Arquitetura Computadores

Prof.: Ricardo Gonçalves de Aguiar Material de Apoio

Arquitetura de Computadores
Prof.: Ricardo Gonçalves de Aguiar

Plano de Ensino
• Estado da arte do computador, definições e aplicações
• Conceitos de sistemas de numeração, conversão de bases, operações com
binário
• Portas lógicas
• Memórias e armazenamento
• Arquitetura de processadores, chip sets
• Bios
• Linguagem de alto nível
• DMA
• Periféricos
• Processamento paralelo
• Processamento distribuído
• Lógica aplicada à programação

Objetivos
Apresentar a arquitetura computacional com conhecimentos sobre a lógica
binária, critérios de projetos, funcionalidades e aplicações.

Bibliografia
BÁSICA:

STALLINGS, Willian. Arquitetura e Organização de Computadores, 5ª Edição.
Prentice Hall. São Paulo, 2006.
TANENBAUM. Andrew S. Organização Estruturada de computadores. Edição 5ª.
LTC. Rio de Janeiro, 2007.
MACHADO, Francis B., MAIA, Luiz P. Arquitetura de Sistemas Operacionais.
Edição 4ª. LTC. Rio de Janeiro, 2007.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

WEBER, Raul Fernando. Arquitetura de computadores pessoais, Edição 2ª. Sagra
Luzzatto. Porto Alegre, 2003.

WEBER, Raul Fernando. Fundamentos de Arquitetura de Computadores, Edição
3ª, Porto Alegre, Sagra Luzzatto, 2004.

~1~


Forma de Avaliação
São três notas: Avaliação 1 (AV1), avaliação 2 (AV2) e avaliação 3 (AV3). A média
final é obtida através da média das duas maiores notas. Para que o aluno seja
aprovado, a média deve ser maior ou igual a 6,0

Os componentes básicos de um computador
A função de um computador é processar dados. Para processá-los é
preciso movê-los até a unidade central de processamento, armazenar resultados
intermediários e finais em locais onde eles possam ser encontrados mais tarde e
controlar estas funções de transporte, armazenamento e processamento.
Portanto, tudo que um computador faz pode ser classificado como uma destas
quatro ações elementares:

processar,
armazenar,
mover dados,
ou controlar estas atividades

Por mais complexas que pareçam as ações executadas por um
computador, elas nada mais são que combinações destas quatro funções básicas.

A função de mover dados é executada através do fluxo da corrente elétrica
ao longo de condutores que ligam os pontos de origem e destino e não depende
de elementos ativos.

As funções de controle são igualmente executadas através de pulsos de
corrente, ou "sinais", propagados em condutores elétricos (estes pulsos são
interpretados pelos componentes ativos, fazendo-os atuar ou não dependendo da
presença ou ausência dos sinais). Portanto estas duas funções, transporte e
controle, para serem executadas só dependem da existência de condutores
elétricos (fios, cabos, filetes metálicos nas placas de circuito impresso, etc.) e não
exigem o concurso de componentes ativos. Restam as funções de armazenar e
processar dados.

Processar dados consiste basicamente em tomar decisões lógicas do tipo
"faça isso em função daquilo". Por exemplo: "compare dois valores e tome um
curso de ação se o primeiro for maior, um curso diferente se ambos forem iguais
ou ainda um terceiro curso se o primeiro for menor". Todo e qualquer
processamento de dados, por mais complexo que seja, nada mais é que uma
combinação de ações elementares baseadas neste tipo de tomada de decisões
simples. O circuito eletrônico elementar capaz de tomar decisões é denominado
"porta lógica".

Armazenar dados consiste em manter um dado em um certo local
enquanto ele for necessário, de tal forma que ele possa ser recuperado quando o
sistema precisar dele. O circuito lógico elementar capaz de armazenar um dado
~2~


(expresso sob a forma do elemento mínimo de informação, o "bit", que pode
exprimir apenas os valores numéricos "um" ou "zero" ou ainda os valores lógicos
equivalentes, "verdadeiro" ou "falso") é a célula de memória – um dispositivo
capaz de assumir um dentre dois estados possíveis e manter-se nesse estado até
que alguma ação externa venha a alterá-lo (dispositivo "bi-estável").
Tendo isto em vista, pode-se concluir que todo computador digital, por mais
complexo que seja, pode ser concebido como uma combinação de um número
finito de apenas dois dispositivos básicos, portas lógicas e células de memória,
interligados por condutores elétricos.
Resta ver como é possível implementar estes dispositivos usando
componentes eletrônicos.

Sistema binário
Os computadores utilizam internamente o sistema binário (sistema
numérico posicional de base 2). A característica mais notável deste sistema
numérico é a utilização exclusiva dos algarismos "1" e "0", os chamados "dígitos
binários". Através do sistema binário, todas as quantidades e todos os valores de
quaisquer variáveis poderão ser expressos usando uma combinação de um
determinado número de dígitos binários, ou seja, usando apenas os algarismos "0"
e "1".
O uso do sistema binário pelos computadores decorre do fato dessas
máquinas se basearem em circuitos elétricos ou eletrônicos. Isto porque a grande
maioria dos componentes de circuitos elétricos podem assumir apenas um dentre
dois estados.

Por exemplo: interruptores podem estar fechados ou abertos,
capacitores carregados ou descarregados, lâmpadas acesas ou
apagadas, circuitos energizados ou desenergizados e assim por
diante.

O uso exclusivo dos algarismos "1" e "0" nos circuitos internos dos
computadores pode levar a crer que eles apenas servem para resolver problemas
muito específicos, cujas grandezas de entrada e saída assumam apenas dois
valores e que portanto sua utilização há de ser extremamente limitada. Esta
conclusão é falsa. Na verdade, toda e qualquer grandeza do mundo real pode ser
representada no sistema binário.

Para que um dado ou informação possa ser processado por um
computador, basta que ele seja codificado de tal forma que possa ser "modelado"
através de um conjunto de números. Estes números serão então expressos no
sistema binário e processados pelo computador.
O processo de conversão das grandezas do mundo real em quantidades
expressas no sistema binário chama-se "digitalização" (por exemplo: o dispositivo

~3~


denominado "escaner" nada mais é que um digitalizador de imagens, enquanto o
processo de gravação de um CD de áudio é a digitalização de sons).
Mas a digitalização é apenas o passo inicial: transformar as grandezas do
mundo real em números e exprimi-las no sistema binário. O passo seguinte é
escolher uma ferramenta para trabalhar com os valores assim expressos.
Esta ferramenta é a lógica digital.

