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Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 1 of 12
Ahmed REBAI
(+33)786920277
Nantes, France
ahmed.rebai2@gmail.com
Maths I 2012 ESSEC
Abstract Dans ce document, on se propose de
pr´esenter le sujet de math´ematiques I 2012 de l’ESSEC
avec une correction d´etaill´ee. Comme le nouveau
programme l’exige, nous avons chang´e les questions
d’informatique en SCILAB en gardant le mˆeme esprit
du sujet original. Ce travail a pour objectif d’aider les
´etudiants en classes pr´eparatoires ECE et ECS afin de
bien pr´eparer leurs concours.
´Enonc´e
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la
pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des
copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de
leurs calculs. L’utilisation de toute calculatrice est interdite.
Ce probl`eme comporte trois parties relativement ind´ependantes. Dans la premi`ere
partie on ´etudie les lois log-normales. On s’int´eresse dans la partie II `a une mod´elisation
du cours d’une action appel´ee mod`ele binomiale ou de Cox-Ross-Rubinstein et `a son
comportement asymptotique. Dans la troisi`eme partie, on ´etablit la formule de Black et
Scholes, pour le prix d’une option dans le mod`ele limite obtenu dans la partie II.
NOTATIONS ET D´EFINITIONS
• Les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont toutes d´efinies sur
le mˆeme espace probabilis´e (Ω, A, P).
• On note Φ la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite.
• On note respectivement E(X) et V(X) l’esp´erance et la variance d’une variable
al´eatoire X, lorsque celles-ci existent.
Soit m un r´eel et σ un r´eel strictement positif. On dit qu’une variable al´eatoire X suit la
loi log-normale de param`etres (m,σ2) si X est `a valeurs strictement positives et si ln(X)
suit la loi normale de param`etres (m,σ2). On ´ecrit alors X → LN(m,σ2).
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 2 of 12
1 PARTIE I - Quelques propri´et´es des lois log-normales
On note dans cette partie m un r´eel et σ un r´eel strictement positif. Soit X une variable
al´eatoire r´eelle suivant la loi log-normale de param`etres (m,σ2). On pourra dans la suite
utiliser la variable al´eatoire Y=ln(X).
1. Soit a et b deux r´eels, a ´etant diff´erent de 0. On rappelle que si U est une variable
al´eatoire qui suit une loi normale de param`etres (m,σ2), alors aU + b suit aussi une loi
normale. Quels en sont les param`etres?
2. Cas o`u m = 0. On suppose dans cette question 2 que X → LN(0, σ2).
(a) Densit´e.
Exprimer la fonction de r´epartition F de X en fonction de Φ. En d´eduire que X est
une variable al´eatoire `a densit´e et que la fonction d´efinie par
x →
1
xσ
√
2π
exp(−(ln(x))2
2σ2 ) si x > 0
0 si x ≤ 0
est une densit´e de probabilit´e de X.
(b) Esp´erance.
i. ´Etablir l’existence de E(X) et l’´egalit´e E(X) = 1
σ
√
2π
+∞
−∞ exp −1
2
y2
σ2 − 2y dy.
ii. En utilisant le changement de variable t = y
σ − σ, en d´eduire E(X) en fonction de
σ.
(c) Variance.
i. Soit α un r´eel non nul. Montrer que Xα suit une loi log-normale dont on pr´ecisera
les param`etres.
ii. En d´eduire que X admet une variance et que V(X)=eσ2
(eσ2
− 1)
3. On reprend le cas g´en´eral: X → LN(m,σ2).
(a) Soit µ un r´eel strictement positif.
Montrer que µX suit une loi log-normale de param`etres (m + ln(µ), σ2).
(b) Justifier l’existence de E(X), de V(X), et ´etablir:
E(X) = em+σ2
2 et V (X) = e2m+σ2
(eσ2
− 1)
2 PARTIE II - Le mod`ele binomial de
Cox-Ross-Rubinstein
Soit n un entier naturel non nul.
On souhaite mod´eliser l’´evolution du cours d’une action entre les dates 0 et t fix´e,
strictement positif. On suppose qu’initialement ce cours est S0,n = 1 et si l’on note Sk,n
la valeur al´eatoire de ce cours `a la date kt
n , k ∈ 1, ..., n, on la relation:
Sk,n = Sk−1,,n ∗ (1 + µ
n + v√
n
Yk), o`u
• µ est une constante r´eelle strictement positive li´ee au rendement moyen de l’action
sur une dur´ee ´egale `a t;
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 3 of 12
• v est une constante r´eelle strictement positive appel´ee volatilit´e de l’action sur la
dur´ee t;
• (Yk)k∈N∗ est une suite de variables al´etoires ind´ependantes suivant toutes la loi
uniforme sur −1, 1 (autement dit, P(Yk = 1) = P(Yk = −1) = 1
2).
On suppose que n est assez grand pour que 1 + µ
n − v√
n
> 0.
On admet que S0,n, ..., Sn,n sont des variables al´eatoires discr`etes. On note Cn la
variable al´eatoire Sn,n, qui mod´elise le cours de l’action `a l’instant t.
4. Simulation de la variable al´eatoire Cn.
(a) Quellques sont les valeurs que peut prendre l’expression Scilab: 2 ∗ rand() − 1?
(b) Dans la d´eclaration de fonction qui suit, remplacer les ... par des expressions
Scilab pour que la fonction ainsi d´eclar´ee simule la variable al´eatoire Cn.
Algorithm 1 Algorithme Scilab
function C(n, mu, v)
tmp=1;
for k=... : ...
tmp=tmp*
C=...
end
endfunction
5. (a) Calculer l’esp´erance et la variance commune aux Yk.
