1. Bab 24Bab 24
PROGRAM LINIERPROGRAM LINIER

2. PROGRAM LINIERPROGRAM LINIER
► Secara Umum :Secara Umum :
Program linier merupakan salah satu teknik penyelesaian risetProgram linier merupakan salah satu teknik penyelesaian riset
operasi dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-operasi dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-
masalah optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapimasalah optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapi
hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadihanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi
fungsi linier. Demikian pula kendala-kendala yang ada jugafungsi linier. Demikian pula kendala-kendala yang ada juga
berbentuk linier.berbentuk linier.
► Secara khusus :Secara khusus :
Persoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukanPersoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukan
besarnya masing-masing nilai variabel sedemikian rupa sehinggabesarnya masing-masing nilai variabel sedemikian rupa sehingga
nilainilai fungsi tujuanfungsi tujuan atauatau objektif (objective function)objektif (objective function) yang linieryang linier
menjadi optimum (max atau min) dengan memperhatikan kendalamenjadi optimum (max atau min) dengan memperhatikan kendala
yang adayang ada.. KKendala ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaanendala ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaan
yang linieryang linier (linear inequalities)(linear inequalities)..

3. BENTUK STANDARBENTUK STANDAR
Bentuk standar dari program linier adalah sbb:Bentuk standar dari program linier adalah sbb:
max cmax c11xx11 + c+ c22xx22 + ……. + c+ ……. + cnnxxnn
ssll aa1111xx11 + a+ a1212xx22 + ……. + a+ ……. + a1n1nxxnn ≤ b≤ b11
aa2121xx11 + a+ a2222xx22 + ……. + a+ ……. + a2n2nxxnn ≤ b≤ b22
::
::
::
aam1m1xx11 + a+ am2m2xx22 + …….+ a+ …….+ amnmnxxnn ≤ b≤ bmm
xx11, x, x22, ……………, X, ……………, Xnn ≥ 0≥ 0

4. Program Linier mempunyai 3Program Linier mempunyai 3
metode dalam penyelesaiannya,metode dalam penyelesaiannya,
yaitu :yaitu :
1. Metode Grafik1. Metode Grafik
2. Metode Aljabar2. Metode Aljabar
3. Metode Simpleks3. Metode Simpleks

5. Programan Linear
Metode Grafik

6. LINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE GRAFIKLINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE GRAFIK
ContohContoh ::
Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merekPerusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek II11, dgn, dgn
sol karet, dan mereksol karet, dan merek II22 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1
membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuatmembuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat
bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol.bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol.
Setiap lusin sepatu merekSetiap lusin sepatu merek II11 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2
jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selamajam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama
6 jam. Sedang untuk sepatu merek6 jam. Sedang untuk sepatu merek II22 tidak diproses di mesin 1, tetapitidak diproses di mesin 1, tetapi
pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3
selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam,selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam,
mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadapmesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap
laba setiap lusin sepatu mereklaba setiap lusin sepatu merek II11 = Rp 30.000,00 sedang merek= Rp 30.000,00 sedang merek II22 == RpRp
50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu
merekmerek II11 dan merekdan merek II22 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

7. Bentuk TabelBentuk Tabel
Merek
Mesin
I1
(X1)
I2
(X2)
Kapasitas
Maksimum
1 2 0 8
2 0 3 15
3 6 5 30
Sumbangan laba 30.000 50.000

8. Bentuk MatematisBentuk Matematis
►Maksimumkan Z = 3Maksimumkan Z = 300000000XX11 + 5+ 500000000XX22
►Batasan (constrain)Batasan (constrain)
(1)(1) 2X2X11 ≤≤ 88
(2)(2) 3X3X22 ≤≤ 1515
(3)(3) 6X6X11 + 5X+ 5X22 ≤≤ 3030

9. Fungsi batasan pertama (2 XFungsi batasan pertama (2 X11 ≤≤ 8)8)
X2
X1
2X1 = 8
0 4
Gambar di atas merupakan bagian yangGambar di atas merupakan bagian yang
memenuhi batasan-batasan:memenuhi batasan-batasan:
XX11 ≥≥ 0, X0, X22 ≥≥ 0 dan 2X0 dan 2X11 ≤≤ 88
2X1 ≤ 8 dan
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

