Cours s2 math

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Cours s2 math

  1. 1. Cours d’Analyse Math´ematiques II A. Ezziani∗ M. Laaraj⋆ Universit´e Hassan II–Mohammedia, Facult´e des Sciences Juridiques Economiques et Sociales A¨ın Sebˆaa ∗ aezziani@gmail.com ⋆ mohamed.laaraj@gmail.com Sciences Economiques et Gestion Printemps 2010, S2 wwww www.fsjes-settat.com
  2. 2. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 A. Ezziani ii M. Laaraj
  3. 3. Attention Ce polycopi´e est en cours de pr´eparation il est mis en ligne juste pour aider les ´etudiants `a r´eviser, il est (tr`es) loin de sa version d´efinitive. iii
  4. 4. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 A. Ezziani iv M. Laaraj
  5. 5. Table des mati`eres I Suites et s´eries num´eriques 1 1 Suites num´eriques 3 1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Suites convergentes et divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Suites particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Suites arithm´etico-g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 S´eries num´eriques 11 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Conditions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 S´eries particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II Math´ematiques financi`eres 15 3 Les int´erˆets simples 17 3.1 D´efinitions et formule de l’int´erˆet simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2 Formule de l’int´erˆet simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 L’escompte commercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Pratique de l’escompte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Equivalence de capitaux `a int´erˆets simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Equivalence de deux effets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Equivalence de plusieurs effets : l’´ech´eance commune . . . . . . . . . . 21 4 Les int´erˆets compos´es 23 4.1 D´efinition et formules des int´erˆets compos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.2 Formule des int´erˆets compos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.3 Formule de capitalisation avec un nombre fractionnaire de p´eriodes . . 25 4.2 Taux proportionnels et taux ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2.1 Taux proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2.2 Taux ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Equivalence de capitaux `a int´erˆets compos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 v
  6. 6. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 4.3.1 Equivalence de deux capitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3.2 Equivalence de plusieurs capitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Les annuit´es 33 5.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Les annuit´es de fin de p´eriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.1 Valeur acquise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.2 Valeur actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3 Les annuit´es de d´ebut de p´eriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3.1 Valeur acquise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3.2 Valeur actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6 L’emprunt indivis 41 6.1 D´efinition et notion d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.2 Les emprunts remboursables par amortissements constants . . . . . . . . . . . 41 6.2.1 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.3 Les emprunts remboursables par annuit´es constantes . . . . . . . . . . . . . . 43 6.4 Les emprunts remboursables en une seule fois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 A. Ezziani vi M. Laaraj
  7. 7. Premi`ere partie Suites et s´eries num´eriques 1
  8. 8. Chapitre 1 Suites num´eriques 1.1 D´efinitions D´efinition 1.1.1. Une suite num´erique est une application u de IN dans R, qui `a tout entier n fait correspondre un r´eel un : u : IN −→ R n −→ un. Notation : on la note (un)n∈IN ou (un)n ou encore (un). Exemple 1.1.2. En 1999 une entreprise a fabriqu´e 10000 articles. On suppose que le nombre d’articles fabriqu´es a augment´e de 10% par an. On note un le nombre d’articles produits par l’entreprise. On a : u0 = 10000 u1 = u0 + (u0 × 0.1) = u0 × 1.1 = 10000 × 1.1 = 11000 u2 = u1 × 1.1 = 11000 × 1.1 = 12100 u3 = u2 × 1.1 = 12100 × 1.1 = 13310 . Donc la suite s’´ecrit `a l’aide de l’expression de r´ecurrence : u0 = 1000 un+1 = un × 1.1 ∀ n ∈ IN. Quelques pr´ecisions 1. Une suite peut ˆetre d´efinie sur IN ou sur une partie de IN, par exemple : – un = 1 n , ∀ n ∈ IN∗ . – vn = √ n2 − 16, ∀ n ≥ 4. 2. Une suite num´erique peut ˆetre d´efinie – explicitement en fonction de n : un = n2 + 2n. – ou `a l’aide d’une formule de r´ecurrence : u0 = 2, un+1 = 2un + 1 ∀ n ∈ IN. 3
  9. 9. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 3. Raisonnement par r´ecurrence. Pour d´emontrer une propri´et´e portant sur tous les entiers naturels, on peut utiliser un raisonnement par r´ecurrence. Notons la propri´et´e en question P(n) pour indiquer la d´ependance en l’entier n. On peut alors l’obtenir pour tout entier n en d´emontrant ces deux assertions : i) P (0) (0 v´erifie la propri´et´e) : c’est l’initialisation de la r´ecurrence. ii) Pour tout entier n, (P (n) ⇒ P (n + 1)) : c’est l’h´er´edit´e. On dit alors que la propri´et´e P s’en d´eduit par r´ecurrence pour tout entier n. Exemple 1.1.3. Soit (un)n la suite d´efinie par un = 1 2 (1+ un), u0 = 2. On montre par r´ecurrence que un ≥ 1, ∀ n ∈ IN : (a) La propri´et´e un ≥ 1 est vraie pour n = 0 car u0 = 2 ≥ 1 (initialisation) (b) Supposons qu’elle est vraie pour n et montrons qu’elle est vraie pour n + 1. On a : un ≥ 1 (par hypoth`ese) ⇒ un+1 = 1 2 (1 + un) ≥ 1 2 (1 + 1) = 1. Le principe de r´ecurrence nous permet alors d’affirmer que : un ≥ 1, ∀ n ∈ IN. D´efinition 1.1.4 (Monotonie). Une suite num´erique (un)n est dite – croissante si un+1 ≥ un, ∀ n ∈ IN. – d´ecroissante si un+1 ≤ un, ∀ n ∈ IN. – monotone si elle est croissante ou d´ecroissante. Remarque 1.1.5. Pour ´etudier la monotonie d’une suite (un)n, il suffit d’´etudier le signe de un+1 − un, ∀ n ∈ IN. Lorsque un > 0, ∀ n ∈ IN on peut aussi comparer 1 au rapport un+1 un . Exemple 1.1.6. La suite (un)n d´efinie dans l’exemple 1.1.2 est croissante : un+1 un = 1.1 ≥ 1 =⇒ un+1 ≥ un, ∀ n ∈ IN. D´efinition 1.1.7. Une suite num´erique (un)n est dite – major´ee s’il existe M ∈ R tel que un ≤ M, ∀ n ∈ IN – minor´ee s’il existe m ∈ R tel que m ≤ un, ∀ n ∈ IN – born´ee si elle est `a la fois major´ee et minor´ee. Exemple 1.1.8. Soit (un)n la suite d´efinie par : un = 2 n + 1 , ∀ n ∈ IN. La suite (un)n est d´ecroissante et born´ee. En effet, un+1 un = n + 1 n + 2 ≤ 1 ⇒ un+1 ≤ un et 0 ≤ un ≤ 2, ∀ n ∈ IN. A. Ezziani 4 M. Laaraj
