Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)

Прикладні задачі На допомогу вчителю математики
1
Творча група вчителів математики Надвірнянщини
ТЕМА 1. ПЛОЩІ
Петрів Дарія Богданівна,
вчитель математики
Надвірнянської ЗОШ І-ІІІ ст. №1
Завдання 1.
Підлога кімнати має квадратну форму. Її довжина 6 м. Скільки квадратних
плиток зі стороною 3×3 дм потрібно, щоб покрити всю підлогу?
Складання алгоритму розв’язку задачі:
1. Переведення в однакові одиниці
вимірювання.
2. Площа кімнати (фігура, формула).
3. Площа плитки (фігура, формула).
4. Кількість плиток.
5. Висновок-відповідь (коментований
розв’язок).
Завдання 2.
Ставок має форму квадрата. Біля його вершин
ростуть дуби так, як показано на схематичному
малюнку. Як збільшити площу ставка, зберігши
його форму? При цьому дуби не повинні опинитися
у воді.
Складання алгоритму розв’язку
задачі:
1. Ілюстрація задачі на папері.
2. Модель на дошці.
3. Добудова учнем на дошці.

2
Завдання 3.
Необхідно обшити фронтон даху металоматеріалом,
площа одного листа якого 1,5 м². Схил даху має довжину 4,5 м,
а висота даху 2,7 м. Скільки металевих листів необхідно
закупити?
Завдання у вигляді гри.
Виступ команди «Теоретики». Презентація «Площі фігур та їх
властивості». Оголошується конкурс «Найуважніший». Той учень, який знайде
помилки в роботі команди «Теоретики» та зможе її доповнити, принесе своїй
команді додаткові бали.
Учні підготували підбірку основних формул та основних понять з даної
теми:
властивості площ;
одиниці вимірювання площі;
площі многокутників.
Виступ команди «Дослідники». Демонстрація своєї роботи – збірника
задач «Практичне застосування обчислення площ фігур у повсякденному житті».
Косарі
Скільки літрів бензину потрібно для
того, щоб скосити прямокутний стадіон
біля нашої школи довжиною 96м і
шириною в 1,5 рази меншою, якщо на
косіння стадіону біля школи №2, площа
якого 4128м2
, витратили 8л бензину?
Результат заокруглити до десятих.
Лісники
Територія лісу на карті масштабу 1:100 000
має форму прямокутника зі сторонами 42мм і
57мм. Визначте площу лісу в гектарах.

3
Столяри
Підлогу кімнати, що має прямокутну
форму розміром 11м×8,8м, потрібно
вистелити паркетом, одна плитка якого має
розмір 5см×25см. Скільки потрібно плиток
паркету, якщо на припасування і прирізку
витрачається 3% від загальної площі?
Маляри
Витрати емалевої фарби ПФ-115 на
одношарове покриття становить 180г на 1м2
. Чи
вистачить 9кг емалі, щоб пофарбувати підлогу
класної кімнати розміром 6×9м ?
Склярі
Одне вікно має розміри 1,3×1,1м. Обчисліть,
скільки скла піде для скління 250 таких вікон? На
обріз скла йде 8% його загальної площі.
Штукатури
Необхідно поштукатурити стіну довжиною 8,25м і
висотою 4,32м, що має три вікна розміром 2,2м×1,2м
кожне. Знайти площу поверхні стіни, яку необхідно
поштукатурити .
Бухгалтери
Сад має форму прямокутника зі
сторонами 580м і 376м. Скільки в ньому
яблунь, якщо на кожну яблуню припадає в
середньому 16м2
? Який виторг дав сад після
продажу яблук, якщо з 1га зібрано по 35т
яблук і кожна тонна продана в середньому
по 2500грн?

4
Трактористи
Трактор, рухаючись зі швидкістю
15 км/год, тягне за собою дискову
сівалку з робочою шириною захвату
6м. Скільки гектарів можна засіяти у
такий спосіб за 8-годинний робочий
день?
Дизайнери ландшафту
Прямокутна квіткова клумба займає
площу 216м2
. Уздовж довгих сторін
необхідно прокласти доріжки шириною
2м, уздовж коротких — шириною 3м. Які
мають бути розміри прямокутної ділянки
(клумби разом з доріжкою), щоб площа
доріжок була найменшою?
Частину запропонованих задач групою «Дослідники» ми розв’язуємо на
уроці, решту використовуємо як домашнє завдання.
ТЕМА 2. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ
Жигалюк Ольга Антонівна,
Чорноославської ЗОШ І-ІІІ ст.
Задача1. Поле має форму
паралелограма, основа якого дорівнює
500м, а висота – 180м, через це поле під
прямим кутом до основи проходить
шосе шириною 12м. Визначте величину
посівної площі поля.
Учні складають математичну модель задачі.
1. Знаходимо площу паралелограма ABCD (це є площа всього поля).
B N P C
A M K D

5
2. Знаходимо площу прямокутника MNPK (це площа дороги, що
проходить через поле).
3. Шукана площа – це різниця площ паралелограма і прямокутника.
Розв’язання.
1) 500 · 180 = 90000 (м2
) – площа всього поля.
2) 180 · 12 = 2160 (м2
) – площа дороги, що проходить через поле.
3) 90000 – 2160 = 87840 (м2
) = 8,784 (га) – посівна площа.
Відповідь. 8,784га.
Задача 2. Батько вирішив обкласти кахлем стіну кухні,
довжина якої a = 6м, а висота b = 3м. Чи вистачить йому 5
ящиків кахлю, якщо одна плитка має форму квадрата зі
стороною c = 15см, а в один ящик вміщується 160 плиток?
1) 6 · 3 = 18 (м2
) – площа стіни.
2) 15 · 15 = 225 (см2
) – площа однієї плитки.
3) 225 ·160 = 36000 (см2
) – площа, яку можна обкласти кахлем з одного
ящика.
4) 36000 · 5 = 180000(см2
) – площа, яку можна обкласти кахлем з п’яти
ящиків.
5) 180000см2
= 18м2
.
Відповідь. Вистачить.
Задача 3. Довжина класної кімнати a=9м, а
ширина b=6м. У класі 27 учнів. Яка площа
припадає на одного учня?
S = a ·b
1) 9·6 = 54(м2
) – площа класної кімнати
2) 54 : 27 = 2(м2
) – площа на одного учня
Відповідь. 2м2
.
Задача 4. П’яту частину поля, що має форму трапеції, засіяли гречкою.
Користуючись даними на рисунку, обчисліть, скільки гектарів землі засіяли
гречкою?

6
1) 0,8км = 800м; 0,5км = 500м.
2) S= ·h; S= ·450 = 650 · 450 =
=292500(м2
) = 29,25га – площа поля.
3) 29,25 · = 5,85(га) – засіяно гречкою.
Відповідь. 5,85га.
Задача 5. Знайдіть площу городу прямокутної форми з довжиною a=50м,
якщо людина обходить його за 8хв зі швидкістю 20м/хв.
1) 20м/хв · 8хв =160(м) =P – периметр городу.
2) Р = 2а +2b; а= 50м;
2b = Р–2а = 160 – 2· 50=160 – 100 = 60(м);
b= 60:2 = 30(м).
3) S = а ·b = 50·30 = 1500(м2
) = 15а.
Відповідь.15 арів.
Задача 6. Дві ділянки землі огороджено парканами однакової довжини.
Перша ділянка має форму прямокутника зі сторонами a=240м і b=140м, а друга
має форму квадрата. Площа якої ділянки більша і наскільки?
1) a=240м, b=140м; Р1 = 2(a +b), Р1 = 2· (240+140) = 2 ·380 = 760(м);
2) P1 = P2 ; P2 = 4c; c = P2 : 4 = 760 : 4 = 190(м).
3) S1 = a ·b; S1 = 240·140 = 33600(м2
) = 336а.
4) S2 = а2
, S2 = 1902
= 36100(м2
) = 361а.
5) S2 – S1 = 361 – 336 = 25(а).
Відповідь. Площа ділянки квадратної форми більша на 25 арів.
h=
45
0м
b=0,5км
a=0,8км
c
a
b
c
S1 S2

