SlideShare a Scribd company logo
1 of 43
Download to read offline
Управление
                                                финансовыми
                                                  рисками

                                                А.В. Сурков


                                               Модели VaR
                                               Расчет VaR

Управление финансовыми рисками                 Адекватность
                                               моделей
                                               Развитие
                                               моделей
                 Занятие 2                     Недостатки и
                                               альтернативы




               А.В. Сурков

             Факультет экономики
  Европейский университет в Санкт-Петербурге


            18 апреля 2011 г.
Управление
Содержание                                             финансовыми
                                                         рисками

                                                       А.В. Сурков


                                                      Модели VaR
                                                      Расчет VaR
                                                      Адекватность
                                                      моделей
                                                      Развитие
                                                      моделей
                                                      Недостатки и
Модели ценности под риском                            альтернативы

  Методы расчета ценности под риском
  Проверка адекватности моделей ценности под риском
  Развитие моделей ценности под риском
  Недостатки моделей ценности под риском и
  альтернативные меры риска
Управление
Содержание                                             финансовыми
                                                         рисками

                                                       А.В. Сурков


                                                      Модели VaR
                                                      Расчет VaR
                                                      Адекватность
                                                      моделей
                                                      Развитие
                                                      моделей
                                                      Недостатки и
Модели ценности под риском                            альтернативы

  Методы расчета ценности под риском
  Проверка адекватности моделей ценности под риском
  Развитие моделей ценности под риском
  Недостатки моделей ценности под риском и
  альтернативные меры риска
Управление
Общий обзор методов                                  финансовыми
                                                       рисками

                                                     А.В. Сурков


                                                    Модели VaR
                                                    Расчет VaR
                                                    Адекватность
                                                    моделей
                                                    Развитие
   Аналитические методы – методы локальной оценки   моделей
                                                    Недостатки и
       Линейные модели                              альтернативы

       Нелинейные модели
   Численные методы – методы полной переоценки
   актива
       Метод Монте-Карло
       Расчет по исторической информации
       Bootstrapping
Управление
Локальный метод (1)                                         финансовыми
                                                              рисками

                                                            А.В. Сурков

    Пусть
                                                           Модели VaR
        фактор риска S имеет какое-то распределение        Расчет VaR
                                                           Адекватность
        ценность инвестиции V монотонно зависит от S,      моделей
                                                           Развитие
        мы можем определить изменение VaRα (δS) для        моделей
                                                           Недостатки и
        заданной доверительной вероятности α, такое что,   альтернативы

        более экстремальные значения δS, приводящие к
        таким же или большим убыткам, могут
        реализоваться лишь с вероятностью 1 − α
    Тогда
                              ∂V
               VaRα (δV ) =      · VaRα (δS)
                              ∂S
    Достоинства:
        Простота
        Распределение ценности инвестиции имеет тоже
        распределение, что и фактор риска
Управление
Локальный метод (2)                                          финансовыми
                                                               рисками

                                                             А.В. Сурков


                                                            Модели VaR
    Достоинство: в случае нормального распределения         Расчет VaR
                                                            Адекватность
    легко обобщается портфель из нескольких активов и       моделей
                                                            Развитие
                                                            моделей
    на несколько факторов риска – дельта-нормальный         Недостатки и
                                                            альтернативы
    метод
    Недостаток: локальный метод не учитывает
    нелинейные эффекты
    Учет следующего члена – метод дельта-гамма

                   ∂V               1 ∂2V
    VaRα (δV ) =      · VaRα (δS) −        · [VaRα (δS)]2
                   ∂S               2 ∂S 2

    Недостаток: не учитывает экстремальные сценарии
Управление
Методы полной переоценки актива                        финансовыми
                                                         рисками

                                                       А.В. Сурков


                                                      Модели VaR
                                                      Расчет VaR
                                                      Адекватность
                                                      моделей
    Локальный метод не учитывает нелинейные эффекты   Развитие
                                                      моделей
                                                      Недостатки и
    Метод полной переоценки актива                    альтернативы



                δV = V (S0 + δS) − V (S0 )


        Метод Монте-Карло
        Расчет по исторической информации
        Bootstrapping
Управление
Метод Монте-Карло                                    финансовыми
                                                       рисками

                                                     А.В. Сурков


   Выбираем случайный процесс, управляющий          Модели VaR
                                                    Расчет VaR
   движением цен базового актива. Например:         Адекватность
                                                    моделей
                                                    Развитие
                                                    моделей
                  dS/S = µdt + σdW                  Недостатки и
                                                    альтернативы


   Моделируем достаточное количество реализаций в
   течение интересующего периода времени
                          √
          δS/S = µδt + σφ δt,     φ ∼ N(0, 1)

   Рассчитываем финальную стоимость производного
   финансового инструмента для всех реализаций
   Определяем VaR для заданной доверительной
   вероятности
Управление
Пример: $100 в индекс РТС на 1 день                                  финансовыми
                                                                       рисками

                                                                     А.В. Сурков


104                                                                 Модели VaR
                                                                    Расчет VaR
103                                                                 Адекватность
                                                                    моделей
                                                                    Развитие
102                                                                 моделей
                                                                    Недостатки и
                                                                    альтернативы
101
100
 99
 98
 97
 96
 95
 94
      0   0,1   0,2   0,3   0,4   0,5   0,6   0,7   0,8   0,9   1
Управление
Метода Монте-Карло: достоинства и                       финансовыми
                                                          рисками
недостатки                                              А.В. Сурков


                                                       Модели VaR
                                                       Расчет VaR
Достоинства:                                           Адекватность
                                                       моделей

    Факторы риска могут иметь произвольное поведение   Развитие
                                                       моделей
                                                       Недостатки и
    Возможно моделирование портфелей из разных         альтернативы


    инструментов
    Допускаются нелинейные платежи и платежи,
    зависящие от истории изменения цен
    Возможен учет экстремальных сценариев
Недостатки:
    Требовательность к вычислительным мощностям
    Чувствительность к предположениям относительно
    случайных процессов и их корреляций
Управление
Расчет по исторической информации                       финансовыми
                                                          рисками

                                                        А.В. Сурков


                                                       Модели VaR
                                                       Расчет VaR
                                                       Адекватность
                                                       моделей
    Ближайшее будущее похоже на прошлое!?              Развитие
                                                       моделей
                                                       Недостатки и
    Предполагаем, что в будущем доходности портфеля    альтернативы

    будут такими же, как и в прошлом
    Строим гистограмму и вычисляем VaR
    Возможность взвешивать наблюдения: например,
    если есть сезонность, можно данным из сезона, на
    который осуществляется прогноз приписывать
    больший вес
Управление
Расчет по исторической информации:                     финансовыми
                                                         рисками
достоинства и недостатки                               А.В. Сурков