(b) i. Montrer l’´egalit´e: Cn = n
k=1 1 + µ
n + v√
n
Yk
ii. En d´eduire que E(Cn) = 1 + µ
n
n
et V (Cn) = 1 + µ
n
2
+ v2
n
n
− 1 + µ
n
2n
.
(c) D´eterminer lim
x→+∞
E(Cn) et montrer que lim
x→+∞
V (Cn) = e2µ ev2
− 1 .
D´eterminer les param`etres de la loi log-normale ayant pour esp´erance la premi`ere
limite et pour variance la seconde.
6. (a) Expliciter un couple de r´eels (an, bn) tel que:
∀k ∈ J1, nK, ln 1 +
µ
n
+
v
√
n
Yk = an + bnYk. (1)
(b) En d´eduire que ln(Cn) = nan + bn
n
k=1 Yk.
(c) ´Etablir la convergence en loi, quand n tend vers +∞, de 1√
n
(Y1 + ... + Yn) vers la
loi normale centr´ee r´eduite. On ´enoncera pr´ecis´ement le th´eor`eme utilis´e.
7. (a) Rappeler le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction x → ln(1 + x) au
voisinage de 0.
(b) D´eterminer les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 2 au voisinage de 0 des fonctions
x → ln(1 + vx + µx2) et
x → ln(1 − vx + µx2
)
.
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 4 of 12
(c) Montrer que: nan = µ − v2
2 et (n)bn = v En d´eduite que bn est strictement
positif `a partir d’un certain rang.
On suppose dans la suite que cette condition est r´ealis´ee.
8. On note Fn la fonction de r´epartition de 1√
n
(Y1 + ... + Yn) et Gn la fonction de
r´epartition de ln(Cn).
Soit x un r´eel. On pose y =
x−µ+v2
2
v .
(a) Soit un r´eel strictement positif.
i. ´Etablir l’existence d’un r´eel η strictement positif tel que
Φ(y) −
2
≤ Φ(y − η) ≤ Φ(y + η) ≤ Φ(y) +
2
ii. Montrer qu’il existe un entier naturel n1 tel que, pour tout n ≥ n1:
y − η ≤
x − nan
√
nbn
≤ y + η
iii. Monter qu’il existe un entier naturel n2 tel que, pour n ≥ n2: Fn(y + η) ≤
Φ(y + η) + 2 et Fn(y − η) ≥ Φ(y − η) − 2.
iv. Montrer que Gn(x) = Fn
x−nan√
nbn
, et en d´eduire que pour n assez grand, on a:
Gn(x) − Φ
x − µ + v2
2
v
≤
(b) En conclure que la suite de variables al´eatoires (ln (Cn))n≥1 converge en loi vers
une variable al´eatoire suivant une loi normale dont on pr´ecisera les param`etres.
9. D´emontrer que (ln (Cn))n≥1 converge en loi vers une variable al´eatoire de loi log-
normale de param`etres µ − v2
2 , v2 .
3 PARTIE III - La formule de Black et Scholes
Soit t un r´eel strictement positif. ´A la date 0, un investisseur ach`ete sur un march´e
une option sur une action dont la date d’´ech´eance est t et le prix d’exercice K, un r´eel
strictement positif.
• Si `a la date t, le cours C de l’action est sup´erieur ou ´egal `a K, il peut acheter
l’action au prix K et la revendre au prix C;
• dans le cas contraire, son option n’a plus de valeur `a la date t.
Le but de cette partue est de donner une valeur raisonnable au prix d’achat de l’option,
que l’on note πK.
On fait les hypoth`eses suivantes:
• On choisit comme unit´e le cours de l’action `a la date 9 c’est-`a-dire qu’`a cet instant
le cours de l’action vaut 1.
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 5 of 12
• Le cours de l’action `a la date t est une variable al´eatoire C qui suit une loi log-
normale de param`etres (m, v2)
• On suppose qu’il existe sur le march´e un actif non risqu´e dont le taux de rentabilit´e
entre les dates 0 et t vaut er − 1, o`u r est un r´eel strictement positif.
• On d´efinit la fonction f sur R par, pour tout x r´eel, f(x) = max(0, x).
10. (a) Justifier que la valeur de l’option `a la date t est f(C − K).
(b) si au lieu d’acheter l’option, l’investisseur avait plac´e `a la date 0 son prix d’achat
πK sur l’actif non risqu´e, quel serait la valeur de son placement `a la date t?
(c) En d´eduire qu’il convient de poser πK = e−rE((f(C − K)) si l’on veut que ces
deux strat´egies aient la mˆeme rentabilit´e moyenne.
Dans les questions suivantes, c’est cette valeur de πK que l’on utilise.
11. (a) Montrer que f est continue sur R.
(b) ´Etablir l’existence de E((f(C − K)) et l’´egalit´e
E((f(C − K)) =
1
v
√
2π
+∞
ln(K)
(ex
− K)exp −
(x − m)2
2v2
dx.
12. (a) Montrer l’´egalit´e:
πK = exp m − r +
v2
2
Φ
v2 + m − ln(K)
v
− Ke−r
Φ
m − ln(K)
v
.
(b) On suppose que m = r − v2
2 , ce qui signifie que le rendement moyen de l’action et
de l’actif non risqu´e sont identiques.
´Etablir la formule de Black-Scholes:
πK = Φ
r − ln(K)
v
+
v
2
− Ke−r
Φ
r − ln(K)
v
−
v
2
13. Dans la pratique, le prix de l’option est fix´e par le march´e et vaut x, o`u x est un
r´eel strictement positif. On pose θ = r − ln(K), de sorte que le prix d’´ech´eance vaut
K = exp(r − θ).