  10. 10. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 1.2 Suites convergentes et divergentes D´efinition 1.2.1. On dit qu’une suite num´erique (un)n 1. converge vers ℓ ∈ R si n est suffisamment grand un s’approche de ℓ. On note alors lim n→+∞ un = ℓ. Dans ce cas on dit que la suite est convergente. 2. est divergente si elle n’est pas convergente. 3. diverge vers +∞ (respectivement −∞) si n est suffisamment grand un s’approche de +∞ (respectivement −∞). Exemple 1.2.2. – La suite un = 1 n+1 est convergente car lim n→+∞ un = 0. – La suite vn = n2 est divergente car lim n→+∞ vn = +∞. – La suite wn = (−1)n est divergente car elle n’admet pas de limite quand n tend vers +∞. – La suite zn = (−1)n n2 est divergente car elle diverge vers +∞ quand n est pair et −∞ quand n est impair. Propri´et´es 1.2.3 (Op´erations sur les limites). Soient (un)n et (vn)n deux suites num´eriques admettant comme limite respectivement ℓ1 et ℓ2 (ou ±∞) quand n tend vers +∞, on a alors 1. Addition lim n→+∞ un ℓ1 ℓ1 +∞ −∞ +∞ lim n→+∞ vn ℓ2 ∞ −∞ −∞ +∞ lim n→+∞ (un + vn) ℓ1 + ℓ2 ∞ forme ind´etermin´ee −∞ +∞ 2. Multiplication lim n→+∞ un ℓ1 ℓ1 = 0 0 ∞ lim n→+∞ vn ℓ2 ∞ ∞ ∞ lim n→+∞ (un × vn) ℓ1 × ℓ2 ∞ forme ind´etermin´ee ∞ A. Ezziani 5 M. Laaraj
  11. 11. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 3. Division lim n→+∞ un ℓ1 ℓ1 ℓ1 = 0 ∞ 0 ∞ lim n→+∞ vn ℓ2 = 0 ∞ 0 ℓ2 0 ∞ lim n→+∞ (un/vn) ℓ1/ℓ2 0 ∞ ∞ forme ind´etermin´ee forme ind´etermin´ee Proposition 1.2.4 (Gendarmes). Soient (un)n, (vn)n et (wn)n trois suites num´eriques. On suppose que – les deux suites (un)n et (wn)n sont convergentes – lim n→+∞ un = lim n→+∞ wn = ℓ – un ≤ vn ≤ wn, ∀ n ∈ IN. Alors la suite (vn)n converge et lim n→+∞ vn = ℓ. Exemple 1.2.5. On consid`ere la suite num´erique (un)n d´efinie par un = (−1)n n2 , ∀ n ∈ IN∗ . On a − 1 n2 ≤ un ≤ 1 n2 , ∀ n ∈ IN∗ et lim n→+∞ − 1 n2 = lim n→+∞ 1 n2 = 0. Donc d’apr`es la derni`ere proposition la suite (un)n converge et lim n→+∞ un = 0. Proposition 1.2.6. 1. Toute suite convergente est born´ee. 2. Toute suite croissante et major´ee est convergente. 3. Toute suite d´ecroissante et minor´ee est convergente. D´efinition 1.2.7 (Suites adjacentes). Deux suites (un)n et (vn)n sont dites adjacentes si les conditions suivantes sont v´erifi´ees : i) la suite (un)n est croissante ii) la suite (vn)n est d´ecroissante iii) lim n→+∞ (un − vn) = 0. Th´eor`eme 1.2.8. Soient (un)n et (vn)n deux suites adjacentes. Alors les deux suites sont convergentes et elles ont la mˆeme limite ℓ. De plus un ≤ ℓ ≤ vn, ∀ n ∈ IN. Exemple 1.2.9. Les deux suites (un)n et (vn)n d´efinies par : un = 1 + 1 1! + 1 2! + · · · + 1 n! , n ∈ IN∗ vn = 1 + 1 1! + 1 2! + · · · + 1 n! + 1 n! , n ∈ IN∗ sont adjacentes car : A. Ezziani 6 M. Laaraj
  12. 12. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 i) la suite (un)n est croissante : un+1 − un = 1 (n + 1)! ≥ 0, ∀ n ∈ IN∗ ii) la suite (vn)n est d´ecroissante : vn+1 − vn = 2 (n + 1)! − 1 n! = 1 − n (n + 1)!) ≤ 0, ∀ n ∈ IN∗ iii) lim n→+∞ (vn − un) = lim n→+∞ 1 n! = 0. Donc lim n→+∞ un = lim n→+∞ vn. Proposition 1.2.10. Soit (un)n une suite d´efinie par son premier terme et par une formule de r´ecurrence un+1 = f(un). Si i) la suite (un)n est convergente ii) la fonction f est continue alors la limite ℓ de la suite v´erifie l’´equation ℓ = f(ℓ). Exercice 1.2.11. Soit (un)n la suite d´efinie par un+1 = un 1 + un , u0 = 1. – Montrer par r´ecurrence que un ≥ 0, ∀ n ∈ IN. – Montrer que (un)n est d´ecroissante. – En d´eduire que (un)n est convergente. – Montrer que lim n→+∞ un = 0. 1.3 Suites particuli`eres 1.3.1 Suites arithm´etiques D´efinition 1.3.1. On appelle suite arithm´etique de raison r, toute suite (un)n d´efinie par son terme initiale u0 et par la relation de r´ecurrence : un+1 = un + r, ∀ n ∈ IN. A partir de la relation de r´ecurrence ci-dessus, on peut calculer facilement le terme g´en´eral un en fonction de u0, r et n : un = un−1 + r = un−2 + 2r = un−3 + 3r = · · · = u0 + nr, ∀ n ∈ IN. (1.3.1) La suite (un)n est divergente sauf pour r = 0 (suite stationnaire : un = u0, ∀ n ∈ IN). Somme des premiers termes. Soient (un)n une suite arithm´etique de raison r et de premier terme u0 et (Sn)n la somme des n + 1 premiers termes de (un)n : Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un = n k=0 uk. En utilisant l’´equation (1.3.1), on montre facilement que : Sn = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + · · · + (u0 + nr) = (n + 1)u0 + (1 + 2 + · · · + n)r A. Ezziani 7 M. Laaraj
  13. 13. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 On saura donc calculer Sn si l’on sait calculer : σn = 1 + 2 + · · · + (n − 1) + n (1.3.2) On peut aussi ´ecrire σn sous la forme : σn = n + (n − 1) + · · · + 2 + 1 (1.3.3) En faisant la somme de (1.3.2) et (1.3.5) terme `a terme, on obtient : 2σn = (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) n fois = n(n + 1). D’o`u σn = n(n + 1) 2 et Sn = (n + 1) u0 + nr 2 = (n + 1) u0 + (u0 + nr) 2 = (n + 1) u0 + un 2 . En g´en´eral, on a : up + up+1 + · · · un = (n − p + 1) up + un 2 , ∀ p, n ∈ IN et p < n. Exemple 1.3.2. Soit (Sn)n la suite d´efinie par : Sn = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1), ∀ n ∈ IN∗ (la somme de n premiers entiers impairs) Les entiers impairs forment une suite arithm´etique de premier terme u1 = 1 et de raison 2. Le terme g´en´eral un de cette suite est donc un = 2n − 1. On calcule alors Sn : Sn = (n − 1 + 1) 1 + 2n − 1 2 = n2 . 1.3.2 Suites g´eom´etriques D´efinition 1.3.3. On appelle suite g´eom´etrique de raison q, toute suite (un)n d´efinie par son terme initiale u0 et par la relation de r´ecurrence : un+1 = q un, ∀ n ∈ IN. A partir de la relation de r´ecurrence ci-dessus, on peut calculer facilement le terme g´en´eral un en fonction de u0, q et n : un = q un−1 = q2 un−2 = q3 un−3 = · · · = qn u0, ∀ n ∈ IN. (1.3.4) Proposition 1.3.4. Soit (un)n une suite g´eom´etrique de raison q. Alors – si |q| < 1 la suite converge vers 0 – si |q| > 1 la suite diverge – si q = 1 la suite est stationnaire et donc convergente – si q = −1 la suite n’admet pas de limite et donc divergente. A. Ezziani 8 M. Laaraj
  14. 14. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Somme des premiers termes. Soient (un)n une suite g´eom´etrique de raison q et de premier terme u0 et (Sn)n la somme des n + 1 premiers termes de (un)n : Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un = n k=0 uk. Sn est donn´ee en fonction de u0, q et n : Sn =    (n + 1)u0 si q = 1 1 − qn+1 1 − q u0 si q = 1. En effet, en utilisant l’´equation (1.3.4), on montre facilement que : Sn = u0 + q u0 + q2 + · · · + qn u0 = (1 + q + q2 + · · · + qn)u0 On saura donc calculer Sn si l’on sait calculer : σn = 1 + q + q2 + · · · + qn . (1.3.5) – si q = 1 : Sn = n + 1 – si q = 1 : on remarque que 1 − qn+1 = (1 − q)(1 + q + q2 + · · · qn) = (1 − q) σn. D’o`u σn = 1 − qn+1 1 − q En g´en´eral, pour p, n ∈ IN avec p < n, on a : up + up+1 + · · · un =    (n − p + 1)up si q = 1 1 − qn−p+1 1 − q up si q = 1. 1.3.3 Suites arithm´etico-g´eom´etriques D´efinition 1.3.5. On appelle suite arithm´etico-g´eom´etrique de param`etres q et r, toute suite (un)n d´efinie par son terme initiale u0 et par la relation de r´ecurrence : un+1 = q un + r, ∀ n ∈ IN. (1.3.6) Remarque 1.3.6. On remarque que : – si q = 1 la suite (un)n devient arithm´etique – si r = 0 la suite (un)n devient g´eom´etrique. A partir de la relation de r´ecurrence (1.3.6), on peut calculer facilement le terme g´en´eral un en fonction de u0, q, r et n : un = q un−1 + r = q2u2 n + qr + r = q3un−3 + q2r + qr + r = · · · = qn u0 + (1 + q + q2 + · · · + qn−1)r. A. Ezziani 9 M. Laaraj
