Tcc final ailton

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

O ENSINO DE CÁLCULO NA
PERSPECTIVA LÓGICO-
HISTÓRICA: delineamentos de uma metodologia
de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos
alunos

DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
DOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON
BAPTISTINI
ORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA –
PROFESSORA ADJUNTA – DME
ALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA

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SÃO CARLOS/ SP
2009
AILTON BARCELOS DA COSTA

PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA
ORIENTADORA

O ENSINO DE CÁLCULO NA
PERSPECTIVA LÓGICO-
HISTÓRICA: Delineamentos de uma metodologia
de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos
alunos

DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
DOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON
BAPTISTINI

3
SÃO CARLOS/ SP
2009
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
1.2 QUESTÃO DE INVESTIUGAÇÃO
1.3 OBJETIVOS
2. METODOLOGIA DA PESQUISA
3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM
ALGUMAS UNIVERSIDADES
4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO
PROFESSORES
5. DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A
PARTIR DA TEORIA
5.1 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES
5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES
5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS
5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS

6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES
6.1.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE
6.1.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA
6.1.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA
6.2 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES
6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS
6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS
7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE
HOJE
8.1 FUNÇÕES
(i) DECADA DE 1960.

4
(ii) DECADA DE 1970
(iii) DECADA DE 1980
(iv) DECADA DE 1990
(V) DECADA DE 2000

8.2 CÁLCULO
8.2.1 FUNÇÃO
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000

8.2.2 LIMITE
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000

8.2.3 DERIVADA
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000

8.2.4 INTEGRAL
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iv) DECADA DE 1990

5
(v) DECADA DE 2000
9. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE
CÁLCULO
9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS
(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1
(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1
(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – VOL.
1
(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1
(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - VOL.
1
(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIA
ANALÍTICA - VOL. 1

10. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE
CÁLCULO
10.1 Metodologias
(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.
(ii) Principio Genético
(iii) Método Experimental
(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino
10.2 Livros de Cálculo usando a história

11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO
12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS
DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
13. CONCLUSÕES
14. BIBLIOGRAFIA
15. DATA – LOCAL – ASSINATURA

6
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.
FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.
FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.
FIGURA 5:REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DO
CÍRCULO.
FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL
JAIRO BEZERRA.
FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE
APOSTOL (1967)
FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE ÁVILA
(2001)

LISTA DE GRÁFICOS
GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,
POR SEMESTRE
GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM
DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.
GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de
1999 a 2008.
GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008.
GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA.

LISTA DE TABELAS
TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL
E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008.
TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem
desistências, de 1999 a 2008.
TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.

7
TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES.

RESUMO
A motivação inicial para nosso trabalho foi o grande número reprovações nas
disciplinas iniciais de Cálculo na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), nos
últimos dez anos, bem como a análise de dados de algumas universidades brasileiras,
sobre o chamado fracasso do ensino de Cálculo. Também partimos de nossa experiência
em trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica, o que nos
levou à questão de investigação, onde perguntamos de forma a perspectiva lógico-
histórica poderia se configurar como metodologia de ensino de Cálculo.
Dessa forma, adotamos uma pesquisa de cunho histórico-bibliográfica, onde esta
se faz preferencialmente sobre documentação escrita, o qual segundo FIORENTINI &
LORENZATO (2006) a coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras.
Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que
permitem uma obtenção mais direta e imediata dos dados, na qual classificamos por
semi-estruturadas.
Nesse sentido, inicialmente, entrevistamos professores que ministram aulas de
Cálculo. Em seguida, transcrevemos e analisamos tópicos destas entrevistas para
levantamento das dificuldades de aprendizado dos alunos, o qual nos ajudou a
compreender as dificuldades de aprendizado.
Fizemos um estudo do sobre os conceitos de discreto e contínuo no Cálculo, no
qual foi abordado o desenvolvimento da Matemática Discreta e da Matemática
Contínua, desde os gregos com a Escola Platônica, passando pela visão discreta de
Leibniz e a visão contínua de Newton, até chegarmos à análise não-standard.
A história e o desenvolvimento dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral
vêm em seguida, de forma a compreendermos os nexos conceituais do Cálculo,
historicamente construídos.
Ao compreendermos estes nexos, buscamos os currículos e livros didáticos para
analisarmos como foi estruturado o ensino do Cálculo nas escolas de nível médio, desde
a década de sessenta, até os dias atuais, enfatizando como era feito o ensino de tal
disciplina e sua mudança com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna.
Assim, nos fundamentamos para discutir a importância da História da Matemática nos

8
cursos de Cálculo e buscamos analisar algumas sugestões metodológicas que têm como
foco, História do Cálculo.
Por fim, indicamos os delineamentos, de uma possível proposta metodológica
para o ensino do Cálculo, o qual segue a delimitação de uma proposta de ensino, da qual
concluímos que pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o
estudo da disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho
histórico, com uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos,
em vez do enfoque metodológico tradicional.

9
1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a nossa experiência em
trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica foi feita sob
esta ótica, enfatizando o ensino de seqüências e progressões no Ensino Médio.
Outro ponto considerado importante para a elaboração desse projeto foi o grande
número reprovações nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral que observamos
na UFSCar (Universidade Federal de São Carlos), no período compreendido entre 1999
e 2008, semestralmente, cujos dados seguem logo abaixo, no capítulo 3.
Conforme observa BROLEZZI (2008), no caso particular do Cálculo, que é
considerada porta de entrada para a Matemática superior, há quase uma unanimidade
entre os professores que se interessam por problemas do ensino superior em entender
que seria preciso seguir mais a ordem histórica da construção do Cálculo, que é inversa
da ordem geralmente adotada nos livros, ou seja, de acordo com REZENDE (2003),
possibilitar que o Cálculo exerça no ensino básico de Matemática o mesmo papel
epistemológico que ele realizou no processo de construção do conhecimento
matemático no âmbito científico.
Dessa forma, propomos estudar uma Metodologia que se fundamenta na História
da Matemática para o ensino das disciplinas de Cálculo, onde é proposto que o aluno
participe do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos.
De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projeto
Iniciação Científica, vimos que a análise sobre o uso da História da Matemática,
pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático.
Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não
apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,
psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o
educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no
ensino, tem condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos,
contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer
com a realidade.
Assim, há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser
visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais

10
como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros
problemas que surgem durante o processo.
Então, o distanciamento propiciado pela História é, assim, imprescindível para
se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no
ensino elementar (BROLEZZI, 1991).

Portanto, estamos propondo uma Metodologia que leve o aluno a participar da
construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das
exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento
do Cálculo. A este processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica, o
qual é estudado principalmente pelos seguintes autores: SOUSA, M. C., LANNER DE
MOURA, A. R. e MOISÉS, R. P.
Passemos agora aos objetivos de cada capitulo do corpo do trabalho, antes de
seguirmos ao mapa conceitual das principais idéias da pesquisa.
• TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM
ALGUMAS UNIVERSIDADES: O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de
reprovações de algumas universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.

• CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO
PROFESSORES: O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a
professores possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes,
bem como algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações,
conforme mostrado no capitulo anterior.

• DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A
PARTIR DA TEORIA: O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo
à luz da literatura especializada, bem como retomando sugestões de professores
entrevistados sobre tais dificuldades.

• O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO:
O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no
desenvolvimento do Cálculo.

11

• HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL: O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os
conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais.

• O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE
HOJE: O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no
ensino médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60
até os dias de hoje.

1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA

Taxas de reprovações
Introd. e Metodologia
em Cálculo
Justificativa

Entrevista com Análise: dificuldades Historia e
professores no aprendizado de Desenv.
cálculo do Cálculo

A Importância da Cálculo no
Discreto e História da Ensino Médio:
Continuo do Matemática no de 1960 à
Cálculo Cálculo 2000

Análise: Livros Proposta
Usando em Metod. Delimitação
Cálculo No Ensino de Propostas
de Cálculo de Ensino

12
1.2 QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO
“De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologia
de ensino de Cálculo?”

1.3 OBJETIVOS
Estudar a história da matemática enquanto metodologia de ensino na disciplina
de Cálculo.
Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva lógico-histórica.

