SlideShare a Scribd company logo
1 of 18
Download to read offline
45
RESUME SEJARAH DAN PERKEMBANGAN BILANGAN
A. Sejarah Perkembangan Teori Bilangan
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang
sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia
sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga,
bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan
keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk
mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan
praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan
bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai
tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan
perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang
dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan
dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda
misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk
menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :
 Simbol bilangan bangsa Babilonia.
 Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.
 Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.
 Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh
umat Islam di seluruh dunia.
 Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.
 Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.
Sejarah perkembangan teori bilangan dapat dikelompokkan menjadi dua masa, yaitu :.
a. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh
bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban
helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai
tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu
dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian
di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat
penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan
Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali
sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan
dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah
karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun
peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak
46
tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian
pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal
pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800
sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik,
dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan
itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan
kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi yang akurat sampai
lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60).
Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu
jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit
pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir,
Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana
angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di
dalam sistem desimal.
Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM), pertama kali orang yang mengenal bilangan 0
(nol) adalah Babylonian.
b. Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi)
Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah
(artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini
sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan
bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih
sedikit” terhadap berbagai benda.
Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang Lebombo di
pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM. Tulang ini
berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat
47
bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28
sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Selain itu,
ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur
20.000 tahun, yang menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Tulang Ishango,
ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang
digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang
Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima
c. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak
peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia
yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di
bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi
bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang
disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun
1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari
Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi
pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara
perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi
pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika,
geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan
sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear
orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman
Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal
cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM) bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan
merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.
Lambang dan simbol bilangan Mesir
d. Teori Bilangan pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang
menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar
Vertical staff
Astronished man ( orang astronis )
Polliwing / burbot ( berudu )
Pointing finger ( telunjuk )
Lotus flower ( bunga teratai )
Scrool ( gulungan surat )
Heel Bone ( tulang lutut )
48
kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran
yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan
kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan
bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Panini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta
menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-
aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM)
di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan
biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema
binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan
lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime
number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number),
bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers)
yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple
Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur
sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring
(hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat
popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan
prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki faktor positif kecuali 1
dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut
bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah
menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan
berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari
dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis
untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-
langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan
oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri
dan teori bilangan.
Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata
Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M.,
yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-
Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata
kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja
Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of
Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama
Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan di dalam bilangan bulat dan bilangan
rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan
oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri
aljabar.
49
Berikut ini adalah Simbol-simbol bilangan yang ditemukan :
Bilangan Cunieform yang digunakan bangsa Babilonia sejak tahun 5000 SM
Lambang bilangan bangsa Hindu-Arab kuno pada abad ke-10
Lambang bilangan yang digunakan bangsa Maya di Amerika pada tahun 500 SM
Lambang bilangan Hieroglif yang digunakan bangsa Mesir Kuno
Lambang bilangan bangsa Arab pada abad ke-11
50
Lambang bilangan bangsa Yunani Kuno
Lambang bilangan bangsa Romawi
e. Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665),
Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833),
Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-
1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran
matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan
untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak
diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat
pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain
sebagainya.
B. Definisi Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk
pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu
bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau ketikan : 1 yang
terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang
tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya
dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar. Demikian pula jika kita melihat
lambang yang sama di papan tulis, yang terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari
kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.
C. Bilangan dan Himpunan Bilangan
Pada zaman sekarang ini, sistem penulisan bilangan yang dikenal adalah penulisan yang
dikembangkan oleh bangsa Arab (Angka Arab) dengan angka pokoknya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, sedangkan angka yang lebih dari 9, ditulis dengan mengkombinasikan angka-angka
pokok tadi. Untuk keperluan menghitung, maka orang-orang mulai memerlukan “bilangan
51
penghitung” (counting number) yaitu bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ... dan
seterusnya. Dimana bilangan penghitung tersebut sekarang ini dikenal dengan nama bilangan-
bilangan asli, dan apabila bilangan-bilangan asli dihimpun menjadi sebuah himpunan, dan
sebutlah himpunan itu dengan N, maka di dalam matematika, himpunan semua bilangan asli
N tersebut dikenal sebagai N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Untuk keperluan lainnya kemudian orang memperluas bilangan asli menjadi bilangan
bulat, sehingga munculah himpunan semua bilangan bulat. Di dalam bahasa asing disingkat
“I” (integer), himpunan bilangan bulat I dinyatakan dengan I = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
dari bilangan bulat diperluas menjadi bilangan rasional. Bilangan rasional biasanya diberi
nama dengan “Q” singkatan dari Quotient yang berarti rasio atau perbandigan. Himpunan
bilangan rasional Q dinyatakan dengan Q = { }.