Достоинства:                                          Модели VaR
                                                      Расчет VaR
    Простота                                          Адекватность
                                                      моделей
    Возможность моделирования экстремальных           Развитие
                                                      моделей
                                                      Недостатки и
    событий в будущем, если они уже происходили в     альтернативы

    прошлом
    Нет предположений относительно распределений и
    корреляций
Недостатки:
    Зависимость от периода, за который имеются
    данные
    Замедленная реакция на структурные сдвиги
    Невозможность учета экстремальных событий, если
    их еще не было
    Как быть с производными инструментами?
Управление
Bootstrapping                                           финансовыми
                                                          рисками

                                                        А.В. Сурков

    Историческая информация: доходности n базовых      Модели VaR
    активов в определенные моменты в прошлом           Расчет VaR
                                                       Адекватность
                                                       моделей
    Извлекаем вектор доходностей n базовых активов в   Развитие
                                                       моделей
    случайный момент времени                           Недостатки и
                                                       альтернативы

    Используем для построения первого шага
    траекторий всех n базовых активов в будущем
    Снова извлекаем вектор доходностей n базовых
    активов в случайный момент времени
    Так строим траектории цен базовых активов до
    нужного временного горизонта
    Повторяем процесс для получения нужного числа
    реализаций
    Рассчитываем VaR по итоговым ценностям портфеля
Управление
Bootstrapping: достоинства и недостатки                 финансовыми
                                                          рисками

Достоинства:                                            А.В. Сурков

    Факторы риска могут иметь произвольное поведение   Модели VaR
                                                       Расчет VaR
    Возможно моделирование портфелей из разных         Адекватность
                                                       моделей
    инструментов                                       Развитие
                                                       моделей
                                                       Недостатки и
    Допускаются нелинейные платежи и платежи,          альтернативы

    зависящие от истории изменения цен
    Нет предположений относительно распределений и
    корреляций
Недостатки:
    Зависимость от периода, за который имеются
    данные
    Необходимость большого объема исторической
    информации для генерации достаточного количества
    траекторий, однако чем больше объем, тем больше
    зависимость от старых данных
Управление
Почему оценки VaR могут содержать ошибки              финансовыми
                                                        рисками

                                                      А.В. Сурков


                                                     Модели VaR
                                                     Расчет VaR
                                                     Адекватность
                                                     моделей
    Неточности в исторических данных или в оценке    Развитие
                                                     моделей
    параметров                                       Недостатки и
                                                     альтернативы

    Отклонение от предположений аналитической
    модели: распределение, нелинейности
    Генерация сценариев методом Монте-Карло, не
    соотвествующих заявленным характеристикам
    Недостаточное количество данных для расчета по
    исторической информации или bootsrapping
Управление
Backtesting                                               финансовыми
                                                            рисками

                                                          А.В. Сурков

Как проверить, насколько хорошо то значение VaR, что     Модели VaR
мы получили с помощью нашей модели?                      Расчет VaR
                                                         Адекватность
                                                         моделей
    Пусть VaR определяется для доверительной             Развитие
                                                         моделей

    вероятности α.                                       Недостатки и
                                                         альтернативы


    Тогда p0 = 1 − α – вероятность превышения VaR,
    если VaR откалибрована правильно.
    Подсчитываем количество превышений VaR n в N
                                           ˆ
    наблюдениях
    H0 : VaR откалибрована правильно, p = p0 .
    Пусть n > Np0 . H1 : VaR откалибрована неправильно
          ˆ
    и p > p0
    H1 : VaR откалибрована неправильно и p = p0
Управление
Биномиальное распределение                               финансовыми
                                                           рисками

                                                         А.В. Сурков


                                                        Модели VaR
                                                        Расчет VaR
При H0 распределение количества превышений x в          Адекватность
                                                        моделей

выборке из N наблюдений                                 Развитие
                                                        моделей
                                                        Недостатки и
                                                        альтернативы

               fN,p0 (x) = Cn p0 (1 − p0 )N−x
                            x x


           x         N!
          Cn =              ,     x = 0, 1, . . . , N
                 x!(N − x)!

    Ex = Np0
    Vx = Np0 (1 − p0 )
Управление
Плотность биномиального распределения                           финансовыми
                                                                  рисками

                                                                А.В. Сурков


 0,09                                                          Модели VaR
                                                               Расчет VaR
 0,08                                                          Адекватность
                                                               моделей
                                                               Развитие
 0,07                                                          моделей
                                                               Недостатки и
 0,06                                                          альтернативы


 0,05
 0,04
 0,03
 0,02
 0,01
   0
        0   5   10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

                        N = 500, p0 = 0.05
Управление
Функция распределения                                                          финансовыми
                                                                                 рисками

                                                                               А.В. Сурков


  1                                                                           Модели VaR
                                                                              Расчет VaR
 0,9                                                                          Адекватность
                                                                              моделей
 0,8                                                                          Развитие
                                                                              моделей
                                                                              Недостатки и
 0,7                                                                          альтернативы

 0,6
 0,5
 0,4
 0,3
 0,2
 0,1
  0
       0   5   10   15   20 25 30   35   40 45   50   55 60 65   70   75 80
                           N = 500, p0 = 0.05
Управление
Квантили биномиального распределения (1)                              финансовыми
                                                                        рисками

                                                                      А.В. Сурков
Зададимся уровнем значимости α ≡ α.
                                                                     Модели VaR
    Верхняя односторонняя квантиль для уровня                        Расчет VaR
                        +                                            Адекватность
    значимости α – это BN,p0 (α ):                                   моделей
                                                                     Развитие
                                                                     моделей
                                                                     Недостатки и
         N                                  N                        альтернативы


                   fN,p0 (x) ≤ α ,                   fN,p0 (x) > α
        +                               +
     x=BN,p (α )                     x=BN,p (α )−1
             0                              0


    Нижняя односторонняя квантиль для уровня
                        −
    значимости α – это BN,p0 (α ):

        −                             −
       BN,p (α )                     BN,p (α )+1
             0                          0

                   fN,p0 (x) ≤ α ,                 fN,p0 (x) > α
         x=0                            x=0
Управление
Квантили биномиального распределения (2)                финансовыми
                                                          рисками