2. METODOLOGIA DA PESQUISA
A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, onde, se faz
preferencialmente sobre documentação escrita, ou seja, segundo FIORENTINI &
LORENZATO (2006), neste tipo de pesquisa a coleta de informações é feita a partir de
fichamento das leituras. Outra característica desse tipo de pesquisa, para o mesmo autor
é que os documentos para estudo se apresentam de forma estáveis no tempo e ricos
como fonte de informação, pois como no nosso caso, incluem livros, propostas
curriculares, dissertações ou teses acadêmicas e artigos de revistas científicas.
Aqui, entre as descrições de FIORENTINI & LORENZATO (2006) sobre os
vários tipos de estudos bibliográficos desçamos a que mais se encaixa nos nossos
estudos, que é a metanálise, que é uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando
realizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzirem novos resultados ou sínteses
a partir do confronto desses estudos, transcedendo aqueles anteriormente obtidos.
Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que
de acordo com FIORENTINI & LORENZATO (2006) permite uma obtenção mais
direta e imediata dos dados, servindo para aprofundar o estudo. Já quanto á
classificação, nossas entrevistas são semi-estruturadas, pois aqui, quando o pesquisador
pretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza um
roteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com o
desenvolvimento da entrevista, alterar a ordem dos mesmos e, inclusive formular
questões não previstas inicialmente.
Ainda quanto às entrevistas, FIORENTINI & LORENZATO (2006, p. 122)
destacam uma série de recomendações aos entrevistadores, às quais pretendemos seguir:

13
• Antes de iniciar o processo de entrevista, o
entrevistador deve explicar o objetivo e a natureza
do trabalho, esclarecendo porque ele foi escolhido
para entrevista.
• Assegurar o anonimato do entrevistado e o sigilo
do depoimento, garantindo que os mesmos serão
utilizados somente para a finalidade de
investigação.
• O entrevistador deve solicitar a autorização para
gravar a entrevista, assegurando, depois, que a
transcrição será lida, revisada e autorizada pelo
entrevistado.
• Escolher, para entrevista, um lugar apropriado e
tranqüilo que favoreça um diálogo profundo,
esclarecendo que o entrevistado tem o direito de
não responder a todas as perguntas, podendo,
inclusive, interromper a entrevista.
• O entrevistado não deve discutir sua opinião ou
seus pontos de vista, nem mostrar surpresa ou
desaprovação e, mesmo ainda, avaliar
negativamente.
• Recomenda-se que o entrevistador não interrompa
o curso do pensamento do entrevistado.

Assim, entrevistamos quatro professores, através de um questionário semi-estruturado,
os quais tinham as seguintes questões, em forma de roteiro:
1. OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO ENSINO
MÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS?
• Objetivo: Investigar as principais deficiências dos alunos do ensino médio ao
começar o curso de Cálculo.

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2. OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS? INFLUENCIA NA
AULA TAIS ATITUDES?
• Objetivo: Investigar a postura dos alunos durante as aulas.
3. OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOS
ENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS?
• Objetivo: Investigar deficiências de interpretação de textos durante as aulas de
Cálculo, em especial na resolução de exercícios ou problemas.

4. QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DE
LIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO?
• Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de limites.

5. EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE DOS
ALUNOS? POR QUÊ?
• Objetivo: Investigar dificuldades nas demonstrações de Cálculo.

6. OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMA
CONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA?
• Objetivo: Investigar o comportamento dos alunos em relação aos estudos
contínuos do conteúdo.

7. QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NO
APRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS INTEGRAIS?
• Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de derivadas.

8. QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO DE
CÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DA AULA?
• Objetivo: Investigar o tipo de metodologia utilizada pelo docente.

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9. VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIA
INFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS?
• Objetivo: Investigar concepções do docente em relação à mudanças
metodológicas.

10. QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DO
CALCULO NAS SUAS AULAS?
• Objetivo: Investigar a concepção do docente em relação ao papel da história da
matemática como metodologia nas aulas de Cálculo.

11. O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?
• Objetivo: Investigar se o docente está satisfeito com o modelo de ensino de
Cálculo, bem que prováveis mudanças na disciplina poderiam ser feitas.

Dessa forma, pretendemos estudar os conceitos de Cálculo a partir da
perspectiva lógico-histórica, onde podemos caracterizar a pesquisa por investigação
histórica, como procedimento de ensino, na qual deva ser orientada ou regida pela idéia
de que o conhecimento da evolução de um conceito matemático possibilita ao aluno
a sua compreensão.
De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projeto
Iniciação Científica, podemos dizer que ao pesquisador oportuniza a formação de uma
visão dinâmica e processual da Matemática e estabelecer uma identidade entre
processos de produção e aprendizagem de seus conhecimentos, deixando de
reduzir as questões metodológicas do ensino a uma simples reprodução mecânica.
Aqui também podemos trazer os principais instrumentos de nossa pesquisa, que
são:
- Livros didáticos;
- Propostas curriculares;
- Entrevistas;
- Artigos;
- Dissertações;
- Teses.

16
- Banco de Dados SCIELO.
- Páginas de busca na internet.
- Página do DM – UFSCar na internet.

3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM
ALGUMAS UNIVERSIDADES
O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumas
universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.
Tal capítulo também tem a finalidade de desmistificar a concepção de que
apenas na UFSCar existem altos índices de reprovações, pois de acordo com RESENDE
(2003), tal problema do fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela
condição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do
ensino de Cálculo nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos
sobre esse tema têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da
literatura especializada internacional.
Dessa forma, levantamos alguns dados sobre reprovações das disciplinas iniciais
de Cálculo, em algumas universidades brasileiras, como segue:
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (UFF);
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC);
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP);
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS (UFSCar);

Então, tomando DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos que em 1990,
o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino - SAEB/ INEP – MEC, realizou uma
pesquisa em 4.790 escolas públicas de vinte e cinco Unidades da Federação, envolvendo
108.982 alunos de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª séries, através de testes semi-objetivos e objetivos,
através da qual se constatou que o desempenho qualitativo dos alunos em matemática é
extremamente baixo.
Dessa forma, de acordo com DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos:
Estes dados revelados pelo SAEB vêm confirmar a
triste realidade por que passa o ensino de
matemática e que nas últimas décadas tem

17
afetado, sobremaneira, o desempenho dos alunos
que ingressam na universidade, principalmente
aqueles que são dirigidos a cursar a disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I. Os efeitos dessas
deficiências podem ser observados na própria
estatística de aprovação nessa disciplina, na
Universidade Federal do Ceará, que não chega a
ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada
semestre.

Em RESENDE (2003, p. 1) temos os seguintes dados:
BARUFI (1999), em sua tese de doutorado, nos
revela alguns dados alarmantes dessa crise: o
índice de não-aprovação em cursos de Cálculo
Diferencial e Integral oferecidos, por exemplo, aos
alunos da Escola Politécnica da USP, no período
de 1990 a 1995, varia de 20% a 75%, enquanto
que no universo dos alunos do Instituto de
Matemática e Estatística o menor índice não é
inferior a 45% - isto é, não se aprova mais do que
55% em uma turma de Cálculo.
No que diz respeito à UFF, instituição onde
leciono, os índices de não-aprovação são bem
mais catastróficos do que os levantados por
Barufi, na USP.

Assim, de acordo com REESENDE (2003, p. 2), temos:
Na UFF, a variação do índice de não-aprovação
se encontra na faixa de 45% a 95%, sendo que,
para o Curso de Matemática, este não é inferior a
65%.

18
Agora, tomando a UFSCar, de acordo a página do Departamento de Matemática
da mesma, podemos mostrar dados sobre reprovações nas seguintes disciplinas:
Cálculo 1;
Cálculo Diferencial e integral 1
Cálculo A;
Cálculo B;

TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E
INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E
2008, POR SEMESTRE:

TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO
DIFERENCIAL E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS,
ENTRE 1999 E 2008.

19
ANO REPROV. (%)
1999/1 27,0
1999/2 28,0
2000/1 31,0
2000/2 34,0
2001/1 23,0
2001/2 35,0
2002/1 25,0
2002/2 43,0
2003/1 20,0
2003/2 19,0
2004/1 29,0
2004/2 46,0
2005/1 36,0
2005/2 23,0
2006/1 59,0
2006/2 27,0
2007/1 60,0
2007/2 57,0
2008/1 59,0
2008/2 34,0

20

Coluna C
REPROV. CDI 1
70.0

60.0

50.0

40.0

30.0

20.0

10.0

0.0
1999/2
2000/1

2001/1
2001/2

2002/2
2003/1

2004/1
2004/2

2005/2

2007/1

2008/2
1999/1

2000/2

2002/1

2003/2

2005/1

2006/1
2006/2

2007/2
2008/1
GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E
INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,
POR SEMESTRE

Dessa forma, vemos que a taxa de reprovação dessa disciplina varia entre 27% e
60%, com uma taxa semestral média de 35,75%.

TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM
DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.

21
ANO REPROV. (%)
REPROV. CALCULO 1
2005/1 29,0
Coluna C

60.0 2005/2 28,0
2006/1 46,0
50.0 2006/2 25,0
2007/1 27,0
40.0 2007/2 43,0
2008/1 31,0
30.0 2008/2 48,0

20.0

10.0

0.0
2005/1

2005/2

2006/1

2006/2

2007/1

2007/2

2008/1

2008/2
GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE,
SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.

Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com taxa média
semestral de 34,6%.
Agora, vamos tomar a taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem

22
TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem

REPROV. CALC. A
70.0 Coluna C

60.0

50.0

40.0

30.0

20.0

10.0

0.0
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências,
de 1999 a 2008.

Aqui vemos a taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa média anual
de 38,3%.
Agora, finalmente, vamos tomar as taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a
2008:

TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.

23

ANO REPROV. (%)
1999 28,0
2000 37,0
2001 20,0
2002 43,0
2003 44,0
2004 38,0
2005 22,0
2006 43,0
2007 25,0
2008 38,0

REPROV. CALC. B
50.0 Coluna C

45.0
40.0
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008

Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com uma taxa
anual média de 33,8%.
Então, agora podemos fazer uma análise das taxas sobre as taxas de reprovações
nas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar.
Então, revisando, se tomarmos a UFSCar, podemos mostrar dados sobre
reprovações nas seguintes disciplinas inicias de Cálculo:

24
Cálculo 1: A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com taxa média de
35,75%.
Cálculo Diferencial e integral 1: A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%,
com taxa média de 34,6%.
Cálculo A: A taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa de 38,3%.
Cálculo B: A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com taxa média de
33,8%.
Antes de entramos nas taxas reprovações, vamos ver algumas observações sobre
o caráter de cada disciplina, observando o objetivo geral de cada uma delas:

CALCULO 1 (4 CRÉDITOS TEÓRICOS):
Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções
reais de uma variável real.
Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculo
diferencial e integral dessas funções.
Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas em
problemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados.
Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão da
ciência.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 (5 CRÉDITOS TEÓRICOS + 1
PRÁTICO):
Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções de
uma variável real.
Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculo
diferencial e integral 1.
Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas em
problemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados.
Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão da
ciência.
Desenvolver a habilidade computacional colocando o aluno em contato com os
laboratórios computacionais reenge/ligs desde o seu ingresso na ufscar.

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A (4 CRÉTIDOS TEÓRICOS):
Familiarizar o aluno com a linguagem matemática básica dos problemas de
continuidade, diferenciação e integração, que são conceitos imprescindíveis no estudo
da física moderna e das ciências em geral.
Apresentar ao aluno as primeiras aplicações do cálculo diferencial e integral nas
ciências físicas e aplicadas.
Utilizar programas computacionais para cálculos algébricos e aproximados,
visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria do cálculo
diferencial de funções reais de uma variável.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B (4 CRÉDITOS TEÓRICOS):
Desenvolver os conceitos e técnicas ligadas ao cálculo integral.
Introduzir o aluno no universo das equações diferenciais ordinárias.
Fornecer ao estudante técnicas para a resolução de equações diferenciais
ordinárias de 1ª e 2ª ordens.
Utilizar programas computacionais para o cálculo algébrico e aproximado,
visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria da integração e
às equações diferenciais ordinárias.
Dessa forma, a média de reprovações nas quatro disciplinas iniciais de Cálculo
oferecidas pela UFSCar, está entre 33,3% e 38,3%, o que é inferior às taxas aqui citadas
da UFC, UFF e USP, mas ainda são consideradas altas.
Dessa forma, podemos tirar a conclusão de que as taxas de reprovações nas
disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar são inferiores às taxas das respectivas
universidades citadas acima, que é o oposto da nossa concepção antes do trabalho, e
também bem como do que é propalado entre os estudantes de nossa universidade.
Assim, observando os objetivos gerais de Calculo 1 e de Cálculo Diferencial e
Integral 1, vemos os objetivos são os mesmos, a menos de no segundo existir um crédito
para aplicações computacionais. Também observamos que o segundo tem um crédito
teórico a mais que o primeiro.
Já Calculo A e B, existem mais conceitos teóricos, e menos aplicados que as
outras disciplinas iniciais de Calculo, além de Cálculo A ser oferecido no segundo
período, após o oferecimento da disciplina de Fundamentos 1, de nível mais elementar.

26
Dessa forma, o grande numero de reprovações em Calculo A pode acontecer
devido à dificuldade em linguagem matemática básica de funções, o que incluem-se
demonstrações, uma deficiência tida como fundamental dos alunos que chegam à
universidade, já que tal estudo raramente é feito no ensino médio, segundo ÁVILA
(1991).
Agora, segue abaixo entrevistas com professores, de onde podemos observar
algumas concepções destes sobre ensino-aprendizagem de Cálculo.

4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO
PROFESSORES
O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professores
possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem como
algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conforme
mostrado no capitulo anterior.
Dessa forma, pretendemos tirar a partir das concepções sobre ensino-
aprendizagem algumas dificuldades dos alunos e possíveis soluções apontadas por esses
professores, para que no próximo capitulo possamos fazer uma análise detalhada de tais
dificuldades, mediante a literatura disponível.
Assim, passamos às transcrições dos principais episódios de tais entrevistas.

(i) PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS ALUNOS DE
CÁLCULO:
PROFESSOR 1: Não aponta.
PROFESSOR 2: Deficiências: conceitual e de conteúdo, tanto algébrica quanto
geométrica.
PROFESSOR 3: Varia de curso para curso, pois cursos mais concorridos têm
poucas deficiências, enquanto os menos concorridos, muitas deficiências.
PROFESSOR 4: A primeira dificuldade está em álgebra.

ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui podemos notar que três professores apontam
que os alunos têm deficiências, mas somente dois as enumera, onde são descritos

27
por dois como de ordem algébrica e por por um deles de ordem geométrica, o
que podemos dizer há um problema na estruturação do pensamento algébrico por
parte desses alunos.

(ii) LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS:
PROFESSOR 1: Dificuldade em ler o livro, em interpretação
PROFESSOR 2: Tem dificuldade de interpretação e de expressão.
PROFESSOR 3: Poucas dificuldades, e não atrapalha.
PROFESSOR 4: Acredito que exista uma componente cultural, pois não sabem
se expressar, e nem conseguir interpretar os textos, pois lêem pouco.

ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui há um consenso sobre dificuldades de
interpretação de texto, onde um professor chega a citar como uma dificuldade de
origem cultural, devido à pouca leitura que os alunos fazem fora das obrigatórias
para a faculdade. Tal dificuldade de interpretação também é citada por BARUFI
(1999), cita (Machado, 1990, p. 10), onde retiramos o seguinte comentário a respeito
da colaboração entre a Matemática e a Língua Materna:
Entre a Matemática e a Língua Materna existe
uma relação de impregnação mútua. Ao
considerarem-se estes dois temas enquanto
componentes curriculares, tal impregnação se
revela através de um paralelismo nas funções que
desempenham, uma complementaridade nas metas
que perseguem, uma imbricação nas questões
básicas relativas ao ensino de ambas. É
necessário reconhecer a essencialidade dessa
impregnação e tê-la como fundamento para a
proposição de ações que visem à superação das
dificuldades com o ensino da Matemática.
Dessa forma, vemos que os alunos, segundo os professores entrevistados,
não percebem a importância e nem a relação entre Língua Materna e Matemática, o

28
que está explicito na falta de leitura extracurricular. Assim, alunos chegam no curso
superior com dificuldades de interpretação de texto, o que se reflete, por exemplo,
no não entendimento de enunciados de exercícios e problemas.

(iii) QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA DE
AULA:
PROFESSOR 1: Não perguntam.
PROFESSOR 2: Menos de 20%.
PROFESSOR 3: Menos de 10%.
PROFESSOR 4: Não perguntam.

ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico enfatizamos a passividade, ou de outra
forma, se os alunos perguntam em sala de aula. As respostas são estarrecedoras, já a
taxa de alunos que participam ativamente da aula é de uma taxa muito baixa. Aqui,
surgiu outro fato, sobre a causa dessa passividade, o que não sabem identificar de
uma forma geral, mas tal fato por ter origem no ensino médio, e na forma que tais
alunos sempre se comportam em sala de aula.