Lógica digital
Todo o raciocínio lógico é baseado na tomada de uma decisão a partir do
cumprimento de determinadas condições. Inicialmente tem-se os dados de
entrada e uma condição (ou uma combinação de condições). Aplica-se a condição
aos dados de entrada para decidir quais são os dados de saída.
A lógica digital não é diferente. Mas apresenta uma peculiaridade: trabalha
apenas com variáveis cujos valores alternam exclusivamente entre "um" e "zero",
"sim" e "não", "verdadeiro" e "falso" ou quaisquer outras grandezas cujo valor
possa assumir apenas um dentre dois estados possíveis (sistema binário).

Exemplo: Para entender a lógica digital usemos como exemplo
o estatuto do Clube do Bolinha. A condição é: "Menina não entra".
O dado de entrada é a situação do pretendente em relação à
condição de ser menina. O dado de saída, ou seja, a decisão sobre o
fato do pretendente poder ou não entrar no Clube, é obtido
mediante a aplicação da condição ao dado de entrada. É menina?
Sim ou não? A decisão é "sim" se o pretendente "não" for menina. E
"não" se, "sim", for menina. Este é um exemplo da mais simples das
condições, na qual há apenas um dado de entrada e o dado de
saída é exatamente o oposto dele: um "sim" gera um "não" e um
"não" gera um "sim". Esta condição é representada pela porta lógica
NOT (o advérbio "não" em inglês).

Agora vamos dar um passo adiante. Imaginemos que o Sr.
Bolinha decidiu dar uma festa para os membros do clube, porém
resolveu cobrar o ingresso para cobrir os custos do evento. Portanto,
para entrar, além de ser membro, terá que comprar um ingresso.
Numa situação como essa a condição é mais complexa. Os
dados de entrada agora são dois: a situação do pretendente em
relação ao fato de ser membro do clube (sim ou não) e a posse do
ingresso (sim ou não). Para que o dado de saída seja "sim", ou seja,

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para que o pretendente ingresse na festa, ele tem que cumprir
AMBAS as condições. Não basta ser membro do clube ("sim" para a
primeira condição) se não possui o ingresso ("não" para a segunda).
Nem basta possuir o ingresso ("sim" para a segunda condição) se não
é membro ("não" para a primeira). A decisão é tomada submetendo
os dados de entrada à condição. Para uma decisão "sim" que
garante a entrada na festa é preciso, ao mesmo tempo, "sim", ser
membro do clube e, "sim", dispor do ingresso. Ou seja, a saída
somente será "sim" se ambos os dados de entrada forem "sim". Esta
condição é representada pela porta lógica AND (a conjunção
aditiva "e" em inglês).

Tomemos ainda outro exemplo. Imaginemos que os membros
do clube tenham levado ao Presidente um reclamo: sendo eles
membros, e sendo a festa no clube, por que razão tinham que pagar
ingresso? O Sr. Bolinha considerou o pleito justo, mas alegou que
ainda assim precisaria de recursos para cobrir os custos. Decidiu-se
então abrir o evento à toda a comunidade e não apenas aos
membros do clube, cobrando o ingresso apenas dos que não fossem
membros. Então, para entrar, seria necessário ou ser membro do
clube ou comprar um ingresso. Cumprida qualquer uma das duas
condições, seja qual for, o pretendente poderia entrar,
independentemente da outra. Examinemos a primeira condição.
Comprou ingresso? Sim ou não? Se "sim", a primeira condição está
cumprida e a decisão é "sim", o pretendente pode entrar. Mas
imaginemos que, "não", ele não comprou o ingresso. Examinemos
então a segunda condição. É membro do clube? Sim ou não? Se
"sim", a segunda condição foi cumprida e "sim", ele pode entrar
mesmo sem ingresso. Em um caso como este, para que o dado de
saída seja "sim" basta que um dos dados de entrada seja "sim". Esta
condição é representada pela porta lógica OR (a conjunção
alternativa "ou" em inglês).

Em um computador, todas as operações são feitas a partir de tomadas de
decisões que, por mais complexas que sejam, nada mais são que combinações
~5~


das três operações lógicas correspondentes às condições acima descritas: NOT,
AND e OR. Para tomadas de decisões mais complexas, tudo o que é preciso é
combinar estas operações. E para isto é necessário um conjunto de ferramentas
capaz de manejar variáveis lógicas. Esse conjunto de ferramentas é a chamada
"Álgebra Booleana".

Veremos então como operar em binário e qual a importância da álgebra
booleana para um computador:

Sistemas de numeração
Para entendermos como funciona o sistema de numeração na base dois
(sistema binário), temos que entender como funciona um sistema de numeração
em uma base geral.
A necessidade de criação de números veio com a necessidade de contar,
seja o número de animais, alimentos, ou coisas do tipo.
Acredita-se que as bases 5, 10 e 20 foram as primeiras a serem criadas por
questões naturais como cinco dedos em cada mão, dez dedos nas mãos e vinte
dedos nas mãos e nos pés.

Sistema Quinário (Base 5):
Tribos Africanas usavam o sistema quinário, provavelmente por possuirmos
5 dedos em cada mão.

Sistema vigesimal (Base 20):
Usado pelos Maias e Astecas e pelos Celtas.
Sabe-se também que no idioma francês, 80 é "quatrevingt" (quatro vezes vinte) e
no sistema monetário francês, 1 franco = 20 sous.

Sistema duo decimal (Base 12):
Tem origem no fato de que os 4 dedos da mão (com exceção do polegar)
têm 12 falanges.
Aplicações:

• Objetos contados em dúzias: ovos, talheres, pratos, canetas, lápis
• O ano tem 12 meses
• O dia tem 24 (2 x 12) horas
• 12 dúzias = 1 grosa
• 12 grosas = 1 massa
• 1 pé = 12 polegadas (12 x 2,54 cm = 30,48 cm)

~6~


Sistema Sexagesimal (Base 60)
Aplicações:

• subdivisão da hora em 60 minutos; subdivisão do minuto em 60 segundos.
• subdivisão de grau em 60 minutos; subdivisão do minuto em 60 segundos.
segund

Sistema Posicional:
Todo sistema posicional utiliza a posição do número para indicar um valor
com relação à base utilizada.

