Cinemátca dos sólidos feira de ciências

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Cinemática Escalar
(Do ponto e dos sistemas)
Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
I. Conceitos básicos
01. Ponto material - todo corpo cujas dimensões relativas não interferem no
estudo de determinado fenômeno.
02. Tempo - ou abscissa temporal t ou ainda 'instante t' - número real que se
faz corresponder biunivocamente, mediante certas convenções, à sucessão
dos eventos. À origem dos tempos (evento inicial arbitrário) associa-se, por
comodidade, t = 0; aos eventos que seguem àquele tomado por O.T. associa-
se t > 0 e para aqueles que o precedem, associa-se t < 0.
Intervalo de tempo t denota o número de unidades de tempo decorridas
entre dois eventos sucessivos e calcula-se por: t = t2 - t1, onde t2 e t1 são os
instantes associados a esses eventos.
03. Trajetória - para um dado sistema de referência, é a linha contínua ,
lugar geométrico dos pontos do espaço geométrico ocupados pelo ponto
material no decorrer do tempo.
04. Espaço cinemático - posição ou abscissa linear s é o número real que se
faz corresponder biunivocamente aos pontos da trajetória, mediante certas
convenções (*), e que se destina a localizar o ponto sobre sua trajetória. O
espaço s, só localiza (relativamente à origem arbitrária) o ponto, não indica o
sentido de movimento, nem determina quanto o móvel efetivamente 'andou'.

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(*) Convenções: considere sobre  o ponto arbitrário O (escolha da origem
dos espaços OE) e o ponto U, de modo que a extensão do arco (OU seja
adotada como unidade de medida de comprimento (exemplo, (OU = 1 m).
Nessas condições, para uma genérica posição P do ponto material, s =
(OP/(OU [leia-se: s é a medida do arco (OP na unidade (OU].
05. Movimento - é conceito que se define para o ponto, em relação a um
dado sistema de referência. Se sua trajetória é previamente conhecida nesse
referencial, o ponto se move sobre ela se sua abscissa linear s variar em
função da abscissa temporal t. Isso se indica com:
s = f(t) ou s = s(t)
A expressão que associa biunivocamente a cada valor de t o correspondente
valor de s [s = f(t)] é denominada 'lei de movimento', 'lei horária de movimento'
ou, corriqueiramente, 'equação horária'.
Se s permanece constante (em relação a t), no referencial em questão, ele é
dito em repouso.
06. Espaço percorrido - ou incremento de abscissa s, num dado intervalo
de tempo t é dado por:
st1---t2 = s2 - s1
onde s2 é a abscissa (espaço) do móvel no instante t2 e s1 sua abscissa no
instante t1.
Num dado intervalo de tempo pode-se ter: s > 0, s = 0 ou s < 0.
07. Velocidade escalar média - num dado intervalo de tempo, é o quociente
do espaço percorrido s, nesse intervalo de tempo, pela correspondente
extensão t do intervalo considerado. Esse quociente é, na matemática,
reconhecido como 'razão incremental'. Equaciona-se:

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08. Velocidade escalar - num dado instante t1, é o limite da velocidade
escalar média definida entre os instantes t1 e t2, quando o instante t2 torna-se
cada vez mais próximo de t1 (o que corresponde dizer que t tende para o
valor zero). Escreve-se:
Em termos de análise matemática (cálculo diferencial), sendo s = s(t) a função
que associa a cada t um e um só s, a velocidade v, no instante genérico t será
a derivada da função s = s(t) em relação ao tempo t e escreve-se: v = ds(t)/dt.
Recomendamos, a respeito disso, a leitura Os flúxions de Newton em nossa
Sala 19. A expressão v = ds(t)/dt que nos permite obter a velocidade escalar
do móvel em cada instante de seu movimento denomina-se 'lei de velocidade'
ou, "equação da velocidade".
09. Aceleração escalar média - num dado intervalo de tempo de extensão
t2 - t1, é o quociente da variação da velocidade do móvel v ocorrida entre os
instantes t1 e t2 pela extensão desse intervalo de tempo. Equaciona-se:
10. Aceleração escalar - num dado instante t1, é o limite da aceleração
escalar média calculada entre os instantes t1 e t2 quando o instante t2 torna-se
cada vez mais próximo de t1. No cálculo diferencial, a aceleração escalar será
dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo ou pela derivada
segunda do espaço em relação ao tempo. Escreve-se:
11. Sentido do movimento - numa trajetória orientada (sistema de
coordenadas abscissas s) é assim posto:

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12. Comportamento físico - do móvel, durante certo intervalo de tempo t é
assim caracterizado:
Uniforme - velocidade escalar permanece constante no intervalo considerado
(v = cte. não nula);
Acelerado - velocidade escalar cresce, em valor absoluto, no intervalo
considerado (v. > 0);
Retardado - velocidade escalar decresce, em valor absoluto, no intervalo
considerado (v. < 0);
Uniformemente variado - aceleração escalar permanece constante no
intervalo considerado ( = cte);
Variado - aceleração escalar experimenta variações no intervalo considerado
[ = f(t)].
13. Lei horária - lei de movimento, função horária ou "equação horária" - é a
expressão matemática da dependência entre o espaço s e o tempo t. Ela
associa a cada t um e um só s (bijetora). Simbolicamente: s = s(t), onde s e t
devem ser medidos num sistema coerente de unidades, por exemplo, o
Sistema Internacional de Unidades.
Exemplos de leis de movimento, com s em m; t em s: s = t; s = 2t; s = -3t +2; s
= 2t2 +3t + 1; s = 4t-1 etc.
14. Tabela horária - é o primeiro passo experimental para a determinação de
uma lei horária. Consiste em se tabelar, lado a lado, valores particulares de t
com os correspondentes valores obtidos experimentalmente para s.
15. Diagrama horário - é o gráfico cartesiano ortogonal da função s = s(t). É
a versão geométrica, no plano cartesiano s versus t, da dependência entre s e
t. Tal gráfico nada tem a ver com a trajetória.

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Exemplos dos itens 14 e 15: O estudo do movimento de um 'tatuzinho' ao
longo de um tubo plástico forneceu a tabela abaixo. Estabelecer sua lei
horária e o correspondente diagrama horário.
16. Abscissa inicial (so) - ou 'espaço inicial' é a abscissa (espaço) que
localiza o móvel no instante inicial da contagem dos tempos ( t = 0). No
diagrama horário, o ponto A onde a 'curva do diagrama' corta o eixo s tem
justamente as coordenas s = so e t = 0.
17. Declividade da curva s(t) no ponto P - correspondente ao instante t1, é
numericamente igual á velocidade escalar do móvel no instante considerado.
18. Diagrama da velocidade - é o gráfico cartesiano ortogonal da função v =
v(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano v versus t, da dependência
entre v e t.
a) Nesse diagrama, a área compreendida entre a 'curva da velocidade' e o
eixo dos tempos, entre dois instantes do movimento, é numericamente igual
ao 'espaço percorrido' pelo móvel (s) nesse intervalo de tempo.
b) Nesse diagrama, a declividade da curva no instante t1 é numericamente
igual á aceleração escalar do movimento nesse instante.

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19. Diagrama da aceleração - é o gráfico cartesiano ortogonal da
função  = (t). É a versão geométrica, no plano cartesiano  versus t, da
dependência entre  e t.
a) Nesse diagrama, a área compreendida entre a 'curva da aceleração' e o
eixo dos tempos, entre dois instantes do movimento, é numericamente igual á
'variação da velocidade' do móvel (v) nesse intervalo de tempo.
b) Nesse diagrama, a declividade da curva no instante t1 é numericamente
igual á "sacudida" escalar do movimento nesse instante. A ilustração abaixo
refere-se a um movimento variado cuja aceleração escalar varia linearmente
com o tempo e, nesse caso, a 'sacudida' (& = d/dt = tg) é constante e não
nula.

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Cinemática Escalar
(do ponto e dos sistemas)
II. Movimento uniforme
20. Movimento uniforme - independentemente da particular forma da
trajetória  (porém, previamente conhecida) é todo movimento cuja lei horária
é do tipo:
s = A + B.t
onde A e B são parâmetros (constantes em relação ao tempo) e B =/= 0.
20.1. Parâmetro A - é o valor que s assume para to = 0 e, portanto, identifica-
se com a abscissa inicial do movimento so : A = so e ficamos com: s = so +
B.t ou s = so + B.(t - to).
20.2. Parâmetro B - da expressão final acima (20.1) tiramos: B = (s-so)/(t-to) o
que nos permite identificar B com a velocidade média vm do movimento. Como
B, por definição, é constante e não nula, a velocidade média terá sempre o
mesmo valor para qualquer intervalo de tempo e para qualquer instante dentro
desse intervalo e, logo, caracteriza a velocidade do movimento em qualquer
instante: B = vm = v =/= 0.
[A notação v =/= 0, deve ser lida como: v diferente de zero ou v não nula.]
20.3. Forma típica - para a lei horária dos movimentos uniformes será então :
s = so + v.t ... sistema coerente de unidades
20.4. Funções do movimento uniforme:
Lei horária ............... s = so + v.t
Lei de velocidade ... v = ds/dt = vm = cte não nula
Lei de aceleração ...  = dv/dt = m = cte = 0 ... (lei fundamental do M.U. para
a Dinâmica)
20.5. Propriedades do movimento uniforme:

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a) velocidade escalar constante e, de mesmo valor que a velocidade escalar
média;
b) aceleração escalar nula;
c) espaços percorridos proporcionais às extensões dos intervalos de tempo
necessários para percorrê-los, ou, as variações de espaços (s) serão iguais
para intervalos de tempos iguais.
20.6. Gráficos dos movimentos uniformes:
a) diagramas horários - segmentos de reta inclinados em relação ao eixo dos
t.
b) diagramas de velocidades - segmentos de reta paralelos ao eixo dos t.
c) diagramas das acelerações - segmentos de reta coincidentes com o eixo t.

