,lm/s
c) En primer lugar hallamos el tiempo que tarda en llegar al suelo el primer objeto. Esto ocurre
cuando y = 0.
De la ecuación: y = y, + v,r + 1/2atz se deduce que:
En ese instante el segundo objeto se encontrará en la posición:
y = 20 m/s .(4 - 2) S - 0,5. 9,8 m/s2
.(4 - 2)' s2
= 20,4m del suelo.
Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 18 m/s. ¿Qué velocidad tendrá
3 S después? ¿Qué distancia recorre en el tiempo anterior?
Solución
Toma como referencia el punto indicado y escribe los datos e incógnitas del problema.
Velocidad al cabo de 3 S:
La posición al cabo del tiempo anterior será:
Este signo menos indica que el móvil en ese instante está a 98.1 m por debajo del
punto de referencia.
Desde el borde de un acantilado de h metros de altitud sobre el nivel del mar se lanza una piedra
verticalmentehacia aniba con una velocidadde45 m/s y se observaque tarda 10 S en caer al agua.
a) ¿Qué altura tiene el acantilado?
b) ¿Qué altura máxima alcanza la piedra respecto del nivel del mar?
c ) ¿Con qué velocidad llega a la superficie del agua?

25. Solución
Tomamos el nivel del mar como sistema de referencia.
Practica ahora y escribe los datos y las incógnitas.
a) Para hallar la altitud de1 acantilado, posición inicial, resolvemos la ecuación:
y = yo + uot + 1/2at2, para y = O
O = y, + 45 m/s . 10 s - 4,9 m/s2
. 100 sZ ; J, = 490 m - 450 m = 40 m
b) La altura máxima viene dada por la posición cuando v = O. Por tanto, despejamos y de la
ecuación:
C) Para hallar la velocidad con que llega al agua, y = O, utilizamos la misma ecuación anterior:
u' = 452m2
/s2
+ 2 . (-9,X m/sz). (0 - 40 m) = 2.809 m2
/s2
Luego:
v = k m 0 9 mZ/s2= -53 m/s
Puedes llegar al mismo resultado utilizando la expresión:
v = vo + at = 45 m/s + (-9.8 m/s2). 10 s = -~53m/s
Intenta resolver el problema tomando el borde del acantilado como sistema de referencia.
Desde un globo que se está elevando a 2 m/s se deja caer un paquete cuando se encuentra a 60 m
de altitud.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega'?
c) ¿Dónde se encuentra el globo cuando llega el paquete al suelo?
Solución
Tomamos el suelo como referencia.
Escribe ahora los datos del problema.

26. a) El paquete llegará al suelo cuando su posición sea y = O. Para hallar el tiempo transcunido
resolvemos la ecuación:
De donde obtenemos dos soluciones para c t = 3,7 s y t = -3,3 s.
Escogeinos la primera. ¿Sabrías decir por qué?
b) La velocidad la hallamos a partir de: v = vo + at
o = 2 m/s + (-9,s m/s2) . 3,7 s = -34.26 m/s
C) Posición del globo:

27. Hasta ahora hemos considerado el movimiento sobre una línea recta. Ahora trataremos dos movimientos
muy frecuentes sobre una trayectoria curva. Estos movimientos son: el movimiento parabólico de un
proyectil y el movimiento circular de una partícula.
Movimientos parabólicos
Los movimientos parabólicosse pueden consi- componente vertical u, sen E,. El vector v re-
derar como una combinación de dos movi- presenta la velocidad instantánea correspon-
mientos rectilíneos: uno horizontal uniforme y diente a cualquier punto de la trayectoria. Ob-
otro veaical uniformemente acelerado. serva que es tangente en todo momento a la
trayectoria parabólica. Los valores u,, u, son
Por tanto, ten en cuenta el convenio de sig-
las componentes cartesianas de la velocidad
nos que se dio para la velocidad y la acelera-
instantánea.
Tomaremos como referencia un sistema de
ejes cariesianos, con su origen en el punto en
La velocidad en el origen viene determina-
da por el vector v, denominado velocidad ini-
elevación. La velocidad inicial se descompone
Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s y un ángulo de elevación de 30".
Determina:
a) La posición y la velocidad del proyectil a los 5 s
b) En quk instante el proyectil alcanza el punto más alto de la trayectoria y halla la altitud de ese
punto.

28. c) En qué instante el proyectil se encuentra a 100 m de altura y qué velocidad tiene en ese
instante.
d) El alcance del proyectil.
e) Con qué velocidad llega a la horizontal del punto de lanzamiento.
f) La ecuación cartesiana de la trayectoria que sigue el proyectil. (Toma para la gravedad el
valor 10 m/s2.)
Solución
El movimiento del proyectil se puede descomponer en los dos movimientos siguientes:
Movimiento horizontal uniforme (a = O), cuyas ecuaciones son:
x = x, + v,,t = x, + v, cos a, . t; para la posición
o, = v, cos a,; para la velocidad
Movimiento vertical uniformemente acelerado (a = g = -10) de ecuaciones:
= yo + c,,t + 1/2at2
= y, + v, sen a, . r + 1/2at2
v, = u, sen a, + at
Tomamos como referencia la horizontal del punto de lanzamiento (x, = 0 ; yo = 0).
a) Se pide la posición del proyectil en un instante dado. Es decir, los valores x e y para t = 5 s.
x = u, cosa, r = 400m/s.cos30".5 s = 1.732111
y = u, sen a, . t + 1/2at2
= 400 m / ~.sen 3 0 . 5 s +
+ 0,5 . ( 1 0 m/s2
) . 25 sZ = 875 m
Al cabo de 5 s el proyectil se encuentra en un punto
P de la trayectoria definido por sus coordenadas X
P(1.732, 875). -
X
La velocidaden el punto anterior viene determinada
por sus componentes cartesianas:
u, = v, cos a, = 400 m/s . cos 30" = 346 m/s
v, = i,, sen a, + at = 400 m/s . sen 30" - 10 m/s2
. 5 s = 150 m/s
El módulo del vector velocidad instantánea será:

29. Esta velocidad tiene una pendiente:
u 150 mjs
t g a = ' = = 0,433
v, 346 m/s
De donde: a = 23,4" t............
V"
Observa cómo el ángulo a ha pasado de 30" a
23.4".
A los 5 s el proyectil se encuentra en un punto situado a una distancia horizontal de 1.732 m, y a
una altura de 875 m. En ese instanteel proyectil se mueve con una velocidad de 377 mjs formando
un ángulo de 23,4" con la horizontal.
b) En el punto más elevado,la velocidad vertical u, es nula. El tiempo que debe transcumr para
que eso ocurra se despeja de la ecuación:
u, = u, sen a, + a?
1; - u, sen a, O - 400 mjs . 0,s
t = -- = 2 0 s
a -10 m/s2
La altura en ese instante viene dada por la ecuación:
y = u, sen a, . t + 1j2at2 = 400 mjs . sen 30" . 20 s - 5 m/sZ. 20' sZ= 2.000 m
c) El proyectil se encontrará a 1.000 m de altura cuando y = 1.000. Para hailar en qué instante
ocurre esto, resolvemos la ecuación:
y = u, sen a,t + l/2at2
1.000 m = 400 mjs . sen 30' . t - 5 m/s2
. t'
t 2 - 4 0 m / s . t + 2 0 0 m = O
Cuyas soluciones son: t, = 5.86 s y t2 = 34,14 s
¿Qué interpretación das a estas dos soluciones?
Velocidad para t, = 5.86 s
V ....~.~-
u, = u, cos a, = 400 mjs . cos 30" =
= 346 m/s A
.....
1.000 m
vy = u, sen a, + at =
= 400 mjs - sen 30" - 10 m/s2. 5,86 s =