  15. 15. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 On obtient alors un =    u0 + nr si q = 1 (suite arithm´etique) qn(u0 − a) + a si q = 1 avec a = r 1 − q . Proposition 1.3.7. Soit (un)n une suite arithm´etico-g´eom´etrique de param`etres q et r et de premier terme u0. Alors – si |q| < 1 la suite converge vers a = r 1−q – si |q| > 1 la suite diverge sauf pour u0 = a (suite stationnaire un = u0, ∀ n ∈ IN) – si q = 1 (suite arithm´etique) la suite diverge sauf pour r = 0 (suite stationnaire un = u0, ∀ n ∈ IN) – si q = −1 la suite diverge sauf pour u0 = a (suite stationnaire un = u0, ∀ n ∈ IN). Exemple 1.3.8. Soit (un)n la suite d´efinie par : u0 = 1 et un+1 = 1 2 un + 5, ∀ n ∈ IN. On a q = 1 2 et |q| < 1. Donc d’apr`es la derni`ere proposition un converge vers 10. A. Ezziani 10 M. Laaraj
  16. 16. Chapitre 2 S´eries num´eriques 2.1 D´efinitions D´efinition 2.1.1. Soit (un)n une suite num´erique. On appelle s´erie num´erique de terme g´en´eral un la suite (Sn)n d´efinie par : Sn = n k=0 uk = u0 + u1 + · · · + un. Notation : on la note un ou n≥0 un Remarque 2.1.2. L’´etude de la s´erie de terme g´en´eral un correspond `a l’´etude de la suite (Sn)n. D´efinition 2.1.3. On dit que la s´erie un converge si et seulement si la suite (Sn)n converge. On note alors lim n→+∞ Sn = +∞ n=0 un. On dit que la s´erie un diverge si et seulement si la suite (Sn)n diverge. Exemple 2.1.4 (S´erie arithm´etique). La s´erie de terme g´en´eral un = u0 + nr avec u0 = 0 donn´e est divergente pour tout r ∈ R. En effet, Sn = n k=0 (u0 + kr) = (n + 1)(u0 + nr 2 ) et lim n→+∞ (n + 1)(u0 + nr 2 ) = ∞, ∀ r ∈ R. D’o`u la s´erie est divergente. Exemple 2.1.5 (S´erie g´eom´etrique). La s´erie de terme g´en´eral un = qn u0 avec u0 = 0 donn´e converge si et seulement si |q| < 1. En effet, Sn = n k=0 qk u0 = (1 + q + q2 + · · · qn )u0 =    (n + 1)u0 si q = 1 1 − qn+1 1 − q u0 si q = 1. 11
  17. 17. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 D’o`u la s´erie est convergente si et seulement si |q| < 1 et de limite +∞ n=0 un = 1 1 − q u0. Proposition 2.1.6. Soient un et vn deux s´eries convergentes, alors – (λ un) est convergente pour tout λ ∈ R et +∞ n=0 (λ un) = λ +∞ n=0 un – (un + vn) est convergente et +∞ n=0 (un + vn) = +∞ n=0 un + +∞ n=0 vn. 2.2 Conditions de convergence Proposition 2.2.1 (Comparaison de s´erie). Soient ( un)n et ( vn)n deux s´eries v´erifiant : 0 ≤ un ≤ vn, ∀ n ∈ IN. Alors – si ( vn)n converge alors ( un)n converge – si ( un)n diverge alors ( vn)n diverge. Exemple 2.2.2. La s´erie de terme g´en´eral un = ln n n 2n est convergente. En effet, lim n→+∞ ln n n = 0 ⇒ la suite ln n n est major´ee par une constante A > 0. D’o`u 0 ≤ un = ln n n 2n ≤ A 2n , ∀ n ∈ IN∗ . et comme la s´erie de terme g´en´eral 1 2n est convergente (s´erie g´eom´etriqe de raison q = 1/2 < 1) alors la s´erie un est convergente. Proposition 2.2.3 (S´erie de Riemann). La s´erie de terme g´en´eral 1 nα est convergente si et seulement si α > 1. Exemple 2.2.4. 1. 1 n est divergente 2. 1 n2 est convergente. Proposition 2.2.5 (Condition n´ecessaire de convergence). Si la s´erie ( un)n converge, alors la suite (un)n converge vers 0. Remarque 2.2.6. La r´eciproque de la proposition ci-dessus est fausse. Si lim n→+∞ un = 0 alors on ne peut rien conclure sur la s´erie ( un)n. Exemple 2.2.7. 1. La s´erie de terme g´en´eral un = n2, ∀ n ∈ IN est divergente car lim n→+∞ un = +∞ 2. lim n→+∞ 1 n = 0 et la s´erie 1 n est divergente. A. Ezziani 12 M. Laaraj
  18. 18. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Proposition 2.2.8 (Convergence absolue). Si la s´erie |un| converge alors la s´erie un converge. La r´eciproque et fausse. D´efinition 2.2.9. Si la s´erie |un| est convergente on dit que la s´erie un est absolument convergente. Exemple 2.2.10. La s´erie (−1)n n √ n est absolument convergente : (−1)n n √ n = 1 n √ n = 1 nα avec α = 3 2 . Donc (−1)n n √ n est convergente. Proposition 2.2.11 (Crit`ere d’Alembert). Soit (un)n une suite num´erique. On suppose que la limite suivante existe ℓ = lim n→+∞ un+1 un Alors 1. si ℓ < 1, la s´erie |un| est convergente 2. si ℓ > 1, la s´erie un est divergente 3. si ℓ = 1, on ne peut pas conclure imm´ediatement pour la s´erie un. Exemple 2.2.12. Soit un la s´erie de terme g´en´eral un = (−1)n 2n(n + 1) . On a lim n→+∞ un+1 un = lim n→+∞ 1 2n+1(n+2) 1 2n(n+1) = lim n→+∞ 1 2 n + 1 n + 2 = 1 2 < 1. Donc la s´erie un est convergente. Proposition 2.2.13 (Crit`ere de Cauchy). Soit (un)n une suite num´erique. On suppose que la limite suivante existe ℓ = lim n→+∞ |un| 1 n = lim n→+∞ n |un|. Alors 1. si ℓ < 1, la s´erie |un| est convergente 2. si ℓ > 1, la s´erie un est divergente 3. si ℓ = 1, on ne peut pas conclure imm´ediatement pour la s´erie un. Exemple 2.2.14. – La s´erie un de terme g´en´eral un = 2n + 3 3n + 7 n est convergente, car lim n→+∞ n √ un = 2 3 < 1. A. Ezziani 13 M. Laaraj
  19. 19. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 – La s´erie vn de terme g´en´eral vn = 3n + 3 2n + 7 n est divergente, car lim n→+∞ n √ un = 3 2 > 1. – On consid`ere la s´erie wn de terme g´en´eral wn =    2k 3k si n = 2k (n pair) 2k 3k+1 si n = 2k + 1 (n impair) Le rapport un+1 un vaut 1 3 si n est pair, 2 si n est impair. Le crit`ere de d’Alembert ne s’ap- plique pas. Pourtant, n √ un converge vers 2 3 < 1, donc le crit`ere de Cauchy s’applique et la s´erie wn converge. 2.3 S´eries particuli`eres Proposition 2.3.1. Pour tout nombre r´eel x ∈ R, la s´erie xn n! est convergente et +∞ n=0 xn n! = ex . D´efinition 2.3.2 (S´erie altern´ee). On appelle s´erie altern´ee toute s´erie de terme g´en´eral de la forme un = (−1)nan, avec an ≥ 0, ∀ n ∈ IN. Proposition 2.3.3. Si la suite (an)n est une suite de r´eels positifs, d´ecroissante et conver- gente vers 0 alors la s´erie altern´ee (−1)n an est convergente. Exemple 2.3.4. La s´erie altern´ee un de terme g´en´eral un = (−1)n n est convergente, car la suite de terme g´en´eral 1 n , n ∈ IN∗ est d´ecroissante et tend vers 0. Par contre la s´erie 1 n n’est pas convergente. A. Ezziani 14 M. Laaraj
  20. 20. Deuxi`eme partie Math´ematiques financi`eres 15
  21. 21. Chapitre 3 Les int´erˆets simples 3.1 D´efinitions et formule de l’int´erˆet simple 3.1.1 D´efinitions D´efinition 3.1.1 (Int´erˆets simples). 1. L’int´erˆet repr´esente le loyer ou la r´emun´eration de l’argent prˆet´e. Cet argent s’appelle capital ou placement. 2. Dans le cas de l’int´erˆet simple, le capital reste invariable, pendant toute la dur´ee du prˆet. L’emprunteur doit verser, `a la fin de chaque p´eriode, l’int´erˆet dˆu. Remarque 3.1.2. 1. Les int´erˆets simples s’appliquent g´en´eralement aux prˆets ou placements `a court terme (moins d’un an). 2. Au Maroc, l’ann´ee financi`ere est de 360 jours. 3.1.2 Formule de l’int´erˆet simple Si nous d´esignons par : – C : le capital plac´e – τ : le taux d’int´erˆet pour 100 Dh – n : la p´eriode de placement (en ann´ees) – I : l’int´erˆet rapport´e par le capital C – Va : la valeur acquise. On sait que : I = C × τ × n 100 et la valeur acquise est donn´ee par : Va = C + I. Exemple 3.1.3. 17