10. Fungsi batasan (2 XFungsi batasan (2 X11 ≤≤ 8); 3X8); 3X22 ≤≤ 15;15;
6X6X11 + 5X+ 5X22 ≤≤ 30; X30; X11 ≥≥ 0 dan X0 dan X22 ≥≥ 00
B
C
2X1 = 8
4
6
5
6X1 + 5X2 = 30
D
A
Daerah
feasible
X2
X10
3X2 = 155

11. B
C
2X1 = 8
4
6
5
6X1 + 5X2 = 30
D
A
Daerah
feasible
X2
X10
3X2 = 15
MENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUMMENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUM
1.1. Dengan menggambarkan fungsi tujuanDengan menggambarkan fungsi tujuan

12. MENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUMMENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUM
2.2. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatifDengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif
Z = 3XZ = 3X11 + 5X+ 5X22
B
C
2X1 = 8
4
6
5
6X1 + 5X2 = 30
D
A
Daerah
feasible
X2
X10
3X2 = 15
Titik A:
Pada titik ini nilai
X1 = 4; X2 = 0
Nilai Z = 3(4) + 0 = 12
Titik B:
X1 = 4. Substitusikan batasan
(3), maka 6(4) + 5X2 = 30.
Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5.
Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18
Titik C:
X2 = 5. Substitusikan batasan (3),
maka 6X1 + 5(5) = 30.
Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6.
Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5
Titik D:
Pada titik ini nilai
X2 = 5; X1 = 0
Nilai Z = 3(0) + 5(5) =
25

13. Fungsi batasan bertanda “lebih besar atau sama dengan (Fungsi batasan bertanda “lebih besar atau sama dengan (≥≥))
A
C B
2X2 = 8
4
6
5
6X1 + 5X2 = 30
5
3X2 = 15
Daerah
feasible
X2
0 X1
Contoh :
Batasan ketiga (6X1 + 5X2 ≤
30) diubah ketidaksamaannya
menjadi 6X1 + 5X2 ≥ 30

14. Fungsi batasan bertanda “sama dengan” ( = )Fungsi batasan bertanda “sama dengan” ( = )
X2
X1
2X2 = 8
0 4
2
4
6
3X2 = 15
5
A
C
6X1 + 5X2 = 30
B

15. MMetode Aljabaretode Aljabar

16. Pemecahan persoalan Program LinearPemecahan persoalan Program Linear
dengan metode aljabar ini dibagi 3dengan metode aljabar ini dibagi 3
(tiga) kasus, yaitu :(tiga) kasus, yaitu :
(1). Kasus Maksimisasi.(1). Kasus Maksimisasi.
(2). Kasus Minimisasi.(2). Kasus Minimisasi.
(3). Kasus-kasus Khusus.(3). Kasus-kasus Khusus.

17. (1). Kasus Maksimisasi(1). Kasus Maksimisasi : kasus: kasus
pemecahpemecah
an persoalan PL yang bertujuanan persoalan PL yang bertujuan
mencari seluruh kemungkinan pe-mencari seluruh kemungkinan pe-
mecahan yg memberikan nilaimecahan yg memberikan nilai
objektif maksimum.objektif maksimum.

18. Contoh-1 :Contoh-1 :
1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :
Maksimumkan Z = 8 XMaksimumkan Z = 8 X11 + 6 X+ 6 X22
(Dlm Rp 1.000).(Dlm Rp 1.000).
2. Fungsi Pembatas :2. Fungsi Pembatas :
2.1. P-Bahan : 4 X2.1. P-Bahan : 4 X11 + 2 X+ 2 X11 ≤ 60≤ 60
2.2. Penjahitan : 2 X2.2. Penjahitan : 2 X11 + 4 X+ 4 X22 ≤ 48≤ 48
XX11, X, X22 ≥ 0≥ 0

19. ► Langkah-langkah penyelesaian :Langkah-langkah penyelesaian :
1. Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas1. Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas
menjadi kesamaan dengan menambahmenjadi kesamaan dengan menambah
slack variabel :slack variabel :
4X4X11 + 2X+ 2X22 + S+ S11 = 60= 60
2X2X11 + 4X+ 4X22 + S+ S22 = 48= 48
2. Merubah fungsi tujuan dengan menambah2. Merubah fungsi tujuan dengan menambah
slack variabel bernilai nol :slack variabel bernilai nol :
Z = 8000 XZ = 8000 X11 + 6000 X+ 6000 X22 + 0 S+ 0 S11 + 0 S+ 0 S22

