Тооллын систем (Number system)

NUMBER SYSTEM
Binary, Decimal, Octal, Hexadecimal
МУИС М.Алтансүх ©2020
Тооллын систем

 Тооллын системийн түүхээс
 10-тын тооллын систем
 Тооллын системүүдийн
хооронд утга шилжүүлэх
М.Алтансүх Тооллын систем

• Оронт тооллын систем
• Оронт бус тооллын систем
Тоо тооллын үүсэл бол эртний үед Энэтхэгээс гаралтай ба
Арабад нэвтэрч Европт өргөнөөр хэрэглэж хөгжиж ирсэн нь
өнөөгийн бидний ашиглаж буй аравтын тооллын систем юм.

Цифрүүд нь оронтой, орноосоо хамаарч утга нь өөрчлөгддөг тооллын
системийг хэлнэ.
Өнцгийн тоогоор
баталгаажуулсан анхны
аравтын тэмдэг
Эртний Египетийн тоо
Хятад тоо

Маяа тооллын систем (МЭӨ-2000 онд)
(Mayans number system)

Вавилон тооллын систем (МЭӨ 3100 онд)
(Babylonian number system)

Аравтын тооллын систем (Decimal) нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
гэсэн артван цифрийг ашиглан тоон утгуудыг дүрсэлдэг бөгөөд
хамгийн түгээмэл тоон систем юм.
Ихэнх хүмүүс аравтын тооны системийг ашигладаг.
2945 ≠ 2495
2945 = (2*103) + (9*102 ) + (4*101) + (5*100 )
Бидэнд 734, 971, 207 гурван тоо байна. Бүх гурван тоонд 7-ийн
утга өөр байна.
(Decimal number system)
Жишээ: 734-н 7 нь 700 эсвэл 7 × 100 эсвэл 7 × 102
971-н 7 нь 70 эсвэл 7 × 10 эсвэл 7 × 101
207-н 7 нь 7 эсвэл 7 × 1 эсвэл 7 × 100

Хоёртын тооллын систем (Binary) нь 0 ба 1 гэсэн хоёр
цифрийг ашиглан тоон утгуудыг дүрсэлдэг тооллын систем.
2-тын тоололд орныг бит (bit-Binary digiT) хэмээн нэрийднэ.
Ихэнх компьютерууд болон дижитал төхөөрөмжүүд хоёртын
тооны системийг ашигладаг.
110102 ≠ 110012
(Binary number system)

(Binary number system)
Энэхүү системийг логик
гэйтүүдийн тусламжтайгаар тоон
электроникийн хэлхээнд хялбараар
хэрэгжүүлэх боломжтой.
Асаах явцыг 1 унтраах хэлбэрээр 0

Наймтын тооллын систем (Octal) нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 гэсэн найман цифрийг ашиглан тоон утгуудыг
дүрсэлдэг тооллын систем. Цифрүүд нь аравтын
тооллын систем ижил физик утгатай байна.
(Octal number system)
Наймтын тооллын системийг мини компьютерт ашигладаг.
3548 ≠ 3458

Арван зургаатын тооллын систем (Hexadecimal) нь 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ба A, B, C, D, E, F гэсэн арван зургаан
цифрийг ашиглан тоон утгуудыг дүрсэлдэг тооллын
систем.
Компьютерийн программистууд арван зургаатын тоон
системийг ихэвчлэн ашигладаг
27FB16 ≠ F27B16
(HexaDecimal number system)

(Number System Relationship)
DECIMAL BINARY OCTAL HEXA DECIMAL
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Ямар нэг тооллын системээс 10-тын тооллын системд тоог
хөрвүүлэхдээ тухайн тооллын системийн суурийг 0 ээс n-1
хүртэл (n нь тооны оронгийн тоо) зэрэгт дэвшүүлэн зүүн талаас
тооны харгалзах оронгоор үржүүлэн тэдгээрийг хооронд нь
нэмэх байдлаар шилжүүлдэг.
110102 = (1 × 2⁴) + (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (0 × 2⁰)
= 16 + 8 + 0 + 2 + 0= 2610
27FB16 = (2 × 16³) + (7 × 16²) + (15 × 16¹) + (11 × 16⁰)
= 8192 + 1792 + 240+11
= 1023510
35128 = (3 × 8³) + (5 × 8²) + (1 × 8¹) + (2 × 8⁰)
= 1536 + 320 + 8+2
= 186610