                                                        А.В. Сурков


                                                       Модели VaR
                                                       Расчет VaR
                                                       Адекватность
    Распределение не меняется при одновременной        моделей
                                                       Развитие
                                                       моделей
    замене                                             Недостатки и
                                                       альтернативы
               p0 → 1 − p0 ,    x →N −x
     +                −
    BN,p0 (α ) = N − BN,1−p0 (α )
    Функция Excel БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) возвращает
     −
    BN,p0 (α ) + 1.
         −
        BN,p0 (α ) =БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) − 1
         +
        BN,p0 (α ) = N−БИНОМ.ОБР(N; 1 − p0 ; α ) + 1
Управление
Квантили биномиального распределения (3)                            финансовыми
                                                                      рисками

                                                                    А.В. Сурков


 0,09                                                              Модели VaR
                                                                   Расчет VaR
 0,08                                                              Адекватность
                                                                   моделей
                                                                   Развитие
 0,07                                                              моделей
                                                                   Недостатки и
 0,06                                                              альтернативы


 0,05
 0,04
 0,03
 0,02
 0,01
   0
        0   5  10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
                             −                  +
   N=       500, p0 = 0.05, BN,p0 (0.01) = 13, BN,p0 (0.01) = 38
Управление
Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительно                     финансовыми
                                                                 рисками
односторонней альтернативы H1 : p > p0                         А.В. Сурков


                                                              Модели VaR
                                                              Расчет VaR
                                                              Адекватность
                +                                             моделей
    Если n ≤
         ˆ     BN,p0 (α   ) − 1, то H0 отвергнуть не можем.   Развитие
                                                              моделей
                +                                             Недостатки и
    Если n ≥
         ˆ     BN,p0 (α   ), то H0 отвергаем в пользу H1 .    альтернативы


    Или через p-value π
                                N
                           π=         fN,p0 (x)
                                x=ˆ
                                  n


        Если π > α , то H0 отвергнуть не можем
        Если π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1
        Excel: π = 1−БИНОМ.РАСП(ˆ − 1; N; p0 ; 1)
                                    n
Управление
Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительно                         финансовыми
                                                                     рисками
двусторонней альтернативы H1 : p = p0                              А.В. Сурков


                                                                  Модели VaR
                                                                  Расчет VaR
           −                     +                                Адекватность
    Если BN,p0 (α /2) + 1 ≤ n ≤ BN,p0 (α /2) − 1, то H0
                            ˆ                                     моделей
                                                                  Развитие
    отвергнуть не можем.                                          моделей
                                                                  Недостатки и
                                                                  альтернативы
               +                   −
    Если n ≥ BN,p0 (α /2) или n ≤ BN,p0 (α /2), то H0
         ˆ                    ˆ
    отвергаем в пользу H1 .
    Или через p-value π (point-probability method)

            π = fN,p0 (ˆ) +
                       n                              fN,p0 (x)
                              x:fN,p0 (x)<fN,p0 (ˆ)
                                                 n


        π > α , то H0 отвергнуть не можем.
        π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1 .
Управление
Пример                                                       финансовыми
                                                               рисками

                                                             А.В. Сурков


                                                            Модели VaR
                                                            Расчет VaR
                                                            Адекватность
   Для портфеля из индекса РТС стоимостью $100              моделей
                                                            Развитие
   VaR95% = 4.2.                                            моделей
                                                            Недостатки и
                                                            альтернативы
   Пусть из N = 500 наблюдений, в n = 29 случаях
                                  ˆ
   превышен порог потерь.
   Верно ли, что p = 1 − 95%? Пусть α = 0.1.
     +
   BN,p0 (α ) = 32; 29 ≤ 31; π = 0.23; H0 против H1
   отвергнуть не можем
    −                  +
   BN,p0 (α /2) = 16; BN,p0 (α /2) = 34; 17 ≤ 29 ≤ 33; H0
   против H1 отвергнуть не можем
Управление
Борьба с отсутствием нормальности                   финансовыми
                                                      рисками

                                                    А.В. Сурков


                                                   Модели VaR
                                                   Расчет VaR
                                                   Адекватность
                                                   моделей
                                                   Развитие
                                                   моделей
                                                   Недостатки и
                                                   альтернативы

    Использование распределения Стьюдента
    Использование смеси нормальных распределений
    Отказ от предположения i.i.d.
Управление
Кластеризация волатильности                             финансовыми
                                                          рисками

                                                        А.В. Сурков


                                                       Модели VaR
                                                       Расчет VaR
                                                       Адекватность
                                                       моделей
                                                       Развитие
    Сегодняшняя волатильность положительно             моделей
                                                       Недостатки и
    коррелирует с вчерашней                            альтернативы


    Имеет смысл рассматривать условную волатильность
    – волатильность при условии ближайшего прошлого
    EWMA – exponentially weighted moving average
    GARCH – generalised autoregressive conditional
    heteroscedasticity
Управление
Пример: дневной доходность индекса РТС                                                                                                                                                                                    финансовыми
                                                                                                                                                                                                                            рисками

                                                                                                                                                                                                                          А.В. Сурков


  0,2                                                                                                                                                                                                                    Модели VaR
                                                                                                                                                                                                                         Расчет VaR
 0,15                                                                                                                                                                                                                    Адекватность
                                                                                                                                                                                                                         моделей
                                                                                                                                                                                                                         Развитие
  0,1                                                                                                                                                                                                                    моделей
                                                                                                                                                                                                                         Недостатки и
                                                                                                                                                                                                                         альтернативы
 0,05
    0
 -0,05
  -0,1
 -0,15
  -0,2
         04.09.1995
                      04.09.1996
                                   04.09.1997
                                                04.09.1998
                                                             04.09.1999
                                                                          04.09.2000
                                                                                       04.09.2001
                                                                                                    04.09.2002
                                                                                                                 04.09.2003
                                                                                                                              04.09.2004
                                                                                                                                           04.09.2005
                                                                                                                                                        04.09.2006
                                                                                                                                                                     04.09.2007
                                                                                                                                                                                  04.09.2008
                                                                                                                                                                                               04.09.2009
                                                                                                                                                                                                            04.09.2010
Управление
EWMA                                                   финансовыми
                                                         рисками

                                                       А.В. Сурков
  Сегодняшняя оценка волатильности
                                                      Модели VaR
         ˆ2            2
                              σ2
         σt = (1 − λ) rt−1 + λˆt−1 ,        0≤λ≤1     Расчет VaR
                                                      Адекватность
                                                      моделей
                                                      Развитие
                                                      моделей
  RiskMetrics: λ = 0.94 для дневных данных            Недостатки и
                                                      альтернативы
  Или, более практично:
                          n
                              (1 − λ)τ rt−τ
                                        2
                         τ =1
                  ˆ2
                  σt =       n
                                 (1 − λ)τ
                           τ =1