Karena , hubungan ketiga himpunan bilangan
tersebut dapat digambarkan melalui diagram venn berikut:
Kemudian untuk keperluan tertentu orang-orang menciptakan bilangan Irasional,
apabila himpunan semua bilangan irasional diberi nama H, maka himpunan semua bilangan
irasional H dan himpunan semua bilangan rasional Q merupakan dua buah himpunan yang
saling lepas, sehingga H Q = (himpunan kosong) sedangkan gabungan dari himpunan
rasional dan irasional disebut himpunan semua bilangan real R atau H Q = R.
Hubungan antara kelima himpunan N, I, Q, H, dan R dapat diperlihatkan oleh diagram
Venn berikut:
Bilangan yang bukan merupakan bilangan real disebut “bilangan imajiner” dan biasanya
diberi nama dengan huruf i atau i = . Dengan dikenalnya bilangan imajiner maka kita
akan mengenal bilangan kompleks dan diberi nama C, yang dinyatakan sebagai
Hubungan antara ketujuh himpuan N, I, Q, H, R, M, dan C ditunjukan oleh diagram
venn, tampak bahwa N I Q R C, H R C, M C, Q H = dan M R = .
52
D. Macam-Macam Bilangan
1. Bilangan Asli ( N )
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan N =
{1, 2, 3, 4, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana
dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan
beberapa penelitian menunjukan beberapa jenis kera besar (inggris:apes) juga bisa
mempelajarinya. Bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk
membilang, menghitung, membagi dsb. Bilangan asli dapat digunakan untuk mengurutkan
dan mendefinisikan sifat terhitung suatu himpunan.
2. Bilangan Cacah (C)
Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Dengan kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah 0.
3. Bilangan Bulat ( I )
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0
adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa
dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing
operasi mempunyai sifat-sifat tertentu. Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem
bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi
hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi
pengurangan.
- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif
- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif
4. Bilangan Rasional ( H )
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai dimana a dan b bilangan
bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan bilangan yang mempunyai
jumlah kurang atau lebih dari utuh, terdiri dari pembilang dan penyebut. Pembilang
merupakan bilangan yang terbagi, sedangkan penyebut merupakan bilangan pembagi.
53
Contoh :
4  pembilang
5  penyebut
5. Bilangan Irasional ( Q )
Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya tidak
pernah berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b. dengan a dan b sebagai
bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh yang paling popular dari bilangan
irasional adalah bilangan , dan bilangan e.
Bilangan sebetulnya tidak tepat = 3,14 tetapi = 3,1415926535... atau = 3,14159 26535
89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ... Untuk bilangan yaitu bernilai =
1,41421356237309504880168872 ... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807
85696 71875 37694 80731 76679 73798 ... (hingga 700 digit belum selesai, yang ditemukan
oleh pakar matematika Jepang dengan batuan komputer ), untuk bilangan e yaitu bernilai =
2,7182818 ...
6. Bilangan Riil ( R )
Bilangan riil atau real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk
desimal, seperti 2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional,
seperti 42 dan , dan bilangan irasional seperti dan bilangan akar, juga dapat
direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan
riil meliputi kelas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Arhimides.
7. Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat . Bilangan ini
biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan
komplek mempunyai bagian riil. Secara definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari
penyelesaian persamaan kuadratik atau
8. Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk . Dimana a dan b adalah
bilangan riil dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat . Bilangan
riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian
imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut
menjadi sama dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil,
namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya,
setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti
bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Selain bilangan-bilangan di atas, juga terdapat beberapa bilangan lainnya, yaitu :
9. Bilangan Nol
Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang
pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya
terus berkembang dari waktu ke waktu.
54
Sejarah diketemukannya bilangan nol adalah sekitar 300 SM, orang Babilonia telah
memulai penggunaan dua baji miring (//) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong pada
abax (alat hitung pertama bangsa Babilonia, lebih dikenal dengan abacus).
Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan
beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol
adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol.
Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang salah, ketika
berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada
saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India)
mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan
dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus
sangat dihargai untuk ukuran saat itu.
Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan
Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-
Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai
tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi
adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat
dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal.
10. Bilangan Sempurna
Bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari pembagi
positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri. Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna,
karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6. Bilangan sempurna berikutnya
adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Diikuti dengan 496, dan 8128. Hanya empat bilangan
sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno.
Saat ini, telah ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat mencari
bilangan sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus tersebut adalah :
Bilangan sempurna =
11. Bilangan Bersekawan
Dua buah bilangan a dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima dari
bilangan a sama dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan b sama dengan
bilangan a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor prima dari 220 adalah 1, 2, 4,
5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana jumlahnya sama dengan 284, dan faktor prima dari
284 adalah 1, 2, 4, 71 dan 142, dimana jumlahnya sama dengan 220. Beberapa pasangan
bilangan bersekawan lainnya adalah (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564),
dan (6232, 6368).