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d) resumindo os gráficos:
20.7. Velocidade média
Suponhamos um carro fazendo uma viagem de 60 km, deslocando-se a 20
km/h nos primeiros 30 km, e a 60 km/h nos últimos 30 km. Seremos 'tentados'
a dizer que a velocidade média no percurso todo será de (20 + 60)/2 ou 40
km/h. Entretanto, isso é incorreto por causa da convenção de que a
velocidade média é definida com respeito ao tempo, e não com respeito à
distância.
Se t1 é o tempo necessário para vencer a primeira parte da viagem (à
velocidade v1), e t2 é o tempo para a segunda parte (à velocidade v2), então,
de acordo com a definição de média, a velocidade média com respeito ao
tempo é:
vm = (v1t1 + v2t2)/(t1 + t2) ... eq.1
O exemplo precedente é o que se conhece como média ponderada. Na
equação ... eq.1, acima, t1 e t2 são os fatores "peso" de cada medida de
velocidade, em cada trecho.
Podemos calcular a velocidade média do carro, avaliando t1 e t2 da relação t
= s/v (obtida da s = v.t). O resultado é que:
t1 = 30km/(20km/h) = 1,5 h e t2 = 30km/(60km/h) = 0,5 h.
Se substituirmos esses valores na ...eq.1 obteremos:
vm = (20x1,5 + 60x0,5)/(1,5 + 0,5) km/h = 30 km/h.

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Vemos então que a velocidade média nessa viagem é 30 km/h em vez de 40
km/h. Podemos usar da ...eq.1 para obter uma fórmula simples para a
velocidade média. Observamos que a quantidade v1t1 = s1, é a distância
percorrida à velocidade v1. Semelhantemente, v2t2 = s2. Assim, substituindo-se
na ...eq.1, tem-se:
vm = [(v1t1) + (v2t2)]/(t1 + t2) = [(s1) + (s2)]/(t1 + t2) = Stotal/Ttotal ...eq.2
Essa expressão, automaticamente, inclui todos os fatores pesos, e, portanto,
dá a média temporal correta em todos os instantes, não importando como a
velocidade muda com o tempo. Iríamos, é claro, obter o mesmo resultado
para três ou mais intervalos de tempo.
"Qualquer velocidade descontínua pode ser subdividida em muitos intervalos
pequenos, onde a velocidade é essencialmente constante em cada intervalo."
Vemos então que a ...eq.2 é completamente geral e se aplica a todos os
casos de movimento a uma dimensão.
20.8. Experimentos relacionados ao tema:
A Rosca e a Arruela
Cinemática dos Dominós
Velocidade do chumbinho
Obtenção da velocidade do projétil
A rosca e a arruela
A Rosca e a Arruela
Apresentação
Novembro de 1999; eu mesmo vibrei quando, por acaso, observei o
fenômeno. Eis o relato:

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A patroa havia pedido
para dar um jeito na
cômoda da filhota pois
a gaveta do meio
estava muito bamba e
ficava saindo do
encaixe.
Fui lá e vi que as
laterais do móvel
(essas porcarias com
serragem prensada
que chamam de
"aglomerado") estavam
abauladas para fora e,
por isso, a gaveta saia
do encaixe.
A solução era aproximar novamente as duas paredes laterais. Não quis apelar
para um sarrafo colocado por dentro, pois o espaço entre gavetas era meio
crítico.
Decide atravessar uma haste de ferro de 3/8", com rosca em toda sua
extensão (essas varetas são vendidas em casas de ferragens nos diâmetros
3/8", ½", 5/8" etc. e comprimento 1 metro), e mediante porcas, ir apertando até
as laterais do móvel chegarem no lugar. Tudo bem marcadinho, fiz os furos
nas laterais com broca de 3/8" e fui ao meu laboratório buscar a vareta,
arruelas e porcas.
No caminho de volta, encaixei uma arruela numa extremidade da vareta que
estava na vertical (posição mais cômoda para transportá-la) e a arruela
escapou de minha mão. Instintivamente levei a mão livre lá em baixo para
apanhar a arruela e surpresa! A arruela num movimento curioso de vai-vem
na horizontal (lembrando o bater de asas) descia na vareta lentamente com
um movimento que perceptivelmente, pelo menos em média, era uniforme!
Vichi! Parei tudo e voltei ao laboratório. Encaixei a extremidade inferior da
vareta com rosca num suporte e soltei novamente a arruela lá de cima,
encaixada na vareta. Beleza, que movimento espetacular. Cronômetro na
mão, metro de balcão ao lado da vareta e .... o movimento é uniforme. Testei
com outras arruelas, umas com furos maiores, outras com massas maiores,
outras mais largas. E assim nasceu esse projeto.
Ah! A cômoda voltou a funcionar perfeitamente --- talvez chegue ao ano
2000! "Em 2000 chegarás, de 2000 não passarás" (como todos sabem,
Nostradamus referia-se á minha cômoda!).
Objetivo
Estudo do movimento retilíneo e uniforme. Cronometragem, gráficos do M.U.

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Material
Vareta com rosca de 3/8" ou 5/8" e as duas arruelas e porcas que
acompanham tais varetas.
Cronômetro (relógio digital) e metro de balcão ou trena.
Grampo (presilha) para fixar na mesa e prender a vareta na vertical.
Procedimento
Prenda a vareta no grampo de modo
que fique firme na vertical.
Coloque o metro de balcão ao lado da
vareta, paralelo a ela.
Solte a arruela a partir da extremidade
superior. Assim que o movimento da
arruela estabilizar (isso depende do
modo como soltá-la) veja sua cota
(altura) na régua e acione o
cronômetro.
Anote, a cada 20 segundos (ou outro
intervalo de tempo), a cota por onde
passa a arruela.
Com esse conjunto de par de dados
(tempo e cota) construa o gráfico "cota
x tempo".
Como esse texto, numa primeira mão,
destina-se ao professor, poderemos
dispensar detalhes no
desenvolvimento do estudo do
movimento uniforme. Daí para a frente
tem-se todo o trabalho de análise já
comum em outros experimentos do
tipo, tais como:
Bolinha de gude dentro da água do
tubo de vidro (perigo de quebrar o tubo
e dificuldade em obtê-lo);
Bolina de aço dentro do óleo do tubo
de vidro (e tem que usar ímã para levar
a bolinha para cima);
Bolha de ar em tubo com água etc.
Verifique o comportamento com várias arruelas, mais finas e mais grossas,
mais leves e mais pesadas, mais estreitas e mais largas etc. Com arruela
adequada o "tempo de queda" pode superar os três minutos para descer 1
metro!

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Dica
Selecione duas arruelas cujas velocidades de queda em movimento uniforme
sejam diferentes. Coloque as duas arruelas na vareta (a mais lenta por cima
da mais rápida) mantendo-as afastadas, com os mesmos dedos, cerca
de 5 mm. Abandone simultaneamente as duas arruelas. Uma descerá com
velocidade escalar média V (a de baixo) e a outra com V', sendo V > V'. No
decorrer do tempo, a distância (D) entre elas irá aumentando. Eis uma boa
questão para os meninos: escrever a função D = f(t) que fornece, em cada
instante, a distância entre as arruelas.
Comentário
A lentidão e regularidade do movimento de descida de uma arruela, no caso
geral, acompanhado de um ruído especial, torna o experimento ideal para sala
de aula e serve, por outro lado, para o professor explicar os "macetes" do uso
do cronômetro (cartilagem da mão que deve ser comprimida antes do
mecanismo acionar realmente o cronômetro etc.) e sobre os cursos oficiais
para cronometristas (pelo que soube, alguns para corridas de cavalos,
duravam cerca de 3 anos!).
Estou preparando uma filmagem do movimento (junto com cronômetro e
régua) para examiná-lo, com detalhes, em câmara lenta. Em cada instante,
não deve ser um movimento simples. Já devemos prever combinações de
quedas livres, oscilações forçadas e entretidas, choques mecânicos e atritos.
A agitação da arruela deve provocar, também, movimento turbilhonar no ar.
Aguardemos.
(Velocidade escalar média)
Apresentação
Creio que todos já viram peças de dominó arrumadas, uma atrás da outra,
formando longas filas. Os padrões --- desenhos, caminhos ---, por vezes, são

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bastante complicados. O tombamento começa quando se derruba a primeira
delas. Cada peça, ao cair, bate na seguinte e a derruba... e assim a
"perturbação" vai avançando.
* Com que rapidez a "frente da perturbação" avança?
** Com que rapidez cada peça derruba a seguinte?
*** Qual a velocidade máxima que se consegue para a "frente da perturbação" e para
cada peça
individualmente?
O desafio dessa atividade experimental é maximizar a velocidade para
derrubar uma fila de 100 peças de dominó. Na montagem da fila, deve-se
adotar um espaçamento uniforme entre as peças.
Para responder a essas perguntas e vencer o desafio, basta que o
experimento seja repetido algumas vezes ou realizado simultaneamente por
vários grupos de alunos.
Material
Trena,
4 jogos de dominós (4 x 28 peças = 112 peças),
cronômetro, papel, lápise fita crepe.
Para cada grupo de alunos, os 4 jogos de dominó devem ser idênticos
(mesmo fabricante), mas os conjuntos podem ser diferentes de um grupo para
outro. Se for possível conseguir dominós coloridos, adquira 3 caixas de uma
mesma cor e 1 caixa de cor diferente. Dessa maneira, ao arrumar a fila,
podemos usar um dos dominós de cor diferente para marcar cada décima
peça, mas nesse caso é importante que todas as peças de um mesmo grupo
de alunos, exceto pela cor, sejam idênticas (material, peso, comprimento,
largura e espessura).
Preparando... e perguntando
Cada grupo de alunos deve montar sua fila (reta) de dominós com 100 peças.
O espaçamento entre as peças deve ser uniforme e, além disso, deve ter uma
medida tal que proporcione a obtenção da máxima velocidade de avanço
["frente da perturbação"] e da máxima velocidade de queda de cada peça
individual.
Será que há alguma relação entre a distância do espaçamento comum entre dominós, o
comprimento do dominó e a velocidade média da queda dos dominós?
Explicação básica
Para que possamos responder a essas questões, será necessário comparar
os resultados dos diversos grupos de alunos, mas para que essa comparação
seja possível devemos ter uma unidade padrão para indicar o espaçamento
entre peças. Com essa unidade padrão, o fato de os dominós dos diversos
grupos terem ou não medidas iguais deixará de ser significativo, permitindo a
comparação efetiva dos resultados. Mas como estabeleceremos essa
unidade-padrão?

