1.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
50
𝑓′(𝑧) =
1
𝑖
lim
∆𝑦→ 0
[
𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦
] + lim
∆𝑦→ 0
[
𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑦
]
𝑓′(𝑧) =
1
𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
⟹ 𝑓′(𝑧) = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
…. (2)
Probando que las derivadas parciales existen.
(1) = (2)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑖 = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑖 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖
𝝏𝒖
𝝏𝒙
=
𝝏𝒗
𝝏𝒚
∧
𝝏𝒗
𝝏𝒙
= −
𝝏𝒖
𝝏𝒚
Así que la derivada existe y es única, es decir 𝑓(𝑧) es una función analítica en R.
REPRESENTACION CARTESIANA Y POLAR. –
Plano Z 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑖
𝒙 = 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝜽 ; 𝒚 = 𝑹 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑅
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
𝒚 = 𝑹 𝒔𝒆𝒏𝜽 ⟹ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑅
⟹
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2 ⟹
𝜕𝑅
𝜕𝑥
=
𝑥
√𝑥2+𝑦2
;
𝜕𝑅
𝜕𝑦
=
𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝜃 = tan−1
(
𝑦
𝑥
) ⟹
𝜕𝜃
𝜕𝑥
= −
𝑦
𝑥2+𝑦2 ;
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝝏𝒖
𝝏𝒙
=
𝝏𝒗
𝝏𝒚
∧
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= −
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (−
𝑦
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
)(
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒖
𝝏𝑹
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 −
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒖
𝝏𝜽
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 …….. (1)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
)(
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒖
𝝏𝑹
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 +
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒖
𝝏𝜽
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 …….. (2)
y
x
R
0
P(x
,y
)
x
y

2.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
51
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (−
𝑦
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
)(
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒗
𝝏𝑹
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 −
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒗
𝝏𝜽
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 …….. (3)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) (
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒗
𝝏𝑹
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 +
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒗
𝝏𝜽
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 …….. (4)
Por las ecuaciones de CAUCHY-RIEMANN, tenemos:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
Utilizando las ecuaciones (1) y (4) ⟹ (1) = (4)
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 − (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 …….. (5)
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= −
𝝏𝒗
𝝏𝒙
Utilizando las ecuaciones (2) y (3) ⟹ (2) = −(3)
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = − (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 …….. (6)
Multiplicamos a la ecua (5) ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜃) + (6) ∗ (𝑠𝑒𝑛𝜃)
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
+
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
----------------------------------------------------------------------------------
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) (𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃) = 0

3.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
52
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
= 0 ⟹
𝝏𝒖
𝝏𝑹
=
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒗
𝝏𝜽
Multiplicamos a la ecua (5) ∗ (− 𝑠𝑒𝑛𝜃) + (6) ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜃)
− (
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 = 0
+
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
)𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 0
---------------------------------------------------------------------------------
(
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) (𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃) = 0
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
= 0 ⟹
𝝏𝒗
𝝏𝑹
= −
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒖
𝝏𝜽
UNIDAD No.4
FUNCIONES ANALITICAS
DEFINICION. – Si la derivada 𝑓′(𝑧), existe en todo punto z de una región R, entonces diremos
que 𝑓(𝑧) es una función analítica en R y nos referimos a ella como una función analítica en R.
Una función 𝑓(𝑧) es llamada analítica en un punto 𝑧0, si existe una vecindad |𝑧 − 𝑧0| < ∆, tal
que, en cada punto de ella 𝑓′(𝑧) exista.
Una condición necesaria para que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑖, sea una función analítica
en una región R, es que, en R u y v satisfagan las condiciones de CAUCHY-RIEMANN.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Ej: 1. – Demostrar que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2𝑧2
− 3𝑧 𝑖 es una función analítica.
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2𝑧2
− 3𝑧 𝑖 ⟹ 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2(𝑥 + 𝑦 𝑖)2
− 3(𝑥 + 𝑦 𝑖) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2(𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) − 3(𝑥 + 𝑦 𝑖) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2𝑥2
+ 4𝑥𝑦 𝑖 − 2𝑦2
− 3𝑥 𝑖 + 3𝑦
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑓(𝑧) = (2𝑥2
− 2𝑦2
+ 3𝑦) + (4𝑥𝑦 − 3𝑥) 𝑖
𝒖 = 𝟐𝒙𝟐
− 𝟐𝒚𝟐
+ 𝟑𝒚

