Mod´elisation de
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Tactique
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Tactique
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FIM702: lecture 9

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Modelling strategies in market finance
Lecture 8: Dynamic aspects of portfolio management (in French)

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FIM702: lecture 9

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 14 : Aspects dynamiques de la gestion de portefeuille Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca ´Ecole de gestion Universit´e de Sherbrooke Le 19 avril 2017
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Table de mati`ere Ex´ecution de d´ecisions d’investissement Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Table de mati`ere Ex´ecution de d´ecisions d’investissement Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Coˆuts explicites de n´egociation Commission du courtier Impˆots Frais
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Coˆuts implicites de n´egociation Spread bis-ask : Disons, 19.97 (bid) – 20.03 (ask), le prix est 20.00. En achetant pour 20.03, on obtient qqch qui coˆute 20.00. Impact sur le march´e : l’ex´ecution fait bouger les prix. Coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee : Disons, un ordre `a cours limit´e d’acheter l’actif pour 20.01 (ou mieux) expire quand le prix est 20.10. La diff´erence 20.10 − 20.03 = 0.07 est le coˆut d’opportunit´e. Coˆuts de d´elai li´es `a l’impossibilit´e d’ex´ecuter la transaction en raison de la liquidit´e insuffisante du march´e
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Mesure de coˆuts implicites Par rapport `a midquote Par rapport au prix moyen pond´er´e par le volume (VWAP, volume-weighted average price) peu efficace pour des transactions de grand volume En utilisant les prix d’ouverture / de fermeture du march´e Implementation shortfall : la diff´erence entre le rendement du portefeuille souhait´e et et le rendement r´ealis´e du portefeuille actuel : coˆuts explicites, profits/pertes r´ealis´e, coˆuts de d´elai, coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee.
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Implementation shortfall : exemple (1) J1 : le prix de fermeture est 10.00 J2 : la d´ecision d’acheter 1000 actions pour 9.95 ou mieux, l’ordre est expir´e, le prix de fermeture ´etant 10.05 J3 : achat de 800 actions pour 10.08 chacune, la commission ´etant 20 et le prix de fermeture ´etant 10.12 Portefeuille th´eorique : 1000 · (10.12 − 10.00) = 120 Portefeuille actuel : 800 · (10.12 − 10.08) − 20 = 12 Implementation shortfall est 108 pdb.
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Implementation shortfall : exemple (2) Les coˆuts explicites : 20/10 000 = 20 pdb Les profits/pertes r´ealis´es : (10.08 − 10.05)/10.00 · 800/1000 = 24 pdb Les coˆuts de d´elai : (10.05 − 10.00)/10.00 · 800/1000 = 40 pdb Les coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee : (10.12 − 10.00)/10.00 · 200/1000 = 24 pdb En utilisant β pour l’actif en question, implementation shortfall peut ˆetre ajust´e pour exclure la contribution du rendement de march´e pour les p´eriodes o`u il n’y a pas d’exposition au risque de march´e.
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Facteurs d´eterminant les coˆuts Liquidit´e (la capitalisation, le prix, la fr´equence de transactions, le volume, la participation dans un indice, le spread bid-ask) Risque (volatilit´e du rendement) Volume de la transaction par rapport `a la liquidit´e (la taille de l’ordre par rapport au volume quotidien) Momentum (plus difficile d’acheter dans le march´e croissant) Style (ordre au march´e sont plus couteux que ceux `a cours limit´e) Un mod`ele ´econom´etrique pourrait ˆetre construit pour pr´edire les coˆuts.
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Table de mati`ere Ex´ecution de d´ecisions d’investissement Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Ex´ecution optimale Disons, on a besoins d’acheter un bloc d’actions de la taille ¯S pendant la p´eriode [0, T]. Acheter tout tout de suite n’est pas optimal, il faut trouver une fa¸con de le faire graduellement : E1 T t=1 PtSt → min {St } , T t=1 St = ¯S Une contrainte suppl´ementaire St ≥ 0. Le processus de prix : Pτ = fτ (Pτ−1, Sτ , ετ , . . . ) La forme de solution : S∗ τ = hτ Pτ−1, ¯S − τ−1 t=1 S∗ t , . . .