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É simples: se o espaçamento entre peças for expresso em termos de
Comprimentos de Dominó" [que designaremos por CD], grupos diferentes,
com dominós diferentes dos demais, poderão comparar seus resultados.
Definiremos o CD da seguinte maneira: tome a medida do espaçamento
comum entre peças (em cm) e divida pelo comprimento da peça (também em
cm).
Isso nos dará o espaçamento em Comprimentos de Dominó. Assim, o CD
será uma medida relativa e, como tal, adimensional.
Vejamos um exemplo hipotético:
Grupo (A): espaçamento comum entre peças = 2 cm; comprimento da peça =
4 cm; então:
CD(a) = 2 cm/4 cm = 0,5 CD
Uma dica: é importante que, na montagem da fila, a distância comum entre
peças não seja inferior a 0,1 CD nem superior a 0,9 CD.
Interpretando os resultados
A partir das informações acumuladas pelos vários grupos, já podemos, a esta
altura, dar resposta à questão:
Que espaçamento permitirá a maior velocidade média?
Uma boa maneira de encaminhar objetivamente a interpretação de resultados
numéricos é a seguinte:

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1. Organize os dados em uma tabela (que pode ser como essa, que
sugerimos abaixo), para ser preenchida por cada grupo:
2. Construa um gráfico geral das velocidades médias obtidas (eixo de y)
versus espaçamento (eixo de x),em comprimentos de dominó;
3. Explique a forma do gráfico (o esboço que mostramos abaixo é fruto de
uma série de experimentos reais).
Observe que: quando as peças estão colocadas bem próximas (0,2 CD) a
velocidade de avanço da perturbação será mais baixa porque a velocidade
com que cada peça toca a seguinte é menor em relação ao que ocorre
quando o espaçamento é igual a 0,6 CD. Por outro lado, quando os dominós
estão bastante separados (0,9CD), a velocidade de avanço também será mais
lenta porque leva mais tempo para que um toque o próximo.
Extensão do experimento
I. Baseado nas observações e relações desenvolvidas acima, faça uma
previsão para indicar qual comprimento e qual espaçamento uma fila de
dominós deverá ter para que o tempo de queda total seja de 1 minuto.
Com que velocidade média essa fila estará tombando?
II. Com que velocidade média os dominós tombariam se você organizasse:

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(a) 75 delescom um espaçamento de 0,3 comprimentos de dominó?
(b) 50 deles com um espaçamento de 0,6 comprimentos de dominó?
Dica: Pode-se construir uma única fila de 125 dominós mas com dois
espaçamentos diferentes (um espaçamento para os 75 primeiros e outro para
os demais).
III. Já que você está brincando e aprendendo com os dominós, por que não os
usa para simular uma reação em cadeia?
a) Em vez de montar os dominós em uma linha direta na qual um dominó
simplesmente bate naquele que está na frente dele, organize os dominós de
forma que cada dominó bata em dois outros dominós, ou seja, que o primeiro
bate em dois outros, que batem em outros quatro, depois em oito e assim por
diante.
b) Compare o tempo para tombar 100 dominós nessa disposição com o tempo
para derrubar 100 deles em fila reta.
Essa montagem serve para nos dar uma idéia da rapidez com que ocorre, por
exemplo, uma reação nuclear em cadeia, e como ela se sustenta. Nesse
modelo, porém, a perturbação é transmitida apenas em uma direção,
enquanto na reação em cadeia real essa transmissão se verifica em todas as
direções.
(Espingarda de pressão)
Objetivo
Obtenção da velocidade do chumbinho disparado por uma espingarda de
pressão. Equacionamento.
Material
Espingarda de pressão e chumbinhos
Sensores de ruptura (ver texto)
Detetor de equilíbrio (ponte de Wheatstone)
Cronômetro digital
Saco contendo areia
Fitas de alumínio
Montagem

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Um cronômetro digital (ou um osciloscópio) é utilizado para medir o intervalo
de tempo em que a ponte de Wheatstone fica desbalanceada (logo, com
d.d.p. entre A e B).
A interrupção da primeira fita de alumínio, pelo chumbinho em movimento, tira
a ponte do equilíbrio e o cronômetro começa a funcionar. A interrupção da
segunda fita de alumínio leva novamente a ponte ao equilíbrio, e o cronômetro
interrompe seu registro.
Desse modo, a leitura no cronômetro fornece o intervalo de tempo necessário
para o projétil caminhar, em movimento uniforme, a distância entre os dois
alvos. Com esse intervalo de tempo (t) e a distância entre os alvos (s),
obtém-se a velocidade escalar do projétil.
Os sensores de interrupção são pequenos quadros de madeira ou plástico
com uma fina fita de alumínio presa com elástico entre lados paralelos.
Recomenda-se uma boa leitura sobre o funcionamento da ponte de
Wheatstone.
Trata-se de uma montagem mais elaborada, porém, quanto mais difícil, mais
se estuda, mais se aprende e melhor é o desafio. Nesse Brasil atual, onde a
educação é relegada ao pó de mico, apenas esforços próprios são
recompensadores. Ainda vale a pena!
Velocidade do projétil
(espingarda de pressão - técnica dos discos em rotação)
Obtenção da velocidade do projétil
Objetivo
Interessante variante 'mecânica' para a obtenção da velocidade de projéteis
Material
Motor elétrico de rotação conhecida

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Longo eixo de madeira ou ferro
2 discos de papelão
Espingarda de pressão e chumbinhos
Régua
Montagem
A montagem anterior (item 29 da Sala 04) pode ser simplificada, trocando-se
a técnica da ponte de Wheatstone e cronômetro digital, pela técnica do motor
e discos de cartolina.
Os dois discos paralelos giram com velocidade angular constante
(conhecida ), imposta pelo motor de indução (pode ser um pequeno motor
de toca-discos, de ventilador ou de exaustor de cozinha).
O projétil fura ambos os discos e essas marcas definem, em relação ao eixo,
um ângulo diedro , correspondente ao intervalo de tempo necessário para o
projétil vencer a distância s (distância entre os dois discos de papelão)
Com esses dados obtemos:
T — período de rotação dos discos; basta ler a rotação do motor, em sua
etiqueta de fábrica, em rpm e obter T.
Se N é a freqüência angular em rpm, N/60 será a freqüência angular
em rps ou Hz. Assim, o período de rotação dos discos será: T = 1/f = 60/N.
 — deslocamento angular (medida do ângulo diedro, em graus).
Aqui pode-se estabelecer uma simples regra de três (ou quarta proporcional):
T = 60/N ==> 1 volta = 360o
t ==> fração de volta = 
t = /6.N
s — deslocamento linear do projétil entre os dois discos.
Com isso, pode-se obter facilmente a velocidade escalar do projétil.
V = s/t = 6N.s/

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Cinemática Escalar
III. Movimento uniforme variado
21. Movimento uniforme variado - independentemente da particular forma
da trajetória  (porém, previamente conhecida) é todo movimento cuja lei
horária é do tipo:
s = A + B.t + C.t2
onde A, B e C são parâmetros (constantes em relação ao tempo) e C =/= 0.
21.1. Parâmetro A - é o valor que assume s, na lei horária, para t = 0, logo,
identifica-se com a abscissa inicial so: A = so .
21.2. Parâmetro B - é o valor da derivada da função horária para t = 0, o que
o identifica com a velocidade inicial do movimento: B = vo .
Lembramos: v = ds/dt = B + 2C.t e, para t=0, v = vo = B.
21.3. Parâmetro C - é o valor da derivada segunda da função horária, para
qualquer t, e identifica-se como a metade do valor da aceleração escalar: C
= /2 .
Lembramos:  = d2s/dt2 = dv/dt = 2C , donde, C = /2.
21.4. Forma típica - da lei horária para os movimentos uniformemente
variados é:
s = so + vo.t + (1/2)..t2
... sistema coerente de unidades
21.5. Leis do movimento uniformemente variado -
a) lei horária ............... s =so + vo.t + .t2
/2 ou, de modo mais geral: s =
s1 + v1.(t-t1) + .(t-t1)2
/2
b) lei de velocidade ... v = vo + .t ou, de modo mais geral, v = v1 + .(t-t1)
c) lei de aceleração ...  = m = cte. =/= 0
d) lei de Torricelli ........ v2
= vo
2
+ 2..(s - so) ou s = (so - vo
2
/2) + v2
/2

21
21.6. Propriedades nos movimentos uniformemente variados -
a) [fundamental] - a aceleração escalar é constante e não nula.
b) "Os incrementos de velocidades são proporcionais às extensões dos
intervalos de tempo necessários
para produzí-los [v ~ t]".
c) "A velocidade média entre dois instantes é a média aritmética das
velocidades nesses instantes":
(vm)t1--t2 = (v1 + v2)/2
d) re-escrevendo-se a lei horária assim: s - so = vo(t-to) + .(t-to)2/2 tiramos:
vm = (s-so)/(t-to) = vo + .(t-to)/2 e, tomando-se, como se faz habitualmente, to =
0, vem :
vm = vo + .(t/2)
ou seja, "A velocidade média em um dado intervalo de tempo é igual à metade
da velocidade do móvel, na metade do referido intervalo".
e) re-escrevendo a lei de Torricelli assim: (v2 - vo2)/2 = .(s - so) tiramos:
"o produto da aceleração pelo 'espaço percorrido num dado intervalo de
tempo' é igual à metade da diferença dos quadrados das 'velocidades nos
extremos desse intervalo' ou, 'das velocidades nas posições correspondentes
do móvel'."
Se observarmos com cuidado essa propriedade, veremos nela, claramente, o
'teorema da energia cinética' (TEC). Repare que, multiplicando-se ambos os
termos da igualdade por m, massa da partícula, vem:
m.(v2 - vo2)/2 = m..(s - so) ou Ecin.final - Ecin.inicial =
Ecin = F.s = externo
"O trabalho das forças externas aplicadas ao ponto mede a variação de sua
energia cinética"
f) "Os espaços são proporcionais aos quadrados das velocidades". Isso vem
imediatamente da lei de Torricelli escrita sob a forma:
s = (so - vo
2
/2) + v2
/2
g) "Os espaços percorridos em cada unidade de tempo estão entre si como os
números ímpares", ou seja:
s1/1 = s2/3 = s3/5 = s4/7 = ......... = /2

22
21.7. Gráficos dos movimentos uniformemente variados:
a) diagramas horários - arcos de parábola com eixo de simetria paralelo ao
eixo s.
a1- discussão para o caso de  > 0:
a2- discussão para o caso de  < 0:
b) diagramas de velocidades - segmentos de reta inclinados em relação ao
eixo t.