On appelle alors volatilit´e implicite de l’action, tout r´eel positif v, s’il en existe, tel
que:
x = Φ
θ
v
+
v
2
− e−θ
Φ
θ
v
−
v
2
On d´efinit alors la fonction Ψ : v → Φ θ
v + v
2 − e−θΦ θ
v − v
2 sur ]0, +∞[.
(a) Montrer que Ψ est de classe C1 sur ]0, +∞[ et que pour v > 0,
Ψ (v) =
1
√
2π
exp −
1
2
θ
v
+
v
2
2
Dresser le tableau de variations de Ψ en y faisant figurer les limites en 0 et en +∞.
On distinguera les cas θ > 0 et θ ≤ 0.
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 6 of 12
(b) D´eterminer pour quelles valeurs de x il existe une volatilit´e implicite et prouver
alors qu’elle est unique. En conclure finalement que l’on peut d´efinir la volatilit´e implicite
si et seulement si:
f 1 − e−θ
< x < 1.
Fin du sujet
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 7 of 12
Quelques remarques avant de
commencer
The pricing problem (´Evaluation du prix d’une action): in financial markets, stock
valuation is the method of calculating theoretical values of companies and their stocks.
The main use of these methods is to predict future market prices, or more generally,
potential market prices, and thus to profit from the price movement.
Hypoth`eses du mod`ele de Black et Scholes
• Le march´e financier fonctionne en continu en absence de coupures induites par
des ´ev´enements violents comme une crise financi`ere, un big crunch ou une attaque
terroriste.
• L’absence d’opportunit´es d’arbitrage
• Le cours de l’action suit un processus de Wiener g´eom´etrique dS
S = µdt + σdz
• L’absence de restriction sur les ventes `a d´ecouvert. Le produit des ventes est
imm´ediatement et int´egralement disponible.
• L’absence de frais de transactions ou d’impˆots. Tous les actifs financiers sont
parfaitement divisibles.
• Absence de dividendes sur le sous-jacent pendant la dur´ee de vie de l’actif d´eriv´e.
• Le taux sans risque, r, est constant et fixe quelle que soit la maturit´e du produit.
Soit une action cot´ee initialement 40 e, son esp´erance de rentabiliti´e annuelle (ou le
rendement moyen) est de 16% et sa volatilit´e σ = 20% par an. Calculer son prix dans 6
mois.
• S0 = 40 e
• µ = 16%
• σ = 20%
• La dur´ee: T = 6 mois = 0.5 an
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 8 of 12
Correction
4 PARTIE I - Quelques propri´et´es des lois log-normales
-1-
'
&
$
%
Comment utiliser la lin´earit´e de l’esp´erance? si X = aY +b, o`u Y est une variable
al´eatoire `a densit´e admettant une esp´erance, alors X admet une esp´erance et E(X) est
donn´ee par: E(X) = aE(Y ) + b.
Comment utiliser la non-lin´earit´e de la variance? si X = aY + b, o`u Y est une
variable al´eatoire `a densit´e admettant une variance, alors X admet une variance et V (X)
est donn´ee par: V (X) = a2V (Y )
Soit U → N(m, σ2) alors E(U) = m et V (U) = a2σ2 alors
E(aU + b) = aE(U) = am + b et V (aU + b) = a2
V (U) = a2
σ2
Finalement, U → N(m, σ2) alors aU + b → N(am + b, a2σ2)
-2-a-
'
&
$
%
Comment d´eterminer la fonction de r´epartition FX d’une variable al´eatoire
X `a densit´e connaissant sa densit´e fX de X? Il suffit de prendre la densit´e fX et
de l’int´egrer entre −∞ et x (un seuil donn´e) i.e. ∀x ∈ R, FX(x) =
x
−∞ fX(u)du
Comment d´eterminer la densit´e d’une variable al´eatoire connaissant sa fonc-
tion de r´epartition FX? Il suffit de d´eriver FX.
Comment exprimer la fonction de r´epartition FX en fonction de FY avec Y
une variable al´eatoire donn´ee en fonction de X? Dans cette question nous
avons X et ln(X) L’id´ee est de distinguer deux cas; 1er cas: on prend un seuil n´egatif
c-`a-d x < 0 puis on ´ecrit X < x et on raisonne..., 2e cas: on prend un seuil posi-
tif c-`a-d x > 0 puis on ´ecrit X > x et on essaye d’effectuer sur cette in´egalit´e des
op´erations math´ematiques jusqu’`a l’obtention d’une in´egalit´e portant sur ln(X) de type
ln(X) < ...
Comment montrer q’une variable al´eatoire X est `a densit´e connaissant sa
fonction de r´epartition FX? Montrer que la fonction de r´epartition FX de X est
continue sur R et est de classe C1 sur R d’un ensemble fini de points.
On a X → LN(0, σ2) alors ln(X) → N(0, σ2)
Soit x ∈ R
• 1er cas: si x ≤ 0 alors F(x) = P(X ≤ x) = 0 (car X est une variable al´eatoire
strictement positif).
• 2e cas: si x > 0 alors F(x) = P(X ≤ x) = P(ln(X) ≤ ln(x)) = P(ln(X)−0
σ ≤
ln(x)−0
σ ) = Φ(ln(x)
σ )
donc la fonction de r´epartition F de X est
F : x →
0 si x ≤ 0
Φ(ln(x)
σ ) si x > 0
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 9 of 12
La fonction F est de classe C1 sur R priv´e de 0.
De plus, lim
x→0
F(x) = 0 = F(0). Ainsi F est continue en 0, donc sur R. On en d´eduit
que X est une variable al´eatoire `a densit´e.