7
Задача 7. Конусоподібну палатку висотою
3,5м і діаметром основи 4м вкрито тканиною.
Скільки квадратних метрів тканини пішло на
палатку?
Бічна поверхня конуса обчислюється за
формулою: S = πRl = .
Твірну l = MN знайдемо із MON:
l = = = = ≈
≈ 4,03(м).
Обчислимо бічну поверхню: S = 3,14· 4· 4,03 ≈
≈ 25,3(м2
).
Відповідь. ≈ 25,3м2
.
Задача 8. Циліндрична труба діаметром
65см має висоту 18м. Скільки жерсті треба для її
виготовлення, якщо на заклепку іде 10%
матеріалу?
Бічна поверхня циліндра дорівнює: S = πDh,
S = 3,14 · 0,65· 18 ≈ 36,74(м2
).
На заклепку витрачається 10% матеріалу
тобто S1 = 3,674(м2
). Тоді на виготовлення труби
необхідна така кількість жерсті:
S0 = S + S1 ≈ 36,74 + 3,674 ≈ 40,4(м2
).
Відповідь. ≈40,4м2
.
Задача 9. На лугу пасеться корова, прив’язана
до кілка мотузкою, довжина якої дорівнює 10м.
Знайдіть площу ділянки, на якій може пастись
корова.
S = πR2
, S = 3,14 · 102
= 3,14· 100 ≈ 314(м2
).
.
Задача 10. Скільки квадратних метрів тканини потрібно взяти, щоб пошити
спідницю типу «сонце» для дівчинки з обхватом талії 45см? Бажана довжина
спідниці – 30см.
M
NO

8
Оскільки обхват талії дорівнює 45см,
то його діаметр d = 45 : 3,14 = 14,3(см). Тоді
діаметр зовнішнього кола :
D = 30+30+14,3 = 74,3(см).
Якщо припустити, що це сторона
квадрата, з якого потрібно виготовити
відповідний крій, то його площа:
S = 0,7432
≈ 0,6м2
.
Відповідь. 0,6м2
.
ТЕМА 3. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ПРОПОРЦІЮ
Полатайко Рома Василівна,
Вітаміни роблять сильний вплив на ріст, розвиток,
обмін речовин, є ферментами або входять до складу
ферментів.
Виключно важливим є вітамін С. У великих
кількостях він міститься в плодах шипшини, чорної
смородини, в капусті, петрушці та ін. Окрім овочів і
фруктів, багато вітаміну С міститься в хвої сосни,
приблизно в 7 разів більше, ніж в лимонах. Добова
норма вітаміну С становить 0,05 грама.
Задача 1. У 100 грамах чорної смородини міститься
приблизно 250 міліграмів вітаміну С (1мг = 0,001 грама).
Визначте вміст вітаміну С в грамах на 1 кг чорної
смородини. Скільки добових доз вітаміну С для дорослої
людини замінює 1кг чорної смородини?
I. 100 г смородини – 250 мг вітаміну;
1000 г смородини – х мг вітаміну. Звідси:
х = 1000 · 250 : 100;
х = 2500 (мг) = 2,5 (г).

9
II. 1 доза – 0,05 г вітаміну;
у доз – 2,5 г вітаміну. Звідси:
у = 2,5 : 0,05 = 250 : 5 = 50 (доз) – в 1 кг смородини.
Для задоволення добової потреби у вітаміні С треба з'їсти 1000 : 50 = 20 (г)
свіжих ягід чорної смородини.
Встановлено, що ще первісна людина
використовувала капусту як продукт спожи-
вання. За словами Гіппократа, Аристотеля і
Плінія Старшого, античні греки і римляни
вирощували капусту ще за 6 століть до нової
ери. У капусті (свіжій або квашеній) міститься
велика кількість вітаміну С. Поговоримо про квашення капусти.
Задача 2. Капуста при засолці втрачає 20% своєї ваги. Чи досить купити 12
кг свіжої капусти, щоб квашеної капусти
вийшло 10 кг?
12 кг капусти – 100 %;
х кг капусти – 80%. Звідси:
х = 12 · 80 : 100;
х = 9,6 (кг) – вихід квашеної капусти .
Задача 3. Щоб заквасити 3 кг капусти,
необхідно приготувати маринад масою 1155
грамів, в який додають цукор, олію, гірчицю або
брусницю, мариновані кісточкові плоди, моркву
у відношенні 80 : 60 : 1 : 50 : 40. Визначте
скільки грамів кожної речовини додають в
маринад?
Склад маринаду (1155г):
цукор – 80k, олія – 60k, гірчиця (брусниця) – 1k, плоди – 50k, морква – 40k.
80k + 60k + k + 50k + 40k = 1155;
231k = 1155;
k = 1155 : 231;
k = 5 (г) – в одній частині.
Тоді: цукор – 80· 5 = 400(г), олія – 60· 5 = 300(г), гірчиця – 5(г), плоди – 50·5 =
= 250(г), морква – 40· 5 = 200(г).

10
Склянка соку з квашеної капусти,
випитої натщесерце вранці або під час
обіду, підвищує працездатність, покращує
апетит і травлення, допомагає протистояти
простудним захворюванням. Сік особливо
корисний взимку і весною.
Вітамін Е. Потрібний для розвитку м'язів, збільшує довголіття, сприяє
нормальному розвитку плоду в організмі матері. Ним
багаті рослинні масла, зародки злаків, зелені овочі. При
приготуванні овочевих салатів використовуйте не тільки
сметану і майонез, але і олію.
Задача 4. Маса вітаміну С, щодня необхідна людині,
відноситься до маси вітаміну Е, як 4 : 1. Яка добова
потреба у вітаміні Е, якщо вітаміну С ми в день повинні
вживати 60 міліграмів?
Вітамін С: 4х – 60 мг на добу;
вітамін Е: 1х – у мг на добу.
Тоді у = 60 : 4; у = 15 (мг) – вітаміну Е потрібно на добу.
Фруктовий салат. Склад: яблука, банани, ківі,
апельсин, брусниця, йогурт. Цей салат містить вітаміни
А, С, В, які особливо необхідні. Крім того, банани
містять багато калію, а цей елемент дуже важливий для
нормальної роботи серцево-судинної системи. А йогурт,
який входить до складу салату, забезпечить хорошу
діяльність травного тракту.
Вітамін А міститься у вершковому маслі, риб'ячому
жирі, яєчному жовтку, молоці, моркві, помідорах,
абрикосах і ін. При його недостачі діти погано ростуть, у
них порушується формування зубів, волосся, уражаються
дихальні шляхи, шкіра, розвивається "куряча сліпота",
нездатність бачити при слабкому
освітленні.
Вітамін В міститься в пивних дріжджах, в неочищених
зернах злаків, молоці, яєчному жовтку, печінці і ін.

11
Задача 5. Мінімальний необхідний 12-літньому
школяру об'єм молочних продуктів відноситься до
всього об'єму рідини, що випивається за день, як 4 : 21.
Скільки молока, кефіру або ряжанки повинен випивати
шестикласник, якщо всього в день в його раціон
входить 2 л рідини?
Щодня – 2 л рідини.
4х + 21х = 2; 25х = 2; х = 2 : 25; х = 0,08(л) – в одній частині.
Молочні : 4·0,08 = 0,32(л); інша рідина: 21·0,08 = 1,68(л).
Враховуючи інтенсивну швидкість росту в цьому віці, треба розуміти, що
потреба в кальції дуже висока. Дефіцит кальцію веде до порушення формування
кісток і зубів, затримки росту. Молоко можна замінювати кефіром, кефір –
йогуртом.
Вітамін D. У значних кількостях міститься в
риб'ячому жирі, печінці, яєчних жовтках і ін.
Утворюється в шкірі людини під впливом
ультрафіолетових променів. При його недостачі
розвивається рахіт, кістки таких дітей містять
недостатньо кальцію і фосфору, тому скривлюється,
відбувається деформація грудної клітки.
Задача 6. Співвідношення в раціоні маси ковбас і сосисок до маси м'яса і
риби має бути не більше, ніж 2:5. Скільки грамів ковбасних
виробів на тиждень не
пошкодять здоров'ю, якщо
всього за тиждень школяр
з'їдає 2,1 кг м'ясних, рибних і ковбасних
страв?
Всього 2,1 кг страв. Тоді 2х + 5х = 2,1; 7х = 2,1; х = 2,1 : 7; х = 0,3(кг) – в
одній частині.
Ковбасні вироби: 2·0,3 = 0,6(кг) = 600 г; м'ясо і риба: 5·0,3 = 1,5(кг) =1500 г.
Вітаміни руйнуються при тривалому зберіганні і сушці овочів та фруктів, а
також при дії високої температури. Вітамін С руйнується при зіткненні з
повітрям і металом. Тому овочі треба очищати і нарізувати перед самою варкою,
опускати в киплячу воду і варити недовго в закритому посуді. Овочі краще
варити в емальованій каструлі. Овочеві страви потрібно їсти відразу ж після їх