  22. 22. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 1. Un capital plac´e au taux annuel de 3% pendant 3 ans a rapport´e 18 Dh d’int´erˆet. Le capital initialement plac´e est 200 Dh. En effet, I = C × τ × n 100 ⇒ C = I × 100 τ × n = 18 × 100 3 × 3 = 200 Dh. 2. Soit un capital de 3600 Dh plac´e `a int´erˆet simples pendant 9 mois `a 6%. Alors I = C × τ/100 × n/12(mois) = C × τ × n 1200 = 3600 × 6 × 9 1200 = 162 Dh. 3. Un capital de 5200 Dh `a int´erˆet simple a produit 52 Dh d’int´erˆet pendant 36 jours. Calculons le taux de placement I = C × τ × n 36000 ⇒ τ = I × 36000 C × n = 52 × 36000 5200 × 36 = 10. Remarque 3.1.4. Le taux utilis´e doit correspondre `a la p´eriode de placement choisie (ann´ee, semestre, trimestre et mois) Taux annuel Taux semestriel Taux trimestriel Taux mensuel Taux journalier τa τs=τa/2 τt = τa/4 τm = τa/12 τj = τa/360 Tab. 3.1 – Taux proportionnels correspondants Exercice 3.1.5. Au bout de combien de jours, un capital de 30 000 Dh, plac´e au taux annuel de 7.50%, rapporte-t-il 468.75 Dh d’int´erˆets ? 3.2 L’escompte commercial 3.2.1 D´efinitions D´efinition 3.2.1. 1. L’escompte est l’op´eration par laquelle un banquier verse par avance au porteur d’un effet de commerce (lettre de change, une traite, billet `a ordre) non ´echu (avant son ´ech´eance) le montant de celui-ci, sous d´eduction d’int´erˆet. 2. L’escompte commercial est l’int´erˆet retenu par la banque sur la valeur nominale (somme inscrite sur l’effet) de l’effet pendant le temps qui s’´ecoule depuis le jour de la remise `a l’escompte jusqu’au jour de l’´ech´eance. Si – Vn : la valeur nominal de l’effet – τ : le taux de l’escompte – n : la dur´ee de l’escompte (en jours) – E : le montant de l’escompte – Va : la valeur actuelle (ou valeur escompt´ee N jours avant l’´ech´eance) A. Ezziani 18 M. Laaraj
  23. 23. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Alors E = Vn × τ × n 36000 et Va = Vn − E = Vn 1 − τ × n 36000 Remarque 3.2.2. La dur´ee de l’escompte est ´egale au nombre de jours compris entre celui de la remise (exclu) et celui de l’´ech´eance (inclus). La pratique bancaire conduit souvent `a y ajouter un certain nombre de jours dits jours de banque. Exemple 3.2.3. Un commer¸cant n´egocie le 9 mai une traite d’un montant de 15 000 Dh dont l’´ech´eance est le 15 aoˆut de la mˆeme ann´ee. La banque escompte la traite `a un taux de 12%. Le montant de l’escompte est : Taux 12% 9 mai 15 août date de négociation 98 jours date d’échéance E = Vn × τ × n 36000 = 15000 × 98 × 12 36000 = 490 Dh est la valeur actuelle Va = Vn − E = 15000 − 490 = 14510 Dh. 3.2.2 Pratique de l’escompte Dans la pratique, la remise d’un effet `a l’escompte entraˆıne des frais financiers, en plus de l’escompte proprement dit. Ces frais comprennent plusieurs commissions : – l’escompte – diverses commissions – la taxe sur la valeur ajout´ee (T.V.A 7%) L’ensemble de l’escompte et des commissions s’appelle l’agio. Exemple 3.2.4. Soit un effet de commerce d’un montant de 25 000 Dh, ´ech´eant le 24 juin et escompt´e le 15 avril de la mˆeme ann´ee aux conditions suivantes : – Taux d’escompte 13% – Commissions de manipulation 2 Dh par effet – T.V.A 7% – Tenir compte d’un jour de banque On a alors : Nombre de jours (n) = 70+1=71 Escompte (E) = 25000 × 13 × 71 36000 = 640, 97Dh Commissions de manipulation = 2 Dh Total H.T = 642,97 Dh T.V.A 7% = 45 Dh Agio = 687,97 Dh A. Ezziani 19 M. Laaraj
  24. 24. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 et la valeur actuelle Va = 25000 − 687, 97 = 24312, 03 Dh. Exercice 3.2.5. Un effet de 31 200 Dh a ´et´e escompt´e `a 9% et a donn´e une valeur actuelle de 30 888 Dh au 16 avril. Combien de jours l’effet avait-il `a courir ? En d´eduire la dote de son ´ech´eance. 3.3 Equivalence de capitaux `a int´erˆets simples 3.3.1 Equivalence de deux effets D´efinition 3.3.1. Deux effets (ou deux capitaux) sont ´equivalents `a une date donn´ee, lorsque escompt´es au mˆeme taux, ils ont la mˆeme valeur actuelle (valeur escompt´ee) `a une date d´etermin´ee dite date d’´equivalence. Si nous d´esignons par : – Vn1 et Vn2 : les valeurs nominales – n1 et n2 : les dur´ees d’escompte en jours – τ : le taux de l’escompte – Va1 et Va2 : les valeurs actuelles, alors Va1 = Va2 ⇐⇒ Vn1 − Vn1 × τ × n1 36000 = Vn2 − Vn2 × τ × n2 36000 . Exemple 3.3.2. Un commer¸cant souhaite remplacer le 15 juin un effet de 15 000 Dh arrivant `a ´ech´eance le 24 juillet, par un autre ´ech´eant le 14 aoˆut. Le taux d’escompte est 13%. Calculons la valeur nominale Vn2 de l’effet de remplacement. Taux 13% 14 août24 juillet15 juin 60 jours 39 jours date d’équivalence On a : Va1 = Va2 =⇒ 15000 − 15000 × 13 × 39 36000 = Vn2 − Vn2 × 13 × 60 36000 =⇒ Vn2 = 15116, 27Dh. Remarque 3.3.3. La date d’´equivalence est ant´erieure `a la date d’´ech´eance des 2 effets. A. Ezziani 20 M. Laaraj
  25. 25. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 3.3.2 Equivalence de plusieurs effets : l’´ech´eance commune D´efinition 3.3.4. L’´ech´eance commune est le cas de remplacement de plusieurs effets (ou capitaux) par un seul effet (capital).L’´ech´eance commune est l’´ech´eance d’un effet unique qui, `a la date d’´equivalence, a une valeur actuelle ´egale `a la somme des valeurs actuelles des effets remplac´es. Si nous d´esignons par : – Vni, i = 1 · · · , k : les valeurs nominales – ni : les dur´ees d’escompte en jours – τ : le taux de l’escompte – Vai : les valeurs actuelles, alors Va = k i=1 Vai ⇐⇒ Vn − Vn × τ × n 36000 = k i=1 Vni − Vni × τ × ni 36000 Exemple 3.3.5. On souhaite remplacer trois traite ci-dessous par un effet unique. – 5400 Dh : ´ech´eance dans 14 jours – 5100 Dh : ´ech´eance dans 60 jours – 6300 Dh : ´ech´eance dans 75 jours Calculons l’´ech´eance de l’effet de 16 700 Dh qui remplace les trois effets avec un taux de 12%. 16700 − 16700 × 12 × n 36000 = 5400 − 5400 × 12 × 14 36000 + 5100 − 5100 × 12 × 60 36000 + 6300 − 6300 × 12 × 75 36000 = 16491, 57 =⇒ n = 34 jours. A. Ezziani 21 M. Laaraj
  26. 26. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 A. Ezziani 22 M. Laaraj
  27. 27. Chapitre 4 Les int´erˆets compos´es 4.1 D´efinition et formules des int´erˆets compos´es 4.1.1 D´efinition Un capital est dit plac´e `a int´erˆets compos´es, lorsque, `a la fin de chaque p´eriode de place- ment, Les int´erˆets produits sont ajout´es au capital pour former un nouveau capital qui produira `a son tour des Int´erˆet pendant la p´eriode suivante. Exemple 4.1.1. Soit un capital de 8000 Dh plac´e `a int´erˆets compos´es au taux de 5% l’an pendant 3 ans. Calculons sa valeur acquise en fin de placement. P´eriode (an) Capital plac´e au d´ebut Int´erˆets Produits (Dh) Valeur acquise (Dh) de la p´eriode(Dh) 1 8000 8000 × 5% = 400 8000+400=8400 2 8400 8400 × 5% = 420 8400 + 420 = 8820 3 8820 8820 × 5% = 441 8820 + 441 = 9261 Au bout de 3 ans de placement, la valeur acquise par le capital est de 9261 Dh et les int´erˆets produits s’´el`event `a 1261 Dh. 4.1.2 Formule des int´erˆets compos´es Si nous d´esignons par : – C : le capital initial (plac´e) – n : dur´ee de placement – τ : taux d’int´erˆet pour un dirham de capital – Va : la valeur acquise apr`es n p´eriode de placement alors le capital acquis `a la fin de la ni`eme p´eriode est : Va = C(1 + τ)n . (4.1.1) Exemple 4.1.2. 23