La fonction densit´e de X est donn´ee par:
• 1er cas: si x ≤ 0 alors F (x) = 0
• 2e cas: si x > 0 alors F (x) = (Φ(ln(x)
σ )) = (ln(x)
σ ) Φ (ln(x)
σ )) = 1
xσ
1√
2π
exp −(ln(x))2
2σ2
On rappelle que la d´eriv´ee de la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite
est donn´ee par: Φ (t) = 1√
2π
e−t2
2
Finalement,
x →
1
xσ
√
2π
exp(−(ln(x))2
2σ2 ) si x  0
0 si x ≤ 0
-2-b- Esp´erance
-2-b-i-'

$
%
Comment montrer qu’une variable al´eatoire X `a densit´e admet une esp´erance
E(X) et la calculer? M´ethode: Soit fX une densit´e de X, donc X admet une esp´erance
si et seulement si
+∞
−∞ ufX(u)du converge. Maintenant pour calculer cette E(X) il suffit
de calculer la valeur de cette int´egrale.
Comment montrer la convergence d’une int´egrale impropre
β
α f(u)du si la
fonction f est continue sur ]α, β[ ? M´ethode: On commence toujours par montrer
que la fonction f est continue sur l’intervalle ]α, β[. Ensuite, on remarque que l’int´egrale
est impropre au niveau de α et de β donc on scinde l’intervall ]α, β[ en deux intervalles.
On introduit donc γ ∈]α, β[ et on essaye de montrer la convergence de deux int´egrales
γ
α f(u)du et
β
γ f(u)du. Dans cette question, on prendra α = 0, β = +∞ et γ = 1
afin d’utiliser une comparaison avec une int´egrale de Riemann
+∞
1
1
us du qui converge
si s  1.
E(X) existe ⇐⇒
+∞
−∞ x.f(x)dx converge
⇐⇒
+∞
0 x 1
xσ
√
2π
e−
(ln(x))2
2σ2 dx converge
⇐⇒ 1
σ
√
2π
+∞
0 e−
(ln(x))2
2σ2 dx converge
Montrons alors la convergence de cette derni`ere int´egrale: x → e−
(ln(x))2
2σ2 est continue
sur ]0, +∞[ par composition. L’int´egrale est impropre en 0 et en +∞.
• En 0: on a lim
x→0+
e−
(ln(x))2
2σ2 = 0 alors la fonction x → e−
(ln(x))2
2σ2 est prolongeable par
continuit´e en 0 donc elle est int´egrable en 0.
• En +∞: on remarque que
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 10 of 12
lim
x→+∞
x2.exp −ln(x)2
2σ2 = lim
x→+∞
x2
exp −
ln(x)2
2σ2
= lim
x→+∞
exp 2ln(x) − ln(x)2
2σ2
= lim
x→+∞
exp (ln(x))2. 2
ln(x) − 1
2σ2
= 0
alors e−
(ln(x))2
2σ2 =
+∞
o 1
x2 (cette fonction est int´egrable en +∞ selon le crit`ere de
Riemann α = 2  1) d’apr`es le crit`ere de comparaison de fonctions positives, x →
e−
(ln(x))2
2σ2 est int´egrable en +∞
On en conclut que l’int´egrale converge et donc X poss`ede une esp´erance.'

$
%
Astuce: Pour conclure que l’int´egrale convergen en +∞, nous avons compar´e avec une
int´egrale de Riemann. L’id´ee consiste `a chercher un s ∈]1, +∞[ tel que f(x) =
+∞
o 1
xs .
Nous avons calcul´e donc lim
x→+∞
x2.f(x) qui vaut 0. Une astuce tr`es classique, surtout si
on veut montrer l’existence de l’esp´erance ou de la variance, bref des diff´erents moments
i.e E(Xr) avec r ≥ 1 avec X une variable al´eatoire `a densit´e suivalt la loi exponentielle
(voir par exemple EML ECE 2015 exercice 1 question 2), la loi normale, la loi Tn =
max(X1, ..., Xn) avec les diff´erents Xi suivant toutes la loi exponentielle de param`etre
λ (voir EML ECE 2015 exercice 1 question 5-a. Je r´ep`ete! d`es qu’on fait face `a une
fonction de la forme e−λx avec λ  0 ou e−βx2
avec β  0 ou P(x).e(−x) avec P(x) un
polynome, pensez `a cette technique.
