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Outils analytiques pour l'Electronique
Outils analytiques pour l'Electronique
de Puissance
de Puissance
Le travail de l'électronicien de puissance est de commander l'ouverture et
la fermeture d'interrupteurs électroniques en vue d'assurer une fonction donnée :
redresseur, hacheur, onduleur, changeur de fréquence... . Pour étudier le
fonctionnement de ces circuits les outils classiques utilisées en sinusoïdal ne sont
pas d'un grand secours. Il devient alors nécessaire de disposer d'outils simples
mais efficaces adaptés à notre problème.
Pour les introduire, nous ferons appel aux résultats classiques des systèmes
linéaires et nous nous servirons d'eux pour en déduire des méthodes d'analyse
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fonctionnement des systèmes linéaires conduit au résultat
fondamental suivant :
Régime libre
Il correspond à un système sans excitation, dont les conditions
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Régime forcé
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( en R.F. l'inductance = C.C., le condensateur = C. O.)
- excitation sinusoïdale régime forcé sinusoïdal de même F
( impédances complexes)
- somme des excitations somme des régimes forcés
élémentaires
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Outils analytiques pour l'Electronique
Outils analytiques pour l'Electronique
de Puissance
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Exemples de circuits du premier ordre
Circuit RL série alimenté en tension
Réponse à un échelon
La variable d'état de ce circuit est le courant dans l'inductance.
= +
Régime libre
dont la solution générale est :
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d'où
Réponse à une impulsion de tension rectangulaire
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Outils analytiques pour
Outils analytiques pour l'Electronique
l'Electronique
de Puissance
de Puissance
Réponse à un signal périodique
Cas par exemple du hacheur ou de l'onduleur MLI (PWM)
Etude en régime permanent
Avec
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L'ondulation du courant dans l'inductance se met sous la forme
Etude en régime transitoire
En régime permanent, la réponse peut être considérée comme la somme d'une
composante continue et d'une composante alternative . Par ailleurs
la réponse d'un système linéaire est la somme d'un régime libre et d'un régime
forcé, la réponse en courant du circuit excité par un signal périodique de tension
sera donc :
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Outils analytiques pour
Outils analytiques pour l'Electronique
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de Puissance
En conclusion, le courant de l'inductance est la somme de :
la réponse indicielle
la composante alternative en régime permanent
La réponse transitoire est fonction de l'instant d'enclenchement
Réponse à une tension sinusoïdale
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La variable d'état du circuit est le courant dans l'inductance
Réponse à un échelon de courant
Nota : Ce circuit élémentaire
correspond au schéma équivalent
d'un transformateur de courant
iL est une exponentielle de constante
de temps τ = L/R partant de I0 et
d'asymptote iL = E/R.
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Dans le cadre des convertisseurs statiques les éléments L,C,E,I
peuvent être reliés entre eux par des interrupteurs. Ils peuvent se
trouver a priori dans n'importe quelle configuration :
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2 à 2 en série, les deux autres étant en parallèle.
La réponse de certains de ces circuits peut ne pas être oscillatoire.
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Il existe donc : 8 régimes libres différents
Régimes oscillatoires Régimes singuliers
Configuration : condensateur en court-circuit
vC = vL = E
Nota : L'expression de iL correspond à un cas théorique car il existe obligatoirement
une valeur de régime forcé iL = E/R avec R résistance série de l'inductance.
Si la constante de temps est grande devant le temps que durera cette
configuration, l'approximation linéaire est toujours faite.
inductance en circuit ouvert
iC = iL = I
condensateur en C.O. et inductance en C.C.
iC = iL = I
vC = vL = E
condensateur en C.C. et inductance en C.O.
vC = E et iL = I
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Régime forcé Régime forcé
Configuration : vCF = 0 et iLF = I
vCF = E et iLF = I
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vCF = E et iLF = 0
En conclusion, il suffit d'étudier une seule configuration la par exemple.
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Outils analytiques pour l'Electronique
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de Puissance
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Réponse d'un circuit LC à un échelon de tension et de
courant. Méthode du plan de phase
Cas général
Conditions initiales iL0 et vC0
RL RF
Etude du régime libre
En prenant i0 et v0 comme condition initiale, l'équation différentielle
du régime libre est donc :
Les solutions sont alors :
iLL = iO cos(ω∗t) - sin(ω∗t)
vCF = v0 cos(ω*t) + sin(ω*t) avec
Etude du régime forcé
vCF = E et iLF = I
Réponse du circuit
A l'instant t =0, on a : vC = vC0 et iL = iL0 d'où :
v0 = vC0 - E et i0 = iLO - I
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de Puissance
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On obtient finalement :
Sur le plan pratique ces équations sont peu commodes à utiliser. Il est préférable
de rechercher une représentation plus facilement utilisable à condition de mettre
les équations sous la forme suivante :
de centre E, I point représentatif du régime forcé
passant par le point vC0, iL0 point représentatif des conditions initiales
décrit dans le sens inverse de sens trigonométrique à partir du point de
condition initiale vC0, iL0 si on a choisi un sens positif de iL tel que le
courant iL rentre par l'armature positive du condensateur.