  28. 28. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 1. Un capital de 120 000 Dh plac´e `a int´erˆets compos´es au taux semestriel de 6%. Sa valeur acquise au bout de 4 ans est : Va = 120000 × (1.06)8 (4 ans = 8 semestres) = 120000 × 1, 593848 (voir la table financi`ere no1) = 191261, 76 Dh Le mˆeme exemple avec un taux annuel de 12% donne : Va = 120000 × (1.12)4 = 120000 × 1.573519 = 188822.3 Dh On remarque que les deux valeurs acquises ne sont pas ´egales. On conclut que les deux taux ne sont pas ´equivalent pour les int´erˆets compos´es (voir §4.2). 2. Soit un capital de 6000 Dh plac´e pendant 5ans `a 4.4%. Calculons la valeur acquise. Va = 6000(1.044)5 (taux 4.4% n’est pas tabulaire) Il faut proc´eder par interpellation : 4.25% < 4.4% < 4.5% =⇒ (1.0425)5 < (1.044)5 = x < (1.045)5 =⇒ 1.231347 < x < 1.246182 =⇒ x − 1.231347 1.246182 − 1.231347 = 4.4 − 4.25 4.5 − 4.25 =⇒ x = (1.246182 − 1.231347) × 4.4 − 4.25 4.5 − 4.25 + 1.231347 = 1.240248. D’o`u Va = 6000 × 1.240248 = 7441.43 Dh 3. A quel taux d’int´erˆets compos´es annuel faut-il placer une somme de 10000 Dh pour obtenir au bout de 10 ans une valeur de 26370 Dh ? Soient C = 10000, n = 10, Va = 26370 et x l’inconnue telle que τ = x%, on a alors Va = C(1 + τ)n =⇒ 26370 = 10000 × (1 + τ)10 =⇒ (1 + τ)10 = 26370 10000 = 2.6370 On remarque que 2.6370 ne se trouve pas sur la table financi`ere. Il faut proc´eder par interpolation : 2.593742 < 2.6370 < 2.653298 =⇒ 10% < x% < 10.25% =⇒ x − 10 10.25 − 10 = 2.6370 − 2.593742 2.653298 − 2.593742 =⇒ x = (10.25 − 10) × 2.6370 − 2.593742 2.653298 − 2.593742 + 10 = 10.18. Donc τ = 10.18%. 4. Une personne a investit une somme d’argent dans un projet. 4 ann´ees plus tard, elle retire 50000 Dh. Quelle est la somme plac´ee si le taux d’int´erˆet est de 11.30% par an ? On a Va = C(1+τ)n =⇒ 50000 = C(1.1130)4 =⇒ C = 50000 (1.1130)4 (le taux 11.30% n’est pas tabulaire) A. Ezziani 24 M. Laaraj
  29. 29. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 On proc´ede alors par interpolation 11.25 < 11.30 < 11.50 =⇒ (1.1125)4 < (1.113)4 = x < (1.1150)4 =⇒ 1.531733 < x < 1.545608 =⇒ x = (1.545608 − 1.531733) × 11.30 − 11.25 11.50 − 11.25 + 1.531733 = 1.534556. Donc C = 50000 1.534556 = 32582.71 Dh. 5. Un capital de 125 000 Dh a acquis une valeur acquise de 166 375 Dh au taux de 10%. Quelle a ´et´e la dur´ee de placement ? On a Va = C × (1 + τ)n =⇒ 166375 = 125000 × (1.1)n =⇒ (1.1)n = 166375 125000 = 1.3310. La T.F no1 donne (1.1)3 = 1.3310. Donc n = 3 soit 3 ans. On peut aussi calculer n directement sans utiliser la table financi`ere `a l’aide de : (1.1)n = 1.3310 =⇒ en ln(1.1) = 1.3310 =⇒ n ln(1.1) = ln(1.3310) =⇒ n = ln(1.3310) ln(1.1) = 3. Remarque 4.1.3. A partir de la formule des int´erˆets compos´es (4.1.1), on peut calculer n en fonction de Va, C et τ `a l’aide de la formule suivante : n = ln(Va/C) ln(1 + τ) 4.1.3 Formule de capitalisation avec un nombre fractionnaire de p´eriodes D´efinition 4.1.4. On dit que le temps de placement ou de capitalisation est nombre frac- tionnaire si la dur´ee de placement s’exprime en n ans et m mois, avec 1 ≤ m ≤ 11. Exemple 4.1.5. Calculer la valeur acquise par un capital de 100 000 Dh plac´e pendant 8 ans et 5 mois au taux annuel de 6%. Pour r´esoudre le probl`eme pr´ec´edent, deux solutions sont possibles : Solution rationnelle Dans ce cas, on consid`ere les n ans (partie enti`ere) `a int´erˆets compos´es et les m mois (partie fractionnaire) `a int´erˆets simples (voir FIG. 4.1). La valeur acquise est donn´ee par : Van+m/12 = C × (1 + τ)n Valeur acquise au bout de n ans + (C × (1 + τ)n ) × τ × m/12 int´erˆet simple des m derniers mois Si on consid`ere l’exemple 4.1.5, on a : Va8+5/12 = 100000 × (1.06)8 Valeur acquise au bout de 8 ans + 100000 × (1.06)8 × 0.06 × 5/12 int´erˆet simple des 5 derniers mois = 100000 × (1.06)8 × (1 + 0.06 × 5/12) = 100000 × 1.593848 × 1.024999 = 163369.42 Dh A. Ezziani 25 M. Laaraj
  30. 30. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Taux Intérêts simples Intérêts composés n années m mois Fig. 4.1 – Solution rationnelle Solution commerciale Dans la pratique, on consid`ere que la totalit´e de la dur´ee du placement s’effectue `a int´erˆets compos´es (voir FIG. 4.2). La valeur acquise est donn´ee par : Van+m/12 = C × (1 + τ)n+m/12 = C × (1 + τ)n × (1 + τ)m/12 Taux n années m mois Intérêts composés Fig. 4.2 – Solution commerciale Reprenons l’exemple pr´ec´edent. On a alors : Va8+5/12 = 100000 × (1.06)8+5/12 = 100000 × (1.06)8 T.F no1 × (1.06)5/12 T.F no6 = 100000 × 1.593848 × 1.02458 = 163302.5 Dh. Remarque 4.1.6. La solution commerciale est inf´erieure `a la solution rationnelle. On adopte toujours la solution commerciale sauf indication contraire. Exemple 4.1.7. Calcule la valeur acquise par un capital de 100 000 Dh plac´e pendant 6 ans et 3 mois au taux de 13.10%. On a : Va = 100000 × (1.1310)6+3/12 = 100000 × (1.1310)6 × (1.1310)3/12 . Le taux 13.10% n’est pas tabulaire. On proc`ede alors par interpolation : A. Ezziani 26 M. Laaraj
  31. 31. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Interpolation no1. On a : 13 < 13.10 < 13.25 =⇒ (1.13)6 < (1.131)6 = x < (1.1325)6 =⇒ 2.081952 < x < 2.109742 =⇒ x − 2.081952 2.109742 − 2.081952 = 13.10 − 13 13.25 − 13 =⇒ (1.1310)6 = x = 2.093068. Interpolation no2. On a : (1.13)3/12 < (1.131)3/12 = x < (1.1325)3/12 =⇒ 1.03103 < x < 1.03160 =⇒ x − 1.03103 1.03160 − 1.03103 = 13.10 − 13 13.25 − 13 =⇒ (1.1310)3/12 = x = 1.031258. Donc Va = 100000 × 2.093068 × 1.031258 = 215849, 31 Dh. 4.2 Taux proportionnels et taux ´equivalents 4.2.1 Taux proportionnels D´efinition 4.2.1. De taux sont proportionnels lorsque leur rapport est ´egal au rapport des dur´ees de leurs p´eriodes respectives Exemple 4.2.2. Au taux annuel de 10% correspond le taux semestriel proportionnel de 5% et le taux trimestriel proportionnel de 2.5%. En effet, 10/5 = 12/6 = 2 et 10/2.5 = 12/3 = 4. Remarque 4.2.3. En int´erˆets simples deux taux proportionnels produisent sur un mˆeme capital les mˆemes int´erˆets au bout de mˆeme temps (ce n’est pas le cas en int´erˆets compos´es, voir 1. de l’exemple 4.1.2). 4.2.2 Taux ´equivalents D´efinition 4.2.4. Deux taux sont dits ´equivalents s’ils aboutissent pour un mˆeme capital, `a la mˆeme valeur acquise pendant la mˆeme dur´ee de placement. Exemple 4.2.5. Un capital de 10 000 Dh plac´e pendant un an au taux de 10%. Sa valeur acquise est Va = 100000(1.10)1 = 11000 Dh. Si τs est le taux semestriel ´equivalent, alors 10000(1 + τs)2 = 10000(1.10)1 =⇒ (1 + τs)2 = 1.10 =⇒ τs = √ 1.10 − 1 = 0.0488088 soit τs = 4.88%. De la mˆeme mani`ere, on peut calculer le taux trimestriel ´equivalent. Si τt est le taux trimestriel ´equivalent au taux annuel de 10%, alors (1 + τt)4 = 1.10 =⇒ τt = 1.101/4 − 1 = 0.0241137 soit τt = 2.41%. A. Ezziani 27 M. Laaraj
  32. 32. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 En g´en´eral, soient τ1 et τ2 deux taux associ´es respectivement `a deux nombres de p´eriodes diff´erentes n1 et n2. On dit que les deux taux sont ´equivalents si : (1 + τ1)n1 = (1 + τ2)n2 . Ce qui nous donne τ1 = (1 + τ2)n2/n1 − 1 et τ2 = (1 + τ1)n1/n2 − 1 Exemple 4.2.6. 1. Le taux semestriel ´equivalent au taux annuel de 10% est τs = (1.1)1/2 − 1 = 0.0488088 soit τs = 4.88%. 2. Le taux trimestriel ´equivalent au taux annuel de 10% est τt = (1.1)1/4 − 1 = 0.024113689 soit τt = 2.41%. 3. Le taux mensuel ´equivalent au taux semestriel de 7% est τm = (1.07)1/6 − 1 = 0.011340260134872 soit τm = 1.13%. 4.3 Equivalence de capitaux `a int´erˆets compos´es 4.3.1 Equivalence de deux capitaux D´efinition 4.3.1. Deux capitaux (ou effets) sont ´equivalents `a int´erˆets compos´es, `a une date donn´ee (date d’´equivalence), si escompt´es `a int´erˆets compos´es et au mˆeme taux, ils ont `a cette date la mˆeme valeur actuelle. Si nous d´esignons par C1 et C2 deux effets payables dans n1 et n2 p´eriodes et escompt´es `a un taux τ par p´eriode. Alors C1 et C2 sont ´equivalents si et seulement si C1(1 + τ)−n1 = C2(1 + τ)−n2 . Taux n2 n1 C1 C2 A. Ezziani 28 M. Laaraj