30. Velocidad para t2 = 34,14 s
u, -u, cos u, = 400 m/s . cos 30" = 346 m/s
?,, = u, sen u, + at = 400 m/s . sen 30' - 10 m/s . 34,14 s = - 141,4 m/s
El signo menos indica que el proyectil después de 34,14 s ha alcanzado la altura máxima y
esta descendiendo.
Hay dos instantes en los que el proyectil se encuentra a una altura determinada. Para el
tiempo más pequeño está subiendo y para el mayor el proyectil está bajando. En ambos instantes
la velocidad tiene el mismo módulo.
d ) Recibe el nombre de alcarzce de un proyectil la distancia horizontal desde el punto de partida
al punto en el cual el proyectil vuelve a alcanzar su altitud inicial. Es decir, y = y,. En este
caso y = 0.
En la figura siguiente la letra x representa
el alcance máximo. Sea t el instante en que al-
canza este vunto. Para obtenerlo resolvemos la
Esta ecuación tiene dos soluciones: t , = O (cuando el proyectil se encuentra en el punto de
salida); t2 = 40 s.
En este instante el proyectil se encuentra en el alcance máximo. Observa que este valor del
tiempo es justamente el doble del tiempo empleado en alcanzar el punto más alto.
El tiempo de bajada es, por tanto, igual al tiempo de subida.
El alcance horizontal sera
x = v,t2 = u, cos u, . t2 = 400 m/s . cos 30" . 4 0 s = 13.840 m

31. e) Para hallar la velocidadcon que llega al suelo sustituimosel tiempo t2en las componentes del
vector velocidad:
v, = u, cos a, = 400 m/s . cos 30" = 346 m/s
v, = u, . sen a, + at = 400 m/s . sen 30" - 10 m/s2. 40 s = -200 m/s
v = Jm= 400 m/s
t g a = ! 5 = -200 I ~ / S --
v, 400 m/s . cos 30"
El proyectil vuelve al nivel de partida con
la misma velocidad (módulo) con que salió y
formando el mismo ángulo con la horizontal
,,o
aunque de signo contrario.
f) Para hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria eliminamos el tiempo ten el sistema de
ecuaciones:
X = u, COS a,t X
; f =
y = u, sen a, . f + 112 at2
u, cos a.
X x x2
!J= u, sen a, .
u, COS a,
+ ) = x tg no + 1/2a
u, COS a, 0,
Es una parábola del tipo y = ux2 + b.r
Desde un acantiladode 40 m de altura se lanza horizontalmente un cuerpo con una velocidad de
20 mis. Calcula:
a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 s después?
b) ¿Qué velocidad tiene en ese instante?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la superficie?
d ) ¿Con qué velocidad llega al agua?
e) ¿Qué distancia horizontal máxima recorre?
f ) Ecuación cartesiana de la trayectoria.
Solución
Tomamos el nivel del mar como nivel de referencia. En este caso el ángulo de tiro (a, = 0).
El punto de partida o posición inicial tiene de coordenadas x, = O; y, = 40 m.

32. Las ecuaciones que definen el movimiento del proyectil son:
Movimiento horizontal
= x, + v, cos a,t = 201
v, = v, cos a, = 20 m/s
Moiiin~ientovertical
y = y, + u, sen a, . t + 1/2at2 = 40 m - 4,9 ni/s2 t 2
ii, = v, sen a, + at = -9,8 m/s2
t
a) Al cabo de dos segundos el cuerpo se encuentra en el punto de coordenadas:
6) La velocidad en el punto indicado será:
Esta velocidad forma un ángulo con el horizonte:
e) El cuerpo llegará a la superficie del agua cuando y = O. Para obtener el tiempo transcumdo,
resolvemos la ecuación:
d ) La velocidad con que llega al agua será:

33. El objeto penetra en la superficie del agua formando un ángulo de -54,3Y0.
e) El objeto avanza honzontaimente mientras está en el aire. Por consiguiente, el alcance máxi-
mo se obtiene sustituyendo el tiempo t = 2,85 s en la ecuación:
f ) De lasecuacionesx = 20m/s. t ;y = 40 m - 4.9 m/sZtZ
eliminamos el tiempo, resultando:
Que es la ecuación de la trayectoria parabólica.
D)C-Desde el borde de un acantilado de 85 m se
dispara un proyectil con una velocidad ini- Y 1
cial de 150 m/s y un ángulo de elevación de
30". Calcula:
a ) La distancia horizontal desde el cañón
al punto donde el proyectil pega en el . ~ - ~ ~----~ - ~ - -
suelo. X
/*......................~ -.----~--~.b) La máxima elevación que alcanza el x
proyectil respecto del suelo.
Solución
Tomamos el suelo como nivel de referencia.
Ecuaciones del movimiento horizontal
x = 150 m/s. cos 30" . t
v, = 150 m/s . cos 30"
Ecuaciones del movimiento vertical
y = 85 + 150 . sen 30" . r - 4,9r2
I.,= 150 . sen 30" - 9,8t
a) El proyectil pegará en el suelo cuandoy = O. Para calcularel tieiiipo einpleado resolvemosla
ecuación:
O = 85 m + 150 m/s . sen 30" . t - 4,9 m/s2 r Z ; 1 = 16,36s

34. El alcance horizontal será:
x = 150 m/s . cos 30" . t = 150 m/s . 0,866. 16,36 s = 2.125 m
b) El proyectil alcanza su máxima elevación cuando u, = 0. Por tanto, hallamos el instante en
que ocurre esto resolviendo la ecuación:
0 = 150 m/s . sen 30" - 9,8 m/s2
t ; t = 7,65s
Sustituimos este valor en la ecuación del movimiento vertical:
y = 85 m + 150 m/s2. sen 30" . t - 4,9 m/s2
t2
=
= 85 m/s + 150 m/s . 0,5 . 7.65 s - 4.9 m/s2
. 7,65' s2
= 372 m
Un avión vuela a 800 m de altura y deja caer una bomba 1.000 m antes de sobrevolar el objetivo
haciendo blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión?
Solución
Tomamos el suelo como nivel de referencia. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son:
x = u,t (horizontal)
y = 800 m - 4,9 m/s2 t2 (vertical) Y ;
!
-v
El proyectil llegará al suelo cuando y = 0 ?-----_-.Resolvemos el sistema: .-..!
'
'.1800m
1.000 m = v,t '.,.
0 = 800 m - 4,9 m/s2 t2
,
'
,
De donde: u, = 78,26 m/s = 282 km/h
Un jugador de baloncesto pretende realizar ------,,.- -.una canasta de tres puntos. Para ello lanza la I,
pelota desde una distancia de 6,5 m y a una ,,'
altura de 1,9 m del suelo. Si la canasta está
i
situada a una altura de 2,s m, ¿con qué veloci-
dad debe realizar el tiro si lo hace con un án- ,,9 m !
gulo de elevación de 30"?
Solución
Tomamos el suelo como nivel de referencia.
Ahora escribe los datos y las ecuaciones de los movimientos horizontal y vertical.