12
приготування. При заморожуванні руйнується значно менше вітамінів. Тому
овочі краще заморожувати, а не сушити.
Задача 7. Щоб замісити тісто, необхідно взяти борошно, молоко, і олію у
відношенні: 8:5:1. Скільки грамів борошна потрібно взяти, щоб вийшло 840 г
тіста?
І спосіб
1) 8+5+1 = 14 (частин) – становить усе тісто.
2) 840: 14 = 60(г) – припадає на одну частину.
3) 60∙8 = 480(г) – потрібно взяти борошна.
ІІ спосіб
Нехай одна частина становить х г. Тоді борошна треба взяти 8х г, молока –
5х г, олії – х г. Маємо: 8х+5х+х = 840; 14х = 840; х = 60.
Отже, борошна потрібно взяти 8∙60 = 480(г).
Відповідь. 480 г.
Задача 8. Для виготовлення сплаву із міді і цин-
ку взяли мідь і цинк у відношенні 5:3. Скільки взяли
кілограмів міді, якщо її було на 12 кг більше ніж
цинку?
Сплав містить 5 частин міді і 3 таких самих частин
цинку. Нехай маса однієї такої частини х кг. Тоді міді взяли 5х кг, а цинку – 3х
кг. Тоді 5х–3х = 12; 2х = 12; х = 6 (кг) – містить одна частина; 5∙6 = 30 (кг) –
вміст міді.
Відповідь. 30 кг.
Задачі для самостійного розв’язування
Задача 9. Щоб засіяти 8га поля, витратили 14 ц зерна.
Скільки потрібно зерна, щоб засіяти 12га поля?
Відповідь: 21 ц зерна.
Задача 10. Сплав складається з 5 частин міді та 8 частин
цинку. Скільки потрібно взяти кілограмів цинку, щоб одержати 520кг сплаву?
Відповідь. 320кг цинку.

13
Задача 11. Для приготування варення беруть сморо-
дину, малину та цукор у відношенні 3:4:5. Скільки кіло-
грамів кожного продукту потрібно взяти, щоб отримати 24
кг готового варення?
Відповідь. 6кг смородини, 8кг малини, 10кг цукру.
Задача 12. Визначити, скільки потрібно взяти цементу, піску й щебеню для
виготовлення 140м3
бетону, якщо за об’ємом вони знаходяться у відношенні
1:2:4?
цементу, 40м3
піску, 80м3
щебеню.
Задача 13. За 5 год. у млині змололи 45 т. борошна. Скільки тонн борошна
можна змолоти за 7 год.?
Відповідь. 63 т борошна.
Задача 14. З 0,5 т руди можна виплавити 0,3 т чавуну. Скільки тонн чавуну
можна виплавити з 3 т руди?
Відповідь. 1,8 т чавуну.
Задача 15. Для виготовлення порцеляни беруть 25
частин глини білої, 2 частини піску і одну частину гіпсу.
Скільки кожного з цих матеріалів треба взяти, щоб
отримати 280 кг суміші, з якої виготовляють порцеляну?
Відповідь. 250кг білої глини, 20кг піску, 10кг гіпсу.
Задача 16. Для приготування салату «Новорічний» потрібно взяти 2 частини
білих консервованих грибів, 2 частини вареного
курячого м’яса, 1 частину консервованого горош-
ку, 1 частину варених яєчних білків,1 частину
ріпчастої цибулі і 3 частини майонезу «Чумак».
Скільки грамів потрібно взяти кожного з
вказаних інгредієнтів, щоб отримати 500г салату?
Відповідь. По 100г грибів і курячого м’яса, по 50г горошку, яєчних білків і
цибулі, 150г майонезу.
Задача 16. Для виготовлення соку беруть 12 частин ягід і 17 частин води.
Скільки ягід їм потрібно взяти, щоб отримати 232 кг соку?
Відповідь: 96 кг.
Задача 17. Для виготовлення царської корони використовували сплав, що
містить 7 частин золота і 5 частин платини. Скільки кожного металу потрібно
взяти, щоб маса корони дорівнювала 2 кг 460 г?
Відповідь. 1 кг 435 г золота, 1кг 25 г платини.

14
Задача 18. Для перевезення вантажу будівельній компанії потрібно 24
автомобілі вантажністю 7,5т. Скільки потрібно автомобілів вантажністю 4,5т,
щоб перевезти той самий вантаж?
Задача 19. Із 30кг свіжих слив отримують 10,5кг сушених. Скільки треба
взяти свіжих слив, щоб отримати 14,7кг сушених слив?
ТЕМА 4. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ
ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ
Путкова Марія Миколаївна,
Делятинської ЗОШ І-ІІІ ступенів №3
Задача 1. Маса тонкого лінійного стержня довжиною
30см в будь-якій точці х визначається за формулою
т(х) = 7х2
– 2х ( г).
Знайти : 1) лінійну густину стержня в точці х =14см;
2) середню лінійну густину стержня.
1) ρ(х) = m΄(х) – лінійна густина стержня , ρ(х) = 14х – 2 (г/см).
Якщо х = 14см , то ρ(14) = 14 14 – 2 = 196 – 2 = 194( г/см).
2) ρ(0 ; 30) – середня лінійна густина стержня.
ρ(0 ; 30) = = = = 208(г/см).
Задача 2. До вертикальної стіни при-
ставлена драбина довжиною а м, яка, ков-
заючи верхнім кінцем по стіні, а нижнім по
землі, падає. Знайти, з якою швидкістю і
прискоренням опускається верхній кінець
драбини в момент часу t с, якщо нижній
кінець відсувається від стіни зі сталою
швидкістю v м/с.

15
Нехай АВ = а м. Якщо за t с нижній кінець
драбини В пройде шлях х= v t м, то верхній кінець в
цей момент буде на висоті у(t) = і пройде
шлях s(t) = a – y(t) = a – .
Якщо и(t) швидкість опускання верхнього кінця,
то и(t) = s΄(t) = (a – y(t))΄= –y΄(t) = – ( )΄=
= .
Якщо – прискорення, то = и΄(t) =
= .
Задача 3. Для озеленення дитячого майданчика виділили ділянку у вигляді
прямокутного трикутника із заданою гіпотенузою с. Визначити, яким має бути
трикутник, щоб на ньому можна було посадити якнайбільше квітів.
За умовою ділянка має мати найбільшу
площу.
Розглянемо Δ АВС – прямокутний, АВ =
= с, СD = h, АD = х, ВD = с – х.
Використаємо , що висота прямокутного
трикутника, проведена з вершини прямого
кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто h =
= . Тоді площа Δ АВС виражатиметься як функція незалежної змінної
х: S = S(x) = ch = c . Функція S(x) набуває найбільшого значення
одночасно з квадратичною функцією f(x) = cx – x2
. Знайдемо похідну f ΄(x) = с –
– 2х, прирівняємо до нуля і бачимо, що х = – єдина точка максимуму, причому
S( ) = . Оскільки S(0)= S(с) = 0, то у точці функція набуває найбільшого зна-
чення. Якщо АD = , то DВ = і h = , тобто Δ АВС
рівнобедрений.
Задача 4. Над центром круглого стола, радіус якого R,
підвішена електрична лампа. На якій висоті вона має
знаходитися, щоб освітленість на краях стола була
D
AB
C