Харин бутархай тооны хувьд суурийн зэрэг нь таслалаас
хойш x-1, x-2, x-3,…. гэх мэтчилэн буурч тооцогдоно.
11.0102 = (1 × 2¹) + (1 × 2⁰) + (0 × 2⁻¹) + (1 × 2⁻²) + (0 × 2⁻³)
= 2 + 1 + 0/2 + 1/4 + 0/6= 3.2510
27F.B16 = 2 × 162 + 7 × 161 + 15 × 160+11 × 16-1
= 512 + 112 + 15+0.6875
= 639.687510
3.5128 = (3 × 8⁰) + (5 × 8⁻¹) + (1 × 8⁻²) + (2 × 8⁻³)
= 3 + 0.625 + 0.015625+0.00390625
= 3.6445312510

26 / 2 = 13 Ү 0
13 / 2 = 6 Ү 1
6 / 2 = 3 Ү 0
3 / 2 = 1 Ү 1
1 / 2 = 0 Ү 1
110102
26 / 16 = 1 Ү 10
1 / 16 = 0 Ү 1
1A16
26 / 8 = 3 Ү 2
3 / 8 = 0 Ү 3
328
10-тын тооллын системээс ямар нэг тооллын системд тоог
хөрвүүлэхдээ хувааж үлдэгдлийг нь доороос бичиж шилжүүлдэг.

26 = (? × 24 )+(? × 23 )+(? × 22 )+(? × 21 )+(? × 20 )
Загвараа бөглөнө
26 = (1 × 24)+(1 × 23)+(0 × 22)+(1 × 21)+(0 × 20)
26 – 16 – 8 – 2 = 0 110102
10-тын тооллын систем дэх тоогоо 2-тын зэрэгтүүдийн нийлбэр
хэлбэрт задлана.
26-д 2-тын хамгийн их тоог тодорхойлон загвар гаргах
2.6 = (? × 22 )+(? × 21 )+(? × 20 )+(? × 2-1 )+(? × 2-2 )
Загвараа бөглөнө
2.6 = (1 × 2¹) + (0 × 2⁰) + (1 × 2⁻¹) + (0 × 2⁻²) + (0 × 2⁻³)+…
2.6 – 2 – 0.5 - … = 0 10.100…2
Бутархай тоо

8-тын тооллын системийн тоо нь 3-н ширхэг 2-тын тооллын
системийн тоогоор дүрслэгддэг.
81 = 23
2-тын тооллын системийн тоог 8-тын тооллын системд
дүрслэхийн тулд араас нь 3, 3-аар хэсэглэн түүнийгээ тус тусад нь
8-тын дүрслэлээр илэрхийлдэг.
Ингэхдээ араас нь таслахад хамгийн сүүлд үлдсэн хэсэг 3-с бага
оронтой бол урд нь 0 оруулж гүйцээлт хийн бодно.
010 000 100 111 1012
2 0 4 7 58
2 0 4 7 58
010 000 100 111 1012
10 000 100 111 1012
010 000 100 111 1012
2 0 4 7 58
2 0 4 7 58
010 000 100 111 1012
10 000 100 111 1012

16-тын тооллын системийн тоо нь 4-н ширхэг 2-тын тооллын
системийн тоогоор дүрслэгддэг.
161 = 24
2-тын тооллын системийн тоог 16-тын тооллын системд
дүрслэхийн тулд араас нь 4, 4-өөр хэсэглэн түүнийгээ тус тусад
нь 16-тын дүрслэлээр илэрхийлдэг.
Ингэхдээ араас нь таслахад хамгийн сүүлд үлдсэн хэсэг 4-с бага
оронтой бол урд нь 0 оруулж гүйцээлт хийн бодно.
1010 0001 0011 11012
A 1 3 D16
A 1 3 D16
1010 0001 0011 11012
110 0001 0011 11012
0110 0001 0011 11012
6 1 3 D16
6 1 3 D16
0110 0001 0011 11012
110 0001 0011 11012

Тэмдэгт
Утга
Тухайн тоо нь оронгүй буюу цифрүүд нь байрлалаасаа
хамаарч утга нь өөрчлөгддөггүй тооллын системийг хэлнэ.
Ромын тоо (Roman numerals)

(Roman numerals)
Том тэмдэгтийн ард жижиг бүхий тэмдэгт байрлуулсан бол том
тэмдэгт дээр нэмнэ.
Том тэмдэгтийн өмнө жижиг бүхий тэмдэгт байрлуулсан бол том
тэмдэгтээс хасах болно.

Анхаарал тавьсанд
баярлалаа

Тооллын систем (Number system)

Тооллын систем (Number system)

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances(20)

Similaire à Тооллын систем (Number system)

Similaire à Тооллын систем (Number system)(7)

Тооллын систем (Number system)