O documento apresenta os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo: (1) o sistema de coordenadas cartesianas no plano cartesiano e como ele permite representar pontos e figuras geométricas através de pares de números; (2) como calcular medidas algébricas, distâncias e razões de seção entre pontos; e (3) equações que representam retas no plano, incluindo sua forma geral, reduzida e segmentária.

1. GEOMETRIA ANALÍTICA
Alfredo Coelho
Itabuna BA 2011

2. INTRODUÇÃO:
A Geometria Analítica é uma vertente da Matemática que, no
uso de processos próprios, procura estabelecer relações
entre a Geometria e a Álgebra. Pela Geometria Analítica
podemos estudar as propriedades de elementos como uma
reta, uma circunferência, uma elipse ou outra figura
geométrica qualquer, criando expressões e fórmulas que os
posicione no plano ou mesmo no espaço, através de
métodos algébricos e outros recursos da matemática.
Foi com René Descartes (1596 - 1650), filósofo e
matemático, francês que, por volta do século XVII,
começaram os primeiros estudos dessa área da Matemática,
quando ele inventou as coordenadas cartesianas
determinadas por infinitas retas perpendiculares entre si. Essas infinitas retas geram uma malha
sobre um plano chamado de PLANO CARTESIANO que tem por base os eixos coordenados x0y,
onde: “x0” (x zero), eixo das ABSCISSAS, posiciona-se na horizontal e “0y” (zero y), eixo das
ORDENADAS, se posiciona na vertical do Plano Cartesiano, dividindo-o em quatro partes iguais
denominadas de QUADRANTES.
COORDENADAS CARTESIANAS:
Tomando-se uma reta perpendicular ao eixo 0X,
consequentemente paralela ao eixo 0Y, passando pela
abscissa determinada por xP, e outra reta perpendicular a 0Y,
consequentemente paralela ao eixo 0X, passando pelo ponto
de ordenada yP, a intersecção entre essa duas retas,
perpendiculares entre si, determina o ponto P(xP,yP), de
abscissa xP e ordenada yP.
Genericamente um ponto no plano é representado por suas
coordenadas: abscissa x e ordenada y, ou seja, P(x, y).
Dependendo do quadrante em que se encontram as coordenadas x e y podem ser positivas ou
negativas, conforme a figura exibida na introdução:
I Quadrante ; II Quadrante ; III Quadrante , IV Quadrante
OBSERVAÇÃO:
Se um ponto está localizado sobre um eixo, este ponto não pertence a nenhum quadrante. Se estiver:
• Sobre o eixo dos , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “x” se localizado à direita
do eixo dos “y” e ao semieixo negativo dos “x” se estiver localizado à esquerda do eixo dos “y”.
• Sobre o eixo dos , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “y” se localizado acima
do eixo dos “x” e ao semieixo negativo dos “y” se estiver localizado abaixo do eixo dos “x”.
MEDIDA ALGÉBRICA DA ABSCISSA OU ORDENADA:
A medida de um segmento é a distância entre as duas extremidades do segmento. Se sobre
gráfico da figura anterior tomarmos como sendo a medida do segmento temos de
onde ou seja . Neste caso dizemos que é a medida algébrica da abscissa do
ponto P, positiva se P estiver à direita do eixo dos “y” e negativa se P estiver à esquerda. No caso
das ordenadas o raciocínio é o análogo, é a medida algébrica da ordenada do ponto P, positiva
se P estiver acima do eixo dos “x” e negativa se P estiver abaixo.
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3. MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO:
Dado o segmento de extremos e , temos os
segmentos algébricos sobre o eixo das abscissas e o outro
segmento no eixo das ordenadas, tais que: e
.Como se trata de segmentos algébricos podem
ser positivos ou negativos, dependendo do valor numérico de
cada coordenada.
As medidas algébricas de qualquer segmento são tomadas sobre
o eixo relativo se for abscissa: eixo dos “x” se ordenadas eixo dos
“y”.
DISTÂNCIAENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
Tomando-se dois pontos sobre o plano cartesiano, como
mostra a figura, considerando-se a abscissa e a ordenada
forma-se um triângulo retângulo de catetos a e b e
hipotenusa h, onde a é igual à medida algébrica ,bé
igual à medida algébrica e h é igual a ),
distância do ponto A ao ponto B.
Pelo teorema de Pitágoras: h² = a²+ b².
Substituindo estes valores pelos valores anteriormente
encontrados temos: ,
extraindo a raiz quadrada em ambos os membros vem:
Que é a expressão que calcula a distância entre dois pontos no plano.