Exemplo: Na base 60

4 : 23 : 59

Na base 10:

285

Comparando base 10 com base 2
2:
Base 10 Base 2 Representação da base 2
0 0 0 ‫2 ݔ‬଴ ൌ 0
1 1 1 ‫2 ݔ‬଴ ൌ 1
2 10 1 ‫2 ݔ‬ଵ ൅ 0 ‫2 ݔ‬଴ ൌ 2
3 11 1 ‫2 ݔ‬ଵ ൅ 1 ‫2 ݔ‬଴ ൌ 3
4 100 1 ‫2 ݔ‬ଶ ൅ 0 ‫2 ݔ‬ଵ ൅ 0 ‫2 ݔ‬଴ ൌ 4
5 101 1 ‫2 ݔ‬ଶ ൅ 0 ‫2 ݔ‬ଵ ൅ 1 ‫2 ݔ‬଴ ൌ 5

~7~


Sistemas usados em Informática:

Sistema Binário (base2):

Sistema Octal (base8):

Sistema Hexadecimal (base16):

~8~


Relação entre as bases:

Binária Octal Decimal Hexadecimal
00000000 0 0 0
00000001 1 1 1
00000010 2 2 2
00000011 3 3 3
00000100 4 4 4
00000101 5 5 5
00000110 6 6 6
00000111 7 7 7
00001000 10 8 8
00001001 11 9 9
00001010 12 10 A
00001011 13 11 B
00001100 14 12 C
00001101 15 13 D
00001110 16 14 E
00001111 17 15 F
00010000 20 16 10
00010001 21 17 11
00010010 22 18 12
00010011 23 19 13
00010100 24 20 14

Representação e Armazenamento:
Bit:
Ficou definido que a menor unidade de informação, no computador, é o bit
(dígito binário), e quem inventou a palavra foi um engenheiro belga, Claude
Shannon, em sua obra Teoria Matemática da Computação, de 1948. Cada
caractere do computador compreende um conjunto de 8 bits que chamamos byte.
No entanto, foi necessária a criação de tabelas para que todos os
computadores “conversassem” entre si. Chamamos essa tabela de ASCII
(American Standard Character for Information Interchange) onde os computadores
representam todos os caracteres.

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Menor Valor: (00000000)2 = (0)10
Maior Valor: +(11111111)2 = (255)10

Tabela ASCCI:

Decimal Binário Hex Referência
0 00000000 00 Null - NUL
1 00000001 01 Start of Heading - SOH
2 00000010 02 Start of Text - STX
... ... ... ...
65 01000001 41 A
66 01000010 42 B
67 01000011 43 C
... ... ... ...
97 01100001 61 a
98 01100010 62 b
99 01100011 63 c
... ... ... ...
253 11111101 FD ²
254 11111110 FE ■
255 11111111 FF

byte:
Embora os termos bit (unidade de informação) e byte (um conjunto de 8
bits) dêem a impressão de ter nascido no mesmo dia, o bit é sete anos mais velho
que o byte. Foi a IBM quem inventou o nome byte, em 1956, mas não há registro
sobre o inventor, nem sobre sua inspiração. Há quem diga que byte significa
binary term e há quem diga que byte significa uma brincadeira com as palavras bit
(pedacinho) e bite (morder).

~ 10 ~


Kilobyte - 210:
A palavra kilo vem do grego khilioi, que significa mil, logo um kilobyte tem
mil bytes, certo? Infelizmente, a informática é simples, mas nem tanto. Um kilobyte
tem 1024 bytes. Porque a base de tudo é o número 2, e a capacidade de
processamento evolui em múltiplos, sempre dobrando em relação à medida
anterior: 4K, 8K, 16K, 32K, 64K, 128K, 256K, 512K. O pulo seguinte, para 1024,
dá o valor mais próximo de mil. Portanto, esse kilo de bytes aí já vem com um
chorinho... Mas, para quem se liga em matemática, a explicação é que o sistema
usa como base o logaritmo 2: o número 1024 corresponde a 2 elevado à décima
potência.

Megabyte – 220:
Tamanho de memória correspondente a 1.048.576 bytes, ou 2 elevado à
potência 20. O termo mega teve origem no termo grego megas, grande. Daí
derivou, por exemplo, megalomania, a chamada mania de grandeza.

Gigabyte – 230:
Vulgo giga, equivale a 1.073.741.824 bytes ou o número 2 elevado à
potência 30. Uma página normal de um livro tem cerca de 3 000 caracteres, logo
um gigabyte seria equivalente a mais de 6 000 livros com 500 páginas cada um. A
palavra giga é grega e significa gigante.

Terabyte - 240:
Pense um pouquinho: que nome você daria a uma medida 1.024 vezes
maior que um gigante? Monstruosa, talvez? Por isso mesmo, a palavra tera vem
do grego teras, monstro. Então, só para a gente não se perder, um terabyte são
1.024 gigabytes, ou 1.073.741.824 quilobytes, ou 1.099.511.627.776 bytes 8,192
bilhões de zerinhos e unzinhos, os bits. Ou seja, 2 elevado a potência de 40. E
isso vai longe. As próximas palavras que muito em breve vão aparecer nos
anúncios de qualquer jornal de domingo, anunciando uma liquidação de micros no
armazém da esquina, são o petabyte, o exabyte, o zettabyte e o yottabyte.

Velocidade de ciclo do processador:
Quem tem, por exemplo, um daqueles relógios de parede antigos, com
pêndulos, notará que o pêndulo faz um vai-e-vem a cada 2 segundos. O relógio,
portanto, oscila a velocidade de 0,5 Hz (1 ciclo a cada 2 segundos ou 0,5 ciclo por
segundo), ou 0,0000005 megahertz. Hoje em dia, já temos processador com 3
gigahertz (GHz), ou seja, que funcionam a 3 bilhões de ciclos por segundo.