16
найбільшою ?
Розглянемо прямокутний трикутник ОВА,
де О – центр круглого стола, В – лампочка.
ОА = R , ОВ ОА.
Нехай А = , ОВ = х, тоді АВ2
= ОВ2
+
+ ОА2
= х2
+ R2
. Відомо, що освітленість обер-
нено пропорційна квадрату відстані до джерела
світла і прямо пропорційна синусу кута між
променями і площиною, на яку вони падають.
Отже, F = k , де k – коефіцієнт пропор-
ційності.
= = , тому F(х) =
х
. Знаходимо похідну:
F΄(х) = .
Прирівнюємо чисельник до нуля і знаходимо єдину критичну точку R.
Визначаємо знак чисельника похідної і приходимо до висновку, що дана
точка є точкою максимуму. Отже освітленість на краях стола, радіус якого R,
буде найбільшою тоді, коли лампочку підвісити над центром стола на висоті
R.
Задача 5. Човен знаходиться на озері на
відстані 3 км від найближчої точки А берега.
Пасажир човна має намір досягти села В, що
розташоване на березі на відстані 5 км від А
(ділянка AB берега вважається прямолінійною).
Човен рухається зі швидкістю 4 км/год, а пасажир,
вийшовши з човна, може за годину пройти 5 км. До
якого пункту на березі має пристати човен, щоб пасажир прибув у село В за
найкоротший час?
Розв'язання.
S1 = AM, S2 = AB. Нехай шукана точка N.
AN = x, 0 x S2, BN = S2 – x, MN =
= . t1 = = = =
O A
B
A N
3 км
M
Bx км 5 – x км

17
= ; t2 = = = ; t = t1 + t2 = + .
Знайдемо найменше значення функції t(x) на відрізку [0;5], знайшовши
критичну точку, для якої t ΄(x) = 0, і обчисливши значення функції в цій точці:
t ΄(x) = = = 0 при .
Маємо 5x = 4 . Піднесемо до квадрату почленно ліву і праву части-
ни, одержимо: 25x2
= 144 + 16x2
; 9x2
= 144; x2
= 16.
Звідси x = ±4. t(0) = 1,75 с; t(5) = ≈ 1,456 (с); t(4) = 1,45 с.
t ΄(x) 0 на (0;4); t ΄(x) 0 на (4;5). Точка x = 4 є точкою мінімуму
функції. Отже, щоб досягти пункту В у найкоротший час, пасажир має дістатися
берега у точці N, що знаходиться на відстані 4 км від А, або на відстані 1 км від
В.
Відповідь. На відстані 1 км від В.
ТЕМА 5. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ
ПІФАГОРА
Мисюк Галина Дмитрівна,
Надвірнянської ЗОШ І-ІІІ ст. №1;
Івасик Галина Василівна,
Ліснотарновицького НВК;
Пінах Оксана Іванівна,
Задача 1. Знайти висоту будівлі (рис. 1).
Розв’язання.Рис.1

18
АС = = = 12 (м).
Відповідь. 12 м.
Задача 2. Вертикальна щогла підтримується чотирма
канатами, прикріпленими до неї на відстані 12 м від землі і на
відстані 5 м від основи щогли. Скільки метрів мотузки
потрібно, якщо на вузли витратили 10 м (рис.
2)?
Розв’зання.
·4 + 10 = 13·4 + 10 = 52 + 10 = 62 (м)
Задача 3. Задача індійського математика XII ст. Бхаскари.
На березі річки тополя росла,
Та вітру порив її стовбур зламав.
Тополя упала, і стовбур її
Кут прямий з течією річки утворив.
Пам'ятайте, у тому місці ріка
4 фути була шириною.
Верхівка схилилась до краю,
Залишивши 3 фути всього над водою.
Прошу, тепер швидше скажіть мені ви:
Тополя якої була висоти?
(1фут = 0,3м.)
Розглянемо рис. 3: CD = + 3 = 5 + 3 = 8 (футів); CD = 0,3 ∙ 8 =
= 2,4 (м).
Відповідь. 2,4 м.
Задача 4. Святий Миколай пройшов 7 км на
південь, потім 4 км на схід і стільки само на північ. На
яку відстань відійшов Святий Миколай від початкової
точки?
1) 7 – 4 = 3 (км); 2) = = 5 (км).
Рис.2
Рис.4

19
Відповідь. 5 км.
Задача 5. Парк має форму прямокутника. Довжина
однієї з його сторін дорівнює 200 м, а площа — 72 000
м2
. Яка довжина головної алеї парку, що проходить по
його діагоналі (рис. 6)?
Розв’зання.
S = ab; b = = 72000:200 = 360 (м).
AC = = ≈ 411,83 (м).
Відповідь. 411,83 м.
Задача 6. Космонавт під час польоту знаходиться на
відстані 327 км над землею. На якій відстані від корабля
знаходились у цей час найбільш віддалені від нього видимі
ділянки поверхні Землі (рис. 6)? (Радіус Землі ≈ 6400 км.)
АО = АВ+ВО = 327+6400 = 6727 (км).
AD = = ≈ 2071,84 (км).
Відповідь. 2071,84 км.
Задача 7. Діаметр колоди дорівнює 12 см. Чи можна з цієї колоди витесати
квадратний брус із ребром: а) 10 см; б) 8 см?
Розглянемо рис 7.
а) = ≈ 14,14 (см);
б) = ≈ 11,31 (см).
Відповідь. а) Ні; б) так.
Задача 8. Задача Л. Пізанського (XII—XIII ст.).
Дві вежі, одна з яких заввишки 40 футів, а друга — 30 футів, розташовані на
відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що була між ними, одночасно з
кожної вежі злетіли пташки. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли
до криниці одночасно. Знайти відстань від криниці до найближчої вежі (у футах).
Рис.5
Рис.6
Рис.7

20
Розглянемо рис. 8.
ВС=МС, АС = х, СК = 50 – х. Маємо рівняння:
402
+ х2
= (50 – х)2
+ 302
; 100 х = 1800; х = 18.
Отже, АС = 18 футів, СК = 50 – 18 = 32 (фути),
АС = 18∙0,3 = 5,4 (м).
Відповідь. 18 футів (5,4 м).
Задача 9. Стрибок мавпи .
На дереві сиділи дві мавпочки: одна – на
самій верхівці дерева, інша – на висоті 10 ліктів
від землі. Другій мавпочці захотілося напитися
води із джерела, що розміщене на відстані 40
ліктів від дерева. Вона злізла з дерева і
пострибала до води. У той самий час перша
зістрибнула з дерева і потрапила до того самого
джерела. Обидві мавпочки подолали однакову
відстань. З якої висоти стрибнула друга мавпочка
(рис. 9)?
Маємо: ВС+CD = 50 (ліктів) – це відстань, яку подолала друга мавпочка;
AD = 50 ліктів. За теоремою Піфагора маємо:
AC = = = 30(ліктів).
Відповідь. 30 ліктів.
Задача 10. Стародавня арабська задача ХІ ст.
На обох берегах річки ростуть пальми, одна
проти другої. Висота однієї 30 футів, другої – 20
футів. Відстань між їхніми основами – 50 футів.
На верхівці кожної пальми сидить пташка.
Раптом обидві пташки помітили рибу. Вони
кинулися до неї разом і досягли її одночасно. На якій відстані від основи більш
високої пальми з'явилася риба?
Рис.8
Рис.9

21
AB = 30 футів, CD = 20 футів,
BD = 50 футів, AO = CO.
∆ABO і ∆CDO – прямокутні. У
трикутнику АВО: AO = ;
AO = – за теоремою
Піфагора. У трикутнику СDО: OC =
= – за теоремою Піфагора. За умовою задачі дано, що АО = ОС.
Прирівняємо праві частини, причому врахуємо, що OD = 50 – BO. Отримаємо
рівність: = ; 302
+ BO2
= 202
+ (50 – BO2
) ;
100BO = 2000; BO = 20(футів).
Відповідь. 20 футів.
Задача 11. У будинку
задумано побудувати двосхилий
дах (форма в перетині на рисунку).
Якої довжини повинні бути крокви,
якщо виготовлені балки AC = 8м і
АВ=BF .
Трикутник ADC – рівнобедрений, томуAB = DC = 4м, BF = 4м.
Якщо припустити, що FD = 1,5м, тоді з ∆DBC: DC = – за
теоремою Піфагора. Оскільки DB = 2,5 м, то DC = = ≈ 4,72
(м).
З ∆ABF: AF = ; AF = ≈ 5,7(м).
Відповідь. 4,72м; 5,7м.
Задача 12. Ви пливете в човні по озеру і хочете
дізнатись його глибину. Чи можливо для цього
скористатися очеретом, що виглядає із води, не
вириваючи його?
Злегка відхиливши очерет і тримаючи його в
натягнутому стані, заміряємо відстань а між точками А і В, в яких очерет
перетинає поверхню води відповідно у вертикальному і нахиленому положенні.
A
O
C
DB
F
A
B
C
D

