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03 fondations superficielles - solutionnaire (étudiants)

03 fondations superficielles - solutionnaire (étudiants)

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Cours de M
Mécanique des s
sols II – Été 2012
2

M. Karray & F. Ghobrial

Chapitre 0
03
Fondat
tions Supe
erficielles
Problèm 3.1
me
Pour les conditions du sol, de g
s
s
géométrie e de chargem
et
ment donné à la figur ci-dessou :
ées
re
us
(a) calc
culer le fact
teur de sécur contre l rupture d sol.
rité
la
du
(b) Si l remblayag de la sem
le
age
melle se fait uniquemen après une charge de 100kN ait a
t
nt
e
appliquée,
est- que le fa
-ce
acteur de séc
curité est mo
odifié?
(c) Si l nappe d’e est à 1.5 au lieu d 3.0m, est-ce que le fac
la
eau
5m
de
cteur de sécu
urité est mo
odifié?

Solutio
on
(a) La fo
ormule utilise pour l calcul d la capacité
le
de
porta
ante dans l’a
argile est:
=5

1 + 0.2
2

1 + 0.2

+

 Pour la rupture locale, on considère cu=30kPa (la
r
e
n
couch d’argile e
he
en-dessous de la semel
lle)
= 5 × 1 × 30 1 + 0.2

.
.

1 + 0.2

.

+ 16 × 1.5
	

Figure 1: Ca (a) du prob
as
blème 3.1

=2
204
Suppo
osons que µ
µ=1.0

Fondations Superficielles
s

Page 1 de 14
Cours de Mécanique des sols II – Été 2012

=

=

100
= 66.67	
1.5
=

. .=	

M. Karray & F. Ghobrial

204
= .
66.67

 Pour la rupture générale, on considère une valeur moyenne de cu. (les deux couches d’argile
en-dessous et au-dessus de la semelle)1

	

.

=

(35 + 30) + (30 + 30)
= 31.25
4

= 5 × 1 × 31.25 1 + 0.2
. .=	

=

.
.

=5

(b)

1.5
(1 + 0) + 16 × 1.5 = 211.5	
1.5

= .

1 + 0.2

= 5 × 1 × 30 1 + 0.2

1 + 0.2
0
1.5

+

1 + 0.2

1.5
+0
∞

= 150
. .=	

=

.

= .
Figure 2: Cas (b) du problème 3.1

(c) Non, on utilise la contrainte totale dans le calcul. Par conséquent, le niveau de la nappe ne
représente aucune importance.

1

Pour les étudiants acharnés
Au lieu d’utiliser seulement la moyenne arithmétique, on utilise la moyenne pondérée et puisque la zone d’influence
sous la semelle, Dmax, est dans l’ordre de 0.71B où B est la largeur de la semelle. Donc, Dmax=1.07m.
	

. (1è

	

. (2è

	

.

=

	

ℎ )=
	

ℎ 	

(35 + 30)
= 32.5
2
	 	

32.5 × 1.5 + 30 × 1.07
(1.5 + 1.07 )

Fondations Superficielles

	 ′

)=

(30 + 30)
= 30.0
2

= 31.46

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M. Karray & F. Ghobrial

Problème 3.2
La semelle montrée à la figure ci-dessous exerce au contact avec le sol une pression de 250 kPa.
Évaluer la sécurité de cette semelle contre la rupture.
1) Semelle filante.
2) Semelle carrée.

Solution
Ce cas représente le cas d’une couche d’argile en profondeur (Notes de cours, Page 23).

Fondations Superficielles

Page 3 de 14
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M. Karray & F. Ghobrial

(a) Semelle Filante

=

+

	

+

+

Nc=5.14

Où :

1+

D=1.5m

H=2.8m

Pour φ=35 : Nq=33

Abaque : φ =35 et 			

=

∴

	

N=34

=

× .

