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Les algorithmes d’approximation Elaboré Par: 	Ismail Wael 	Cours pour 3SI
Introduction En générale les fonctions mathématiques donne un résultat exacte. Exemple: f(x)=2x-2 Pour f(x)=0               x=1 Dans certains cas la valeur de x est impossible (ou presque) à déterminer. Exemple: f(x)=x3+x2+1 Ci-dessous la courbe de la fonction f(x). X=1 donc la valeur de x pour la quelle f(x) s’annule est connue et est déterminé  2
Introduction f(x)= x3+x2+1 x Valeur de x pour La quelle f(x)=0 La valeur est illisible sur le repère, Elle est aussi  indéterminée  Mathématiquement. La solution est de dégager une valeur Approchée de x ou approximative. 3
Les problèmes d’optimisation  Le plus court chemin: Une personne veut se déplacer du point A vers la point B sachant que le déplacement à la nage se fait à la vitesse de 3 m/s tandis que la marche se fait à la vitesse de 5 m/s. Quel chemin cette personne doit elle parcourir pour pouvoir arriver en un minimum de temps? 36m B rivière 12m A 4
Considérons le problème comme suit: De A à D est la distance nagé et de D à B est le chemin parcouru au sol, il reste à savoir la  distance CD donc (x) Calculer la distance AD en fonction de x: AD2=AC2+X2 AD= D= Ds+De    avec Dsdistance au sol et De  distance dans l’eau 36m D C x B 12m A 5
Les problèmes d’optimisation  36m D C x B 12m A De= AD= Ds=36-x D=                  +36-x  V=D/T T=D/V T= 6
Les problèmes d’optimisation f(x) f(x) optimale 7
Algorithme de la fonction valeur_opt 0)fonction valeur_opt(pas:réel):réel 1)t0 2)x5 3)xmin0 4)tmin 5)Répeter 	t 	xx+pas 	si (tmin>t)alors tmint xminx finsi Jusqu’à (x>10) 6)valeur_optxmin 7)Fin valeur_opt 8
Application Une compagnie loue, à des groupes de 15 personnes ou plus, des bus d'excursion dont la capacité est de 80 personnes. Si un groupe compte exactement 15 personnes, chacune d'elles doit payer 90 dinars. Pour les groupes plus nombreux, le tarif par personne est réduit de n dinars lorsque n personnes s'ajoutent aux premières. On se propose de déterminer l'effectif d'un groupe pour que la location d'un bus rapporte un revenu maximal. En déduire le réel x0 de l'intervalle [0..65] en le quel la fonction f atteint son maximum local. 9
Réponse le bus contient au maximum 80 personnes Chaque personne supérieur au groupe de 15 entraine une réduction de 1 D par personne. Si le groupe est constitué de 20 personne: Montant_loc=20*85=1700 D 20=15+5              85=90-5 L’inconnu est le nombre de personne à rajouter au groupe (x) pour avoir un montant de location maximal: En fonction de x la formule devient: Monatant_max=(15+x)*(90-x) 10
Montant de la location(f(x)) Nombre de personne (x) 11
Les algorithmes d’approximation A C B  Diviser l’espace en surfaces Calculables. La surface totale hachurée (ST) est la somme des surfaces A,B et C. ST=A+B+C On sait que ST=25 alors 25=A+B+C                     A+B+C-25=0 12
Les algorithmes d’approximation A=((2.5)2  *3,14)/2=9.812 B=25-5x C=((5-2x)/2)2  *3,14)/2 =9.812-1.57x2  A+B+C-25=0 9.812+25-5x+ 9.812-1.57x2 -25=0                     -1.57x2 -5x+19.624=0 13
Algorithmes d’approximation 14