20. 3. Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi3. Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi
tujuan :tujuan :
a. Xa. X11= X= X22= 0; S= 0; S11= 60; S= 60; S22 = 48= 48
Z = 8000(0)+6000(0)+0(60)+0(48) = 0Z = 8000(0)+6000(0)+0(60)+0(48) = 0
b. Xb. X11=S=S11=0=0
4X4X11+2X+2X22+S+S11 = 60 X= 60 X22 = 60/2 =30= 60/2 =30
2X2X11+4X+4X22+S+S22 = 48 4(30)+S= 48 4(30)+S22 = 48= 48
SS22 =-72=-72
(tdk fisibel)(tdk fisibel)

21. (c). X(c). X11= S= S22 = 0= 0
2X2X11+4X+4X22+S+S22 = 48 4X= 48 4X11 = 48= 48
XX11 = 48/4= 48/4
XX11 = 12= 12
4X4X11+2X+2X22+S+S11 = 60 2(12)+S= 60 2(12)+S11=60=60
SS11 = 60-24= 60-24
= 36= 36
Z = 8000(0)+6000(12)+0+0=72000Z = 8000(0)+6000(12)+0+0=72000

22. (d). X(d). X22=S=S11=0=0
4X4X11+2X+2X22+S+S11=60 4X=60 4X11= 60 X= 60 X11=15=15
2X2X11+4X+4X22+S+S22=48 2(15) + S=48 2(15) + S22 = 48= 48
SS22 = 48-30=18= 48-30=18
Z = 8000(15)+6000(0)+0+0= 120.000Z = 8000(15)+6000(0)+0+0= 120.000
(e). X(e). X22=S=S22=0=0
2X2X11+4X+4X22+S+S22 =48 2X=48 2X11=48 X=48 X11=24=24
4X4X11+2X+2X22+S+S11 =60 S=60 S11=60-4(24)=-36=60-4(24)=-36
(Tdk fisibel)(Tdk fisibel)

23. (f). S(f). S11=S=S22=0=0
4X4X11+2X+2X22 = 60 2X= 60 2X22=60-4X=60-4X11
XX22=30-2X=30-2X11
2X2X11+4X+4X22 = 48 2X= 48 2X11+4(30-2X+4(30-2X11)=48)=48
2X2X11+120-8X+120-8X11 = 48= 48
6X6X11 = 120-48= 120-48
XX11 = 12= 12
XX22 =30-24= 6=30-24= 6
Z =8000(12)+6000(6)=132.000Z =8000(12)+6000(6)=132.000

24. Kesimpulan :Kesimpulan :
Perusahaan konveksi “Maju” harusPerusahaan konveksi “Maju” harus
mempro-duksi Celana (Xmempro-duksi Celana (X11) = 12 dan Baju) = 12 dan Baju
(X(X22) = 6) = 6
untuk memperoleh laba maksimum sebesaruntuk memperoleh laba maksimum sebesar
Rp 132.000.-Rp 132.000.-

25. (2) Kasus Minimisasi :(2) Kasus Minimisasi : kasus pemecahankasus pemecahan
masalah program linear yang bertujuanmasalah program linear yang bertujuan
seluruh kemungkinan pemecahan yangseluruh kemungkinan pemecahan yang
memberikan nilai objektif minimum.memberikan nilai objektif minimum.
Contoh :Contoh :
Seorang petani modern menghadapiSeorang petani modern menghadapi
suatu persoalan sebagai berikut : setiapsuatu persoalan sebagai berikut : setiap
sapi peliharaan agar supaya sehat harussapi peliharaan agar supaya sehat harus
diberi makanan yang mengandungdiberi makanan yang mengandung
paling sedikit : 27,21, dan 30 satuanpaling sedikit : 27,21, dan 30 satuan
unsurunsur

26. nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya.nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya.
Dua jenis makanan MDua jenis makanan M11 dan Mdan M22 diberikandiberikan
kepada sapi peliharaan tersebut. Satukepada sapi peliharaan tersebut. Satu
gram makanan jenis Mgram makanan jenis M11 mengandungmengandung
unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-
masing sebesar 3,1, dan 1 satuan.masing sebesar 3,1, dan 1 satuan.
Sedangkan satu gram makanan jenis MSedangkan satu gram makanan jenis M22
mengandung unsur nutrisi jenis A,B, danmengandung unsur nutrisi jenis A,B, dan
C masing-masing 1,1, dan 2 satuan.C masing-masing 1,1, dan 2 satuan.
Harga satu gram MHarga satu gram M11 dan Mdan M22 masing-masing-
masing sebesar Rp40000 dan Rp20000.-masing sebesar Rp40000 dan Rp20000.-

27. Petani tersebut harus memutuskan apakahPetani tersebut harus memutuskan apakah
membeli satu jenis makanan saja atau kedua-membeli satu jenis makanan saja atau kedua-
duanya kemudian mencampurnya. Tujuanduanya kemudian mencampurnya. Tujuan
adalah agar jumlah pengeluaran petaniadalah agar jumlah pengeluaran petani
tersebut minimum.tersebut minimum.
a. Merumuskan Tabel Persoalana. Merumuskan Tabel Persoalan
NutrisiNutrisi
Kandungan NutrisiKandungan Nutrisi
Makanan MMakanan M11 Makanan MMakanan M22
JumlahJumlah
KandunganKandungan
Jenis AJenis A 3 13 1 2727
Jenis BJenis B 1 11 1 2121
Jenis CJenis C 1 11 1 3030
Harga/gramHarga/gram 40.000 20.00040.000 20.000 MinimumkanMinimumkan
PeubahPeubah XX11 XX22 ZZ

28. b. Model Program Linearb. Model Program Linear
1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :
Minimumkan : Z = 40000XMinimumkan : Z = 40000X11+20000X+20000X22
2. Fungsi Pembatas :2. Fungsi Pembatas :
2.1. Nutrisi A : 3X2.1. Nutrisi A : 3X11+ X+ X22 ≥ 27≥ 27
2.2. Nutrisi B : X2.2. Nutrisi B : X11+ X+ X22 ≥ 21≥ 21
2.3. Nutrisi C : X2.3. Nutrisi C : X11+2X+2X22 ≥ 30≥ 30
XX11, X, X22 ≥ 0≥ 0

29. c. Penyelesaianc. Penyelesaian
(1). Metode Aljabar :(1). Metode Aljabar :
((a). Merubah ketidaksamaan fungsia). Merubah ketidaksamaan fungsi
pem-pem-
batas menjadi kesamaan dengan mebatas menjadi kesamaan dengan me
ngurangi denganngurangi dengan surplussurplus variabelvariabel
(S).(S).
3X3X11 + X+ X22 -S-S11 = 27= 27
XX11 + X+ X22 -S-S22 = 21= 21
XX1 +2X+2X2 -S-S3 = 30= 30

30. (b). Merubah fungsi tujuan dengan me-(b). Merubah fungsi tujuan dengan me-
nambahnambah surplussurplus variabel bernilai nol.variabel bernilai nol.
Z = 40000XZ = 40000X11+20000X+20000X22+0S+0S11+0S+0S22+0S+0S33
(c). Substitusikan fungsi pembatas dan(c). Substitusikan fungsi pembatas dan
fungsi tujuan.fungsi tujuan.
1. X1. X11=X=X22=0; S=0; S11=27;S=27;S22=21;S=21;S33=30=30
Z = 0.Z = 0.
2. X2. X11=S=S11=0=0
3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X22=27=27

31. XX11 + X+ X22 – S– S22 = 21; S= 21; S22 = 6= 6
XX11 +2X+2X22- S- S33 = 30; S= 30; S33 = 24= 24
Z = 40000(0)+20000(27)+0+0+0Z = 40000(0)+20000(27)+0+0+0
= 540.000= 540.000
(3). X(3). X11=S=S22= 0= 0
XX11 + X+ X22 – S– S22 = 21; X= 21; X22=21=21
3X3X11+X+X22-S-S11=27; S=27; S11=-12=-12
(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

32. (4). X(4). X11=S=S33=0=0
XX11 +2X+2X22- S- S33 = 30; X= 30; X22=30/2 = 15=30/2 = 15
XX11 + X+ X22 – S– S22 = 21; S= 21; S22=-7=-7
(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)
(5). X(5). X22=S=S11=0=0
3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X11 = 27/3 = 9= 27/3 = 9
XX11+X+X22–S–S22=21; S=21; S22=-12=-12
(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