(iv) A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O
APRENDIZADO:
PROFESSOR 1: Influencia.

ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui surge outra unanimidade, onde os professores
declaram que a passividade dos alunos influencia o aprendizado, ao não expressar
aos professores onde pode estar o problema da aula, das dificuldades sentidas ou da
própria metodologia do professor.

(v) QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA
CONTINUAMENTE OU NÃO:

29
PROFESSOR 1: Os alunos não estudam continuamente.

(vi) QUANTO À PROCURA NO ATENDIMENTO:
PROFESSOR 1: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre.

(vii) ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico há unanimidade novamente, quando os
professores identificam que os alunos não estudam continuamente, de uma forma
geral, pois tanto nas monitorias quanto nos atendimentos, há pouca procura durante
todo o período, e se concentrando na véspera da prova tal procura por tirar as
dúvidas na disciplina. Entre os professores há um consenso que se alunos estivessem
estudando continuamente, haveria mais procura dos alunos nos atendimentos, e uma
possível identificação mais fácil por parte dos professores dos pontos de mais
dificuldades por parte dos alunos.

(viii) QUANTO À DIFICULDADE EM LIMITES:
PROFESSOR 1: A dificuldade é no conceito em si, na abstração.
PROFESSOR 2: É um conceito complicado, de depende muito do professor.
PROFESSOR 3: Limites têm dificuldades na definição, e na idéia geométrica.
PROFESSOR 4: Usa o mínimo de linguagem matemática avançada, e
minimiza as dificuldades usando a idéia geométrica.

(ix) QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO:
PROFESSOR 1: Limites.

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ANÁLISE DO TÓPICO: Uma unanimidade que surge aqui é a citação do conceito
de limite como chave nos cursos de Cálculo, ou seja, RESENDE (2003, p. 9), nos
traz seguinte, fazendo a mesma referência:
(…) O conceito de função, introduzido no núcleo
semântico do Cálculo por Euler e Lagrange, vai
constituir, junto com a noção de limite, a urdidura
da nova estrutura do Cálculo.

Dessa forma, podemos dizer que podemos definir derivadas como um
limite, e da mesma uma integral, como o limite das somas de Riemann, ou seja,
colocando limite como um conceito de fato fundamental nos cursos iniciais de
Cálculo.

(x) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS:
PROFESSOR 1: Dificuldade em limites.

ANÁLISE DO TÓPICO: Podemos que derivada é definida como um limite, ou
seja, se aluno teve dificuldades em limites, e não tem esse conceito bem assentado,
vai ter dificuldades em derivadas.

(xi) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS:
PROFESSOR 3: Dificuldade nas técnicas, como de substituição trigonométrica.
PROFESSOR 4: Dificuldades e continuidade e em aplicações.

ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui dois professores relatam que os alunos tem
dificuldades em limites, pois de fato, podemos tomar a integral como o limite das

31
somas de Riemann. Outras dificuldades relatadas são nas técnicas de integração, na
parte algébrica em si.

(xii) QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA:
PROFESSOR 1: Não sabe o que é metodologia.
PROFESSOR 2: Tradicional.
ANÁLISE DO EPISÓDIO: Quando perguntado sobre que tipo de metodologia o
professor usava em sala de aula, encontramos que três deles só usavam a tradicional,
enquanto outro não sabia o que era metodologia.

(xiii) QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTORIA DA
MATEMÁTICA OU MUDUNDAÇA NA METODOLOGIA:
PROFESSOR 1: Não sabe.
PROFESSOR 2: Não perguntado.
PROFESSOR 3: Não resolve.
PROFESSOR 4: Não resolve. Historia da Matemática só serve para motivação.

ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui tratamos de indagar se o uso de história da
matemática enquanto metodologia ajudaria alguma coisa no aprendizado dos alunos.
O resultado é que um deles não sabe se ajuda ou não, enquanto outros dois afirmam
que não resolvem, pois na visão deles, a história só serviria como motivação aos
alunos. Aqui destacamos que estes professores têm uma formação técnica em
matemática pura, e na sua maneira de ver o ensino, apenas reproduziriam o que teria
visto em suas vidas acadêmicas.

(xiv) O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES:
PROFESSOR 1:
O que diminuiria o numero de reprovações, é se talvez você desse mais tempo. A
pergunta é para que você quer isso? Aprendizado? Ótimo, não deu nesse semestre,
tente de novo. A comparação que eu faço é que se a gente pedisse para a mesmo

32
numero de alunos que faz calculo fosse aprender musica, talvez você teria índices de
reprovações mais altos.

PROFESSOR 2: O aluno tem que ter consciência do que ele ta fazendo aqui.
Depois, a herança cultural que trouxe. Tem que ter boa vontade, motivação, de
natureza interna. De 40 a 45 anos de magistério, vejo que o aluno tem que ter
disposição em aprender.

PROFESSOR 3: Precisa conscientizar os alunos a estudar e de maneira certa.
Estuda errado.

PROFESSOR 4: Qual o índice de reprovações no ITA? Não sei, mas deve ser
baixo. Acredito que lá devo ser próximo de zero. Eles tem vestibular forte, e entra
quem tem capacidade e competência. Aqui talvez não fazemos isso, os alunos não
têm base, o vestibular é fraco.

ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui foi abordado o tema reprovações, o que poderia
ser feito para diminuí-las. O professor 1 diz que poderia dar mais tempo para o
aluno fazer cálculo, e de certa forma, reprovações aqui não inevitáveis. O professor
2 vem dizer que o problema está no aluno, na falta de motivação e de consciência do
que ele está fazendo na universidade, e que tem haver muito com a herança cultural
de cada aluno. Já o professor 3 vem dizer que o problema está no aluno, e ele não
sabe estudar. Finalmente o professor diz que o problema está na base do aluno, e
que o vestibular é fraco e que não os seleciona direito.

5. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A
PARTIR DA TEORIA
O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literatura
especializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre tais
dificuldades.

33
Retomando o capitulo anterior, onde dissemos que, de acordo com RESENDE
(2003), um dos grandes desafios no ensino superior de matemática ainda é, sem dúvida,
o tão propalado “fracasso no ensino de Cálculo”.
Dessa forma, continua a nos falar RESENDE (2003), que tal problema do
fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela condição sócio-
econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do ensino de Cálculo
nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos sobre esse tema
têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da literatura especializada
internacional. DAVID TALL (1976), por exemplo, continua RESENDE (2003), tem
sido um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemático
avançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades encontradas nas
aprendizagens dos conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como
pano de fundo para as suas análises epistemológicas.
Dessa forma, podemos apresentar algumas questões, levantadas por RESENDE
(2003, p. 4), tais como:
a) Qual é a razão de tantas reprovações?
b) Onde reside a dificuldade?
c) No processo de aprendizagem?
d) No aluno, isto é, na “falta de base” do aluno?
e) Ou estaria esta dificuldade no próprio professor, ou na metodologia de ensino,
ou ainda, na estrutura curricular do ensino de matemática que não dá o suporte que
esta disciplina mereceria?

São muitas as respostas e encaminhamentos por pesquisadores da área, ou seja,
de acordo com RESENDE (2003), uns preferem justificar o problema no âmbito da
psicologia cognitiva, pois acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é,
os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas que
permitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo; já para outros o problema
é de natureza mais simples, ou seja, as dificuldades de aprendizagem são decorrentes do
processo didático, isto é, a solução reside em se encontrar uma forma apropriada para se
ensinar a disciplina de Cálculo.

34
Dessa forma, tentaremos resumir as algumas dificuldades no aprendizado dos
tópicos apresentados nas disciplinas iniciais de Cálculo.