  λ = 0.94, C = 0.002, λn < C ⇒ n = 100
  Для ковариации

           ˆ2                               σ2
           σij,t = (1 − λ) ri,t−1 rj,t−1 + λˆij,t−1
Управление
Пример: сглаженная волатильность для                                                                                                                                                                                     финансовыми
                                                                                                                                                                                                                           рисками
индекса РТС                                                                                                                                                                                                              А.В. Сурков


                                                                                                                                                                                                                        Модели VaR
  0,2                                                                                                                                                                                                                   Расчет VaR
                                                                                                                                                                                                                        Адекватность
                                                                                                                                                                                                                        моделей
 0,15                                                                                                                                                                                                                   Развитие
                                                                                                                                                                                                                        моделей
  0,1                                                                                                                                                                                                                   Недостатки и
                                                                                                                                                                                                                        альтернативы

 0,05
   0
-0,05
 -0,1
-0,15
 -0,2
        04.09.1995
                     04.09.1996
                                  04.09.1997
                                               04.09.1998
                                                            04.09.1999
                                                                         04.09.2000
                                                                                      04.09.2001
                                                                                                   04.09.2002
                                                                                                                04.09.2003
                                                                                                                             04.09.2004
                                                                                                                                          04.09.2005
                                                                                                                                                       04.09.2006
                                                                                                                                                                    04.09.2007
                                                                                                                                                                                 04.09.2008
                                                                                                                                                                                              04.09.2009
                                                                                                                                                                                                           04.09.2010
Управление
Отступление: RiskMetrics                                      финансовыми
                                                                рисками

                                                              А.В. Сурков


                                                             Модели VaR
                                                             Расчет VaR
                                                             Адекватность
                                                             моделей
                                                             Развитие
                                                             моделей
                                                             Недостатки и
                                                             альтернативы
    Бесплатная услуга, предлагавшаяся в 1994 г.
    JPMorgan для продвижения VaR
    RiskMetrics Technical Document + обновляющаяся
    ковариационная матрица для нескольких сотен
    факторов риска
    Затем отдельная фирма – консалтинг и программное
    обеспечение
    2010: Morgan Stanley Capital International (MSCI,
    http://www.msci.com/, рассчитывает MSCI Global
    Equity Indices) приобретает RiskMetrics за $1.55 млрд.
Управление
GARCH                                                                    финансовыми
                                                                           рисками

                                                                         А.В. Сурков


                                                                        Модели VaR
                                                                        Расчет VaR
   Методом максимального правдоподобия                                  Адекватность
                                                                        моделей
   оцениваются уравнения                                                Развитие
                                                                        моделей
                                                                        Недостатки и
                                                                        альтернативы
                                    2                   2         2
   rt = c+θ(L)rt−1 +φ(L) t ,       σt = ω+α(L)          t−1 +β(L)σt−1

   Пример: доходность индекса РТС

                   ˆt
                   r      = 0.002 + 0.13 rt−1
                 (s.e.)     (3·10−4 )      (0.02)


         σt = 1.4 · 10−5 + 0.15
         ˆ2                                 2
                                            t−1
                                                          2
                                                  + 0.84 σt−1
        (s.e.)   (10−6 )       (8·10−3 )            (8·10−3 )
0,02
                        0,04
                               0,06
                                         0,08
                                                0,1




             0
05.09.1995
05.09.1996
05.09.1997
05.09.1998
05.09.1999
05.09.2000
05.09.2001
05.09.2002
05.09.2003
                                                                                    Пример: EWMA vs. GARCH




05.09.2004
05.09.2005
05.09.2006
05.09.2007
05.09.2008
05.09.2009
05.09.2010
                                      моделей
                                      моделей
                                      Развитие
                                      Расчет VaR
                                                                                   рисками




                                                      Модели VaR




                                      Недостатки и
                                      Адекватность




                                      альтернативы
                                                                                  Управление



                                                                   А.В. Сурков
                                                                                 финансовыми
Управление
Применение EWMA и GARCH                              финансовыми
                                                       рисками

                                                     А.В. Сурков


                                                    Модели VaR
                                                    Расчет VaR
                                                    Адекватность
                                                    моделей
                                                    Развитие
                                                    моделей
   Аналитическая модель VaR                         Недостатки и
                                                    альтернативы

   Моделирование по историческим данным с
   использованием стандартизированных доходностей
   (деленных на волатильность)
   Моделирование методом Монте-Карло с
   соответствующими ковариационными матрицами
Управление
Недостатки VaR                                        финансовыми
                                                        рисками

                                                      А.В. Сурков


                                                     Модели VaR
                                                     Расчет VaR
                                                     Адекватность
                                                     моделей
                                                     Развитие
   Не описывает наибольших убытков: дневная VaR95%   моделей
                                                     Недостатки и
   превышается в среднем в один день из 20           альтернативы


   Не описывает распределение потерь в хвосте :
   разные распределения могут давать одинаковые
   значения VaR
   Измеряется с ошибкой и подвержена модельному
   риску
Управление
Требования к мере риска ρ(X )                         финансовыми
                                                        рисками

                                                      А.В. Сурков


                                                     Модели VaR
                                                     Расчет VaR
                                                     Адекватность
                                                     моделей
                                                     Развитие
                                                     моделей
                                                     Недостатки и
    Монотонность: X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X1 ) ≥ ρ(X2 )          альтернативы


    Трансляционная инвариантность:
    ρ(X + k) = ρ(X ) − k
    Однородность: ρ(bX ) = bρ(X )
    Субаддитивность: ρ(X1 + X2 ) ≤ ρ(X1 ) + ρ(X2 )
Управление
Почему VaR не всегда субаддитивна?                          финансовыми
                                                              рисками

                                                            А.В. Сурков


                                                           Модели VaR
                                                           Расчет VaR
                                                           Адекватность
                                                           моделей
    Если доходности распределены нормально –               Развитие
                                                           моделей
    субаддитивность есть.                                  Недостатки и
                                                           альтернативы

    Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,
    C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.
    События дефолта независимы.
    Для каждой из облигаций VaR99% =?
Управление
Почему VaR не всегда субаддитивна?                          финансовыми
                                                              рисками

                                                            А.В. Сурков


                                                           Модели VaR
                                                           Расчет VaR
                                                           Адекватность
                                                           моделей
    Если доходности распределены нормально –               Развитие
                                                           моделей
    субаддитивность есть.                                  Недостатки и
                                                           альтернативы

    Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,
    C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.
    События дефолта независимы.
    Для каждой из облигаций VaR99% =?
    Для каждой из облигаций VaR99% = $0
    Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?
Управление
Пример: VaR не всегда субаддитивна            финансовыми
                                                рисками

                                              А.В. Сурков


                                             Модели VaR
                                             Расчет VaR
                                             Адекватность
                                             моделей
        Состояние     Вероятность   Потери   Развитие
                                             моделей
                                             Недостатки и
        Нет дефолта    0.9850749      $0     альтернативы