RAZÃO DE SECÇÃO DE UM PONTO NUM SEGMENTO:
Tomados três pontos alinhados e não coincidentes A, C e B, nesta
ordem: definimos razão de secção do ponto C no segmento AB
como sendo a razão entre o primeiro segmento formado, eo
segundo segmento . Sendo a razão de secção do ponto C,
podemos concluir que:
COORDENADAS DO PONTO DIVISOR:
Calculando a abscissa do ponto:
Sendo pela propriedade fundamental das proporções temos:
Concluindo temos: , de modo análogo encontramos que são as coordenadas
do ponto divisor do segmento AB, se .
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:
O ponto médio M(xM,yM) é o ponto que divide o segmento AB em dois segmentos iguais, tais que
como AM é igual MB concluímos .
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4. Deste modo podemos fazer: e que
são as coordenadas do ponto M.
EXERCÍCIOS:
1. Um ponto no plano cartesiano fica determinado por suas ________________ a ____________( ) e
a _______________( ).
2. Use uma folha de papel milimetrado, quadriculado ou mesmo marque as quadrículas na folha de
seu caderno e, em seguida, determine os eixos coordenados 0x e 0y e marque sobre ele os pontos
(use cada quadricula 0,5 cm, como sendo uma unidade):
c. e. g.
b.
a.
d. f. h.
3. Identifique o quadrante de cada um dos pontos da questão anterior.
4. Determine o ponto P(x, y) sabendo que: e identifique o quadrando a que ele
pertence.
5. Calcule as medidas algébricas dos segmentos determinados pelos pontos: (observação: não precisa
expressar a unidade de grandeza, pois é um número algébrico)
a. e c. e e. e
b. e d. e f. e
6. Calcule a distância entre os pontos:
a. e c. e
b. e d. e
7. Determine o valor de para que a distância entre os pontos seja igual a .
8. Determine o valor de para que a distância entre os pontos e seja igual a .
9. Calcule o valor , tal que a distância entre os pontos e seja igual a .
10. Calcule a distância entre os pontos e .
11. Dados os pontos , e calcule a razão de secção do ponto em relação ao
segmento .
12. Calcule a razão de secção dos pontos , , e em relação ao segmento na figura dada ao
lado, considerando u igual a uma
unidade de comprimento:
13. Calcule a razão de secção dos pontos , , , e em relação ao segmento na figura dada
ao lado, tal v seja igual a uma unidade
de comprimento.
14. Dados os pontos , e calcule as coordenadas do ponto C sabendo que a razão
de secção do ponto C em relação ao segmento AB é igual a .
15. Dados os pontos e calcule as coordenadas do ponto médio M.
16. Dados os pontos e calcule o valor de e de , sabendo que o ponto médio do
segmento AB é .
NOTA: Com relação à razão de secção de um ponto, pelos exercícios 12 e 13 verificamos que se o ponto estiver à
esquerda do ponto médio do segmento a razão de secção é fracionária, se estiver à direita do ponto médio é inteira;
se estiver entre os extremos do segmento a razão de secção é positiva e crescente para a direita. Se o ponto estiver
antes do extremo esquerdo à razão de secção é negativa e crescente para a esquerda, se estiver após o extremo
direito a razão de secção é negativa e crescente para a direita.
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5. ESTUDO DA RETA
ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS:
Três pontos estão alinhados se forem colineares, caso contrário eles
determinam um triângulo. Considerando os pontos A, B e C da figura,
alinhados e os dois pontos D e E formando dois triângulos retângulos
semelhantes, e, pela teoria da semelhança entre triângulos
retângulos, temos:
de onde:
vem
que é a mesma expressão encontrada no cálculo do
determinante: . Logo, para determinar se três pontos estão ou não alinhados podemos
usar a proporção: ou o determinante
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA GERAL:
Dois pontos A e B qualquer, determinam uma única reta, mas se um
terceiro ponto P(x, y) pertence a esta reta, então A, B e P são colineares,
deste modo a equação pode ser determinada com o uso de:
ou o do determinante
De onde temos:
Ou seja:
Fazendo , e
Temos
Que é a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B.
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA:
O coeficiente angular de uma reta é o parâmetro “m” que mede a
inclinação de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Pela figura
vemos que a inclinação da reta fica evidenciada pela inclinação
determinada pelo ângulo θ e, da trigonometria vimos que a tangente do
ângulo é quem mede o valor desta inclinação como tangente de um
ângulo no triângulo retângulo é dada pala relação:
Temos, no nosso triângulo,
Como implica , sendo e podemos concluir que o
coeficiente angular:
.
