Destinado aos alunos do 2º e 3º ano de Formação Geral. Estudo no Triângulo Retângulo.

1. COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO
2º Ano de Formação Geral – Matemática
Professor Alfredo Coelho
TRIGONOMETRIA
A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu
estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo.
TRIÂNGULO RETÂNGULO
É o triângulo que contém um ângulo reto.
No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o
ângulo que mede .
Em nosso estudo, se não for dada outra orientação,
adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu
vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A,
vértice B, corresponde ao ângulo B.
No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se
CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos:
O lado , cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, cateto maior,
chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado que é o maior dos lados, é
chamado de hipotenusa.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Enunciado:
“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.
Demonstração:
Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se
dividirmos os seus lados como mostrado na figura
temos:
A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD,
subtraída da soma das áreas de 1 a 4.
As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados , e
, e áreas iguais a . A figura 5 é um QUADRADO
de lado e área igual .
Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a
temos:
, verificando o valor da área 5, temos:
, de onde podemos verificar que:
e, assim concluímos que:
cqd.
Exercícios Resolvidos

2. Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos e iguais a 5,0 e 12,0
centímetros, respectivamente calcule o valor de sua hipotenusa .
Solução:
Pelo teorema de Pitágoras temos
Logo: ou seja , de onde
Exercício resolvido 2 – Dado o triângulo ao lado com medidas em
centímetros, determine o valor de x.
Solução:
Pelo teorema de Pitágoras temos
Logo: de onde .
Exercícios Propostos
Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos
e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo.
Exercício 2 – João avista um helicóptero segundo um raio visual que
mede 1300 metros. Sabendo que a distância horizontal de João até a vertical em que se
encontra o helicóptero é igual a 500 metros, calcule a altura em que se encontra o
helicóptero.
RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos e . Tomando-se o ponto D sobre a
hipotenusa , temos os segmentos: (h) igual
altura relativa à hipotenusa , (m) igual a
projeção do cateto sobre a hipotenusa e (n)
igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa .
A altura h divide o triângulo ABC em dois outros
triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e
também semelhante ao triângulo ABC.
Deste modo temos:
I Triângulo ABC II Triângulo ADC III Triângulo CDB
De I e II temos , então podemos fazer:
2

3. 1- 2-
De II e III temos , então podemos fazer:
3-
De I e III temos , então podemos fazer:
4- 5-
Exercícios Resolvidos
Exercício resolvido – 3 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas de c, m, n e
h, em centímetros.
Solução:
Aplicando o teorema de Pitágoras temos
Respostas: c=10,0cm; m=6,4cm; n=3,6cm e h=4,8cm.
Exercícios Propostos
Exercício 3 – Dado o triângulo ao lado, sabendo que e
, medido em centímetros, calcule, a medida de a
medida de , a medida de , a medida de e a área do
triângulo ABC.
Exercício 4 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se
uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma
perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de
segmento MN.
Exercício 5 – No triângulo dado, as medidas estão em
metros. Calcule o valor numérico das medidas indicadas por
letras.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois
agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é
oposto à hipotenusa.
São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno
e Tangente.
3

4. FUNÇÃO SENO
Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a
hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então
teremos:
, isto é,
FUNÇÃO COSSENO
Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um
ângulo e a hipotenusa do triângulo”.
, isto é,
FUNÇÃO TANGENTE
Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto
adjacente a um ângulo”.
, isto é,
Exercícios Resolvidos
Exercício resolvido – 4 No triângulo retângulo dado abaixo
calcule o valor numérico das funções trigonométricas, seno,
cosseno e tangente, em relação ao ângulo A.
Solução:
.
ou seja, .
.
ou seja,
.
ou seja,
.
Exercício resolvido – 5 Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 e 8 u.c.,
respectivamente. Sendo o menor cateto, oposto ao ângulo , calcule , e
.
Solução:
Cálculo da hipotenusa . .
.
, ou seja, ·.
.
, ou seja,
.
, ou seja,
.
Exercícios Propostos
4

5. Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funções
seno, cosseno e tangente para os ângulos A e B.
Exercício 7 – Num triângulo retângulo um dos catetos mede e a hipotenusa mede
calcule as funções seno, cosseno e tangente do maior ângulo agudo.
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
1ª – Tomando-se e ,
como , temos simplificando vem:
2ª – Da dedução anterior temos: e , elevando as
igualdades ao quadrado temos, e . Somando
com , vem . Pelo teorema de Pitágoras
, logo teremos a expressão , pondo
em evidência vem: , ou seja,
3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: e o
lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo
Demonstração:
Na figura do topo da página, temos: e para o ângulo A e
e para o ângulo B. Desse modo temos:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido – 8 Dado calcule e .
Solução:
Como temos
ou seja . Fazendo vem
Exercício Resolvido – 9 Dado calcule e .
Solução:
Como de onde temos .
Mas c ou seja c , de onde
vem e .
Exercícios Propostos
Exercício 8 – Dado calcule o valor de e .
Exercício 9 – Sendo calcule o valor de e .
5

6. Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a
calcule o valor do seno e tangente desse ângulo.
Exercício 11 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos
agudos, é igual . Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo?
Exercício 12 – No exercício anterior quais os ângulos agudos do triângulo dado?
CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE
Usaremos triângulos equiláteros e isósceles de 45° para a dedução.
Ângulo de 30° e 60°
Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos
internos A, B e C são iguais a 60° Traçando-se a mediana
.
dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de
lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e
60° .
Cálculo do valor numérico de H.
Pelo teorema de Pitágoras temos: , de
onde ou .
De onde vem ··; concluindo
Seno, cosseno e tangente de 30°:
Da definição de seno temos ou seja:
Da definição de cosseno temos ou seja:
De ou seja:
Seno, cosseno e tangente de 60°:
Aplicando a relação para ângulos complementares temos:
, e
Ângulo de 45°
Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C
medem 45° respectivamente. O ângulo
,
mede 90° .
Cálculo do valor numérico de M.
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7. Pelo teorema de Pitágoras temos: , isto é:
Seno, cosseno e tangente de 45°:
Da definição de seno temos ou seja:
Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, , ou seja:
Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0° até
)
o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90° enquanto que o cateto adjacente pode
),
variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0° até 0 (para o ângulo de 90°
) ).
Temos as seguintes relações a mais:
e
e
e (o símbolo significa não existe)
Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das
principais funções trigonométricas de 0° a 90°.
Ângulos
Funções
0° 30° 45° 60° 90°
sen 0 1
cos 1 0
tg 0 1
OBSERVAÇÃO
Os ângulos de , e são chamados de ângulos ou arcos notáveis.
Exercício 13 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de igual a .
Qual a medida da hipotenusa desse triângulo? (Considere ).
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8. Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical da
torre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja.
Sabendo que o ângulo de visão do observador é de com a horizontal e, considerando
responda as alternativas:
a. Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema.
b. Calcule a distância do observador ao avião.
c. Calcule a distância do observador à igreja.
Exercício 15 – (OM-SP) Na figura, o é retângulo em B e
. O segmento é bissetriz do ângulo e
. Determine a medida de .
Exercício 16 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estão
numa quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos e B
formando o segmento de reta e Carlos está num ponto , de modo que o segmento
forma um ângulo de com e o segmento forma um ângulo de com .
Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de :
a. Desenhe um triângulo para ilustrar o problema.
b. Calcule a distância entre Antonio e Bento.
c. Calcule a distância entre Bento e Carlos.
Exercício 17 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados,
paralelamente, na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na
outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos e são iguais e
medem 75° Determine a largura, aproximada do rio, considerando o c
. ·.
TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
É no círculo onde o estudo da trigonometria fica mais completo e geral.
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:
Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma
posição, simultaneamente no espaço, são entidades
geométricas diferentes. O círculo refere-se à região interna,
contornada pela linha da circunferência uma é área e a
outra linha, logo não tem sentido falar em área da
circunferência, ou em comprimento do círculo.
ÂNGULO E ARCO
Outras duas entidades relacionadas com círculo e
circunferência, são ângulos e arcos.
Num círculo são dados três pontos A e B sobre a
circunferência e C no centro do círculo.
Quando um ponto se move sobre a circunferência, do ponto
A até o ponto B, ele descreve uma linha de A até B chamada
de arco de circunferência, ou simplesmente arco .
Enquanto o ponto se desloca sobre a circunferência, a linha
8