Afin de montrer l’´egalit´e, on op´ere un changement de variable sur l’int´egrale: le seul
changement qui transforme 0 en −∞ et garde +∞ est y = ln(x)
• Choix du changement: y = ln(x) qui est de classe C1 sur ]0, +∞[. y = ln(x) ⇐⇒
x = ey
• Calcul de dx: y = ln(x) donc y (x) = dy
dx = 1
x alors dx = xdy = eydy
• Changement des bornes: si x → 0+ alors y = ln(x) → −∞, d’autre part si
x → +∞ alors y = ln(x) → +∞
E(X) = 1
σ
√
2π
+∞
0 e−
ln(x)2
2σ2 dx
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e− y2
2σ2 eydy
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e− y2
2σ2 +y
dy
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e
−1
2
y2
σ2 −2y
dy
-2-b-ii-
Soit le changement de variable t = y
σ − σ
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 11 of 12

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Sujet et Correction épreuve de mathématiques ESSEC ECE 2012

  • 1. Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 1 of 12
  • 2. Ahmed REBAI (+33)786920277 Nantes, France ahmed.rebai2@gmail.com Maths I 2012 ESSEC Abstract Dans ce document, on se propose de pr´esenter le sujet de math´ematiques I 2012 de l’ESSEC avec une correction d´etaill´ee. Comme le nouveau programme l’exige, nous avons chang´e les questions d’informatique en SCILAB en gardant le mˆeme esprit du sujet original. Ce travail a pour objectif d’aider les ´etudiants en classes pr´eparatoires ECE et ECS afin de bien pr´eparer leurs concours. ´Enonc´e La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs. L’utilisation de toute calculatrice est interdite. Ce probl`eme comporte trois parties relativement ind´ependantes. Dans la premi`ere partie on ´etudie les lois log-normales. On s’int´eresse dans la partie II `a une mod´elisation du cours d’une action appel´ee mod`ele binomiale ou de Cox-Ross-Rubinstein et `a son comportement asymptotique. Dans la troisi`eme partie, on ´etablit la formule de Black et Scholes, pour le prix d’une option dans le mod`ele limite obtenu dans la partie II. NOTATIONS ET D´EFINITIONS • Les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont toutes d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω, A, P). • On note Φ la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite. • On note respectivement E(X) et V(X) l’esp´erance et la variance d’une variable al´eatoire X, lorsque celles-ci existent. Soit m un r´eel et σ un r´eel strictement positif. On dit qu’une variable al´eatoire X suit la loi log-normale de param`etres (m,σ2) si X est `a valeurs strictement positives et si ln(X) suit la loi normale de param`etres (m,σ2). On ´ecrit alors X → LN(m,σ2). Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 2 of 12
  • 3. 1 PARTIE I - Quelques propri´et´es des lois log-normales On note dans cette partie m un r´eel et σ un r´eel strictement positif. Soit X une variable al´eatoire r´eelle suivant la loi log-normale de param`etres (m,σ2). On pourra dans la suite utiliser la variable al´eatoire Y=ln(X). 1. Soit a et b deux r´eels, a ´etant diff´erent de 0. On rappelle que si U est une variable al´eatoire qui suit une loi normale de param`etres (m,σ2), alors aU + b suit aussi une loi normale. Quels en sont les param`etres? 2. Cas o`u m = 0. On suppose dans cette question 2 que X → LN(0, σ2). (a) Densit´e. Exprimer la fonction de r´epartition F de X en fonction de Φ. En d´eduire que X est une variable al´eatoire `a densit´e et que la fonction d´efinie par x → 1 xσ √ 2π exp(−(ln(x))2 2σ2 ) si x > 0 0 si x ≤ 0 est une densit´e de probabilit´e de X. (b) Esp´erance. i. ´Etablir l’existence de E(X) et l’´egalit´e E(X) = 1 σ √ 2π +∞ −∞ exp −1 2 y2 σ2 − 2y dy. ii. En utilisant le changement de variable t = y σ − σ, en d´eduire E(X) en fonction de σ. (c) Variance. i. Soit α un r´eel non nul. Montrer que Xα suit une loi log-normale dont on pr´ecisera les param`etres. ii. En d´eduire que X admet une variance et que V(X)=eσ2 (eσ2 − 1) 3. On reprend le cas g´en´eral: X → LN(m,σ2). (a) Soit µ un r´eel strictement positif. Montrer que µX suit une loi log-normale de param`etres (m + ln(µ), σ2). (b) Justifier l’existence de E(X), de V(X), et ´etablir: E(X) = em+σ2 2 et V (X) = e2m+σ2 (eσ2 − 1) 2 PARTIE II - Le mod`ele binomial de Cox-Ross-Rubinstein Soit n un entier naturel non nul. On souhaite mod´eliser l’´evolution du cours d’une action entre les dates 0 et t fix´e, strictement positif. On suppose qu’initialement ce cours est S0,n = 1 et si l’on note Sk,n la valeur al´eatoire de ce cours `a la date kt n , k ∈ 1, ..., n, on la relation: Sk,n = Sk−1,,n ∗ (1 + µ n + v√ n Yk), o`u • µ est une constante r´eelle strictement positive li´ee au rendement moyen de l’action sur une dur´ee ´egale `a t; Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 3 of 12