23
c) diagramas de acelerações - segmentos de reta paralelos ao eixo t.
d) diagramas de Torricelli - s versus v - arcos de parábola com eixo de
simetria coincidente com o eixo s.
e) alguns exemplos de diagramas -

24
22. Mudança do sentido de movimento - para qualquer tipo de movimento,
dá-se no instante (ou instantes) ti em que a velocidade se anula (ti ==> vi = 0);
graficamente esses instantes são obtidos pela intersecção da 'curva da
velocidade' com o eixo dos tempos. Exemplos:

25
23. Classificação geral dos movimentos do ponto material:
a) segundo a trajetória: planos (retilíneos, circulares, parabólicos, elípticos
etc.) e espaciais (curvas reversas);
b) segundo a velocidade escalar: uniformes (vescalar = cte. =/=0),
uniformemente variados (a velocidade varia linearmente com o tempo) e
variados.
c) segundo a aceleração escalar: uniformes (a aceleração é constantemente
nula), uniformemente variados (a aceleração é constante) e variados
(aceleração altera seu valor no decorrer do tempo).
Cinemática Escalar
IV. Movimento de queda livre
24. Movimento de queda livre - próximos da superfície da Terra, pontos
materiais livres realizam movimento variado com aceleração escalar
praticamente constante. Essa aceleração é denominada 'aceleração local da
gravidade' e indica-se por 'g'.
Com eixo de movimento vertical, orientado para cima, a aceleração escalar do
ponto será = - g e, orientada para baixo, será = + g. O valor 'normal' de
g é 9,80665 m/s2.
24.1. Leis do movimento de queda livre vertical - são exatamente as
mesmas do movimento uniformemente variado nas condições: (a) com
referencial ligado á Terra, a trajetória da partícula é vertical e (b) a aceleração
escalar da partícula identifica-se com a aceleração local da gravidade.
Vejamos as 'equações' para duas situações comuns:
24.1.1. - lançamento (ou abandono) á partir da altura h, com eixo de
movimento orientado 'para cima' (contrário ao sentido da aceleração da
gravidade):

26
lei horária:............. y = h + vo.t - (1/2)g.t2
lei de velocidade:. v = +vo - g.t
lei de aceleração:  = -g = cte.
lei de Torricelli:..... v2
= vo
2
- 2gh
24.1.2 - lançamento à partir do solo, com eixo de movimento orientado para
cima:
lei horária:............. y = vo.t - (1/2)g.t2
... ymáx.=vo
2
/2g
lei de velocidade:. v = vo - g.t ... tsubida=vo/g = tdesc.
lei de aceleração:  = -g = cte.
lei de Torricelli:..... v2
= vo
2
- 2gh
Nota: Veja as propriedades e gráficos do M.U.V.
Cinemática Escalar
(Do ponto e dos sistemas)
V. Movimentos circulares
25. Movimentos circulares - movimento de um ponto material sobre uma
circunferência de centro O e raioR. De modo geral, orienta-se positivamente a
trajetória segundo o sentido anti-horário, para ficar conforme com a
trigonometria.

27
25.1. Relação fundamental - entre a abscissa linear s e a abscissa
angular  é: s = .R (geometria plana). Dessa relação infere-se que, do
conhecimento da s = s(t) --- função horária linear --- resulta o conhecimento
da = (t) --- função horária angular ---: (t) = s(t)/R.
25.2. Velocidade angular escalar média - no intervalo de tempo de t1 a t2 é:
(veja item 7 do resumo)
25.3. Velocidade angular escalar - no instante t1 é: (veja item 8)
25.4. Relação - entre a velocidade linear escalar (v) e a velocidade angular
escalar (), no instante t:
Desta relação infere-se que do conhecimento da v = v(t) resulta o
conhecimento da = (t).
25.5. Aceleração angular escalar média - no intervalo de tempo de t1 a t2 é:
(veja item 9 do resumo)

28
25.6. Aceleração angular escalar - no instante t1 é: (veja item 10)
25.7. Relação - entre a aceleração linear escalar () e a aceleração angular
escalar (), no instante t:
Desta relação infere-se que do conhecimento da  = (t) resulta o
conhecimento da  = (t).
25.8. Movimento circular uniforme (aspecto escalar) - é todo movimento
cuja trajetória S é um arco de circunferência e cuja lei horária é do 1o grau na
variável t.
Nota: O movimento circular uniforme é periódico de período T: valem as
relações:
25.9. Movimento circular uniformemente variado (aspecto escalar) - é
todo movimento cuja trajetória é um arco de circunferência e cuja lei horária é
do 2o grau na variável t.

29
Cinemática Vetorial
(Do ponto)
VI. Conceitos básicos
26. Cinemática vetorial - é estudada adotando-se um sistema de referência
de versores i, j e k, no qual a cada posição P do móvel fica definido um
vetor r (denominado vetor posição) que tem por origem a origem do sistema
coordenado e por extremidade a posição do móvel no instante
considerado: r = (P - O).
27. Vetor posição - é o vetor r = P - O que localiza o ponto material no
sistema de referência dado e no instante considerado.
28. Lei vetorial de movimento - conhecer o movimento de P é saber
identificar, em cada instante t, o vetor r = r(t). A função que associa a cada
instante t o correspondente vetor r é denominada 'lei vetorial de movimento'
ou "equação vetorial de movimento".

30
29. Vetor deslocamento - ou simplesmente 'deslocamento' de P entre os
instantes t1 e t2 é o vetor rassim definido:
30. Velocidade vetorial média - entre dois instantes t1 e t2 é o quociente do
vetor deslocamento r nesse intervalo de tempo pelo escalar t, extensão do
respectivo intervalo.
31. Velocidade vetorial - no instante t1 é o limite da velocidade vetorial média
entre os instantes t1 e t2, quando o instante t2 se aproxima de t1 ou, o mesmo
que, t  0.

31
32. Incremento ou variação de velocidade vetorial - entre os instantes t1 e
t2 é o vetor v assim definido:
33. Curva hodógrafa - associada ao movimento do ponto P é a linha que se
obtém ligando as extremidades de todos os vetores eqüipolentes dos vetores
velocidades de P à partir de uma origem comum  denominada 'pólo'. Ao
ponto I que descreve a curva hodógrafa associada ao movimento de P dá-se
o nome de 'ponto indicador'.
Nota: Observe que nessa construção, os vetores velocidades de P
comportam-se como 'vetores posição' de I; as variações de velocidades de P
serão os 'vetores deslocamento' de I e, o que muito nos interessa, as
velocidades do ponto I na curva hodógrafa serão os equivalentes aos vetores
aceleração do movimento de P.
34. Aceleração vetorial média - entre os instantes t1 e t2 é o quociente do
incremento de velocidade vetorial v, nesse intervalo de tempo, pelo
escalar t, extensão do intervalo.
35. Aceleração vetorial - no instante t1, é o limite da aceleração vetorial
média entre os instantes t1 e t2quando o instante t2 se aproxima de t1:

32
36. Componentes normal, tangencial e bi-normal da aceleração vetorial -
para movimentos sobre trajetória qualquer (plana ou reversa), convém
associar ao ponto, em cada instante, um sistema de referência de
versores ,  e b e, em relação a ele, referir a aceleração vetorial através de
seus componentes:
37. Projeções de um movimento - se r = r(t) é a lei de movimento do ponto
P, seus componentes segundo os eixos x, y e z, de versores i, j e k serão,
respectivamente, x = x(t), y = y(t) e z = z(t), exatamente as funções escalares
de movimento dos pontos Px, Py e Pz, projeções ortogonais de P segundo Ox,
Oy e Oz, de modo que:

33
A expressão acima denomina-se 'expressão analítico-cartesiana do vetor
posição' ou 'lei cartesiana de movimento'. De conformidade com as leis do
cálculo diferencial valem:
37.1. Equações paramétricas da trajetória - a lei cartesiana de movimento
fornece x = x(t), y = y(t) e z = z(t) que são as equações paramétricas da
trajetória (o parâmetro é t). A equação normal (ou explícita) da trajetória se
obtém eliminando-se 't' no sistema de equações. Nos movimentos planos, que
nos interessam no momento, tem-se z = z(t) = 0.
37.2. Exemplo de aplicação - Seja dado o movimento obediente á seguinte
lei:
Reconhecemos: trata-se de um movimento plano, uma vez que é nulo o
componente segundo o eixo Oz. As projeções do movimento são,
respectivamente,
que são as equações paramétricas da trajetória. eliminando-se t entre elas
resulta: (eleve ao quadrado m.a.m. e some)
x2 + y2 = R2
equação de uma circunferência de centro na origem do sistema e raio R; logo,
o movimento é circular.
Da lei de movimento, por derivação, obtém-se a lei de velocidade:

34
Os componentes da velocidade são, respectivamente:
Tratando-se de componentes retangulares da velocidade vetorial, seu módulo
calcula-se mediante a expressão:
Efetuando-se o cálculo acima obtém-se |v| = .R = cte.; trata-se, portanto, de
um movimento cuja velocidade escalar é constante, ou seja, um movimento
uniforme.
Concluímos: o movimento proposto é um movimento circular e uniforme,
expresso vetorialmente.
38. Aspectos vetoriais de alguns movimentos -

35
38.1. Hodógrafos de alguns movimentos -
38.2. Composição de movimentos - se P está em movimento em relação ao
referencial A (referencial relativo) e A, por sua vez está em movimento em
relação ao referencial B (referencial absoluto), o movimento de P, em relação
a B, se diz composto dos movimentos anteriores.
A trajetória de P em A será a 'trajetória relativa'; a trajetória de A em relação
a B será a 'trajetória de arrastamento' e a trajetória de P em B será a
'trajetória absoluta'. Tais denominações valem para os deslocamentos,
velocidades e acelerações.
38.3. Princípio de Galileu (Independência dos movimentos) - "Num
movimento composto de vários outros simultâneos, cada um deles se executa
independentemente dos outros". Desse modo, os movimentos, para efeito de
estudos, podem ser imaginados como consecutivos. Para um dado intervalo
de tempo valem as proposições:
rabs. = rrel. + rarr.
vabs. = vrel. + varr.
aabs. = arel. + aarr. (translação pura)
Cinemática Vetorial
(Do ponto)
VII. Movimento de projéteis (no vácuo)
39. Projéteis -
São corpos assimiláveis a ponto material que, após um impulso
inicial, continuam seu movimento sob ação exclusiva da força
determinada pela gravidade local. Em qualquer instante de
movimento sua aceleração total é aT = g. Admite-se, nesse estudo