35. Resolvemos el sistema:
6,5 m = u, cos 30" . t
2,5 m = 1,9 m + u, sen 30" . t - 4.9 m/s2
t 2
De donde se obtiene que: u, = +9,34 m/s
¿Por qué se escoge el signo +? ¿Qué sentido tiene aquí el signo + o - según el convenio de
signos?
Un bombero desea apagar el fuego en una
casa. Para ello deberá introduciragua por una
ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la
manguera a 1 m del suelo. apuntándola bajo .*-
un ángulo de 6 0 hacia la fachada que dista
15 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua?
Solución
Elige el nivel de referencia más adecuado y escribe las ecuaciones de los movimientoshorizon-
tal y vertical del agua.
La velocidad del agua se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones:
15 m = u, . cos 60" . t
10 m = 1 m + u, . sen 60" . t - 4,9 m/s2 t2
De donde u, = 16 m/s
Movimiento circular
Solamente consideraremosel movimiento cir- ferencia el punto de la trayectoria en donde se
cular uniforme, es decir, aquel que se realiza inicia el movimiento.
con velocidad annular constante.-
Para resolver estos problemas utilizamos la
Recuerda que estos movimientos poseen
ecuación horaria del movimiento: s = u,t +aceleración normal o centnpeta debida a que
la velocidad tangencia1 está variando conti-
+ 1/2<rr2,en donde ses la longitud de trayec-
toria o espacio recomdo y o y a son, respecti-
nuamente de dirección.
vamente, la velocidad y la aceleración tangen-
Tomaremos como origen del sistema de re- ciales.

36. Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con
movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza una
velocidad de 36 km,%;desde este momento conserva su velocidad. Calcula:
a) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento.
6) La aceleración normal y la aceleración total en el momento de cumplirse los 50 s.
C) La longitud de pista recomda en los 50 s.
d) La velocidad tangencial media y la velocidad angular media en la primera etapa del movi-
miento.
e) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista, con velocidad constante.
f ) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento.
Solución
Tomamos como sistema de referencia el punto de partida.
Datos
Velocidad inicial v, = 0.
Velocidad final v = 36 h / h = 10 mis.
Tiempo transcumdo t = 50 s.
a) La aceleración tangencial se obtiene a partir de la ecuación:
Recuerdala relación que existeentre las magnitudeslineales S, u, a, y las magni-
tudes angulares correspondientes: s = fJ . R; v = w . R; a, = a . R
Teniendo en cuenta esto, la aceleración angular sera
b) La aceleración normal o centrípeta viene dada por la expresión:

37. La aceleración total se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:
a, = Jm= = 2,01m/s2
C) Longitud de pista recomda en 50 S:
s = 1/2at2 = 0,5 . 0,2 m/s2 . 2.500 s2
= 250 m
d ) Recuerda que la velocidad media escalar se obtiene dividiendo la longitud de la trayectoria
recomda entre el tiempo empleado.
La velocidad angular media se halla aplicando la relación:
e) Si la pista se recorre con velocidad constante, el espacio recomdo en un tiempo t sera
f) En los 50 primeros segundos, mientras acelera, recorre una longitud de 250 m, como hemos
visto antes, que corresponde a un número de vueltas:
250 m
n=-- - 250 m = 0,796 vueltas
2nR 314 mivuelta
En el tiempo restante t = 600 s - 50 s = 550 S, la longitud recomda es:
s = vt = 10 m/s . 550 s = 5.500 m, que corresponden a un número de vueltas:
5.500 m --
5.500 m
n = = 17.5 16 vueltas
2nR 314 m/vueE
Por tanto, el número total de vueltas será:
n = 17,516 + 0,796 = 18.31 vueltas

38. Un punto material describe una circunferencia de 2 m de radio con
aceleración constante. En el punto A la velocidad es de 0.5 m, y trans-
curridos dos segundos la velocidad en B es 0,75 m/s. Calcula la acele-
ración tangencial, la aceleración normal y la aceleración total en el
punto A.
Solución
La aceleración tangencial se obtiene de: u = u, + at
Aceleración normal en A:
La aceleración total de la partícula será:
u, = Ju:+ a: = 0.13 m/s2
Un móvil describe una trayectoria circular de 1 m de radio 30 veces por minuto. Calcula:
a) El período.
b) La frecuencia.
C) La velocidad angular.
d ) La velocidad tangencial y la aceleración cenhípeta de este movimiento.
Solución
Se trata de un movimiento circular con velocidad angular constante.
a) El periodo del movimiento es el tiempo empleado en dar una vuelta. En este caso vale:
60 S
T = = 2 s/vuelta
30 vueltas
b) La frecuencia viene dada por el número de vueltasen un segundo. La frecuenciaes la inversa
del periodo:

39. C) La velocidad angular viene dada por:
d ) Conocidala velocidad angular, podemoshallarla velocidadtangencial mediantela expresión
u = wR:
v = 3,14 rad/s . 1 m/rad = 3,14 m/s
La aceleración centrípeta sera
$,Las ~ e d a sde un coche de carreras giran a 1.800 rpm (revoluciones por minuto). Calcula la
velocidad del automóvil en km/h sabiendo que las medas tienen 70 cm de diámetro.
Solución
En primer lugar hallamos en rad/s la velocidad angular de las medas:
1.800 rev 1.800 . 2n rad
(0 = -- = 60x rad/s = 188,4 rad/s
1 minuto 60 S
La velocidad del automóvilcoincide con la velocidad tangencia1 de un punto de la llanta de
sus medas:
Halla la velocidad angular de una cenhifugadora cuya aceleración es 6 veces el valor de la acele-
ración de la gravedad. El radio de giro es 15 cm.
Solución
Si la aceleración centrípeta vale a, = 6 . lgl = 58.8 m/s2 la velocidad tangencial t1será:
Y la velocidad angular se obtiene de v = wR
v 2,97 m/s
u = - =
19.8 rad/s . 60 s/min
= 19,s rad/s = - -- 189 rpm
R 0,15 m/rad 2x rad/rev

40. El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x - t de la figura
Calcula:
a) Velocidad media durante los dos primeros segundos.
b) Velocidad media en el intervalo de O a 5 s.
C) Velocidad máxima de la partícula.
d) Distancia total recorrida.
e) Desplazamiento total que ha experimentado la partí-
cula.
f ) Velocidad escalar media en los 5 segundos.
Solución
a) De la figurase deduce que para lo = O, la partícula se encuentra en la posición inicial x, = 2 m,
y en el instante t , = 2 s la paaícula se encuentra en la posición x, = 4 m. Luego la velocidad
media será:
b) En e1 instante t, = 5 s la partícula se encuentra en la posición x, = O. Por tanto, durante el
intervalo de tiempo t, - to = 5 s la velocidad media ha sido:
C) La figura nos indica que la partícula inicia el movimiento desde un punto situado a 2 m del
sistema de referencia. Permanece en movimiento durante 1 s hasta llegar a un punto situado a 4 m
del sistema de referencia; en ese punto pei-inanece parado durante dos segundos más. Al cabo de
ese tiempo la partícula se mueve en sentido contrario dirigiéndose hacia el punto de referencia, a
donde llega en el instante t = 5 s.