Tout circuit LC soumis à des échelons de tension et de courant et dont le schéma
équivalent du régime libre est celui d'un circuit LC série, a une réponse qui peut
être représentée dans le plan , par un cercle :
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Nota : Dans le cas présenté, le circuit oscille indéfiniment autour du régime
forcé. Ceci n'a physiquement aucun sens et pratiquement, il y aura toujours
un élément résistif, donc un amortissement. Le système va évoluer vers le
régime forcé.
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Exemple
Application d'un échelon de tension sur un circuit LC
Conditions initiales iL(0) = 0 et vC(0) = 0
Régime forcé iLF = 0 et vCF = E
La réponse de ce circuit dans le plan , vC est un
cercle de centre [O, E].
Nota : Après le blocage du thyristor le condensateur C est chargé à 2E.
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l'Electronique
de Puissance
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Réponse d'un circuit LC avec prise en compte d'un
amortissement
Etude du régime libre d'un circuit RLC avec un faible amortissement
conditions initiales : vC(0) = v0 et iL(0) = 0
Les solutions sont de la forme :
C1 = v0
Dans le plan iL(t) , vC(t), ces équations sont les équations d'une
spirale logarithmique
avec α << ω
α
ω
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ω = ω0
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l'Electronique
de Puissance
de Puissance
Expression approchée de cette spirale
elle s'obtient en écrivant le développement limité de l'exponentielle :
Influence de l'amortissement
Pour ω t = π
α T
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=
π
2Q
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Lω facteur de qualité
vC ( ) = vF = - v0 (1 - )
T
2
π
2Q
Pour ω t = π
2
iL ( ) = - v0 (1 - )
π
4Q
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Sur une demi-période, la spirale est très
proche d'un cercle :
- de centre o' [0 , ]
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Outils Analytiques pour l Electronique de Puissance.pdf

  • 1. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 1 Transparent n° Outils analytiques pour l'Electronique Outils analytiques pour l'Electronique de Puissance de Puissance Le travail de l'électronicien de puissance est de commander l'ouverture et la fermeture d'interrupteurs électroniques en vue d'assurer une fonction donnée : redresseur, hacheur, onduleur, changeur de fréquence... . Pour étudier le fonctionnement de ces circuits les outils classiques utilisées en sinusoïdal ne sont pas d'un grand secours. Il devient alors nécessaire de disposer d'outils simples mais efficaces adaptés à notre problème. Pour les introduire, nous ferons appel aux résultats classiques des systèmes linéaires et nous nous servirons d'eux pour en déduire des méthodes d'analyse de circuit non-linéaires. Rappel sur les systèmes linéaires Variables d'état L'état d'un système est caractérisé par un ensemble de variables qu'il faut connaitre pour pouvoir prédire de façon unique le fonctionnement du système. Toutes les autres grandeurs du systèmes peuvent s'exprimer en fonction de ces variables d'état et des entrées du systèmes. Réponse d'un système linéaire L'étude des équations différentielles linéaires qui régissent le fonctionnement des systèmes linéaires conduit au résultat fondamental suivant : Régime libre Il correspond à un système sans excitation, dont les conditions initiales sont connues. Régime forcé - excitation continue ou échelon régime forcé continu ( en R.F. l'inductance = C.C., le condensateur = C. O.) - excitation sinusoïdale régime forcé sinusoïdal de même F ( impédances complexes) - somme des excitations somme des régimes forcés élémentaires
  • 2. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 2 Transparent n° Outils analytiques pour l'Electronique Outils analytiques pour l'Electronique de Puissance de Puissance Exemples de circuits du premier ordre Circuit RL série alimenté en tension Réponse à un échelon La variable d'état de ce circuit est le courant dans l'inductance. = + Régime libre dont la solution générale est : La condition initiale de ce régime libre dépend du régime forcé par la relation : d'où Réponse à une impulsion de tension rectangulaire
  • 3. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 3 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Réponse à un signal périodique Cas par exemple du hacheur ou de l'onduleur MLI (PWM) Etude en régime permanent Avec Pendant la décroissance, à Pendant la croissance, à L'ondulation du courant dans l'inductance se met sous la forme Etude en régime transitoire En régime permanent, la réponse peut être considérée comme la somme d'une composante continue et d'une composante alternative . Par ailleurs la réponse d'un système linéaire est la somme d'un régime libre et d'un régime forcé, la réponse en courant du circuit excité par un signal périodique de tension sera donc :
  • 4. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 4 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance En conclusion, le courant de l'inductance est la somme de : la réponse indicielle la composante alternative en régime permanent La réponse transitoire est fonction de l'instant d'enclenchement Réponse à une tension sinusoïdale Circuit RL parallèle alimenté en courant La variable d'état du circuit est le courant dans l'inductance Réponse à un échelon de courant Nota : Ce circuit élémentaire correspond au schéma équivalent d'un transformateur de courant iL est une exponentielle de constante de temps τ = L/R partant de I0 et d'asymptote iL = E/R.