algorithmes d’approximation On veut écrire un programme qui permet de chercher et d'afficher le zéro de cette fonction (f(x) = 0) avec une précision epsilon donnée. On utilise la méthode de recherche par dichotomie: • On divise l'intervalle [a, b] par 2 • Soit m le milieu de cet intervalle. Si f(m) et f(a) sont de même signe, le zéro recherché est dans [m, b], sinon il est dans [a, m]. • Répéter les étapes précédentes jusqu'à (b-a) devient inférieure ou égale à epsilon, dans ce cas, la valeur de m correspond à la valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=0. 15
principe f(x) = -1.57x2 -5x+19.624, avec x ∈[0,5/2] On a f(0) = 19.624, f(5/2) = -2.6885  d’où :  f(a).f(b) = f(0).f(5/2) <0 Donc on peut appliquer la méthode dichotomique sur [0,5/2] Pour ce la : • Diviser [0,2.5] par 2 m = (0+2.5)/2 = 1.25 • f(1.25) = 11.412 • f(m).f(0) = 11.412* 19,624 >0 (sont de même signe) Le zéro est dans [m, b]= [1.25, 2.5] … 16
ANALYSE Résultat = Afficher le zéro de f Données = a, b, eps Traitement = Saisie (a,b,eps) Écrire ("Le zéro de f est = ", zéro (a, b, eps)) Analyse de la fonction zéro Résultat = m Traitement = Zéro m m  (a+b)/2 Tant Que (b-a) >eps et f(m) <>0 Faire Si f(a)*f(m)>0 Alors a  m Sinon b  m Fin Si m(a+b)/2 Fin Tant Que 17
Algorithme de la fonction zéro 0) Fonction zéro (a, b, eps : réel) : réel 1) m  (a+b)/2 2) Tant Que (b-a) >eps et f(m) <>0 Faire Si f(a)*f(m)>0 Alors a  m Sinon b m, Fin Si m(a+b)/2 Fin Tant Que 3) Zérom 4) Fin zéro 18
Algorithme de la fonction f 0) Fonction f (x : réel) : réel 1) f  -1.57x2 -5x+19.624 2) Fin f En pascal 19

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Les algorithmes d’approximation

  • 1. Les algorithmes d’approximation Elaboré Par: Ismail Wael Cours pour 3SI
  • 2. Introduction En générale les fonctions mathématiques donne un résultat exacte. Exemple: f(x)=2x-2 Pour f(x)=0 x=1 Dans certains cas la valeur de x est impossible (ou presque) à déterminer. Exemple: f(x)=x3+x2+1 Ci-dessous la courbe de la fonction f(x). X=1 donc la valeur de x pour la quelle f(x) s’annule est connue et est déterminé 2
  • 3. Introduction f(x)= x3+x2+1 x Valeur de x pour La quelle f(x)=0 La valeur est illisible sur le repère, Elle est aussi indéterminée Mathématiquement. La solution est de dégager une valeur Approchée de x ou approximative. 3
  • 4. Les problèmes d’optimisation Le plus court chemin: Une personne veut se déplacer du point A vers la point B sachant que le déplacement à la nage se fait à la vitesse de 3 m/s tandis que la marche se fait à la vitesse de 5 m/s. Quel chemin cette personne doit elle parcourir pour pouvoir arriver en un minimum de temps? 36m B rivière 12m A 4
  • 5. Considérons le problème comme suit: De A à D est la distance nagé et de D à B est le chemin parcouru au sol, il reste à savoir la distance CD donc (x) Calculer la distance AD en fonction de x: AD2=AC2+X2 AD= D= Ds+De avec Dsdistance au sol et De  distance dans l’eau 36m D C x B 12m A 5
  • 6. Les problèmes d’optimisation 36m D C x B 12m A De= AD= Ds=36-x D= +36-x V=D/T T=D/V T= 6
  • 7. Les problèmes d’optimisation f(x) f(x) optimale 7