20 × 5.14 + 18 × 2.8

×

=0.168 Ks2.4

1+

2 × 1.5
tan 35
2.4
+ 18 × 1.5 = 375.42
2.8
2

1
× 18 × 2 × 34 + 18 × 1.5 × 33 = 1503
2

= 375.42
=

. .=	

375.42
= .
250

(b) Semelle Carrée

=

	

=

∴

1 + 0.2

	

+
1
2

1+

2

1 − 0.4

20 × 5.14(1 + 0.2) + 18 × 2.8

tan

1+

+

+

1+

2 × 1.5
tan 35
(1 + 1) + 18 × 1.5 = 641.6
2.4
2.8
2

1
× 18 × 2 × 34(1 − 0.4) + 18 × 1.5 × 33 = 1258.2
2

= 641.6
. .=	

=

641.6
= .
250

Fondations Superficielles

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Mécanique des s
sols II – Été 2012
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M. Karray & F. Ghobrial

Problèm 3.3
me
On prév
voit de con
nstruire une semelle r
rectangulair pour pre
re
endre une c
charge exce
entrée. On
dispose de 2.2m de largeur pou construir cette sem
ur
re
melle et on v
vous demande d’en déte
erminer la
longueu pour qu’elle puisse ré
ur
ésister à la rupture. Les conditions de chargem
s
s
ment, de géo
ométrie et
du sol en place sont illustrées sur la figure ci-dessous
e
s.

Solutio
on
=

+

+ 0.5

é

Pour φ =35°  Nc=
=46, Nq=33, Nγ=34
Bien qu le 1er term soit négl
ue
me
ligé, on calc
cule Nc
pour la formule de Sq qui vient après.
t
= 2.2 − 2 × 0.35 = 1.5 ,							
2
=1+

=?

1.2										 										

×

	

=

	

=1+

= 1 − 0.4 ×

×

Cette hy
ypothèse ve dire que l’on suppo une vale de Sq plu petite qu 1.2. Aprè que l’on
eut
e
ose
eur
us
ue
ès
calcule L il faut vér
L,
rifier si cette hypothèse est correct ou non.
e
e
te
∴

= 20 × 1.5 × 33 × 1 +

=9
990 1 +

1.076

Fondations Superficielles
s

1.5
1

×

+ 255 1 −

1
33
0.4 × 1.5
+ × (20 − 1 × 1.5 × 3 × 1 −
10)
34
2
46

0.6

= 990 +

5.326
1065

+ 255 −

153

= 12 +
245

26
912.32

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Cours de Mécanique des sols II – Été 2012

. .=	

=

M. Karray & F. Ghobrial

=3

×

×

= 1.5

1245 +

912.326

∴ 3 × 3000 = 1867.5 + 1368.489				
é

	

	 ’ℎ

ℎè 	:

=1+

										 										 = 3000

= 4.09 	

1.5 33
×
= 1.263 > 1.2			 ℎ
4.09 46

ℎè 	 é

	

	

Donc on suppose que Sq=1.2. Cette hypothèse, en réalité, veut dire que l’on suppose une valeur
de Sq plus grand que 1.2, mais puisque la valeur de Sq doit ne pas dépasser 1.2, donc on utilise
une valeur de 1.2.
∴

1
0.4 × 1.5
= 20 × 1.5 × 33 × 1.2 + 	 × (20 − 10) × 1.5 × 34 × 1 −
2
= 1188 + 	255 1 −

. .=	

=

0.6

= 1443 −

153

=3

×

×

= 1.5

1443 −

153

∴ 3 × 3000 = 2164.5 − 229.5				
Vérification de l’hypothèse :

=1+

										 										 = 3000

= .
.
.

×

	

= 1.25 > 1.2			ℎ

ℎè 	é

	

Problème 3.4
Un essai de plaque a été effectué dans un dépôt de sable à l’aide d’une plaque de 0.5m de côté.
La charge a été augmentée progressivement jusqu’à ce que la charge maximale de 600kN (charge
à la rupture) soit atteinte. Quelle serait la capacité portante d’une fondation de 2m x 2m.

