1. Medición de ángulos
Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus
medidas. Un ángulo θ es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos
rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los
lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo,
rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado
inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su
posición terminal.
lado s
terminal
P θ
lado
inicial r
Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulo
positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un
ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está
limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales
(Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.
lado lado inicial
terminal
θ
θ lado
terminal β
lado inicial α
lado inicial
θ ángulo positivo θ ángulo negativo α y β ángulos coterminales
Nota: β ángulo positivo
α ángulo negativo
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o
estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si
el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje
coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a
continuación.
lado terminal
vértice
lado inicial

2. Angulo en posición normal Angulo cuadrantal
Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden
comúnmente en grados o radianes.
Definición: Medición en grados
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un
ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (1 0).
El símbolo “0” denota grados.
Definiciones:
Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide
900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un
ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo
cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso
ángulo central
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son
suplementarios si su suma es 1800.
Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales
(ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).

3. Definición: Medición en radianes
Si el vértice de un ángulo θ está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del
arco opuesto a θ en la circunferencia es s, entonces θ medido en radianes está dado
por:
s
θ= radianes
r
s
r θ
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la
misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las
mismas unidades. Además, θ se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como
medida del ángulo.
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se
miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin
unidades.
Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central θ opuesto a
la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a
continuación:
1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas
2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central θ opuesto a un arco de
60 pies en un círculo de radio de 12 pies?
Conversión entre grados y radianes:
La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:
180 grados =π radianes
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes
fórmulas:

4. Radianes a grados Grados a radianes
180 0 π
θ θ
π 180 0
Ejemplos para discusión:
1) Cambia de radianes a grado:
a ) 5 radianes
7
b) π
6
−5
c) π
12
2) Cambia de grados a radianes:
a) 750
b) 1500
c) -150
Usando la calculadora
También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con
la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.
Para cambiar radianes a grados:
Ejemplo: 5 radianes a grados
Calculadora científica Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo “radianes” con la - Seleccionar el modo “grados con las
tecla [DRG]. teclas [MODE],[ENTER],[Exit].
- Entrar el número 5. - Entrar al menú [Math].
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta - Elegir <Angle>.
obtener el modo de “grados”. - Entrar el número 5.
- La respuesta es 286.50 - Elegir <r> y oprimir [ENTER].
- La respuesta es 286.50
Para cambiar grados a radianes:
Ejemplo: 750 a radianes
Calculadora científica Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo de “grados” con la - Seleccionar el modo ”radianes” con las
tecla [DRG]. teclas [MODE],[ENTER],[EXIT].
- Entrar el número 75. - Entrar al menú [Math]

5. - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta - Elegir <Angle>
obtener el modo de “radianes”. - Entrar el número 75.
- La respuesta es 1.31 - Elegir <o> y oprimir [ENTER].
- La respuesta es 1.31
Ejercicio de práctica:
1) Cambia de radianes a grado:
a ) 1 radian
17
b) π
10
2) Cambia de grados a radianes:
a) 2400
b) 2700
3) Completa la tabla a continuación:
Radianes Grados
π
6
π
4
π
3
90
120
3π
4
5π
6
π
180
210
225
4π
3
270
5π
3
315
11π
6
360