1. Управление
финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Управление финансовыми рисками Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Занятие 2 Недостатки и
альтернативы
А.В. Сурков
Факультет экономики
Европейский университет в Санкт-Петербурге
18 апреля 2011 г.
2. Управление
Содержание финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Недостатки и
Модели ценности под риском альтернативы
Методы расчета ценности под риском
Проверка адекватности моделей ценности под риском
Развитие моделей ценности под риском
Недостатки моделей ценности под риском и
альтернативные меры риска
3. Управление
Содержание финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Недостатки и
Модели ценности под риском альтернативы
Методы расчета ценности под риском
Проверка адекватности моделей ценности под риском
Развитие моделей ценности под риском
Недостатки моделей ценности под риском и
альтернативные меры риска
4. Управление
Общий обзор методов финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
Аналитические методы – методы локальной оценки моделей
Недостатки и
Линейные модели альтернативы
Нелинейные модели
Численные методы – методы полной переоценки
актива
Метод Монте-Карло
Расчет по исторической информации
Bootstrapping
5. Управление
Локальный метод (1) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Пусть
Модели VaR
фактор риска S имеет какое-то распределение Расчет VaR
Адекватность
ценность инвестиции V монотонно зависит от S, моделей
Развитие
мы можем определить изменение VaRα (δS) для моделей
Недостатки и
заданной доверительной вероятности α, такое что, альтернативы
более экстремальные значения δS, приводящие к
таким же или большим убыткам, могут
реализоваться лишь с вероятностью 1 − α
Тогда
∂V
VaRα (δV ) = · VaRα (δS)
∂S
Достоинства:
Простота
Распределение ценности инвестиции имеет тоже
распределение, что и фактор риска
6. Управление
Локальный метод (2) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Достоинство: в случае нормального распределения Расчет VaR
Адекватность
легко обобщается портфель из нескольких активов и моделей
Развитие
моделей
на несколько факторов риска – дельта-нормальный Недостатки и
альтернативы
метод
Недостаток: локальный метод не учитывает
нелинейные эффекты
Учет следующего члена – метод дельта-гамма
∂V 1 ∂2V
VaRα (δV ) = · VaRα (δS) − · [VaRα (δS)]2
∂S 2 ∂S 2
Недостаток: не учитывает экстремальные сценарии
7. Управление
Методы полной переоценки актива финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Локальный метод не учитывает нелинейные эффекты Развитие
моделей
Недостатки и
Метод полной переоценки актива альтернативы
δV = V (S0 + δS) − V (S0 )
Метод Монте-Карло
Расчет по исторической информации
Bootstrapping
8. Управление
Метод Монте-Карло финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Выбираем случайный процесс, управляющий Модели VaR
Расчет VaR
движением цен базового актива. Например: Адекватность
моделей
Развитие
моделей
dS/S = µdt + σdW Недостатки и
альтернативы
Моделируем достаточное количество реализаций в
течение интересующего периода времени
√
δS/S = µδt + σφ δt, φ ∼ N(0, 1)
Рассчитываем финальную стоимость производного
финансового инструмента для всех реализаций
Определяем VaR для заданной доверительной
вероятности
9. Управление
Пример: $100 в индекс РТС на 1 день финансовыми
рисками
А.В. Сурков
104 Модели VaR
Расчет VaR
103 Адекватность
моделей
Развитие
102 моделей
Недостатки и
альтернативы
101
100
99
98
97
96
95
94
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
10. Управление
Метода Монте-Карло: достоинства и финансовыми
рисками
недостатки А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Достоинства: Адекватность
моделей
Факторы риска могут иметь произвольное поведение Развитие
моделей
Недостатки и
Возможно моделирование портфелей из разных альтернативы
инструментов
Допускаются нелинейные платежи и платежи,
зависящие от истории изменения цен
Возможен учет экстремальных сценариев
Недостатки:
Требовательность к вычислительным мощностям
Чувствительность к предположениям относительно
случайных процессов и их корреляций
11. Управление
Расчет по исторической информации финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Ближайшее будущее похоже на прошлое!? Развитие
моделей
Недостатки и
Предполагаем, что в будущем доходности портфеля альтернативы
будут такими же, как и в прошлом
Строим гистограмму и вычисляем VaR
Возможность взвешивать наблюдения: например,
если есть сезонность, можно данным из сезона, на
который осуществляется прогноз приписывать
больший вес
12. Управление
Расчет по исторической информации: финансовыми
рисками
достоинства и недостатки А.В. Сурков
Достоинства: Модели VaR
Расчет VaR
Простота Адекватность
моделей
Возможность моделирования экстремальных Развитие
моделей
Недостатки и
событий в будущем, если они уже происходили в альтернативы
прошлом
Нет предположений относительно распределений и
корреляций
Недостатки:
Зависимость от периода, за который имеются
данные
Замедленная реакция на структурные сдвиги
Невозможность учета экстремальных событий, если
их еще не было
Как быть с производными инструментами?