36
inicial, que a aceleração imposta pela gravidade g,
permaneçaconstante (módulo, direção e sentido) durante todo o
movimento. Assume-se, também, que para o breve intervalo de
tempo no qual o movimento se processa, o sistema de referência
ligado á Terra se comporte como inercial.
Se o impulso inicial tem direção vertical, o ponto realiza M.R.U.V. de direção
vertical e suas equações encontram-se no item 24 (resumo R4 - Queda livre).
Se o impulso inicial se dá na oblíqua (segundo ângulo de tiro ), o estudo do
movimento é feito através de suas projeções sobre os eixos Ox e Oy, que
definem o plano de sua trajetória; esse é o propósito desse item 39. Para tal
estudo interessa conhecer:
Condições iniciais:
39.1. Leis vetoriais de movimento:
Como a aceleração vetorial total a(t) deve ser sempre igual à g,
concluímos que ax(t) = 0, ou seja, o componente de g segundo Ox é
nulo; logo, o movimento segundo Ox é uniforme. Assim, a x(t) será do
tipo:
x(t) = xo + vx.t com vx = vox = vo.cos

37
Para as convenções adotadas (eixo y orientado positivamente para
cima) o componente ay(t) = - g = cte.; logo, o movimento segundo Oy
é uniformemente variado. Assim, a y(t) será do tipo:
y(t) = yo + voy.t - (1/2).g.t2
com voy = vo.sen
Desse modo, as leis vetoriais de movimento tornam-se:
39.2. Velocidade do projétil no instante t:
A relação entre a velocidade escalar (v) e a ordenada do ponto será:
v2
= vo
2
- 2.g.(y - yo), para todo t em seu intervalo de validade. [
demonstre isso! ]
39.3 Equação da trajetória do projétil -
Tomando-se, por comodidade, xo = 0 e yo = 0 (disparo a partir da
origem do sistema de coordenadas), a equação da trajetória descrita
pelo móvel se obtém eliminando-se o parâmetro t entre as equações
x(t) = vo.cos.t e y(t) = vo.sen.t - (1/2)g.t2
.Obtém-se:
que traduz um 'arco de parábola'.
De modo geral (xo e yo não nulos) tem-se:

38
39.4. Altura atingida (flecha) -
Para um dado vo e  obtém-se:
y = vo2.sen2/(2g) = h
39.5. Alcance horizontal -
Para um dado vo e  obtém-se:
x = vo2.sen2/g = D
39.6. Condição de tiro para alcance horizontal máximo -
 = 45o
e xmáx. = vo
2
/g
Nota: Em lançamento vertical ( = 0), a altura máxima atingida vem
dada por: ymáx. = H = vo
2
/(2g). Vale despertar que o alcance horizontal
máximo (xmáx.), com  = 45o
, é o dobro desse H; xmáx. = 2.H .
39.7. Ângulos de tiro para alcances iguais -
 e (90o
-  (complementares)
39.8. Duração da ascensão -
39.9. Duração do trajeto -
T = 2.ta
39.10. Acertando um alvo fixo
Objetivo
Usar das equações de movimento de um projétil, sob aceleração da
gravidade suposta constante e isento da ação do ar, para determinar
com que ângulo de tiro  pode-se acertar um alvo fixo. Nessa

39
aplicação são conhecidas as coordenadas do alvo P(xa,ya) e a
velocidade inicial do projétil vo.
Ilustração
Recordamos aqui que o
movimento do projétil no
plano (xOy) pode ser
decomposto em dois outros:
a) um uniforme ao longo do
eixo horizontal x e,
b) um uniformemente variado
ao longo do eixo
vertical y.
Os componentes da
velocidade inicial vo segundo
tais eixos são:
vox=
vo.cos e voy= vo.sen
As equações dos movimentos componentes do projétil serão,
portanto:
x = vo.cos.t
y = vo.sen.t + (1/2)(-g).t2
Conhecida as coordenadas (xa,ya) do alvo, teremos um sistema de
duas equações à duas incógnitas, a saber, t e . São elas:
xa = vo.cos.t e ya = vo.sen.t + (1/2)(-g).t2

40
Essa equação do segundo grau apresenta duas soluções, portanto,
dois possíveis distintos ângulos de tiro permitirão ao projétil atingir o
alvo. No item abaixo discutiremos essas soluções.
39.11. Parábola de Segurança -
Fixados Po(xo;yo), vo, g e um alvo A(xa;ya), a equação cartesiana da trajetória
conduz a uma equação do 2ograu em tg(sec2 = 1 + tg2), como visto acima
em 39.10; da qual obtém-se  .
Há três casos a considerar, e que se distinguem pelo discriminante  da
equação:
- Não há solução real: o objetivo está fora de alcance.
- Há duas soluções reais e distintas q1 e q2: o objetivo pode ser atingido
por tiro tenso (canhão) ou tiro elevado (morteiro). Os ângulos de tiro são
complementares se for Ya = yo .
- Há duas soluções coincidentes: o objetivo é atingível com um só
ângulo de tiro. O lugar geométrico dos alvos, nessa condição, é chamado
de Parábola de Segurança. Ela é a envolvente das trajetórias balísticas que
partem de Po com vo constante e qualquer. Ela separa a região batida da
região inatingível.
Sendo S(X;Y) o ponto genérico da Parábola de Segurança, obtém-se:

41
Cinemática dos Sólidos
VIII. Conceitos Básicos
40. Cinemáticas dos sistemas rígidos (sólidos) - Sistemas rígidos (ou
corpos rígidos) são sistemas de pontos materiais cujas posições relativas são
constantes independentes do tempo. Uma esfera de aço, um banco de roda-
gigante, uma cadeira, um pião etc., são exemplos de corpos rígidos.
Os movimentos fundamentais de um corpo rígido são 'translação' e 'rotação'.
Qualquer outro movimento pode ser decomposto em uma seqüência de
translações e rotações puras.
40.1. Translação - é o movimento no qual qualquer segmento de reta tomado
a partir de quaisquer dois pontos distintos A e B do corpo, se mantém paralelo
á posição inicial.
40.2. Rotação - é o movimento dos pontos do corpo em torno de uma reta fixa
que passa pelo mesmo, denominada 'eixo de rotação'.

42
40.3. Propriedades na translação -
a) Todos os pontos do corpo descrevem trajetórias superponíveis; qualquer
uma delas é a trajetória do corpo.
b) Todos os pontos do corpo, em cada instante, têm a mesma velocidade
vetorial e a mesma aceleração vetorial, que se denominam 'velocidade e
aceleração do corpo em translação': vA(t) = vB(t) e aA(t) = aB(t).
40.4. Propriedades na rotação -
a) todos os pontos descrevem circunferências em planos paralelos e cujos
centros se acham sobre o eixo de rotação.
b) Todos os pontos do corpo, em cada instante, têm a mesma velocidade
angular e a mesma aceleração angular: P(t) = Q(t) e P(t) = Q(t).
c) Para cada ponto do corpo em rotação, a velocidade escalar é proporcional
à sua distância ao eixo, o mesmo acontecendo com o módulo do vetor
aceleração, em cada instante: v1/v2 = r1/r2 e |a1|/|a2| = r1/r2.
40.5. Acoplamentos - corpos em rotação, tais quais os 'discos' e 'rotores',
podem ser acoplados por um mesmo eixo ou mediante uma correia.
41. Classificação dos movimentos de sistemas rígidos:
Translação
Quanto à
trajetória
Quanto à
velocidade
translação retilínea
translação curvilínea
translação uniforme (v=cte.)
transl. uniform. variada (=cte.)

43
translação qualquer
Rotação
Quanto à
velocidade
rotação uniforme (=cte.)
rotação uniform. variada
(=cte.)
rotação qualquer
Qualquer - composições de translações e
rotações
Cinemática do M.H.S.
(Movimento Harmônico Simples)
IX. Cinemática do movimento harmônico simples
42. Introdução - Para compreender e explicar os fenômenos naturais, em
particular, os denominadosfenômenos físicos, a Física lança mão de
'modelos', 'esquemas' e 'teorizações' não raras vezes artificiosas. A estrutura
de um bom modelo, em geral, contém conceitos matemáticos. Veremos, a
seguir, um modelo que se ajusta bem a uma vasta categoria de fenômenos
físicos que reproduzem identicamente, suas características peculiares, a
intervalos de tempos sucessivos e de extensões iguais --- são
os fenômenosperiódicos.
Dentre todos os fenômenos periódicos, vamos nos fixar naqueles para os
quais aplicam-se os conceitos de movimento, espaço, velocidade, força,
energia etc. --- são os movimentos periódicos; para os quais reconhecemos
também os conceitos de período (T) e freqüência (f).
Se um movimento, além de periódico, apresentar sentido de movimento
regularmente invertido, ele se enquadra no modelo geral das Oscilações e
será denominado movimento oscilatório ou vibratório. O mais simples deles --
e portanto básico -- é estudado mediante uma função periódica harmônica
(em seno ou cosseno) e, a partir dele pode-se estudar todos os demais
movimentos oscilatórios. Esse movimento fundamental é o movimento
harmônico simples (m.h.s.).

