Submit Search
Upload
ความน่าจะเป็น
•
11 likes
•
28,513 views
KruAm Maths
Follow
ความน่าจะเป็น การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่
Read less
Read more
Report
Share
Report
Share
1 of 8
Download now
Download to read offline
Recommended
แบบฝึก แฟกทอเรียล N
แบบฝึก แฟกทอเรียล N
Oranee Seelopa
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
Aobinta In
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
โครงสร้างคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.ต้น
โครงสร้างคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.ต้น
Inmylove Nupad
work1
work1
อ้อย ปิยาพร คงนาค
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
วชิรญาณ์ พูลศรี
ซูโดกุขนาด 9x9 ช่อง แบบตัวอักษร
ซูโดกุขนาด 9x9 ช่อง แบบตัวอักษร
Pawaputanon Mahasarakham
O-NET ม.6-สถิติ
O-NET ม.6-สถิติ
คุณครูพี่อั๋น
Recommended
แบบฝึก แฟกทอเรียล N
แบบฝึก แฟกทอเรียล N
Oranee Seelopa
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
Aobinta In
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 ชุดที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
โครงสร้างคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.ต้น
โครงสร้างคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.ต้น
Inmylove Nupad
work1
work1
อ้อย ปิยาพร คงนาค
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะเรื่องการบวกและการลบเอกนาม
วชิรญาณ์ พูลศรี
ซูโดกุขนาด 9x9 ช่อง แบบตัวอักษร
ซูโดกุขนาด 9x9 ช่อง แบบตัวอักษร
Pawaputanon Mahasarakham
O-NET ม.6-สถิติ
O-NET ม.6-สถิติ
คุณครูพี่อั๋น
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
KruPa Jggdd
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
Mike Polsit
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
ทับทิม เจริญตา
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
การเขียนกราฟของอสมการ
การเขียนกราฟของอสมการ
ทับทิม เจริญตา
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
reaxe j
ข้อสอบเข้าจริง ม.1 -สาธิตศิลปากร คณิตศาสตร์
ข้อสอบเข้าจริง ม.1 -สาธิตศิลปากร คณิตศาสตร์
Kam Nimpunyagampong
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
ทับทิม เจริญตา
ข้อสอบกลางภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
ข้อสอบกลางภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ทับทิม เจริญตา
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
โรงเรียนหาดใหญ่รัฐประชาสรรค์
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
พัน พัน
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 2 หน่วยที่ 4
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 2 หน่วยที่ 4
คุณครูพี่อั๋น
4. โจทย์ปัญหาการซื้อขาย กำไร ขาดทุน
4. โจทย์ปัญหาการซื้อขาย กำไร ขาดทุน
Apirak Potpipit
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
กาพย์ยานี11 ป.5
กาพย์ยานี11 ป.5
SAM RANGSAM
รากที่สอง..
รากที่สอง..
Jiraprapa Suwannajak
บทที่ 1 ห.ร.ม และ ค.ร.น
บทที่ 1 ห.ร.ม และ ค.ร.น
sawed kodnara
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรม
krookay2012
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Prob[1]
Prob[1]
IKHG
More Related Content
What's hot
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
KruPa Jggdd
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
Mike Polsit
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
ทับทิม เจริญตา
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
การเขียนกราฟของอสมการ
การเขียนกราฟของอสมการ
ทับทิม เจริญตา
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
reaxe j
ข้อสอบเข้าจริง ม.1 -สาธิตศิลปากร คณิตศาสตร์
ข้อสอบเข้าจริง ม.1 -สาธิตศิลปากร คณิตศาสตร์
Kam Nimpunyagampong
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
ทับทิม เจริญตา
ข้อสอบกลางภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
ข้อสอบกลางภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
คุณครูพี่อั๋น
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ทับทิม เจริญตา
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
โรงเรียนหาดใหญ่รัฐประชาสรรค์
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
พัน พัน
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 2 หน่วยที่ 4
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 2 หน่วยที่ 4
คุณครูพี่อั๋น
4. โจทย์ปัญหาการซื้อขาย กำไร ขาดทุน
4. โจทย์ปัญหาการซื้อขาย กำไร ขาดทุน
Apirak Potpipit
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
กาพย์ยานี11 ป.5
กาพย์ยานี11 ป.5
SAM RANGSAM
รากที่สอง..
รากที่สอง..