13. Управление
Bootstrapping финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Историческая информация: доходности n базовых Модели VaR
активов в определенные моменты в прошлом Расчет VaR
Адекватность
моделей
Извлекаем вектор доходностей n базовых активов в Развитие
моделей
случайный момент времени Недостатки и
альтернативы
Используем для построения первого шага
траекторий всех n базовых активов в будущем
Снова извлекаем вектор доходностей n базовых
активов в случайный момент времени
Так строим траектории цен базовых активов до
нужного временного горизонта
Повторяем процесс для получения нужного числа
реализаций
Рассчитываем VaR по итоговым ценностям портфеля
14. Управление
Bootstrapping: достоинства и недостатки финансовыми
рисками
Достоинства: А.В. Сурков
Факторы риска могут иметь произвольное поведение Модели VaR
Расчет VaR
Возможно моделирование портфелей из разных Адекватность
моделей
инструментов Развитие
моделей
Недостатки и
Допускаются нелинейные платежи и платежи, альтернативы
зависящие от истории изменения цен
Нет предположений относительно распределений и
корреляций
Недостатки:
Зависимость от периода, за который имеются
данные
Необходимость большого объема исторической
информации для генерации достаточного количества
траекторий, однако чем больше объем, тем больше
зависимость от старых данных
15. Управление
Почему оценки VaR могут содержать ошибки финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Неточности в исторических данных или в оценке Развитие
моделей
параметров Недостатки и
альтернативы
Отклонение от предположений аналитической
модели: распределение, нелинейности
Генерация сценариев методом Монте-Карло, не
соотвествующих заявленным характеристикам
Недостаточное количество данных для расчета по
исторической информации или bootsrapping
16. Управление
Backtesting финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Как проверить, насколько хорошо то значение VaR, что Модели VaR
мы получили с помощью нашей модели? Расчет VaR
Адекватность
моделей
Пусть VaR определяется для доверительной Развитие
моделей
вероятности α. Недостатки и
альтернативы
Тогда p0 = 1 − α – вероятность превышения VaR,
если VaR откалибрована правильно.
Подсчитываем количество превышений VaR n в N
ˆ
наблюдениях
H0 : VaR откалибрована правильно, p = p0 .
Пусть n > Np0 . H1 : VaR откалибрована неправильно
ˆ
и p > p0
H1 : VaR откалибрована неправильно и p = p0
17. Управление
Биномиальное распределение финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
При H0 распределение количества превышений x в Адекватность
моделей
выборке из N наблюдений Развитие
моделей
Недостатки и
альтернативы
fN,p0 (x) = Cn p0 (1 − p0 )N−x
x x
x N!
Cn = , x = 0, 1, . . . , N
x!(N − x)!