22
Повернемо очерет в початковий стан і визначимо висоту b над водою, на яку
підніметься при цьому точка B нахиленого очерету, зайнявши початкове
положення С. Тоді, позначивши через D основу очерету, а через х — шукану
глибину АD, з прямокутного трикутника АВD знаходимо невідомі сторони за
теоремою Піфагора, звідки: x = .
Задача 13. З аеродрому вилетіли одночасно два літаки: один – на захід,
другий – на південь. Через дві години відстань між ними була 2000 км. Знайдіть
швидкості літаків, якщо швидкість
одного становила 75% швидкості
другого.
За теоремою Піфагора:
4v2
+ (0,75v·2)2
= 20002
;
6,2v2
= 20002
;
2,5v = 2000;
v = 800;
0,75v = 0,75·800 = 600.
Відповідь. 800 км/год.; 600 км/год.
Задача 14. Для транспортування матеріалів між двома фабричними будів-
лями споруджено похилий жолоб, кінці якого розміщено на висоті 8м і 3м.
Відстань між будівлями 10м. Обчисліть довжину жолоба.
Задача 15. Висота однієї сосни – 21м, іншої – 28м. Відстань між основами
цих сосен становить 24м. Знайти відстань між верхівками сосен.
Задача 16. Кроквова ферма має крокви АВ
і ВС по 9м і прогін АС завдовжки 14м.
Визначити висоту ферми ВD.
Задача 17. На протилежних берегах річки
стоять двоє стрільців. Зріст одного – 180 см,
другого – 120 см. Ширина річки 500 см. Обидва стрільці одночасно випускають
стрілу з лука, влучаючи в один момент у мішень на поверні води, що лежить на
прямій, яка сполучає ступні стрільців. Знайти довжини шляхів стріл та місце
знаходження мішені.
O
A
B
v
0,75v
B
CA
D

23
Задача 18. Дерево надломилось на висоті 6м і його вершина впала на землю
на відстані 8м від стовбура. Якою була висота дерева?
Задача 19. Металевий стержень довжиною 70 см треба зігнути під прямим
кутом так, щоб відстань між його кінцями дорівнювала 50 см. Де має бути точка
згину?
Задача 20. (Задача з німецького рукописного трактату, складеного в 1
столітті). Драбину завдовжки 13 футів приставили до стіни так, щоб її нижня
частина була віддалена від стіни на 5 футів. На скільки опуститься драбина по
стіні, якщо її основу відсунути ще на 7 футів?
Відповідь. 7 футів.
Задача 21. Ескалатор метрополітену має 170 східців. Яка довжина ескалато-
ра, якщо ширина сходинки 40 см, висота 30 см?
Задача 22. Знайти довжину стропил
черепичного даху, якщо вони розміщені під
прямим кутом, а ширина будинку 10 метрів.
Нехай АВ = ВС = х м. З ∆АВС ( В=90°): АВ2
+ВС2
= АС2
; х2
+х2
= 1000;
2x2
= 100; х2
= 50; х = 5 ≈ 7(м).
Відповідь. 7м.
Задача 23. Будівельна ферма моста має ноги АВ і ВС по 8,5м, проліт
АС=15м. Знайти висоту ферми BD та висоту всіх вертикальних стояків, які ділять
відстань між п'ятами стропильних ніг на 6 рівних частин.
Відповідь. ВD = 4 м, NL = 1 м, MK = 2 м.
A
B
C
D
A C
B
L
K
N M

24
ТЕМА 6. ТРИ ТИПИ ЗАДАЧ НА ВІДСОТКИ. ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ,
ПОВ'ЯЗАНІ ЗІ ЗБІЛЬШЕННЯМ (ЗМЕНШЕННЯМ) ЧИСЛА НА КІЛЬКА
ВІДСОТКІВ.
Юречко Олександра Онуфріївна,
Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком
(процентом). Слово «відсоток» замінюють знаком %, тобто
Наприклад: 1 копійка – один відсоток від гривні, 1 см – один відсоток від
метра, 10 кілограмів – один відсоток від тонни, тобто: 1 коп. = 1% грн., 1 см =
= 1% м, 10 кг = 1% т.
Щоб перетворити десятковий дріб у відсотки, треба його помножити на 100.
Наприклад: 0,45 = 45%; 0,7 = 70%; 2,5 = 250%.
Щоб перетворити відсотки у десятковий дріб, треба число відсотків розділи-
ти на 100.
Наприклад: 20% = 0,2; 58% = 0,58; 1,72% = 0,0172.
Основні задачі на відсотки
I. Знаходження відсотка від даного числа.
Для того, щоб знайти р відсотків від даного числа а, треба:
1) перевести р відсотків у десятковий дріб;
2) помножити число а на одержаний десятковий дріб.
Приклад 1. Знайти 30% від числа 150.
30% = 0,3; 150 · 0,3 = 45.
Відповідь. 45.
Приклад 2. Із свіжих яблук отримали 15% сушених.
Скільки сушених яблук отримають із 260 кг свіжих?
Розв’ язання.
260 = 39 ( кг) – отримали сушених яблук
Відповідь. 39 кг .

25
Приклад 3. За три дні автомобіль проїхав 300 км. За перший день він про-
хав 30% шляху, за другий день – 25% шляху, за третій день – залишок шляху.
Скільки кілометрів проїхав автомобіль за третій день?
1) 300 = 90 (км) – проїхав автомобіль за перший день;
2) 300 = 75 (км) – проїхав автомобіль за другий день;
3) 300 – ( 90 + 75) = 135 ( км) – проїхав автомобіль за третій день.
II. Знаходження числа за його відсотком.
Для того щоб знайти все число за відомою частиною b і числом відповід-
них відсотків р, треба:
1) перевести p відсотків у десятковий дріб;
2) розділити b на одержаний десятковий дріб.
Приклад 4. Знайти число, 15% якого складає 60.
60 : 0,15 = 6000:15 = 400.
Приклад 5. Тракторист перевиконав завдання на
15% і зорав поле площею 230 га. Скільки гектарів за
планом треба було йому зорати ?
1) Нехай 100 % – це план, тоді комбайнер виконав
100% + 15% = 115 % від плану.
2) 230 : = 200 ( га) – треба було зорати за планом.
Відповідь. 200 га .
Приклад 6. Туристи в перший день пройшли 35 % всього маршруту,
другого дня – 40 % всього маршруту, а в третій день – останні 20 км. Яка довжи-
на всього маршруту?
Нехай 100 % - довжина всього маршруту.
1) 35% + 40% = 75% – пройшли туристи за два дні.
2) 100% – 75% = 25 % – пройшли туристи за третій день.

26
3) 20 : = = 20 ( км ) – довжина всього маршруту.
III. Відсоткове відношення двох чисел
Щоб знайти відсоток числа а від числа b, треба частку помножити на
100%.
Приклад 7. Скільки відсотків складає число 0,4 від 25?
Відповідь. 1,6%.
Приклад 8. У класі навчається 25 учнів, серед
яких – 10 хлопців. Скільки відсотків хлопців навчаєть-
ся в цьому класі ?
Кількість хлопців у класі становить ·100% = 0,4 % = 40
Відповідь. 40% .
IV. Збільшення числа a на p% .
Якщо число а збільшити на p%, то одержимо число ).
Приклад 9. Число 250 збільшили на 30 %. Яке число отримали?
250 ) = 250 250
V. Зменшення числа a на p% .
Якщо число а зменшити на p%, то одержимо число ).
Приклад 10. Число 250 зменшили на 30 %. Яке число отримали?
250 ) = 250 250

27
VI. Формула складних відсотків
Якщо А – початковий вклад (капітал), р – річний відсоток, то в кінці п-го
року вклад (капітал) становитиме .
Приклад 11. Яка сума буде на банківському
рахунку в Ольги Романівни через 2 роки, якщо вона
поклала на рахунок 5000 грн. під 13 річних?
5000 = 5000 = 5000 1,2769 = 6 384,5 (грн.).
Відповідь. 6 384,5 грн.
VII. Розв'язування більш складних задач на відсотки.
Задача 12. На заводі 30% усіх верстатів переведено на
підвищені швидкості, унаслідок чого продуктивність праці
зросла на 40%. На скільки відсотків збільшилося вироб-
ництво заводської продукції?
Нехай х – загальний обсяг продукції, що випускав завод раніше. Знайдемо,
на скільки збільшився загальний обсяг продукції: х·0,3·0,4=0,12х.
Знайдемо, на скільки відсотків збільшилося виробництво заводської продук-
ції:
· 100% = 12%.
Відповідь. на 12%.
Задача 13. Перший комбайнер скосив 40 %
пшениці, а другий – 35 % пшениці. Чому дорів-
нює площа скошеної пшениці, якщо перший
скосив на 4 га більше? Скільки гектарів пшениці
скосив кожен комбайнер?
Нехай площа всієї пшениці дорівнює х га. Тоді
перший комбайнер скосить 0,4 х га ( х = 0,4 х), а
другий – 0,35 х га, що на 4 га менше, ніж перший.
Складемо і розв’яжемо рівняння:
0,4 х – 0,35 х = 4 ; 0,05 х = 4; х = 4 : 0,05; х = 80.