Fondations Superficielles

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03 fondations superficielles - solutionnaire (étudiants)

  • 1. Cours de M Mécanique des s sols II – Été 2012 2 M. Karray & F. Ghobrial Chapitre 0 03 Fondat tions Supe erficielles Problèm 3.1 me Pour les conditions du sol, de g s s géométrie e de chargem et ment donné à la figur ci-dessou : ées re us (a) calc culer le fact teur de sécur contre l rupture d sol. rité la du (b) Si l remblayag de la sem le age melle se fait uniquemen après une charge de 100kN ait a t nt e appliquée, est- que le fa -ce acteur de séc curité est mo odifié? (c) Si l nappe d’e est à 1.5 au lieu d 3.0m, est-ce que le fac la eau 5m de cteur de sécu urité est mo odifié? Solutio on (a) La fo ormule utilise pour l calcul d la capacité le de porta ante dans l’a argile est: =5 1 + 0.2 2 1 + 0.2 +  Pour la rupture locale, on considère cu=30kPa (la r e n couch d’argile e he en-dessous de la semel lle) = 5 × 1 × 30 1 + 0.2 . . 1 + 0.2 . + 16 × 1.5 Figure 1: Ca (a) du prob as blème 3.1 =2 204 Suppo osons que µ µ=1.0 Fondations Superficielles s Page 1 de 14
  • 2. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 = = 100 = 66.67 1.5 = . .= M. Karray & F. Ghobrial 204 = . 66.67  Pour la rupture générale, on considère une valeur moyenne de cu. (les deux couches d’argile en-dessous et au-dessus de la semelle)1 . = (35 + 30) + (30 + 30) = 31.25 4 = 5 × 1 × 31.25 1 + 0.2 . .= = . . =5 (b) 1.5 (1 + 0) + 16 × 1.5 = 211.5 1.5 = . 1 + 0.2 = 5 × 1 × 30 1 + 0.2 1 + 0.2 0 1.5 + 1 + 0.2 1.5 +0 ∞ = 150 . .= = . = . Figure 2: Cas (b) du problème 3.1 (c) Non, on utilise la contrainte totale dans le calcul. Par conséquent, le niveau de la nappe ne représente aucune importance. 1 Pour les étudiants acharnés Au lieu d’utiliser seulement la moyenne arithmétique, on utilise la moyenne pondérée et puisque la zone d’influence sous la semelle, Dmax, est dans l’ordre de 0.71B où B est la largeur de la semelle. Donc, Dmax=1.07m. . (1è . (2è . = ℎ )= ℎ (35 + 30) = 32.5 2 32.5 × 1.5 + 30 × 1.07 (1.5 + 1.07 ) Fondations Superficielles ′ )= (30 + 30) = 30.0 2 = 31.46 Page 2 de 14
  • 3. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Problème 3.2 La semelle montrée à la figure ci-dessous exerce au contact avec le sol une pression de 250 kPa. Évaluer la sécurité de cette semelle contre la rupture. 1) Semelle filante. 2) Semelle carrée. Solution Ce cas représente le cas d’une couche d’argile en profondeur (Notes de cours, Page 23). Fondations Superficielles Page 3 de 14
  • 4. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial (a) Semelle Filante = + + + Nc=5.14 Où : 1+ D=1.5m H=2.8m Pour φ=35 : Nq=33 Abaque : φ =35 et = ∴ N=34 = × . 20 × 5.14 + 18 × 2.8 × =0.168 Ks2.4 1+ 2 × 1.5 tan 35 2.4 + 18 × 1.5 = 375.42 2.8 2 1 × 18 × 2 × 34 + 18 × 1.5 × 33 = 1503 2 = 375.42 = . .= 375.42 = . 250 (b) Semelle Carrée = = ∴ 1 + 0.2 + 1 2 1+ 2 1 − 0.4 20 × 5.14(1 + 0.2) + 18 × 2.8 tan 1+ + + 1+ 2 × 1.5 tan 35 (1 + 1) + 18 × 1.5 = 641.6 2.4 2.8 2 1 × 18 × 2 × 34(1 − 0.4) + 18 × 1.5 × 33 = 1258.2 2 = 641.6 . .= = 641.6 = . 250 Fondations Superficielles Page 4 de 14