9. que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo,
a qual nós chamamos de ângulo central, ou simplesmente ângulo .
NOTAS:
• Ângulos e arcos são entidades geométricas ligadas ao mesmo círculo;
• O ângulo descreve uma área no círculo e o arco descreve uma linha na circunferência que
contorna o círculo;
• O arco depende do raio, quanto maior o raio, maior será o arco.
• O ângulo central não depende do raio. Independente do raio o ângulo central é o mesmo;
• Veremos no círculo trigonométrico que tanto faz falarmos em ângulo como em arco, pois o
raio é unitário e desse modo, ângulo e arco tornam-se uma mesma entidade, ou seja
, o arco AB coincide com o ângulo ACB.
UNIDADES DE MEDIDAS
Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra
medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO.
GRAU
Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência,
ou logo podemos concluir de que uma circunferência
contém um ângulo central total de .
RADIANO
Um radiano é o ângulo central (arco) cuja medida do arco é igual a
medida do raio, ou seja: sendo o ângulo central correspondente
ao arco l, então temos:
Em qualquer circunferência, quando a medida do comprimento total por ela descrito ( ) é
dividida pelo seu diâmetro (d) o resultado é igual a uma constante irracional denominada
de com unidade em radiano (rad). O diâmetro é igual a dois raios e valor numérico de
, atualmente é aproximado para 3,14.
Quando uma circunferência é dividida por seu diâmetro, ela fica dividida em duas partes
(ângulos), igual a cada uma, o que nos leva à conclusão de que o ângulo central
total de uma circunferência é igual a .
Do que foi visto acima temos:
como
Comprimento de uma circunferência é igual a . Substittuindo o ângulo total da
circunferência por , temos , o qual se pode generalizar para qualquer
arco , tal que:
Sendo α em radiano (rad)
CONVERSÕES
Como a circunferência mede equivalente a , temos:
9

10. . Onde será o correspondente em graus ( ) e o
correspondente em radiano ( .
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido – 10. Converta os ângulos (a) de e (b) de para .
Solução:
(a) , ou seja,
(b) , ou seja,
Exercício Resolvido – 11. Converta os ângulos (a) de e (b) de para
graus.
Solução:
(a) ·, ou seja,
(b) , ou seja,
Exercício Resolvido – 12. Calcular o valor, em graus, (a) de e (b) de
Solução:
(a) De , tomando-se o valor aproximado de de 3,14 vem:
. Nota com esta aproximação o único valor exato é , usarmos o valor de
, com 32 casas decimais o valor encontrado seria Vamos trabalhar com 3,14.
(b)
NOTAS IMPORTANTES:
1. Tratando-se de ângulo central a metade de uma circunferência mede rad, e a
circunferência total mede rad.
2. Com o conceito de radiano o comprimento de um arco em graus será dado por:
Exercícios Propostos
Exercício 18 – Converta os ângulos (a) de (b) de e (c) de 315 para .
Exercício 19 – Converta os ângulos (a) de , (b) de e (c) de
para graus.
Exercício 20 – Converta (a) , (b) e (b) para graus.
Exercício 21 – Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central (a) é igual a , (b)
, (c) , sendo os raios respectivamente iguais a: 5; 3 e 8 metros.
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11. Respostas dos Exercícios Propostos:
Exercício – 1. dad
Exercício – 2. r
Exercício – 3. , , , e a área .
Exercício – 4.
Exercício – 5. , , e .
Exercício – 6. , , , , e
Exercício – 7. , e
Exercício – 8. e
Exercício – 9. e
Exercício – 10. e
Exercício – 11. e
Exercício – 12. Pela tabela logo
Exercício – 13. 20 cm
Exercício – 14. a. b. 1000 m c. 865 m
Exercício – 15. 12 cm
Exercício – 16. a. b. c.
Exercício – 17.
Exercício – 18. (a) rad, (b) rad (c) rad.
Exercício – 19. (a) , (b) e (c) .
Exercício – 20. (a) (b) , (c) .
Exercício – 21. (a) ; (b) ; (c)
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