~ 11 ~


Exercícios:
1. Basicamente, o que faz um computado?
2. Basicamente do que é composto um computador?
3. Explique a importância do sistema binário para uma máquina digital
4. Como um computador processa dados? Explique.
5. Como funciona um sistema de numeração posicional?
6. Em um sistema posicional vigesimal, quantos símbolos serão utilizados
para representar os números? Dentre esses símbolos quanto vale o
símbolo mais alto valor?
7. Explique como um caractere é representado no computador. E um número
inteiro?
8. No que é baseada a medida de armazenamento de dados em um
computador? Explique.
9. Como é medida a velocidade de um computador? Explique.

Conversão entre sistemas de numeração
Conversão de Binário para Decimal
O sistema binário, por ter apenas dois algarismos, conseguimos convertê-lo
para decimal usando a base (20, 21, 22, ..., 2n). Lembrando que qualquer número
elevado a 0 resulta 1 (50 = 1; 2376790 = 1), como podemos converter o número
binário 101101 em decimal?

Exatamente da mesma forma que o decimal utilizando a base 2. veja:

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EXERCÍCIOS:
Converta para decimal
a) 10011011(2) = ?(10) b) 10001101(2) = ?(10)
c) 10110110(2) = ?(10) d) 010011(2) = ?(10)
e) 11000000(2) = ?(10) f) 10101001(2) = ?(10)
g) 11111111(2) = ?(10) h) 010101(2) = ?(10)

Conversão de decimal para binário
Para converter um número de decimal para binário, uma das formas é
dividir o número sucessivamente por 2. O número binário corresponderá ao último
resultado da divisão e todos os restos, como veremos no exemplo:

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Exemplo2:

EXERCÍCIOS:
Converta para binário
a) 135(10) = ?(2) b) 72(10) = ?(2)
c) 37(10) = ?(2) d) 49(10) = ?(2)
e) 46(10) = ?(2) f) 186(10) = ?(2)

Conversão de Octal para Decimal
Como podemos converter o número octal 23 em decimal? 23(8) = ?(10)
Exatamente da mesma forma que convertemos um binário para decimal, no
entanto utilizando a base 8. veja:

~ 14 ~


EXERCÍCIOS:

a) 127(8) = ?(10) b) 202(8) = ?(10)
c) 165(8) = ?(10) d) 2(8) = ?(10)
e) 51(8) = ?(10) f) 45(8) = ?(10)
g) 353(8) = ?(10) h) 010101(8) = ?(10)

Conversão de Decimal para Octal
Para converter um número de decimal para octal, uma das formas é dividir
o número sucessivamente por 8. O número octal corresponderá ao último
resultado da divisão e todos os restos, como veremos no exemplo:

Exemplo 2:

~ 15 ~


Converta para octal
a) 143(10) = ?(8) b) 192(10) = ?(8)
c) 54(10) = ?(8) d) 56(10) = ?(8)
e) 374(10) = ?(8) f) 37(10) = ?(8)
g) 218(10) = ?(8) h) 134(10) = ?(8)

Conversão de Hexadecimal para Decimal
Como podemos converter o número hexadecimal 2DA em
decimal?
2DA(16) = ?(10)
Exatamente da mesma forma que convertemos um binário,
ou um octal para decimal, no entanto utilizando a base 16. veja:

EXERCÍCIOS:
a) 8A7(16) = ?(10) b) AF1(16) = ?(10)
c) 8B5(16) = ?(10) d) FB(16) = ?(10)
e) 1C0A(16) = ?(10) f) 3FF(16) = ?(10)
g) 1BC4(16) = ?(10) h) F2A(16) = ?(10)

~ 16 ~


Conversão de Decimal para Hexadecimal
Para converter um número de decimal para hexadecimal, uma das formas é
dividir o número sucessivamente por 16. O número hexadecimal corresponderá ao
último resultado da divisão e todos os restos, como veremos no exemplo:

Exemplo 2:

~ 17 ~


EXERCÍCIOS:
Converta para hexadecimal
a) 1798(10) = ?(16) b) 645(10) = ?(16)
c) 54(10) = ?(16) d) 328(10) = ?(16)
e) 618(10) = ?(16) f) 37(10) = ?(16)
g) 174(10) = ?(16) h) 194(10) = ?(16)

Conversão de Binário para Octal

EXERCÍCIOS:
Converta para Octal
a) 10011011(2) = ?(8) b) 010011(2) = ?(8)
c) 1011110110(2) = ?(8) d) 1010101001(2) = ?(8)
e) 1111111111(2) = ?(8) f) 01011(2) = ?(8)
g) 1001101(2) = ?(8) h) 11001(2) = ?(8)

Conversão de Binário para Hexadecimal

~ 18 ~


EXERCÍCIOS:
Converta para Hexadecimal
a) 10011011(2) = ?(16) b) 010011(2) = ?(16)
c) 1011110110(2) = ?(16) d) 1010101001(2) = ?(16)
e) 1111111111(2) = ?(16) f) 01011(2) = ?(16)
g) 1001101(2) = ?(16) h) 11001(2) = ?(16)

Conversão de Octal para Binário

EXERCÍCIOS:
Converta para Binário
a) 4571(8) = ?(2) b) 701(8) = ?(2)
c) 512(8) = ?(2) d) 202(8) = ?(2)
e) 453(8) = ?(2) f) 645(8) = ?(2)
g) 4034(8) = ?(2) h) 10101(8) = ?(2)

~ 19 ~


Conversão de Hexadecimal para Binário

EXERCÍCIOS:
Converta para Binário
a) 8A9(16) = ?(2) b) A051(16) = ?(2)
c) 3B5(16) = ?(2) d) FA2(16) = ?(2)
e) 9A23(16) = ?(2) f) AF5(16) = ?(2)
g) 1B2F4(16) = ?(2) h) A23(16) = ?(2)

Resumo das transformações entre bases:

~ 20 ~


EXERCÍCIOS:

1. Se você tivesse que converter um número octal em hexadecimal, como
você faria? Descreva. Há outra forma de fazer a conversão? Qual a mais
fácil na sua opinião?
2. Dado o No “010”, diga: Em qual base o No está representado? Explique o
por quê?
3. Dado o número octal 36724: Quanto vale o número 7?