5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES
De acordo com OLIMPIO JUNIOR (2006), entre os conceitos matemáticos
referidos às funções é, seguramente, o único apresentado e discutido na maioria absoluta
dos cenários de Ensino Médio brasileiro.
Dessa forma, ao longo do desenvolvimento histórico do conceito de função,
foram surgindo algumas dificuldades, e sendo superadas, na medida do possível.
Então, podemos começar pelo conceito de variável independente, que segundo
COTRET (1986/7), citado em OLIVEIRA (1997), é importante saber que tal noção
aparece no conceito de função a partir do conjunto de estudos qualitativos e
quantitativos do movimento, e isto, por intermédio das representações gráficas, pois até
fim da idade média, não se considerava que certos valores se integravam dentro do
conceito de grandeza variável. Tal separação era devida aos obstáculos das proporções,
da homogeneidade e da incomensurabilidade. Vejamos então estes obstáculos
epistemológicos:

• Proporção
OLIVEIRA (1997) vem nos dizer que entre os gregos, e até a Idade Média, as
relações entre grandezas ou entre quantidades eram expressas por meio de proporções,
pois deste fato devem-se sempre considerar 4 elementos aleatórios. Continua
OLIVEIRA (1997), que esta forma de proceder dissimulava a relação de funcionalidade
que podia existir entre as 2 variáveis em jogo, ou seja, por exemplo, para exprimir a
relação que existe entre a área e o diâmetro de um círculo, procedia-se assim: A1/ A2 =
(d1)2 / (d2)2. Dessa forma, este elemento de funcionalidade não podia ser expresso
pela proporção.

• Homogeneidade
Segundo OLIVEIRA (1997), o princípio de homogeneidade estipulava que só se
poderia comparar elementos da mesma natureza, as áreas ou os segmentos ou ainda os
volumes.

35
Pode-se dizer, segundo OLIVEIRA (1997), que a homogeneidade reforçou a
utilização das proporções, isto é, por exemplo do obstáculo da homogeneidade, pode-se
sublinhar o fato que antes da extinção deste obstáculo, era impossível dar-se uma
definição métrica da velocidade, quer dizer, não se podia definir a velocidade como uma
função da distância e do tempo, isto é, v = d/t, pois estes elementos são de naturezas
diferentes, ou seja, utilizava-se então sempre as proporções, por exemplo: v1 / v2 = t1 /
t2.
Assim, concluindo, OLIVEIRA (1997) nos diz que na realidade, o que se perdia
não eram os próprios elementos, mas as relações desses elementos, e essas relações
podiam ser quantitativas, mas também, simplesmente, as relações de grandezas que não
poderiam ser expressas numericamente.

• Incomensurabilidade
Segundo OLIVIVEIRA (1997), não podemos dizer que o conhecimento da
incomensurabilidade seja um obstáculo como tal ao desenvolvimento de função, mas
teve considerável influência sobre a utilização das proporções, pois além de provocar
um retrocesso, ela criou um mal entendido a tudo que toca o infinito. Assim,
OLIVEIRA (1997), nos diz que este problema é de grande importância, pois relaciona
com tudo que tem a ver com os conceitos de variações.

5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES
Segundo VIEIRA (1999), as dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagem
do conceito de limite são há muito conhecidas.
Assim, ao tomarmos ENGLER at al (2007), citamos ARTIGUE (1995) que vem
nos dizer que as dificuldades de acesso ao cálculo são diversificadas e complexas. Por
isso, segundo ENGLER at al (2007), é possível agrupá-las em categorias amplas,
associadas com:
a) A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo;
b) A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de seu
conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino;
c) Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento analítico e
algébrico.

36

Continuamos seguindo ENGLER at all (2007), onde ele se refere aos trabalhos
de CORNU (1991) e SIERPINSKA (1985), onde estes manifestam que a enorme
dificuldade de ensino e aprendizagem do conceito de limite se deve a sua complexidade,
tanto nos aspectos cognitivos implicados, não se podem gerar a partir da definição
matemática.
Já ARTIGUE (1998), vêm nos dizer que as investigações didáticas a respeito das
dificuldades persistentes na aprendizagem de limites têm diversas origens, e formam
uma rede complexa. Dessa forma, continua ARTIGUE (1998), foram agrupadas tais
dificuldades em categorias, dependentes umas das outras, que são as seguintes:
• As dificuldades ligadas a complexitude matemática dos objetos básicos
do campo conceitual: números reais, funções e sucessões.
ARTIGUE (1998), nos diz que em relação aos números reais, diversos estudos
mostram que os alunos não se apropriam de tais conceitos de forma adequada para a
aprendizagem da análise, conforme ROBINET (1986).
Seguindo ARTIGUE (1998), os estudantes têm a concepção de número real
através de calculadora principalmente, e quando chega ao cálculo, os números reais são
tratados como objetos algébricos.
Já quanto à dificuldade no conceito de função, já foi tratado acima.
• As dificuldades ligadas a conceitualização da noção de limite, que é a
noção central do seu domínio técnico.

ARTIGUE (1998) nos diz que muitas das dificuldades estão associadas à
conceitualização da noção de limite, ou seja, aqui é necessário mencionar a noção de
obstáculo epistemiológico introduzido por Bachelard. Para ele, segundo ARTIGUE
(1998), o conhecimento científico não se desenvolve num processo continuo, uma vez
que resulta das formas prévias do conhecimento que se constituem em obstáculos
epistemiológicos. Aqui também temos a hipótese de que tais obstáculos se encontram
no desenvolvimento histórico do conceito e na aprendizagem atual, a pesar das
diferenças cognitivas e culturais evidentes, como se fossem constituídos da gênese do
conceito, isto é, ampliando a utilização da análise histórica.
Então de acordo com ARTIGUE (1998, p. 4), temos:

37
Podemos falar aqui dos obstáculos que se
encontram também no desenvolvimento histórico
do conceito, a pesar das diferentes concepções
cognitivas e culturais envolvidas.
Também podemos mencionar que o conceito de
limite como o de função tem duas dimensões: uma
de processo e uma de objeto, a possibilidade de
manejar com eficácia estas duas dimensões requer
processos cognitivos.
Por fim, outra categoria importante de dificuldade
vem das características da definição formal do
conceito de limite: sua complexidade lógica e a
necessidade de inverter a direção do processo que
vai da variável x ao valor da função f(x). Assim,
aliada a estas características formais, temos um
ponto essencial. Porém, além destas
características formais, há um ponto essencial:
entre uma concepção intuitiva dos limites e uma
concepção formal, há um salto qualitativo
fundamental, também atestado pela história do
conceito.
Assim, podemos dizer que o conceito formal de
limite é um conceito rompe com as concepções
prévias de tal noção.

• As dificuldades ligadas à uma necessária ruptura com os modos de
pensamento do funcionamento algébrico.
Segundo ARTIGUE (1998), as atividades de Cálculo se apóiam em
competências algébricas, e ao mesmo tempo no chamado pensamento analítico, onde é
necessária certa distância em relação ao pensamento algébrico. Assim, segue ARTIGUE
(1998), a ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico se organiza em várias
dimensões, onde as principais são as seguintes:

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• É necessário enriquecer sua visão da noção de igualdade e desenvolver
novos métodos para provar as igualdades, isto é, podemos notar que uma reconstrução
similar da noção de igualdade foi posta em evidencia pela investigação didática, na
transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico.
Dessa forma, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento da
dificuldade técnica do trabalho matemático, nos ajudam a compreender melhor a
distância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,
ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,
de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como um
instrumento operativo na resolução de problemas.
Assim, podemos mencionar outra dimensão da ruptura Álgebra/ Cálculo. A
entrada no mundo do cálculo obriga também aos estudantes a reconstruir objetos
matemáticos.

5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS
Segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), ARTIGUE (1995), nos diz
que podemos ensinar os alunos a realizar de maneira mais ou menos mecânica alguns
alunos de cálculo a resolver alguns problemas, mas teremos dificuldades para que tais
jovens atinjam uma compreensão satisfatória dos conceitos e métodos de pensamento
do centro da análise matemática, ou seja, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) vem
dizer que no fundo a raiz da questão é que alunos não constroem um significado
adequado do conceito de derivada, pois esta construção parcial do significado nos
cursos iniciais podem gerar dificuldades no seu desempenho futuro.
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) continuam dizendo que as perspectivas
teóricas das investigações nos permitem compreender melhor como dar significado à
maneira que os alunos resolvem os problemas, indicando as características de
aprendizagem.
Dessa forma, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 269), nos diz o
seguinte:
Entre as diversas perspectivas teóricas que tem adotado os investigadores, se
encontram as aproximações centradas nos elementos de cognição, como:

39
- Esquema conceitual (Azcárate, 1990), derivada
da idéia de imagem do conceito (Tall, 1989).
- Idéias procedentes de uma aproximação
piagetiana do conhecimento e seu
desenvolvimento, da teoria APOE (Asiala, Cottrill,
Dubinsky, & Schwingendorf, 1997) e do
desenvolvimento dos esquemas (Clark et al., 1997)
e Baker et al., 2000);
- Idéias precedentes do papel das representações e
atividades com o desenvolvimento dos significados
(Font, 2000a; 2000b; Habre & Abboud, 2006);
- A teoria da reificação, que centra-se nos vínculos
processo-objeto (Zandieh, 2000).

