Presentación de desigualdades racionales, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media de Nicaragua. Esta presentación es un pequeño esbozo de la solución de desigualdades cuadráticas y desigualdades racionales utilizando el método de las raíces, la cual debe estar acompañada de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación.

1. MATEMATICA
UNIDAD II: ALGEBRA
TEMA: DESIGUALDADES RACIONALES
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
29/10/2013
RJAL
1
MSC. ROBERTO AGUILERA L.

2. RJAL
DESIGUALDADES
Orden en los números reales (R)
El conjunto de los números reales es
ordenado: Dados dos números
reales a, b  R, una y solo una de las
siguientes relaciones se cumple:
i) a = b ,
29/10/2013
ii) a  b ,
2
iii) a  b .
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3. DESIGUALDADES
RJAL
Una desigualdad es una relación entre
dos
expresiones
matemáticas
entrelazadas por los signos ,  ,  ó .
Resolver una desigualdad significa
encontrar el conjunto de valores que la
convierten
en
una
proposición
verdadera, es decir, hallar el conjunto
solución, dicho conjunto solución es un
intervalo de números reales.
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4. RJAL
DESIGUALDADES
Intervalos abiertos, cerrados, mixtos o infinitos.
Los subconjuntos de la recta numérica que gráficamente
corresponden a segmentos, semirrectas y rayos se conocen
como intervalos y tienen una notación especial.
• Intervalo abierto : (a, b) = {x / a  x  b}
• Intervalo cerrado : [a, b] = { x / a  x  b}
• Intervalos mixtos : (a, b] = {x / a  x  b}
[a, b) = {x / a  x  b}
• Intervalos infinitos : (-∞, a] = {x / x  a}
(-∞, a) = {x / x < a}
[a, ∞) = {x / x ≥ a}
(a, ∞) = {x / x > a}
(-∞,∞) = {x / x  R}
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5. RJAL
DESIGUALDADES
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b y c  R, entonces:
i) Si a > b, entonces, a + c > b + c y
a- c>b- c
i) Si a > b y b > c, entonces, a > c
ii) Si a > b y c > 0, entonces, a.c > b.c y
a/c > b/c
i) Si a > b y c < 0, entonces, a.c < b.c
a/c < b/c
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y
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6. DESIGUALDADES
RJAL
Desigualdades lineales con una variable
Son proposiciones de la forma ax + b  0
o equivalentes a ella, donde el  se puede
sustituir por los símbolos ,  ó .
Resolver una desigualdad significa
encontrar el conjunto de valores de x que
convierten a la desigualdad en una
proposición verdadera.
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7. DESIGUALDADES
RJAL
Desigualdades cuadráticas
Son proposiciones de la forma ax² +bx +c 
0, o equivalentes a ella, donde el  se puede
sustituir por los símbolos ,  ó . y a, b, y
c son números reales con a  0.
Resolver una desigualdad cuadrática significa
encontrar el conjunto de valores de x que
convierten a la desigualdad en una
proposición verdadera.
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8. DESIGUALDADES CUADRATICAS
RJAL
Método de las raíces:
Este método se fundamenta
siguiente teorema:
en la aplicación del
TEOREMA: Sea P(x)= an xn +... + a2 x2 + a1x + a0 un
polinomio en x. Si los números c y d son soluciones
sucesivas (*) de la ecuación P(x) = 0, entonces cuando x
está en el intervalo abierto (c, d), todos los valores del
polinomio son positivos o bien son negativos.
(*)Por soluciones sucesivas, entendemos que no existe
otra solución entre c y d.
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9. DESIGUALDADES CUADRATICA
RJAL
Ejemplo:
1. Resolver x2 - 6x + 5 < 0
Hallamos las raíces es decir resolvemos la
ecuación
x2 - 6x + 5 = 0 por medio de
factorización
(x – 5) (x – 1) = 0 de donde x1 = 5 x2 = 1
Formemos los intervalos (-∞, 1), (1, 5) y (5,∞)
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10. DESIGUALDADES CUADRATICAS
RJAL
Resolver x2 - 6x + 5 < 0
Escogemos un valor de prueba k en cada intervalo y
determinamos el signo de x2 - 6x + 5 < 0
Intervalo
Valor de K
Signo de cada factor
signo de P(x)
(-∞, 1)
0
(-)(-)
(+)
(1, 5)
2
(-)(+)
(-)
( 5, ∞)
7
(+)(+)
(+)
Dado que P(x) < 0, formamos el conjunto solución con
la unión de los intervalos (- )
Sol: (1,5)
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11. DESIGUALDADES RACIONALES
RJAL
Método de las raíces:
El teorema anterior puede extenderse al
caso de desigualdades con funciones
racionales (cociente de dos polinomios)
P(x)/Q(x) , considerando tanto las raíces
del
numerador
y
las
raíces
del
denominador, teniendo el cuidado de que
las raíces del denominador no forman parte
del conjunto solución.
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12. DESIGUALDADES RACIONALES
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RJAL
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13. RJAL
DESIGUALDADES RACIONALES
Intervalo
Valor de K
Signo de cada factor
en el polinomio
signo de P(x)
29/10/2013
(-∞, 4)
0
(4, 7)
5
(7, ∞)
8
(-)/(+)
(-)/(-)
(+)/(-)
(-)
(+)
(-)
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14. DESIGUALDADES RACIONALES
29/10/2013
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RJAL
MSC. ROBERTO AGUILERA L.