        1 дефолт       0.0148504     $100
        2 дефолта      0.0000746     $200
        3 дефолта      0.0000001     $300


                 VaR99% = $100
Управление
Альтернативные меры риска (1)                              финансовыми
                                                             рисками

                                                           А.В. Сурков


                                                          Модели VaR
    Все распределение ⇒ набор VaR для возрастающих        Расчет VaR
                                                          Адекватность
    доверительных вероятностей                            моделей
                                                          Развитие
                                                          моделей
    Условная VaR – ожидаемые потери, при условии, что     Недостатки и
                                                          альтернативы
    они превосходят VaR.
                                         −VaRα
                                 1
    CVaRα = E [X |X < −VaRα ] =               xf (x) dx
                                1−α
                                         −∞


        Субаддитивна
        Пример: для $100 в индексе РТС ожидаемые потери
        сверх VaR95% = 4.2 равны CVaR95% = $6.6.
Управление
Пример                                                          финансовыми
                                                                  рисками

                                                                А.В. Сурков


                                                               Модели VaR
                                                               Расчет VaR
                                                               Адекватность
                                                               моделей
                                                               Развитие
                                                               моделей
   Пусть даны 30 доходностей за период (в %):                  Недостатки и
                                                               альтернативы


    −16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0,
    0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21

   VaR90% =?, CVaR90% =?
Управление
Пример                                                          финансовыми
                                                                  рисками

                                                                А.В. Сурков


                                                               Модели VaR
                                                               Расчет VaR
                                                               Адекватность
                                                               моделей
                                                               Развитие
                                                               моделей
   Пусть даны 30 доходностей за период (в %):                  Недостатки и
                                                               альтернативы


    −16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0,
    0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21

   VaR90% =?, CVaR90% =?
   VaR90% = 10, CVaR90% = 15
Управление
Альтернативные меры риска (2)                              финансовыми
                                                             рисками

                                                           А.В. Сурков
    Стандартное отклонение
                                                          Модели VaR
                                                          Расчет VaR
                                   N                      Адекватность
                          1                         2     моделей
               SD =                    (xi − EX )         Развитие
                        N −1                              моделей
                                                          Недостатки и
                                i=1                       альтернативы




        Субаддитивна
        Учитывает все наблюдения, а не только в хвосте.
        Недостаток: не отличает прибыли от убытков
    Полустандартное отклонение – учитывает только
    потери
                               N
                          1
                SDL =                [min (xi , 0)]2
                          NL
                               i=1

        Менее популярна, чем VaR

More Related Content

Viewers also liked

Tsi 2016 met coal market in review (2)
Tsi   2016 met coal market in review (2)Tsi   2016 met coal market in review (2)
Tsi 2016 met coal market in review (2)Tim Hard
 
Jet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbon
Jet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbonJet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbon
Jet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbonThomas P. FitzGibbon III
 
TSI benchmarks - May '15
TSI benchmarks - May '15TSI benchmarks - May '15
TSI benchmarks - May '15Tim Hard
 
Isri gc 2016
Isri gc 2016Isri gc 2016
Isri gc 2016Tim Hard
 
Tokyo metals forum
Tokyo metals forumTokyo metals forum
Tokyo metals forumTim Hard
 
Tsi the role of indices june 2016
Tsi the role of indices   june 2016Tsi the role of indices   june 2016
Tsi the role of indices june 2016Tim Hard
 
Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...
Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...
Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...alexandersurkov
 
Seoul 2016
Seoul 2016Seoul 2016
Seoul 2016Tim Hard
 
Common and private ownership of exhaustible resources: theoretical implicat...
Common and private ownership  of exhaustible resources:  theoretical implicat...Common and private ownership  of exhaustible resources:  theoretical implicat...
Common and private ownership of exhaustible resources: theoretical implicat...alexandersurkov
 
Tsi coking coal_specialreport
Tsi coking coal_specialreportTsi coking coal_specialreport
Tsi coking coal_specialreportTim Hard
 
Doppler reflectometry in large devices
Doppler reflectometry in large devicesDoppler reflectometry in large devices
Doppler reflectometry in large devicesalexandersurkov
 
Tscrap 20.07.16
Tscrap 20.07.16Tscrap 20.07.16
Tscrap 20.07.16Tim Hard
 
Voting in economic growth models
Voting in economic growth modelsVoting in economic growth models
Voting in economic growth modelsalexandersurkov
 

Viewers also liked (20)

The place of hedging as a risk avert
The place of hedging as a risk avertThe place of hedging as a risk avert
The place of hedging as a risk avert
 
Tsi 2016 met coal market in review (2)
Tsi   2016 met coal market in review (2)Tsi   2016 met coal market in review (2)
Tsi 2016 met coal market in review (2)
 
FIM702: lecture 9
FIM702: lecture 9FIM702: lecture 9
FIM702: lecture 9
 
Jet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbon
Jet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbonJet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbon
Jet Fuel Hedging Strategies - Thomas FitzGibbon
 
FIM702: lecture1
FIM702: lecture1FIM702: lecture1
FIM702: lecture1
 
TSI benchmarks - May '15
TSI benchmarks - May '15TSI benchmarks - May '15
TSI benchmarks - May '15
 
FRM Lecture 4
FRM Lecture 4FRM Lecture 4
FRM Lecture 4
 
Isri gc 2016
Isri gc 2016Isri gc 2016
Isri gc 2016
 
Tokyo metals forum
Tokyo metals forumTokyo metals forum
Tokyo metals forum
 
Tsi the role of indices june 2016
Tsi the role of indices   june 2016Tsi the role of indices   june 2016
Tsi the role of indices june 2016
 
Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...
Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...
Parametric decay instability accompanying electron Bernstein wave heating in ...
 
FRM Lecture 5
FRM Lecture 5FRM Lecture 5
FRM Lecture 5
 
Seoul 2016
Seoul 2016Seoul 2016
Seoul 2016
 
FIM702: lecture 7
FIM702: lecture 7FIM702: lecture 7
FIM702: lecture 7
 
Common and private ownership of exhaustible resources: theoretical implicat...
Common and private ownership  of exhaustible resources:  theoretical implicat...Common and private ownership  of exhaustible resources:  theoretical implicat...
Common and private ownership of exhaustible resources: theoretical implicat...
 