Jiraprapa Suwannajak
บทที่ 1 ห.ร.ม และ ค.ร.น
บทที่ 1 ห.ร.ม และ ค.ร.น
sawed kodnara
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรม
krookay2012
What's hot
(20)
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์
การเขียนกราฟของอสมการ
การเขียนกราฟของอสมการ
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
ข้อสอบเข้าจริง ม.1 -สาธิตศิลปากร คณิตศาสตร์
ข้อสอบเข้าจริง ม.1 -สาธิตศิลปากร คณิตศาสตร์
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
ข้อสอบกลางภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
ข้อสอบกลางภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบเรื่องการคูณและการหารเลขยกกำลัง
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 1
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
แบบฝึกทักษะชุด เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 2 หน่วยที่ 4
ข้อสอบปลายภาค คณิต ม.1 เทอม 1 ชุดที่ 2 หน่วยที่ 4
4. โจทย์ปัญหาการซื้อขาย กำไร ขาดทุน
4. โจทย์ปัญหาการซื้อขาย กำไร ขาดทุน
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
กาพย์ยานี11 ป.5
กาพย์ยานี11 ป.5
รากที่สอง..
รากที่สอง..
บทที่ 1 ห.ร.ม และ ค.ร.น
บทที่ 1 ห.ร.ม และ ค.ร.น
ฮิสโทแกรม
ฮิสโทแกรม
Viewers also liked
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Prob[1]
Prob[1]
IKHG
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
ทับทิม เจริญตา
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
บุรเศรษฐ์ อุทธา
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
kroojaja
คณิต ป.6 หน่วยที่1
คณิต ป.6 หน่วยที่1
Thanakorn Kamsan
จำนวนนับ ป.6
จำนวนนับ ป.6
31052529pp
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
krupornpana55
Arithmetic บวกลบคูณหาร
Arithmetic บวกลบคูณหาร
b39suki
ใบงานรูปเรขาคณิต
ใบงานรูปเรขาคณิต
Little Eye
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
ทับทิม เจริญตา
เออาร์Pdf
เออาร์Pdf
pmthan
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
ยินดี ครูคณิตสงขลา
คณิต ป.6
คณิต ป.6
Kruthai Kidsdee
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
kroojaja
เล่มที่ 1 คูณ
เล่มที่ 1 คูณ
Rachain Muangngam
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
kanjana2536
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
ทับทิม เจริญตา
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
Jaar Alissala
Viewers also liked
(20)
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
67 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่2_การเรียงสับเปลี่ยน
Prob[1]
Prob[1]
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
5.สูตรการหาความน่าจะเป็น
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
68 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่3_การจัดหมู่
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
คณิตเพิ่ม ม6 เล่ม2 - บทที่ 1
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
เอกสารประกอบการเรียน เรื่องแผนภูมิวงกลม
คณิต ป.6 หน่วยที่1
คณิต ป.6 หน่วยที่1
จำนวนนับ ป.6
จำนวนนับ ป.6
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
Arithmetic บวกลบคูณหาร
Arithmetic บวกลบคูณหาร
ใบงานรูปเรขาคณิต
ใบงานรูปเรขาคณิต
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
เออาร์Pdf
เออาร์Pdf
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
แบบฝึกทักษะ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติของปริซึม ม.3
คณิต ป.6
คณิต ป.6
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เล่มที่ 1 คูณ
เล่มที่ 1 คูณ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
ใบงานรูปเรขาคณิตสามมิติ
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
โจทย์ปัญหาระคนป.4 6.