44
42.1. Que é uma função periódica? - Bem, agora é a vez da matemática,
que nos dá a seguinte definição:
42.2. Propriedades (importante!) -
43. Lei de movimento do m.h.s. - independente da forma da
trajetória  (porém previamente conhecida) é todo movimento cuja lei horária
é do tipo:
s = A.cos(B.t + C) ... S.C.U.
onde A, B e C são parâmetros (constantes em relação ao tempo).
43.1. Movimento retilíneo harmônico simples (MRHS) - a trajetória do
ponto que realiza o MHS é um segmento de reta. Esse caso particular,
tradicionalmente estudado em nível médio, pode, por questão de comodidade
e visualização, ser desenvolvido como projeção de um MCU sobre um
diâmetro qualquer. Nesse caso, o argumento do cosseno (na lei de definição),

45
B.t + C, é exatamente a lei horária angular do MCU e o coeficiente A se
identifica com o raio da circunferência. Assim, enquanto o ponto P descreve
seu MCU, sua projeção M sobre o diâmetro AA' descreverá o MHS.
Desse ponto em diante, ao referirmo-nos ao MHS estaremos falando desse
caso em que a trajetória é retilínea. Adotaremos as seguintes notações:
44. Equação típica do movimento harmônico simples -
s = a.cos(.t + o) ... S.I.
com a,  e o constantes em relação ao tempo.
44.1. Exemplos de sistemas que executam MHS -

46
44.2. Características do MHS -
a) Período (T) - é a extensão do intervalo de tempo que separa a passagem
do ponto duas vezes pela mesma posição, com o mesmo sentido de
movimento, consecutivamente. Matematicamente é o menor dos A que
satisfaz a função periódica s = a.cos(.t+o). De modo elementar, é o
intervalo de tempo necessário para o ponto realizar uma oscilação completa.
b) Freqüência (f) - é, numericamente igual, ao número de períodos que
perfazem a unidade de tempo; matematicamente: f = 1/T s-1 = 1/T Hz (hertz).
De modo elementar, é o número de oscilações completas que o ponto realiza
na unidade de tempo.
c) Elongação (s) - é o espaço do ponto no sistema de coordenadas abscissas
definido sobre a sua trajetória. Matematicamente é o valor da função s = s(t)
no instante t.
d) Amplitude (a) - é, em valor absoluto, a elongação máxima do ponto P que
realiza o MHS; é também a medida do segmento de reta OA ou OA', com O

47
sendo o ponto médio do segmento AA'. É, ainda, a distância da 'posição de
equilíbrio' O a qualquer um dos pontos de inversão do movimento.
e) Pulsação () - é a grandeza física que indica o período ou a freqüência
mediante as relações:  = 2/T ou  = 2f. Em virtude disso, também é
reconhecida como 'freqüência angular'. Note que a relação entre e T é uma
conseqüência matemática da função que define o MHS. Nesses termos, a lei
de movimento do MHS pode ser posta como:
s = a.cos[(2/T).t + o)] ou s = a.cos(2f.t + o)
f) Fase () - ( = .t + o) é o argumento do cosseno na lei horária. Localiza,
angularmente, o ponto P, no instante t.
g) Fase inicial (o) - indica, angularmente, a posição inicial do ponto pois, para
t = 0, tem-se so =a.coso . Note que, o fica subordinado apenas à escolha da
origem dos tempos.
45. Funções do movimento harmônico simples -
a) lei horária ................. s = a.cos(.t + o)
b) lei de velocidade .... v = - .a.sen(.t + o)
c) lei de aceleração ....  = -2
a.cos(.t + o)
d) lei fundamental ........  = -2
.s = -(42
/T2
).s = -42
f2
.s
e) lei binômia ............... s = A.cos.t + B.sen.t , com A = a.coso e B
= -a.seno
f) lei de Torricelli ......... v2
= 2
.(a2
- s2
)
g) lei do período .......... T = 2.(a/)1/2
45.1. Propriedades do MHS -
a) A aceleração escalar é uma função senoidal do tempo.
b) A aceleração escalar é proporcional à elongação, com sinal trocado; o
coeficiente de proporcionalidade é o quadrado da pulsação.
c) A aceleração está sempre em oposição de fase com a elongação
(ângulo r,a = 180o --- veja representação de Fresnell).
d) A velocidade está sempre em quadratura de fase, adiantada, em relação à
elongação (ângulo v,r = 90o).
45.2. Gráficos cartesianos do MHS - s x t, v x t e  x t:

48
45.3. Gráficos - propriedade fundamental ( x s) e v x s (diagrama de
Torricelli):
45.4. Representação Fresnelliana - vetores girantes -

49
46. Movimento circular harmônico simples (MCHS) -

50
Cinemática do M.H.S.
(Movimento harmônico simples)
X. Composições de movimentos harmônicos simples
47. Composição de dois mm.hh.ss. de mesma direção e mesmo período -
A composição de dois movimentos harmônicos simples nas condições
especificadas origina um novo MHS, de mesmo período que os componentes,
na direção dada. A amplitude R do movimento resultante e sua fase
inicial o são calculadas pelas expressões a seguir. O ângulo constante que o
movimento resultante faz com o primeiro movimento será indicado por ; em
qualquer instante, a fase do movimento resultante será a fase do primeiro
movimento (o1) acrescida de  : o =  + o1.
movimentos componentes: s1 = a.cos(.t + o1)
s2 = b.cos(.t + o2)
movimento resultante : s = s1 + s2 = R.cos(.t + o) com:
47.1. Discussão - Se:
a)  = 0 rad (concordância de fases), com a = b tem-se interferência co
nstrutiva e com a =/= b tem-seinterferência parcialmente construtiva.

51
b) /2 rad - os movimentos estão em quadratura de fases.
c)  rad (oposição de fases), com a = b tem-se interferência destrutiva e
com a =/= b tem-seinterferência parcialmente destrutiva.
48. Composição de dois mm.hh.ss. de mesma direção e períodos
diferentes - o movimento resultante não é harmônico simples. Se os períodos
dos movimentos componentes são comensuráveis (razão racional), o
movimento resultante é periódico; se são incomensuráveis o movimento
resultante nemperiódico será.
48.1. Discussão - para períodos comensuráveis tem-se:
a) T1/T2 = p/q ... (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é
o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes.

52
b) T1/T2 = p/q ... (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante
é igual ao maior dos períodos componentes.
c) T1/T2 = p/q ... (p próximo de q) - batimento - o período de batimento
associado ao movimento resultante é Tb = (T1 x T2)/|T1 - T2|; a freqüência de
batimento é fb = |f2 - f1|, o período do movimento resultante é om.m.c. dos
períodos componentes.
49. Composição de dois movimentos harmônicos simples de direções
ortogonais:
a) mesmo período - o movimento resultante é periódico, de período igual ao
dos componentes. O tipo de movimento resultante e de sua trajetória é função
da defasagem dos movimentos componentes:
a1)  = 0 rad ....... a = b ..... trajetória = segmento de reta; movimento = MHS
(I)
a =/= b ... trajetória = segmento de reta; movimento =
MHS (II)
a2)  = /2 rad......a = b ..... trajetória = circunferência; movimento = MCU
(III)
a =/= b.. trajetória = elipse simétrica; movimento = lei
das áreas (IV)
a3)  =  rad ....... a = b ..... trajetória = segmento de reta; movimento = MHS
(V)
a =/= b... trajetória = segmento de reta; movimento =
MHS (VI)
a4)  = 3/2 rad .. a = b ..... trajetória = circunferência; movimento = MCU
(VII)
a =/= b.. trajetória = elipse simétrica; movimento = lei
das áreas (VIII)
Equação geral das trajetórias

53
b) períodos diferentes - se os períodos componentes são comensuráveis, o
movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos
componentes. As trajetórias são figuras particulares e o conjunto deles
denomina-se figuras de Lissajous.
Nota: para períodos comensuráveis vale a relação:
onde nh é o número de intersecções de uma secante horizontal com a figura
de Lissajous e nv é o número de intersecções de uma secante vertical com a
mesma figura, que é a trajetória do ponto que realiza o movimento resultante.
Se os períodos componentes são incomensuráveis, a trajetória resultante não
é definida e o ponto varre toda a área do retângulo (2a x 2b); o movimento
resultante não é periódico.

54
16 em 1 ... o M.H.S.
(Movimento harmônico simples)
Introdução
Descrição
Condições de contorno
Ilustrações
Técnica das demonstrações
Propósito e agradecimentos
Elasticidade
(1) Sistema massa-mola
(2) Sistema massa-corda
(3) Sistema massa-barra esbelta
(4) Sistema disco-eixo
(5) Sistema massa-barra
Gravitacionais
(6) Pêndulo matemático
(7) Partícula dentro da esfera
(8) Pêndulo físico
(9) Cilindro não-homogêneo
(10) Partícula-túnel através da Terra
Acústicos
(11) Sistema pistão-cilindro
(12) Ressoador de Helmholtz
Hidrostáticos
(13) Líquido em tubo em U
(14) Sistema cilindro flutuante-líquido
Elétricos
(15) Circuito indutância-capacitância
Extras
(16) Prancha sobre roletes
(17) Oscilador não-harmônico simples
Introdução
O movimento harmônico simples pode ser examinado sob vários pontos de
vista e, sem dúvida, muitos textos já os exploraram, culminando com
exemplos físicos para esse tipo de movimento. Entretanto, como tenho
observado, os professores do ensino médio assim como os do curso
fundamental universitário, restringem-se quase que exclusivamente ao
sistema massa-mola ou então ao pêndulo simples executando oscilações de
pequenas amplitudes.
Isso parece-me um tanto injusto com a natureza das coisas, uma vez que, tal
lei de movimento aparece em muitos outros campos da física, pelo menos
dentro de uma boa aproximação. O propósito desse texto é chamar a atenção
para esse fato e, talvez, tornar-se útil para aulas introdutórias tanto a nível
médio como fundamental universitário.
Descrição
Colecionei aqui 16 fenômenos distintos lastrados na lei fundamental
do MHS (aceleração proporcional à elongação, com sinal trocado).
Alguns deles são bem conhecidos, outros menos. Nem todos os
fenômenos são independentes um do outro; todos os sistemas
elásticos, por exemplo, executam vibrações que, no fundo, são
devidas à lei de Hooke. Do ponto de vista prático, entretanto, eles

55
podem ser considerados como distintos e assim, foi listado como tal.
No fechamento do texto, apresento um sistema famoso, cujas
vibrações não são harmônicas simples, embora à primeira vista
possam parecer como tal. Isso foi posto para despertar no leitor que,
embora o MHS seja muito comum, nem todas as vibrações que
observamos, mesmo no dia-a-dia, sejam desse tipo. As vibrações
consistem, de fato, num assunto muito interessante e rico em
detalhes.
Condições de contorno
Em todos os casos foi assumido que o sistema apresenta apenas um
grau de liberdade, isto é, apresenta uma única coordenada
executando o MHS. Portanto, fenômenos que envolvam vibrações
como as que vemos num diapasão ou na superfícies dos líquidos
quando perturbadas, embora próximos do movimento harmônico
simples, não foram incluídos na coleção porque eles envolvem
sistemas contínuos, ou seja, apresentam um número infinito de graus
de liberdade. Esses serão úteis, outrossim, para o estudo das ondas.
Também foi pressuposto que não ocorre qualquer dissipação de
energia no sistema abordado; isso, em alguns exemplos citados, é
até bem plausível, em outros, como o de um corpo imerso em um
líquido, essa suposição não se justifica no todo, uma vez que as
vibrações serão rapidamente amortecidas.
Outro pressuposto refere-se à amplitude das oscilações, as quais
tomaremos como suficientemente pequenas, de modo que o sistema
apresente comportamento linear.
Ilustrações
Em cada caso a figura dá os parâmetros físicos relevantes do problema,
assim como qual é a coordenada que executa o movimento medida a partir da
posição de equilíbrio. A propriedade de destaque do sistema, nomeada de
'constante de força', na equação fundamental do MHS (aceleração = -
'constante de força' x coordenada em MHS), que traduz o 'quadrado da
pulsação' (em radianos/segundo) ou o 'quadrado da freqüência angular' é,
também, apresentada nessa ilustração, em termos das constantes físicas do
sistema.
Técnica das demonstrações
O aluno do ensino médio poderá estranhar 'um pouco' a técnica para
a obtenção da propriedade de destaque do sistema oscilante; o do
ensino superior reconhecerá imediatamente ser um 'caminho natural'.
Isso advém do fato de que o aluno do ensino médio 'aprende' o
movimento por vias cinemáticas e, para ele, é 'natural' a seqüência:
lei horária (definindo o movimento), lei da velocidade e lei de
aceleração, passando da anterior para a posterior por derivações
sucessivas: v = ds/dt e a = dv/dt = d2
s/dt2
.