  • 5. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 5 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Réponse à une impulsion de courant rectangulaire Etude analogue à la réponse à une impulsion de tension rectangulaire Réponse à un courant rectangulaire périodique Etude analogue à la réponse à une tension rectangulaire périodique Circuit RC série - parallèle Réponse d'un circuit RC série Réponse d'un circuit R+R // C La variable d'état est ici vC, pour vC0 = 0, la réponse globale est : Exemples de circuits du deuxième ordre Etude des configurations obtenues avec une source de tension, une source de courant et un circuit LC Dans le cadre des convertisseurs statiques les éléments L,C,E,I peuvent être reliés entre eux par des interrupteurs. Ils peuvent se trouver a priori dans n'importe quelle configuration : en série en parallèle 2 à 2 en série, les deux autres étant en parallèle. La réponse de certains de ces circuits peut ne pas être oscillatoire.
  • 6. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 6 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance
  • 7. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 7 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Il existe donc : 8 régimes libres différents Régimes oscillatoires Régimes singuliers Configuration : condensateur en court-circuit vC = vL = E Nota : L'expression de iL correspond à un cas théorique car il existe obligatoirement une valeur de régime forcé iL = E/R avec R résistance série de l'inductance. Si la constante de temps est grande devant le temps que durera cette configuration, l'approximation linéaire est toujours faite. inductance en circuit ouvert iC = iL = I condensateur en C.O. et inductance en C.C. iC = iL = I vC = vL = E condensateur en C.C. et inductance en C.O. vC = E et iL = I
  • 8. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 8 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Régimes oscillatoires Circuit Circuit Régime forcé Régime forcé Configuration : vCF = 0 et iLF = I vCF = E et iLF = I vCF = E et iLF = I vCF = E et iLF = 0 En conclusion, il suffit d'étudier une seule configuration la par exemple.
  • 9. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 9 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Réponse d'un circuit LC à un échelon de tension et de courant. Méthode du plan de phase Cas général Conditions initiales iL0 et vC0 RL RF Etude du régime libre En prenant i0 et v0 comme condition initiale, l'équation différentielle du régime libre est donc : Les solutions sont alors : iLL = iO cos(ω∗t) - sin(ω∗t) vCF = v0 cos(ω*t) + sin(ω*t) avec Etude du régime forcé vCF = E et iLF = I Réponse du circuit A l'instant t =0, on a : vC = vC0 et iL = iL0 d'où : v0 = vC0 - E et i0 = iLO - I
  • 10. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 10 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance On obtient finalement : Sur le plan pratique ces équations sont peu commodes à utiliser. Il est préférable de rechercher une représentation plus facilement utilisable à condition de mettre les équations sous la forme suivante : de centre E, I point représentatif du régime forcé passant par le point vC0, iL0 point représentatif des conditions initiales décrit dans le sens inverse de sens trigonométrique à partir du point de condition initiale vC0, iL0 si on a choisi un sens positif de iL tel que le courant iL rentre par l'armature positive du condensateur. Tout circuit LC soumis à des échelons de tension et de courant et dont le schéma équivalent du régime libre est celui d'un circuit LC série, a une réponse qui peut être représentée dans le plan , par un cercle :
  • 11. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 11 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Nota : Dans le cas présenté, le circuit oscille indéfiniment autour du régime forcé. Ceci n'a physiquement aucun sens et pratiquement, il y aura toujours un élément résistif, donc un amortissement. Le système va évoluer vers le régime forcé.
  • 12. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 12 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Exemple Application d'un échelon de tension sur un circuit LC Conditions initiales iL(0) = 0 et vC(0) = 0 Régime forcé iLF = 0 et vCF = E La réponse de ce circuit dans le plan , vC est un cercle de centre [O, E]. Nota : Après le blocage du thyristor le condensateur C est chargé à 2E.
  • 13. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 13 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Réponse d'un circuit LC avec prise en compte d'un amortissement Etude du régime libre d'un circuit RLC avec un faible amortissement conditions initiales : vC(0) = v0 et iL(0) = 0 Les solutions sont de la forme : C1 = v0 Dans le plan iL(t) , vC(t), ces équations sont les équations d'une spirale logarithmique avec α << ω α ω << 1 ω = ω0
  • 14. Cours d'Electronique de Puissance - G. Rojat Ampère 14 Transparent n° Outils analytiques pour Outils analytiques pour l'Electronique l'Electronique de Puissance de Puissance Expression approchée de cette spirale elle s'obtient en écrivant le développement limité de l'exponentielle : Influence de l'amortissement Pour ω t = π α T 2 = Rπ 2Lω = π 2Q avec Q = R Lω facteur de qualité vC ( ) = vF = - v0 (1 - ) T 2 π 2Q Pour ω t = π 2 iL ( ) = - v0 (1 - ) π 4Q T 4 Sur une demi-période, la spirale est très proche d'un cercle : - de centre o' [0 , ] - de rayon v0 (1 - ) v0π 4Q π 4Q