  • 5. Cours de M Mécanique des s sols II – Été 2012 2 M. Karray & F. Ghobrial Problèm 3.3 me On prév voit de con nstruire une semelle r rectangulair pour pre re endre une c charge exce entrée. On dispose de 2.2m de largeur pou construir cette sem ur re melle et on v vous demande d’en déte erminer la longueu pour qu’elle puisse ré ur ésister à la rupture. Les conditions de chargem s s ment, de géo ométrie et du sol en place sont illustrées sur la figure ci-dessous e s. Solutio on = + + 0.5 é Pour φ =35°  Nc= =46, Nq=33, Nγ=34 Bien qu le 1er term soit négl ue me ligé, on calc cule Nc pour la formule de Sq qui vient après. t = 2.2 − 2 × 0.35 = 1.5 , 2 =1+ =? 1.2 × = =1+ = 1 − 0.4 × × Cette hy ypothèse ve dire que l’on suppo une vale de Sq plu petite qu 1.2. Aprè que l’on eut e ose eur us ue ès calcule L il faut vér L, rifier si cette hypothèse est correct ou non. e e te ∴ = 20 × 1.5 × 33 × 1 + =9 990 1 + 1.076 Fondations Superficielles s 1.5 1 × + 255 1 − 1 33 0.4 × 1.5 + × (20 − 1 × 1.5 × 3 × 1 − 10) 34 2 46 0.6 = 990 + 5.326 1065 + 255 − 153 = 12 + 245 26 912.32 Page 5 de 14
  • 6. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 . .= = M. Karray & F. Ghobrial =3 × × = 1.5 1245 + 912.326 ∴ 3 × 3000 = 1867.5 + 1368.489  é ’ℎ ℎè : =1+ = 3000 = 4.09 1.5 33 × = 1.263 > 1.2  ℎ 4.09 46 ℎè é Donc on suppose que Sq=1.2. Cette hypothèse, en réalité, veut dire que l’on suppose une valeur de Sq plus grand que 1.2, mais puisque la valeur de Sq doit ne pas dépasser 1.2, donc on utilise une valeur de 1.2. ∴ 1 0.4 × 1.5 = 20 × 1.5 × 33 × 1.2 + × (20 − 10) × 1.5 × 34 × 1 − 2 = 1188 + 255 1 − . .= = 0.6 = 1443 − 153 =3 × × = 1.5 1443 − 153 ∴ 3 × 3000 = 2164.5 − 229.5  Vérification de l’hypothèse : =1+ = 3000 = . . . × = 1.25 > 1.2  ℎ ℎè é Problème 3.4 Un essai de plaque a été effectué dans un dépôt de sable à l’aide d’une plaque de 0.5m de côté. La charge a été augmentée progressivement jusqu’à ce que la charge maximale de 600kN (charge à la rupture) soit atteinte. Quelle serait la capacité portante d’une fondation de 2m x 2m. Fondations Superficielles Page 6 de 14
  • 7. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Solution Plaque : 0.5x0.5m Fondation : 2.0x2.0m QP= 600 kN QF= ? kN Pour un dépôt du sable : + 2 = = = 2 + 0.5 600 0.5 × 0.5 2 × 2 × = 937.5 = 937.5 × (2 × 2) = 3750 Problème 3.5 Dans un dépôt de sable silteux, des essais de pénétration standard (SPT) ont fourni les valeurs suivantes de N Profondeur (m) 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 Valeur de N 15 19 24 28 26 30 28 31 Le poids volumique de ce sable est 20kN /m³. Une semelle carrée de 2.5m x 2.5m est assise dans ce dépôt à une profondeur de 2.5m. Déterminer la capacité admissible pour cette semelle si le tassement maximum permis est de 15mm. Vérifier également la sécurité contre la rupture. Solution Du profile de SPT, les valeurs aux profondeurs de 3.0, 4.5, 6.0 et 7.5 sont utilisées dans le calcul. Fondations Superficielles Page 7 de 14