  • 4. • v est une constante r´eelle strictement positive appel´ee volatilit´e de l’action sur la dur´ee t; • (Yk)k∈N∗ est une suite de variables al´etoires ind´ependantes suivant toutes la loi uniforme sur −1, 1 (autement dit, P(Yk = 1) = P(Yk = −1) = 1 2). On suppose que n est assez grand pour que 1 + µ n − v√ n > 0. On admet que S0,n, ..., Sn,n sont des variables al´eatoires discr`etes. On note Cn la variable al´eatoire Sn,n, qui mod´elise le cours de l’action `a l’instant t. 4. Simulation de la variable al´eatoire Cn. (a) Quellques sont les valeurs que peut prendre l’expression Scilab: 2 ∗ rand() − 1? (b) Dans la d´eclaration de fonction qui suit, remplacer les ... par des expressions Scilab pour que la fonction ainsi d´eclar´ee simule la variable al´eatoire Cn. Algorithm 1 Algorithme Scilab function C(n, mu, v) tmp=1; for k=... : ... tmp=tmp* C=... end endfunction 5. (a) Calculer l’esp´erance et la variance commune aux Yk. (b) i. Montrer l’´egalit´e: Cn = n k=1 1 + µ n + v√ n Yk ii. En d´eduire que E(Cn) = 1 + µ n n et V (Cn) = 1 + µ n 2 + v2 n n − 1 + µ n 2n . (c) D´eterminer lim x→+∞ E(Cn) et montrer que lim x→+∞ V (Cn) = e2µ ev2 − 1 . D´eterminer les param`etres de la loi log-normale ayant pour esp´erance la premi`ere limite et pour variance la seconde. 6. (a) Expliciter un couple de r´eels (an, bn) tel que: ∀k ∈ J1, nK, ln 1 + µ n + v √ n Yk = an + bnYk. (1) (b) En d´eduire que ln(Cn) = nan + bn n k=1 Yk. (c) ´Etablir la convergence en loi, quand n tend vers +∞, de 1√ n (Y1 + ... + Yn) vers la loi normale centr´ee r´eduite. On ´enoncera pr´ecis´ement le th´eor`eme utilis´e. 7. (a) Rappeler le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction x → ln(1 + x) au voisinage de 0. (b) D´eterminer les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 2 au voisinage de 0 des fonctions x → ln(1 + vx + µx2) et x → ln(1 − vx + µx2 ) . Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 4 of 12
  • 5. (c) Montrer que: nan = µ − v2 2 et (n)bn = v En d´eduite que bn est strictement positif `a partir d’un certain rang. On suppose dans la suite que cette condition est r´ealis´ee. 8. On note Fn la fonction de r´epartition de 1√ n (Y1 + ... + Yn) et Gn la fonction de r´epartition de ln(Cn). Soit x un r´eel. On pose y = x−µ+v2 2 v . (a) Soit un r´eel strictement positif. i. ´Etablir l’existence d’un r´eel η strictement positif tel que Φ(y) − 2 ≤ Φ(y − η) ≤ Φ(y + η) ≤ Φ(y) + 2 ii. Montrer qu’il existe un entier naturel n1 tel que, pour tout n ≥ n1: y − η ≤ x − nan √ nbn ≤ y + η iii. Monter qu’il existe un entier naturel n2 tel que, pour n ≥ n2: Fn(y + η) ≤ Φ(y + η) + 2 et Fn(y − η) ≥ Φ(y − η) − 2. iv. Montrer que Gn(x) = Fn x−nan√ nbn , et en d´eduire que pour n assez grand, on a: Gn(x) − Φ x − µ + v2 2 v ≤ (b) En conclure que la suite de variables al´eatoires (ln (Cn))n≥1 converge en loi vers une variable al´eatoire suivant une loi normale dont on pr´ecisera les param`etres. 9. D´emontrer que (ln (Cn))n≥1 converge en loi vers une variable al´eatoire de loi log- normale de param`etres µ − v2 2 , v2 . 3 PARTIE III - La formule de Black et Scholes Soit t un r´eel strictement positif. ´A la date 0, un investisseur ach`ete sur un march´e une option sur une action dont la date d’´ech´eance est t et le prix d’exercice K, un r´eel strictement positif. • Si `a la date t, le cours C de l’action est sup´erieur ou ´egal `a K, il peut acheter l’action au prix K et la revendre au prix C; • dans le cas contraire, son option n’a plus de valeur `a la date t. Le but de cette partue est de donner une valeur raisonnable au prix d’achat de l’option, que l’on note πK. On fait les hypoth`eses suivantes: • On choisit comme unit´e le cours de l’action `a la date 9 c’est-`a-dire qu’`a cet instant le cours de l’action vaut 1. Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 5 of 12
  • 6. • Le cours de l’action `a la date t est une variable al´eatoire C qui suit une loi log- normale de param`etres (m, v2) • On suppose qu’il existe sur le march´e un actif non risqu´e dont le taux de rentabilit´e entre les dates 0 et t vaut er − 1, o`u r est un r´eel strictement positif. • On d´efinit la fonction f sur R par, pour tout x r´eel, f(x) = max(0, x). 10. (a) Justifier que la valeur de l’option `a la date t est f(C − K). (b) si au lieu d’acheter l’option, l’investisseur avait plac´e `a la date 0 son prix d’achat πK sur l’actif non risqu´e, quel serait la valeur de son placement `a la date t? (c) En d´eduire qu’il convient de poser πK = e−rE((f(C − K)) si l’on veut que ces deux strat´egies aient la mˆeme rentabilit´e moyenne. Dans les questions suivantes, c’est cette valeur de πK que l’on utilise. 