4.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
53
𝒗 = 𝟒𝒙𝒚 − 𝟑𝒙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 4𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 4𝑥 𝟒𝒙 = 𝟒𝒙 ok!
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −4𝑦 + 3
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 4𝑦 − 3
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −4𝑦 + 3 −𝟒𝒚 + 𝟑 = − 𝟒𝒚 + 𝟑 ok!
∴ 𝑓(𝑧) es una función analítica.
Ej: 2. – Demostrar que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
+ 5𝑧 𝑖 + 3 − 𝑖 es una función analítica.
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
+ 5𝑧 𝑖 + 3 − 𝑖 ⟹ 𝑊 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
+ 5(𝑥 + 𝑦 𝑖) 𝑖 + 3 − 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = (𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) + 5(𝑥 + 𝑦 𝑖) 𝑖 + 3 − 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
+ 5𝑥 𝑖 − 5𝑦 + 3 − 𝑖
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑓(𝑧) = (𝑥2
− 𝑦2
− 5𝑦 + 3) + (2𝑥𝑦 + 5𝑥 − 1) 𝑖
𝒖 = 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
− 𝟓𝒚 + 𝟑
𝒗 = 𝟐𝒙𝒚 + 𝟓𝒙 − 𝟏
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 2𝑥 𝟐𝒙 = 𝟐𝒙 ok!
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −2𝑦 − 5
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −2𝑦 − 5 −𝟐𝒚 − 𝟓 = −𝟐𝒚 − 𝟓 ok!
∴ 𝑓(𝑧) es una función analítica.
FUNCIONES ARMONICAS. – Si las segundas derivadas parciales de u y v con respecto a x e y,
existen y son continuas en una región R, entonces:
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 ∧
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
= 0
Si se cumple la igualdad, las funciones u y v son funciones armónicas.

5.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
54
RELACION CON LAS FUNCIONES ANALITICAS. – Si la derivada 𝑓′(𝑧) existe en todo punto z de
una región R, entonces decimos que 𝑓(𝑧) es una función analítica en R. Si 𝑓(𝑧) es analítica en
cierto dominio 𝔇, entonces su parte real 𝑢(𝑥, 𝑦) y su parte imaginaria 𝑣(𝑥, 𝑦), son funciones
armónicas en este dominio 𝔇, es decir:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Ej : 1 .- Dada la función 𝑢 = 3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2
a) Decir si 𝑢 es armónica?
b) 𝑣 =?∕ 𝑓(𝑧) sea analítica
c) Expresar la función en términos de z
a) 𝑢 = 3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦 + 4𝑥 ⟹
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 = 6𝑦 + 4
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 3𝑥2
− 3𝑦2
− 4𝑦 ⟹ +
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 = −6𝑦 − 4
________________
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐 +
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐 = 𝟎
∴ 𝑢(𝑥, 𝑦) es una función armónica.
b) Para que 𝑓(𝑧) sea una función analítica, debe cumplir la siguiente condición.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦 + 4𝑥 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
⟹ 𝑑𝑣 = (6𝑥𝑦 + 4𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑣 = 6𝑥𝑦𝑑𝑦 + 4𝑥𝑑𝑦 ⟹ ∫ 𝑑𝑣 = 6𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 + 4𝑥 ∫ 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥)
𝑣 = 3𝑥𝑦2
+ 4𝑥𝑦 + ℎ(𝑥) ⟹
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 3𝑦2
+ 4𝑦 +
𝑑ℎ
𝑑𝑥
= −
𝑑𝑢
𝑑𝑦
3𝑦2
+ 4𝑦 +
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
= −3𝑥2
+ 3𝑦2
+ 4𝑦 ⟹
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
= −3𝑥2
⟹ 𝑑ℎ(𝑥) = −3𝑥2
𝑑𝑥
∫ 𝑑ℎ(𝑥) = −3 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + 𝑐 ⟹ ℎ(𝑥) = −𝑥3
+ 𝑐
𝑣 = 3𝑥𝑦2
+ 4𝑥𝑦 + ℎ(𝑥) ⟹ 𝒗 = 𝟑𝒙𝒚𝟐
+ 𝟒𝒙𝒚 − 𝒙𝟑
+ 𝒄
c) Expresar la función en términos de z.

