Tema d'Enters per a 2n d'ESO

1. Unitat 1: Els nombres enters
1. Introducció
2. Conceptes sobre els enters
3. Suma i resta de nombres enters
4. Multiplicació i divisió de nombres enters
5. Operacions combinades
6. Potències i arrels

2. 1. Introducció
-Els primers nombres apareixen per comptar coses: són els de
tota la vida: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
S'anomenen els Nombres Naturals (N)
-De la necessitat d'expressar que no hi ha res, va aparèixer el
Nombre 0.
-Hi ha alguna cosa més petita que el 0? Els Nombres Negatius
Exemples d'utilització (per parelles):
Ascensor, Termòmetre, Altures topogràfiques, Edats cronològiques,
Economia

3. 1. Introducció
Els Nombres Enters (Z) expressen quantitats exactes o enteres; inclouen
els nombres Naturals o positius, el 0 i els nombres negatius.
Nombres Naturals (N)
Nombres El 0
Enters (Z)
Nombres negatius
Nombres Primers
Nombres compostos
Queden fora dels Enters tots els altres nombres que hi ha entremig:
1,67 -41,3 768/7 -5/6 3,141592...

4. 2. Conceptes sobre els Enters
a) Representació sobre la recta numèrica
b) Nombres oposats
Fer exercici 2
-L'oposat d'un enter és el seu simètric respecte el 0. Dos nombres
oposats es troben a la mateixa distància del 0.
c) El valor absolut
Fer exercici 6
-És la distància a la que un nombre es troba del 0.
Fer exercici 1
d) Comparació entre enters
-Quin d'entre dos enters és més gran? El que es situa més a la
dreta a la recta numèrica.
Fer exercici 3
Deures exercicis 4 i 7

5. 3. Suma i resta de nombres enters
a) Criteris en eliminar parèntesis
-En suprimir un parèntesi precedit del signe +, els signes interiors no
varien.
-En suprimir un parèntesi precedit del signe -, els signes interiors
s'inverteixen.
+ (5 – 7 + 4) = 5 – 7 + 4
- (5 – 7 + 4) = -5 + 7 - 4
b) Suma de dos nombres enters
-Si tots dos són positius, se sumen els valors absoluts i el resultat és
positiu.
-Si tots dos són negatius, se sumen els valors absoluts i el resultat
és negatiu.
-Si un és negatiu i l'altre positiu, es resten els valors absoluts i el
resultat té el signe del que sigui més gran.
6 exemples
6 exemples
6 exemples

6. 3. Suma i resta de nombres enters
c) Resta de dos nombres
-Restar un nombre enter és el mateix que sumar l'oposat.
4 – 13 = 4 + (-13) = -9
d) Suma/resta de diversos nombres
5 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 – 5 + 1) =
-1r eliminarem parèntesis:
12 – (-9) = 12 + 9
Exercicis 5 i 8
5 – 3 + 10 + 4 – 8 + 2 – 7 + 5 – 1 =
-2n ordenarem positius i negatius:
5 + 10 + 4 + 2 + 5 – 3 – 8 – 7 – 1 =
-3r sumarem positius per una banda i negatius per l'altra:
26 – 19 =
7
-4t farem la resta final.

7. 4. Multiplicació i divisió de nombres enters
-Caldrà aplicar la regla dels signes:
Positiu Negatiu
Positiu + -
Negatiu - +
O el que és el mateix:
+ · + = + + · - = -
- · - = + - · + = -
5. Operacions combinades
-Caldrà aplicar la jerarquia de les operacions:
1r) Interior de parèntesis
2n) Multiplicacions i divisions
3r) Sumes i restes
Acabar 9 i 12

8. 6. Potències i arrels
a) Potències de base positiva
-El resultat és sempre un nombre positiu
(+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) = 16
b) Potències de base negativa
(-2)1 = -2
(-2)2 = (-2) · (-2) = +4
(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8
(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16
negatiu
positiu
negatiu
positiu
-En potències de base negativa:
si l'exponent és parell el resultat és positiu
si l'exponent és senar el resultat és negatiu Exercici 2 pàg.56

9. 6. Potències i arrels
c) Potències d'exponent 0
-El resultat sempre és 1.
Demostració: 53
53=125
125=1 Ok?
però també: 53
53=53 :53=53−3=50 per tant, 50=1
Demostració 2: 24 = 2 · 2 · 2 · 2
23 = 2 · 2 · 2
22 = 2 · 2
21 = 2
20 = 1
· 1
· 1
· 1
· 1
En les multiplicacions el nombre
1 sempre hi és, encara que
estigui amagat. (element neutre)
Exemples ràpids

10. 6. Potències i arrels
d) Potències d'exponent negatiu
-Una potència d'exponent negatiu significa la inversa de la mateixa
potència amb exponent positiu.
Demostració: 53
55= 5·5·5
a−n= 1
an
5·5·5·5· 5= 1
52
però també: 53
Exemples ràpids
55=53 :55=53−5=5−2 per tant,
5−2= 1
52

11. 6. Potències i arrels
e) Un error freqüent a tenir en compte:
-En una potència de base negativa la base sempre ha d'estar entre
parèntesis.
(-3)2 = (-3) · (-3) = +9
-32 = -(32) = -(3 · 3) = - (9) = -9
La base és -3.
La base és +3, i el – va a part.
Ex. 3 i 4 pàg.56

12. 6. Potències i arrels
f) Arrels quadrades
-L'arrel quadrada és la operació inversa d'elevar al quadrat.
 25=5⇔52=25  9=3⇔32=9
-Ara bé, també es compleix:
 25=−5⇔−52=25  9=−3⇔−32=9
Per tant, les arrels quadrades tenen dues solucions, la positiva i la
negativa.  25=±5  9=±3
Exemples totes les arrels exactes fins a 169
-Es pot fer l'arrel quadrada d'un nombre negatiu?
−9=∃ No. No hi ha cap nombre que multiplicat per ell
mateix dóni un nombre negatiu. Exemples ràpids

13. Col·lecció problemes
a) Un dia d'hivern a les 12 del migdia, la temperatura al pati de l'institut era
de – 4 °C, i a l'interior de la classe, de 17 °C. Quina era la diferència de
temperaura entre l'interior i l'exterior?
b) El filòsof grec Aristòtil va néixer el 384 aC i va morir el 322 aC. Quina
edat tenia quan va morir?
c) El filòsof romà Ciceró va néixer el 106 aC i va viure 63 anys. En quin
any va morir?
d) Sèneca va néixer 47 anys després de la mort de Ciceró i va viure 61
anys. En quin any va morir?
e) El matemàtic Tales de Milet va morir l’any 546 abans de Crist. Si sabem
que va viure 78 anys, quin any va néixer?
f) Pitàgores va néixer l'any 580 aC i Newton l'any 1643 dC.
a) Quants anys van passar entre els dos naixements?
b) Quants anys van transcórrer des que va morir Pitàgores fins que va
néixer Newton, si Pitàgores es creu que va morir als 83 anys d'edat?