2. ІНСТРУМЕНТАРІЙ АКТУАРНИХ РОЗРАХУНКІВ.pptx

ІНСТРУМЕНТАРІЙ АКТУАРНИХ
РОЗРАХУНКІВ
Тема 2

План
2.1 ЕФЕКТИВНА ВІДСОТКОВА СТАВКА
2.2 СХЕМА ПРОСТИХ ВІДСОТКІВ
2.3 СХЕМА СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ
2.4 ЕФЕКТИВНА ВІДСОТКОВА СТАВКА НА ЧАСТКОВОМУ ЧАСОВОМУ
ПРОМІЖКУ
2.5. НОМІНАЛЬНА ВІДСОТКОВА СТАВКА
2.6. ІНТЕНСИВНІСТЬ ВІДСОТКІВ

2.1. ЕФЕКТИВНА ВІДСОТКОВА СТАВКА
Нехай у момент часу t сума S інвестується в якийсь проект, що
завершується через час h, приносячи дохід ΔS. Звичайно його
вимірюють у відносних одиницях, розглядаючи відношення i
= ΔS / S, що називається ефективною відсотковою ставкою за
розглянутий проміжок часу.

Нехай у момент часу t сума S інвестується в якийсь проект, що
завершується через час h, приносячи дохід ΔS. Звичайно його
вимірюють у відносних одиницях, розглядаючи відношення i
= ΔS / S, що називається ефективною відсотковою ставкою за
розглянутий проміжок часу.
i - відсоткова ставка, ставка інвестиційного доходу або норма
прибутковості
h - період нарахування (нагромадження, нарощення)

ΔS = i · S - дохід
S = S0 + ΔS = S0 · (1 + i) - отримана в результаті операції нарощена
(накопичена) сума

ΔS = i · S - дохід
S = S0 + ΔS = S0 · (1 + i) - отримана в результаті операції нарощена
(накопичена) сума
i = i(t, S, h)
Однак як достатнє для страхової практики наближення ми будемо
припускати, що i не залежить від t і S.

2.2. СХЕМА ПРОСТИХ ВІДСОТКІВ
S0 - капітал, який інвестується
(t0, t1) і (t1, t2) - послідовні проміжки часу
i1, i2 - відсоткові ставки на цих проміжках відповідно

S0 - капітал, який інвестується
(t0, t1) і (t1, t2) - послідовні проміжки часу
i1, i2 - відсоткові ставки на цих проміжках відповідно
ΔS1 = S0 · i1 - збільшення доходу на першому інтервалі
ΔS2 = S0 · i2 - збільшення доходу на другому інтервалі
ΔS = ΔS1 + ΔS2 = S0 · (i1 + i2) - сумарний дохід
S = ΔS0 + ΔS = S0 · (1 + i1 + i2) - накопичена сума
i = ΔS / ΔS0 = i1 + i2 - відсоткова ставка на об’єднаному проміжку (t0, t2)

S = S0 · (1 + i1 + i2 + … + in) - накопичена сума (2.1)
i = i1 + i2 + … + in - підсумкова відсоткова ставка
У важливому окремому випадку фіксованої відсоткової ставки ik
= i, k = 1, 2 ,…, n одержуємо для накопиченої суми вираз
S = S0 · (1 + ni) (2.2)
який називають формулою простих відсотків

S = S0 · (1 + i1 + i2 + … + in) (2.1)
S = S0 · (1 + ni) (2.2)
Якщо різні ставки i1, i2,…, im фіксуються на періоди n1, n2,…, nm
S = S0(1 + n1 i1 + n2 i2 + … + nm im) (2.3)

2.3. СХЕМА СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ
S1 = S0(1 + i1) - сума, накопичена до кінця першого проміжку
S2 = S1(1 + i2) = S0(1 + i1)(1 + i2) - сума, накопичена до кінця другого
проміжку
і - відсоткова ставка
(t0, t2) - об'єднаний проміжок
1 + i = (1 + i1)(1 + i2) -> i = i1 + i2 + i1i2 - відсоткова ставка на об'єднаному
проміжку

S1 = S0(1 + i1) - сума, накопичена до кінця першого проміжку
S2 = S1(1 + i2) = S0(1 + i1)(1 + i2) - сума, накопичена до кінця другого
проміжку
1 + i = (1 + i1)(1 + i2) -> i = i1 + i2 + i1i2 - відсоткова ставка на об'єднаному
проміжку
S = S0(1 + i1)(1 + i2 ) ·…· (1 + in) - накопичена сума на n проміжках (2.4)
i = (1 + i1)(1 + i2) ·…· (1 + in) – 1 - підсумкова відсоткова ставка

S = S0(1 + i1)(1 + i2 ) ·…· (1 + in) - накопичена сума на n проміжках (2.4)
У важливому окремому випадку фіксованої відсоткової ставки ik
= i, k = 1, 2 ,…, n одержуємо для накопиченої суми вираз
S = S0(1 + i)^n (2.5)
який називають формулою складних відсотків

S = S0(1 + i1)(1 + i2 ) ·…· (1 + in) (2.4)
S = S0(1 + i)^n (2.5)
Якщо послідовні в часі ставки i1, i2,…, im фіксуються на періоди n1, n2,…, nm
S = S0 (1 + i1)^n1 (1 + i2)^n2 ... (1 + im)^nm (2.5)

НА ЧАСТКОВОМУ ЧАСОВОМУ ПРОМІЖКУ
За фіксуємо одиничний часовий проміжок (наприклад, один рік) і
розіб’ємо його на m рівних частин (у страховій практиці, як правило,
m = 2; 4; 12, тобто частинами є півріччя, квартал, місяць).