Tsi coking coal_specialreport
Tsi coking coal_specialreportTsi coking coal_specialreport
Tsi coking coal_specialreport
 
Doppler reflectometry in large devices
Doppler reflectometry in large devicesDoppler reflectometry in large devices
Doppler reflectometry in large devices
 
Tscrap 20.07.16
Tscrap 20.07.16Tscrap 20.07.16
Tscrap 20.07.16
 
Voting in economic growth models
Voting in economic growth modelsVoting in economic growth models
Voting in economic growth models
 
FIM702: lecture 4
FIM702: lecture 4FIM702: lecture 4
FIM702: lecture 4
 

More from alexandersurkov

More from alexandersurkov (6)

FIM702: lecture 10
FIM702: lecture 10FIM702: lecture 10
FIM702: lecture 10
 
FIM702: lecture 8
FIM702: lecture 8FIM702: lecture 8
FIM702: lecture 8
 
FIM702: lecture 6
FIM702: lecture 6FIM702: lecture 6
FIM702: lecture 6
 
FIM702: lecture 5
FIM702: lecture 5FIM702: lecture 5
FIM702: lecture 5
 
FIM702: lecture 3
FIM702: lecture 3FIM702: lecture 3
FIM702: lecture 3
 
FIM702: lecture 2
FIM702: lecture 2FIM702: lecture 2
FIM702: lecture 2
 

FRM Lecture 2

  • 1. Управление финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Управление финансовыми рисками Адекватность моделей Развитие моделей Занятие 2 Недостатки и альтернативы А.В. Сурков Факультет экономики Европейский университет в Санкт-Петербурге 18 апреля 2011 г.
  • 2. Управление Содержание финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и Модели ценности под риском альтернативы Методы расчета ценности под риском Проверка адекватности моделей ценности под риском Развитие моделей ценности под риском Недостатки моделей ценности под риском и альтернативные меры риска
  • 3. Управление Содержание финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и Модели ценности под риском альтернативы Методы расчета ценности под риском Проверка адекватности моделей ценности под риском Развитие моделей ценности под риском Недостатки моделей ценности под риском и альтернативные меры риска
  • 4. Управление Общий обзор методов финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие Аналитические методы – методы локальной оценки моделей Недостатки и Линейные модели альтернативы Нелинейные модели Численные методы – методы полной переоценки актива Метод Монте-Карло Расчет по исторической информации Bootstrapping
  • 5. Управление Локальный метод (1) финансовыми рисками А.В. Сурков Пусть Модели VaR фактор риска S имеет какое-то распределение Расчет VaR Адекватность ценность инвестиции V монотонно зависит от S, моделей Развитие мы можем определить изменение VaRα (δS) для моделей Недостатки и заданной доверительной вероятности α, такое что, альтернативы более экстремальные значения δS, приводящие к таким же или большим убыткам, могут реализоваться лишь с вероятностью 1 − α Тогда ∂V VaRα (δV ) = · VaRα (δS) ∂S Достоинства: Простота Распределение ценности инвестиции имеет тоже распределение, что и фактор риска
  • 6. Управление Локальный метод (2) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Достоинство: в случае нормального распределения Расчет VaR Адекватность легко обобщается портфель из нескольких активов и моделей Развитие моделей на несколько факторов риска – дельта-нормальный Недостатки и альтернативы метод Недостаток: локальный метод не учитывает нелинейные эффекты Учет следующего члена – метод дельта-гамма ∂V 1 ∂2V VaRα (δV ) = · VaRα (δS) − · [VaRα (δS)]2 ∂S 2 ∂S 2 Недостаток: не учитывает экстремальные сценарии
  • 7. Управление Методы полной переоценки актива финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Локальный метод не учитывает нелинейные эффекты Развитие моделей Недостатки и Метод полной переоценки актива альтернативы δV = V (S0 + δS) − V (S0 ) Метод Монте-Карло Расчет по исторической информации Bootstrapping
  • 8. Управление Метод Монте-Карло финансовыми рисками А.В. Сурков Выбираем случайный процесс, управляющий Модели VaR Расчет VaR движением цен базового актива. Например: Адекватность моделей Развитие моделей dS/S = µdt + σdW Недостатки и альтернативы Моделируем достаточное количество реализаций в течение интересующего периода времени √ δS/S = µδt + σφ δt, φ ∼ N(0, 1) Рассчитываем финальную стоимость производного финансового инструмента для всех реализаций Определяем VaR для заданной доверительной вероятности
  • 9. Управление Пример: $100 в индекс РТС на 1 день финансовыми рисками А.В. Сурков 104 Модели VaR Расчет VaR 103 Адекватность моделей Развитие 102 моделей Недостатки и альтернативы 101 100 99 98 97 96 95 94 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
  • 10. Управление Метода Монте-Карло: достоинства и финансовыми рисками недостатки А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Достоинства: Адекватность моделей Факторы риска могут иметь произвольное поведение Развитие моделей Недостатки и Возможно моделирование портфелей из разных альтернативы инструментов Допускаются нелинейные платежи и платежи, зависящие от истории изменения цен Возможен учет экстремальных сценариев Недостатки: Требовательность к вычислительным мощностям Чувствительность к предположениям относительно случайных процессов и их корреляций
  • 11. Управление Расчет по исторической информации финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Ближайшее будущее похоже на прошлое!? Развитие моделей Недостатки и Предполагаем, что в будущем доходности портфеля альтернативы будут такими же, как и в прошлом Строим гистограмму и вычисляем VaR Возможность взвешивать наблюдения: например, если есть сезонность, можно данным из сезона, на который осуществляется прогноз приписывать больший вес
  • 12. Управление Расчет по исторической информации: финансовыми рисками достоинства и недостатки А.В. Сурков Достоинства: Модели VaR Расчет VaR Простота Адекватность моделей Возможность моделирования экстремальных Развитие моделей Недостатки и событий в будущем, если они уже происходили в альтернативы прошлом Нет предположений относительно распределений и корреляций Недостатки: Зависимость от периода, за который имеются данные Замедленная реакция на структурные сдвиги Невозможность учета экстремальных событий, если их еще не было Как быть с производными инструментами?
