1. 18. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah
AB = b – a
2. Sudut antara dua vektor
adalah θ
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =
3
2
1
a
a
a
= a1i + a2j + a3k;
|a| = 2
3
2
2
2
1 aaa ++
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a ± b =
3
2
1
a
a
a
±
3
2
1
b
b
b
=
±
±
±
33
22
11
ba
ba
ba
; ka = k
3
2
1
a
a
a
=
3
2
1
ka
ka
ka
C. Dot Product
2. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Apabila diketahui a =
3
2
1
a
a
a
dan b =
3
2
1
b
b
b
, maka:
1. a · b = |a| |b| cos θ
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2
= a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2
= |a|2
+ |b|2
+ 2|a||b| cos θ
4. |a – b|2
= |a|2
+ |b|2
– 2|a||b| cos θ
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada a
|p| =
|a|
ba ⋅
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
p = a
|a|
ba
2
⋅
⋅
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –
4). Besar sudut ABC = …
a. π
b. 2
π
c. 3
π
d. 6
π
e. 0
Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1,
2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v
mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh
vector u dan v adalah …
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
e. 120
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
204
3. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i
+ j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b
sama dengan …
a. 30º
b. 45º
c. 60º
d. 90º
e. 120º
Jawab : c
4. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v,
maka sudut antara vektor u dan v adalah …
a. 0°
b. 30°
c. 45°
d. 60°
e. 90°
Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
5. UN 2011 PAKET 12
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i
– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. i – j + k
b. i – 3j + 2k
c. i – 4j + 4k
d. 2i – j + k
e. 6i – 8j + 6k
Jawab : b
6. UN 2011 PAKET 46
Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i
– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
b. –4i + 4j – 8k
c. –2i + 2j – 4k
d. –i + 2j + 3k
e. –i + j – 2k
Jawab : e
7. UN 2010 PAKET A
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),
dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u,
AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
205
4. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
adalah …
a. 3i – 5
6
j + 5
12
k
b. 3 5 i – 5
6
j + 5
12
k
c. 5
9
(5i – 2j + 4k)
d. 45
27
(5i – 2j + 4k)
e. 55
9
(5i – 2j + 4k)
Jawab : d
8. UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. 4
1
(3i + j – 2k)
b. 14
3
(3i + j – 2k)
c. 7
1− (3i + j – 2k)
d. 14
3− (3i + j – 2k)
e. 7
3− (3i + j – 2k)
Jawab : c
SOAL PENYELESAIAN
9. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC
wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal
vektor u pada v adalah …
a. –3i – 6j – 9k
b. i + 2j + 3k
c. 3
1
i + 3
2
j + k
d. –9i – 18j – 27k
e. 3i + 6j + 9k
Jawab : a
10. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 5, maka nilai x = …
a. –7
b. –6
c. 5
d. 6
e. 7
Jawab : e
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
206
5. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
11. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
b. –3 atau 4
c. –4 atau 3
d. –6 atau 2
e. 2 atau 6
Jawab : a
12. UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
b. –6i + 4j – 16k
c. –4i + 4j – 2k
d. –6i – 4j + 16k
e. 12i – 12j + 6k
Jawab : c
SOAL PENYELESAIAN
13. UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah
…
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i – 4j – 2k
c. 2i + 4j – 2k
d. i – 2j – k
e. i + 2j – k
Jawab : c
14. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,
b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika
vektor a tegak lurus b maka vector
a – c = …
a. –58i – 20j –3k
b. –58i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
207
6. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
e. –62i – 23j –3k
Jawab : b
15. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P
membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3.
Panjang vektor PC adalah …
a. 10
b. 13
c. 15
d. 3 2
e. 9 2
Jawab : d
SOAL PENYELESAIAN
16. UN 2004
Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan
q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada
p adalah 2, maka x adalah …
a. 6
5
b. 2
3
c. 2
13
d. 6
43
e. 6
53
Jawab : c
17. UN 2004
Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k,
dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i + 4j – 2k
c. –2i + 4j – 2k
d. 2i + 4j + 2k
e. –2i + 4j + 2k
Jawab : e
18. UAN 2003
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
208
7. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Diberikan vektor a =
−
22
2
p dengan p ∈ Real
dan vektor b =
2
1
1
. Jika a dan b
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
a. 74
12
b. 72
5
c. 74
5
d. 714
5
e. 77
2
Jawab : d
SOAL PENYELESAIAN
19. UAN 2003
Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
vektor v =
−
4
3
2
terhadap vektor u =
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
209
8. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
−
−
1
2
1
, maka w = …
a.
−
3
1
1
d.
−
2
4
2
b.
−
−
2
1
0
e.
−
−
2
4
2
c.
2
1
0
Jawab : d
20. EBTANAS 2002
Diketahui a + b = i – j + 4k dan
| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = …
a. 4
b. 2
c. 1
d. 2
1
e. 0
Jawab : c
21. EBTANAS 2002
Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º.