41. 4 - 2
Velocidad en la primera fase: v = -- = 2 m/s
1
0 - 4
Velocidad en la segunda fase: o = -= - 2 m/s
2
Ambos recorridos se han realizado con la misma rapidez de 2 m/s
d ) El moviinientose puede descomponer en tres fases. En la primera fase la partícula ha recorri-
do una distancia:
En la segunda fase la partícula está parada y no ha recorrido ninguna distancia:
En la tercera fase la partícula cambia de sentido. Por tanto, la distancia recorrida viene dada
por el módulo del desplazamiento:
La distancia total recomda sera S , + S, + S, = 6 m
e) Recuerda que el desplazamiento viene dado por la diferencia entre las posiciones final e
inicial:
f) La velocidad escalar o rapidez viene dada por el cociente entre el espacio recorrido y el
tiempo empleado:
Un cuerpo que se mueve en línea recta posee una veloci-
dad que vana con el tiempo según el diagrama de la V ( r n / S )
figura.
Indica cuáles de las siguientes ahmaciones son co-
rrectas:
20
a) Durante todo el recorrido ha tenido movimiento
uniformemente acelerado.
b) La aceleración del movimiento es 4 m/s2.
10
! !
c) Su velocidad máxima es 72 km/h. 1 1 /1
d) La distancia recorrida en los 10 primeros segundos o 1 I I
5 10 15 f(s1
es de 100 m.

42. Solución
a) Falsa: Durante los 5 primerossegundos y durante el intervalocomprendido entre 10 y 15 s el
movimiento ha sido uniforme.
b) Verdadera: La aceleración media durante el intervalo de 5 a 10 s ha sido:
C) Falsa: De la gráfica se deduce que el valor máximo de la velocidad es 30 m/s = 108 km/h
d ) Falsa: La distancia recorrida durante los 5 primeros segundos ha sido:
x, = v,t = 10 . 5 = 50 m
y la distancia recorrida en el intervalo comprendido entre 5 y 10 s es:
x, = v,t + 1/2at2 = 10. 5 + 112. 4 . 25 = 100
Por tanto, la distancia recomda sera x, + x, = 150 m
El diagramaa - t de un movimiento es el indicado en
la Figura A. Además sabes que para t = 5 s el valor de
la velocidad es 20 m/s.
1a) ¿Cuánto vale la velocidad inicial?
b) ¿Cuánto vale la velocidad para t = 10 S?
c) ¿Cuántovale la velocidaden los instantes t = 15 s
10 15 20 25 f(s)
y t = 2 0 s ? -1 ,, ,,
l I, ,
d) Dibuja el diagrama v - t correspondiente.
-3
Solución Figura A
a) De la figurase deduce que durante los 10 primeros segundos la aceleración ha sido constante
(a = 3 m/s2).Por tanto, la velocidad inicial se obtiene de v = v, + at:
b) En el instante t = 10, la velocidad será:
C) En el instante t = 10 s el móvil decelera a razón de a = - 2 m/s2
. Por tanto, en el instante
t = 15 s la velocidad será:

43. A partir de aquí vuelve a acelerar con a = 1 m/sz.
Por consiguiente. la velocidad en el instante t = 20 s
vale:
v = u, + a t = 2 5 + 1 . 5 =30m/s
20
d ) De acuerdo con estos resultados,el diagrama v - r l5
sería el indicado eii la Figura B. 10
!
Figura B
El diagrama v - t de un movimiento rectilíneo
es el indicado en la Figura A. 15
a) Calcula el espacio reconido en los 5 s.
b) Calcula la velocidad en el instante t = 1 s.
C ) Calcula la velocidad escalar media. 5
d ) Dibuja el diagrama a - t. I
Solución
l
o
1 I
1 2 1 5 t i s ,
Figura A
De t = O a t = 2 S el móvil ha tenido aceleración media constante:
La distancia recomda en este intervalo de tiempo sera
En el intervalo entre t = 2 y t = 4 S,el movimieiito es uniforme (a = O). La distancia
recomda durante este intervalo es:
Por último, de 4 a 5 s el móvil frena con deceleración constante:

44. Durante el último segundo la distancia recomda ha sido:
a) La distancia total recomda ha sido:
S = s , + S , + S , = 15 + 2 0 + 5 = 4 0 m
b) La velocidad para t = 1 s es:
e) Hemos hallado la distancia total recomda y cono-
cemos el tiempo total empleado. Por tanto, la velocidad
media será: -10
1
Figura B
d ) ' ~ nla Figura B está representado el diagrama a - t correspondiente.
Describe el movinuento representado en la figura
siguiente (Fig. A).
Solución
Se inicia el movimiento en sentido positivo del eje
de las x desde un punto situado a LO m del sistema
de referencia, recomendo el mamo AB con una ve-
locidad media:
x - x , 2 0 - 1 0
o = - --
5
= 2 m/s
t
Transcumdos 5 s el vehículo se para, per-
maneciendo en reposo 5 s más. V 1
Figura A
Pasado ese tiempo el vehículo inicia el mo-
vimiento cambiando de sentido y dirigiéndose ha-
cia el punto de partida con una velocidad media:
x - x , 5 - 2 0u = = - -
2
- -7.5 m/s
t
. .
En el tramo DEel objeto pernlanece parado
hasta que en el instante t = 20 s reanuda el ,,5
movimiento en el mismo sentido en que se inició.
Esto queda reflejado en el diagrama v - t de
la Figura B.
1 Figura B

45. A continuación te proponemos dos problemas extensos compuestos de vaxios subproblemas
para que te habitúes a leer con atención este tipo de enunciados largos, y logresdescubrirtodos los
datos que se citan, si es posible, en una sola lectura.
Un automóvil está parado en un semáforo.
Cuando se ponela luz verde arranca con acele-
ración constante. Después de recorrer ?O m, la
velocidad del coche es de 40 km/h. En ese ins-
tante el conductor introduce una marcha más
larga y sigue acelerandocon la misma acelera-
ción anterior hasta alcanzar una velocidad de
90 km/h. En ese punto deja de acelerar mante-
niendo la velocidad constante durante 30 s. Al
cabo de ese tiempo observa que el semáforo
siguiente está en ámbar para ponerse en rojo.
En ese momento frena con aceleración cons-
tante de 2 m/sZ hasta parar justamente en el
semáforo. Con estos datos calcula:
a) ¿Con qué aceleración arrancó el vehículo'?
b) ¿Cuánto tiempo empleóen recorrerlos 20
primeros metros?
C) ¿Cuánto tiempo tardó en pasar de
40 km/h a 90 km/h?
d) ¿Qué distancia ha recorrido durante el
tiempo anterior? ¿A qué distancia del se-
máforo se encuentra cuando alcanza la
velocidad de 90 km/h?
e) ¿Quédistancia recorre mientras se mueve
con velocidad constante?
f ) ¿Cuánto tiempo tarda en parar desde que
percibe el segundo semáforo?
g) ¿Qué distancia hay entre los dos semáfo-
ros?
Solución
Si lees con atención el problema observarás
que consta de tres fases bien definidas:
Desde que arranca hasta que alcanza la velo-
cidad de 90 km/h. En esta fase el coche se
desplaza con movimiento rectilíneo y uni-
formemente acelerado.
Deja de acelerar durante 30 S nianteniendo
constante la velocidad. En esta fase el coche
se desplaza con movimiento rectilíneo y uni-
forme.
Frena unifomiemente hasta pararse en el se-
máforo. El coche tiene movimiento unifor-
memente decelerado (aceleración negativa).
Se trata, pues, de un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado. Por tanto, para re-
solver este problema te bastan las tres ecuacio-
nes mencionadas anteriormente.
A Primera fase
Tomamos el primer semáforo como origen del
sistema de referencia.
Una vez fijado el punto origen, vemos qué
datos nos dan y qué incógnitas nos piden. Para
esto es fundamental leer con atención el enun-
ciado de esta primera parte del problema las
veces que sea necesario.