Operações Aritméticas
As operações aritméticas em sistemas digitais são geralmente feitas em
binário. Sabe-se que projetar circuitos lógicos para aritmética binária é bem mais
fácil do que para aritmética decimal.
A aritmética binária é realizada de forma semelhante à aritmética decimal.

• Adição (operação decimal)
– A adição no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma
que uma adição no sistema decimal.
– Vamos realizar uma adição na base 10 e posteriormente outra na base
2.
– Seja a operação:

– Somamos por colunas à partir da direita, temos 8+5=13,
como a soma excedeu o maior dígito disponível, usamos a
regra do transporte para a próxima coluna.
– Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”.
– Este transporte “vai um” é computado na soma da
próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente
usamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um” abrindo
uma nova coluna que é 0+0+1=1.
– Obtemos desta forma o resultado 103.

• Adição (operação binária)

A única operação aritmética que o computador mais complexo ou a
máquina de calcular mais simples sabem resolver é a adição. Qualquer outra
operação matemática é resolvida à custa da adição:

• Para subtrair adiciona-se a soma do simétrico
• Para multiplicar fazem-se adições sucessivas
• Para as restantes operações utilizam-se outros algoritmos baseados na
adição

~ 21 ~


Uma operação de adição no sistema binário reduz-se à resolução de cinco
reduz se
simples operações:

Exemplo:

Outros exemplos:

~ 22 ~


EXERCÍCIOS:
Faça as operações:
a) 10101101 + 10101
b) 10010101+101101
c) 10101110+10111010
d) 11001101+10101010

• Subtração (operação decimal)

A subtração no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma
que uma subtração no sistema decimal.

– Subtraímos por colunas à partir da direita, temos 3 – 6 = ?,
como não dá para tirar 6 de 3, “pedimos emprestado” para
próxima casa a esquerda. Tiramos 1 do 2 e somamos 10 ao
3. Assim 13 – 6 = 7
– Somamos 10 ao 3 pois esta é a base em que estamos
trabalhando e cada ponto na casa a esquerda vale 10 na
direita.
– Na próxima conta temos 1 – 7 = ? (não é mais dois pois
emprestou 1 ao 3). Como não dá p tirar 7 de 1 “pedimos
emprestado” a próxima casa a esquerda. Subtraímos 1 do 7
e somamos 10 ao 1. Assim 11 – 7 = 4
– A última etapa é a do 6 – 1 = 5
– Obtemos desta forma o resultado 547.

Uma operação de subtração no sistema binário reduz-se à resolução de
quatro simples operações:

Exemplos:

~ 23 ~


EXERCÍCIOS:
Faça as operações:
a) 10101101 – 1010
b) 1110011 – 01010010
c) 11100011 – 00110101
d) 01101100 – 01001100

TÉCNICA COMPLEMENTO DE DOIS

A implementação do algoritmo da subtração em computadores é complexa,
requerendo vários testes, assim, em computadores a subtração em binário é feita
por um artifício. O método utilizado é o "Método do Complemento de dois". O
Método Os
computadores encontram o complemento de dois de um número através de um
algoritmo que pode ser assim descrito abaixo:

• inverta subtraendo na subtração (todo 1 vira zero, todo zero vira um)
• some 1 ao número em complemento
• some as parcelas (na subtração, some o minuendo ao subtraendo)
• se a soma em complemento acarretar "vai-um" ao resultado, ignore o
"vai um"
transporte final)

Como exemplo, vamos usar o algoritmo acima na subtração 1101 - 1100 = 0001.

mantém o minuendo 1101
inverte o subtraendo 0011
soma 1 ao subtraendo 0100
soma o minuendo com o complemento-2 do subtraendo
complemento 10001
0001
ignora o "vai-um" 0001 Resposta

mantém o minuendo 101110
inverte o subtraendo 111010
soma 1 ao subtraendo 111011
soma o minuendo com o complemento-2 do subtraendo
complemento 1101001
101001
ignora o "vai-um" 101001Resposta
101001

~ 24 ~


EXERCÍCIOS:
Faça as operações utilizando a algoritmo do complemento de 2:
a) 10101101 – 1010
b) 1110011 – 01010010
c) 11100011 – 00110101
d) 01101100 – 01001100

Funções e Portas Lógicas
Em 1854 o matemático inglês George Boole apresentou um sistema
matemático de análise lógica conhecido como álgebra de Boole.
Somente em 1938, um engenheiro americano utilizou as teorias da álgebra
de Boole para a solução de problemas de circuitos de telefonia com relés, tendo
publicado um artigo que praticamente introduziu na área tecnológica o campo da
eletrônica digital.
Os sistemas digitais são formados por circuitos lógicos denominados de
portas lógicas que, utilizados de forma conveniente, podem implementar todas as
expressões geradas pela álgebra de Boole.
Existem três portas básicas (E, OU e NÃO) que podem ser conectadas de
várias maneiras, formando sistemas que vão de simples relógios digitais aos
computadores de grande porte.

Função “AND” (E).

A função AND é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais
variáveis booleanas. Sua representação algébrica para duas variáveis é ܵ ൌ ‫, ܤ .ܣ‬
onde se lê: ܵ ൌ ‫.ܤ ݀݊ܽ ܣ‬
Para compreender a função AND da álgebra Booleana, deve-se analisar o
circuito da Figura abaixo, para o qual se adota as seguintes convenções:

• ܿℎܽ‫ ܽݐݎܾ݁ܽ ݁ݒ‬ൌ 0,
• ܿℎܽ‫݂ܿ݁ ݁ݒ‬ℎܽ݀ܽ ൌ 1,
• ݈â݉‫ ܽ݀ܽ݃ܽ݌ܽ ܽ݀ܽ݌‬ൌ 0 e
• ݈â݉‫ ܽݏ݁ܿܽ ܽ݀ܽ݌‬ൌ 1.