28
Тоді площа всієї пшениці дорівнює 80 га. Перший комбайнер скосить
0,4 80 = 32 (га), а другий – 0,35 80 = 28 (га). Всього скошено 32 + 28 = 60(га).
Відповідь. 60 га ; 32 га, 28 га.
VIII. Задачі для самостійного розв’язання
1. Знайти відсоток від числа:
1) 6% від 120 ; 3) 10% від 375 ;
2) 25% від 6,3 ; 4) 50% від 5.
2. На склад завезли 95 т капусти. 20% всієї капусти відправили
в магазин. Скільки тонн капусти залишилось на складі?
3. Із вівса отримують 40% борошна. Скільки борошна отримують із 260т
вівса?
4. Перше число дорівнює 120, друге складає 30 % від першого, третє – 15 % від
другого. Знайти середнє арифметичне цих чисел.
5. Периметр прямокутника 160 см. Знайти сторони прямокутника, якщо одна з
них на 20% менша, ніж друга.
6. Різниця двох чисел дорівнює 72. Знайти ці числа, якщо 4,5 % від одного з
них дорівнює 8,5 % другого.
7. Знайти число, якщо відомо, що :
1) 15 % від нього дорівнює 27; 3) 3% від нього дорівнює 5;
2) 20 % від нього дорівнює 500; 4) 150 % від нього дорівнює 120.
8. Тракторист зорав 3 га поля, що становить 75 % того, що повинен зорати.
Чому дорівнює площа поля, яку планує зорати тракторист?
9. Спочатку з кошика взяли 50 % яблук, а потім – 40 % залишку. Після цього в
кошику залишилось 3 яблука. Скільки яблук було в кошику ?
10. Свіжі гриби містять 90 % води, а сушені – 12 % води. Скільки сушених
грибів отримають із 20 кг свіжих ?
11. Скільки відсотків число 18 становить від числа 120 ?
12. За два дні турист пройшов 30 км. За перший день він пройшов 24 км. Скільки
відсотків шляху йому залишилось пройти ?
13. За планом робітник повинен був виготовити 200 деталей, а він виготовив
220 деталей. На скільки відсотків він виконав план ? На скільки відсотків він
перевиконав план?
14. Сторони прямокутника 30см і 40см. Кожну із сторін збільшили на 20 %. На
скільки відсотків збільшилась площа прямокутника?
15. На скільки відсотків збільшилась площа квадрата, якщо його периметр
збільшився на 10%?

29
16. Вартість деякого товару спочатку знизили на 20%, а потім підвищили на 10%.
Як змінилась вартість товару порівняно з початковою?
17. Ольга Романівна взяла в „Ощадбанку” гроші у сумі
2000 грн під 14% річних. Розрахувати, яку суму
сплатить вона банку через 2 роки?
18. Страховий внесок під час страхування майна від
нещасного випадку склав 8 % від страхової суми. На
яку суму застраховано майно, якщо було внесено
4000 грн.?
ТЕМА 7. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ
РІВНЯНЬ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Дикан Тетяна Михайлівна,
Петруняк Іван Михайлович,
вчителі математики
Ланчинської ЗОШ І-ІІІ ст.
У підручниках з математики задачі на рух
представлені у всіх розділах, пов'язаних з розглядом
рівнянь та їх систем. У 8 класі розглядаються задачі
типу зустрічний рух:
1) Якщо два тіла рухаються назустріч одне одному
з двох пунктів, то до зустрічі вони разом проходять
усю відстань між цими пунктами;
2) при одночасному виході тіл з двох пунктів час
їх руху до моменту зустрічі однаковий для обох тіл;
3) за одиницю часу рухомі тіла зближаються на
відстань, що дорівнює сумі їх швидкостей (з розрахунку на цю саму одиницю
часу).
Рух в одному напрямку:
1) Одне рухоме тіло може догнати друге лише тоді, коли швидкість його
більша за швидкість тіла, яке рухається попереду;
2) якщо два тіла, відокремлені певною
відстанню, рухаються в одному напрямку, ця
відстань з кожною годиною (хвилиною, секундою)

30
зменшується і перетворюється в нуль, коли тіло з більшою швидкістю доганяє
тіло, яке має меншу швидкість; зменшення відстані між тілами за одиницю часу
дорівнює різниці швидкостей тіл;
3) при одночасному виході з одного й того самого пункту й рухові в одному
напрямку тіл, що мають неоднакову швидкість, відстань між ними з кожною
годиною (хвилиною, секундою) збільшується; збільшення відстані між рухомими
тілами за одиницю часу дорівнює різниці їх швидкостей;
4) одне тіло дожене або випередить друге за стільки годин (хвилин, секунд),
скільки разів різниця між швидкостями цих тіл міститься у відстані, що їх
розділяє.
Ці залежності стануть зрозумілішими учням, якщо вдатися до графічних
ілюстрацій, які виготовляють самі школярі з допомогою вчителя.
Задача1. За течією річки моторний човен пройшов за 7 годин таку відстань,
яку він проходив за 8 годин, рухаючись
проти течії. Знайти швидкість течії річки,
якщо швидкість катера в стоячій воді
дорівнює 30 км/год.
Скласти рівняння до задачі не так і
складно. Позначимо швидкість течії
через х, швидкість човна дорівнює 30 км/год. Можна скласти рівняння з умови:
(30+х) · 7 = (30 – х) · 8.
Відповідь. Швидкість течії річки 2 км/год.
Задача 2. Теплохід пройшов за течією
річки 150 км і повернувся назад, витративши
на весь шлях 5,5 години. Знайдіть швидкість
течії річки, якщо швидкість теплохода в
стоячій воді 55 км/год.
Припустимо, що х(км/год) – швидкість
течії річки. Складемо таблицю руху
теплохода за течією і проти течії:

31
Рух За течією Проти течії
Відстань (км) 150 150
Швидкість (км/год) (55+x) (55–x)
Час (год)
Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі
швидкістю (55 + х) км/год і пройшов 150 км за год.; проти течії рухався зі
швидкістю( 55 – х) км/год і пройшов 150 км за год. Складаємо рівняння:
= 5,5.
Задача 3. На шлях із села до міста, що дорівнює 10 км, один мотоцикліст
витрачає на 20 хв більше, ніж другий, оскільки його
швидкість на 10 км/год менша від швидкості другого.
Знайдіть швидкість руху кожного мотоцикліста.
Нехай швидкість одного мотоцикліста х км/год,
тоді швидкість другого – (х+10) км/год. 10 км перший
мотоцикліст проїзжає за год, а другий за год, що на 2 хв = год швидше,
ніж перший.
Маємо рівняння: .
Врахувавши, що х ≠ 0, х ≠ –10, розв’яжемо квадратне рівняння:
x2
+ 10x – 3000 = 0.
З одержаних коренів х1 = –60; х2 = 50 умову задачі задовольняє корінь 50.
Отже, швидкість першого мотоцикліста 50 км/год, а другого 60 км/год.
Відповідь. 50 км/год, 60 км/год.
Задача 4. Мотоцикліст затримався біля
шлагбаума на 24 хв. Збільшивши після цього свою
швидкість на 10 км/год, він надолужив спізнення на
перегоні 80 км. Визначити швидкість мотоцикліста
до затримки (в км за год).