56
O aluno do ensino superior assume como 'natural' o caminho inverso
(tratamento dinâmico), que é o aqui adotado. A técnica, portanto,
resume-se em:
(a) reconhecer as forças que agem no corpúsculo em sua posição de equilíbrio;
(b) afastar, ligeiramente, o corpúsculo dessa posição de equilíbrio (afastamento linear
ou angular);
(c) caracterizar a resultante das forças que agem no corpúsculo como sendo de
restituição, do tipo elástica;
(d) aplicar o princípio fundamental da dinâmica (2a lei de Newton - para translação ou
rotação);
(e) obter a aceleração (linear ou angular) em função do deslocamento dado ao
corpúsculo.
A (e) deve resultar em "aceleração é diretamente proporcional ao
deslocamento, com sinal oposto". A 'constante de proporcionalidade'
nessa expressão é a nossa "constante de força do sistema" ou o
"quadrado da pulsação do movimento".
Nessa técnica, por simplicidade de notação usaremos, quando
necessário, por exemplo,
Uma vez obtido o "quadrado da pulsação" (), que caracteriza o
movimento em função das constantes do sistema oscilante, poderemos
equacionar o período de movimento (T), mediante: T = 2/.
Os exemplos 'menos famosos' serão analisados com alguns detalhes.
Propósito e agradecimento
Obviamente, esta coleção pode ser ampliada (e, para tanto aguardo
participações) para incluir muitas variações dos casos apresentados, como
por exemplo, o do cilindro que rola sobre uma curva côncava, em lugar de
uma superfície plana. O propósito da coleção não é tanto investigar o
comportamento físico de cada sistema (para isso há os compêndios
apropriados, e não estranharia encontrá-los na www --- os quais incluirei aqui
assim que descobri-los!) e sim enfatizar a analogia matemática entre eles.
Agradeço a todos que vierem a colaborar com a ampliação desse texto,
enviando críticas e sugestões.
Espero que encontrem utilidade para o trabalho.

57
Elasticidade
Importante: Observe atentamente que g (aceleração da gravidade) não
interfere nas oscilações próprias do sistema. Há alunos que concordam de
imediato, tratar-se de um MHS, quando o bloco oscila na horizontal, sobre a
mesa lisa, mas relutam em aceitá-lo quando oscila na vertical, "por causa do
peso". Para excluir, por definitivo, essa relutância, recomendo a leitura do
texto posto na Sala de Leituras/Teorias Recomendadas (Sala 19), com o
título: Período de oscilação.
T é a tração na corda, constante durante as oscilações de pequenas
amplitudes, isto é, nas situações onde podemos aceitar as
substituições: sene cos1. Para tais situações, perceba que
a força de restituição sobre a partícula de massa m, deslocada de x
de sua posição de equilíbrio é T(x/b + x/a) de modo que:
T(x/b + x/a) = -m.- m.(d2
x/dt2
)
logo: d2
x/dt2
= - (T/m)(1/a + 1/b).x ==> k = 
= (T/m)(1/a + 1/b) ,
como se indica na ilustração acima.

58
Especificamente, I é o momento de inércia polar da secção reta da
barra, que é constante.
O disco circular apresenta momento de inércia I em relação ao eixo
de rotação; J é o momento de inércia polar da secção circular
transversal do eixo de diâmetro d. Importante não confundir
'momento de inércia polar J da área (cuja dimensão é --
comprimento2
--) com o 'momento de inércia I da massa (cuja
dimensão é -- força x tempo2
x comprimento --).
Os fenômenos elásticos aplicados aos gases estarão sob o título
'Acústicos'.

59
Gravitacionais
g = aceleração local da gravidade
(6)- Pêndulo matemático (ou simples): Embora este exemplo de
movimento seja bem conhecido, provavelmente o mais conhecido de todos,
vale a pena analisa-lo uma vez que serve de 'âncora' para ilustrar o fato de
que o comportamento harmônico simples de todos os sistemas é só uma
aproximação; uma boa aproximação, baseada na suposição de 'oscilações de
pequenas amplitudes'.
Assumindo-se como a coordenada em questão como
sendo (t), sendo  o ângulo de deflexão com a vertical (algumas vezes
essa coordenada é tomada como sendo a projeção horizontal x = x(t)), e
tomando os momentos das forças assim como os momentos de inércia em
relação ao pivô podemos, aplicando asegunda lei de Newton para as
rotações [resultante dos momentos das forças = momento de
inércia vezesaceleração angular], escrever:
... eq.(6.1) ...
Agora podemos expressar sen como uma série de potências que
converge para todos os valores de ,isto é:
... eq.(6.2) ...
Se  é suficientemente pequeno (mais precisamente, se todas as potências
mais altas de  são desprezíveis em comparação com ) então, para uma
aproximação, podemos substituir sen por e a eq.(6.1) torna-se:
... eq.(6.3) ...

60
Que é a exata equação diferencial do M.H.S., o que implica numa freqüência
angular  = (g/l)1/2
e período T = 2(l/g)1/2
, ambos independentes das
condições iniciais e, em particular, da amplitude do movimento.
Porém, se  não é pequeno, deveremos levar em conta cada vez mais termos
na eq.(6.2) o que levará a uma equação de movimento, eq.(6.3), não-linear.
A eq.(6.1), como sabemos, não possui uma solução que possa ser posta em
termos de funções 'elementares', requerendo o uso de funções elípticas (que
é meramente outro modo de se dizer que não podemos 'explicitar' a solução).
Como resultado final, fica patente entretanto, que o movimento, embora
periódico, não é harmônico simples e, uma conseqüência disso é que a
freqüência (e portanto o período) dependerá da amplitude --- um contraste
marcante com o caso linear expresso pela eq.(6.3).
Isso nos leva a ver que, as observações de Galileu sobre o isocronismo das
oscilações do lustre na catedral de Pisa (que tanto o impressionou!), não eram
tão certas assim, afinal de contas!
Teoria padrão, comum nos livros de Física. Repare a aplicação do
teorema de Steiner: IP=I0+md2
.

61
(9)- Cilindro não-homogêneo oscilando sobre superfície horizontal lisa:
tomando-se os momentos em relação ao ponto A, eixo instantâneo de
rotações, teremos, pela segunda lei de Newton para as rotações:
mas, pelo teorema dos eixos paralelos, IA = IO + mz2 fica:
Agora, para pequenos ângulos de rotações, para os quais valem cos ~ = 1 e
sen ~ = 0, fica:
(10)- Partícula caindo através do túnel que passa pelo centro da Terra: é
bastante conhecido que uma partícula que cai livremente dentro de uma
massa com simetria esférica, só é atraída, efetivamente, pela porção de
massa que a separa do centro dessa esfera. Isso pode parecer estranho a
alguns alunos, por 'acharem' que ficarão mais pesados quanto mais se
aproximarem do centro da Terra; mas, é fácil dissipar o derivado do senso

62
comum.
Quando se está 'fora' da Terra o peso de seu corpo pode ser pensado como
uma só força, agindo num único sentido, e proveniente de toda a massa da
Terra concentrada em seu centro. Quando se está 'dentro' da Terra, a força
de atração das massas não se exerce num único sentido e sim em todos os
sentidos. Seu corpo será 'puxado' para baixo pelas massas que se encontram
sob ele e, simultaneamente, atraído para o alto pelas massas que se
encontram sobre ele. Na verdade, só a massa que se encontra entre o corpo
e o centro da Terra terá importância para a avaliação do 'atual' peso do corpo.
Ao chegar ao centro da Terra o peso do corpo será zero uma vez que será
atraído, em todos os sentidos, por forças que se equivalem.
Desse modo, se a distância da partícula (m) até o centro da Terra é r, a força
gravitacional efetiva que age sobre ela será dada por:
FG = G.M'.m/r2
onde M' é a massa da esfera de raio r. Agora, assumindo que a Terra
apresente uma distribuição uniforme de massas, podemos por:
de modo que a equação diferencial de movimento (com coordenada r)
assumirá a forma:
Mas, por definição, a aceleração da gravidade nos pontos da superfície da
Terra é g = GM/R2 e, então, substituindo-se, temos:
2 = g/R
Assumindo-se os valores g = 9,81 m/s2 e R = 6,37x106 m, o período de
oscilação da partícula dentro desse túnel será:
T = 2 = 5 070 s = 84,5 minutos
Curiosamente, isso vale para qualquer túnel que atravesse horizontalmente a
Terra segundo uma corda. Obviamente desprezando-se a resistência do ar ao
movimento e considerando-se as condições de contorno da demonstração.

63
Acústicos
(11)- Pistão oscilando no cilindro cheio de gás: O módulo de compressão
volumétrica do gás é dado por:
... eq.11.1 ...
onde V é o volume de equilíbrio, P é a variação de pressão ao redor da
pressão de equilíbrio e V é a correspondente variação de volume. No caso
proposto, P = P - Po é a pressão acústica, isto é, o excesso da pressão
instantânea P sobre a pressão de equilíbrio Po(normalmente a pressão
atmosférica Patm.).
Se A é a área da seção reta do pistão e x = x(t) é o deslocamento medido a
partir da posição de equilíbrio teremos, para a equação de movimento do
pistão:
... eq.11.2 ...
Da eq.11.1 tiramos: P = - B.V/V, que levada na eq.11.2 fornece:
... eq.11.3 ...
A variação de volume (V) pode ser posta sob a forma: V = A.x, e teremos:
... eq.11.4 ...
Observamos novamente, pela eq.11.4, a lei de movimento do MHS e, da qual
tiramos:
... eq.11.5 ...