33. (6). X(6). X22=S=S22=0=0
XX11+X+X22–S–S22=21; X=21; X11=21=21
XX11+2X+2X22- S- S33=30; S=30; S33=-9=-9 (Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)
(7). X(7). X22=S=S33=0=0
XX11+2X+2X22- S- S33=30; X=30; X11=30=30
3X3X11+X+X22-S-S11=27; S=27; S11=90-27=63=90-27=63
XX11+X+X22–S–S22=21; S=21; S22=9=9
Z =40000(30)+20000(0)+0+0+0Z =40000(30)+20000(0)+0+0+0
= 1.200.000.-= 1.200.000.-

34. (8). S(8). S11=S=S22=0=0
3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X22=27-3X=27-3X11
XX11+X+X22–S–S22=21; X=21; X11+27-3X+27-3X11=21=21
XX11=6/2=3=6/2=3
XX22= 27-3(3)=18= 27-3(3)=18
XX11+2X+2X22- S- S33=30; 3+2(18)-=30; 3+2(18)- SS33 =30=30
SS33=39-30=9=39-30=9
Z =40000(3)+2000(18)+0+0+0Z =40000(3)+2000(18)+0+0+0
=480.000.-=480.000.-

35. (9). S(9). S11=S=S33=0=0
3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X22=27-3X=27-3X11
XX11+2X+2X22- S- S33=30; X=30; X11+2(27-3X+2(27-3X11)=30)=30
XX11=(54-30)/5=4,8=(54-30)/5=4,8
XX22=27-3(4,8)=12,6=27-3(4,8)=12,6
XX11+X+X22–S–S22=21; S=21; S22 =-3,6=-3,6
(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

36. (10). S(10). S22=S=S33=0=0
XX11+X+X22–S–S22=21; X=21; X22=21-X=21-X11
XX11+2X+2X22- S- S33=30; X=30; X11+2(21-X+2(21-X11)=30)=30
XX11 = 42-30=12= 42-30=12
XX22 = 21-12=9= 21-12=9
3X3X11+X+X22-S-S11=27; S=27; S11 = 18= 18
Z =40000(12)+2000(9)+0+0+0Z =40000(12)+2000(9)+0+0+0
= 660.000.-= 660.000.-

37. Jadi : Pengeluaran petani yang minimumJadi : Pengeluaran petani yang minimum
jika membeli makanan sapi A = 3jika membeli makanan sapi A = 3
satuan dan makanan sampi B = 12satuan dan makanan sampi B = 12
satuan dengan Zsatuan dengan Zminmin=Rp 480.000.-=Rp 480.000.-

38. Jadi : Pengeluaran petani yang minimumJadi : Pengeluaran petani yang minimum
jika membeli makanan sapi A = 3jika membeli makanan sapi A = 3
satuan dan makanan sampi B = 12satuan dan makanan sampi B = 12
satuan dengan Zsatuan dengan Zminmin=Rp 480.000.-=Rp 480.000.-

39. Metode SimpleksMetode Simpleks

40. Pengertian UmumPengertian Umum
►Motode simpleks adalah prosedur aljabar yangMotode simpleks adalah prosedur aljabar yang
bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demibersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi
selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem padaselangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada
daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titikdaerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik
ekstrem yang optimum.ekstrem yang optimum.

41. Langkah-Langkah dalam MetodeLangkah-Langkah dalam Metode
SimpleksSimpleks
1.1. Formulasi dalam bentuk standarFormulasi dalam bentuk standar
2.2. Konversi pada bentuk standartKonversi pada bentuk standart
 Dalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan menggunakanDalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan menggunakan
metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan adalah:metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan adalah:
► Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =) denganSeluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan
ruas kanan yang non negatifruas kanan yang non negatif
► Seluruh variabel harus merupakan variabel non negatifSeluruh variabel harus merupakan variabel non negatif
► Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasiFungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi
 Formulasi yag belum standar kedalam bantuk standar :Formulasi yag belum standar kedalam bantuk standar :
a. Pembatas (constraint)a. Pembatas (constraint)
► Pembatas bentanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaanPembatas bentanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan
(bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu(bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu
variabel slack pada ruas kiri pembatas tersebut.variabel slack pada ruas kiri pembatas tersebut.
 Contoh 1: XContoh 1: X1 + 2X2 ≤ 6 maka kita tambahkan slack s1 ≥ 0 pada+ 2X2 ≤ 6 maka kita tambahkan slack s1 ≥ 0 pada
ruas kiri sehingga memperoleh : X1 + 2X2 + s1 = 6ruas kiri sehingga memperoleh : X1 + 2X2 + s1 = 6

