1. "La PROBABILIDAD de un evento es
el GRADO de CERTEZA que tengo de
que el evento ocurra".
Fundación Universitaria Juan de
Castellanos
2. DEFINICIONES BASICAS
• Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra
como un dato.
• Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento.
– Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos
los resultados siguientes:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }
– Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;
S = { HH, HT, TH, TT } S = { 4 }
3. Espacios muestrales discretos: Son espacios muestrales cuyos
elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son
subconjuntos de los números enteros.
Espacios muestrales continuos: Son espacios muestrales
cuyos elementos resultan de hacer mediciones, y por lo
general son intervalos en la recta Real.
4. • Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es
seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.
• Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un
experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento
del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un
evento simple.
• Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, son eventos compuestos si se
componen de dos o más eventos simples.
– Evento simple: Lanzamiento de un dado
– A = { evento que salga un # impar } = { 1, 3, 5 }
– B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }
– Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas
– A = el evento de observar una cara
– A = {CC, CS, SC, SS}
5.
6. Fenómenos Aleatorios y
Fenómenos Deterministicos.
Fenómeno Aleatorio.
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo
que va a ocurrir, están relacionados con el
azar o probabilidad.
Fenómeno Determinista.
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe
cual será el resultado.
7. Definiciones de Probabilidad
La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en
donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se
pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está
presente en casi en todas las actividades que se pretenda
realizar, ejemplos:
-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas
-Competencias deportivas
-Juegos de azar.
La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la
Estadística, ya que las mediaciones que hagamos sobre la
población o poblaciones en estudio se moverán dentro de unos
márgenes de error controlado, el cual será medido en términos
de probabilidad.
9. Métodos de asignar Probabilidades
Método Axiomático: La Probabilidad es considerada
como una función de valor real definida sobre una
colección de eventos de un espacio muestral S que
satisface los siguientes axiomas:
1. PS 1
2. Si A es un evento de S entonces .
3. Si, es una colección de eventos disjuntos (por
pares) entonces . Esta es llamada el axioma de
aditividad contable. Asumiendo que se
sigue del axioma 3 que , ésta es llamada la
propiedad de aditividad finita.
11. PROPIEDADES
PROPIEDAD 1 0 ≤P(A) ≤ 1
Como 0 ≤ #A ≤ # S #A #S
0 P ( A) 1
0
#S #S #S
PROPIEDAD 2 P( )= 0
Como # = 0 #
P ( ) 0
0
#S #S
PROPIEDAD 3 P(S) =1
#S
Ya que P(S ) = 1
#S
12. PROPIEDAD 4 P (AB) = P(A) + P(B), si AB =
A
Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B. B
# ( A B ) # A # B # A # B
P( A B) P ( A) P ( B )
#S #S #S #S
PROPIEDAD 5 P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠
# ( AUB ) # A# B# ( A B ) # A # B # ( A B)
P ( A B) A
#S #S #S #S #S
P ( A B) P ( A) P ( B ) P( A B) B
PROPIEDAD 6 P(A ) = 1 - P(A)
# ( A ) # S # A # S # A A
P( A ) 1 P ( A)
#S #S #S #S A’
12
13. Método Frecuencial Si un experimento se repite
n veces y n(A) de esas veces ocurre el evento
A, entonces la frecuencia relativa de A se
define por A f
n ( A)
n .
Se puede notar que:
a) f 1
S
b) f 0
A
c) Si A y B son eventos disjuntos entonces
Es decir satisface los axiomas de f f f
AB A B
probabilidad.
14. Método Subjetivo Algunas personas de acuerdo
a su propio criterio generalmente basado en
su experiencia, asignan probabilidades a
eventos, éstas son llamadas probabilidades
subjetivas. Por ejemplo:
– La Probabilidad de que llueva mañana es 40%.
– La Probabilidad de que haya un terremoto en
Puerto Rico antes del 2000 es casi cero.
– La Probabilidad de que el caballo Camionero gane
el clásico del domingo es 75%.
15. Probabilidad Condicional Sean A y B dos
eventos de un mismo espacio muestral S. La
probabilidad condicional de A dado que B ha
ocurrido esta dado por:
P( A B)
P( A / B)
P( B)
–Regla del Producto
P( A B) P( A) P( B / A)
–Probabilidad Total y Regla de Bayes
P(Ai| B)
P(B Ai)
P(B)
17. Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga Doble 1? Respuesta
: Denotemos por "13" el caso en que el primer dado cae con "1" y el segundo con "3",
mientras que "31" es el caso en que el primer dado cae con "3" y el segundo con "1". El
primer dado puede tomar seis valores ("1" a "6"). Para cada uno de estos, el segundo dado
puede tomar otros seis (también "1" a "6"). Por lo que hay 6 veces 6 = 36 casos totales.