A análise da Figura anterior revela que a lâmpada somente acenderá se
ambas as chaves estiverem fechadas e, seguindo a convenção, tem-se: ‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 1,
‫ ܤ ܪܥ‬ൌ 1, resulta em ܵ ൌ 1.
Pode-se, desta forma, escrever todas as possíveis combinações de
operação das chaves na chamada Tabela da Verdade, que é definida como um
mapa onde se depositam todas as possíveis situações com seus respectivos

~ 25 ~


resultados. O número de combinações possíveis é igual a 2ே , onde ܰ é o número
de variáveis de entrada.

Tabela Verdade da função AND
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

A porta lógica AND é um circuito que executa a função AND da álgebra
de Boole, sendo representada, na prática, através do símbolo visto na Figura
abaixo:

“A saída da porta E será 1, somente se todas as entradas A e B forem 1”.

Função “OR” (OU)

A função OR é aquela que executa a soma de duas ou mais variáveis
booleanas. Sua representação algébrica para duas variáveis é ܵ ൌ ‫ ܣ‬൅ ‫ , ܤ‬onde se
lê: ܵ ൌ ‫.ܤ ݎ݋ ܣ‬
Para compreender a função OR da álgebra Booleana, deve-se analisar o
circuito da Figura abaixo, para o qual se adota as seguintes convenções:

• ܿℎܽ‫ ܽݐݎܾ݁ܽ ݁ݒ‬ൌ 0,
• ܿℎܽ‫݂ܿ݁ ݁ݒ‬ℎܽ݀ܽ ൌ 1,
• ݈â݉‫ ܽ݀ܽ݃ܽ݌ܽ ܽ݀ܽ݌‬ൌ 0 e
• ݈â݉‫ ܽݏ݁ܿܽ ܽ݀ܽ݌‬ൌ 1.

O circuito anterior mostra que a lâmpada acende quando qualquer uma das
chaves estiver fechada e permanece apagada se ambas estiverem abertas, ou
seja, ‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 0, ‫ ܤ ܪܥ‬ൌ 0, resulta ݁݉ ܵ ൌ 0.

~ 26 ~


A Fig. abaixo ilustra a porta lógica que executa a função OR da álgebra de
Boole, juntamente com a sua tabela da verdade.

A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

“A saída de uma porta OU será 1 se uma ou mais entradas forem 1”.

Função “NOT” (NÃO)

A função NOT inverte ou complementa o estado da variável de entrada, ou
seja, se a variável estiver em 0, a saída vai para 1, e se estiver em 1 a saída vai
para 0. É representada algebricamente da seguinte forma: ܵ ൌ ‫ ’ܣ‬ou ‫ܣ‬ҧ, onde se
lê: NOT A.
A análise do circuito da Fig. abaixo ajuda a compreender melhor a função
NOT da álgebra Booleana. Será utilizada a mesma convenção dos casos
anteriores.

Observando o circuito da Figura anterior, pode-se concluir que a lâmpada
estará acesa somente se a chave estiver aberta (‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 0, ܵ ൌ 1), quando a
chave fecha, a corrente desvia por ela e a Lâmpada apaga (‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 1, ܵ ൌ 0).
O inversor é o bloco lógico que executa a função NOT. Sua representação
simbólica é vista na Figura abaixo, juntamente com sua tabela da verdade.

A S
0 1
1 0

“A saída de uma porta NOT assume o nível lógico 1 somente quando sua entrada
é 0 e vice-versa”.

~ 27 ~


Função “NAND” (NÃO E)

Esta função é uma composição das funções AND e NOT, ou seja, é a
função AND invertida. Sua representação algébrica é ܵ ൌ (‫ ,)ܤ .ܣ‬onde o traço
തതതതതതതത
indica que ocorrerá uma inversão do produto booleano ‫.ܤ .ܣ‬
O circuito da Figura abaixo esclarece o comportamento da função NAND.
Observa-se que a lâmpada apaga somente quando ambas as chaves são
fechadas, ou seja, ‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 1, ‫ ܤ ܪܥ‬ൌ 1, implica em ܵ ൌ 0.

A Figura abaixo ilustra o circuito que executa a função NAND da álgebra de
Boole, juntamente com sua tabela da verdade.

A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

“Esta função é o inverso da função E, ou seja, a saída será 0 somente quando
todas as entradas forem 1”.

Função “NOR” (NÃO OU)

Analogamente a função NOR é a composição da função OR com a função
NOT, ou seja, é a função OR invertida. É representada algebricamente da
seguinte forma: ܵ ൌ (‫ ܣ‬൅ ‫ ,)ܤ‬onde o traço indica que ocorrerá uma inversão da
തതതതതതതതതത
soma booleana ‫ ܣ‬൅ ‫. ܤ‬

~ 28 ~


Para melhor compreender a função NOR da álgebra de Boole, pode-se
analisar o circuito da Figura abaixo, onde se observa que a lâmpada fica acesa
somente quando as duas chaves estão abertas. Assim, ‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 0, ‫ ܤܪܥ‬ൌ 0,
resulta em ܵ ൌ 1.

A Figura abaixo ilustra o circuito que executa a função NOR da álgebra de
Boole, e sua tabela da verdade.

A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

“Esta função é o inverso da função OU, ou seja, a saída será 0 se uma ou mais
entradas forem 1”.

Função “XOR” (OU EXCLUSIVO)

Esta função apresenta saída com valor 1 quando as variáveis de entrada
forem diferentes entre si. A notação algébrica que representa a função XOR é
‫ , ܤ⨁ܣ‬onde se lê: ‫. ܤ ࡾࡻࢄ ܣ‬
Para entender melhor a função ࢄࡻࡾ, analisa-se o circuito da Figura abaixo.
Na condição em que as chaves ‫ ܣ ܪܥ‬e ‫ ܤ ܪܥ‬estão abertas (e estão fechadas),
não há caminho para a corrente
circular e a lâmpada não acende. A
lâmpada continua apagada quando
as chaves ‫ ܣ ܪܥ‬e ‫ ܤ ܪܥ‬estão
fechadas, pois ‫ ܣ ܪܥ‬e ‫ ܤ ܪܥ‬estão
abertas interrompendo o fluxo de
corrente.
Portanto, pode-se concluir
que este Bloco só terá nível 1 na
saída (lâmpada acesa), quando suas
entradas forem diferentes.

~ 29 ~


A Figura abaixo ilustra o símbolo que representa, na prática, a função XOR
e sua tabela da verdade.

