Módulo de Álgebra Agrícola

Descripción del Módulo

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución
de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis
en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas
relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así
fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos.

Direccionamiento Estratégico

Competencia Específica del Módulo

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las
estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno.

Índice
1. Repaso de Algebra
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

Introducción
Conjunto y números reales
Propiedades de los números reales
Operaciones con números reales
Exponentes y radicales
Operaciones con expresiones algebraicas
Factorización
Fracciones
Trabajos Autónomos

2. Ecuaciones
2.1 Ecuaciones Lineales
2.2 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales
2.3 Ecuaciones Cuadráticas
2.4 Deducción de la formula cuadrática
2.5 Trabajos Autónomos

3. Aplicaciones de Ecuaciones y Desigualdades
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Aplicaciones de ecuaciones
Desigualdades lineales
Aplicaciones de desigualdades
Valor absoluto
Trabajos Autónomos

4. Funciones y Gráficas
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

Funciones
Funciones Especiales
Combinación de Funciones
Graficas en coordenadas rectangulares
Simetría
Trabajos Autónomos

5. Rectas, Parábolas y Sistemas de ecuaciones
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6

Rectas
Aplicaciones y funciones lineales
Funciones Cuadráticas
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas no lineales
Aplicaciones de sistemas de ecuaciones
5.7 Trabajos Autónomos

6. Programación Lineal
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5

Desigualdades lineales con dos variables
Programación lineal
Soluciones optimas múltiples
Minimización
Trabajos Autónomos

7. Anexos
Evaluaciones

Conjunto de Números Reales
Introducción
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de
números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se
denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular.
Las palabras conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana.
No puede pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es
posible entender su significado. La situación es también parecida en la forma en la que
el niño aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el
significado de unas cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir
un vocabulario funcional.
Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la
misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos
básico no definidos.
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los
números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los
fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales
nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:
√ 2 = 1.4142135623730951 . . .

π = 3.141592653589793 . . .

e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como
mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el
punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por
corrientemente se presenta así:

N o también por

Z

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x
= –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera

{

}

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Propiedades de los Números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer
sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en
cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias
sociales, etc.
Sean

, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números
reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO
para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar
el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por
ejemplo:

Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división,
pues el resultado se altera.

Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o
multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar
o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por
ejemplo:

Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues
el resultado se altera.

Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de
adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones
aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado
de la suma:
25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el
resultado de la multiplicación:
25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado
como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

Operaciones con Números Reales
Suma
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del
número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto
más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicación
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un
número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
División
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho
siguiente.

Exponentes y Radicales
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al
igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el
exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la
cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos
términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0),
queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos

atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de
números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la
base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En general: ab = ba
Si y sólo si a=b.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:

ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades
posee el exponente.
101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su
extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de
crecimiento es positivo en ambas direcciones.

Radicación
Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo
que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la
empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los
hechos muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la
familia González”,
“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra
comunidad”.

En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste
en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el
proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la
cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que
forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que
indica el índice, da como resultado el radicando.
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8.
Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A
través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado al
cubo (2 x 2 x 2) es igual a 8.
Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a
la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2
elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.

Operaciones con Expresiones Algebraicas
Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas.
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Grado de un Término con relación a una Letra: Es el exponente de dicha letra.
Clases de Términos
El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el
que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional
el que tiene radical.
Términos Homogéneos: Son los que tienen el mismo grado absoluto.

Términos Heterogéneos: Son los de distinto grado absoluto.
Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 =
y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c

Clasificación de las Expresiones Algebraicas
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIO
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio

es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de:

9.6 ¿Cuál es el grado de:

?

?

CLASES DE POLINOMIOS.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador
literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el
denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene
radical; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;
heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA.
Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al
más bajo que tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o
disminuyendo.

ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de
una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.
Suma:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término
del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar
con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los
suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los
términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
Ejemplo 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

Ejemplo 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
0x3 - 3x2 + 5x - 4

(grado 2)
(grado 3)

+
4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3

La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
Ejemplo 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se
puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios,
sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término
semejante.
Ejemplo 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2

4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los
términos de igual parte literal.
Ejemplo 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

Resta:

Ejemplo 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8


5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del
polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es
lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los
coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede
hacer en la suma.

Ejemplo 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2
0x3 - 3x2 + 5x - 4

(grado 2)
(grado 3)

4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________

0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1
(el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x – 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los
primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno
de los polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro
polinomio.
Multiplicación:
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender
polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas",
que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada
término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".
"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En
este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.

Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar
se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los
números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver:
suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de
la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del
otro.

Ejemplo 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y
la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que
es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre
paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva.

Ejemplo 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1


X
3x - 6
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6


+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del
primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados
quedan también completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su
grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se
suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números
de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna
siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la
derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de
varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma
columna.

Ejemplo 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos
y ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X
-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es
más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque
todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

Ejemplo 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x

(polinomio A incompleto pero ordenado)

X
-2x2 + 3
(polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de
multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden
encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para

hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no
tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término.
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 +
70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el
mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los
términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la
Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes
(iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos
semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.
Ejemplo 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando
el segundo)

A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X

-2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del 27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás
salió ordenado por grado.
Ejemplo 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

9x2 + x + 5x4

(polinomio A incompleto y desordenado)

X
3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4 - 2x3
+ 15x4
- 27x2 + 3x
_________________________________________
- 10x6
+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el
espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado
que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más
para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,
dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en
los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre 10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan.
División:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para
crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el
capítulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos
a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:

Factorización
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre
sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto
entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de
a2 + ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios




Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios




Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios


Factor común

Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
15ab= 3 x 5 x a x b
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en
consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no

puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b
y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.

Caso I: Factor común
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de
un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de
efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre
se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que
se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor
común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los
cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by

Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos
también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo
se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se
obtendrá el mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma
da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que
la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el
producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz
cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab
Trinomios de la forma x2 + bx + c
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea b y cuyo producto sea c
Regla práctica para factorizar el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es
decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del
trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos
números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término
del segundo binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:

a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a +
b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a –
b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:

Producto notable

Expresión algebraica

Nombre

(a + b)2

=

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

=

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

a2 - b2

=

(a + b) (a - b)

Diferencia
cuadrados

a3 - b3

=

(a - b) (a2 + b2 + ab)

Diferencia de cubos

a3 + b3

=

(a + b) (a2 + b2 - ab)

Suma de cubos

a4 - b4

=

(a + b) (a - b) (a2 + b2)

Diferencia cuarta

(a + b + c)2

=

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc

Trinomio al cuadrado

de

MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
sub problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,
además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo
atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del
álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de
los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más
sofisticadas.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab

y

2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)

(Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
Factorización)

(Se aplicó Caso I y IV de

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA: Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.

Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)

Se aplicó el Caso IV de Factorización
Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)

Se aplicó el Caso III de Factorización.

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,

x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

Ejercicio 112.
1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factorizando las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b)
por lo tanto el m.c.d. de

y

4a(a -b)

2a^2 +2ab

y

es = 2a
4a^2 -4ab es = 2a

<– Solución.

2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2)
por lo tanto el m.c.d. de

y

3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y

6x^3y -6x^2y

3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3

y

y

9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y

4a^3b^2 -8a^2b^3

–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
Factor común de 4a^2b^2(3b)
Por lo tanto el m.c.d. de

y

(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2

4) Hallar el m.c.d. de

ab +b

y

a^2 +a

–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1)
Factor común de


b(a +1)



y

a(a +1) es

ab +b

x^2 -x

y

= (a +1)

a^2 +a es = a +1

y x^3 -x^2

–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1)
Factor común de x(x -1)


y

x^2(x -1) es = x(x -1)

x(x -1)

y x^2(x -1) es = x(x -1)

30ax^2 -15x^3 ,

10axy^2 -20x^2y^2

–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de

(3)(5)(x)(x)(2a -x)


y

30ax^2 -15x^3 ,

(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
10axy^2 -20x^2y^2 es =

5x

Ecuaciones
Ecuaciones Lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es
de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de
sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y
x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en
programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis
numérico. a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual
a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

.

Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Ecuaciones Literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero
en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

Representación Gráfica
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una
recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas
representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al
mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no
tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,
siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un
único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario,
la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá
infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o
superficie. Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe,
por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes
casos:


Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse
entre:





Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se
caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único
punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que
se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión
menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se
caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida
por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos
despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita
menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación,
para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7
con lo que el sistema queda ya resuelto.