  • 13. Управление Bootstrapping финансовыми рисками А.В. Сурков Историческая информация: доходности n базовых Модели VaR активов в определенные моменты в прошлом Расчет VaR Адекватность моделей Извлекаем вектор доходностей n базовых активов в Развитие моделей случайный момент времени Недостатки и альтернативы Используем для построения первого шага траекторий всех n базовых активов в будущем Снова извлекаем вектор доходностей n базовых активов в случайный момент времени Так строим траектории цен базовых активов до нужного временного горизонта Повторяем процесс для получения нужного числа реализаций Рассчитываем VaR по итоговым ценностям портфеля
  • 14. Управление Bootstrapping: достоинства и недостатки финансовыми рисками Достоинства: А.В. Сурков Факторы риска могут иметь произвольное поведение Модели VaR Расчет VaR Возможно моделирование портфелей из разных Адекватность моделей инструментов Развитие моделей Недостатки и Допускаются нелинейные платежи и платежи, альтернативы зависящие от истории изменения цен Нет предположений относительно распределений и корреляций Недостатки: Зависимость от периода, за который имеются данные Необходимость большого объема исторической информации для генерации достаточного количества траекторий, однако чем больше объем, тем больше зависимость от старых данных
  • 15. Управление Почему оценки VaR могут содержать ошибки финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Неточности в исторических данных или в оценке Развитие моделей параметров Недостатки и альтернативы Отклонение от предположений аналитической модели: распределение, нелинейности Генерация сценариев методом Монте-Карло, не соотвествующих заявленным характеристикам Недостаточное количество данных для расчета по исторической информации или bootsrapping
  • 16. Управление Backtesting финансовыми рисками А.В. Сурков Как проверить, насколько хорошо то значение VaR, что Модели VaR мы получили с помощью нашей модели? Расчет VaR Адекватность моделей Пусть VaR определяется для доверительной Развитие моделей вероятности α. Недостатки и альтернативы Тогда p0 = 1 − α – вероятность превышения VaR, если VaR откалибрована правильно. Подсчитываем количество превышений VaR n в N ˆ наблюдениях H0 : VaR откалибрована правильно, p = p0 . Пусть n > Np0 . H1 : VaR откалибрована неправильно ˆ и p > p0 H1 : VaR откалибрована неправильно и p = p0
  • 17. Управление Биномиальное распределение финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR При H0 распределение количества превышений x в Адекватность моделей выборке из N наблюдений Развитие моделей Недостатки и альтернативы fN,p0 (x) = Cn p0 (1 − p0 )N−x x x x N! Cn = , x = 0, 1, . . . , N x!(N − x)! Ex = Np0 Vx = Np0 (1 − p0 )
  • 18. Управление Плотность биномиального распределения финансовыми рисками А.В. Сурков 0,09 Модели VaR Расчет VaR 0,08 Адекватность моделей Развитие 0,07 моделей Недостатки и 0,06 альтернативы 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 N = 500, p0 = 0.05
  • 19. Управление Функция распределения финансовыми рисками А.В. Сурков 1 Модели VaR Расчет VaR 0,9 Адекватность моделей 0,8 Развитие моделей Недостатки и 0,7 альтернативы 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 N = 500, p0 = 0.05
  • 20. Управление Квантили биномиального распределения (1) финансовыми рисками А.В. Сурков Зададимся уровнем значимости α ≡ α. Модели VaR Верхняя односторонняя квантиль для уровня Расчет VaR + Адекватность значимости α – это BN,p0 (α ): моделей Развитие моделей Недостатки и N N альтернативы fN,p0 (x) ≤ α , fN,p0 (x) > α + + x=BN,p (α ) x=BN,p (α )−1 0 0 Нижняя односторонняя квантиль для уровня − значимости α – это BN,p0 (α ): − − BN,p (α ) BN,p (α )+1 0 0 fN,p0 (x) ≤ α , fN,p0 (x) > α x=0 x=0
  • 21. Управление Квантили биномиального распределения (2) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность Распределение не меняется при одновременной моделей Развитие моделей замене Недостатки и альтернативы p0 → 1 − p0 , x →N −x + − BN,p0 (α ) = N − BN,1−p0 (α ) Функция Excel БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) возвращает − BN,p0 (α ) + 1. − BN,p0 (α ) =БИНОМ.ОБР(N; p0 ; α ) − 1 + BN,p0 (α ) = N−БИНОМ.ОБР(N; 1 − p0 ; α ) + 1
  • 22. Управление Квантили биномиального распределения (3) финансовыми рисками А.В. Сурков 0,09 Модели VaR Расчет VaR 0,08 Адекватность моделей Развитие 0,07 моделей Недостатки и 0,06 альтернативы 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 − + N= 500, p0 = 0.05, BN,p0 (0.01) = 13, BN,p0 (0.01) = 38
  • 23. Управление Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительно финансовыми рисками односторонней альтернативы H1 : p > p0 А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность + моделей Если n ≤ ˆ BN,p0 (α ) − 1, то H0 отвергнуть не можем. Развитие моделей + Недостатки и Если n ≥ ˆ BN,p0 (α ), то H0 отвергаем в пользу H1 . альтернативы Или через p-value π N π= fN,p0 (x) x=ˆ n Если π > α , то H0 отвергнуть не можем Если π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1 Excel: π = 1−БИНОМ.РАСП(ˆ − 1; N; p0 ; 1) n
  • 24. Управление Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительно финансовыми рисками двусторонней альтернативы H1 : p = p0 А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR − + Адекватность Если BN,p0 (α /2) + 1 ≤ n ≤ BN,p0 (α /2) − 1, то H0 ˆ моделей Развитие отвергнуть не можем. моделей Недостатки и альтернативы + − Если n ≥ BN,p0 (α /2) или n ≤ BN,p0 (α /2), то H0 ˆ ˆ отвергаем в пользу H1 . Или через p-value π (point-probability method) π = fN,p0 (ˆ) + n fN,p0 (x) x:fN,p0 (x)<fN,p0 (ˆ) n π > α , то H0 отвергнуть не можем. π ≤ α , то H0 отвергаем в пользу H1 .
  • 25. Управление Пример финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность Для портфеля из индекса РТС стоимостью $100 моделей Развитие VaR95% = 4.2. моделей Недостатки и альтернативы Пусть из N = 500 наблюдений, в n = 29 случаях ˆ превышен порог потерь. Верно ли, что p = 1 − 95%? Пусть α = 0.1. + BN,p0 (α ) = 32; 29 ≤ 31; π = 0.23; H0 против H1 отвергнуть не можем − + BN,p0 (α /2) = 16; BN,p0 (α /2) = 34; 17 ≤ 29 ≤ 33; H0 против H1 отвергнуть не можем
  • 26. Управление Борьба с отсутствием нормальности финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и альтернативы Использование распределения Стьюдента Использование смеси нормальных распределений Отказ от предположения i.i.d.
  • 27. Управление Кластеризация волатильности финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие Сегодняшняя волатильность положительно моделей Недостатки и коррелирует с вчерашней альтернативы Имеет смысл рассматривать условную волатильность – волатильность при условии ближайшего прошлого EWMA – exponentially weighted moving average GARCH – generalised autoregressive conditional heteroscedasticity
