Rayons cosmiques et laccéleration                            stochastique                                   Rebai Ahmed   ...
ecace est celle de Lorentz F = q(E + v ∧ B). Cette accélération est due àla force électrique et non pas à celle magnétique...
3.1    Cadre théorique :    Pour des raisons de simplicité, on considère le problème daccélération desparticules chargées ...
Figure 1  Eet dun champ électromagnétique stochastique sur une distribu-tion gaussienne normalisée délectrons.avec D(v) = ...
Fokker-Planck donnant la fonction de distribution des vitesses.Références[1] P.A. Sturrock. Stochastic acceleration. Janvi...
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Accéleration stochastique (Some thoughts about cosmic rays acceleration)

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The presence on the earth of cosmic rays, with an energy greater than PeV, still poses theoretical problems in the astrophysicists community. Difficulties are due to the explanation of the
acceleration and energy transfer mechanisms . In this project, we try to pass in review the conventional acceleration and to introduce the stochastic acceleration. We model the problem with the Fokker-Planck equation. We show that under certain approximations the non-linear partial differential equation can be transformed into an ordinary Heat equation. Finally, we use a numerical finite difference method for solving the last equation.

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Accéleration stochastique (Some thoughts about cosmic rays acceleration)

  1. 1. Rayons cosmiques et laccéleration stochastique Rebai Ahmed 23 janvier 2013 Résumé La présence des rayons cosmiques sur la terre dont lénergie est supé- rieure au PeV pose encore des problèmes théoriques à la communauté des astrophysiciens. Les dicultés sont dues à lexplication des mécanismes daccélération de ces particules microscopiques. Devant linsusance du mecanisme daccéleration classique des particules chargées, de nombreux mécanismes ont surgis pour éxpliquer ce phénomène. Laccéleration Sto- chastique , qui est lun de ces mécanismes, reprèsente une approche per- tinente du problème.1 Introduction Les rayons cosmiques reprèsentent des particules non-thermiques, ie généréspar un processus autre que le rayonnement de corps noirs, supposées chargées,dont les énergies observées sétendent du MeV jusquà quelques 1020 eV. La dé-tection dès 1962 dun rayon cosmique dénergie supérieure à 1020 eV par JohnLinsley et ses collaborateurs a soulevé de multiples questions qui sont toujoursdactualité. Si lexistence de rayons cosmiques à de telles énergies a été conr-mée par dautres expériences, ni les nombreux travaux théoriques, ni les quelquesdonnées expérimentales disponibles à ce jour, ne permettent de comprendre com-plètement lorigine et la nature de ce rayonnement hautement énergétique. laproduction de rayons cosmiques à des énergies supérieures à lexa-électronvolt li-mite le champ possible des sources à lorigine de laccélération de ces particules.Cette accélération fait appel essentiellement à deux mécanismes : laccéléra-tion par un champ électrique stationnaire ou laccélération statistique dans unplasma magnétisé.2 Insusance de laccélération via un champ élec- trique stationnaire Naturellement, le mécanisme favorisé pour accélérer une particule chargéeest le champ électrique. Pour accélérer une particule chargée, la force la plus 1
  2. 2. ecace est celle de Lorentz F = q(E + v ∧ B). Cette accélération est due àla force électrique et non pas à celle magnétique car cette dernière ne travaillepas  : q.(v ∧ B) ∧ v = 0. Toutefois, les zones magnétisées fournissent de lénergieaux particules chargées via les variations temporelles du champ magnétique quigénèrent un champ électrique variable. Les champs électriques durables ne se rencontrent que dans des environne-ments propices à leur stabilité tels que les étoiles à neutrons. Si on prend lecas des pulsars, qui sont des étoiles à neutrons en rotation, on trouve quunchamps électrique stationnaire intervient vraisemblablement dans son magnéto-sphère. Cependant, ce champs nest pas favorisé en raison des pertes synchro-tons 1 importantes subies par les particules au cours du processus daccélération.De plus, le spectre en énergie des particules ainsi générées nest pas en loi depuissance, contrairement à celui du rayonnement cosmique. En eet, pour ac-célérer des particules de nombre atomique Z jusquà des énergies de 1020 eV ,les champs électrostatiques requis doivent correspondre à une diérence de po- 20tentiel de 10 Volts. Cependent, Peu dobjets astrophysiques à lexception des Zpulsars, présentent de tels champs. En eet, pour une pulsation angulaire ty-pique de 70 rad/s, le champ magnétique B à la surface de létoile est de lordrede 109 Tesla. Lamplitude du champ électrique induit est alors donnée par : = W.L.B soit71014 V/m pour un rayon typique de pulsar de 10 km. Lénergiemaximale acquise par une particule de charge Ze dans un tel champ est doncEmax = Ze.L 1019 eV pour un proton. Cependant, il