A continuación se muestra los elementos del pensamiento variacional y trigonométrico

1. Unidad 2: Pensamiento
variacional y trigonométrico

2. ¿QUE SON LAS
RAZONES
TRIGONOMETRICAS?
El término Razones Trigonométricas se refiere
a los enlaces que se pueden establecer, entre
los lados de un triángulo que tiene un ángulo de
90º. Hay tres grandes razones trigonométricas:
tangente, seno y coseno.

3. A partir de las longitudes de x, y, h se definen 6 relaciones trigonométricas.
Las tres primeras relaciones se conocen como las principales y las otras tres como las
complementarias. Como las relaciones originan un cociente, se puede inferir que la relación
se da entre un ángulo y un número real.

4. Las razones trigonométricas en un
triangulo rectángulo
 En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los
lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados
de un triángulo determina su forma. Dado un triángulo
rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se
definen:
 El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
 El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la
hipotenusa.
 La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente
Estas razones no dependen del tamaño del triángulo sino del
ángulo.

5. Razones trigonométricas en triángulos no
rectángulos.
TEOREMA DE SENO

6. TEOREMA DE COSENO
Existen situaciones donde el teorema de seno no se puede aplicar de
manera directa, en casos como tener dos lados y el ángulo entre ellos
o tener los tres lados. Para estos casos y otros, la solución es el
teorema del coseno. Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos
opuestos A, B, C. respectivamente, se cumple:

7. RAZONES
TRIGONOMETRICAS EN
UNA CIRCUNFERENCIA
 Se llama circunferencia goniométrica o
círculo unitario a aquella que tiene su
centro en el origen de coordenadas y su
radio es la unidad.
 La circunferencia unidad es aquella cuyo
radio es R = 1. A partir de este principio,
se puede conocer la longitud de los lados
e hipotenusa de un triángulo rectángulo,
según el ángulo establecido. Hay algunos
teoremas que permiten identificar los
valores de los lados de un triángulo
rectángulo para los ángulos notables
básicos: 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
 Si consideramos un triángulo rectángulo
dentro del círculo con el radio forma la
hipotenusa y uno de los catetos está
sobre el eje X, obtendremos una figura
como la siguiente.

8. Seno y coseno en la
circunferencia
 En la figura se ha representado el ángulo α en la
circunferencia goniométrica o de radio unidad.
En el triángulo rectángulo que se forma como la
hipotenusa es 1, el cateto opuesto es el sen 𝛼 y
el adyacente el cos 𝛼.
Es importante recordar el siguiente triángulo:
Observa que (cos α, sen α) son las coordenadas del
punto final del ángulo 𝛼 en la circunferencia de
radio unidad.

9. Tangente en la circunferencia
 En la figura se comprende por qué al cociente entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente se le llama tangente, su valor queda definido sobre la recta tangente a la
circunferencia en el punto (1,0).
 Observa que cuando el cateto adyacente vale 1, la hipotenusa es igual a la inversa
del cos 𝛼
se le llama secante de 𝛼 y se abrevia con sec 𝛼

10. Razones de 30º, 45º y 60º
 Los ángulos de 30º, 45º y 60º aparecen con bastante frecuencia, fíjate cómo se
calculan sus razones a partir de la definición si buscamos los triángulos adecuados.

11. IDENTIDADES TRIGONOMTERICAS
En trigonometría existen unas ecuaciones muy
particulares a las cuales se le llama identidades
trigonométricas, dichas ecuaciones tiene la
particularidad que se satisfacen para cualquier
ángulo. Dentro de este contexto se analizarán varias
clases de identidades, las básicas, las de suma y
diferencia, las de ángulo doble y las de ángulo mitad.

12. Identidades básicas:
Dentro de las identidades básicas se presentan 6 categóricas, las cuales analizaremos a
continuación:
1. Identidad Fundamental: Partiendo del teorema de Pitágoras, la relación de los
lados del triángulo y el círculo trigonométrico, se puede obtener dicha identidad.
Demostración

13. 2. Identidades de Cociente: Estas se obtienen por la definición de las relaciones
trigonométricas.

14. 3. Identidades Recíprocas: Se les llama de esta manera debido a que a partir de la
definición, al aplicar el recíproco, se obtiene nuevos cocientes.

15. 4. Identidades Pitagóricas: a partir de la identidad fundamental y las identidades de
cociente, se obtienen otras identidades llamadas pitagóricas. Aunque varios autores llaman
la identidad fundamental también pitagórica.

16. 5. Identidades Pares - Impares: Cuando se definió la simetría de las
funciones trigonométricas, se hizo referencia a las funciones pares e
de este hecho se obtiene las funciones pares e impares.
6. Identidades de Cofunción: Cuando a π/2 se le resta un ángulo cualquiera, se obtiene la
cofunción respectiva.