32
Позначимо початкову швидкість мотоцикліста через v, а час, за який він мав
проїхати, через t. Маємо два невідомих, отже, рівнянь повинно теж бути 2. Згідно
умови, за цей час він мав проїхати 80 км:
vt =80 (км).
Затримався означає, що час зменшився на 24 хв. Також, варто зауважити, що
в подібних задачах час потрібно переводити в години або хвилини (залежно від
умови) і тоді розв'язувати. Складаємо рівняння руху з врахуванням меншого часу
та більшої швидкості : (v + 10)(t – ) = 80.
Маємо два рівняння для визначення часу та швидкості. Оскільки в задачі
питають за швидкість, то виразимо час з першого рівняння та підставимо у друге:
t = ; ( v +10)( – ) = 80;
v1 = –50; v2 = 40.
Перше значення відкидаємо, воно не має фізичного змісту. Друге v = 40
км/год є шуканою швидкістю мотоцикліста.
Відповідь. 40 км/год.
Задача 5. Водій автомобіля зупинився для заміни колеса на 12 хв. Після
цього, збільшивши швидкість руху на 15 км/год, він
надолужив витрачений час на відстані 60 км. З якою
швидкістю (в км/год) він рухався після зупинки?
Алгоритм розв'язування задачі такий, як у попередніх задачах. Стандартно
позначаємо швидкість і час через v і t. При складанні рівняння не забувайте
перевести хвилини в години. Система рівнянь матиме вигляд:
;
Дане рівняння можна звести до квадратного рівняння v2
+ 15v – 4500 = 0.
Розв'язавши квадратне рівняння, отримаємо наступні значення швидкостей:
v1 = 60; v2 = –75. Швидкість від'ємною не буває, тому єдина правильна відпо-
відь v = 60 км/год.

33
Задача 6. Перший велосипедист щохвилини проїжджає на 50 м менше ніж
другий, тому на шлях120 км він витрачає на 2 години більше, ніж другий. Знайти
швидкість другого велосипедиста (в км за годину).
У фразі "Проїжджає щохвилини на 50 метрів
менше" захована швидкість 50 м/хв. Оскільки решта
даних в км та годинах, то 50 м/хв. приводимо до
км/год: 50:1000·60 = 3000:1000 = 3 (км/год).
Позначимо швидкість другого велосипедиста через х (км/год), тоді час ру-ху
год. Перший велосипедист їде повільніше, тому і довше. Його швидкість (х–
3) км/год, час руху год. Складаємо відповідне рівняння руху:
– = 2; х1 = 15 км/год., х2 = –12 км/год.
Другий розв’язок відкидаємо, він не має фізичного змісту.
Задача7. З Умані до Києва вирушила поштова вантажівка. Через 30 хв після
цього з Умані за нею виїхав мотоцикліст зі швидкістю 50 км/год, наздогнав
вантажівку, передав додаткову пошту та повер-
нувся назад до Умані в той же час, що й ванта-
жівка прибула до Києва. Визначити, з якою
швидкістю рухалась вантажівка, якщо відстань
між містами становить 180 км.
Нехай х км/год – швидкість поштової ванта-
жівки, а у км – відстань від Києва до того місця, де
мотоцикліст наздогнав вантажівку. Тоді шлях від
Умані до цього місця дорівнює (180 – у) км. Цю
відстань вантажівка проїде за год, а мотоцик-
ліст – за год, що на 30 хв. = год менше, ніж час, який витратила
вантажівка. Решту шляху у км вантажівка проїде за год, за цей же час мото-
цикліст проїде шлях (180 – у) км. Отже, = . Маємо систему рівнянь:

34
.
Задача 8. По колу, довжина якого 900 м, ру-
хаються два тіла в одному напрямку. Через
кожні 30 хв вони зустрічаються. Визначити
швидкість (в м/хв) другого тіла, якщо швидкість
першого у 1,5 раза більша, ніж швидкість другого.
Завдання на рух по колу вимагає особливої
уваги і уявлення, як все може відбуватися. Вся суть задачі лежить у фразі «Через
кожні 30 хвилин вони зустрічаються», це означає, що швидке тіло з моменту
зустрічі проходить повне коло (900 метрів) і частину другого кола, повільне лише
частину кола до зустрічі з першим тілом. Потрібно знайти швидкість повільного
тіла, тому її і позначаємо через невідому х.
Складаємо рівняння до задачі: 1,5· х ·30 – 900 = х · 30. Воно означає, що
за 30хв перше тіло проходить на 900 м більше ніж друге. Одночасно рівняння
містить лише одне невідоме, що спрощує його розв’язування.
(45 – 30) · х = 900;
х = 900:15 = 60 (м/хв).
Відповідь. 60 м/хв.
Задача 9. Довжина кола переднього колеса воза дорівнює 2 метри, а зад-
нього – 3 метри. Через скільки метрів шляху
переднє колесо зробить на 1 оберт більше, ніж
заднє?
Складемо математичну модель до задачі.
Нехай переднє колесо зробить на 1 оберт
більше, ніж заднє, через х метрів. На цьому
шляху переднє колесо зробить обертів, а

35
заднє обертів. Маємо рівняння: . На основі умови x > 0 з рівняння
одержуємо, що х = 6.
Відповідь. Через 6 метрів.
Задача10. Переднє колесо трактора робить на відстані 6 м на 2 оберти
більше, ніж заднє. Знайти обвід кожного колеса,
якщо обвід заднього колеса на 1,5 м більший за обвід
переднього колеса.
Складемо математичну модель до задачі –
квадратне рівняння.
Нехай обвід переднього колеса дорівнює х м, а
обвід заднього (х+1,5)м. Переднє колесо на відстані 6 м робить обертів, а заднє
обертів.
Звідси: ; 2x2
+ 3x – 9 = 0.
Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо корені х1 = 1,5; х2 = –3.
Відкинувши від’ємний результат, маємо, що обвід переднього колеса дорівнює
1,5 м, а обвід заднього 3 м.
Відповідь. 1,5 м; 3 м.
Задача11. Дві бригади мали прокласти по 40 м кабелю. Одна з них
щогодини прокладала на 2 метри більше за другу і
закінчила на 1 годину раніше від неї. Скільки
метрів кабелю прокладала щогодини кожна
бригада?
Нехай перша бригада прокладала щогодини
х м кабелю, а друга – (х+2) м. 40 м кабелю перша
бригада прокладала за год, а друга – за год, що на 1 годину раніше.
Одержали рівняння .
При умові, що х ≠ 0, х ≠ –2, розв’яжемо квадратне рівняння x2
+ 2x – 80 = 0,
корені якого x1 = –10; x2 = 8.
Отже, перша бригада прокладала по 8 м кабелю, а друга – по 10м.
Відповідь. 8 м, 10 м.

36
Задача 12. Два процесори ЕОМ, працюючи разом,
обробляють дані за 8 секунд. Перший з них, працюючи сам,
може виконати всю роботу на 12 секунд швидше, ніж
другий, якщо той працюватиме окремо. За скільки секунд
виконає цю роботу другий процесор ЕОМ, працюючи сам?
Всю роботу приймаємо за 1. Нехай другий процесор виконує роботу за х
секунд, тоді перший – за (х – 12) секунд. За одну секунду другий процесор вико-
нує частину роботи, а перший – частину роботи.
Складаємо рівняння: · 8 = 1.
Після зведення до спільного знаменника і групування доданків отримаємо
квадратне рівняння х2
– 28х + 96 = 0. Його розв'язками є значення х1 = 4;
х2 = 24. Перший відкидаємо, він суперечить умові задачі. Отже, другий
процесор ЕОМ виконає роботу за 24 секунди.
Відповідь. 24 с.
Задача 13. Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання
за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо,
якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?
Відповідь. Першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.
Задача 14. Два маляри, працюючи разом, можуть пофарбувати фасад
будинку за 6 год. За скільки годин може виконати цю
роботу кожен з них, працюючи окремо, якщо одному
для цього потрібно на 5 год менше, ніж другому?
Нехай один маляр може пофарбувати фасад
будинку за х год, а другий – за (х+5) год. Продук-
тивність першого , а другого – . Працюючи разом,
обидва маляри можуть виконати всю роботу за 6 год. Складемо математичну
модель до задачі – рівняння:
.
Врахувавши, що х ≠ 0, х ≠ –5, розв’яжемо квадратне рівняння:
x2
– 7x – 30 = 0, де х1 = 10; х2 = –3. Умову задачі задовольняє корінь х = 10.