6.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
55
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑣 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = (3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2) + (3𝑥𝑦2
+ 4𝑥𝑦 − 𝑥3
+ 𝑐) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 3𝑥2
𝑦 + 2𝑥2
− 𝑦3
− 2𝑦2
+ 3𝑥𝑦2
𝑖 + 4𝑥𝑦𝑖 − 𝑥3
𝑖 + 𝑐 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = −𝑥3
𝑖 + 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
𝑖 − 𝑦3
+ 2𝑥2
+ 4𝑥𝑦𝑖 − 2𝑦2
+ 𝑐 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = −𝑥3
𝑖 − 3𝑥2
𝑦 𝑖2
+ 3𝑥𝑦2
𝑖 + 𝑦3
𝑖2
+ 2𝑥2
+ 4𝑥𝑦𝑖 − 2𝑦2
+ 𝑐 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = −𝑖(𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 𝑖 − 3𝑥𝑦2
− 𝑦3
𝑖) + 2(𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2) + 𝑐 𝑖
𝑾 = 𝒇(𝒛) = −𝒊 𝒛𝟑
+ 𝟐𝒛𝟐
+ 𝒄 𝒊 Función expresada en términos de z
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. -
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
∆𝑤
∆𝑧
PLANO Z PLANO W
FIGURA 1 FIGURA 2
f′(𝑧) = lim
∆𝑧1→ 0
(
∆𝑤1
∆𝑧1
) f′(𝑧) = lim
∆𝑧2→ 0
(
∆𝑤2
∆𝑧2
)
Si hacemos que:
f′(𝑧)
f′(𝑧)
=
lim
∆𝑧2→ 0
(
∆𝑤2
∆𝑧2
)
lim
∆𝑧1→ 0
(
∆𝑤1
∆𝑧1
)
≅ 1
Y
X
z
∆ 1
∆ 2
n ∆ 2
∆ 1
Z+∆ 1
Z+∆ 2
∆ 1
∆ 2
n ∆ 2
∆ 1
Z+∆𝑊
1
Z+∆𝑊2
U
V
W

7.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
56
lim
∆𝑧2→ 0
(
∆𝑤2
∆𝑧2
∗
∆𝑧1
∆𝑤1
) ≅ 1
∆𝑤2
∆𝑧2
∗
∆𝑧1
∆𝑤1
≅ 1 ⟹
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
≅
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
Para que se cumpla la igualdad, las partes reales tienen que ser iguales y sus partes
imaginarias iguales, es decir:
ℝ (
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
) ≅ ℝ (
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
) Partes reales iguales
∏𝑚𝑔 (
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
) ≅ ∏𝑚𝑔 (
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
) Partes imaginarias iguales
|
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
| ≅ |
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
| Distancias iguales
𝑎𝑛𝑔 (
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
) ≅ 𝑎𝑛𝑔 (
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
) Ángulos iguales
Si 𝑓(𝑧) es una función continua en R, derivable y si la derivada es diferente de cero, entonces
las partes infinitesimales del plano z que se transforma sobre el plano w, son de la misma
forma. En otras palabras, si 𝑓′(𝑧) existe en R y 𝑓′(𝑧) ≠ 0, entonces la transformación preserva
ángulos, una transformación de este tipo se llama transformación conforme.
Ej. 1.- Transformar la región R del plano z al plano w, bajo la transformación de la función.
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
PLANO Z
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
⟹ 𝑊 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑢 + 𝑣 𝑖 = (𝑥2
− 𝑦2) + (2𝑥𝑦) 𝑖
𝒖 = 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐 (1)
Y
X
R
2 4
2
4
A
B
C(4;4)
D