  • 8. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Prof. (m) 3.0 4.5 6.0 7.5 N 19 24 28 26 ’v (kPa) 60 90 120 150 CN 1.16 1.02 0.93 0.85 Ncor. 22.04 24.48 26.04 22.1 = 0.77 log . . . . 1920 = 24.25, = 23.67, Notez que si l’on prend la valeur de N à 9.0m (ce qui pourrait être correct), la valeur de . sera aussi 24 . (1) Approche de Meyerhof (1956) > 1.2 → =8 = 8 × 24 × 1.3 = × 2.5 + 0.3 2.5 + 0.3 = 313.1 = 1.3, = − é 15 15 = 313.1 × = 187.86 25 25 (2) Approche de Peck et coll. (1974) Pour D/B=1, B=2.5m et N=24 (la valeur corrigée) La valeur de qadm261 kPa (à partir de l’abaque) = × 15 15 = 261 × = 156.6 25 25 (3) Vérification de la sécurité contre la rupture Fondations Superficielles Page 8 de 14
  • 9. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Pour N=24 coups   35° = + + 0.5 Pour φ =35° Nc=46, Nq=33, Nγ=34 Semelle Carrée  Sq=1.2, Sγ=0.6 = 0 + (20 × 2.5) × 33 × 1.2 + 0.5 × 20 × 2.5 × 34 × 0.6 = 2490 = . . = 2490 = 830 3 Problème 3.6 Une semelle de 4.5m x 4.5m sera soumise en son centre à une charge R=3000kN inclinée de 15° pa rapport à la verticale avant que l’on procède au remplissage de l’excavation. Après le remplissage la semelle sera soumise à une charge de 4000kN inclinée de 15°. (a) Déterminer le facteur de sécurité contre le glissement avant le remplissage. (b) Déterminer le facteur de sécurité contre la rupture après le remplissage. Extra-travail : (c) Déterminer le facteur de sécurité contre la rupture avant le remplissage. Fondations Superficielles Page 9 de 14
  • 10. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Solution (1) Vérification du glissement avant le remplissage × . .= . .= × + 50 × 4.5 × 4.5 + (3000 cos 15) × 3000 sin 15 0 = 1.304 (2) Vérification de la capacité portante après le remplissage 1 + 0.2 =5 = = 1− 90 1 + 0.2 = 1− = 5 × 1 × 50 1 + 0.2 15 90 2 4.5 × + × = 0.694 1 + 0.2 4.5 × 0.694 + 20 × 2 × 0.694 4.5 = 254.63 = 4000 = 197.53 4.5 × 4.5 . .= = , ℎ è 4000 254.63 = 1.28 197.53 (3) Vérification de la capacité portante avant le remplissage =5 1 + 0.2 1 + 0.2 × + × Avant le remplissage (juste après la construction), le remblai du sable n’est pas encore mis alors D=zéro. = 5 × 1 × 50 1 + 0.2 0 4.5 1 + 0.2 4.5 × 0.694 + 20 × 0 × 0.694 4.5 = 208.2 = 3000 = 148.15 4.5 × 4.5 Fondations Superficielles , ℎ è 3000 Page 10 de 14
  • 11. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 . .= = M. Karray & F. Ghobrial 208.2 = 1.4 148.15 Problème 3.8 Dimensionnez selon les règles de l’Art une semelle filante qui sera construite à 2.0m de profondeur et qui devra transmettre au sol de fondation une charge de 300kN/m.l. Solution (1) Détermination de B Prof. (m) 2.25 3.0 3.75 N 34 37 38 ’v (kPa) 45 60 75 CN 1.26 1.16 1.08 Ncor. 42.68 42.88 41.21 . . = 42.25, = 0.77 log Fondations Superficielles 1920 Page 11 de 14