Maka | 3a + 2b | = …
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
210
9. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a. 5
b. 6
c. 10
d. 12
e. 13
Jawab : b
22. EBTANAS 2002
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 3
4
(2 1 1)
b. –(2 1 1)
c. 3
4
(2 1 1)
d. ( 3
4
1 1)
e. (2 1 1)
Jawab : c
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011
Menentukan sudut antara dua vektor.
1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan
b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk
vektor a dan b sama dengan …
a. 30º c. 60º e. 120º
b. 45º d. 90º
2. Diketahui vektor kjia
336 −−= ,
kjib
32 +−= dan
kjic
325 +−−= . Besar sudut antara
vektor a
dan cb
+ adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1500
b. 450
d. 900
3. Diketahui vektor kjia
22 +−= dan
jib
+−= . Besar sudut antara vektor a
dan b
adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1350
b. 450
d. 1200
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB =
2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah
vektor v, maka sudut antara vektor u dan v
adalah …
a. 0° c. 45° e. 90°
b. 30° d. 60°
5. Diketahui 2=a , 9=b ,
5=+ba . Besar sudut antara vektor a
dan vektor b adalah ….
a. 450
c. 1200
e. 1500
b. 600
d. 1350
6. Diketahui 6=a , ( a – b ).( a + b )
=0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut
antara vektor a dan b adalah ….
a.
6
π
c.
3
π
e.
3
2π
b.
4
π
d.
2
π
7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan
C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
a. π c. 3
π
e. 0
b. 2
π
d. 6
π
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2),
B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili
AB dan v mewakili AC , maka sudut
yang dibentuk oleh vector u dan v adalah
…
a. 30° c. 60° e. 120
b. 45° d. 90°
9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k.
Jika a dan b membentuk sudut θ, maka nilai
sin θ = ....
a. 7
5
c. 6
12
5
e. 6
7
6
b. 6
7
2
d. 7
6
10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k,
jika a dan b membentuk sudut θ,
maka tan θ = ... .
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
211
10. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a. 5
3
1
c.
14
5
e. 5
14
1
b. 14
14
3
d. 14
5
1
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i
+ 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor
a tegak lurus b maka vektor a – c = …
a. –58i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k
b. –58i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
12. Diberikan vektor a =
−
22
2
p dengan p ∈
Real dan vektor b =
2
1
1
. Jika a dan b
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
a. 74
12
c. 74
5
e. 77
2
b. 72
5
d. 714
5
13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a. –2 atau 6 c. –4 atau 3 e. 2 atau 6
b. –3 atau 4 d. –6 atau 2
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011
Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
vektor v =
−
4
3
2
terhadap vektor u =
−
−
1
2
1
,
maka w = …
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
212
11. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
−
3
1
1
c.
2
1
0
e.
−
−
2
4
2
b.
−
−
2
1
0
d.
−
2
4
2
2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 3
4
(2 1 1) c. 3
4
(2 1 1) e. (2 1 1)
b. –(2 1 1) d. ( 3
4
1 1)
3. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector
b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. i – j + k d. 2i – j + k
b. i – 3j + 2k e. 6i – 8j + 6k
c. i – 4j + 4k
4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector
b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k d. –i + 2j + 3k
b. –4i + 4j – 8k e. –i + j – 2k
c. –2i + 2j – 4k
5. Diketahui vektor kjia +−= 2 dan vektor
kjib −+= . Proyeksi ortogonal vektor a
pada b adalah …
a.
−1
1
1
3
2
c.
−1
1
1
3
1
e.
−
−
1
1
1
2
3
b.
−
−
1
1
1
3
2
d.
−
−
1
1
1
3
1
6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan
C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil
vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
a. 3i – 5
6
j + 5
12
k d. 45
27
(5i – 2j + 4k)
b. 3 5 i – 5
6
j + 5
12
k e. 55
9
(5i – 2j + 4k)
c. 5
9
(5i – 2j + 4k)
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2).
Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor
v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v
adalah …
a. –3i – 6j – 9k d. –9i – 18j – 27k
b. i + 2j + 3k e. 3i + 6j + 9k
c. 3
1
i + 3
2
j + k
8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3),
B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor
AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k d. –6i – 4j + 16k
b. –6i + 4j – 16k e. 12i – 12j + 6k
c. –4i + 4j – 2k
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1),
B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor
AB terhadap AC adalah …
a. 2i – 4j + 2k d. i – 2j – k
b. 2i – 4j – 2k e. i + 2j – k
c. 2i + 4j – 2k
10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. 4
1
(3i + j – 2k) d. 14
3− (3i + j – 2k)
b. 14
3
(3i + j – 2k) e. 7
3− (3i + j – 2k)
c. 7
1− (3i + j – 2k)
11. Panjang proyeksi vektor kjia 482 ++−=
pada vektor kpjb 4+= adalah 8. Maka nilai
p adalah ....
a. – 4 c. 3 e. 6
b. – 3 d. 4
12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
213
12. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a
pada b adalah 5, maka nilai x = …
a. –7 c. 5 e. 7
b. –6 d. 6
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika
panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x
adalah …
a. 6
5
c. 2
13
e. 6
53
b. 2
3
d. 6
43
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
214