46. Datos
Velocidad inicial: u, = O, y posición inicial
x, = O porque cuando se empieza a contar
el tiempo se encuentra en el punto de refe-
rencia y en reposo.
Posición final: x = 20 m del semáforo.
Velocidad en la posición anterior: v = 40
h/h = 11.11 m/s. ¿Qué incógnitas te pi-
den?
a) Al tratarse de un movimiento uniforme-
mente acelerado, la aceleración se deduce de:
De donde:
b) Ahora, además de los datos anteriores. co-
nocemos también la aceleración que permane-
ce constante durante esta fase. El tiempo em-
pleado en recorrer los 20 m es el mismo que el
tiempo empleado en alcanzar la velocidad de
40 km/h. Es decir, conoces u,, o, a, y te piden
el tiempo transcurrido, que despejamos de la
ecuación:
e) El tiempo empleado en pasar de o, =
= 40 h/h a 1) = 90 km/h se obtiene utilizan-
do la misma ecuación anterior:
d ) Para hallar la distancia pedida podemos
tomar como origen del sistema referencia el
punto que dista 20 m del semáforo, como se
indica en la figura siguiente.
En este caso conoces la posición inicial
x, = O, la aceleración a = 3 n1/sZy el tiempo.
El coche al cabo del tiempo obtenido se en-
contrará en la posición:
De donde se deduce que desde el semáforo
el coche ha recomdo una distancia de 20 m +
+ 83.58 m = 103,58 m
A Segunda fase
El coche se mueve con velocidadconstante, es
decir, con a = 0.
Tomamos como origen del sistema de refe-
rencia el punto en donde deja de acelerar.
De acuerdo con esto, escribe tú los datos y
las incógnitas.
e) Distancia recomda en esta fase:
A Tercera fase
Durante este recorrido la aceleración es nega-
tiva.

47. Tomamos como origen del sistema de refe- Y la distancia recomda mientras frena sera
rencia el punto en donde empieza a frenar.
Con este sistema de referencia los datos co-
nocidos son:
f) El tiempoque tarda en parar se deduce de
la ecuación:
g) La distanciaentre los dos semáforosviene
dada por las distancias recomdas en las distin-
tas fases:

48. Desde un punto situado en un extremo de la
terraza de un edificio de 55 m de altura, se lan-
za verticalmente hacia arriba una pelota con
una velocidad de 30 m/s. Si despreciamos la
resistenciadel aire y tomamos 10 m/s2
el valor
de la gravedad, calcula:
¿Dónde se encuentra la pelota dos segun-
dos después de lanzarla?
¿Qué velocidad posee en ese instante?
¿Qué velocidad posee después de 5 S?
¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar el pun-
to más alto de la trayectoria?
¿Qué altura máxima alcanza?
¿Qué velocidad posee cuando se encuen-
tra a 20 m por encima del punto de lanza-
miento?
¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle?
¿Con qué velocidad llega a la calle?
¿Qué velocidad posee la pelota cuando se
encuentra a 10 m de la calle?
¿Dónde se encuentra la pelotacuando Ile-
va una velocidad de 40 m/s?
Solución
Tomamos el nivel de la calle como sistema de
referencia.
a) Sustituimos el tiempo de 2 S en la ecua-
ción:
y = y, + u,t + 1/2at2 =
= 5 5 m + 3 0 m / s . Z s - 0 , 5 ~ 1 0 m / s Z ~ 4 s 2=
= 95 m de la calle
b) Utilizamos la ecuación de la velocidad
instantánea:
El signo positivo del resultado quiere decir
que la pelota aún está subiendo.
El signo menos indica que la pelota está
descendiendo.
e) La pelota se para cuando alcanza el punto
más alto de su trayectoria. En ese momento su
velocidad es cero.
De v = u, + at despejamos el tiempo:
d ) La altura máxima se obtiene sustituyendo
el tiempo anterior en la ecuación de la posi-
ción:
e) Se nos pide la velocidad cuando la pelota
se encuentra en una posición determinada. Por
ello aplicaremos la ecuación:
uZ = 4 + 2a(y - y,) =
= (30 m/sl2 + 2 . (-10 m/s2
) .
(75 m - 55 m) = 500 m2/s2
De donde: v = = *22,36 m/s
Hay dos instantes en que la pelota se en-
cuentra a 75 m del suelo:
Cuando pasa por esa posición srrbie?ido,con
una velocidad de +22,36 m/s hasta alcanzar
la altura máxima de 100 m.
Cuando pasa por esa posición bajando, con
una velocidad de -22,36 m/s.
f) La pelota llegará a la calle cuando la posi-
ción final sea cero.

49. Por tanto, resolvemos la ecuación:
O = 55 m + 30111/s.t + OS.(-10m/s2).t2
f 2 - 6t - 11 = O
Cuyas soluciones son r = 7,47 s y t =
= -1,47 S
No tiene sentido físico la solución negativa.
g) Para hallar la velocidad con que llega a la
calle, sustituimos el tiempo anterior en la
ecuación de la velocidad instantánea:
v = v, +at = 30 m/s +( - 10 m/s2
) .7,47 s =
= -447 m/s
El signo menos indica el sentido descen-
dente.
h) Se trata de hallar la velocidadde la pelota
en un punto de la trayectoria:
v2 = u: + 2a(y - y,) (30 m/s)' +
= + 2 . (-10 m/s2
) . (10 m - 55 m) =
= 1.800 m2/s2
De donde:
Se toma el signo menos porqueen ese punto
la pelota está descendiendo.
i) Para hallar la posición correspondiente a
una velocidad determinada utilizamosla ecua-
ción:
vZ = o: + 2a(y - y,)
(40 m/s)' = (30 m/s)' - 20 m/s2
( y - 55 m)
De donde:
La pelota se encuentra a 20 m de la calle o
bien a 35 m por debajo del punto de laiiza-
miento.

50. Tres automóviles comienzan a moverse desde el reposo. El primer coche A acelera a razón de
4 m/s2
; el segundo B acelera a 2,5 m/sZ
, mientras que el tercero C lo hace a 0,5 m/sz.
Completa la tabla siguiente y compmeba que se cumple la relación s/v = cte.
Un avión atemza con una cieria velocidad. Si decelera uniformemente a razón de 6 m/s2 hasta
pararse en 15 S:
a) ¿Con qué velocidad atemzó el avión?
b) ¿Qué longitud de pista recorre hasta pararse?
S. a) 324 h / h ; b)675 m.
Un conductor viaja por una calle a 50 km/h. De repente, un niñosale comendo hacia la calle. Si el
conductor tarda 0,8 s en reaccionar y oprimir los frenos.
a) ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a frenar?
b) ¿Qué deceleración debe tener el coche si quiere detenerse en 0,5 m?
S. a) 1I,1 m; b) 192,65m/s2 (el coche no puede parar en 50 cm).
Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 100 km/h ve de repente las luces de señaliza-
ción de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Si tarda 0,75 s en pisar el pedal
de los frenos y la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s2.
a) ¿Chocará con la valla?
b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil sin que choque con la
valla?
S. a) Chocará con la valla; b) 703 km/h.