  33. 33. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Exemple 4.3.2. Soit un capital de 25000 Dh payable dans 3 ans et un capital de 30250 Dh payable dans 5 ans. Taux d’escompte 10%. Taux 10% 0 3 5 25000 30250date d’équivalence 1er capital : Valeur actuelle `a la date d’´equivalence est 25000(1 + τ)−3 = 25000(1.1)−3 = 25000 × 0.751315 = 18782.87 Dh 2`eme capital : Valeur actuelle `a la date d’´equivalence est 30250(1 + τ)−5 = 30250(1.1)−5 = 30250 × 0.620921 = 18782.87 Dh. A la date d’´equivalence, ces deux capitaux ont la mˆeme valeur actuelle. Ils sont alors ´equivalents. Si nous changeons la date d’´equivalence, les valeurs actuelles restent les mˆemes `a conditions que le taux ne change pas. D’o`u la remarque : Remarque 4.3.3. Si deux capitaux sont ´equivalents `a int´erˆets compos´es, `a une date donn´ee, ils sont ´equivalents `a toute autre date. 4.3.2 Equivalence de plusieurs capitaux D´efinition 4.3.4. Un capital est ´equivalent `a int´erˆets compos´es, `a une date donn´ee, `a un ensemble de plusieurs capitaux si la valeur actuelle de ce capital est ´egale `a la somme des valeurs actuelle des autres capitaux. C(1 + τ)−n = k i=1 Ci(1 + τ)−ni . Exemple 4.3.5. 1. Un d´ebiteur qui doit s’acquitter des dettes suivantes : – 24000 Dh pyable dans un an – 16000 Dh pyable dans 2 ans Obtient de son cr´eancier de se lib´erer par un paiment unique dans 2ans. Calculons la valeur de ce paiment unique si le taux d’int´erˆets compos´es est de 13%. 0 date d’équivalence 21 Taux 13% 16000 Vn?? 24000 1 ans 2 ans A. Ezziani 29 M. Laaraj
  34. 34. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 On a : Vn(1.13)−2 = 24000(1.13)−1 + 16000(1.13)−2 ⇒ Vn = 24000 × 1.13 + 16000 = 43120 Dh 2. Une personne a emprunt´e 15000 Dh `a int´erˆets compos´es. Au lieu de rembourser le capital et les int´erˆets dans 5 ans apr`es comme convenu, elle propose de remborser `a cette datte 8000 Dh et le reste est vers´e 5 ans plus tard par un montant de 29110.90 Dh. Quel es tle taux d’int´erˆets compos´es ? Soit τ le taux d’int´erˆet pour un dirham. On a : 15000 = 8000(1+τ)−5 +29110.90(1+τ)−10 ⇔ 15000(1+τ)10 = 8000(1+τ)5 +29110.90 Si on pose x = (1+ τ)5, la derni`ere ´equation se r´e´ecrit sous la forme d’une ´equation du second degr´e : 15000x2 − 8000x − 29110.90 = 0 Les solution de cette ´equation sont x1 = 1.685059 et x2 = −1.1517 < 0 `a rejeter. On obtient alors (1 + τ)5 = 1.685059 ⇒ τ = 11%. 3. D´eterminer l’´ech´eance d’une dette de 4983.245 Dh destin´ee `a remplacer les 3 dettes suivantes : – 1000 Dh payable dans 6 mois – 1800 Dh payable dans 18 mois – 2000 Dh payable dans 30 mois On applique une capitalisation semestrielle avec tau semestriel de 6%. Soit n le nombre de p´eriodes (semestres), on a : 4983.245(1 + τ)−n = 1000(1 + τ)−1 + 1800(1 + τ)−3 + 2000(1 + τ)−5 = 1000(1.06)−1 + 1800(1.06)−3 + 2000(1.06)−5 = 3949.227 Ce qui implique (1.06)−n = 0.792 ⇒ n = 4 (voir la T.F no2) Soit 4 semestres (2 ans). 4. Un d´ebiteur a contract´e 4 dettes aupr`es du mˆeme cr´eancier : – 8200 Dh payable dans 1 an 3 mois – 9600 Dh payable dans 2 ans 6 mois – 7800 Dh payable dans 3 ans 9 mois – 10600 Dh payable dans 5 ans Pr´ef´erant se lib´erer en une seule fois, il obtient de son cr´eancier la facilit´e de s’acquitter par un paiment unique dans 3 ans. Calculons le montant de ce paiement, compte tenu d’un taux annuel de 8%. Taux 8% 0 53+9/122+6/121+3/12 ActualisationCapitalisation 3 8200 9600 7800 10600 date d’´equivalence Vn ? A. Ezziani 30 M. Laaraj
  35. 35. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Soit Vn la valeur nominale de l’effet unique, on a : Vn = 8200(1.08)1+9/12 + 9600(1.08)6/12 + 7800(1.08)−9/12 + 10600(1.08)−2 = 8200 × 1.144172 + 9600 × 1.03923 + 7800 × 0.943913 + 10600 × 0.857338 = 35809.12 Dh. A. Ezziani 31 M. Laaraj
  36. 36. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 A. Ezziani 32 M. Laaraj
  37. 37. Chapitre 5 Les annuit´es 5.1 D´efinitions D´efinition 5.1.1. On appelle annuit´es, des versements constants payables `a intervalles de temps r´eguliers. On distingue : 1. Les annuit´es de capitalisation ou annuit´es de placement, dont l’objectif est de consti- tuer un capital. 2. Les annuit´es de remboursement ou d’amortissement, dont l’objectif est de rem- bourser une dette. Remarque 5.1.2. Les versements peuvent ˆetre effectu´es `a la fin de p´eriode : c’est le cas des annuit´es de remboursement. Comme elles peuvent ˆetre vers´es en d´ebut de p´eriode : c’est le cas g´en´eralement pour les annuit´es de placement. 5.2 Les annuit´es de fin de p´eriode 5.2.1 Valeur acquise Exemple 5.2.1. Une personne verse annuellement 1000 Dh `a la BMCE pendant 5 ans. Quelle est la somme retir´ee au moment du dernier versement (taux 10%). 3 50 1 2 4 1000 10% 1000100010001000 P´eriodes Annuit´es Versement Valeur acquise (Dh) 1 1000 × (1.1)4 2 1000 × (1.1)3 3 1000 × (1.1)2 4 1000 × (1.1) 5 1000 33
  38. 38. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Va = 1000 + 1000(1.1) + 1000(1.1)2 + 1000(1.1)3 + 1000(1.1)4 la somme d’une suite g´eom´etrique du premier terme 1000 et de raison q = 1.1 = 1 = 1000 1 − (1.1)5 1 − 1.1 = 6105.10 Dh (T.F no 3). Formule g´en´erale de la valeur acquise τ a a aa a a a 0 1 2 3 4 n−2 n−1 n Va Capitalisation Va = a + a(1 + τ) + a(1 + τ)2 + · · · + a(1 + τ)n−2 + a(1 + τ)n−1 = a 1 + q + q2 + · · · qn−2 + qn−1 , q = 1 + τ = 1 = a 1 − qn 1 − q = a 1 − (1 + τ)n 1 − (1 + τ) . D’o`u Va = a × (1 + τ)n − 1 τ . (5.2.1) Exemples Exemple 5.2.2 (recherche de l’annuit´e). Quel doit ˆetre le montant de chacune des 20 an- nuit´es qui permettraient de constituer au moment du dernier versement un capital de 100000 Dh au taux de 11%. Va = 100000, n = 20, τ = 11%, a =??. On a : Va = a × (1 + τ)n − 1 τ ⇒ a = Va τ (1 + τ)n − 1 = 1557, 56 Dh. Exemple 5.2.3 (recherche de la dur´ee). Combien d’annuit´es constantes de 10 000 Dh faut–il verser en fin de p´eriode, pour obtenir par capitalisation au taux de 7% un capital de 150000 Dh ? Va = 150000, a = 10000, τ = 7%, n =??. On a : Va = a × (1 + τ)n − 1 τ ⇒ (1 + τ)n = τ Va a + 1 ⇒ (1.07)n = 2.05 ⇒ n = ln(2.05)/ ln(1.07) = 10.6, 10 < n < 11. Comme n doit ˆetre n´ecessairement entier on prendra n = 10 ou n = 11. 1. n = 10 – Solution 1 : on modifie toutes les annuit´es : a = 150000 0.07 1.0710 − 1 = 10856, 62 Dh A. Ezziani 34 M. Laaraj
  39. 39. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 – Solution 2 : on modifie la derni`ere annuit´e, celle-ci est major´ee d’un montant m : m = 150000 − 10000 1.0710 − 1 0.07 = 11835, 52 Dh. Soit le montant de la derni`ere annuit´e a10 = a+m = 10000+11835, 52 = 22835, 52 Dh. 2. n = 11 – Solution 1 : on modifie toutes les annuit´es : a = 150000 0.07 1.0711 − 1 = 9503, 54 Dh – Solution 2 : on modifie la derni`ere annuit´e, celle-ci diminu´ee d’un montant d : d = 10000 1.0711 − 1 0.07 − 150000 = 7836 Dh. Soit la derni`ere annuit´e a11 = a − d = 10000 − 7836 = 2164 Dh. Exemple 5.2.4 (recherche du taux). Sachant que 10 annuit´es constantes de 10 000 Dh chacune permettant de constituer un capital de 151929,29 Dh. Calculer le taux d’int´erˆet cor- respondant `a ce placement. Va = 151929, 29, a = 10000, n = 10, τ =??. On a : Va = a × (1 + τ)n − 1 τ ⇒ (1+τ)n−1 τ = Va a = 15, 192929 ⇒ τ = 9% (T.F no 3). 5.2.2 Valeur actuelle Connaissant la valeur acquise des annuit´es de fin de p´eriode, d´eterminer leur valeur actuelle un an avant le 1er versement (voir le sch´ema ci-dessous). τ a a aa a a a 0 1 2 3 4 n−2 n−1 n Va ActualisationV0=?? Ici on cherche `a ´evaluer la suite d’annuit´es `a la date 0. En utilisant la formule de la valeur actuelle, on obtient : V0 = Va(1 + τ)−n Si on remplace Va par son expression (5.2.1), on aura : V0 = a (1 + τ)n − 1 τ × (1 + τ)−n D’o`u V0 = a 1 − (1 + τ)−n τ (5.2.2) A. Ezziani 35 M. Laaraj
