El documento define conjuntos, operaciones con conjuntos como la unión, números reales, desigualdades matemáticas, valor absoluto y funciones de valor absoluto. Explica que un conjunto contiene elementos con una propiedad común y que la unión une dos conjuntos sin repetir elementos. También define números reales, desigualdades y explica que el valor absoluto es la magnitud de un número sin importar su signo.
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Estado Lara.
Integrantes:
Jorge Mendoza.
Cedula:
30.004.170.
Sección:
AD-0107.
Unidad curricular:
Matemática.
2. Definición de Conjuntos
En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen
una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de
elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por
extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se
menciona sólo una característica común a todos los elementos).
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en
términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera
informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental
de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos,
como los números y las funciones, entre otros.
3. Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de
conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las
siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión o reunión de conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar
otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir
pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la
unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la
unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma
uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
4. Ejemplo1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
5. Números Reales
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por R) incluye
tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los
números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real
y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los
números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se
encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
6. Desigualdad matemática
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos
son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales,
entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;
también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el
otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están
comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra
forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
7. Definición de valor absoluto
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud,
distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El
concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a
muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas
para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto
quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como
módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es
positivo o negativo.
8. Funciones de valor absoluto
Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión
algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor
absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica .
La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está
definida como:
Para graficar una función de valor absoluto, hay escoger diferentes valores de x y
encuentre algunas parejas ordenadas .
9. Gráfica
Para poder realizar una gráfica de valor absoluto se
obtiene evaluando la función para algunos valores de
x. Luego se hace una tabla de valores para la variable x
y la variable y . Se crea un plano cartesiano y
finalmente se localizan los puntos y se unen
formando la gráfica.
10. Expresión gráfica
En una función afectada por el valor absoluto todos los valores de y deben ser
positivos, por lo que su gráfica siempre quedará en la parte del semieje y positivo. De
esta manera, conocida la gráfica de una función cualquiera, puedes obtener
fácilmente su valor absoluto "reflejando" los tramos negativos en el eje x.:
Gráficas del valor absoluto de funciones
En la ilustración, en 1 y 2 y a la izquierda, dos funciones de gráficas conocidas, f(x)
y g(x). Aplicado el valor absoluto obtenemos las gráficas a la derecha. Las partes
que quedaban bajo el eje x, que es la parte negativa del eje y, se "reflejan" cuando
se aplica el valor absoluto, y quedan en la zona positiva de este último.
12. Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es:
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar:
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