Ex = Np0
Vx = Np0 (1 − p0 )
18. Управление
Плотность биномиального распределения финансовыми
рисками
А.В. Сурков
0,09 Модели VaR
Расчет VaR
0,08 Адекватность
моделей
Развитие
0,07 моделей
Недостатки и
0,06 альтернативы
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
N = 500, p0 = 0.05
19. Управление
Функция распределения финансовыми
рисками
А.В. Сурков
1 Модели VaR
Расчет VaR
0,9 Адекватность
моделей
0,8 Развитие
моделей
Недостатки и
0,7 альтернативы
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
N = 500, p0 = 0.05
20. Управление
Квантили биномиального распределения (1) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Зададимся уровнем значимости α ≡ α.
Модели VaR
Верхняя односторонняя квантиль для уровня Расчет VaR
+ Адекватность
значимости α – это BN,p0 (α ): моделей
Развитие
моделей
Недостатки и
N N альтернативы
fN,p0 (x) ≤ α , fN,p0 (x) > α
+ +
x=BN,p (α ) x=BN,p (α )−1
0 0
Нижняя односторонняя квантиль для уровня
−
значимости α – это BN,p0 (α ):
− −
BN,p (α ) BN,p (α )+1
0 0
fN,p0 (x) ≤ α , fN,p0 (x) > α
x=0 x=0
21. Управление
Квантили биномиального распределения (2) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
Распределение не меняется при одновременной моделей
Развитие
моделей
замене Недостатки и
альтернативы
p0 → 1 − p0 , x →N −x
+ −
BN,p0 (α ) = N − BN,1−p0 (α )
Функция Excel БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) возвращает
−
BN,p0 (α ) + 1.
−
BN,p0 (α ) =БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) − 1
+
BN,p0 (α ) = N−БИНОМ.ОБР(N; 1 − p0 ; α ) + 1
22. Управление
Квантили биномиального распределения (3) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
0,09 Модели VaR
Расчет VaR
0,08 Адекватность
моделей
Развитие
0,07 моделей
Недостатки и
0,06 альтернативы
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
− +
N= 500, p0 = 0.05, BN,p0 (0.01) = 13, BN,p0 (0.01) = 38
23. Управление
Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительно финансовыми
рисками
односторонней альтернативы H1 : p > p0 А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
+ моделей
Если n ≤
ˆ BN,p0 (α ) − 1, то H0 отвергнуть не можем. Развитие
моделей
+ Недостатки и
Если n ≥
ˆ BN,p0 (α ), то H0 отвергаем в пользу H1 . альтернативы
Или через p-value π
N
π= fN,p0 (x)
x=ˆ
n
Если π > α , то H0 отвергнуть не можем
Если π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1
Excel: π = 1−БИНОМ.РАСП(ˆ − 1; N; p0 ; 1)
n
24. Управление
Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительно финансовыми
рисками
двусторонней альтернативы H1 : p = p0 А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
− + Адекватность
Если BN,p0 (α /2) + 1 ≤ n ≤ BN,p0 (α /2) − 1, то H0
ˆ моделей
Развитие
отвергнуть не можем. моделей
Недостатки и
альтернативы
+ −
Если n ≥ BN,p0 (α /2) или n ≤ BN,p0 (α /2), то H0
ˆ ˆ
отвергаем в пользу H1 .
Или через p-value π (point-probability method)
π = fN,p0 (ˆ) +
n fN,p0 (x)
x:fN,p0 (x)<fN,p0 (ˆ)
n
π > α , то H0 отвергнуть не можем.
π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1 .
25. Управление
Пример финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
Для портфеля из индекса РТС стоимостью $100 моделей
Развитие
VaR95% = 4.2. моделей
Недостатки и
альтернативы
Пусть из N = 500 наблюдений, в n = 29 случаях
ˆ
превышен порог потерь.
Верно ли, что p = 1 − 95%? Пусть α = 0.1.