  40. 40. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Exemples Exemple 5.2.5 (recherche de l’annuit´e). Un fond de commerce est achet´e `a 300000 Dh payable par 12 annuit´es constantes de fin d’ann´ee au taux de 10%. Quel est le montant de chaque annuit´e ? 10% a a aa a a a 0 1 2 3 4 10 12 V 0=300000 11 a=?? V0 = a 1 − (1 + τ)−n τ ⇒ a = V0 τ 1 − (1 + τ)−n ⇒ a = 44028.90 Dh. Exemple 5.2.6 (recherche du taux). Une dette de 450000 Dh doit ˆetre rembours´ee par cinq versement annuel de 125000 Dh chacun. Le 1er versement ayant lieu dans un an. Calculer le taux d’int´erˆets. V0 = a 1 − (1 + τ)−n τ ⇒ 1 − (1 + τ)−n τ V0 a ⇒ 1 − (1 + τ)−n τ = 3.6 D’apr`es la T.F no4, 3,6 n’est pas tabulaire, on proc`ede alors par interpolation : 3, 582562 < 3, 6 < 3, 6047762 12 < τ < 12.25 ⇒ τ = 12.05%. 5.3 Les annuit´es de d´ebut de p´eriode 5.3.1 Valeur acquise Les versements ont lieu au d´ebut de chaque p´eriode : Remarque 5.3.1. L’´etude des annuit´es de d´ebut de p´eriode ne pr´esente pas de diff´erences majeures par rapport `a celles des annuit´es de fin de p´eriode. En effet par un simple changement d’origine on se ram`ene au sch´ema des annuit´es de fin de p´eriode. Il importe au niveau des formules, de tenir compte du d´ecalage d’une p´eriode. (voir remarque 5.3.6) Formule de la valeur acquise, une p´eriode apr`es le dernier versement : Va = a(1 + τ) + a(1 + τ)2 + · · · + a(1 + τ)n−1 + a(1 + τ)n = a(1 + τ) × 1 + (1 + τ) + · · · + (1 + τ)n−2 + (1 + τ)n−1 A. Ezziani 36 M. Laaraj
  41. 41. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 τ a aa a a a 0 1 2 3 4 n−2 n−1 n a Capitalisation Va Fig. 5.1 – Annuit´es de d´ebut de p´eriode τ a a aa a a a 0 1 2 3 4 n−2 n−1 n Va Capitalisation Fig. 5.2 – Annuit´es de fin de p´eriode D’o`u Va = (1 + τ) × a (1 + τ)n − 1 τ (5.3.1) Remarque 5.3.2. On remarque que pour obtenir la valeur acquise de d´ebut de p´eriode (5.3.1), il suffit de multiplier la formule de la valeur acquise de fin de p´eriode (5.2.1) par (1 + τ). Exemples Exemple 5.3.3 (recherche de la dur´ee). Combien faut-il verser d’annuit´es annuelles de 9531,69 Dh chacune, pour constituer un an apr`es le dernier versement, un capital de 157737,41 Dh taux 12% par an. Va = 157737, 41, a = 9531, 69, τ = 12%, n =??. On a : Va = a(1 + τ) (1 + τ)n − 1 τ ⇒ (1 + τ)n = Va τ a(1 + τ) + 1 ⇒ (1.12)n = 2.773079 ⇒ n = ln(2.773079)/ ln(1.12) = 9. Exemple 5.3.4 (recherche de l’annuit´e). 15 versements annuel sont effectu´es le 1er janvier de chaque ann´ee, pendant 15 ans, au taux de 11% l’an. Le capital constitu´e, un an apr`es le dernier versement est de 248234,67 Dh. Calculer le montant de chaque versement. A. Ezziani 37 M. Laaraj
  42. 42. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Va = 248234, 67, n = 15, τ = 11%, a =??. On a Va = a(1 + τ) (1 + τ)n − 1 τ ⇒ a = Va τ (1 + τ) [(1 + τ)n − 1] ⇒ a = 248234, 67 × 0, 11 1.11 × [(1.11)15 − 1] = 6500 Dh Exemple 5.3.5 (recherche du taux). Le versement de 10 annuit´es annuelles constantes de d´ebut de p´eriode de 10000 Dh chacune, a permis de constituer , `a la fin de la 10`eme ann´ee, un capital de 170 000 Dh. Quel est le taux de capitalisation utilis´e ? Va = 170000, a = 10000, n = 10, τ =??. On a Va = a(1 + τ) (1 + τ)n − 1 τ ⇒ (1 + τ) (1 + τ)n − 1 τ = Va a ⇒ (1 + τ) (1 + τ)10 − 1 τ = 17 ⇒ (1 + τ)11 − 1 τ − 1 = 17 ⇒ (1 + τ)11 − 1 τ = 18. D’apr`es la T.F no3, 18 n’est pas tabulaire, on proc`ede alors par interpolation : 17, 797628 < 18 < 18, 038517 9, 25 < τ < 9, 5 ⇒ τ = 9, 46%. 5.3.2 Valeur actuelle Connaissant la valeur acquise des annuit´es de d´ebut de p´eriode, d´eterminer leur valeur actuelle au moment du 1er versement. τ a aa a a a 0 1 2 3 4 n−2 n−1 n Va0V Actualisation a V0 = Va(1 + τ)−n valeur actuelle = a(1 + τ) (1 + τ)n − 1 τ × (1 + τ)−n D’o`u V0 = (1 + τ) × a 1 − (1 + τ)−n τ (5.3.2) A. Ezziani 38 M. Laaraj
  43. 43. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 Remarque 5.3.6. On remarque que pour obtenir la valeur actuelle de d´ebut de p´eriode (5.3.2), il suffit de multiplier la formule de la valeur actuelle de fin de p´eriode (5.2.2) par (1 + τ). Exemples Exemple 5.3.7 (recherche de la dur´ee). Combien faut-il verser d’annuit´es annuelles constantes de 5000 Dh chacune, pour avoir une valeur de 20186,74 Dh au moment du 1er versement, au taux de 12% l’an. V0 = 20186, 74, a = 5000, τ = 12%, n =??. On a : V0 = a(1 + τ) 1 − (1 + τ)−n τ ⇒ 1 − (1 + τ)−n τ = V0 a(1 + τ) 1 − (1.12)−n 0.12 = 3.604775 D’apr`es la T.F no4, on a n = 5 soit 5 versements. Exemple 5.3.8 (recherche de la valeur actuelle). Calculer `a la date du 01-01-93 la valeur actuelle d’une suite d’annuit´es constantes de 3000 Dh chacune. La 1ere ´etant vers´ee le 01- 01-93, la derni`ere le 01-01-97 taux d’actualisation 12% l’an. V0 = a(1 + τ)1−(1+τ)−n τ = 3000 × 1.12 × 1 − (1.12)−5 0.12 = 12112 Dh. A. Ezziani 39 M. Laaraj
  44. 44. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 A. Ezziani 40 M. Laaraj
  45. 45. Chapitre 6 L’emprunt indivis 6.1 D´efinition et notion d’amortissement L’emprunt indivis ou ordinaire se caract´erise par le fait que l’emprunteur (un particulier ou une entreprise) s’adresse `a un seul cr´eancier (le nominal C de la dette n’est pas divis´e). L’emprunt indivis s’oppose donc `a l’emprunt obligataire par lequel l’emprunteur (une grande entreprise ou l’Etat) recourt `a une multitude de cr´eanciers (le nominal C de la dette est divis´e en titres). Notion d’amortissement. Une personne emprunte une somme C pour une dur´ee ´egale `a n p´eriode au taux τ. Pour l’amortissement de la dette on distingue trois type de syst`eme : 1. Les emprunts remboursables par amortissements constants 2. Les emprunts remboursables par annuit´es constantes 3. Les emprunts remboursables en une seule fois. 6.2 Les emprunts remboursables par amortissements constants Selon cette formule, le montant de l’emprunt indivis (C) est divis´e en parts ´egales (les amor- tissements) en fonction du nombre de p´eriode (n) de remboursement. A la fin de chaque p´eriode, l’emprunteur verse au pr´eteur une partie de la dette (amortissement : M = C/n) et un int´erˆet calcul´e au taux pr´evu sur le montant encore dˆu (non rembours´e au pr´eteur). La somme de ces deux ´el´ements (amortissement+int´erˆet) forme l’annuit´e de rembourse- ment. Exemple 6.2.1. Une entreprise importatrice emprunte la somme de 1000 000 Dh `a la BMCE. en vue de faire face aux surcoˆuts apparus sur les march´es d’approvisionnements. Cet emprunt est remboursable en quatre fractions ´egales, payables `a la fin de chacune de quatre ann´ees : taux de l’emprunt 12% l’an. On a l’amortissement est constant M = C/n = 1000000/4 = 250000 Dh. le tableau d’amor- tissement de l’emprunt est pr´esent´e sur le tableau TAB. 6.1. 41