A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

“Nesta função a saída será 1 se as entradas forem diferentes.

A Figura a acima simplesmente simboliza o circuito lógico que executa a
função XOR. O circuito que executa a função é ilustrado abaixo:

Observação importante: ao contrário dos outros blocos lógicos, cada circuito
XOR admite somente 2 variáveis de entrada.

Função “XNOR” (COINCIDÊNCIA)

Esta função, como seu próprio nome diz, apresenta saída com valor 1
quando houver uma coincidência nos valores das variáveis de entrada. A notação
algébrica que representa a função Coincidência é ‫ ܤ ⊙ ܣ‬ou തതതതതതതത, onde se lê:
‫ܤ⊕ܣ‬
‫.ܤ ࡾࡻࡺࢄ ܣ‬
O circuito da Figura abaixo ajuda a compreender a operação da função
ܱܴܺܰ. Quando as chaves ‫ ܣ ܪܥ‬e ‫ ܤ ܪܥ‬estão abertas (e estão fechadas) circula
corrente pela lâmpada e ela estará acesa. Quando ‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 1 e ‫ ܤ ܪܥ‬ൌ 0 não
circula corrente pela lâmpada, o que implica em lâmpada apagada. Na situação
inversa ‫ ܣ ܪܥ‬ൌ 0 e ‫ ܤ ܪܥ‬ൌ 1 ocorre a mesma coisa e a lâmpada não acenderá.

A Figura abaixo ilustra o símbolo que representa, na prática, a função
Coincidência e sua tabela da verdade.

~ 30 ~


A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

A Figura acima simplesmente representa simbolicamente o circuito lógico
que executa a função XNOR. Na verdade, o circuito capaz de realizar esta função
é ilustrado na Figura a abaixo:

Observação importante: Assim como ocorre com o bloco lógico OU
EXCLUSIVO, o circuito COINCIDÊNCIA é definido apenas para 2 variáveis de
entrada.

Composição de um circuito em função de portas lógicas.

~ 31 ~


Resumo:

Tipo Símbolo (Norma ANSI) Função booleana Tabela verdade

ENTRADA SAÍDA
A B A AND B
0 0 0
AND 0 1 0
1 0 0
1 1 1

ENTRADA SAÍDA
A B A OR B
0 0 0
OR 0 1 1
1 0 1
1 1 1

ENTRADA SAÍDA
A NOT A
NOT 0 1
1 0

ENTRADA SAÍDA
A B A NAND B
0 0 1
NAND 0 1 1
1 0 1
1 1 0

ENTRADA SAÍDA
A B A NOR B
0 0 1
NOR 0 1 0
1 0 0
1 1 0

~ 32 ~


ENTRADA SAÍDA
A B A XOR B
0 0 0
XOR 0 1 1
1 0 1
1 1 0

ENTRADA SAÍDA
A B A XNOR B
0 0 1
XNOR 0 1 0
1 0 0
1 1 1

Circuitos lógicos obtidos de expressões booleanas.
Exemplo: (ܽ ൅ ܾ) ⊕ (ܿ · ݀)

Exemplo: തതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ݀)ሿ
ሾ(ܽ . ܾ) ൅ (ܿҧ ൅
ത തതതതതതത
തതതതതത
തതതതതത

~ 33 ~


തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
Exemplo: {ሾ(ܽ . ܾ) ൅ (ܿҧ ൅ ݀)ሿ . ሾ(ܽ ⨁ ܾ) . (݀ . ܿҧ ൅ ܽ ሿ}
ത തതതതതതതതതതത ത തതതതതതതതതതതതതത ത)

Exercícios: Construir o circuito baseando-se na expressão booleana:

a. (‫ )ݍ · ݌‬൅ ‫ݍ ⨁ ݌‬
ത ത

b. ‫݌‬ҧ · തതതതതതതതതത · ‫݌‬
(‫)݌ ⨁ ݍ‬

c. (‫݌‬ҧ ⋅ ‫ ݍ ⨁ )ݎ‬൅ ‫ݎ‬

d. ‫ ݎ ⋅ ݌‬൅ ‫ݎ ⨁ ݍ‬ҧ ൅ ‫݌‬
ത

Expressões booleanas obtidas de circuitos lógicos.
Exemplo:

തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
തതതതതതതതതതത
ሾ(ܽ . ܾ) ൅ (ܿҧ ൅ ݀)ሿ
ത

~ 34 ~


Exercícios: Construir a expressão booleana baseando-se no circuito lógico:

Tabelas da verdade obtidas de expressões booleanas
Podemos obter a tabela verdade aplicando as funções booleanas na sua ordem:

1. Negação
2. E
3. OU

Exemplo: തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
തതതതതതതതതതത
ത
ሾ(ܽ . ܾ) ൅ (ܾ ൅ ܽ)ሿ
ത

ത ത തതതതതതതതതതത
ത (ܽ . ܾ) ൅ തതതതതതതതതതത
ത തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത
ܽ ܾ ܽ
ത ܾ ܽ .ܾ ܾ ൅ ܽ
ത (ܾ ൅ ܽ) ത (ܾ ൅ ܽ) ሾ(ܽ . ܾ) ൅ തതതതതതതതതതതሿ
ത ത
(ܾ ൅ ܽ)
0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0

Tabelas verdades obtidas de circuitos lógicos.
O processo consiste em converter o circuito em expressão e construir a tabela
verdade.

~ 35 ~


Circuitos lógicos obtidos de tabelas da verdade
Minitermos e Maxitermos

Dada uma tabela verdade podemos chegar na expressão do circuito pelo
“e” dos minitermos ou pelo “ou”dos maxitermos:

Um minitermo tem valor F igual a zero e um
maxitermo tem valor F igual a 1

Minitermos:

(‫ ܣ‬൅ ‫ ܤ‬൅ ‫ ܣ( .)ܥ‬൅ ‫ ܤ‬൅ ‫ ’ܣ( .)’ܥ‬൅ ‫ ܤ‬൅ ‫ )’ܥ‬ൌ ‫ܨ‬

Maxitermos:

‫ ’ܥ .ܤ .’ܣ‬൅ ‫ ܥ .ܤ .’ܣ‬൅ ‫ ’ܥ .’ܤ .ܣ‬൅ ‫ ’ܥ .ܤ .ܣ‬൅ ‫ ܥ .ܤ .ܣ‬ൌ ‫ܨ‬
.
Simplificação de expressões

A partir de uma tabela, pode-se obter a sua função pelo do método de
pode se
Lagrange (maxitermos e minitermos . Entretanto, esse método exige que se façam
minitermos).
simplificações na expressão obtida para se atingir a forma simplificada.