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
แบบฝึกหัดรูปสี่เหลี่ยมป.5 6
Similar to ความน่าจะเป็น
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
Fern Baa
M1
M1
krusangduan54
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
Nittaya Noinan
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
ssusera0c3361
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
Chantana Wonghirun
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
Chantana Wonghirun
เอกสารประกอบ สมการ
เอกสารประกอบ สมการ
warijung2012
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
Jirathorn Buenglee
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Jirathorn Buenglee
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
กอล์ฟ กุยช่ายเอกวิทย์
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
guychaipk
บทที่ 1
บทที่ 1
กระเจี๊ยบ หวาน
6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์
Toongneung SP
Ht 2
Ht 2
sirorut
แนวข้อสอบPisa
แนวข้อสอบPisa
KruAm Maths
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Jirathorn Buenglee
ใบกิจกรรมที่ 2.1
ใบกิจกรรมที่ 2.1
othanatoso
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
Lumyai Pirum
Similar to ความน่าจะเป็น
(20)
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
M1
M1
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
แบบฝึกหัดจำนวนจริงพื้นฐาน
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
เอกสารสอนปรับพื้นฐานคณิตศาสตร์พื้นฐาน-ม.1.pdf
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
เอกสารประกอบ สมการ
เอกสารประกอบ สมการ
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
รวมแบบฝึกหัด(การบ้าน)
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กิจกรรมสำรวจตรวจค้นเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
หน่วยที่2 ระบบจำนวนเต็ม ม.1
บทที่ 1
บทที่ 1
6 อนุกรมอนันต์
6 อนุกรมอนันต์
Ht 2
Ht 2
แนวข้อสอบPisa
แนวข้อสอบPisa
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ใบกิจกรรมที่ 2.1
ใบกิจกรรมที่ 2.1
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
เก็บคะแนนทศนิยมซ้ำ
More from KruAm Maths
กคศ.ว30
กคศ.ว30
KruAm Maths
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
KruAm Maths
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
KruAm Maths
Geometry
Geometry
KruAm Maths
Numbers
Numbers
KruAm Maths
Square Root 2
Square Root 2
KruAm Maths
Square Root
Square Root
KruAm Maths
Pytagorus
Pytagorus
KruAm Maths
More from KruAm Maths
(8)
กคศ.ว30
กคศ.ว30
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
ปรับเงินเดือนย้อนหลัง 1 ม.ค. 55
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Begin with GSP (The Geometer's Sketchpad)
Geometry
Geometry
Numbers
Numbers
Square Root 2
Square Root 2
Square Root
Square Root
Pytagorus
Pytagorus
ความน่าจะเป็น
1.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com ความน่าจะเป็น กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะ ทางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1n2 วิธี กฎข้อที่ 2 การทางานหลายอย่าง ถ้าทางานอย่างแรกมีวิธีทาได้ n1 วิธี ซึ่งในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกมีวิธีที่จะทางาน อย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและงานอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สามได้อีก n3 วิธี เป็นดังนี้ต่อๆ ไป จานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่างจะเท่ากับ n1n2n3…nk วิธี การคูณ มักมีคาว่า “และ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี ขั้นตอนที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมดเท่ากับ m1m2m3…mk วิธี การบวก มักมีคาว่า “หรือ” ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมีหลายแบบ และในแต่ละแบบไม่ต่อเนื่องกัน แบบที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี แบบที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี แบบที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี แบบที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมด = m1+m2+m3+…+mk วิธี ตัวอย่างที่ 1 นาย ก มีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 4 ตัว และถุงเท้า 3 คู่ อยากทราบว่าเขาจะมีจานวนการแต่งกาย ด้วยกางเกง เสือ และถุงเท้าได้กีชุด ้ ่ วิธีทา ตัวอย่างที่ 2 ในการรับประทานอาหารครั้งหนึ่ง มีอาหารคาว 5 อย่าง ของหวาน 3 อย่าง และเครื่องดื่ม 4 ชนิด อยากทราบว่า พี่แอมจะรับประทานอาหารชนิดละ 1 อย่าง พี่แอมจะรับประทานอาหารในครั้งนี้ได้กี่วิธี วิธีทา ตัวอย่างที่ 3 เป้ มีกางเกง 2 สี คือสีเขียวและสีแดง มีเสื้อ 4 สี คือสีขาว, สีแดง, สีเหลือง, และสีชมพู 3.1 เป้จะเลือกแต่งตัวได้กี่แบบโดยสามารถใส่เสื้อและกางเกงคู่ไหนก็ได้ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3.2 ถ้าเป้ไม่ใส่เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน เป้จะแต่งตัวได้กี่แบบ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1