Podemos enumerarlos si requerimos mayor claridad:
EJEMPLO 1
• Casos Totales =
"11","12"13,"14","15","16", = 36 casos
"21","22"23,"24","25","26",
"31","32"33,"34","35","36",
"41","42"43,"44","45","46",
"51","52"53,"54","55","56",
"61","62"63,"64","65","66"
• Casos Favorables = Evento "11" = 1 caso
La probabilidad buscada es pues 1/36 = 0.28
Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga un doble?
Respuesta : Casos Totales = "11","12"13,...,"65","66",= 36 casos Casos Favorables = Eventos
"11","22","33","44","55",66" = 6 casos
La probabilidad buscada es pues 6/36 = 1/6 = 0.17
18. A Ac
sexo edad Sucesos
B.R H 18 A = ser hombre (H)
B = edad 20 4 2
C.C M 19
C.G H 19 B
G.P M 20
2 6
Bc
M.P M 21
J.L H 20
L.A. M 21 Probabilidades
N.D M 21 P(A) = 6/14 = 0.43
EJEMPLO 2
V.C H 22 P(B) = 6/14 = 0.43
V.F. H 19 P(A B) = 4/14 = 0.29
L.L. H 18 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
J.N. M 21 6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57
J.P. M 21 P(AB) = 4/6 = 0.67
U.P M 18
18
19. Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
EJEMPLO 3
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) Un Sist. Exh. Excl.
De sucesos
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
¿Seelije a un individuo al azar y resulta
fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
Mujeres Varones
T. Bayes
– P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)
= P(F|H) P(H) / P(F)
= 0x2 x 0,3 / 0,13 fumadores
19
= 0,46 = 46%
20. Expresión del problema en forma de árbol
Fuma P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2
0,1
0,7 Mujer
0,9
P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)
No fuma
Estudiante
•Los caminos a través de nodos
0,2 representan intersecciones.
0,3 Fuma
Hombre •Las bifurcaciones representan
uniones disjuntas.
0,8
No fuma
Tema 4: Probabilidad 20 Dpto. de Estadística - UNCo
21. Teorema de Bayes Si conocemos la probabilidad de B en cada uno
de los componentes de un sistema exhaustivo y
A1 A2 excluyente de sucesos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad
(a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.
B
P(Ai| B)
P(B Ai)
P(B)
A3 A4
P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
Tema 4: Probabilidad 21 Dpto. de Estadística - UNCo
22. Ejemplo: Pruebas diagnósticas
Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre
dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista
se estima:
– Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos.
– Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos.
A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular
las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test)
de
los llamados índices predictivos:
EJEMPLO 4
– P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo
– P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo
22
23. La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta.
La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su
sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la
especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los
índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y
P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo).
0,3 T+
0,2 Enfermo
T-
1 - 0,3 = 0,7
Individuo
1 - 0,99 = 0,01
T+
1 - 0,2 = 0,8 Sano
0,99 T-
23
24. Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que
el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de
que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.
P ( Enf T )
P ( Enf | T ) 0,88
0,06
P (T ) 0,068
P ( Enf T ) 0,2 0,3 0,06
P (T ) 0,2 0,3 0,8 0,01 0,068
0,3 T+
0,2 Enfermo
0,7 T-
Individuo
0,01 T+
0,8 Sano
0,99 T- 24
26. Ejemplo.-
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
EJEMPLO 5
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Supóngase que se selecciona un artículo
al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería
la probabilidad de que el artículo haya sido
producido por la máquina M1?
27. PROBABILIDAD
Sea
D: Que el artículo sea defectuoso
ND: Que el artículo no sea defectuoso
M1: Que haya sido producido por la máquina 1
M2: Que haya sido producido por la máquina 2
M3: Que haya sido producido por la máquina 3
P(M1) = .50 P(D/M1) = .03
P(M2) = .30 P(D/M2) = .04
P(M3) = .20 P(D/M3) = .05
28. P(D/M1)=.03
D P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015
P(M1)=.50 M1
ND
P(ND/M1)=.97
P(D/M2)=.04 P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012
D
P(M2)=.30 M2
P(ND/M2)=.96 ND
P(D/M3)=.05
D P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01
P(M3)=.20 M3
ND
P(ND/M3)=.95
P(D) = .015+.012+.01=.037
29. PROBABILIDAD
Por teorema de Bayes se tiene:
P(M1 )P(D / M1 )
P(M1 / D)
P(M1 )P(D / M1 ) P(M 2 )P(D / M 2 ) P(M3 )P(D / M3 )
P(M1 )P(D / M1 )
.4054
(.50)(.03)
P(D) .037
La probabilidad de que el artículo defectuoso se
haya producido en la M1 es del 40.54%
30. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta
escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?
Color
EJEMPLO 6
Palo Rojo Negro Total
As 2 2 4
No-As 24 24 48
Total 26 26 52
Espacio restringido
P ( As Rojo) 2 / 52
P ( As | Rojo)
2
P ( Rojo) 26 / 52 26
30
31. Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades
p(A)=0,25 , p(B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es
0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6.
Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón
Si el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?