faut tenir comptedes pertes énergétiques, principalement par émission synchrotron, subies lors delaccélération. Ainsi, une charge Q de masse m émet lors dune acccélérationde nature relativiste, une puissance P négilgeable devant la puissance gagnéelorsque la taille requise pour accélerer les particules jusquà 1020 est dau moinségale à un parsec 2 . Ce qui exclut les pulsar et les étoiles à neutrons. Ainsivoit-on que le mécanisme daccélération via un champ stationnaire ne peut pasexpliquer la grande énergie de ces rayons cosmiques.3 Accéleration stochastique : Devant lincapacité du mécanisme évoqué dans la première partie, plusieursétudes ont été faites pour expliquer le transfert dénergie à ces particules chargés.Parmi ces études, on peut citer larticle de P.A. Sturrock sur ce type daccélé-ration 3 . On se propose dans cette partie de passer en révision les hypothèsesutilisés dans larticle original. On nira par une résolution numérique duneéquation à dérivé partielle de type équation de chaleur. 1. les pertes sont dûes à lémission que connaient les particules à cause de laccélerationrelativiste 2. 1 parsec = 3,2616 années-lumière. 3. P.A. Sturrock : Stochastic acceleration - PHYSICAL REVIEW - Volume 144, numero1- Janvier 1966
  3. 3. 3.1 Cadre théorique : Pour des raisons de simplicité, on considère le problème daccélération desparticules chargées jusquà des énergies relativistes, c-à-d que lénergie fournieà la particule est du même ordre de grandeur que lénergie de la particule aurepos. Dautre part, le champ électromagnétique (E, B) dans lequel baignent lesparticules est un champ aléatoire dintensité faible 4 . Sa composante magnétiqueest stationnaire et uniforme, par contre sa composante électrique est aléatoire.La variation aléatoire du champ électrique est faible pour quon puisse utili-ser un formalisme des fonctions de corrélation du second-ordre. On distingueralétude du mouvement parallèle au champ magnétique et celui perpendiculaireà ce dernier. Nous nous contenterons détudier, dans ce qui, suit le mouvementparallèle. Finalement, un formalisme se basant sur sur la résilution de léquationde Fokker-Planck est utilisé. On dénit f la fonction de distribution de lensembledes particules dans un espace de phase à 6 dimensions (x, y, z, vx , vy , vz ).3.2 Cas daccéleration parrallèle au champ magnétique : Dans ce cas, on sintéressera à une fonction de distribution réduite expriméedans lespace de phase des vitesses (vx , vy , vz ). Léquation est donnée par laformule suivante ∂f ∂ 1 ∂2 = − (A.f ) + . 2 (B.f ) ∂t ∂v 2 ∂vavec v ( v)2 A = ; B = t tLe but du jeu maintenant est dexprimer les coecients A et B en fonctiondes paramètres du problème. Léquation du mouvement sexprime sur laxe Ozcomme suit  : d2 z dv q 2 = = .Ez (z; t) dt dt mDans lapproximation du champ faible, on peut utiliser un calcul perturbatif dela position z : z = z0 + v0 t + Z I (t) + Z II (t) + ...Tout calcul fait 5 on obtient : q 2 B = 2π( ) dk.Szz (k, vk) m 1 q 2 ∂ A=π( ) dk.Szz (k, vk) 2 m ∂vléquation de Fokker-Planck dans le cas dun mouvement parrallèle au champmagnétique secrit : ∂f ∂ 1 ∂2 ∂ ∂f = − (A.f ) + . 2 (B.f ) = (D(v). ) ∂t ∂v 2 ∂v ∂v ∂v 4. Cest lapproximation du champ faible 5. Pour plus de précisions, se référer à larticle de P.A. Sturrock
  4. 4. Figure 1 Eet dun champ électromagnétique stochastique sur une distribu-tion gaussienne normalisée délectrons.avec D(v) = π( m )2 dk.Szz (k, vk) . Les bornes des integrales précedentes qétant−∞ et +∞. Il reste à mentionner que la puissance de léquation de Fokker-Planck obtenuréside dans la variation du terme D(v) = π( m )2 dk.Szz (k, vk). En eet, étu- qdiant une distibustion délectrons gaussienne et normalisée à une températureinitiale de100K et supposons que D(v) est constant. On aboutit à une équationsimpliée quon résout avec un chemin numérique et on trace la solution enbleu : On voit bien létalement de la fonction de distribution dans lespace desvitesse, ce qui veut dire laccéleration des électrons. Cependant, la vitesse maxi-male obtenue est de 106 1020 . On conclut limportance des variations de D(v)dans la pertinence de ce mécanisme.4 Conclusion Linsusance de laccéleration à champs électrostatique a donné lieu à lap-parition de plusieurs mécanismes approchant le mécanisme daccéleration réelledes rayons cosmiques et qui est jusquà présent inconnu. Laccéleration sto-chastique, étant lune des approches, traduisant laccéleration dans un champsélectrique aléatoire, arrive à justié de telle très grandes énergies de ces rayons.En se donnant des hypothèses sur les champs, on est arrivé à léquation de
  5. 5. Fokker-Planck donnant la fonction de distribution des vitesses.Références[1] P.A. Sturrock. Stochastic acceleration. Janvier 1966. PHYSICAL REVIEW. Numéro 1. Volume 144.[2] Xavier GARRIDO. 2008. Étude de la composition des rayons cosmiques dultra-hautes énergies détectés par lObservatoire Pierre Auger et analyse des processus hadroniques associés. Thèse de Doctorat. Université de Nantes.

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