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6. EQUAÇÃO DE RETA CONHECENDO-SE UM PONTO E SEU COEFICIENTE ANGULAR:
Seja o ponto e o coeficiente angular para um ponto genérico , da proporção
, vem: , como chegamos a:
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA REDUZIDA:
Verificando o valor na equação da reta em sua forma geral temos:
. Como fazendo vem:
O m é o coeficiente angular e q o coeficiente linear. Já foi visto que o coeficiente angular mede a
inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas e o coeficiente linear determina o ponto em
que a reta intercepta o eixo das ordenadas.
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA SEGMENTÁRIA:
Se considerarmos uma reta que intercepta os eixo coordenados no
pontos e a equação da reta é dada pelo determinante:
Dividindo ambos os membros por , encontramos:
Que é a equação de uma reta na forma segmentária.
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA PARAMÉTRICA:
Uma equação pode ser apresentada segundo um parâmetro qualquer , de forma que: onde
é o parâmetro dado.
Encontrando o valor de t em uma das equações e substituindo na outra, encontramos a equação da
reta na forma geral.
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA NORMAL:
A reta que
passa por P(x, y)
é perpendicular
ao segmento de
reta OP. Pela
trigonometria
temos
e Como é perpendicular a seu coeficiente angular é igual a cotangente de . Aplicando
a equação que passa por um ponto de onde vem:
pondo em evidência vem
como , temos:
Equação na forma normal da reta.
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7. EXERCÍCIOS:
1. Verifique se os pontos estão alinhados, isto é, são colineares:
a. 2, 1), (−2, −7) e (5, 7) c. (−3, 2), (0, 5) e (3, 8)
b. (2, 7), (6, 5) e (4, 3) d. (3, 5), (−2, 4) e (1, 1)
2. Determine o valor de k para que os pontos dados estejam alinhados:
a. (2, 8), ( , −1) e (1, 5) c. ( , 1), (−1, −3) e (5, )
b. (−3, 4), (0, ) e (2, 9) d. ( , 0), (3, ) e (−1, −6)
3. Dados os pontos, determine a equação, na forma geral, da reta que os contém:
a. (2, 1) e (−2, −7) c. (3, 2) e (−1, 5)
b. (2, 5) e (3, 1) d. (−3, 2) e (2, −5)
4. Dadas as retas, determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma delas:
a. 3 + − 1 = 0 c. 5 − 5 − 15 = 0
b. 2 − 3 + 7 = 0 d. 3 − 5 = 0
5. Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto dado conhecendo-se o coeficiente
angular:
a. (3, 5) = −2 c. (−3, 1) =
b. (2, −1) =− d. (−4, −5) =2
6. Dada a reta na forma geral determine sua equação na forma reduzida:
a. 2 + − 4 = 0 c. 5 − 2 + 13 = 0
b. 3 − 4 + 9 = 0 d. 2 + 3 − 7 = 0
7. Encontre a equação, na forma segmentária, da reta que passa pelos pontos:
a. (0, 5) e (2, 0) c. (0, −2) e (5, 0)
b. (0, 7) e (3, 0)
d. (0, ) e (5, 0)
8. Converta a reta da forma segmentária para a forma geral:
a. + = 1 c. + =1
b. + =1 d. + =1
9. Encontre a forma geral das retas, dadas as suas formas paramétricas:
=2 =
a. : :
= +1 c. =
=3 −2
b. : = +1
=2 +1 d. :
=3 −2
10. Encontre a equação da reta na forma normal, dados e :
=5 =6
: :
= 30°
a.
=
c.
= 10
: =6
= :
b.
=
d.
11. Passe as equações anteriores para a forma geral:
12. Determine a intersecção entre as retas : 2 + − 4 = 0 e : 3 − 4 + 9 = 0
13. Determine os pontos em que a reta : 2 − 3 + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados
14. Determine a intersecção entre as retas : 3 − − 2 = 0 e : 5 − 2 − 3 = 0
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8. RESPOSTAS DA LISTA ANTERIOR:
1. Coordenadas, abscissa ( ) e ordenada ( )
2.
3. – Semieixo positivo das abscissas – Semieixo negativo das abscissas
– IV quadrante – III quadrante
– Semieixo positivo das ordenadas – I quadrante
– II quadrante – Semieixo negativo das ordenadas
4. IV quadrante
5.
a. c. e.
b. d. f.
6.
a. b. c. d.
7.
8.
9.
10.
11. e
12. , , , e
13. , , , , e
14. 15. 16.
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS:
Dadas duas retas e elas só podem ocupara três posições
relativas entre si: CONCORRENTES, PARALELAS ou COINCIDENTES.
Quando concorrentes têm um ponto comum às
duas retas.
Se são paralelas, não tem nenhum ponto comum
às duas retas.
Se são coincidentes todos os pontos pertencem às
duas retas, trata-se de uma mesma reta, que se orientadas, têm sentidos opostos.
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