+
BN,p0 (α ) = 32; 29 ≤ 31; π = 0.23; H0 против H1
отвергнуть не можем
− +
BN,p0 (α /2) = 16; BN,p0 (α /2) = 34; 17 ≤ 29 ≤ 33; H0
против H1 отвергнуть не можем
26. Управление
Борьба с отсутствием нормальности финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Недостатки и
альтернативы
Использование распределения Стьюдента
Использование смеси нормальных распределений
Отказ от предположения i.i.d.
27. Управление
Кластеризация волатильности финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
Сегодняшняя волатильность положительно моделей
Недостатки и
коррелирует с вчерашней альтернативы
Имеет смысл рассматривать условную волатильность
– волатильность при условии ближайшего прошлого
EWMA – exponentially weighted moving average
GARCH – generalised autoregressive conditional
heteroscedasticity
28. Управление
Пример: дневной доходность индекса РТС финансовыми
рисками
А.В. Сурков
0,2 Модели VaR
Расчет VaR
0,15 Адекватность
моделей
Развитие
0,1 моделей
Недостатки и
альтернативы
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
04.09.1995
04.09.1996
04.09.1997
04.09.1998
04.09.1999
04.09.2000
04.09.2001
04.09.2002
04.09.2003
04.09.2004
04.09.2005
04.09.2006
04.09.2007
04.09.2008
04.09.2009
04.09.2010
29. Управление
EWMA финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Сегодняшняя оценка волатильности
Модели VaR
ˆ2 2
σ2
σt = (1 − λ) rt−1 + λˆt−1 , 0≤λ≤1 Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
RiskMetrics: λ = 0.94 для дневных данных Недостатки и
альтернативы
Или, более практично:
n
(1 − λ)τ rt−τ
2
τ =1
ˆ2
σt = n
(1 − λ)τ
τ =1
λ = 0.94, C = 0.002, λn < C ⇒ n = 100
Для ковариации
ˆ2 σ2
σij,t = (1 − λ) ri,t−1 rj,t−1 + λˆij,t−1
30. Управление
Пример: сглаженная волатильность для финансовыми
рисками
индекса РТС А.В. Сурков
Модели VaR
0,2 Расчет VaR
Адекватность
моделей
0,15 Развитие
моделей
0,1 Недостатки и
альтернативы
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
04.09.1995
04.09.1996
04.09.1997
04.09.1998
04.09.1999
04.09.2000
04.09.2001
04.09.2002
04.09.2003
04.09.2004
04.09.2005
04.09.2006
04.09.2007
04.09.2008
04.09.2009
04.09.2010
31. Управление
Отступление: RiskMetrics финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Недостатки и
альтернативы
Бесплатная услуга, предлагавшаяся в 1994 г.
JPMorgan для продвижения VaR
RiskMetrics Technical Document + обновляющаяся
ковариационная матрица для нескольких сотен
факторов риска
Затем отдельная фирма – консалтинг и программное
обеспечение
2010: Morgan Stanley Capital International (MSCI,
http://www.msci.com/, рассчитывает MSCI Global
Equity Indices) приобретает RiskMetrics за $1.55 млрд.