11. (a) Montrer que f est continue sur R. (b) ´Etablir l’existence de E((f(C − K)) et l’´egalit´e E((f(C − K)) = 1 v √ 2π +∞ ln(K) (ex − K)exp − (x − m)2 2v2 dx. 12. (a) Montrer l’´egalit´e: πK = exp m − r + v2 2 Φ v2 + m − ln(K) v − Ke−r Φ m − ln(K) v . (b) On suppose que m = r − v2 2 , ce qui signifie que le rendement moyen de l’action et de l’actif non risqu´e sont identiques. ´Etablir la formule de Black-Scholes: πK = Φ r − ln(K) v + v 2 − Ke−r Φ r − ln(K) v − v 2 13. Dans la pratique, le prix de l’option est fix´e par le march´e et vaut x, o`u x est un r´eel strictement positif. On pose θ = r − ln(K), de sorte que le prix d’´ech´eance vaut K = exp(r − θ). On appelle alors volatilit´e implicite de l’action, tout r´eel positif v, s’il en existe, tel que: x = Φ θ v + v 2 − e−θ Φ θ v − v 2 On d´efinit alors la fonction Ψ : v → Φ θ v + v 2 − e−θΦ θ v − v 2 sur ]0, +∞[. (a) Montrer que Ψ est de classe C1 sur ]0, +∞[ et que pour v > 0, Ψ (v) = 1 √ 2π exp − 1 2 θ v + v 2 2 Dresser le tableau de variations de Ψ en y faisant figurer les limites en 0 et en +∞. On distinguera les cas θ > 0 et θ ≤ 0. Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 6 of 12
  • 7. (b) D´eterminer pour quelles valeurs de x il existe une volatilit´e implicite et prouver alors qu’elle est unique. En conclure finalement que l’on peut d´efinir la volatilit´e implicite si et seulement si: f 1 − e−θ < x < 1. Fin du sujet Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 7 of 12
  • 8. Quelques remarques avant de commencer The pricing problem (´Evaluation du prix d’une action): in financial markets, stock valuation is the method of calculating theoretical values of companies and their stocks. The main use of these methods is to predict future market prices, or more generally, potential market prices, and thus to profit from the price movement. Hypoth`eses du mod`ele de Black et Scholes • Le march´e financier fonctionne en continu en absence de coupures induites par des ´ev´enements violents comme une crise financi`ere, un big crunch ou une attaque terroriste. • L’absence d’opportunit´es d’arbitrage • Le cours de l’action suit un processus de Wiener g´eom´etrique dS S = µdt + σdz • L’absence de restriction sur les ventes `a d´ecouvert. Le produit des ventes est imm´ediatement et int´egralement disponible. • L’absence de frais de transactions ou d’impˆots. Tous les actifs financiers sont parfaitement divisibles. • Absence de dividendes sur le sous-jacent pendant la dur´ee de vie de l’actif d´eriv´e. • Le taux sans risque, r, est constant et fixe quelle que soit la maturit´e du produit. Soit une action cot´ee initialement 40 e, son esp´erance de rentabiliti´e annuelle (ou le rendement moyen) est de 16% et sa volatilit´e σ = 20% par an. Calculer son prix dans 6 mois. • S0 = 40 e • µ = 16% • σ = 20% • La dur´ee: T = 6 mois = 0.5 an Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 8 of 12
  • 9. Correction 4 PARTIE I - Quelques propri´et´es des lois log-normales -1- ' & $ % Comment utiliser la lin´earit´e de l’esp´erance? si X = aY +b, o`u Y est une variable al´eatoire `a densit´e admettant une esp´erance, alors X admet une esp´erance et E(X) est donn´ee par: E(X) = aE(Y ) + b. Comment utiliser la non-lin´earit´e de la variance? si X = aY + b, o`u Y est une variable al´eatoire `a densit´e admettant une variance, alors X admet une variance et V (X) est donn´ee par: V (X) = a2V (Y ) Soit U → N(m, σ2) alors E(U) = m et V (U) = a2σ2 alors E(aU + b) = aE(U) = am + b et V (aU + b) = a2 V (U) = a2 σ2 Finalement, U → N(m, σ2) alors aU + b → N(am + b, a2σ2) -2-a- ' & $ % Comment d´eterminer la fonction de r´epartition FX d’une variable al´eatoire X `a densit´e connaissant sa densit´e fX de X? Il suffit de prendre la densit´e fX et de l’int´egrer entre −∞ et x (un seuil donn´e) i.e. ∀x ∈ R, FX(x) = x −∞ fX(u)du Comment d´eterminer la densit´e d’une variable al´eatoire connaissant sa fonc- tion de r´epartition FX? Il suffit de d´eriver FX. Comment exprimer la fonction de r´epartition FX en fonction de FY avec Y une variable al´eatoire donn´ee en fonction de X? Dans cette question nous avons X et ln(X) L’id´ee est de distinguer deux cas; 1er cas: on prend un seuil n´egatif c-`a-d x < 0 puis on ´ecrit X < x et on raisonne..., 2e cas: on prend un seuil posi- tif c-`a-d x > 0 puis on ´ecrit X > x et on essaye d’effectuer sur cette in´egalit´e des op´erations math´ematiques jusqu’`a l’obtention d’une in´egalit´e portant sur ln(X) de type ln(X) < ... Comment montrer q’une variable al´eatoire X est `a densit´e connaissant sa fonction de r´epartition FX? Montrer que la fonction de r´epartition FX de X est continue sur R et est de classe C1 sur R d’un ensemble fini de points. On a X → LN(0, σ2) alors ln(X) → N(0, σ2) Soit x ∈ R • 1er cas: si x ≤ 0 alors F(x) = P(X ≤ x) = 0 (car X est une variable al´eatoire strictement positif). • 2e cas: si x > 0 alors F(x) = P(X ≤ x) = P(ln(X) ≤ ln(x)) = P(ln(X)−0 σ ≤ ln(x)−0 σ ) = Φ(ln(x) σ ) donc la fonction de r´epartition F de X est F : x → 0 si x ≤ 0 Φ(ln(x) σ ) si x > 0 Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 9 of 12