8.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
57
𝒗 = 𝟐𝒙𝒚 (2)
TRAMO 𝑨𝑩
̅̅̅̅
𝑦 = 2 ….(3)
(3) en (1)
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 𝑥2
− 4 ⟹ 𝑢 + 4 = 𝑥2
(3) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 4𝑥 ⟹ 𝑥 =
𝑣
4
𝑢 + 4 = 𝑥2
⟹ 𝑢 + 4 = (
𝑣
4
)
2
𝑣2
= 16(𝑢 + 4)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝒗 = 𝟎 ⟹ 𝒖 = −𝟒
𝒖 = 𝟎 ⟹ 𝒗 = ±𝟖
Intersección de ejes
TRAMO 𝑩𝑪
̅̅̅̅
𝑥 = 4 …. (3)
(3) en (1)
𝑢 = 42
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 16 − 𝑦2
⟹ 𝑢 − 16 = −𝑦2
(3) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 8𝑦 ⟹ 𝑦 =
𝑣
8
𝑢 − 16 = −𝑦2
⟹ 𝑢 − 16 = − (
𝑣
8
)
2
𝑣2
= −64(𝑢 − 16)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝒗 = 𝟎 ⟹ 𝒖 = 𝟏𝟔
𝒖 = 𝟎 ⟹ 𝒗 = ±𝟑𝟐
TRAMO 𝑪𝑫
̅̅̅̅
𝑦 = 4 …. (3)
(3) en (1)
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 𝑥2
− 16 ⟹ 𝑢 + 16 = 𝑥2
(3) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 =
𝑣
8
𝑢 + 16 = 𝑥2
⟹ 𝑢 + 16 = (
𝑣
8
)
2
𝑣2
= 64(𝑢 + 16)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝒗 = 𝟎 ⟹ 𝒖 = −𝟏𝟔
𝒖 = 𝟎 ⟹ 𝒗 = ±𝟑𝟐
TRAMO 𝑫𝑨
̅̅̅̅
𝑥 = 2 …. (3)
(3) en (1)
𝑢 = 22
− 𝑦2 (1)

9.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
58
𝑢 = 4 − 𝑦2
⟹ 𝑢 − 4 = −𝑦2
(3) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 4𝑦 ⟹ 𝑦 =
𝑣
4
𝑢 − 4 = −𝑦2
⟹ 𝑢 − 4 = − (
𝑣
4
)
2
𝑣2
= −16(𝑢 − 4)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝒗 = 𝟎 ⟹ 𝒖 = 𝟒
𝒖 = 𝟎 ⟹ 𝒗 = ±𝟖

10.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
59
Conociendo los puntos de la región R del plano Z, podemos determinar los puntos del
plano W, es decir A’, B’, C’ y D’.
𝐴(2,2) ⟹ 𝐴′(0,8)
𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 2 ⟹ 𝑢 = 𝑥2
− 4 = 0 𝑣 = 4𝑥 = 8
𝐵(4,2) ⟹ 𝐵′(12,16)
𝑥 = 4 ∧ 𝑦 = 2 ⟹ 𝑢 = 𝑥2
− 4 = 12 𝑣 = 4𝑥 = 16
𝐶(4,4) ⟹ 𝐶′(0,32)
𝑥 = 4 ∧ 𝑦 = 4 ⟹ 𝑢 = 𝑥2
− 16 = 0 𝑣 = 8𝑥 = 32
𝐷(2,4) ⟹ 𝐷′(−12,16)
𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 4 ⟹ 𝑢 = 4 − 𝑦2
= −12 𝑣 = 4𝑦 = 16
PLANO W
v
u
- 16
32
-32
CD
BC
16

11.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
60
PLANO W
Ej. 2.- Transformar la región R del plano z al plano w, bajo la transformación de la
función. 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
v
u
- 16
32
-32
CD
BC
16
- 4
8
- 8
v=0 u=16
u=0 v=±32
v=0 u= -16
u=0 v=±32
R' AB
DA
12 12
v=0 u= - 4
u=0 v= ± 8
v=0 u= 4
u=0 v= ± 8
4
A'
B'
C'(0;32)
D'
1 3 5
1
2
3
4
5
-1
-3
-1
A
A
B(3;2)
C(1
;4)
D
Y
X
PLANOZ
A
B
B
C
C
D
D
A