32. Управление
GARCH финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Методом максимального правдоподобия Адекватность
моделей
оцениваются уравнения Развитие
моделей
Недостатки и
альтернативы
2 2 2
rt = c+θ(L)rt−1 +φ(L) t , σt = ω+α(L) t−1 +β(L)σt−1
Пример: доходность индекса РТС
ˆt
r = 0.002 + 0.13 rt−1
(s.e.) (3·10−4 ) (0.02)
σt = 1.4 · 10−5 + 0.15
ˆ2 2
t−1
2
+ 0.84 σt−1
(s.e.) (10−6 ) (8·10−3 ) (8·10−3 )
33. 0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0
05.09.1995
05.09.1996
05.09.1997
05.09.1998
05.09.1999
05.09.2000
05.09.2001
05.09.2002
05.09.2003
Пример: EWMA vs. GARCH
05.09.2004
05.09.2005
05.09.2006
05.09.2007
05.09.2008
05.09.2009
05.09.2010
моделей
моделей
Развитие
Расчет VaR
рисками
Модели VaR
Недостатки и
Адекватность
альтернативы
Управление
А.В. Сурков
финансовыми
34. Управление
Применение EWMA и GARCH финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Аналитическая модель VaR Недостатки и
альтернативы
Моделирование по историческим данным с
использованием стандартизированных доходностей
(деленных на волатильность)
Моделирование методом Монте-Карло с
соответствующими ковариационными матрицами
35. Управление
Недостатки VaR финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
Не описывает наибольших убытков: дневная VaR95% моделей
Недостатки и
превышается в среднем в один день из 20 альтернативы
Не описывает распределение потерь в хвосте :
разные распределения могут давать одинаковые
значения VaR
Измеряется с ошибкой и подвержена модельному
риску
36. Управление
Требования к мере риска ρ(X ) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Недостатки и
Монотонность: X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X1 ) ≥ ρ(X2 ) альтернативы
Трансляционная инвариантность:
ρ(X + k) = ρ(X ) − k
Однородность: ρ(bX ) = bρ(X )
Субаддитивность: ρ(X1 + X2 ) ≤ ρ(X1 ) + ρ(X2 )
37. Управление
Почему VaR не всегда субаддитивна? финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Если доходности распределены нормально – Развитие
моделей
субаддитивность есть. Недостатки и
альтернативы
Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,
C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.
События дефолта независимы.
Для каждой из облигаций VaR99% =?
38. Управление
Почему VaR не всегда субаддитивна? финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Если доходности распределены нормально – Развитие
моделей
субаддитивность есть. Недостатки и
альтернативы
Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,
C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.
События дефолта независимы.
Для каждой из облигаций VaR99% =?
Для каждой из облигаций VaR99% = $0
Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?
39. Управление
Пример: VaR не всегда субаддитивна финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Состояние Вероятность Потери Развитие
моделей
Недостатки и
Нет дефолта 0.9850749 $0 альтернативы
1 дефолт 0.0148504 $100
2 дефолта 0.0000746 $200
3 дефолта 0.0000001 $300
VaR99% = $100
40. Управление
Альтернативные меры риска (1) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Все распределение ⇒ набор VaR для возрастающих Расчет VaR
Адекватность
доверительных вероятностей моделей
Развитие
моделей
Условная VaR – ожидаемые потери, при условии, что Недостатки и
альтернативы
они превосходят VaR.
−VaRα
1
CVaRα = E [X |X < −VaRα ] = xf (x) dx
1−α
−∞
Субаддитивна
Пример: для $100 в индексе РТС ожидаемые потери
сверх VaR95% = 4.2 равны CVaR95% = $6.6.
41. Управление
Пример финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Пусть даны 30 доходностей за период (в %): Недостатки и
альтернативы
−16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0,
0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21
VaR90% =?, CVaR90% =?
42. Управление
Пример финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Модели VaR
Расчет VaR
Адекватность
моделей
Развитие
моделей
Пусть даны 30 доходностей за период (в %): Недостатки и
альтернативы
−16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0,
0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21
VaR90% =?, CVaR90% =?
VaR90% = 10, CVaR90% = 15
43. Управление
Альтернативные меры риска (2) финансовыми
рисками
А.В. Сурков
Стандартное отклонение
Модели VaR
Расчет VaR
N Адекватность
1 2 моделей
SD = (xi − EX ) Развитие
N −1 моделей
Недостатки и
i=1 альтернативы
Субаддитивна
Учитывает все наблюдения, а не только в хвосте.
Недостаток: не отличает прибыли от убытков
Полустандартное отклонение – учитывает только
потери
N
1
SDL = [min (xi , 0)]2
NL
i=1
Менее популярна, чем VaR