  46. 46. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 P´eriode Capital en d´ebut Int´erˆet de Amortissement Annuit´e Capital en fin de p´eriode la p´eriode de p´eriode (CDP) (I) (M) (a) (CFP) 1 1000 000 120 000 250 000 370 000 750 000 2 750 000 90 000 250 000 340 000 500 000 3 500 000 60 000 250 000 310 000 250 000 4 250 000 30 000 250 000 280 000 0 300 000 1000 000 1300 000 Tab. 6.1 – Tableau d’amortissement de l’emprunt 6.2.1 G´en´eralisation τ 0 n1 32 n−1 La dette C2 C3 Cn−1 Cn = 0 a1 = I1 + M a2 = I2 + M a3 = I3 + M an = In + Man−1 = In−1 + M C1C – A la fin de la premi`ere p´eriode, l’annuit´e a1 contient l’int´erˆet I1 = C τ de la premi`ere ann´ee et l’amortissement M destin´e `a commencer le remboursement de la dette : a1 = I1 int´erˆet + M amortissement = C τ + M et la dette `a la fin de la premi`ere ann´ee est C1 = C − M. – A la fin de la deuxi`eme ann´ee, on a : a2 = I2 + M = C1 τ + M et C2 = C1 − M. – Ecrivons deux annuit´es successives : ap = Cp−1 τ + M ap+1 = Cp τ + M et Cp = Cp−1 − M implique ap+1 − ap = Cp τ + M − (Cp−1 τ + M) = (Cp − Cp−1)τ = ((Cp−1 − M) − Cp−1) τ = −Mτ = − C n τ (M = C/n) D’o`u ap+1 = ap − C n τ C’est une suite arithm´etique de raison r = −M τ = − C n τ et de premier terme a1 = I1 + M = C τ + M A. Ezziani 42 M. Laaraj
  47. 47. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 – De la mˆeme mani`ere on montre que l’int´erˆet est aussi une suite arithm´etique de raison r = −M τ = − C n τ et de premier terme I1 = C τ : Ip+1 = Ip − C n τ Exemple 6.2.2. Un emprunt de 300 000 Dh est remboursable en 6 annuit´es, la premi`ere payable un an apr`es la date du contrat. Sachant que l’amortissement est constant et que le taux est 11, 50% l’an, construire le tableau d’amortissement de cet emprunt. On a M = C/n = 300000/6 = 50000, r = −C n τ = −5750 P´eriode CDP I M a CFP 1 300 000 34500 50 000 84500 250 000 2 250 000 28 750 50 000 78 750 200 000 3 200 000 23 000 50 000 83 000 150 000 4 150 000 17 250 50 000 67 250 100 000 5 100 000 11 500 50 000 61 500 50 000 6 50 000 5750 50 000 55 750 0 Tab. 6.2 – Tableau d’amortissement de l’emprunt 6.3 Les emprunts remboursables par annuit´es constantes Selon cette formule de remboursement, ce sont les annuit´es (int´erˆets + amortissements) qui sont constantes. C’est la formule la plus r´epondue au Maroc. τ 0 n1 32 n−1 La dette C2 C3 Cn−1 Cn = 0 a = I1 + M1 a = I2 + M2 a = I3 + M3 an = In + Mna = In−1 + Mn−1 C1C D’apr`es la formule de la valeur actuelle des annuit´es de fin de p´eriode (5.2.2), on a : C = a 1 − (1 + τ)−n τ ⇒ a = C τ 1 − (1 + τ)−n Calculons l’amortissement de chaque p´eriode, on a ap = Cp−1 τ + Mp ap+1 = Cp τ + Mp+1 , Cp = Cp−1 − Mp et ap+1 = ap = a (annuit´es constantes) A. Ezziani 43 M. Laaraj
  48. 48. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 implique Cp τ + Mp+1 = Cp−1 τ + Mp ⇒ (Cp−1 − Mp)τ + Mp+1 = Cp−1 τ + Mp ⇒ Cp−1 τ − Mp tau + Mp+1 = Cp−1 τ + Mp D’o`u Mp+1 = (1 + τ)Mp C’est une suite g´eom´etrique de raison q = 1 + τ et de premier terme M1 = a1 − I1 = C τ 1 − (1 + τ)n − C τ = C τ (1 + τ)n − 1 Exemple 6.3.1. Reprenons l’exemple 6.2.1 avec des annuit´es constantes. Une entreprise importatrice emprunte la somme de 1000 000 Dh `a la BMCE. en vue de faire face aux surcoˆuts apparus sur les march´es d’approvisionnements. Cet emprunt est rembour- sable en quatre annuit´es constantes, payables `a la fin de chacune de quatre ann´ees : taux de l’emprunt 12% l’an. a = C τ 1 − (1 + τ)−n = 1000000 0.12 1 − (1.12)−4 = 329234, 44 P´eriode CDP I M a CFP 1 1000 000 120 000 209 234,44 329 234,44 790 765,56 2 790 765,56 94 891,87 234 342, 57 329 234,44 556 422,99 3 556 422,99 66 770,77 8-¿262 463,67 329 234,44 293 959,32 4 293 959,32 35 275,12 293 959,32 329 234,44 0 Tab. 6.3 – Tableau d’amortissement de l’emprunt Exemple 6.3.2. Un fonctionnaire a emprunt´e 120 000 DH au CIH, remboursables en 120 mensualit´es au taux annuel de 15%. Cet emprunt a ´et´e souscrit le 28/09/97 avec effet au 01/10/97. Le premier remboursement commencera fin octobre 97. 1. Calculer le montant de la mensualit´e constante. Puisque le taux d’int´erˆet est annuel et le remboursement est mensuel, il est n´ecessaire de calculer le taux ´equivalent au taux annuel de 15%. (1 + τm)12 = 1.15 ⇒ τm = (1.15)1/12 − 1 = 0.011714916 La mensualit´e constante : m = C τm 1 − (1 + τm)−n = 120000 0.011714916 1 − (1.011714916)120 = 1867, 38 Dh 2. D´ecomposer la 1`ere mensualit´e en int´erˆet et en amortissement. D´ecomposition de la 1`ere mensualit´e I1 = C × τm = 120000 × 0, 011714916 = 1405, 79 Dh m = M1 + I1 ⇒ M1 = m − I1 = 1867, 38 − 1405, 79 = 461, 59 Dh A. Ezziani 44 M. Laaraj
  49. 49. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 3. Apr`es 60 mois de remboursement, le fonctionnaire, qui esp`ere b´en´eficier d’un rappel, souhaiterait rembourser la somme restant dˆue en un seul versement, le contrat lui permettant de le faire. Quelle somme totale devra-t-il verser apr`es avoir pay´e la 60 `eme mensualit´e. Calcul du montant de l’emprunt restant dˆu apr`es le paiement de la 60 `eme mensualit´e (C60 ) Cette somme est ´egale `a la valeur actuelle des mensualit´es restantes. Soit C60 = m 1 − (1 + τm)−60 τm = 80150, 99 Dh 15% 0 2 3 59 60 61 119 120 La dette 1 m m m m m m m m C C1 C2 C3 C59 C61 0C119C60 V´erification `a partir du 1er amortissement, on a C = 120 i=1 Mi = 60 i=1 Mi + 120 i=61 Mi C60 Ceci implique C60 = C− 60 i=1 Mi = C−M1 (1 + τm)60 − 1 τm = 80150, 99 Dh (Mp suite g´eom´etrique de raison 1+τ). 6.4 Les emprunts remboursables en une seule fois Selon cette formule, l’emprunteur peut verser uniquement les int´erˆets `a la fin de chaque p´eriode (I = C τ) et payer la totalit´e et la somme emprunt´ee C `a la fin de la derni`ere p´eriode avec bien entendu l’int´erˆet I. τ 0 n1 32 n−1 La dette I + C 0CC I C II CC I De mˆeme, il peut ne rien payer pendant toute la dur´ee de l’emprunt et verser la totalit´e des int´erˆets et le montant de la somme emprunt´ee `a la fin de la dur´ee de l’emprunt. Ce syst`eme pr´esente l’inconv´enient d’obliger l’emprunteur `a verser une somme tr`es importante `a la fin des n p´eriodes. En g´en´eral, l’emprunteur est amen´e `a effectuer le placement `a la fin A. Ezziani 45 M. Laaraj
  50. 50. UNIVH2M FSJES A¨ın Sebˆaa Math´ematiques 2 S2/2009-2010 de chaque p´eriode (pour pr´eparer l’´ech´eance de ce paiement), dans une banque ou une soci´et´e de capitalisation, d’annuit´es constantes (ou variables) `a un taux i presque toujours diff´erent du taux d’emprunt τ (syst`eme am´ericain). Exemple 6.4.1. Soit un emprunt de 1000 000 Dh, remboursable en une seule fois au bout de 5 ans taux 12%. 1. l’emprunteur paie les int´erˆets au taux de 12% `a la fin de chaque ann´ee. `a la fin de chaque ann´ee on paye l’int´erˆet I = Cτ = 120000 Dh et `a la fin de la derni`ere ann´ee on paye l’int´erˆet et le capital : I + C = 1120000 Dh 2. mˆeme modalit´es de paiement que dans 1. , mais l’emprunteur prend la pr´ecaution de d´eposer, `a la fin de chaque ann´ee, en banque, une somme S telle que, compte tenu d’une capitalisation au taux de i = 12%, il puisse rembourser le capital emprunt´e. D´eterminer S. On a : C = S (1 + i)n − 1 i ⇒ S = C i (1 + i)n − 1 = 1000000 0.12 (1.12)5 − 1 = 157409, 73 Dh. Par ailleurs l’int´erˆet `a verser `a la fin de chaque ann´ee s’´el`eve `a 120 000 Dh. Ce qui donne une annuit´e effective de 277 409,73 Dh (120 000+157409,73). 3. mˆeme question si le taux de r´emun´eration des d´epˆots est de 13, 75%, c’est-`a- dire sup´erieur au taux d’int´erˆet `a payer. S = C i (1 + i)n − 1 = 1000000 0.1375 (1.1375)5 − 1 = 152035, 34 Dh. 4. L’emprunteur ne paie la totalit´e des int´erˆets qu’en fin de contrat et n’effectue qu’un seul versement `a la fin de la 5`eme ann´ee. Il place n´eanmoins, `a la fin de chaque ann´ee, une somme S au taux de 13, 75%. D´eterminer S permettant de faire face `a ce remboursement unique. On a C(1 + τ)n = S (1 + i)n − 1 i ⇒ S = C(1 + τ)n i (1 + i)n − 1 = 1000000(1.12)5 0.1375 (1.1375)5 − 1 = 267938, 22 Dh. A. Ezziani 46 M. Laaraj

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