,

Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera :

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por
lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos
los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento,
diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una
de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos
dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y
distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la
reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para
ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales
con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta
forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Método gráfico

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo
la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son
las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero
si en los complejos.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da
la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes,
sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Ecuaciones Cuadráticas
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales son

ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas
de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax 2 + bx + c, donde a, b, y c
son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios.
Luego,
se
busca
el
valor
de
x
de
cada
binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0

(x

) (x

)=0

( x + ) (x - ) = 0

a=1

b=2

c=-8

[x ·x = x2]

(x + 4 ) (x – 2) = 0

4 y –2

4 + -2 = 2

4 · -2 = -8
x+4=0

x–2=0

x+4=0
x=0–4
x = -4

x–2=0
x=0+2
x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8

[Ya está en su forma donde a = 1.]
[ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9
(

) (

) =9

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ± √

Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

x+1= ±3
x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3
x=2

x = -1 – 3
x = -4

Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos
resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades
Aplicaciones de Ecuaciones
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplo
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron
el examen?

Solución:
Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33

Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplo
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el
doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada
uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
X+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones.
Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que
pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a
cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión
total?
Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir
al 6%.
Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total

Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 =
$15,600 al 6%.

Desigualdades Lineales
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo
de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:


X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La
expresión
,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede
tenerse
, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
es positiva
y
, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es negativa.
Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor
que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad,
lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas
consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Ejemplo 1:

Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un
arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con
valor negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x – [x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x – [x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50

Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750
Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita,
entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y
además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su
producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera
parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos
microscopios se fabricaron?
Solución

Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60
: 2x-60
Le quedan más de 26
: 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios
: x/3 – 5
Tendría menos de 10
: x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

mcm:3

Es decir, el número de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor
que 45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.
No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si
nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y
luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el
dato que deseamos conocer).

Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene
actualmente Ximena?
Tenemos entonces:
x

edad de Ximena

x+5

edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de
cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).
x + 5 > 18
Resolvemos la inecuación:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no
podemos determinar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e
indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:

a)

X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.

b)

X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.

Valor Absoluto
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación
es lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que
podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se
relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se
cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o
una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar
haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números
reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se
emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las
propiedades de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la
recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la
desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no
incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e
incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra
determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en
este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le
aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de
la resta es la suma).
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa
de la multiplicación es la división).
Tendremos ahora:

x > 56 ÷ 4
x > 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que
14, no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la
derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas
donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35

Funciones y Gráficas
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X
(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de
Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen
al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el
costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con
los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la
letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2

o

f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado
en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable
independiente.
Cada
peso
(perteneciente
al
conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el
mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y
cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno,
del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un
elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que
a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es
una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento
en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B,
se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B

f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la
función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1
es la pre imagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores
posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada)
es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A
y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación
determinaremos dominio y recorrido.

es

una

función

de

A

en

B

y

Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los
elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un
único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3}

Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones
son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo
son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los
elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya
que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya
que Dom (h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden
elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con
elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la
función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable
independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser
cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los
números reales.

En cambio, la función
tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor
real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad sub radical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+
anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está
conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea
diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir,
es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable
dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para
los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son
mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero;
puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores
positivos bajo la función f.
Funciones Especiales
Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de
la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el
eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el
eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

Gráfica de una Función
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x
debe pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en
una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función.
Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica.
Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la
función.

Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos
haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del
problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo.
Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con
dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.

Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple
también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a
sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos
casos, sólo observando la desigualdad.
La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la
recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no
“mayor o igual que.”

Gráficas en Coordenadas Rectangulares
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas,
perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A
la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de
ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del
grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y
en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de
cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la
gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El
dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números
reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números
reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El
intercepto en y es (0,b).

Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones
Rectas
Pendiente de una recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada
por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura
4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En
este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.
Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2,
conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x
aumenta desde 1 hasta 3.

Definición
Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La
pendiente de la recta es el numero m dado por

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella
deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una
recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador
de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.

Ejemplo 1 Relación precio/cantidad
La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en
dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a
ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.

Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la
figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qI pI)
Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la
cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el
precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.
• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero:
Pendiente indefinida:
Pendiente positiva:
Pendiente negativa:

recta horizontal
recta vertical
recta que sube de izquierda a derecha
recta que desciende de izquierda a derecha

Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser
horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana
a ser vertical.
Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son
verticales.
Ecuaciones de rectas
Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación
cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a través
del punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L podemos encontrar una
relación algebraica entre x y y.