2.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com ตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 6 ถ้านามาจัดเป็นเลข 4 หลัก จะมีกี่จานวนที่เป็นจานวนคู่ (ใช้ตัวเลขไม่ซ้ากัน) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 5 5.1 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี 5.2 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่งได้กี่วิธี ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 5.3 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี 5.4 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 6 ให้ S = {0, 1, 2, 3, …, 9} จะสร้างจานวนเต็มบวก โดยใช้ตัวเลขจากเซต S ได้กี่จานวน 6.1 จานวนเต็มบวก 4 หลัก 6.2 จานวนเต็มบวก 4 หลัก เป็นจานวนเต็มหลักสิบ ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 6.3 จานวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก 6.4 จานวนเต็มคู่บวก 4 หลัก ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 7 มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสี่พระยา 2 ขนาด คือ เรือขนาดใหญ่ 3 ลา และเรือขนาดเล็ก 5 ลา ถ้าดารงซึ่งพักอยู่ทางฝั่งคลองสานต้องใช้เรือข้ามฟากจากคลองสานไปสี่พระยาทั้งไปและกลับทุกวัน ดารงจะเลือกลง เรือโดยสารไปและกลับได้กี่วิธี ถ้า 7.1. ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่ 7.2 ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 7.3 ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับ …………………………………………………………….. ………………………………………………. ด้วยเรือขนาดเล็ก …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………………….. ………………………………………………. …………………………………………………. 2
3.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com ทดสอบฝีมือ จ้ะ 1. จะจัดชาย 4 คน และหญิง 4 คน เข้าแถวตรงได้กี่วิธี ถ้าให้ชายและหญิงยืนสลับกัน 2. จากคา “CHULA” ถ้านาตัวอักษรจากคานี้มาจัดเป็นคาใหม่ (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) จะได้กี่คา (ไม่นับคาเดิม) 3. ต้องการสร้างคาจากตัวอักษรของคาว่า mathematics โดยสร้างคาที่ประกอบไปด้วยตัวอักษร 4 ตัว ไม่ซ้ากัน และคาที่สร้างขึ้นมาไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จงหาจานวนคาทั้งหมดเมื่อ 3.1 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวจะเป็นตัวใดก็ได้ 3.2 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวเป็นพยัญชนะล้วน …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. 3.3 คาที่สร้างขึ้นต้นด้วยสระและลงท้ายด้วยพยัญชนะ 3.4 คานั้นต้องมีสระอย่างน้อย 1 ตัว …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. แฟกทอเรียล (Factorial) คือผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า “แฟกทอเรียล n” หรือ “n แฟกทอเรียล” ข้อสังเกต อาจเขียน n! ในรูปผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 1 หรือ จานวนเต็มทีมากกว่า 1 ก็ได้ ่ นั่นคือ n! = 1 x 2 x 3 x … x n หรือ n! = n(n-1)(n-2)…321 หรือ n! = n(n-1)(n-2)…(n-r)! เมื่อ r < n เช่น 7! = 1234567 หรือ 7! = 7654321 หรือ 7! = 765! ตัวอย่าง 8 จงเขียนแฟกทอเรียลต่อไปนี้ในรูปผลคูณ 1. 0! = 1 2. 1! = 1 3. 2! = 2x1 =2 4. 3! = 3x2x1 =6 5. 4! = 4x3x2x1 = 24 6. 5! =……………………………………………………………………………………………………………………… 6. n! =……………………………………………………………………………………………………………………… 7. (n+1)! = ……………………………………………………………………………………………………………… 8. (n-2)! = ……………………………………………………………………………………………………………… 9. (n+r)! = …………………………………………………………………………………………………………….. 3
4.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าแฟกทอเรียลต่อไปนี้ 4! 12! 9.1 = 9.2 = 3! 10! 5! 11! 9.3 = 9.4 = 6! 12! n! n+1 ! 9.5 = 9.6 = n-1 ! n-3 ! 41! 6! n-3 ! n-5 ! 9.7 + = 9.8 = 39! 2!3! n-4 ! n-6 ! ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้ n! n! 10.1 = 10 10.2 = 72 n-1 ! n-2 ! …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n! n+1 ! 10.3 =156 10.4 =420 n-2 ! n-1 ! …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. n+2 ! n+1 n! 10.5 10(n - 3)!n! = (n - 2)!(n + 1)! 10.6 =4! n-1 ! (n+1)! …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. วิธีเรียงสับเปลี่ยน 4