За фіксуємо одиничний часовий проміжок (наприклад, один рік) і
розіб’ємо його на m рівних частин (у страховій практиці, як правило,
m = 2; 4; 12, тобто частинами є півріччя, квартал, місяць).
Нехай i – ефективна відсоткова ставка на одиничному проміжку.
Позначимо через im ефективну відсоткову ставку на m частковому
часовому проміжку.

Схема простих відсотків
Нехай період нагромадження n/m – раціональне число. Накопичена за цей
проміжок часу сума
S=S_0*(1 +n*i_ m) ) =S_0(1+n*i / m ) =S_0 (1+t*i ) .
Враховуючи, що будь-яке число може бути з якою завгодно точ-
ністю апроксимоване раціональним числом, для довільного періоду
нагромадження t маємо формулу нагромадження
S(t) = S_0 * (1 + t * i) .

Схема складних відсотків
Ураховуючи формулу складних відсотків маємо S_0(1 + i_m) ** m = S_0*(1 + i ) ,
звідки випливає:
i_m = (1 + i ) ** (1 / m) - 1 .
Аналогічно попередньому при t=n/m маємо
S = S_0(1 + i_m) **n = S 0 (1 + i )**(m/n) = S_0 (1 + i )**t . Для довільного t формула
нагромадження за схемою складних відсотків має вигляд:
S(t) = S_0 * (1 + i) ** t.

Порівняємо різні схеми нагромадження.
Схема простих відсотків:
S(t) = S_0 * (1 + t * i) .
Схема складних відсотків:
S(t) = S_0 * (1 + i) ** t.

2.5. НОМІНАЛЬНА ВІДСОТКОВА СТАВКА
Як зазначалося, у фінансових операціях фіксується одиничний часовий проміжок, як
правило, один рік. Однак нарахування відсотків доводиться робити кілька разів на
рік по півріччях, кварталах тощо. Ця операція легко здійснюється за допомогою
ефективної відсоткової ставки на відповідному проміжку, яка може бути або задана
безпосередньо, або визначена за ефективною відсотковою ставкою на одиничному
проміжку. Однак у фінансовій практиці ця операція виконується інакше. Як правило,
задається фіктивна річна відсоткова ставка i_p,
p – період нарахування відсотків (період обертання, конвертації), а ефективна
відсоткова ставка за період 1/p пов’язана із i_p співвідношенням
ip = i_p / p .
Ставка ip називається номінальною відсотковою ставкою, яка обертається
(конвертується) з частотою р, чи більш коротко, номінальною відсотковою ставкою.

Нехай S(t) – сума, накопичена до моменту t. Тоді відносна швидкість
нагромадження суми:
δ(t) = S' (t) / S(t)
Функція δ(t) називається інтенсивністю відсотків.
δ(t) = S' (t) / S(t) =>

δ(t) = S' (t) / S(t)
δ(t) = S' (t) / S(t) => => S(t) = S_0 * e **(δ*t)
, де S_0 = S(t_0)
Порівнюючи з складними відсотками S_0 * e **(δ*t) = S_0 * (1 + i) ** t.

δ(t) = S' (t) / S(t)
δ(t) = S' (t) / S(t) => => S(t) = S_0 * e **(δ*t)
, де S_0 = S(t_0)

Отримаємо i = e ** δ - 1 або δ = ln(1 + i)

Отримаємо i = e ** δ - 1 або δ = ln(1 + i)
Виразимо номінальну відсоткову ставку через параметр δ:
i_p = e**(δ / p) – 1.

Тести
1. Формула i = ΔS / S використовується для визначення:
а) ефективної відсоткової ставки;
б) номінальної відсоткової ставки;
в) реальної відсоткової ставки.
2. Формула S = S0(1 + n1 i1 + n2 i2 + … + nm im) називається:
а) формулою простих відсотків;
б) формулою складних відсотків;
в) формулою змішаних відсотків.

Тести
3. Формула S = S0(1 + i)^n називається:
а) формулою простих відсотків;
б) формулою складних відсотків;
в) формулою змішаних відсотків.
4. Вклавши 10000 гривень в банк через рік ви отримаєте 11300 гривень. Яка
річна відсоткова ставка в банку?
а) 6%
б) 13%
в) 26%

Тести
5. Вклавши 10000 гривень в банк через 4 місяці ви отримаєте 10824.32
гривень. Яка місячний процент в банку?
а) 2%
б) 3 %
в) 4 %
6. Функція δ(t) = S' (t) / S(t) має назву:
а) інтенсивність відсотків;
б) сила приросту;
в) сила відсоткового прибутку.

Тести
7. Номінальною відсотковою ставкою називають:
а) відношення фіксованої відсоткової ставки до періоду нарахування
відсотків
б) відношення фіксованої відсоткової ставки до року.
в) відношення відсоткової ставки в період до року.
8. Твердження «36% річних з щоквартальним нарахуванням відсотків»
означає, що номінальна відсоткова ставка дорівнює 36%, а ефективна – 9%:
а) так;
б) ні.

2. ІНСТРУМЕНТАРІЙ АКТУАРНИХ РОЗРАХУНКІВ.pptx

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

2. ІНСТРУМЕНТАРІЙ АКТУАРНИХ РОЗРАХУНКІВ.pptx

Notes de l'éditeur