Teremos que usar definições de álgebra booleana tais como:

• ܽ·ܽൌ0
ത
• ܽ൅ܽൌ1 ത
• ܽ൅ܽ ൌܽ
• ܽܿ ൅ ܽ݀ ൌ ܽ(ܿ ൅ ݀
݀)
• ܽ·1ൌܽ
• ܽ·ܽൌܽ
• ܽ൅ܽ ൌܽ
• etc

~ 36 ~


Como exemplo, considere a tabela a seguir, e sua respectiva função:

Mapa de Karnaugh

O Mapa de Karnaugh é um diagrama utilizado na minimização de funções
booleanas de uma forma mais fácil. Chamamos esse diagrama de mapa, haja
vista ser um mapeamento biunívoco a partir de uma tabela de verdade da função
mapeamento
que está a ser analisada. Os diagramas foram originalmente criados por Edward
Veitch (1952) e aperfeiçoados pelo engenheiro de telecomunicações Maurice
Karnaugh. Karnaugh utilizou os diagramas para simplificar circuitos utilizados em
simplificar
telefonia.

Construindo o Mapa de Karnaugh para 02 variáveis

Considere a tabela verdade abaixo implementando a função AND:

A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

~ 37 ~



A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1


A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Metodologia de Leitura

1. Todo 1 deve ser lido pelo menos uma vez.
2. Os agrupamentos devem ter potência de 2 (1, 2, 4, 8, 16, ...).
3. O grupo deve ser o maior possível.
4. Deve-se ter o menor número possível de leituras.
5. A leitura corresponde às variáveis que se mantiverem constantes.

~ 38 ~


Exemplo 1:

A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Exemplo 2:

A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Exemplo 3:

A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

Lembrar que a tabela é tridimensional!

~ 39 ~


~ 40 ~


Aplicações de circuitos lógicos: Construção do circuito somador
lógicos:
Vamos lembrar a aritmética de ponto fixo, para a soma de dois bits.
bits.

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 e vai um. Se houver vai um na soma anterior, teremos:
anterior,
1 + 1 + 1 = 1 e vai um.

CIRCUITO MEIO SOMADOR
O circuito meio-somador SOMA DOIS BITS (primeira soma: sem “vai um”).
somador

• Entrada - os dois bits a serem somados - A e B
• Saída - a soma dos bits e o bit de carry out ("vai um") - S e Co

Como descrevemos anteriormente, uma função lógica produz uma e apenas uma
saída. Portanto, sendo duas as saídas, serão necessárias duas funções
diferentes, ou um circuito composto, podendo haver interseção de portas lógicas.
interseção
O processo de construção do circuito conta com:

1. Construir a tabela verdade
2. Forma algébrica
3. Simplificação (não há o que simplificar)

1 - Construção da Tabela:

A B S Co 2 - Forma Algébrica (Usando maxitermos):
0 0 0 0
0 1 1 0 ܵ ൌ ‫ܣ‬ҧ · ‫ ܤ‬൅ ‫ܤ · ܣ‬
ത
1 0 1 0 ‫ ݋ܥ‬ൌ ‫ܤ · ܣ‬
1 1 0 1

3 – Construção do circuito:

~ 41 ~


CIRCUITO SOMADOR COMPLETO (FULL ADDER)

O circuito somador completo SOMA DOIS BITS e o bit de carry in (“vai um”) que
veio da soma anterior.

• Entrada - os dois bits a serem somados e o bit de carry in - A, B e Ci
• Saída - a soma dos bits e o bit de carry out ("vai um") - S e Co

1 - Construção da Tabela:

A B Ci S Co
0 0 0 0 0 2 - Forma Algébrica Função S (Usando maxitermos):
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 ܵ ൌ ‫ܣ‬ҧ · ‫ ݅ܥ · ܤ‬൅ ‫ܣ‬ҧ · ‫ܥ · ܤ‬ଓ ൅ ‫ܥ · ܤ · ܣ‬ଓ ൅ ‫݅ܥ · ܤ · ܣ‬
ത ഥ ത ഥ
Simplificação:
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 ܵ ൌ ‫ܣ( · ݅ܥ‬ҧ · ‫ ܤ‬൅ ‫ )ܤ · ܣ‬൅ ‫ܥ‬ଓ · (‫ܣ‬ҧ · ‫ ܤ‬൅ ‫) ܤ · ܣ‬
ത ഥ ത
1 0 1 0 1 തതതതതതതത ഥ
ܵ ൌ ‫ ) ܤ ⨁ ܣ( · ݅ܥ‬൅ ‫ܥ‬ଓ · (‫)ܤ ⨁ ܣ‬
1 1 0 0 1 ܵ ൌ ‫)ܤ ⨁ ܣ( ⨁ ݅ܥ‬
1 1 1 1 1

Forma Algébrica Função Co (Usando maxitermos):

‫ ݋ܥ‬ൌ ‫ܣ‬ҧ · ‫ ݅ܥ · ܤ‬൅ ‫ ݅ܥ · ܤ · ܣ‬൅ ‫ܥ · ܤ · ܣ‬ଓ ൅ ‫݅ܥ · ܤ · ܣ‬
ത ഥ
Simplificação:

‫ ݋ܥ‬ൌ ‫ܣ( · ݅ܥ‬ҧ · ‫ ܤ‬൅ ‫ ) ܤ · ܣ‬൅ ‫ ݅ܥ( · ܤ · ܣ‬൅ ‫ܥ‬ଓ)
ത ഥ
‫ ݋ܥ‬ൌ ‫ ) ܤ ⨁ ܣ( · ݅ܥ‬൅ ‫ܤ · ܣ‬

3 – Construção do circuito:

~ 42 ~


~ 43 ~

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