No entanto, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), durante os
últimos anos se desenvolveu uma linha de investigação no México que se ocupa da
aproximação da teoria conhecida como sócio-epistemiológica, a qual estuda os
fenômenos de produção e difusão do conhecimento através de uma perspectiva múltipla,
de acordo com Cantoral & Farfán (2003).
Assim, com base em tais pressupostos, foi organizada a informação atendendo
aos seguintes aspectos:
Erros e dificuldades da compreensão da derivada, ou seja, a noção de taxa de variação –
relação entre taxa e razão de uma mudança progressiva.
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos diz que podemos em resumo dizer
que a sócio-epistemiologia considera o conceito de derivada como um complexo de
práticas de natureza social que lhe dão sentido e significado. Além, os trabalhos nesta
linha de investigação abandonam a abordagem para a derivada “a partir da definição de
limite do quociente incremental e da explicação da secante que lhe é tangente”, pois
defendem a idéia de que até não se vê a noção de derivada como uma organização das
variações sucessivas não será compreendida.
Os sistemas de representação como ferramentas para pensar sobre as derivadas.

40
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos mostra que a descrição sobre os
erros e dificuldades que os estudantes têm com respeito às derivadas foi o objetivo das
primeiras investigações realizadas sobre este tema, ou seja, ORTON (1983), segundo
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), identificou três tipos de erros que cometiam
os alunos nos exercícios de diferenciação e suas aplicações:
Estruturais, relacionados com os conceitos implicados.
Arbitrários, quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar em conta os dados
do problema.
Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos.

De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), se consideramos que a
derivada em um ponto nos indica a velocidade de mudança, a compreensão de tal idéia
se apóia no saber prévio da razão entre o incremento de x em relação a y.
Dessa forma, em resumo, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007):
Orton indica que as dificuldades com a idéia de razão de mudança e sua
vinculação ao tipo de função linear ou quadrática podiam ter sua origem na difícil
compreensão sobre o conceito de função. As informações destas investigações
destacam-se pela importância da razão de mudança e do quociente incremental na
compreensão da derivada, entendida como uma qualificação da mudança.
O local e o global, ou seja, a relação entre a derivada de um ponto f ′(a) e a função
derivada f ′(x).
Outro aspecto importante na compreensão da derivada, segundo SÁNCHEZ-
MATAMOROS at al (2007), é a relação entre o aspecto local e o global num ponto
dado f ′(a) e a idéia de função derivada f ′(x), que permite passar de uma perspectiva
pontual a uma global. Dessa forma, os estudos de BADILLO (2003), segundo
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), diz que a existência de diferentes significados
da idéia de derivada num ponto e da função derivada, isto é, a compressão gráfica de f
(x), f '(a) y f '(x) mostra ser difícil, já que se identificaram algumas inconsistências como
as seguintes:
A confusão entre a derivada num ponto x = a, f ′(a) e a função derivada, f ′(x).
A redução da expressão simbólica de f ′(x) à equação da reta tangente, e gráfica de
f ′(x) à da reta tangente.

41
A falta de justificativas sobre o uso das técnicas de derivação direta e indireta.

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 284) nos diz que:
A complexidade do conceito de derivada leva a
investigado a reparar na compreensão do esquema
de derivada em relação ao local (derivada num
ponto) e o global (função derivada). Dessa forma,
tal vínculo não tem sido amplamente estudado
nestes momentos, levanta questões sobre a forma
como as diferentes abordagens que podem ser
enfatizadas na educação pode determinar a
compreensão dessas relações, bem como o papel
dos diferentes modos de representação para
promover a compreensão da relação entre local e
global no desenvolvimento de uma compreensão
do esquema derivados.

A aplicação do conceito de derivada: o desenvolvimento da compreensão de
regra da cadeia.
De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), os livros de cálculo
introduzem o conceito de derivada, como o capítulo cinco de Análise Matemática do
Apostol, começando com a definição de derivada, segue com as relações entre
continuidade e derivada, e termina com a álgebra de derivada e uma aplicação
importante deste conceito:
Assim, de acordo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 289), temos:
A regra da cadeia: algumas investigações, como
de CLARK et al (1997), centraram-se nas
aplicações de derivada, com fundamentação do
marco teórico. Assim, tais investigações levaram a
cabo a decomposição genética inicial do conceito
da regra da cadeia, a qual consideram como
descrição de uma trajetória hipotética de

42
aprendizagem pela qual pode-se transitar um
estudante na aprendizagem do conceito.
A compreensão da derivada associada à sua
utilização em diversas aplicações, incluindo a
regra da cadeia.

Dessa forma, conclui SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), dizendo que, como
se pode inferir a partir de trabalhos de Clark e sua equipe, a construção que um
estudante faz destas aplicações podem seguir algumas orientações. A decomposição
genética
oferece uma contribuição, que é necessário para cumprir as decisões instrucionais
tomadas pelos professores.

5.5 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS
De acordo com LLORENS & SANTONJA (1997), entre os professores de
Cálculo é quase consenso que os problemas de aprendizagem do conceito de integral é
facilmente detectável. Dessa forma, de acordo com LLORENS & SANTONJA (1997),
os estudos de MUNDY (1984), ORTON (1983) e TURÉGANO (1993) nos trazem um
resumo destas deficiências, como segue:
a) Geralmente os estudantes identificam integral com primitiva. Para estes
estudantes, a integral não comporta nenhum processo de convergência ou tão pouco
nenhum processo geométrico, e sim é um algo puramente algébrico, mais ou menos
complicado, a tal ponto que podem conhecem vários processos de integração, saber
aplicá-los, e ao mesmo tempo não ser capaz de aplicá-los ao calculo de uma área ou
ignorar o que são as somas de Riemann.

b) As integrais “definidas” se identificam com a regra de Barrow, incluindo
quando esta regra pode aplicar-se. É dizer que o símbolo:

43
representa somente o cálculo de primitivas, a aplicação da regra de Barrow. Como
exemplo, podemos citar o comportamento relatado por MUNDY (1984), tanto como
por LLORENS & SANTONJA (1997). Foi feita a seguinte pergunta:
Por que a integral abaixo está errada?

LLORENS & SANTONJA (1997) dizem que somente 23% sabiam que a
integração estava errada, enquanto MUNDY (1984) fala que pouquíssimos alunos
souberam identificar o erro.
Antes de seguir, podemos dizer que aconteceu exatamente a mesma coisa
quando era entrevistado um professor do DM – UFSCar. Na ocasião, ao ser
perguntado sobre as principais dificuldades dos alunos em integrais, ele resolveu
exemplificar, pedindo para um orientando dele, e já formado em bacharelado em
matemática pela mesma universidade, fazer a tal integral acima. O aluno caiu no
mesmo erro, e disse que tal erro era muito comum. Também afirmou que alunos da
USP, formados caem no mesmo erro. Dessa forma, podemos dizer, por uma análise
superficial, que tal dificuldade ocorre tanto nas universidades americanas, nas
universidades espanholas, quanto na UFSCar, como na USP, parecendo ser um
problema generalizado dos estudantes de cálculo e todo o mundo.
Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997, p. 63) afirmam:
Observamos que esse tipo de resposta não se
explica somente porque esses estudantes não
conhecem a regra de Barrow, e aparece como
representativas de uma desconexão mais profunda
entre o conceito de integral e sua particular
imagem desse conceito. Outros dados permitem
afirmar que, de modo mais enfático, que nem se
quer quando se diz expressamente “integral
definida”, não evoca no estudante nenhuma
relação desse conceito com o problema da
convergência, já conhecidos previamente por ele

44
no tema de sucessões, derivadas, continuidade,
etc., quando está estudando integrais. Assim, é
fácil comprovar que quando os estudantes estão
estudando integrais impróprias, a maioria dos
estudantes se parece muito surpreendente que uma
integral pode ser divergente. Não há integração
entre o conceito de área com o de integral.