42.  Contoh 2 : 3Contoh 2 : 3XX1 + 21 + 2XX2 – 32 – 3XX3 ≥ 5 maka harus dikurangkan variabel s2 ≥3 ≥ 5 maka harus dikurangkan variabel s2 ≥
0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 30 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3XX1 + 21 + 2XX2 – 3x3 – s2 =2 – 3x3 – s2 =
55
► Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatifRuas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif
dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.
 Contoh : 2Contoh : 2X2X2-3-3X2X2-7-7X3X3 = -5 secara matematis adalah sama dengan= -5 secara matematis adalah sama dengan
-2-2X1X1+3+3XX2+72+7XX3 = 53 = 5
► Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.
 Contoh : 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4Contoh : 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4
22XX1 –1 – XX2 ≤ -5 adalah sama dengan -22 ≤ -5 adalah sama dengan -2XX1 +1 + XX2 ≥ 52 ≥ 5
b. Variabelb. Variabel
► Suatu variabel Yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagaiSuatu variabel Yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai
dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi.dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi.
c. Fungsi Tujuanc. Fungsi Tujuan
► Walaupun model standar LP dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-Walaupun model standar LP dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-
kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

43. 3.3. Menentukan solusi basisMenentukan solusi basis
 BFS (Solusi Basis Fisibel)BFS (Solusi Basis Fisibel)
Dimana diterapkan XDimana diterapkan X11 = X= X22 = X= X33 = 0 sehingga didapatkan nilai= 0 sehingga didapatkan nilai
Z, SZ, S11, S, S22, S, S33 dan Sdan S44..
 BV (Basis Variabel)BV (Basis Variabel)
Menentukan variabel yang akan dicari nilainya, seperti : Z, SMenentukan variabel yang akan dicari nilainya, seperti : Z, S11,,
SS22, S, S33 dan Sdan S44
 NBV (Non Basis Variabel)NBV (Non Basis Variabel)
variabel yang dinolkan. Seperti Xvariabel yang dinolkan. Seperti X11, X, X22, dan X, dan X33..
3.3. Dari formulasi kanonik diatas bahwa seluruh NBVDari formulasi kanonik diatas bahwa seluruh NBV
mempunyai koefisien yang berharga negatif sehingga padamempunyai koefisien yang berharga negatif sehingga pada
iterasi ini BFS belum optimal. Contoh :iterasi ini BFS belum optimal. Contoh : Z – 60XZ – 60X11 – 30X– 30X22 ––
20X20X33 = 0= 0
4.4. Menghitung rasio dan melakukan EROMenghitung rasio dan melakukan ERO
Didapat dari nilai solusi dibagi dengan koefisien yang palingDidapat dari nilai solusi dibagi dengan koefisien yang paling
negatif Entering variabel(EV).negatif Entering variabel(EV).
contoh : z - 60xcontoh : z - 60x11- 30x- 30x22 – 20x– 20x33 = 0= 0
8X8X11 + 6X+ 6X22 + X+ X33 + S+ S11 = 48 r = 48/8= 48 r = 48/8
4X4X11 + 2X+ 2X22 + 1.5X+ 1.5X33 +S+S22 = 20 r = 20/4= 20 r = 20/4
2X2X11 + 1.5X+ 1.5X22 + 0.5X+ 0.5X33 +S+S33 = 8 r = 8/2= 8 r = 8/2
EV

44. 6.6. Menentukan LV (Leaving Variabel)Menentukan LV (Leaving Variabel)
variabel yang meninggalkan basis, yangvariabel yang meninggalkan basis, yang
memilikimemiliki rasio yang terkecilrasio yang terkecil dengan EVdengan EV
bernilai 1.bernilai 1.
7.7. Iterasi akan berhenti jika XIterasi akan berhenti jika X11, X, X22, X, X33 padapada
fungsi tujuan mencapai nilai positif.fungsi tujuan mencapai nilai positif.