  • 8. Algorithme de la fonction valeur_opt 0)fonction valeur_opt(pas:réel):réel 1)t0 2)x5 3)xmin0 4)tmin 5)Répeter t xx+pas si (tmin>t)alors tmint xminx finsi Jusqu’à (x>10) 6)valeur_optxmin 7)Fin valeur_opt 8
  • 9. Application Une compagnie loue, à des groupes de 15 personnes ou plus, des bus d'excursion dont la capacité est de 80 personnes. Si un groupe compte exactement 15 personnes, chacune d'elles doit payer 90 dinars. Pour les groupes plus nombreux, le tarif par personne est réduit de n dinars lorsque n personnes s'ajoutent aux premières. On se propose de déterminer l'effectif d'un groupe pour que la location d'un bus rapporte un revenu maximal. En déduire le réel x0 de l'intervalle [0..65] en le quel la fonction f atteint son maximum local. 9
  • 10. Réponse le bus contient au maximum 80 personnes Chaque personne supérieur au groupe de 15 entraine une réduction de 1 D par personne. Si le groupe est constitué de 20 personne: Montant_loc=20*85=1700 D 20=15+5 85=90-5 L’inconnu est le nombre de personne à rajouter au groupe (x) pour avoir un montant de location maximal: En fonction de x la formule devient: Monatant_max=(15+x)*(90-x) 10
  • 11. Montant de la location(f(x)) Nombre de personne (x) 11
  • 12. Les algorithmes d’approximation A C B Diviser l’espace en surfaces Calculables. La surface totale hachurée (ST) est la somme des surfaces A,B et C. ST=A+B+C On sait que ST=25 alors 25=A+B+C A+B+C-25=0 12
  • 13. Les algorithmes d’approximation A=((2.5)2 *3,14)/2=9.812 B=25-5x C=((5-2x)/2)2 *3,14)/2 =9.812-1.57x2 A+B+C-25=0 9.812+25-5x+ 9.812-1.57x2 -25=0 -1.57x2 -5x+19.624=0 13
  • 15. algorithmes d’approximation On veut écrire un programme qui permet de chercher et d'afficher le zéro de cette fonction (f(x) = 0) avec une précision epsilon donnée. On utilise la méthode de recherche par dichotomie: • On divise l'intervalle [a, b] par 2 • Soit m le milieu de cet intervalle. Si f(m) et f(a) sont de même signe, le zéro recherché est dans [m, b], sinon il est dans [a, m]. • Répéter les étapes précédentes jusqu'à (b-a) devient inférieure ou égale à epsilon, dans ce cas, la valeur de m correspond à la valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=0. 15
  • 16. principe f(x) = -1.57x2 -5x+19.624, avec x ∈[0,5/2] On a f(0) = 19.624, f(5/2) = -2.6885 d’où : f(a).f(b) = f(0).f(5/2) <0 Donc on peut appliquer la méthode dichotomique sur [0,5/2] Pour ce la : • Diviser [0,2.5] par 2 m = (0+2.5)/2 = 1.25 • f(1.25) = 11.412 • f(m).f(0) = 11.412* 19,624 >0 (sont de même signe) Le zéro est dans [m, b]= [1.25, 2.5] … 16
  • 17. ANALYSE Résultat = Afficher le zéro de f Données = a, b, eps Traitement = Saisie (a,b,eps) Écrire ("Le zéro de f est = ", zéro (a, b, eps)) Analyse de la fonction zéro Résultat = m Traitement = Zéro m m  (a+b)/2 Tant Que (b-a) >eps et f(m) <>0 Faire Si f(a)*f(m)>0 Alors a  m Sinon b  m Fin Si m(a+b)/2 Fin Tant Que 17
  • 18. Algorithme de la fonction zéro 0) Fonction zéro (a, b, eps : réel) : réel 1) m  (a+b)/2 2) Tant Que (b-a) >eps et f(m) <>0 Faire Si f(a)*f(m)>0 Alors a  m Sinon b m, Fin Si m(a+b)/2 Fin Tant Que 3) Zérom 4) Fin zéro 18
  • 19. Algorithme de la fonction f 0) Fonction f (x : réel) : réel 1) f  -1.57x2 -5x+19.624 2) Fin f En pascal 19