Présentation devant l'équipe astroparticule mercredi 7 decembre 2011

1. Localisation d’une source
émettrice par un réseau
d’antennes :
Point de vue de
l’optimisation
Auteurs Ahmed Rebai, Doctorant Subatech
Tarek Salhi, Ingénieur des Mines

2. Plan de la présentation
Introduction et contexte de l’étude
Formulation du problème mathématique
d’optimisation
Etude de la localisation de la source
Simulations et résultats
Conclusion et perspectives

3.  Le
recours à des techniques d’optimisation n’est pas
nouveau pour répondre à des problématiques de la
physique
 Beaucoup de lois et problèmes physiques ont une
formulation variationnelle i.e. sous forme de
problème d’optimisation : Equations d’Euler-Lagrange
(mécanique), équations HJB, thermodynamique,
optique
 Originegéométrique de la physique (géométrie
différentielle)
 Domaine à l’interface de la physique, de l’analyse, de
l’analyse numérique et de la géométrie
 Exemple : Seismic Reflection Tomography

4. Seismic Reflection Tomography
 Problème formulé par Gauss 1809
 Solutions optique géométrique
(onde plane) pour la propagation
de l’onde dans le milieu :
trajectoire rectiligne
 Onde se propage entre une source
émettrice et un récepteur avec
une réflexion sur un milieu de
position et forme inconnue
 Célérité (connue) et constante
dans le milieu

5. Formulation du problème à l’aide
d’une fonctionnelle moindre carrés
 Le problème régularisé peut être formulé de la
façon suivante
où et est fonction de la
géométrie de la surface à déterminer (courbure)
 est un paramètre à déterminer en fonction du
problème

6. Similitudes avec les techniques
d’ajustement (fit)
La fonctionnelle à optimiser est classique
(quadratique)
Similaire
aux ajustement par méthodes de
moindres carrés linéaires
2
 obs x ⋅ U + yi ⋅ V 
1 mod 2
1 t − ti ( a )
2
N  ti − t0 + i 
arg min ti (a ) − t
obs mod
obs c
i arg min i = min( χ 2 ) = ∑  
a∈ℜn 2 2 a∈ℜ 2
n
σi i =1  σi 
2  
 

7. Comparaison de notre problème et
le Seismic Reflection Tomography
Localisation de la source à Seismic Reflection
l’aide d’un réseau d’antennes Tomography
Célérité de la lumière dans le Célérité d’une onde acoustique
vide dans le milieu inférieure à 3000
m/s
Fonctionnelle non standard Fonctionnelle quadratique à
(puissance quatrième) minimiser
Localisation d’une source en Répétabilité statistique possible,
mouvement source statique
Topologie du champs d’antennes Symétrie du réseau se retrouve
à optimiser dans la forme de l’interface

8. Formulation du problème
mathématique d’optimisation
Localiserla position et le temps
d’émission d’une onde à partir d’une
source avec un réseau d’antennes

9. Formulation du problème
d’optimisation sans contraintes
Le problème non régularisé et sans
contraintes est le suivant
où désigne la position de la source,
l’instant d’émission de l’onde (supposée
sphérique).

10. Propriétés de la fonctionnelle à
optimiser
 Fonctiondifférentiable  Algorithmes
d’optimisation différentiables
 Algorithmes possibles : Levenberg-Marquardt
(méthodes quasi-newtoniennes), algorithme du
Simplexe, Méthodes de Gauss-Newton, méthodes
de gradient (pas fixe et pas optimal)
 Fonction
coercive (infinie à l’infini) et non-
convexe  existence certaine de minima locaux
 Caractérisationde l’ensemble des points critiques
de la fonctionnelle

11. Importance de la notion de convexité
dans les problèmes d’optimisation
Conditionne la convergence des
algorithmes
Propriété topologique locale de la fonction
Regarder la différentielle première (plan
tangent) et seconde (forme quadratique)