Ejemplo 2 Forma punto-pendiente
Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3).
Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.
Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene

Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen
Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.
Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y
b= - 4, se obtiene:

Rectas paralelas y perpendiculares
Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:
Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0
son verticales.
También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con
pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.
EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo
de la pendiente de la otra recta.
Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares
La figura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x +
1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas

Aplicaciones y Funciones Lineales
Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y
B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y
denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos
los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen
la ecuación.

Resolviendo para y se obtiene:
de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de
producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de
A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por
tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2
unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y
(0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30
Curvas de demanda y de oferta
Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese
producto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún
periodo.
Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio
baja, la cantidad demandada aumenta. Su gráfica es la curva de demanda. La Figura
4.14(a) muestra una curva de demanda.
De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el eje
q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólares
y el periodo es una semana.
Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad,
los consumidores demandaran a unidades por semana. Para la mayoría de los
productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución
en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a
derecha.

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de
productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún
periodo.
Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores
están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad
suministrada.
Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una
ecuaci6n que relaciona p y q es llamada ecuación de oferta y su gráfica es una curva
de oferta.
La figura 4.14 (b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo es una
semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los
productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos.
Una curva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura
4. 14(b).
Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.
Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas
rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta lineal y de demanda lineal.
Tales curvas tienen ecuaciones en las que p y q están linealmente relacionadas.
Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha,
una curva de demanda lineal tiene pendiente negativa.
Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva
asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar
la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:
Estrategia: Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser
una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionados
linealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200. Estos
datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. p por los puntos
(100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la recta,
esto es, la ecuación de demanda.

La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es

Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es

Simplificando, da la ecuaci6n de demanda

Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta) expresa
P en términos de q y define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (I) define P
como una función de q y es llamada la función de demanda para el producto
Funciones Lineales
En la sección 3.2 se describió una función lineal. A continuación se presenta una
definición formal.
Definición
Una función f es una función lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)=
ax + b, en donde a y b son constantes y a≠ O.

Ejemplo 3 Graficación de funciones lineales
a. Graficar f(x) = 2x - 1.
Solución: Aquí f es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es
una recta. Como dos puntos determinan una recta, solo necesitamos graficar dos
puntos y después dibujar una recta que pase por ellos.
Observe que uno de los puntos graficados es la intercepción en el eje vertical, -I, que
ocurre cuando x = O.

Funciones Cuadráticas
Definición
Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma
f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a"# O.
Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sin embargo,
g(x) = - 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx + c.
La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es llamada parábola y tiene
una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia
arriba de manera indefinida y decimos que la parábola se abre hacia arriba. Si a < 0,
entonces la parábola se abre hacia abajo.
Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada
el eje de simetría de la parábola..

Rápidamente podemos bosquejar la gráfica de una funci6n cuadrática localizando
primero el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde la
parábola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y
resolviendo para x. Una vez que las intercepciones y el vértice han sido
1encontrados,es relativamente fácil trazar la parábola apropiada a través de estos
puntos. Cuando las intercepciones x estén muy cercanas al vértice, 0 no existan,
fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo que podamos dar un bosquejo
razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Iínea punteada)
a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos a un lado del eje,
podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado.

Ejemplo 1 Graficación de una función cuadrática
Graficar La funci6n cuadrática y = f(x) = _x2 - 4x + 12.

Solución: Aquí a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y
por tanto tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es b -4- 2a = - 2( - I) = 2.
La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (-2, 16), de modo
que el valor máximo de f{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12. Para
encontrar las intercepciones x, hacemos y igual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y
resolvemos para x.
o = - x2 - 4x + 12,

o = - (x2 + 4x - 12),
o = - (x + 6)(x - 2).
Así x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el
vértice, el eje de simetría y las intercepciones Como (0, 12) está dos unidades a la
derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del eje

con la misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (-4.12). Pasando por todos
los puntos, dibujamos una parábola que abra hacia abajo.