37
Отже, перший маляр може виконати роботу за 10 год, а другий – за 15год.
Відповідь. 10 год, 15 год.
Задача 15. Одна машина працювала на
розчищенні ковзанки 25 хв, а потім її замінила
друга машина, яка закінчила розчищення за 16 хв.
За скільки часу може розчистити ковзанку кожна
машина, працюючи самостійно, якщо першій для
цього потрібно на 9 хв більше, ніж другій?
Нехай перша машина може розчистити ковзанку самостійно за х хв, тоді
другій для цього потрібно (х - 9) хв. За 1 хв перша машина розчищає частину
ковзанки, а друга – . За 25 хв перша машина розчистила частин ковзанки, а
друга за 16 хв – частин.
Розв’яжемо рівняння: ; ОДЗ: х ≠ 0, 4х ≠ 9.
25x – 225 + 16x = x2
– 9x; x2
– 50x + 225 = 0; x1 = 45; x2 = 5.
Корінь х = 5 не задовольняє умову задачі, оскільки при х = 5 маємо
x – 9 = 5 – 9 < 0.
Отже, першій машині для самостійного очищення ковзанки потрібно 45хв, а
другій – 36 хв.
Відповідь. 45 хв, 36 хв.
Задача 16. Одна майстерня отримала замовлення на пошиття 810 костюмів,
а друга майстерня – на пошиття 900 костюмів.
Скільки костюмів щоденно шила перша майстерня,
якщо друга шила щодня на 4 костюми більше, ніж
перша, і виконала замовлення на 3 дні раніше, ніж
перша?
Нехай перша майстерня шила щодня х костюмів, а друга – (х+4) костюми.
Перша майстерня виконала замовлення за днів, а друга – за дні. За
умовою задачі .
При умові, що х ≠ 0, х ≠ –4, розв’яжемо квадратне рівняння:
x2
+ 34x – 1080 = 0.
З двох одержаних коренів умову задачі задовольняє корінь х = 20.

38
Отже, перша майстерня шила щодня 20 костюмів.
Відповідь. 20 костюмів.
Задача 17. Один кіоск за місяць продав 3600
порцій морозива, а другий – 3750 порцій. Скільки
порцій морозива продавав кожен кіоск щодня, якщо
другий кіоск за день продавав на 30 порцій більше,
а працював на 5 днів менше, ніж перший кіоск.
Складемо таблицю до задачі та сформуємо систему з двох рівнянь, виходячи
з умови задачі та використовуючи дві змінні х та у.
Кіоск Продали за місяць Продавали щодня Продавали днів
І 3600 х у
ІІ 3750 х+30 у–5
.
Розв’язавши квадратне рівняння y2
– 10y – 600 = 0, одержимо додатній
корінь у = 30.
Отже, перший кіоск працював 30 днів і продавав щодня по 120 порцій
морозива, а другий кіоск працював 25 днів і продавав по 150 порцій морозива.
Відповідь. 120 порцій, 150 порцій.
Задача 18. Кілька учнів поділили порівну між собою 120 горіхів. Якби
учнів було на 2 більше, то кожний з них
отримав би на 2 горіхи менше. Скільки було
учнів?
Нехай учнів було х, кожен отримав
горіхів. Якби учнів було (х+2), то кожен
отримав би горіхи, що на 2 менше.
Одержали рівняння . При х ≠ 0, х ≠ –2 квадратне рівняння
x2
+ 2x – 120 = 0 має корені x1 = 10; x2 = –12. Умову задачі задовольняє корінь
x = 10.
Відповідь. 10 учнів.

39
Задача 19. Випускники школи вирішили обмінятися між собою світлинами
на пам’ять. Скільки було випускників, якщо всіх світлин виявилося 240?
Розв’язування задачі зводиться до квадратного рівняння x(x – 1) = 240,
тобто x2
– x – 240 = 0, де змінною х позначено кількість випускників.
Відповідь. 16 випускників.
Задача 20. У футбольному турнірі зіграно 480 матчів, причому кожна
команда грала з усіма іншими на своєму та на
чужому полі по одному разу. Скільки всього
футбольних команд брало участь у турнірі?
Нехай х – кількість футбольних команд. Тоді
загальна кількість матчів дорівнює 2х(х – 1).
Маємо рівняння: 2х(х –1) = 480; х2
– х – 240 = 0; х = 16.
Відповідь. 16 команд.
Задача 21. Знайти довжину сторін прямокутника,
периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см2
.
Півпериметр прямокутника дорівнює 21 см.
Отже, якщо одна з його сторін має х см, то друга (21 – х) см. Площа прямо-
кутника дорівнює добутку цих довжин: х(21 – х) = 108, або х2
– 21х+108 = 0.
Розв’яжемо це рівняння: D = 212
– 4 · 108 = 9; х1,2 = ; х1 = 9, х2 = 12.
Якщо х = 9, то 21 – х = 12; якщо х = 12, то 21 – х = 9.
Відповідь. 9 см, 12 см.
Задача 22. З прямокутного аркуша картону довжиною 80 см та шириною 70
см необхідно склеїти коробку об'ємом 0,03 м3
. Для цього за рисунком потрібно
по кутках картону вирізати квадрати. Якої довжини повинні бути сторони цих
квадратів?

40
Нехай довжина сто-
рони квадрата, що
потрібно вирізати,
дорівнює х см, тоді
розміри коробки
після вирізання та
складання становити-
муть: (80 – х) см, (70 – х) см та х см (висота коробки).
Оскільки 0,03 м3
= 30 000 см3
, то маємо рівняння:
(80 – х) (70 – х) х = 30000; х3
– 75х2
+ 1400х –7500 = 0; (х – 10)(х2
– 65х + 750) = 0;
х1 = 10, х2 = 15, х3 = 50.
х = 50 не задовольняє умову задачі.
Відповідь. 10 см або 15 см.
Задача 23. Для годівлі 8 коней і 15 корів відпускали
щоденно 162 кг сіна. Скільки сіна щоденно видавали коню і
корові, якщо 5 коней з’їдали щоденно сіна на 3 кг більше, ніж
7 корів?
Складаємо математичну модель до задачі.
Нехай для одного коня потрібно х кг сіна щоден-
но, а для однієї корови – у кг сіна щоденно.
Маємо систему:
.
Розв’язавши систему, одержуємо відповідні значення обох змінних.
131y = 786; y = 6. Тоді 5x – 7 · 6 = 3; x = 45: 5; x = 9
Відповідь. Корові видавали щодня 6 кг сіна, коню – 9 кг сіна.
Задача 24. З двох розчинів солі – 10%-го і 15%-го – треба утворити
40 г 12%-го розчину. Скільки грамів
треба взяти 10%-го розчину?
Нехай треба взяти х грамів
першого розчину та у грамів другого
x
x

41
розчину. Маса солі у першому та другому розчинах відповідно рівна (г) та
(г) . Маса солі у суміші (г). Складемо систему двох рівнянь з двома
змінними:
.
Відповідь. Потрібно взяти 24 грами 10%-го розчину.
Задача 25. Ціну книжки знижували 2 рази на одне і те ж саме число від-
сотків, внаслідок чого вона становила 64% від початкової. На скільки відсотків
знизили ціну?
Нехай кожного разу ціна
книжки зменшувалася на х
відсотків. Тоді після першого зни-
ження вона становила (100 – х)%, а
після другого
, що за умовою
дорівнює 64 відсотки.
Складемо рівняння:
.
Розв’яжемо його: (100 – x)2
= 6400; 100 – x = ±80.
Розглянемо два випадки: 1) 100 – x = 80; x1 = 20;
2) 100 – x = –80; x2 = 180.
Другий корінь не задовольняє умову задачі.
Відповідь. На 20%.

Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)

Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)

Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances(20)

Similaire à Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)

Similaire à Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)(20)

Plus de Надвірнянський інформаційно - методичний центр

Plus de Надвірнянський інформаційно - методичний центр(20)

Dernier

Dernier(20)

Прикладні задачі (на допомогу вчителю математики)