12. Pourquoi la convexité est
importante ?
 Les algorithmes d’optimisation
sont basés sur l’idée de la
méthode de Newton : Chercher
les directions de Descente pour
atteindre le minimum (local ou
global)
 Sila fonction est convexe alors
minimum local = minimum global
 Comme pour une bille qui dévale
une pente, si la condition initiale
n’est pas bien placée 
algorithme coincé dans un
minimum local

13. Preuve de la non-convexité
 Calcul de la différentielle première et seconde de la
fonctionnelle
 Version en dimension supérieure
 Le différentielle première est un vecteur (tenseur d’ordre
1) et la différentielle seconde une matrice (tenseur d’ordre
2)
 Condition nécessaire et suffisante de convexité : La
matrice hessienne est définie positive

14. Calcul des différentielles
premières et secondes
 Notons la matrice de Minkowski (métrique de
Minkowski)
 La matrice Hessienne
 La
fonctionnelle est convexe si et seulement si la
matrice Hessienne est définie positive.

15. Non-convexité de l’estimateur
Calculexplicite du premier coefficient de
la matrice Hessienne
Terme conditionne la « définie-positivité »
de la matrice Hessienne et donc la
convexité

16. Localisation de la source
Lors de l’étude des propriétés des points
critiques de la fonctionnelle, l’ensemble
des points critiques est paramétré de la
façon suivante
fi
X =∑ ⋅X i
i ∑
j
f j
La formule « ressemble » à un barycentre
 la direction du barycentre joue un rôle
privilégié dans notre problème

17. Le problème monodimensionnel
Réseau de N antennes placées sur une
droite à des positions X i connues
Source de position et instant d’émission
inconnu

18. Formulation du problème
d’optimisation
Minimiser la fonctionnelle
sous les contraintes

19. Ensemble des contraintes

20. Droite de dégénérescence
Si un couple ( xs , t s* ) est un point critique
alors il vérifie les deux équations
Condition sur L pour que ( xs − L, t s* − L ) soit
aussi un point critique
Le point critique est à l’intérieur du réseau

21. Généralisation au cas de
dimensions supérieures
L’ensemble des
points critiques
contient une demi-
droite
L’idée se généralise
(bien que plus
difficile à formuler)
au cas de
dimensions
supérieures

22. Enveloppe convexe

23. Simulation dans le cas d’un réseau
linéique
Deux scénarios
envisagés
La source se trouve
dans l’intervalle des
antennes réceptrices
La source se trouve à
l’extérieur des
antennes réceptrices

24. La source est à l’extérieur du réseau
linéique
Confirmation de la
présence de minima
locaux même dans le
cas où σ t = 0
Dans ce cas, les
valeurs du χ 2 sont très
faibles
Dans le cas σ t > 0 , les
valeurs du χ 2 sont
élevées

25. La source est à l’intérieur du réseau
linéique
Existenced’un
minimum global
prononcé
La reconstruction de la
position de la 2source
est possible χ
Même remarques pour
les valeurs du en
fonction des σ t

26. Cas d’un réseau surfacique
 Réseau autonome
CODALEMA dans le
cas de la
reconstruction du
bruit de fond
anthropique
 Réseau AERA à
AUGER
 Deux scénarios :
La source se trouve
à l’intérieur ou à
l’extérieur du
réseau

27. Source hors de l’enveloppe convexe du
réseau

28. Source dans l’enveloppe convexe du
réseau d’antennes

29. Configuration spatiale du réseau plus
exotique

30. Démonstration de la dégénérescence
sur des données expérimentales

31. Conclusion et perspectives
 L’estimateur introduit peut être
amélioré
Deux voies se présentent : ajouter de
χ global = χ LDF − amplitude + χ temps
2 2 2

l’information au χ 2
1
 Anthropique proportionnel à
r
−r
 Signal UHECR proportionnel à e r0
 Attaquer le problème d’un point de
vue statistique : théorie des M-
estimateurs
 Faire une hypothèse différente sur le
front d’onde