45. ContohContoh
►Maksimumkan : Z = 60x1+30x2+20X3Maksimumkan : Z = 60x1+30x2+20X3
berdasarkan :berdasarkan :
8X8X11 + 6X+ 6X22 + X+ X33 ≤ 48≤ 48
4X4X11 + 2X+ 2X22 + 1.5X+ 1.5X33 ≤ 20≤ 20
2X2X11 + 1.5X+ 1.5X22 + 0.5X+ 0.5X33 ≤ 8≤ 8
x2 ≤ 5x2 ≤ 5
XX11,x,x22,x,x33 ≥ 0≥ 0

46. ►Konversi bentuk standar:Konversi bentuk standar:
maksimumkan : z = 60xmaksimumkan : z = 60x11+30X+30X22+20x+20x33
Berdasarkan :Berdasarkan :
8X8X11 + 6X+ 6X22 + X+ X33 + s+ s11= 48= 48
4X4X11 + 2X+ 2X22 + 1.5X+ 1.5X33 + s+ s22 = 20= 20
2X2X11 + 1.5X+ 1.5X22 + 0.5X+ 0.5X33 + s+ s33 = 8= 8
xx22 + s+ s44 = 5= 5

47. ► Menentukan BFSMenentukan BFS
x1=x2=x3=0x1=x2=x3=0
BV = {z,s1,s2,s3,s4}BV = {z,s1,s2,s3,s4}
NBV= {x1,x2,x3}NBV= {x1,x2,x3}
BFS = Z -60x1 - 30x2 - 20X3 = 0BFS = Z -60x1 - 30x2 - 20X3 = 0
8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 488X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 204X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X32X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + S3 = 8+ S3 = 8
x2 +S4 = 5x2 +S4 = 5
.: z= 0 , S1 = 48, S2 = 20 , S3 = 8, S4 = 5.: z= 0 , S1 = 48, S2 = 20 , S3 = 8, S4 = 5

48. ► Bentuk TabelBentuk Tabel
► Dilihat dari Z maka X1 yang memiliki koefisienDilihat dari Z maka X1 yang memiliki koefisien
paling negatifpaling negatif

49. ► Menghitung rasio:Menghitung rasio:
► Menentukan LVMenentukan LV  rasio terkecil : 4 maka:rasio terkecil : 4 maka:
Rasio
erkecil

50.  Baris ke-4 untuk pivotnya : 2/2 = 1Baris ke-4 untuk pivotnya : 2/2 = 1
 Nilai basis untuk kolom ke-3:Nilai basis untuk kolom ke-3:
Baris 1: -30-(-60*0.75)Baris 1: -30-(-60*0.75)
= -30-45 = 15= -30-45 = 15
Baris 2: 6-(8*0.75)Baris 2: 6-(8*0.75)
6 – 6 = 06 – 6 = 0
Baris 3: 2-(4*0.75)Baris 3: 2-(4*0.75)
= 2 -3 = -1= 2 -3 = -1
Baris 4:1-(0.0.75)Baris 4:1-(0.0.75)
= 1= 1

51.  Nilai basis untuk kolom 4 :Nilai basis untuk kolom 4 :
Baris 1: -20-(-60*0.25)Baris 1: -20-(-60*0.25)
= -20+15= -5= -20+15= -5
Baris 2: 1-(8*0.25)Baris 2: 1-(8*0.25)
= 1 – 2 = -1= 1 – 2 = -1
Baris 3: 1.5-(4*0.25)Baris 3: 1.5-(4*0.25)
=1.5 - 1 = 0.5=1.5 - 1 = 0.5
Baris 4:0-(0*0.25)Baris 4:0-(0*0.25)
= 0= 0

52. Solusi SementaraSolusi Sementara
►Karena nilai z masih terdapat yang bernilaiKarena nilai z masih terdapat yang bernilai
negatif sedangkan fungsi tujuan adalahnegatif sedangkan fungsi tujuan adalah
memaksimumkanmemaksimumkan maka dilakukanmaka dilakukan
langkah selanjutnya, dan akan berhentilangkah selanjutnya, dan akan berhenti
jikajika nilai z tidak terdapat negatifnilai z tidak terdapat negatif ..

53. Hasil AkhirHasil Akhir