De acordo com LORENS & SANTONJA (1997), os estudantes tem ouvido que
existe uma relação entre as integrais (definidas) e a área, mas não se verifica uma
união entre ambas, de modo que persiste uma interpretação puramente algébrica da
integral. Dessa forma, continua LLORENS & SANTONJA (1997), as respostas
equivocadas dos exemplos anteriores indicam não somente que a função é
descontínua em x = 0, mas também que claramente não tem uma imagem visual do
problema: nem da função (sempre positiva) nem da própria integral entendida como
área. Dessa forma, segue LLORENS & SANTONJA (1997), é muito freqüente que
essa interpretação da integral como área somente se utiliza quando expressamente se
pedem exercícios que tipicamente dão o enunciado “Calcular a área fechada do
gráfico de … “, porém quase nunca espontaneamente.
Ainda por LLORENS & SANTONJA (1997), essa falta de integração se
manifesta em sentido contrário também, ou seja, LLORENS & SANTONJA (1997)
proporão um exercício para se obter o valor da área sombreada em cada um das
figuras abaixo:

FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.

45
Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997), a maioria das respostas iniciais

foram e , respectivamente. No primeiro caso, pela dificuldade
que significa a presença do módulo, muito frenquêntemente podemos encontrar
solução incompletas ou absurdas, coerente com o trabalho de MUNDY (1984), no
qual menos de 95% dos estudantes contestaram incorretamente a pergunta:

de modo que nos reafirmamos no diagnóstico assinalado, já que o aluno está
preferindo o contexto algébrico-formal ao visual-geométrico, porque não tem
integrado. Também, ao mesmo tempo, LLORENS & SANTONJA (1997) concluem
que estes estudantes consideram trivial pedir para calcular a área de um quadrado
cujo lado mede 1 metro ou de um triângulo retângulo como os que aparecem nos
gráficos anteriores.

6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os
conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais.

De acordo com ÁVILA (1985, p. 14),
Muita gente tem a impressão de que matemática é
estática; de que os conceitos, uma vez formulados,
se cristalizam como coisas completas e acabadas,
que permanecem imutáveis; de que os resultados,
uma vez obtidos, se somam uns aos outros na
acumulação de um corpo de conhecimento que não
tem outra dinâmica interna que a do crescimento
de unidades novas.

46
Dessa forma, os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral exemplificam bem
isto, relacionados à: funções, limites, derivadas e integrais, ou seja, através de nexos
conceituais relacionais aos conceitos de Cálculo, como a fluência, a interdependência e
o movimento, mostram a Matemática com não estática.
Assim, ao passarmos por 4.000 anos de evolução da história de destes conceitos,
vemos claramente a constante mudança e transformação da Matemática como um todo,
bem como dos conceitos de Cálculo, ou seja, desta forma da Babilônia, em 2.000 a.C.
até ao final do século XX, num constante mudar e transformação destes conceitos, ao
logo da história.
Dessa foram, podemos começar nosso trabalho fazendo uma pergunta que foi
feita pelos professores WAGNER e CARNEIRO (2004), na RPM Nº 60, que os alunos
a fazem constantemente, que foi:
• Vale a pena estudar Cálculo?

A resposta parece fácil, mas não é bem assim, pois de acordo com ÁVILA
(2006), desde que se comece com uma apresentação bem simples e modesta do que seja
derivada, pode-se mostrar como isso ocorre num contexto do estudo de funções.
Ainda, de acordo com ÁVILA (2006), é importante que esses conceitos de
funções, limites e derivadas, bem como o de integral, sejam integrados, e não separados
em blocos estanques.
Dessa forma, nosso primeiro passo é mostrar o desenvolvimento histórico dos
conceitos de função, limite, derivada e integral.
Assim, com esta seqüência de tópicos, podemos começar levantando a gênese do
desenvolvimento histórico dos conceitos de funções, limites, derivadas e integrais, para
que posteriormente possamos identificar os nexos conceituais respectivos.
Assim, passemos a tal levantamento histórico.

6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES

De acordo com AVILA (1985), os matemáticos só chegaram ao conceito de
função tal como conhecermos hoje, depois de um período de evolução do Cálculo, por
mais de cento e cinqüenta anos.

47
Porém, antes de chegarmos a este período, vamos ver que para
YOUSCHKEVITCHI (1981), citado por OLIVEIRA (1997), existem três etapas
principais do desenvolvimento de funções, a saber:
• Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de
dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de
quantidades variáveis e de funções.

• Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira
precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a
qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas
quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de
preferência fórmula.

• Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o
século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a
classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de
séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.

6.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE
Segundo OLIVEIRA (1997), a antiguidade foi a época da concepção de função,
pois a idéia de funcionalidade de uma certa maneira, segundo SÁ at all (2003), não é
recente na mente humana. Por exemplo, quando o homem levado pela necessidade,
passou a associar uma pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho,
poderíamos encarar essa relação de dependência entre as pedras e os animais como uma
relação funcional.
Levando em consideração esse raciocínio, podemos citar os babilônicos que
construíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um número
na segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por uma
constante, segundo SÁ at all (2003). Já OLIVEIRA (1997), ressalta que os Babilônios,
em 2.000 a. C., fizeram tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadráticas, de
cubos e raízes cúbicas, e outras, revelando o “instinto funcional”.

48
É importante destacar que, para os Babilônios, cada problema exigia uma nova
análise, pois eles não desenvolveram procedimentos ou regras gerais para resolverem
problemas semelhantes (SÁ at all, 2003).
Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram também tabelas, na
maioria das vezes em papiros, que segundo BOYER (1974) apresentavam o resultado
de investigações empíricas, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram o
resultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados.
Dentre os gregos, poderíamos citar a contribuição de Ptolomeu. Em sua obra
Almagesto, desenvolveu idéias funcionais.
Segundo MENDES (1994, p.12), AABOE (1984, p.20) cita que ele trabalhou na
área da astronomia, e que, desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas a
trigonometria. Ele utilizou tabelas envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x,
mas sem fazer referência a palavra função. E ainda entre as idéias funcionais gregas
temos os symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse a
uma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons.
Já OLIVEIRA (1997) fala que entre os Pitagóricos aparece a idéia de função no
estudo da interdependência quantitativa diferentes em quantidades físicas, como por
exemplo, o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie,
pinçadas com tensões iguais, o que revelou uma interdependência inesperada entre
número, espaço e harmonia.
Assim, apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependências
funcionais, “não havia nenhuma idéia geral de funcionalidade na Antiguidade”,
YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 13), o que mostra que o pensamento matemático na
Antiguidade não criou nenhuma noção geral nem de quantidade variável nem de função.

6.2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA
Segundo OLIVEIRA (1997), a primeira vez que a noção de função aparece
numa forma “mais genérica” é no século XII, nas escolas de filosofia natural em Oxford
e Paris, onde cada problema era tratado de maneira isolada.
Foi nesta época, a Idade Média, que o Bispo parisiense de Lisieux Nicole
Oresme (1323 – 1382), que segundo BOYER (1974), em um trabalho intitulado de
Tractatus de Latitudinibus Formarum, feito por um discípulo ou até por ele mesmo,

49
seria o resumo de uma obra maior do próprio Oresme, Tractatus de Potentiarum et os
problemas utilizando métodos mais gerais.
Um dos objetivos visados por Oresme, segundo OLIVEIRA (1997), com seu
método era permitir às pessoas a compreensão mais rápida e fácil da natureza das
mudanças, onde suas representações se mostram à frente, em direção ao conceito de
função ou variável dependente.
Dessa forma, não podemos dizer que ele utilizasse de funções, pois ele não se
interessava pela forma na qual uma qualidade varia por razão do objeto que está
dependendo. Assim, suas representações eram imaginárias e qualitativas. (OLIVEIRA,
1997).

6.2.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA
Segundo SÁ et all (2003), é com Galileu Galilei (1564-1642) que surge o
interesse em debater quantitativamente os axiomas, mensuráveis e que, portanto
poderiam ser relacionados por fórmulas. MENDES (1994) cita que o principal interesse
de Galileu era entender como os fenômenos ocorriam, com o intuito de descrever as
mudanças da natureza. Segundo KLINE (1972), citado por MENDES (1994), foi o
estudo do movimento que originou o
conceito de uma função ou de uma relação entre
variáveis. Porém Galileu não formalizou
explicitamente a palavra função.