12.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
61
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
⟹ 𝑊 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑢 + 𝑣 𝑖 = (𝑥2
− 𝑦2) + (2𝑥𝑦) 𝑖
𝒖 = 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐 (1)
𝒗 = 𝟐𝒙𝒚 (2)
TRAMO 𝑨𝑩
̅̅̅̅
𝑦 = 𝑥 − 1 ….(3)
(3) en (1)
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 𝑥2
− (𝑥 − 1)2
𝑢 = 𝑥2
− 𝑥2
+ 2𝑥 − 1
𝑥 =
𝑢+1
2
….. (4)
(4) en (3)
𝑦 = 𝑥 − 1 ….(3)
𝑦 =
𝑢+1
2
− 1
𝑦 =
𝑢+1−2
2
𝑦 =
𝑢−1
2
….. (5)
(4) y (5) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 2 (
𝑢+1
2
) (
𝑢−1
2
)
2𝑣 = (𝑢 + 1)(𝑢 − 1)
2𝑣 = 𝑢2
− 1
𝑢2
= 2𝑣 + 1
𝑢2
= 2 (𝑣 +
1
2
)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 = −
1
2
𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = ±1
TRAMO 𝑩𝑪
̅̅̅̅
𝑦 = 5 − 𝑥 ….(3)
(3) en (1)
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 𝑥2
− (5 − 𝑥)2
𝑢 = 𝑥2
− 25 + 10𝑥 − 𝑥2
𝑥 =
𝑢+25
10
….. (4)
(4) en (3)
𝑦 = 5 − 𝑥 ….(3)
𝑦 = 5 −
𝑢+25
10
𝑦 =
50−𝑢−25
10
𝑦 =
25−𝑢
10
….. (5)

13.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
62
(4) y (5) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 2 (
𝑢+25
10
) (
25−𝑢
10
)
50𝑣 = (25 − 𝑢)(25 + 𝑢)
50𝑣 = 252
− 𝑢2
𝑢2
= −50𝑣 + 252
𝑢2
= −50 (𝑣 −
25
2
)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 =
25
2
𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = ±25
TRAMO 𝑪𝑫
̅̅̅̅
𝑦 = 𝑥 + 3 ….(3)
(3) en (1)
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 𝑥2
− (𝑥 + 3)2
𝑢 = 𝑥2
− 𝑥2
− 6𝑥 − 9
𝑥 = −
𝑢+9
6
….. (4)
(4) en (3)
𝑦 = 𝑥 + 3 ….(3)
𝑦 = −
𝑢+9
6
+ 3
𝑦 =
18−𝑢−9
6
𝑦 =
9−𝑢
6
….. (5)
(4) y (5) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = −2 (
9+𝑢
6
) (
9−𝑢
6
)
-18𝑣 = (9 − 𝑢)(9 + 𝑢)
-18𝑣 = 92
− 𝑢2
𝑢2
= 18𝑣 + 92
𝑢2
= 18 (𝑣 +
9
2
)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 = −
9
2
𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = ±9
TRAMO 𝑫𝑨
𝑦 = 1 − 𝑥 ….(3)
(3) en (1)
𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2 (1)
𝑢 = 𝑥2
− (1 − 𝑥)2
𝑢 = 𝑥2
− 1 + 2𝑥 − 𝑥2
𝑥 =
𝑢+1
2
….. (4)
(4) en (3)
𝑦 = 1 − 𝑥 ….(3)
𝑦 = 1 −
𝑢+1
2

14.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
63
𝑦 =
2−𝑢−1
2
𝑦 =
1−𝑢
2
….. (5)
(4) y (5) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 2 (
1+𝑢
2
) (
1−𝑢
2
)
2𝑣 = (1 − 𝑢)(1 + 𝑢)
2𝑣 = 12
− 𝑢2
𝑢2
= −2𝑣 + 12
𝑢2
= −2 (𝑣 −
1
2
)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 =
1
2
𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = ±1
8
-1
5
1
2,5
25
-25 1
-1
1
/2
-1
/2
A'(1
;0)
B'(5;1
2)
C'(-15;8)
D'(-3;-4)
R'
-3
-4
v
u
PLANOW
AB
BC
CD
DA
1
2
5
-9/2

15.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
64
Ecuación de una recta que pasa por 2 puntos
𝑃1(𝑥1; 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2; 𝑦2) 𝑃2(𝑥2; 𝑦2)
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑃1(𝑥1; 𝑦1)

16.
APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
65
PLANO W
3 2
8
-1 6 -1 2 -4 4 1 6
-8
-3 2
A'(0,8)
B'(12,16)
C'(0,32)
D'(-12,16)
R'
U
V