64
Na prática, podemos distinguir dois casos: um para o processo isotérmico e
outro para o adiabático. Esse último é normalmente o caso que se aplica aos
fenômenos acústicos onde as variações de pressão são muito rápidas, de
modo que toda troca de calor é negligenciável.
No caso do processo ser isotérmico teremos:
... eq.11.6 ...
Donde,
... eq.11.7 ...
Dessa última e da eq.11.5 tiramos:
...eq.11.8 ... "quadrado da pulsação no processo
isotérmico".
No caso do processo ser adiabático teremos:
... eq.11.9 ...
onde é a razão entre os coeficientes dos calores específicos à pressão
constante e a volume constante (cp/cv).
Então:
... eq.11.10 ...
Dessa última e da eq.11.5 tiramos:
..eq.11.11... "quadrado da pulsação no processo adiabático".

65
(12) O ressoador de Helmholtz : Nesse exemplo, o pistão indicado
na (11) será substituído por um 'pescoço' de comprimento l e área da seção
reta A.
Se assumirmos que toda a massa de ar contida nesse pescoço mova-se
como um todo (para fazer as vezes de pistão), e assim o sistema apresentará
apenas um grau de liberdade, poderemos substituir essa massa do 'pistão'
por m = l.A , de modo que, pela eq.11.5 vem:
Hidrostáticos
(13) Líquido oscilando em tubo em U : Para um deslocamento genérico x
da superfície do líquido, contado a partir da posição de repouso (equilíbrio), a
resultante das forças que age sobre a massa total oscilante é: - 2.A.g.x ,
onde é a massa específica do líquido e A a área da seção reta do tubo,
suposta constante. Essa resultante acelera toda a massa líquida que vale :
2.A(h+d). A equação diferencial de movimento será:

66
(14) Cilindro flutuando em líquido : Na situação de equilíbrio, indiquemos
por: L e s as massas específicas, respectivamente, do líquido e do cilindro
(sólido); V e V' os volumes total e da parte imersa do sólido. Pelo princípio de
Arquimedes pomos:
... eq.14.1 ...
expressão que traduz o equilíbrio entre o peso do corpo sólido e o empuxo
despertado sobre ele.
A seguir, damos um pequeno deslocamento vertical (x - medido na vertical
para cima) ao cilindro, retirando-o da situação de equilíbrio estático. Nessa
situação, a resultante das forças sobre ele, na vertical, assume o valor:
... eq.14.2 ...
mas, pela eq.14.1, o primeiro e o terceiro termo cancelam-se, e a equação
diferencial de movimento do corpo será:
Esse resultado pode ser expresso de outro modo, lembrando que, sendo a
massa do corpo igual a 's.A.h', sendo h a altura do cilindro, podemos por:

67
... eq.14.5 ...
Elétricos
(15)- Circuito Indutância-capacitância : Este circuito elétrico foi
acrescentado à lista com o propósito de destacar a questão das 'analogias'
existentes entre os sistemas mecânicos e os circuitos elétricos. Entenda-se
por sistemas 'análogos' aqueles cujas equações diferenciais do movimento
são matematicamente as mesmas. Quando isso acontece, os termos
correspondentes nas equações diferenciais do movimento são análogas.
O encaminhamento básico para estudar os circuitos elétricos equivalentes aos
sistemas mecânicos são as leis de Kirchhoff:
1a lei (das tensões): A soma algébrica de todas as tensões em qualquer percurso
elétrico fechado (malha) é igual a zero;
2a lei (das correntes): A soma algébrica de todas as correntes que passam por um nó é
igual a zero, em qualquer circuito.
Há duas analogias elétricas para os sistemas mecânicos:
(a) a analogia 'tensão-força' (ou indutância-massa) e
(b) a analogia 'corrente-força' (ou capacitância-massa).

68
Para a maioria dos sistemas usa-se da (a). O quadro, a seguir, mostra ambas
as analogias:
Sistema Mecânico Sistema Elétrico Sistema Elétrico
Analogia
Tensão-força Corrente-força
Princípio D'Alembert 1a lei Kirchhoff 2a lei Kirchhoff
Grau de liberdade Malha Nó
Força aplicada - F Tensão - U Corrente - i
Massa - m Indutância - L Capacitância - C
Deslocamento - x Carga - q = (integral)U.dt
Velocidade - dx/dt Corrente - i Tensão -nó- U
Amortecimento - c Resistência - R Condutância - 1/R
Mola - k 1/capacitância - 1/C 1/indutância - 1/L
Regra para circuitos elétricos equivalentes aos sistemas mecânicos:
"Se as forças atuarem em série no sistema mecânico, os elementos que
representam essas forças são associados em paralelo; forças
em paralelo são representadas por elementos emsérie, em circuitos
elétricos."
Nota: A fim de que a analogia elétrica seja completamente equivalente ao
sistema mecânico em questão, é usada a análise dimensional para obter a
escala correta de fatores, para que os dois sistemas fiquem idênticos. Os
'números', a seguir, podem ser obtidos da análise dimensional:
Posto isso, vamos mostrar as analogias entre os sistemas (1- massa-mola) e
(15- indutância -capacitância). Usaremos do texto e das ilustrações, a seguir:

69
"Um circuito elétrico contém um capacitor C, um indutor L e uma chave
interruptora ch, em série.
O capacitor tem, inicialmente, uma carga qo e a chave ch é mantida aberta
para t < 0. Se a chave é fechada em t = 0, achar a carga subseqüente no
capacitor."
Usando a 1a lei de Kirchhoff para a malha em questão temos:
Compare esse circuito elétrico (a) com o sistema massa-mola (b), com um
grau de liberdade.
A equação desse movimento, como vimos é:

70
onde xo é o deslocamento inicial (amplitude) da massa m a contar da posição
de equilíbrio estático.
Extras
(16) Prancha sobre cilindros : Uma prancha horizontal repousa em A e B
sobre dois roletes (cilindros), os quais giram com mesma velocidade
angular , porém em sentidos opostos (A horário, B anti-horário). De início a
prancha homogênea está centrada entre os dois roletes, ou seja, o CG da
prancha coincide com o ponto médio entre os dois apoios. A distância entre os
eixos dos roletes é 2a. A prancha encontra-se em repouso (equilíbrio), e a
distância do CG a qualquer dos apoios é a.
Nessa situação, tomando-se B como pólo para os momentos das forças, as
equações de equilíbrio são:
FA + FB = P (1a condição) e FA.2a - P.a = 0 (2a condição)
donde resulta: FA = FB = P/2
A seguir, vamos dar um pequeno deslocamento horizontal x para a prancha,
retirando-a de sua condição de equilíbrio. Como o CG desloca-se de uma
distância x para a direita (vide ilustração), a força de atrito em B será maior do
que em A, tendendo a restituir a prancha à sua posição inicial (a resultante
das forças sobre a prancha é de restituição). A seguir, mostraremos que essa
resultante é também do tipo elástica, ou seja, seu módulo é proporcional ao
deslocamento. Vejamos:

71
O equilíbrio na vertical e os momentos tomados em relação a B nos fornecem:
onde P = m.g é o peso da prancha e FA e FB são as forças verticais para
cima exercidas pelos roletes contra a prancha.
Da eq.16.1 e da eq.16.2 tiramos:
As forças de atrito despertadas em A e B serão, como sabemos, proporcionais
às forças FA e FB, ou sejam: fat.A = FA e fat.B = FB , tendo mesma direção
(horizontal) e sentidos opostos (ambas dirigidas para o CG). Assim, a
resultante das forças que agem sobre a prancha será:
Obtida a resultante, função de x (e observe que seu módulo é proporcional ao
deslocamento), a equação diferencial de movimento da prancha será:
... eq.16.5 ...
o que implica num MHS, com freqüência angular dada por:
... eq.16.6 ...
Se os roletes girassem em sentidos opostos ao indicado nas ilustrações, a
situação seria bastante diferente. A nova resultante será:
... eq.16.7 ...
e a equação diferencial de movimento torna-se:
... eq.16.8 ...

72
que apresenta solução hiperbólica do tipo:
... eq.16.9 ...
onde A, B, C e D são constantes e
... eq.16.10 ...
A natureza do movimento, nessa última situação, depende essencialmente
das condições iniciais, isto é, dos valores de x e de dx/dt no instante t = 0,
uma vez que esses valores determinarão as constantes A e B (ou C e D).
Observe a possibilidade que, para x = 0, o equilíbrio é instável.
17- Oscilador não-harmônico simples: Considere a roda de raio a girando
com velocidade angular constante . A um ponto de sua periferia está
pivotado um extremo do eixo de manivela de comprimento l,que pode girar
livremente. O outro extremo dessa manivela é vinculado e obrigado a
percorrer o eixo x, que passa pelo centro da roda.
Em vários compêndios o movimento desse extremo do eixo de manivela,
vinculado ao eixo x, é assumido como MHS. Entretanto, esse extremo, apesar
de realizar um movimento periódico de freqüência angular (ou pulsação) ,
não é harmônico simples.
Já fizemos alguns comentários sobre isso no projeto "Figuras de Lissajous
em 3D" da Sala 10.
Mostraremos mais, sobre isso, a seguir:
(17) Movimento do extremo da manivela : Tomemos como eixo dos x a
linha ao longo da qual desloca-se o extremo direito da manivela, com origem
no centro da roda ou biela. As coordenadas desse ponto extremo será (x,0).
Com isso teremos:
... eq.17.1 ...

73
Resolvendo essa equação para x = x(t) obtemos:
... eq.17.2 ...
Uma vez que , haverá valores reais para x desde que a
condição seja satisfeita. A eq.17.2 mostra que o movimento é periódico
com período T = 2, mas não é harmônico simples, exceto em dois casos
extremos:
(a) Quando l = a, teremos as soluções x = 0 ou x = 2a.cos t, MHS de
amplitude 2a.
(b) Se l >> a (muito maior que a), de modo que tenhamos l / a >> 1, teremos a
partir da eq.17.2 os seguintes resultados aproximados:
x = a cos t + l e x = a cos t - l
O que indica um MHS com amplitude a, mas com posição de equilíbrio
deslocada em relação ao centro da roda.
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