  • 12. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Notez que on va utiliser une valeur de N=42 dans toutes les itérations car quel que soit le nombre de coups utilisé, la moyenne est toujours 42. En général, il faut calculer dans chaque itération la profondeur 2.5B et calculer ensuite la moyenne des N limités par cette profondeur.  Supposons que B=1.0m  D/B=2 qadm=458.8 kPa = = 300 = 458.8 ⇒ = 0.654  Supposons que B=0.65m  D/B=3.08 qadm=447 kPa = = 300 = 447 ⇒ = 0.67 Soit B=0.7m Si l’on vérifie la profondeur 2.5B ∴ 2.5 = 2.5 × 0.7 = 1.75  Il faut considérer les valeurs de N limitées entre 2,0m et 3,75m  Il faut utiliser les trois valeurs de N déjà utilisées. (2) Vérification de la sécurité contre la rupture = + + 0.5 Semelle Filante  Sq=1.0, Sγ=1.0  Pour φ =39°  Nq=57.8, Nγ=70.8 (Par interpolation) = 0 + (20 × 2) × 57.8 × 1.0 + 0.5 × 20 × 0.7 × 70.8 × 1.0 = 2807.6 = . . = 2807.6 ≈ 936 3 Fondations Superficielles Page 12 de 14
  • 13. Cours de M Mécanique des s sols II – Été 2012 2 M. Karray & F. Ghobrial  Pour φ =38°  Nq=51.6, Nγ= r =61.6 (Par in nterpolation n) = 0 + (20 × 2) × 51.6 × 1.0 + 0.5 × 20 × 0.7 × 61.6 × 1.0 = 2495.2 =  . . . = ≈ 831.7 Pour φ =37°  Nq=45.4, Nγ=52.4 (Par i r interpolation) = 0 + (20 × 2) × 45.4 × 1.0 + 0.5 × 20 × 0.7 × 52.4 × 1.0 = 2182.8 = . . = 2182.8 ≈ 727 7.6 3 Problèm 3.10 me Si la charge transm mise par la c colonne à la semelle es la même d a st dans chacun des 3 cas suivants ; n sans fai de calcul : ire ls (a) Dit lequel de 3 cas suiv tes es vants est le m moins sécur ritaire au po oint de vue rupture. (b) Dit lequel ta tes assera le plu us. Solutio on (a) La c capacité por rtante ultim dans le sa me able est calc culée à l’aide de la form e mule suivant te = + Fondations Superficielles s + 0.5 Page 13 de 14
  • 14. Cours de Mécanique des sols II – Été 2012 M. Karray & F. Ghobrial Mettons 1 le poids volumique au-dessus du niveau de la fondation et 2 le poids volumique endessous du niveau de la fondation. Nc, Nq et N sont constants pour les trois cas. Sc, Sq et S sont aussi constants pour les trois cas. cNcSc est égal à zéro (c=0) Donc les seules variables sont 1D et 2B Pour le cas 1, il y a deux possibilités pour la mise du remblai : soit le remblai est mis après la mise de la charge Q (le cas le plus critique et qui sera considéré), soit le remblai est mis avant la mise de la charge Q. Cas 1 Cas 2 Cas 3 Remarques [D]1 = [D]2 = [D]3 - [1]1=1’ < [1]2=1 > [1]3=1’ [1]1 = [1]3 [1D]3 < [1D]2 > [1D]3 [1D]3 = [1D]3 2B [2B]1 = [2B]2 = [2B]3 - qult [qult]1 < [qult]2 > [qult]3 [qult]1 = [qult]3  1D Donc, le cas le plus critique est le cas 3 ou le cas 1. Notons que si l’on considère la mise du remblai avant la mise de Q, [D]1 sera plus élevé que [D]3 et [qult]1 sera plus élevé que [qult]3. Donc, le cas 3 sera seulement le cas le plus critique. (b) En utilisant la méthode de Peck et coll. (1974), le tassement des cas 1, cas 2 et cas 3 est le même bien que le niveau de la nappe ne soit pas le même. Ce niveau varie au-dessus du niveau de la fondation. Ainsi, cette variation du niveau n’affecte pas la valeur de qadm correspondant au tassement de 25mm puisque la valeur de B et de D/B. Donc, la mise du remblai causera une sollicitation supplémentaire ce qui augmentera le tassement. Ainsi, le cas 1 tassera le plus. Fondations Superficielles Page 14 de 14