Este documento descreve uma pesquisa sobre números que se comportam como primos em subconjuntos dos inteiros gaussianos. Ele define os inteiros gaussianos, operações nesse conjunto, e conceitos como ideais e elementos primos. O trabalho principal caracteriza números que se comportam como primos em múltiplos de Z[i] e estabelece os teoremas fundamentais sobre esse assunto.
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Mono - UFMG
1. Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Caracterização dos Números que se
Comportam como Primos em Alguns
Subconjuntos dos Inteiros Gaussianos (Z[i])
Aldo Correia Saldanha
Agosto – 2011
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3. 1 - Histórico e Objetivo
O presente trabalho tem início em fins de agosto de 2009, em um
exercício proposto em sala de aula na disciplina Álgebra I dessa Pós-
Graduação.
O exercício proposto era determinar quais são os números que se
comportam como números primos no conjunto dos números pares.
O problema foi resolvido e generalizado para qualquer conjunto de
múltiplos de números primos no conjunto dos números Naturais.
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6. Um número p se comporta como primo em k.N quando o número de
divisores de p em k.N, com quociente em k.N, é igual ao número de divisores
de um número primo em N, ou seja, dois divisores.
k Primos em k.N Divisores do menor primo em k.N
2 8, 12, 20, ... 2, 4
3 18, 27, 45, ... 3, 6
5 50, 75, 125, ... 5, 10
7 98, 147, 245, .. 7, 14
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10. 2 – Conjunto dos Inteiros Gaussianos
O conjunto onde trabalharemos,
conhecido como Conjunto dos Inteiros
Gaussianos, tem esse nome porque foi
feita uma homenagem a um grande
matemático de nome Johann Friederich
Gauss.
Johann Friederich Gauss ( 1777 – 1855 )
nasceu em Burnswick, Alemanha e foi um
dos maiores matemáticos de todos os
tempos.
Sua preferência, no universo da
matemática, está sintetizada na seguinte
frase:
A MATEMÁTICA É A
RAINHA DAS CIÊNCIAS E A
ARITMÉTICA É A RAINHA
DA MATEMÁTCA.
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11. Anel dos Inteiros Gaussianos
• O conjunto dos Inteiros Gaussianos possui uma estrutura
algébrica conhecida como Anel .
• A teoria dos Anéis é um dos principais assuntos do vasto
campo da Álgebra Abstrata.
• Gauss contribuiu para o desenvolvimento da teoria
estudando os inteiros algébricos.
• A teoria dos Anéis foi muito desenvolvida no final do século
XIX e início do século XX.
• A noção abstrata de Anel foi introduzida na segunda década
do século 20.
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12. Definição de Anel
Sejam A um conjunto e ( + ) e ( . ) duas operações em A, chamadas de
adição e multiplicação. A terna ( A , + , . ) será chamada de Anel se as
operações gozarem das seguintes propriedades:
ADIÇÃO
• A1 – A Adição é Associativa
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se a + ( b + c ) = a + ( b + c )
• A2 – A Adição é Comutativa
Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a+b=b+a
• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Adição
Existe z є A tal que z + x = x , para todo x є A
• A4 – Existência do Elemento Simétrico para a Adição
Para todo a є A, existe a’ є A tal que a + a’ = z
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13. MULTIPLICAÇÃO
• A1 – A Multiplicação é Associativa
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se ( a . b ) . c = a . ( b . c )
• A2 – A Multiplicação é Comutativa
Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a . b = b . a
• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação
Existe e є A, e ≠ 0 tal que e . x = x , para todo x є A
DISTRIBUTIVIDADE
•AM – A Multiplicação é distributiva com relação à Adição
Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se
a.(b+c)=a.b+a.c
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19. Definição de Elemento PRIMO
Um elemento p não nulo e não invertível de um
Anel A é dito primo, se toda vez que p divide o
produto de dois elementos de A, p divide um dos
fatores.
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