É com o estudo de Galileu sobre movimento, e conseqüentemente a velocidade,
a aceleração e a distância percorrida.
OLIVEIRA (1997) ressalta que sua insistência em querer estudar os movimentos
da forma quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução da
noção de função, ao lidar de forma funcional com as causas e efeitos, trazendo a
necessidade essencial da concepção de variável dependente.
No século XVI ainda não havia surgido à idéia de estudar a equação geral de
uma classe inteira de equações, o que só surgiu com Viète.
Segundo YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 23), citado por OLIVEIRA (1997),

50
A importância desta notação que, pela primeira
vez, tomou possível a colocação por escrito sob
uma forma simbólica das equações algébricas e de
expressões contendo quantidades desconhecidas e
coeficientes arbitrários (um trabalho que também
nascem com Viète) poderia ser subestimada.
Entretanto, o criado da nova Álgebra não utiliza
sua notável descoberta para “fazer avançar” o
conceito de função: pensar em termos de função
não foi característica de seu espírita.

René Descartes (1596-1650), e Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado em
Toulouse, desenvolveram separadamente as bases teóricas da geometria analítica.
Fermat, citado por OLIVEIRA (1997), diz que “tão logo duas quantidades
desconhecidas aparecem em uma igualdade, há u lugar geométrico e o ponto terminal
de uma das duas quantidades descreve uma reta ou curva”.
BAUMGART (1992, p. 83), citado por SÁ at all (2003), afirma que Descartes
chegou a definir função como qualquer potência de x, como x², x³, ...
De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18),
Aparece em “La Geométrie” a noção de função de
forma mais detalhada, e completamente clara,
sustentada pela idéia de que a equação em x e u é
um meio de introduzir uma dependência entre
quantidades variáveis de modo a permitir o
cálculo dos valores de uma delas correspondendo
aos valores dados da outra. Tal método de
representação foi estendido a outros ramos da
matemática, em especial ao cálculo infinitesimal.

Vem o século XVIII e com ele destacam-se Isaac Newton (1642-1727) e
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

51
Newton, segundo SÁ at all (2003), direcionou suas pesquisas dentro da Física,
especificamente no campo da Mecânica, e como frutos para a matemática desenvolveu
os métodos infinitesimais. Assim, KLEINE (1989, p.289), citado por MENDES (1994,
p. 26), acredita que a maior contribuição de Newton dentro do conceito de função foram
suas descobertas a respeito de séries de potências, e é ele quem introduz o termo
“variável independente”.
Já foi Leibniz quem introduz a palavra “função”, que apareceu no trabalho
intitulado “Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus”, no qual ganha o
seguinte sentido: o de um termo geral para diferentes segmentos ligados a uma curva
dada. Já, segundo OLIVEIRA (1997), o conceito de função aparece num sentido mais
amplo na geometria diferencial em artigos publicado em 1692 e 1694 onde ele chama de
segmentos de retas obtidas por construção de retas correspondendo a um ponto fixo e a
pontos de uma curva dada.
Já a primeira definição explicita como expressão analítica aparece com Jean
Bernoulli (1694 – 1698). De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos:
“Chamamos função de uma grandeza variável
uma quantidade composta de qualquer maneira
que seja desta grandeza variável e constante.”

Segundo OLIVEIRA (1997), na sua definição, Bernoulli não dá indicação sobre
o modo de construir função a partir da variável independente.
Leonhard Euler (1707-1783) nascido em Bâle na Suiça, foi aluno de Jean
Bernoulli, foi figura essencial no desenvolvimento do conceito de função, onde segundo
o qual uma função não necessitava unicamente de uma expressão analítica e ele também
introduziu o símbolo f(x). Segundo SÁ at all (2003), no segundo volume de
Introduction in Analysin Infinitorum, Euler diferenciou as funções contínuas e
descontínuas, levando em consideração a lei de formação de cada função. Aquelas que
fossem definidas por apenas uma expressão analítica seria classificada como contínua e
caso essa lei mudasse em qualquer intervalo do domínio automaticamente se
classificaria como descontínua ou mista.
É no século XVIII, segundo SÁ at all (2003), que o Problema da Corda Vibrante
mexe com o raciocínio dos matemáticos da época e que vai influenciar na reformulação

52
do conceito de função. O questionamento seria determinar a função que iria reger o
formato de uma corda elástica, com os pontos iniciais e final fixos, num determinado
tempo t.

GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA.

Foi D’Alembert (1717-1783) que publicou um trabalho sobre as cordas
vibrantes, onde resolveu a uma equação diferencial e a chamou de equação da onda em
que y representaria o deslocamento transversal do ponto x da corda no tempo t. Vale
lembrar que Daniel Bernoulli também publica um trabalho sobre o tema.
Foi oferecido em 1787, que um prêmio foi oferecido pela Academia de São
Petesburgo, para quem melhor explicasse como eram as funções arbitrárias que
poderiam ser obtidas nas soluções de equações diferenciais parciais. O ganhador foi
Louis Arbogast (1759-1803), que segundo MENDES (1994, p. 36) citando EDWARDS
(1979, p. 303), argumentou que tais funções não poderiam ser contínuas, mas para isso
ele conceituou continuidade:
A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de um
estado para o outro sem passar através de todos os estágios intermediários que são
sujeitos à mesma lei. Esta continuidade pode ser destruída de duas formas: A função
pode mudar sua forma, quer dizer, a lei pela qual a função depende das variáveis pode
mudar repentinamente. Uma curva formada pela reunião de muitas porções de curvas
diferentes é deste tipo...

Não é nem necessário que a função y seja expressa por uma equação para um
certo intervalo da variável; ela pode mudar continuamente sua forma, e alinha que a
representa, ao invés de ser uma reunião de curvas regulares, pode ser tal que em cada
um destes pontos ela se torne uma curva diferente; quer dizer ela pode ser inteiramente
irregular e não seguir qualquer lei para qualquer intervalo mesmo pequeno.

53
De acordo com SÁ at all (2003), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768- 1830),
secretário do Instituto do Egito, destaca-se na virada do século XVIII para o século
XIX, com seus estudos sobre a propagação do calor. Em 1822 publica La Théorie
Analytique de la Chaleur onde afirmou que qualquer função poderia ser expressa por
uma série trigonométrica.

ÁVILA (1985, p. 20) afirma que apesar de Daniel Bernoulli em 1753 já tivesse
discutido tal questão de maneira mais restrita, foi com Fourier que ela se tornou
realmente presente no mundo matemático.
Perto do fim do século XVIII, ainda de acordo com SÁ at all (2003), quando
muitos absurdos e contradições tinham surgido na matemática, sentiu-se que era
essencial examinar as bases da análise para dar-lhes uma fundamentação, foi uma
reação ao emprego descontrolado da intuição e do formalismo do século anterior.
Assim, a própria idéia de função teve que ser esclarecida e noções como a de limite,
continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramente
definidas.
Bolzano (1781-1848), segundo BOYER (1974), foi considerado pioneiro nessa
formalização, pois em 1817, publica Functionlehre onde conceitua continuidade muito
próxima do conceito atual. Ele também demonstrou o teorema do valor médio, hoje
muito utilizado em cursos regulares de cálculos, mas que segundo LEITÃO (2009) no
seu contexto original, este resultado não se referia apenas ao movimento local, isto é, a
grandeza que se encontra a variar, não era necessariamente a velocidade.

FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.

54
Segundo MENDES (1994), já no século XIX iniciou-se um processo de
fundamentação rigorosa da Análise, que foi conhecido como Aritmetização da Análise.
Neste período, se inspiraram nos trabalhos de Euler os matemáticos: Condorcet (1778),
Cauchy (1789) Lacroix (1797), Fourier (1821) e Lobatchevsky (1837).
Já em meados do século XIX, segundo OLIVEIRA (1997) e SÁ at all (2003), as
funções já não precisavam ter a forma “bem comportada” com que os matemáticos
estavam acostumados. De acordo com BOYER (1974), em 1837, Dirichlet sugeriu uma
definição muito ampla de função:
“Se uma variável y está relacionada com uma variável x
de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a
x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y
fica determinado, então diz-se que y é uma função da
variável independente x.”
Ou seja, temos:

Com a ≠ b, a e b constantes.
Segundo OLIVEIRA (1997), a definição geral de função dada nos cursos de
análise matemática no fim do século XIX e no começo do século XX era a de Hankel,
que diz ter se baseado em Dirichlet, é a seguinte, de acordo com YOUSCHKEVITCHI
(1981, p. 61):
Diz-se que y é uma função de x se a cada valor de x de um
certo intervalo, corresponde um valor bem definido de y
sem que isto exija, entretanto que y seja bem definido
sobre todo intervalo pela mesma lei em função de x, nem
mesmo que y seja definido por uma expressão matemática
explicita de x.”

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