Plan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdf
Formulas de transformada de laplace
1. BECA BECA BECA
transformada de Laplace
0
( ) . ( ) ( ) st L F t e f t d t
Segundo teorema de traslación
Lg(t) G(s) f (t) 0, t a..y.. f (t) g(t a), t a
( ) ( ) ( ) ( ) as L F t L u t a g t a e L g t
1 1 ( ) ( ) ( ) as
t t a L e G s u t a L G s
transformada inversa de Laplace
1 ( ) ( ) f t LFs
1 L f (t) F(s) f (t) L F(s)
Propiedad de transformada de derivadas
L f (t) sL f (t) f (0)
2 L f (t) s L f (t) sf (0) f (0)
1
1
0
( ) ( ) (0)
n
n n n k k
k
L f t s L f t s f
Linealidad
Laf (t) bg(t) aL f (t)bLg(t)
1 1 1 L aF(s) bG(s) cL F(s) dL G(s)
Propiedad de transformada de integrales
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
a
g t f u d u g t f t
0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t a
a
L f u d u L f t f u d u
s s
T de L escalón unitario
1 ( ) ( )
as as e e
L u t a L u t a
s s
0
1 1
0
1
0 ( ) ( ) ( )
1
........ ( ) ( ) ( )
t
t
a L f u d u L f t
s
L F s L F s d u
s
Propiedad de cambio de escala
1 1
( ) ( ) ( ); 0 s s
k
L f kt l f t F s k
k k k
1 1 ( ) ( ) ( ); 0 t kt L F kt kL F s kf kt k
0 0 0 0
1
... ( ) ... ( )
t t t t
n L f u du dudu L f t
s
1 1
0 0 0 0
1
( ) ... ( ) ...
t t t t
n L F s L F s du dudu
s
“n” es la cantidad de integrales en ambas formulas
Primer teorema de traslación
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at
t t a L f t F s L e f t L f t F s a
1 1 ( ) ( ) ( ) at at L F s a e L F s e f t
Propiedades de la derivación de transformadas
L f (t) F(s)
( ) ( 1) ( )
n
n n
n
d
L t f t L f t
ds
1 1 ( ) ( 1) ( )
n
n n
n
d
L F s t L F s
ds
FORMULARIO TRANSFORMADA DE LAPLACE
2. BECA BECA BECA
Propiedades de la integración de transformadas
( ) ( ) Lf t Fs
( )
( )
s
f t
L L f t ds
t
; 1 1 1
( ) ( )
s
L F s ds L F s
t
La integral que aparece se llama convolución f y g se
representa por f*g; es decir:
0
( ) ( ) ( )
t
f g t f t u g u du
1 1 1 L F(s).G(s) f g L f L g
Propiedades de la transformada de funciones periódicas
Si “f” es una orden exponencial y es periódica con periodo
T>0 (f(x+T) = f(x)), entonces:
0
( ) ( )
( )
1
T
st
sT
e f t d t
L f t
e
Método de Heaviside para transformada inversa de Laplace
Sea
()
()
()
Ps
Fs
Qs
donde el grado de ( ) ( ) o o P s Q s y
Q(s) 0 entonces Q(s) tiene n raíces, entonces:
1
1
( ) ( )
( ) .
( ) ( )
k
n
a t k
k k
P s P a
L F s L e
Q s Q a
Propiedad de adicionales
1) Si f(t) y f´(t) son de orden exponencial, y si f(t) es
continua para todo t>0, entonces:
lim ( ) (0)
s
sF s f
Aplicación de la transformada de L a las ec. Diferenciales
Coef. Cte.
1
1 ( )
0
( ) ( ) (0)
n
n n n k k
k
L y t s L f t s y
Coef. Variable. ( ) ( 1) ( )
n
n n
n
d
L t f t L f t
ds
2) () L f t y 1 L f (t) existe entonces:
0
lim ( ) lim ( )
s t
sF s f t
La función delta de Dirac o función impulso unitario
Función delta de Dirac:
0
(t) lim U(t) U(t )
(Llamada también función impulso unitario) propiedades:
i) 0
0
,
0 0, ( ) t t
t t t t
ii) 0 (t t )dt 1
El teorema de Convolución
Sean f y g funciones continuas por tramos de orden
exponencial.
L f F(s), Lg G(s)
0
( ) ( ) ( ). ( )
t
L f t u g u du F s G s
iii) 0 0 (t t ) f (t)dt f (t )
aplicando en la transformada de Laplace , encontramos que:
0
1 1
( ) lim 1
s e
L t
s s
0
( ) ( ) .
t
L f t u g u du L f L g
1
0
( ). ( ) ( ) ( )
t
L F s G s f t u g u du
0
0 ( ) st L t t e