  • 28. Управление Пример: дневной доходность индекса РТС финансовыми рисками А.В. Сурков 0,2 Модели VaR Расчет VaR 0,15 Адекватность моделей Развитие 0,1 моделей Недостатки и альтернативы 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2 04.09.1995 04.09.1996 04.09.1997 04.09.1998 04.09.1999 04.09.2000 04.09.2001 04.09.2002 04.09.2003 04.09.2004 04.09.2005 04.09.2006 04.09.2007 04.09.2008 04.09.2009 04.09.2010
  • 29. Управление EWMA финансовыми рисками А.В. Сурков Сегодняшняя оценка волатильности Модели VaR ˆ2 2 σ2 σt = (1 − λ) rt−1 + λˆt−1 , 0≤λ≤1 Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей RiskMetrics: λ = 0.94 для дневных данных Недостатки и альтернативы Или, более практично: n (1 − λ)τ rt−τ 2 τ =1 ˆ2 σt = n (1 − λ)τ τ =1 λ = 0.94, C = 0.002, λn < C ⇒ n = 100 Для ковариации ˆ2 σ2 σij,t = (1 − λ) ri,t−1 rj,t−1 + λˆij,t−1
  • 30. Управление Пример: сглаженная волатильность для финансовыми рисками индекса РТС А.В. Сурков Модели VaR 0,2 Расчет VaR Адекватность моделей 0,15 Развитие моделей 0,1 Недостатки и альтернативы 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2 04.09.1995 04.09.1996 04.09.1997 04.09.1998 04.09.1999 04.09.2000 04.09.2001 04.09.2002 04.09.2003 04.09.2004 04.09.2005 04.09.2006 04.09.2007 04.09.2008 04.09.2009 04.09.2010
  • 31. Управление Отступление: RiskMetrics финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и альтернативы Бесплатная услуга, предлагавшаяся в 1994 г. JPMorgan для продвижения VaR RiskMetrics Technical Document + обновляющаяся ковариационная матрица для нескольких сотен факторов риска Затем отдельная фирма – консалтинг и программное обеспечение 2010: Morgan Stanley Capital International (MSCI, http://www.msci.com/, рассчитывает MSCI Global Equity Indices) приобретает RiskMetrics за $1.55 млрд.
  • 32. Управление GARCH финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Методом максимального правдоподобия Адекватность моделей оцениваются уравнения Развитие моделей Недостатки и альтернативы 2 2 2 rt = c+θ(L)rt−1 +φ(L) t , σt = ω+α(L) t−1 +β(L)σt−1 Пример: доходность индекса РТС ˆt r = 0.002 + 0.13 rt−1 (s.e.) (3·10−4 ) (0.02) σt = 1.4 · 10−5 + 0.15 ˆ2 2 t−1 2 + 0.84 σt−1 (s.e.) (10−6 ) (8·10−3 ) (8·10−3 )
  • 33. 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 05.09.1995 05.09.1996 05.09.1997 05.09.1998 05.09.1999 05.09.2000 05.09.2001 05.09.2002 05.09.2003 Пример: EWMA vs. GARCH 05.09.2004 05.09.2005 05.09.2006 05.09.2007 05.09.2008 05.09.2009 05.09.2010 моделей моделей Развитие Расчет VaR рисками Модели VaR Недостатки и Адекватность альтернативы Управление А.В. Сурков финансовыми
  • 34. Управление Применение EWMA и GARCH финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Аналитическая модель VaR Недостатки и альтернативы Моделирование по историческим данным с использованием стандартизированных доходностей (деленных на волатильность) Моделирование методом Монте-Карло с соответствующими ковариационными матрицами
  • 35. Управление Недостатки VaR финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие Не описывает наибольших убытков: дневная VaR95% моделей Недостатки и превышается в среднем в один день из 20 альтернативы Не описывает распределение потерь в хвосте : разные распределения могут давать одинаковые значения VaR Измеряется с ошибкой и подвержена модельному риску
  • 36. Управление Требования к мере риска ρ(X ) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Недостатки и Монотонность: X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X1 ) ≥ ρ(X2 ) альтернативы Трансляционная инвариантность: ρ(X + k) = ρ(X ) − k Однородность: ρ(bX ) = bρ(X ) Субаддитивность: ρ(X1 + X2 ) ≤ ρ(X1 ) + ρ(X2 )
  • 37. Управление Почему VaR не всегда субаддитивна? финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Если доходности распределены нормально – Развитие моделей субаддитивность есть. Недостатки и альтернативы Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B, C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%. События дефолта независимы. Для каждой из облигаций VaR99% =?
  • 38. Управление Почему VaR не всегда субаддитивна? финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Если доходности распределены нормально – Развитие моделей субаддитивность есть. Недостатки и альтернативы Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B, C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%. События дефолта независимы. Для каждой из облигаций VaR99% =? Для каждой из облигаций VaR99% = $0 Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?
  • 39. Управление Пример: VaR не всегда субаддитивна финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Состояние Вероятность Потери Развитие моделей Недостатки и Нет дефолта 0.9850749 $0 альтернативы 1 дефолт 0.0148504 $100 2 дефолта 0.0000746 $200 3 дефолта 0.0000001 $300 VaR99% = $100
  • 40. Управление Альтернативные меры риска (1) финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Все распределение ⇒ набор VaR для возрастающих Расчет VaR Адекватность доверительных вероятностей моделей Развитие моделей Условная VaR – ожидаемые потери, при условии, что Недостатки и альтернативы они превосходят VaR. −VaRα 1 CVaRα = E [X |X < −VaRα ] = xf (x) dx 1−α −∞ Субаддитивна Пример: для $100 в индексе РТС ожидаемые потери сверх VaR95% = 4.2 равны CVaR95% = $6.6.
  • 41. Управление Пример финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Пусть даны 30 доходностей за период (в %): Недостатки и альтернативы −16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21 VaR90% =?, CVaR90% =?
  • 42. Управление Пример финансовыми рисками А.В. Сурков Модели VaR Расчет VaR Адекватность моделей Развитие моделей Пусть даны 30 доходностей за период (в %): Недостатки и альтернативы −16, −14, −10, −7, −7, −5, −4, −4, −4, −3, −1, −1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21 VaR90% =?, CVaR90% =? VaR90% = 10, CVaR90% = 15
  • 43. Управление Альтернативные меры риска (2) финансовыми рисками А.В. Сурков Стандартное отклонение Модели VaR Расчет VaR N Адекватность 1 2 моделей SD = (xi − EX ) Развитие N −1 моделей Недостатки и i=1 альтернативы Субаддитивна Учитывает все наблюдения, а не только в хвосте. Недостаток: не отличает прибыли от убытков Полустандартное отклонение – учитывает только потери N 1 SDL = [min (xi , 0)]2 NL i=1 Менее популярна, чем VaR