1. 1
é
é à
Exercice 1 : 7pts
I-Soit la fonction   1 2 x
g x xe
 
1-calculer    lim lim
x x
g x et g x
 
2-calculer  'g x pour tout x IR
3-etudier le signe de  'g x et donner le tableau de variation de g
4-deduire le signe de g(x)
II-soit     1 1 2 x
f x x e
  
1-calculer    lim lim
x x
f x et f x
 
2-montrer que   lim 1
x
f x x

  et déduire l’équation réduite de la droite  
asymptote à la courbe  fC au voisinage de 
3-etudier la position de  fC par rapport à  
4-montrer que    : 'x IR f x g x  
5-donner le tableau de variation de f
6-montrer que la courbe  fC admet une tangente (T) unique parallèle à  et
déterminer son équation réduite.
7-construire la courbe  fC dans un repère orthonormé  ; ;O i j tel que
 1i j cm  .
8-resoudre graphiquement l’équation  f x x m  tel que m IR

2. 2
9-calculer en fonction de  l’aire  A  de la partie du plan limitée par la courbe
 fC et les droites 1 ; 1x x et y x    
10-calculer  lim A



Exercice 2 : 3pts
1-resoudre l’équation différentielle  : '' 0E y y 
2-determiner la solution  y x qui vérifie :    0 0 ' 0 1y et y 
3-soit la fonction f définie et dérivable sur IR tel que :
     2
1
; 0 0
1
f x f IR IR et f
x
  

a-montrer que : f admet une fonction réciproque 1
f 
définie sur IR
b-vérifier que    1
' 0 1f 

c-montrer que :  1
f x
est une solution de l’équation différentielle (E).
d-calculer  f x
Exercice 3 : 2,5pts
1-resoudere dans l’équation suivante : 2
8 17 0z z  
2-on considère dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé  ; ;O u v
d’les points A ; B ; C d’affixes respectifs 4 ; 8 3 ;a i b i c i     
Soit    ' 'M z et M z son image par la rotation R de centre  1 2i  et d’angle
3
2

a-montrer que : ' 1 3z iz i   
b-vérifier que :c i  est l’affixe du point C l’image du point A par la rotation R.
c-montrer que    2b c a c   en déduire que les A ; B et C sont alignes.
d-déterminer l’ensemble des points M(z) tel que :
4z i z i   
e- déterminer l’ensemble des points M(z) tel que :
4 2z i  

3. 3
Exercice 4 : 2,5pts
Un bureau d’une association sportive se compose de 7 hommes et 3 femmes,
parmi eux 4 hommes et 2 femmes leur âges supérieur ou égal à 30ans.on choisit
au Hazard 3 personnes pour exécuter une tache.
1-soient les évènements suivants :
A : « choisir 3 personnes leur âges inférieur à 30 ans ».
B : « choisir 3 personnes leur âges supérieur ou égal à 30 ans ».
Montrer que    
1 1
30 6
p A et p B 
2-Soit X la variable aléatoire qui correspond aux nombres de personnes qui ont
l’Age supérieur ou égal à 30 ans choisis dans chaque choix.
a- donner la loi de probabilité de X
b- calculer l’Esperance mathématique E(X).
Exercice 5 : 2,5pts
Dans l’espace menu d’u repère orthonormé direct ; ; ;O i j k .on considère le plan
(P) qui passe par un point    0;1;1 1;0; 1A et u  un vecteur normal au plan (P).
Soit (S) la sphère de centre  0;1; 1  et de rayon 2 .
1-montrer que : x-z+1=0 est une équation cartésienne du plan (P).
2-montrer que le plan (P) est tangent à la sphère(S) au point  1;1;0B  .
3-determiner une représentation paramétrique de la droite (D) qui passe par le
point A et orthogonale au plan (P).
4-montrer que la droite (D) est tangente à la sphère (S) au point  1;1;0C
5-montrer que 2OC OB k  et déduire l’aire du triangle OCB
Exercice 6 : 2,5pts
On considère la suite  nu définie par : 1 0
1 2
: 6
5 5
n nn IN u u et u    
1-montrer que :
1
:
2
nn IN u 

4. 4
2-a-verifier que :   1
4 1
:
5 2
n nn IN u u u
 
     
 
en déduire que la suite  nu est
décroissante
b-déduire que la suite  nu est convergente.
4-on pose :
1
:
2
n nn IN v u   
a-montrer que la suite  nv est géométrique de raison à déterminer
b-calculer nv en fonction de n
c-déduire que
1 1
: 11 1
2 5
n
nn IN u
  
      
   
et calculer lim n
n
u

d-Montrer que : 0 1 1
55 1
: 1 .......
8 5 2
n
n n n
n
n IN S telque S u u u 
  
             