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Coordenadas Polares

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Coordenadas Polares

  1. 1. 1. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares: (1 pt. c/u) a. (2,8) b. (−5, −6) c. (√2, 1 5 ) -5 B - 6 x Y 2 8 A a) El punto A está en el primer cuadrante: Y √2 1/5 C x Y 푟 = √22 + 82 = √4 + 64 = √68 = √4 ∙ 17 = 2√17 푡푎푛휃 = 8 2 ⇒ 휃 = tan−1(4) = 75,96° Luego el punto A, es: 퐴(2√17; 75,96°) b) El punto B está en el tercer cuadrante: 푟 = √(−5)2 + (−6)2 = √25 + 36 = √71 푡푎푛휃 = −6 −5 ⇒ 휃 = tan−1(1,2) = 230,19° Luego el punto B, es: 퐵(√71; 230,19°) c) El punto C está en el primer cuadrante: 2 + (1/5)2 = √2 + 1/25 = √21/25 = 푟 = √(√2) x √21 5 푡푎푛휃 = 1/5 √2 ⇒ 휃 = tan− 1 ( 1 5√2 ) = 8,05° Luego el punto C, es: √21 5 퐶 ( ; 8,05°) 2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 퐫 =ퟏ +퐬퐞퐧 훉. (2 pts.) Solución:
  2. 2. 1 2 퐴 = 2 [ 휋 2 ∫ 푟2푑푟 − 휋 2 ] 휋 2 퐴 = ∫ (1 + 푠푒푛휃)2푑푟 휋 2 − 퐴 = 1 2 휋 2 ∫ (1 + 2푠푒푛휃 + 푠푒푛2 휃)푑푟 − 휋 2 퐴 = 1 2 ∫ (1 + 2푠푒푛휃 + 1 + 푐표푠2휃 2 ) 푑푟 휋 2 휋 2 − 퐴 = 1 2 ∫ (1 + 2푠푒푛휃 + 1 2 + 1 2 푐표푠2휃) 푑푟 휋 2 − 휋 2 퐴 = 1 2 ∫ (2푠푒푛휃 + 3 2 + 1 2 푐표푠2휃) 푑푟 휋 2 − 휋 2 퐴 = 1 2 (−2푐표푠휃 + 3휃 2 + 1 4 푠푒푛2휃)| − 휋 2 휋 2 퐴 = 1 2 [(−2푐표푠 ( 휋 2 ) + 3 2 ∙ 휋 2 + 1 4 푠푒푛휋) − (−2푐표푠 (− 휋 2 ) + 3 2 ∙ (− 휋 2 ) + 1 4 푠푒푛(−휋))] 퐴 = 1 2 [(−2 ∙ 0 + 3 2 ∙ 휋 2 + 1 4 ∙ 0) − (−2 ∙ 0 − 3휋 4 + 1 4 ∙ 0)] 퐴 = 1 2 ( 3휋 4 + 3휋 4 ) 퐴 = 3휋 4 푢푙2 3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares: (1 pt. c/u) a. (2, 휋 4 ) 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 푦 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 푥 = 2 ∙ 푐표푠 ( 휋 4 ) 푦 푦 = 2 ∙ 푠푒푛 ( 휋 4 )
  3. 3. 푥 = 2 ∙ √2 2 푦 푦 = 2 ∙ √2 2 푥 = √2 푦 푦 = √2 (√2, √2) b. (−8, 3휋 2 ) 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 푦 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 푥 = −8 ∙ 푐표푠 ( 3휋 2 ) 푦 푦 = −8 ∙ 푠푒푛 ( 3휋 2 ) 푥 = −8 ∙ 0 푦 푦 = −8 ∙ (−1) 푥 = 0 푦 푦 = 8 (0, 8) c. (− 1 2 , 5휋 4 ) 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 푦 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 푥 = − 1 2 ∙ 푐표푠 ( 5휋 4 ) 푦 푦 = − 1 2 ∙ 푠푒푛 ( 5휋 4 ) 푥 = − 1 2 ∙ (− √2 2 ) 푦 푦 = − 1 2 ∙ (− √2 2 ) 푥 = √2 4 푦 푦 = √2 4 √2 4 ( , √2 4 ) 4. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 퐫 = ퟒ(ퟐ훉) (2 pts.) Solución: Esta rosa posee los tres tipos de simetría por lo que: 1 2 퐴 = 8 [ 휋/4 ∫ 푟2 0 휋/4 푑휃] = 4 ∫ (4 ∙ cos(2휃))2 0 푑휃 휋/4 퐴 = 4 ∫ 16 ∙ 푐표 푠2 (2휃) 0 푑휃 = 64 ∫ 1 + 푐표푠4휃 2 휋/4 0 푑휃
  4. 4. 퐴 = 64 ∫ 1 + 푐표푠4휃 2 휋/4 0 휋/4 푑휃 = 32 ∫ (1 + 푐표푠4휃) 0 푑휃 퐴 = 32 (휃 + 1 4 푠푒푛4휃)| 휋/4 0 = 32 [( 휋 4 + 1 4 푠푒푛(휋)) − (0 + 1 4 푠푒푛(0))] 퐴 = 32 [( 휋 4 + 0) − (0 + 0)] 퐴 = 8휋푢푙2 5. Transformar la siguiente ecuación de variables polares a rectangulares:(1,5 pts.) 퐫=ퟐ퐜퐨퐬 (ퟑ훉) Solución: r = 2cos (3θ) = 2 ∙ cos (2θ + θ) r = 2 ∙ [cos (2θ) ∙ 푐표푠θ − senθ ∙ 푠푒푛(2θ)] r = 2 ∙ [(cos2 θ − sen2θ)푐표푠θ − senθ ∙ 2푠푒푛θ ∙ cosθ] r = 2 ∙ (cos3 θ − 푐표푠θ ∙ sen2θ − 2sen2θ ∙ cosθ) r = 2 ∙ (cos3 θ − 3sen2θ ∙ cosθ) r = 2 cos3 θ − 6sen2θ ∙ cosθ Multiplicando por r3 cada término de la ecuación: r 4 = 2r 3 cos3 θ − 6r 3sen2θ ∙ cosθ Descomponiendo y asociando: r 4 = 2r 3 cos3 θ − 6r 2sen2θ ∙ rcosθ Propiedad de la potenciación: (r 2)2 = 2(r ∙ cos θ)3 − 6(r ∙ senθ)2 ∙ (rcosθ) (x2 + y2)2 = 2x3 − 6y2 ∙ x Factor común: (x2 + y2)2 = 2푥(x2 − 3y2) 6. Transformar la siguiente ecuación de variables rectangulares a variables polares: (1,5 pts.) 퐱ퟐ−ퟐ퐲ퟐ=ퟒ(퐱+퐲)ퟐ Solución: Puesto que: 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 ∧ 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 Sustituimos en la ecuación dada: (푟 ∙ 푐표푠휃)2 − 2(푟 ∙ 푠푒푛휃) 2 = 4(푟 ∙ 푐표푠휃 + 푟 ∙ 푠푒푛휃) 2 푟2 ∙ cos2 휃 − 2푟2 ∙ 푠푒푛2 휃 − 4[푟(푐표푠휃 + 푠푒푛휃) ]2 = 0 푟2 ∙ [(cos2 휃 − 2푠푒푛2 휃) − 4(cos2 휃 + 2푠푒푛휃 ∙ 푐표푠휃 + 푠푒푛2 휃)] = 0 푟2 = 0 ∨ 푐표푠2 휃 − 2푠푒푛2 휃 − 4 푐표푠2 휃 − 8푠푒푛휃 ∙ 푐표푠휃 − 4푠푒푛2 휃 = 0 푟 = 0 ∨ −3 푐표푠2 휃 − 8푠푒푛휃 ∙ 푐표푠휃 − 6푠푒푛2 휃 = 0

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