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Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio y Teorema de Cauchy

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Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Definición: Se dice que una función f, sobre un intervalo I, es a) Creciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2). b) Decreciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2). c) Estrictamente creciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2). d) Estrictamente decreciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2). e) Cuando una función en todo su dominio es únicamente creciente o únicamente decreciente decimos que es monótona. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. VALORES EXTREMOS
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Sea f una función definida en un intervalo I, si para un numero c ϵ I se cumple: a) f(c) ≥ f(x), para toda x ϵ I, entonces decimos que f(c) es un máximo absoluto de f en I. b) f(c) ≤ f(x), para toda x ϵ I, entonces decimos que f(c) es un mínimo absoluto de f en I. c) Si existe un intervalo abierto I, que contiene a c, en el cual f(c) es una máximo, entonces f (c) recibe el nombre de máximo local o máximo relativo de f y decimos que f tiene un máximo relativo en el punto (c, f(c)). d) Si existe un intervalo abierto I, que contiene a c, en el cual f(c) es una mínimo, entonces f (c) recibe el nombre de mínimo local o mínimo relativo de f y decimos que f tiene un mínimo relativo en el punto (c, f(c)). FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. VALORES EXTREMOS RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Teorema de Fermat. Sea f una función en un intervalo cerrado [a,b] y c es un punto de dicho intervalo en el cual la función alcanza su valor máximo o su valor mínimo si f es derivable en el punto c entonces f’(c) = 0 El teorema anterior no es valido si el punto c se supone que es uno de los extremos del intervalo [a,b] TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 Teorema de Rolle. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b) existe al menos un numero c en (a,b) tal que f’(c) = 0. TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Ejemplo: Determine si la función f(x) = x3 – 5x2 + 4x satisfice las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,4]. Si es así encuentre el o los valores de c. Sol.: Primero encontramos f(a) = f(0) = 0 y f(b) = f(4) = 0 y observamos que f(a) = f(b)= 0. Seguido calculamos f’(x) = 3x2 - 10x + 4 y con esto hacemos f’( c ) = 0 para calcular el valor de c f’(c) = 3c2 – 10c + 4 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 2.86 y c = 0.46 Podemos observar que los dos valores de c pertenecen al intervalo (0,4) y se cumple el Teorema de Rolle.
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 Teorema del valor medio. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe número c en (a,b) tal que f’(c) = f(b) – f(a). b - a TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Geométricamente el TVM afirma que la pendiente de la recta tangente en (c, f(c)) es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)). También pueden haber mas de un numero c en (a,b) para los cuales las rectas tangentes y secantes son paralelas. RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Ejemplos: 1. Determine si la función f(x) = x(x2 – x - 2) satisfice las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [-1,1]. Si es así encuentre todos los valores de c que satisfacen dicho teorema. Primero analizaremos las condiciones del teorema del valor medio i) f es continua en [-1,1] por ser función polinomial. ii) f es diferenciable en (-1,1) ya que es función polinomial. entonces encontraremos el número c en (-1, 1) tal que f’(c) = f(b) – f(a). b - a a = -1 ⇒ f(a) = f(-1) = (-1)((-1)2 – (-1) - 2) = 0 b = 1 ⇒ f(b) = f(1) = 1(12 – 1 - 2) = -2 f’(x) = 3x2 - 2x – 2 ⇒ f’(c) = 3c2 – 2c – 2 3c2 – 2c – 2 = [(-2) – 0]/[1-(-1)]= -1 3c2 – 2c – 1 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = -1/3 y c = 1 Por tanto, el valor de c = -1/3 que pertenece al intervalo (-1,1) satisfice las condiciones del teorema del valor medio.
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES 2. Determine si la función f(x) = (x+1)/(x-1) satisfice las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [-2,-1]. Si es así encuentre todos los valores de c que satisfacen dicho teorema. Primero analizaremos las condiciones del teorema del valor medio i) f es continua en [-2,-1] por ser discontinua en x = 1 nada mas. ii) f es diferenciable en (-2, -1) entonces encontraremos el número c en (-2, -1) tal que f’(c) = f(b) – f(a). b - a a = -2 ⇒ f(a) = f(-2) = [(-2) + 1] / [(-2) – 1] = 1/3 b = -1 ⇒ f(b) = f(-1) = [(-1) + 1] / [(-1) – 1] = 0 f’(x) = (x -1)(1) – (x+1) = - 2 ⇒ f’(c) = – 2 . (x – 1)2 (x – 1)2 (c – 1)2 – 2 . = 0 – (1/3) = -1 ⇒ 6 = (c – 1)2 (c – 1)2 -1 – (-2) 3 c2 – 2c – 5 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 3.45 y c = -1.45 Por tanto, el valor de c = -1.45 que pertenece al intervalo (-2,-1) satisfice las condiciones del teorema del valor medio. RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 Teorema de Cauchy. Supongamos que las funciones f y g son continuas en el intervalo cerrado [a,b] y derivables en (a,b), g’(x) ≠ 0. Entonces existe un numero c ϵ (a, b) tal que: f’(c) = f(b) - f(a) g’(c) g(b) - g(a) TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Ejemplo: Dadas las funciones f(x) = 3x2 + 3x – 1 y g(x) = x3 – 4x + 2, encuentre un numero c en [0,1] según el Teorema de Cauchy. Las funciones f y g son continuas y diferenciables para todo x en (0,1) f(a) = f(0) = 5 f(b) = f(1) = -1 g(a) = g(0) = 2 g(b) = g(1) = -1 f’(x) = 6x + 3 f’(c) = 6c + 3 g’(x) = 3x2 - 4 g’(c) = 3c2 - 4 f’(c) = f(b) - f(a) ⇒ 6c + 3 = 5 – (-1) g’(c) g(b) - g(a) 3c2 – 4 -1 – 2 (6c + 3)(-3) = 6(3c2 – 4) ⇒ -18c – 9 = 18c2 – 24 18c2 + 18c – 15 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 0.54 y c = -1.54 Por tanto, el valor de c = 0.54 que pertenece al intervalo (0,1) satisfice las condiciones del teorema de Cauchy. RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 4.4 los No. 1 al 20 de la pág. 215. DERIVADA DE FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICAS
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 13/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill RJAL 13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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