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Programmation dynamique Les variables d’´etat pour le moment τ Le prix observ´e Pτ−1 Le nombre restant des actions : Wτ = Wτ−1 − Sτ−1, W1 = ¯S, WT+1 = 0 La solution {S∗ 1 , S∗ 2 , . . . , S∗ T } doit ˆetre optimal pour n’importe quel moment τ = 1, 2, . . . , T. La valeur optimale du probl`eme Vτ (Pτ−1, Wτ ) ≡ min {St } Eτ T t=τ PtSt, T t=τ St = Wτ L’´equation de Bellman Vτ (Pτ−1, Wτ ) ≡ min Sτ Eτ [Pτ Sτ + Vτ+1 (Pτ , Wτ+1)] ,
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Impact lin´eaire (1) Supposons que Pτ suit le mouvement brownien arithm´etique avec l’effet lin´eaire de transactions : Pτ = Pτ−1 + θSτ + ετ , θ > 0 Cette hypoth`ese est peu r´ealiste, mais instructive. Pour τ = T, S∗ T = WT , car il faut acheter tout ce qu’il reste `a acheter. VT (PT−1, WT ) = min ST ET PT WT = (PT−1 + θWT ) WT
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Impact lin´eaire (2) Pour τ = T − 1 : VT−1 (PT−2, WT−1) = min ST−1 ET−1 [PT−1ST−1 + VT (PT−1, WT )] = min ST−1 ET−1 [(PT−2 + θST−1 + εT−1) ST−1 +VT (PT−2 + θST−1 + εT−1, WT−1 − ST−1)] La solution S∗ T−1 = WT−1 2 Pour τ = T − k : S∗ T−k = WT−k k + 1 , S∗ 1 = W1 T
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Impact lin´eaire (3) ´Etant donn´e que W1 = ¯S S∗ 1 = ¯S T ´Etant donn´e que W2 = W1 − S∗ 1 W2 = ¯S 1 − 1 T , S∗ 2 = W2 T − 1 = ¯S T , . . . La solution S∗ 1 = S∗ 2 = · · · = S∗ T = ¯S T ne d´epend pas des prix observ´e. Ceci est en raison de l’effet lin´eaire et permanent de transactions sur les prix.
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Impact lin´eaire avec l’information Supposons que Pτ est influenc´e par l’information Xτ connue lors de la p´eriode τ : Pτ = Pτ−1 + θSτ + γXτ + ετ , θ > 0 Xτ = ρXτ−1 + ητ , X0 = 0 La solution compte tenu de l’information S∗ T−k = δW k WT−k + δX k XT−k δW k = 1 k + 1 , δX k = ρbk−1 2ak−1 ak = θ 2 1 + 1 k + 1 , a0 = θ bk = γ + θρbk−1 2ak−1 , b0 = γ
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Exemple num´erique Supposons que 105 actions avec le prix courant de P0 = 50$ devraient ˆetre achet´ees pendant T = 20 p´eriodes. θ = 5 · 10−5 , γ = 5, ρ = 0.5, σε = 0.125, ση = 0.032 Le coˆut sans effet est 5 · 106$, le coˆut de l’achat imm´ediat ´etant 5.5 · 106$. L’´ecart-type de la composante informationnelle γση 1 − ρ2 ≈ 0.18 Simulation : Le coˆut moyen de la strat´egie optimale : 5 254 820.69$. Le coˆut moyen de la strat´egie na¨ıve : 5 259 453.09$. La diff´erence : 4.6 cents par action.
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Strat´egie optimale 0 5 10 S=;W= #104 5 10 15 20 = -0.1 0 0.1 X=
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Coˆuts de la strat´egie optimale 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 VT #106 0 20 40 60 80 No.d'obs.,Nsim=500
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Strat´egie na¨ıve 0 5 10 S=;W= #104 5 10 15 20 = -0.1 0 0.1 X=
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Coˆuts de la strat´egie na¨ıve 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 VT #106 0 20 40 60 80 No.d'obs.,Nsim=500
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Matlab : initialisation T = 20; Nsim = 500; P0 = 50; W0 = 1e5; s_eps = 0.125; eps = normrnd(0, s_eps, Nsim, T); s_eta = sqrt(0.001); eta = normrnd(0, s_eta, Nsim, T); P = ones(Nsim,1) * P0; X = zeros(Nsim,1); W = ones(Nsim,1) * W0; V = zeros(Nsim,1); gamma = 5; rho = 0.5; theta = 5e-5;
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Matlab : simulation for t = 1:T X = rho * X + eta(:, t); S = h(W, X, t, T, gamma, rho, theta); P = P + theta * S + gamma * X + eps(:, t); V = V + P .* S; W = W - S; end
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Matlab : fonctions (1) function S = h1(W, X, t, T, gamma, rho, theta) k = T - t; S = W / (k + 1) + dx(k, gamma, rho, theta) * X; end function d = dx(k, gamma, rho, theta) if k == 0 d = 0; else d = rho / 2 / ak(k - 1, theta) ... * bk(k - 1, gamma, rho, theta); end end
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Matlab : fonctions (2) function a = ak(k, theta) if k == 0 a = theta; else a = ( 1 + 1 / (k + 1) ) * theta / 2; end end function b = bk(k, gamma, rho, theta) if k == 0 b = gamma; else b = gamma + theta * rho / ak(k - 1, theta) ... * bk(k - 1, gamma, rho, theta) / 2; end end

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