51. Un avión recorre una longitud de pista de 700 m para despegar. Si parte del reposo y se mueve con
aceleración constante durante 25 s hasta despegar:
a) ¿Con qué velocidad abandona la pista?
b) ¿Cuánto vale la aceleración del avión?
S. a) 201,6 kmh; b) 2,24 m/s2.
Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y
sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle.
El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s' mientras que el automóvil acelera con
2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después que éste ha reconido 50 m.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión?
b) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?
c) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados?
S. u)9.13 S; b) 50 m; c) 39,4 km/h, 78,8 km/h.
Dos jóvenesse mueven en la misma dirección, dirigiéndose el uno al encuentro del otso.Inician el
movimiento,al mismo tiempo, desde las portenas de un campo de fútbol con velocidades medias
respectivas u, = 3,5 m/s y v2 = 5 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la
posición de partida del primero, determina:
u) El tiempo transcumdo hasta que se encuentran.
b) La longitud del campo de fútbol.
S. a) 8 S; b) 68 m.
Dos móviles parten simultáneamente del mismo punto y en el mismo sentido. El primero se
desplaza con movimientouniformecuya velocidad es v = 15 m/s. El segundo inicia el movimien-
to partiendo del reposo con aceleraciónconstante de 1 m/s2. (,Cuántotiempo tardarán en reunirse
de nuevo y qué distancia habrán recomdo en tal instante?
S. 30 S;450 m.
Dos móviles, A y B, situados a 2 km de distancia salen simultáneamente, en la misma dirección y
sentido, amboscon movimiento uniformemente acelerado, siendo la aceleración del más lento, el
B, de 0,32 m/s2
. Deben encontrarse a 5 km de distancia del punto de partida de B. Calcula:

52. a) El tiempo que invierten en el recorrido.
b) La aceleración de A.
C ) Las velocidades de los dos en el momento del encuentro.
S. a) 1763 S; b) 0,45 m/s2
; c) 56,5 m/s B, 79,s mjs A.
Dos ciclistas. A y B, van por una carretera con velocidad constante. Cuando se mueven en el
mismo sentido el ciclista A adelanta al ciclista B 240 m en un minuto; cuando van uno al encuen-
tro del otro se acercan 320 m en 20 s. Halla la velocidad de cada ciclista.
S. 10 mis ciclista A; 6 m/s ciclista B.
Una automovilista viaja a 54 km,% cuando observa que un semáforo a 180 m delante de ella
cambia a rojo. El semáforoestá programado para permanecercon la luz roja 20 s. Si la automovi-
lista desea pasar por el semáforo sin detenerse, justamente cuando se cambia a verde otra vez,
calcula:
a) La aceleración constante que debe aplicar al vehículo.
b) La velocidad del automóvil al pasar por el semáforo.
S. a) -0,6 m/s2; b) 10,X km/h.
Un automóvil recorre 300 m en 20 s con aceleración constante de 0.5 m/s2
. Calcula:
a) La velocidad inicial.
b) La velocidad final.
c) La distancia recorrida en 10 s.
S. a) 10 mis; b) 20 mis; c) 125 m.
Un automóvil sale de un semáforo con aceleración constante de 0.75 m/s2.Poco tiempo después
se cruza con un autobús que circula por la misma calle en sentido contraio con una velocidad
constante de 6 m/s. Sabiendo que el autobús pasa por el semáforo 20 s después de que el automó-
vil salió de él, calcula cuándo y dónde se cmzaron los dos vehículos.
S. L 1.6 s después de arrancar el automóvil; a 50.4 m del semáforo.
Dos autoinóviles, A y B, viajan en el mismo sentido por carriles contiguos de la misma carretera.
El automóvil B se para cuando le adelanta A, el cual se desplaza con velocidad constante de
72 km/h. Si dos segundosdespuésel automóvilB inicia su movimientocon aceleración constante
de 1,5 m/s2, calcula:
a) ¿Cuándo alcanzará B al coche A?

53. b) ¿En qué punto lo alcanza?
C ) &Quévelocidad posee B en ese momento?
S. a) 28,5 s después de iniciar el movimiento; b)610 m del punto de partida; c) 42,75 m/s.
Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,5 m/s2
durante 10 s y luego con
2 m/s2
hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se
acerca a la estación B. En ese momento frena uniformementehasta pararse en 10 s. El tiempo total
desde A hasta B ha sido de 60 s. ¿,Quédistancia hay entre las estaciones A y B?
S. 675 m.
Un automóvil y un camión se mueven con movimiento uniforme en la misma dirección y sentido
con velocidades respectivas de 126 km/h y 90 km/h. El automóvil se encuentra a 30 m detrás del
camión cuando el conductor de éste frena repentinamente haciendo que su vehículo desacelere
uniformemente a razón de 3 m/s2. Dos segundos después el conductor del automóvil frena evitan-
do justamente la colisión. Calcula la aceleración unifonne que debe tener el coche.
Desde lo alto de una torre h se deja caer un objeto. &Aqué distancia del suelo tendrá una velocidad
igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo?
S. Cuando ha recomdo la cuatta parte de la torre, o se encuentra a 314 h del suelo.
Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia amba con 2 s de intervalo; el primero con una
velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s.
a) ¿CuAl será el tiempo transcumdo hasta que los dos cuerpos se encuentran a la misma altura?
b) ¿Cuál será esa altura?
C ) ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese niomento?
S. a) 3,62 s desde que salió el primero; b) 116,8 m; c)u, = 14,52m/s; u, = 64,12 mis.
Se lanza un cuerpo verticalnierite hacia arriba de forma que tiene una velocidad de 8 m/s cuando
ha alcanzado la mitad de su altura máxima.
a) ¿.Con qué velocidad se lanzó?
b) ¿.A qué altura sube?
c) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado?
S. a) 1l,3 m/s; b) 6,53 m; c) 1,5 m/s.

54. Se lanza desde el suelo hacia amba un objeto al mismo tiempo que se deja caer otro desde una
altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al
mismo tiempo?
Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido
en el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s, La qué profundidadestá
el agua?
Desde la azotea de una casa de 15 m de altura se lanza verticalmente hacia amba una pelota con
una velocidad de 20 m/s. En el mismo instante se lanza otra desde la calle, también hacia arriba.
¿Con qué velocidad se debe lanzar ésta para que las dos se encuentren a la misma altura?
Desde una cierta altura se deja caer libremente un objeto. Cuando se encuentra a 5 m del suelo ha
alcanzado una velocidad de 25 m/s.
a) ¿Desde qué altura se dejó caer?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle?
S. a) 36,88 m; b) 2,7 s.
Quieres calcular tu tiempo de reacción. Para ello realizas el siguiente experimento: pídele a un
amigo que sostenga una regla por el extremo y coloca el otro extremo entre tus dedos, sin tocarla.
Tu amigo debe soltar la regla sin avisarte, y tú debes sostenerla con tus dedos lo más rápidamente
posible. Una vez realizadala experiencia compmebasque la regla desciende 20 cm antes de que la
sujetes. ¿Cuál es tu tiempo de reacción?
Un globo meteorológicose halla estacionano a cierta altura, cuando deja caer una caja de instm-
mentos que llega al suelo con una velocidad de 75 m/s.
a) &Aqué altura se encontraba el globo?
b) ¿Cuánto tiempo ha tardado la caja en caer?
S. a) 286,98 m; b) 7,65 s.

55. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un punto sobre un puente situado a 35 m del
agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla, calcula:
a) La velocidad con que se lanzó.
b) La velocidad con que golpeó el agua.
S. o) 10,85 m/s; b) -28,35 m/s.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde un punto situado a 20 m del suelo, con una
velocidad de 20 4 s . Dos segundos más tarde se lanza otra desdeel sueloen la misma vertical con
una velocidad de 50 m/s. LAqué altura se cmzarán ambos móviles?
S. 37.51 m del suelo.
Un jugadorde golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60" con respecto al horizonte
y con una velocidad de 60 m/s. Calcula:
a) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria.
b) La altura máxima alcanzada.
c) El alcance máximo.
S. a) 30 m/s; b) 137,7 m; c) 318 m.
Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30" con la horizontal y cae en la terrazade un
edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad
con que se lanzó.
Una fuente tiene un grifo a una distancia vertical del suelo 0,5 m. El chorro del líquido da en el
suelo a 80 cm del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el agua?
S. 2.5 mis.
m]Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 mis batiendo un objetivo situado a
12.000 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación.
S. 13.69'.
Un motoristaasciende por una rampa de 20" y cuando está a 2 msobre el nivel del suelo «vuela» a
fin de salvar un no de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la
orilla sin mojarse?

56. Un alumno intenta encestar cn la papclcra una bola de papel. 'l'eniendo en cuenta que está mtado
a 5 m de ella, y que Iii altura de su brazo cstindo y venical sobre el nivel de la boca de la papelera. .
es 1,S m. Calcula:
a) La velocidad con que debe lanzar la bola.
b) El ángulo con que incide la bola en la papelera.
S. a)9m/s; b)- 31".
En un partido de voleibol con las dimensiones
que se indican en la figura, el saque lo ejecuta
desde el punto A un jugador impulsandola pelota
desde 1,7 m de altura y con un ángulo de elevación
de 10". La pelota golpea en el punto P. Calcula:
a) La velocidad de lanzamiento.
b) A qué altura por encima de la red pasa la
pelota al campo contrario.
S. a) 21,4 m/s; b) 0,37 m.
En un partido de tenis, un jugador situado a 12 m de la red golpea la pelota con una velocidad de
108 km/h a una altura de 2 m con un ángulo de 5" por debajo de la horizontal. La red tiene 90 cm
de altura. Calcula:
a) ¿Pasará la pelota la red?
b) En caso negativo, jcon qué velocidad se debe lanzar para que la pelota salve la red?
S. a) La pelota choca contra la red; b) 304 km/h.
Un jugador de frontón lanza una pelota desde un
punto situado a 0,75 m del suelo y a 5 m del fron-
tón. ¿Con qué velocidad golpea la pelota si ésta
pega en el suelo a 15 cm del frontón?
..................
S. 12,4 m/s. .................~
Un joven, que está sobre un puente 25 m por enci- .-................................................
ma del nivel del agua, arroja una pelota horizon- 5 m
talmente. Si la piedra toca el agua a 40 m a partir
del punto sobre el agua que está en la misma vertical que el joven. Calcula:
a) La velocidad inicial de la piedra.
b) La distancia a la que tocaría la piedra el agua si se hubiera arrojadocon la misma velocidad
desde otro puente de 10 m de altura.

57. Calcula el valor de o para que se cumpla la rela- ------.____.--
ción indicada en la figura. -..
En un campo de golf un hoyo está situado a 200 m 1horizontalmente del punto de lanzamiento y una d = 2 h
altitud de 4 m. ¿Cuál debe ser el valor de la velo-
cidad y el ángulo de elevación si la pelota cae junto al hoyo 5 s después de ser lanzada?
S. 47,3 m/s; G( = 32,3".
Desdela cima de un acantiladose lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 3 s en
tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula:
a) ¿Qué altura tiene el acantilado?
b) ¿Con qué velocidad se lanzó el proyectil?
C) ¿Con qué velocidad llega al agua?
S. a)44,1 m; b) 20 m/s; c) 353 m/s.
Un chorro de agua sale horizontalmentedel caño de una fuente con una velocidad de 4,2 m/s. Si el
agua cae a una distancia de 80 cm, calcula: ja qué altura del suelo se encuentra el caño?
S. 0.18m.
Una bola que meda sobre una mesa horizontal de 90 cm de altura cae al suelo en un punto situado
a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el
momento de abandonar la mesa?
Una pelotade béisbol abandona el bat a una altura de 1 ni por encima del suelo y con un ángulode
elevación de 45" con una velocidad tal que el alcance horizontal hubiera sido 100 m. A la distan-
cia de 90 m del punto de lanzamientose encuentra una valla de 8 m de altura. ¿Pasarála pelota por
encima de la valla?
S. Sí pasará.
Un atleta quiere batir el récord del mundo de lanzamiento de peso, establecido en 23 m. Sabe que
el alcance máximose consiguecon un ángulode 45". Si impulsa el peso desde una altura de 1,75m,
¿con qué velocidad mínima debe lanzar?

58. Una jugadora de baloncesto tira a la canasta des- ,*---------- -.-.,'de un punto situado a 5,5 m de la vertical de la I'
canasta que está situada a 3.05 m del suelo. Lanza
desde una altura de 1,8 m con un ángulo de 45". w
Una jugadora contraria que está situada 2 m de- Om
lante de la canasta pretende evitar el enceste sal- 3
tando hasta 2,3 m. Calcula: 2 m.
a ) ¿Logrará impedir la canasta? * 5.5 m
b) ¿Producirá un tapón cuando la pelota está descendiendo?
c) ¿No logrará impedir la canasta?
S. No logrará impedir la canasta.
Un vehículo se mueve sobre una pista rectilínea coi] aceleración constante durante 10 s. Sigue sin
aceleración durante 5 s y luego frena de manera constante hasta parar. Dibuja los diagramas a-t y
11-tde este movimiento.
Lanzas una piedra verticalmentehacia aniba con una velocidad inicial. El diagrama v-t que mejor
representa dicho movimiento es: A, B. C. ninguno de los tres.
Teniendo en cuenta el diagrama de la figura,
indica qué afirmaciones son correctas:
a ) En el tramo AB el móvil está parado.
b) En el tramo BC la aceleración es 1 m/sZ.
c) La distancia recomda en el tramo BC es
de 50 m.
S. La afumación c ) es la verdadera.
d ) En el tramo BC el movimiento es uni- c
fome. f
O 10 20