15. DESIGUALDADES RACIONALES
Intervalo
Valor de K
Signo de cada
factor en el
polinomio
Signo de P(x)
RJAL
(-∞, -5)
(-5,-2)
(-2,1)
(1, 3)
(3, ∞)
-6
-3
0
2
5
(-)(-)/(-)(-)
(-)(-)/(+)(-)
(-)(-)/(+)(+)
(-)(+)/(+)(+)
(+)(+)/(+)(+)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
Dado que el P(x) ≥ 0, formamos el conjunto
solución con la unión de los intervalos (+), tomando
en cuenta la raíces obtenido del numerador ya que
el signo de la desigualdad es ≥.
Sol: (-∞, 5) U (-2, 1] U [3,∞)
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16. DESIGUALDADES RACIONALES
29/10/2013
16
RJAL
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17. DESIGUALDADES RACIONALES
29/10/2013
17
RJAL
MSC. ROBERTO AGUILERA L.

18. RJAL
DESIGUALDADES RACIONALES
Intervalo
Valor de K
Signo de cada factor
en el polinomio
signo de P(x)
(-∞, -3)
-4
(-3, 9/11) (9/11, ∞)
0
2
(+)/(-)
(+)/(+)
(-)/(+)
(-)
(+)
(-)
Dado que el P(x) ≤ 0, formamos el conjunto solución
con la unión de los intervalos (-), tomando en cuenta la
raíz obtenida del numerador, ya que el signo de la
desigualdad es ≤.
Sol: (-∞, -3) U [9/11,∞)
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19. DESIGUALDADES RACIONALES
29/10/2013
19
RJAL
MSC. ROBERTO AGUILERA L.

20. DESIGUALDADES RACIONALES
29/10/2013
20
RJAL
MSC. ROBERTO AGUILERA L.

21. RJAL
DESIGUALDADES RACIONALES
Intervalo
Valor de K
Signo de cada factor
en el polinomio
signo de P(x)
(3/2, ∞)
2
(-∞, -2)
-4
(-2, 3/2)
0
(+)/(-)(-)
(+)/(+)(-) (+)/(+)(+)
(+)
(-)
(+)
Dado que el P(x) ≤ 0, formamos el conjunto solución
con la unión de los intervalos (-), tomando en cuenta
que las raíces solo provienen del denominador
tendríamos.
Sol: (-2,3/2)
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22. EJERCICIOS PROPUESTOS
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23. RJAL
BIBLIOGRAFIA
Algebra. Aurelio Baldor
 Algebra
y
trigonometría
con
Geometría
Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.
Algebra y trigonometría. Dennis Zill
 Algebra y funciones elementales. Carlos J.
Walsh M.
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MSC. ROBERTO AGUILERA L.

24. MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
29/10/2013
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MSC. ROBERTO AGUILERA L.