  • 10. La fonction F est de classe C1 sur R priv´e de 0. De plus, lim x→0 F(x) = 0 = F(0). Ainsi F est continue en 0, donc sur R. On en d´eduit que X est une variable al´eatoire `a densit´e. La fonction densit´e de X est donn´ee par: • 1er cas: si x ≤ 0 alors F (x) = 0 • 2e cas: si x > 0 alors F (x) = (Φ(ln(x) σ )) = (ln(x) σ ) Φ (ln(x) σ )) = 1 xσ 1√ 2π exp −(ln(x))2 2σ2
  • 11. On rappelle que la d´eriv´ee de la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite est donn´ee par: Φ (t) = 1√ 2π e−t2 2 Finalement, x → 1 xσ √ 2π exp(−(ln(x))2 2σ2 ) si x 0 0 si x ≤ 0 -2-b- Esp´erance -2-b-i-' $ % Comment montrer qu’une variable al´eatoire X `a densit´e admet une esp´erance E(X) et la calculer? M´ethode: Soit fX une densit´e de X, donc X admet une esp´erance si et seulement si +∞ −∞ ufX(u)du converge. Maintenant pour calculer cette E(X) il suffit de calculer la valeur de cette int´egrale. Comment montrer la convergence d’une int´egrale impropre β α f(u)du si la fonction f est continue sur ]α, β[ ? M´ethode: On commence toujours par montrer que la fonction f est continue sur l’intervalle ]α, β[. Ensuite, on remarque que l’int´egrale est impropre au niveau de α et de β donc on scinde l’intervall ]α, β[ en deux intervalles. On introduit donc γ ∈]α, β[ et on essaye de montrer la convergence de deux int´egrales γ α f(u)du et β γ f(u)du. Dans cette question, on prendra α = 0, β = +∞ et γ = 1 afin d’utiliser une comparaison avec une int´egrale de Riemann +∞ 1 1 us du qui converge si s 1. E(X) existe ⇐⇒ +∞ −∞ x.f(x)dx converge ⇐⇒ +∞ 0 x 1 xσ √ 2π e− (ln(x))2 2σ2 dx converge ⇐⇒ 1 σ √ 2π +∞ 0 e− (ln(x))2 2σ2 dx converge Montrons alors la convergence de cette derni`ere int´egrale: x → e− (ln(x))2 2σ2 est continue sur ]0, +∞[ par composition. L’int´egrale est impropre en 0 et en +∞. • En 0: on a lim x→0+ e− (ln(x))2 2σ2 = 0 alors la fonction x → e− (ln(x))2 2σ2 est prolongeable par continuit´e en 0 donc elle est int´egrable en 0. • En +∞: on remarque que Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 10 of 12
  • 12. lim x→+∞ x2.exp −ln(x)2 2σ2 = lim x→+∞ x2 exp − ln(x)2 2σ2 = lim x→+∞ exp 2ln(x) − ln(x)2 2σ2 = lim x→+∞ exp (ln(x))2. 2 ln(x) − 1 2σ2 = 0 alors e− (ln(x))2 2σ2 = +∞ o 1 x2 (cette fonction est int´egrable en +∞ selon le crit`ere de Riemann α = 2 1) d’apr`es le crit`ere de comparaison de fonctions positives, x → e− (ln(x))2 2σ2 est int´egrable en +∞ On en conclut que l’int´egrale converge et donc X poss`ede une esp´erance.' $ % Astuce: Pour conclure que l’int´egrale convergen en +∞, nous avons compar´e avec une int´egrale de Riemann. L’id´ee consiste `a chercher un s ∈]1, +∞[ tel que f(x) = +∞ o 1 xs . Nous avons calcul´e donc lim x→+∞ x2.f(x) qui vaut 0. Une astuce tr`es classique, surtout si on veut montrer l’existence de l’esp´erance ou de la variance, bref des diff´erents moments i.e E(Xr) avec r ≥ 1 avec X une variable al´eatoire `a densit´e suivalt la loi exponentielle (voir par exemple EML ECE 2015 exercice 1 question 2), la loi normale, la loi Tn = max(X1, ..., Xn) avec les diff´erents Xi suivant toutes la loi exponentielle de param`etre λ (voir EML ECE 2015 exercice 1 question 5-a. Je r´ep`ete! d`es qu’on fait face `a une fonction de la forme e−λx avec λ 0 ou e−βx2 avec β 0 ou P(x).e(−x) avec P(x) un polynome, pensez `a cette technique. Afin de montrer l’´egalit´e, on op´ere un changement de variable sur l’int´egrale: le seul changement qui transforme 0 en −∞ et garde +∞ est y = ln(x) • Choix du changement: y = ln(x) qui est de classe C1 sur ]0, +∞[. y = ln(x) ⇐⇒ x = ey • Calcul de dx: y = ln(x) donc y (x) = dy dx = 1 x alors dx = xdy = eydy • Changement des bornes: si x → 0+ alors y = ln(x) → −∞, d’autre part si x → +∞ alors y = ln(x) → +∞ E(X) = 1 σ √ 2π +∞ 0 e− ln(x)2 2σ2 dx = 1 σ √ 2π +∞ −∞ e− y2 2σ2 eydy = 1 σ √ 2π +∞ −∞ e− y2 2σ2 +y dy = 1 σ √ 2π +∞ −∞ e −1 2 y2 σ2 −2y dy -2-b-ii- Soit le changement de variable t = y σ − σ Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 11 of 12
  • 13. • Choix du changement: la fonction t = y σ − σ est de classe C1 sur R. • Calcul de dt: t = y σ − σ donc t (y) = dt dy = 1 σ alors dt = dy σ • Changement des bornes: si y → +∞ alors t → +∞ car σ 0, d’autre part si y → −∞ alors t → −∞ E(X) = 1 σ √ 2π +∞ −∞ e −1 2 y2 σ2 −2y dy = 1 σ √ 2π +∞ −∞ e−1 2 (t2−σ2) σdt = eσ2/2 √ 2π +∞ −∞ e−t2/2dt = e σ2 2 (puisque 1√ 2π +∞ −∞ e−t2/2dt = 1) -2-c- Variance -2-c-i- F(x) = P(Xα ≤ x); x ≥ 0 = P(X ≤ x1/α); x ≥ 0 = P(ln(X) ≤ 1 α ln(x)), x ≥ 0 = P(ln(X) σ ≤ ln(x) α.σ ), x ≥ 0 = Φ(ln(x) α.σ ), x ≥ 0 Xα suit une loi log normale si ln(Xα) suit une loi normale. F(x) = P(Xα ≤ x); x ≥ 0 = P(X ≤ x1/α); x ≥ 0 = P(ln(X) ≤ 1 α ln(x)), x ≥ 0 = P(ln(X) σ ≤ ln(x) α.σ ), x ≥ 0 = Φ(ln(x) α.σ ), x ≥ 0 -2-c-ii- X2 suit une loi log-normale implique E(X2) existe et V (X) = E(X2)−(E(X))2 V (X) = E(X2) − (E(X))2 = e 4σ2 2 − (e σ2 2 )2 = e2σ2 − eσ2 V (X) = eσ2 (eσ2 − 1) -3-a- 5 PARTIE II - Le mod`ele binomial de Cox-Ross-Rubinstein 6 PARTIE III - La formule de Black et Scholes Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 12 of 12