5.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) หมายถึง การเรียงลาดับสิ่งของจานวนหนึ่งโดยเรียงครั้งละกี่สิ่งก็ได้ ขึ้นอยู่กับ รูปแบบการจัดเรียงสิ่งของ 1. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง กฎข้อที่ 3 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด n! วิธี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, n= n! ตัวอย่างที่ 9 มีนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรง จงหาจานวนวิธีจัดนักเรียนทั้งหมด โดยที่ 9.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 9.2 เพศเดียวกันยืนติดกัน 9.3 ชายและหญิงยืนสลับที่ทีละ 1 คน ข้อสังเกต ชาย n คน หญิง n คน นามาจัดสลับแนวตรงทีละ r คน (จะจัดได้เมื่อ r หาร n ลงตัว) จานวนวิธีจดเท่ากับ 2n!n! หรือ 2(n!)2 วิธี ั 2. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง n! กฎข้อที่ 4 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด วิธี n-r ! n! เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, r = n-r ! ตัวอย่างที่ 10 กาหนดเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างจานวนที่มี 5 หลัก โดยที่แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมด กี่จานวน โดยที่ 10.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 10.2 แต่ละหลักสลับเลขคี่และเลขคู่ 3. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด 5
6.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com กฎข้อที่ 5 มีสิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็น k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเหมือนกัน ดังนี้ กลุ่มที่ 1 มีของเหมือนกัน n1 สิ่ง กลุ่มที่ 2 มีของเหมือนกัน n2 สิ่ง กลุ่มที่ 3 มีของเหมือนกัน n3 สิ่ง . . . . . . กลุ่มที่ k มีของเหมือนกัน nk สิ่ง โดยที่ n1 + n2 + n3 + … + nk = n n! จะได้จานวนวิธีจัด n1 !n2 !n3 !…nk ! ตัวอย่างที่ 11 ต้องการสร้างคาจากคาว่า “fibonacci” โดยไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คา โดยที่ 11.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 11.2 อักษร c อยู่ติดกัน 11.3 อักษร c อยู่ริม 4. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลม กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นามาจัดเรียงเป็นวงกลม (พลิกไม่ได้) จะจัดได้ทั้งหมด (n-1)! วิธี ตัวอย่างที่ 12 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูกอีก 4 คน นามาจัดให้ยืนเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี โดยที่ 12.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 12.2 พ่อและแม่ยืนติดกัน และลูกทั้งสี่คนยืนติดกัน 12.3 พ่อและแม่ยืนไม่ติดกัน (n-1)! ตัวอย่างที่ 13 มีมีดของ n สิ่งที่ต่างกันดอกละ ด1เรีสีงเป็ามาร้อยเป็นพวงมาลัย ดได้ทั้งกี่วิธี โดยที่ หมายเหตุ ถ้า สิ่ง อกไม้ 10 ดอก นามาจั ย น นวงกลม (ที่พลิกได้) จะจั จะได้ หมด 2 6
7.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com 13.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 13.2 ดอกไม้สีชมพูและสีเหลืองอยู่ติดกัน วิธีจัดหมู่หรือวิธีการเลือก กฎข้อที่ 7 ถ้ามีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นามาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง (0 r n) จะจัดได้ n n! Cn, r = = r n-r !r! ตัวอย่างที่ 14 กาหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหา 14.1 จานวนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่าง 2 จุด 14.2 จานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม 14.3 จานวนเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่ม (random experiment) คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น แซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม โดย จานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน แทนด้วย n(S) เหตุการณ์ (event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ หรือ คือเหตุการณ์ที่เราสนใจตามเงื่อนไข โดย จานวนสมาชิกของ เหตุการณ์ แทนด้วย n(E) ตัวอย่างที่ 15 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของของลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียน 15.1 แซมเปิลสเปซ และ n(S) 15.2 E1 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่ 15.2 E2 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมีค่าน้อยกว่า 7 ความน่าจะเป็น (Probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมาชิก 7
8.
คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
http://ampmaths.wordpress.com ของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน ให้ n(E) แทนจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ n(S) แทนจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E n(E) จะได้ P(E) = n(S) ตัวอย่างที่ 16 ต้องการสร้างคาที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากคาว่า “lofrance” โดยไม่คานึงถึงความหมาย จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 16.1 อักษรตัวแรกเป็นสระ 16.2 อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายเป็นพยัญชนะ 16.3 คาที่ประกอบด้วยสระ 2 ตัวอยู่ติดกัน ตัวอย่างที่ 17 ถ้าสุ่มหยิบลูกปิงปอง 3 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีส้ม 4 ลูก และสีขาว 7 ลูก ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกปิงปองสีส้มทั้ง 3 ลูก เป็นเท่าใด 8
Download now