59. 1 Dado el diagrama de la figura indica qué
afirmaciones son falsas:
a) En el tramo OA la velocidad ha sido
0,8 m/s.
b) En el tramo AB la velocidades 415 m/s.
c) En el tramo BC la velocidades -2 m/s.
d ) En el tramo AB el móvil está parado. t
S. Son falsas las afirmaciones b) y d ) .
e-
El diagrama de la figura representa la vaia-
ción de la velocidad con el tiempo. ~ Q u 6 A 6
afirmaciones son correctas? 2
a) En los tramos OA y BC la aceleración es
la misma.
b) En el tramo AB la aceleración vale
2 m/s2.
c) En el tramo OA la aceleración es nula. t
d ) La aceleraciónen el tramo BC es 2 m/s2.
S. Todas las afirmaciones son falsas.
El diagrama v-r que se indica en la figura re-
presenta un movimiento rectilíneo. De las
afirmaciones siguientes una es falsa. Indica 15
cuál es:
U) El móvil está animado de un movimien-
to uniformemente acelerado.
b ) Entre O y 2 s el vector velocidad y la
aceleración tienen sentidos opuestos.
f
c) Eiitre 2 y 4 s el vector velocidad y la
aceleración tienen el rnisrno sentido.
d ) Al cabo de 4 s el móvil pasa por la posi-
ción que tenía en el instante t = 0.
e) La aceleración vale 7,5 m/sZ.
S. Es falsa la última afirmación: el valor correcto es - 7 3 m/s2.
Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s verticalmente hacia arriba desde una ventana
situada a 20 m del suelo. Dibuja los diagrama v-t y .r-t del movimiento.

60. Un tren suburbano sale de una estación A a razón de 2 m/sZ
durante 5 s. Al cabo de ese tiempo
mantiene constante la velocidad durante 10 s más. Por último frena parándoseen 20 s. Dibuja los
diagramas a-t y u-t de este movimiento.
En la figura está representado el diagrama
u-t del movimiento de una partícula.
a) ¿Cuál es la aceleración instantánea
para t = 4 S?
b) ¿.Cuál es la aceleración instantánea
para t = 8 S?
C ) [,Cuáles la aceleración para t = 10 S?
d ) ¿Qué distancia recorre en los 6 prime-
ros segundos?
e) ¿Qué distancia recorre en los 10 pn-
meros segundos?
f) ¿Quédistancia ha recomdoen los 16 S?
S. U) O; b) 813 m/sz; c) - 1413 m/sZ;
La figura representa el diagrama u-t del v(mb)
movimiento de una partícula. Calcula:
........................
a) La aceleración media en el intervalo 30
[O, 201 s.
b) La aceleración en el instante t = 8 s. 20
c) La aceleración media en el intervalo
,10
[15, 201 s.
1
d ) Distancia recomda en el intervalo t (S)
[O, 201 s.
S. a) -0,5 m/sz; b) 4 m/sZ
; c) -6 m/sz; d ) 375 m.
Dado el movimiento representado en la fi- v(,,,b)
gura, indica la afirmación correcta.
a) En el tramo OA el móvil tiene movi-
miento uniforme.
b) En el tramo A 5 el móvil está parado.
c) En el instante r = C el móvil está
quieto.
d ) En el tramo 5C la aceleración es posi-
tiva.
S. La afmación c) es correcta,

61. En la figura está representado el diagrama " ( m h )
u-t del movimiento de un objeto lanzado
verticalmente hacia arriba desde el suelo.
Indica qué afirmaciones son falsas.
a) La aceleración cambia de sentido a
los 2 s. l b) La velocidad cambia de sentido a los t (S)
2 s.
C ) La altura máxima se alcanza a los 2 s.
d ) El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m. i -20 ........................................... '
e) La máxima altura alcanzada fue de 20 m.
f) A los 4 s llega al suelo.
S. Son falsas a) y d ) .
Un autobús viaja en línea recta desde Ávila a Bilbao distantes 400 km. El conductor emplea dos
horas para recorrer los 150 primeros kilómetros. Luego se detiene durante media hora. Por último
emplea 3 horas en hacer el resto del trayecto. Dibuja el diagrama u-t del movimientodel autobús.
Un ciclista viaja siempre en la misma dirección y sentido. Durante los primeros 20 minutos su
velocidad media ha sido de 30 km/h, de 40 km/h durante los 10 minutos siguientes y de 45 km,%
durante los 5 minutos finales. Calcula la distancia total recorrida, y dibuja el diagrama u-t.
S. 20,4 km.
.....+....., . , , ~
8 i
Para recorrer una distancia de 345 km entre 1 , i ,/
i . < i /
dos ciudades A y B, un camión ha empleado ; 11,'
4 h y 45 nun incluyendo una parada de 15 mi-
nutos. Durante un cierto tiempo la velocidad 2 mi Observador
media ha sido de 60 km,%y luego de 90 km/h.
Un esti sentado a m de una ven- ..................@........................................
6= o .tana de 1 m de anchura. El observador puede c----.. U.....;...................2.;f -20s
n) ¿Qué distancia recorre el camión en cada
intervalo de tiempo?
ver a un ciclista durante 20 sque se mueve por ............'1,..................................
una carretera distante 300 m medidos en direc-
ción perpendicular. ¿Con estos datos puede el
observador calcular la velocidad del ciclista?
b) ¿Cuánto ha durado cada intervalo de
tiempo?
;
......L ............
300 m ,,/
I'

62. En la figura se muestra el diagrama x-t del
movimiento de una partícula.
a) ¿En qué intervalos de tiempo la partícu-
la se desplazó en sentido positivo del
eje x?
b) ¿En qué intervalos lo hizo en sentido
opuesto?
c) Describe el movimiento entre t , y t,.
d ) ¿Qué ocurre en el instante t,?
e) Dibuja el diagrama u-t.
S. a)0 < t < t,; b)t, < t < t,; c)La partículaestá en reposo. A partu de t, regresa hacia
el origen; d ) La partícula pasa por el origen, moviéndose en sentido negativo.
Lanzas una piedra verticaliiiente hacia amba con una velocidad inicial de 20 m/s. Completa las
tablas siguientes y dibuja los diagramas y-t, u-t. Toma para la gravedad el valor 10 m/s2.
Desde el borde de la azotea de un edificio se deja caer un cuerpo. Si éste tarda 0.2 s en pasar por
delante de una ventanade 2 m de altura, ¿quédistancia hay entre el marco superior de la ventana y
la azotea? Toma para g el valor de 10 m/sZ.
S. 6 m.
CarlLewis batióel récord del mundo de los 100 m lisosen los campeonatosdel mundo celebrados
en Tokio, verano de 1991. En la tabla siguiente se indican tiempos, distancias y velocidades,
expresadas en el SI, de dicho atleta durante la carrera.
a) ¿Cuál ha sido la velocidad media de C . Lewis durante la carrera?
b) ¿En qué tramo ha tenido la máxima aceleración?
c) Dibuja los diagramas x-t, u-t.
S. a) l0,14 m/s; b)entre los 20 y 30 m.

63. "'1 b),d ) .
J2 c).
J3 d ) .
J4 d ) .
J5 a).
"'6 b).
J7 c).
J8 a).
J9 a).
J l o b), d ) .
J1 1 b), d).
J12 c).
J13 d ) .
J14 2i + 12j.
J l 5 b).
J 1 6 a), e).
J17 b), c).
J18 b),e).
J19 c),d).
J20 b),e).
J21 b),d ) .
J22 a), c).
J23 b),d ) .
J24 b),c).
J25 a).