Graficar p = 2q2.
Solución: Aquí p es una función cuadrática de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como a>
0, la parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La coordenada q
del vértice es (0,0) en este caso el eje p y la coordenada p es 2(0)2 = O. Así el valor
mínima de p es 0 y el vértice es

En este caso el eje p es el eje de simetría. Una parábola que abre hacia arriba con
vértice en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepción. De aquí que para bosquejar
una gráfica razonable graficamos un punto a cada lado del vértice. Si q = 2, entonces
p =8. Esto da el punto (2,8) y, por simetría, el punto (- 2,8)
Graficar g(x) = x2- 6x + 7.
Solución: Aquí g es una función cuadrática, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La parábola
abre hacia arriba ya que a > O. La coordenada x del vértice (el punto más bajo) es

Y g (3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor mínimo de g(x) . Por tanto el vértice es
(3,2). Ya que c =7, la intercepción con el eje vertical es 7. Para encontrar las
intercepciones x, hacemos g(x) = o.

o = x2 .- 6x + 7
El lado derecho no se puede factorizar fácilmente, de modo que usaremos la fórmula
cuadrática al resolver para x,

Graficar y = f(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f
Solución: Esta función es cuadrática con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a> 0 la gráfica es
una parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es

Y la coordenada y es 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Así el vértice es (-t,t)·Como la intercepción y es
3. Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arriba eje x, no tiene
intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepción y, el

Vértice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vértice. Por simetría, también
obtenemos el punto (I, 7). Trazando una para bola a través de estos puntos se obtiene
la gráfica deseada.

Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas con Dos Variables
Cuando una situación debe ser descrita matemáticamente, no es raro que surja un
conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica
establece un plan de producción para dos modelos de Un producto nuevo. El modelo
A requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas
del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del
tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. De cada modelo, cuantos debe producir cada
día de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean utilizadas?
Es buena idea construir una tabla que resuma la informaci6n importante. La tabla 4.2
muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada
modelo, así como el número total disponible.

Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modele A fabricados cada
día y y igual al número de artículos del modele B. Entonces estos requieren de 4x + 5y
piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y 850 piezas
del tipo I y II, respectivamente, tenemos

A este conjunto de ecuaciones Ie llamamos sistema de dos ecuaciones lineales en las
variables (0 incógnitas), x y y. El problema es encontrar valores de x y y para los
cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea. Estos valores son
llamados soluciones del sistema.
Sistemas no lineales
Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llama
sistema no lineal. Con frecuencia podemos resolver un sistema no lineal por
sustitución, como se hizo con los sistemas lineales. Los ejemplos siguientes 10 ilustran
Ejemplo 1 Solución de un sistema no lineal
Solución:
X2 - 2x + Y - 7 = 0,
3x - y + 1 = 0
Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuaci6n lineal, en general resolvemos
la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esta variable en la otra
ecuación.

Ejemplo 1 Solución de un sistema no lineal

Solución:
Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuación lineal, en general·
resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esa variable en
otra ecuación.
Resolviendo la ecuación (2) para y se obtiene:
y= 3x + 1
Sustituyendo en la ecuación (1) y simplificando, tenemos:

Si x = -3, entonces la ecuaci6n (3) implica y = -8; si x = 2, entonces y = 7. Debe
verificar que cada pareja de val ores satisfaga la ecuación dada. De aquí que las
soluciones sean x = -3, y = -8 Y x = 2, y = 7. Estas soluciones pueden ser vistas
geométricamente en la gráfica del sistema de la figura 4.37. Observe que la gráfica de
la ecuación (1) es una parábola y la de la ecuaci6n (2) una recta. Las solucione
corresponden a los puntos de intersecci6n (-3, -8) Y (2, 7).

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones

Equilibrio
Recuerde de la secci6n 4.2 que una ecuaci6n que relaciona el precio por unidad y,
cantidad demandada (suministrada), es llamada ecuación de demanda (ecuación de
oferta). Suponga que para un producto Z la ecuación de demanda es

Donde q, p ≥ O. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas de
las figuras 4.40 y 4.41 . AI analizar la figura 4.40, vemos que los clientes comprarán.

Cuando el precio sea $6; y así sucesivamente. La figura 4.41 muestra que cuando el
precio es de $9 por unidad, los productores colocarán 300 unidades por semana en el
mercado; a $10 colocarán in 600 unidades y así sucesivamente.
Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto son representadas en el
mismo plano de coordenadas, el punto (m, n) en donde las curvas se intersecan es
llamado punto de equilibrio. El precio n, llamado precio de equilibrio, es el precio al que
los consumidores comprarán la misma cantidad de un producto que los productores
ofrezcan a ese precio. En resumen, n es el precio en que ocurre una estabilidad entre
productor y consumidor. La cantidad m es Hamada cantidad de equilibrio.
Para determinar con precisi6n el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado
por las ecuaciones de of en a y demanda. Hacemos esto para los datos anteriores, es
decir el sistema.

Y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad, los
fabricantes producirán exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los
consumidores comprarán a ese precio.

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