55
Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bagan bilangan berikut :
E. Beberapa Tokoh Teori Bilangan Legendaris
1. Pythagoras (582 SM- 496 SM)
Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal
melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang
penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang
menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan
jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema
ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan
kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara
matematis.
2. Jamshid Al-Kashi (1380 M)
Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah
Iran Tengah. Selama hidupnya, Al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet
penemuan penting bagi astronomi dan matematika.
Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama
berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh Al-Kashi.
Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk
menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang
diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.
Segitiga Pascal pertama kali diketahui dari sebuah buku karya Yang Hui yang ditulis
pada tahun 1261, salah seorang ahli matematika Dinasti Sung yang termasyhur. Namun,
sebenarnya segitiga tersebut telah dibahas dalam buku karya Al Kashi yang disebut dengan
Segitiga Khayyam. Dan kita semua tahu bahwa ilmu di Cina dan Persia itu sudah tua.
Bilangan Kompleks
Bilangan ImajinerBilangan Real
Bilangan IrasionalBilangan Rasional
Bilangan BulatBilangan Pecahan
Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Nol (0) Bilangan Bulat Positif
56
Sedangkan segitiga Pascal yang dibahas oleh Peter Apian, seorang ahli Aritmatika dari
Jerman baru diterbitkan pada 1527. Sehingga bisa disimpulkan bahwa Segitiga Khayyam
muncul terlebih dulu sebelum segitiga Pascal.
3. Pierre de Fermat
Pierre de Fermat meninggal pada tahun 1665. Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat
adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal
yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat
adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga
mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya
dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku
teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia
akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih
pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku,
dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya.
Dengan cara inilah “Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan
oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus.
Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak mempunyai solusi bilangan
bulat tak nol untuk x, y dan z, jika n > 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this
margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun
1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada
kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata
salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang
Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia
ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema
umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan
oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga
siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini
mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas
yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat
bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi
kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari
pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil.
Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq,.
4. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)
Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal
dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua
bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi
sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya
Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.
Sayangnya, jauh di kemudian hari, hasil ini dikenal sebagai Teorema Wilson, bukan
Teorema Al-Haytam. Teorema ini disebut Teorema Wilson setelah Warring pada tahun 1770
57
menyatakan bahwa John Wilson telah mengumumkan hasil ini. Selain dalam bidang
matematika, Al-Haytam juga dikenal baik dalam dunia fisika, yang mempelajari mekanika
pergerakan dari suatu benda. Dia adalah orang pertama yang menyatakan bahwa jika suatu
benda bergerak, akan bergerak terus menerus kecuali ada gaya luar yang memengaruhinya.
Ini tidak lain adalah hukum gerak pertama, yang umumnya dikenal sebagai hukum Newton
pertama.
5. Joseph-Louis de Langrange (25 Januari 1736-10 April 1813)
Joseph-Louis de Lagrange (lahir dengan nama Giuseppe Luigi Lagrangia) adalah
seorang matematikawan dan astronom Perancis-Italia yang membuat sumbangan penting pada
mekanika klasik, angkasa dan teori bilangan. Dilahirkan di Turin, ia adalah campuran Italia
dan Perancis. Ayahnya ialah orang kaya, namun suka menghambur-hamburkan kekayaannya.
Belakangan dalam hidupnya, Lagrange menyebutnya sebagai bencana yang menguntungkan
karena, "jika saya mewarisi kekayaan mungkin saya tidak akan mempertaruhkan nasib saya
dengan matematika”.
Berpaling pada matematika dengan membaca sebuah esai tentang kalkulus, dengan
cepat ia menguasai subjek tersebut. Pada usia 19 tahun, ia memulai karyanya (mungkin yang
terbesar), Mecanique analitique, meski tak diterbitkan sampai ia berusia 52 tahun. Karena
tiadanya diagram yang lengkap, komposisi terpadu, William Rowan Hamilton menyebut
bukunya sebagai "sajak ilmiah".
Pada saat Lagrange mengirim beberapa hasil karyanya kepada Leonhard Euler, Euler
sadar akan kecemerlangan Lagrange dan menunda menerbitkan sejumlah karyanya sendiri
yang berkaitan agar Lagrange-lah yang bisa menerbitkannya pertama kali (contoh langka
tentang sifat seorang akademikus yang tak mementingkan diri sendiri).
Kariernya masyhur; pada usia 20 tahun ia adalah matematikawan istana pada Raja
Prusia Friedrich yang Agung di Berlin dan kemudian guru besar di Ecole normale di Paris.
Selama Revolusi Prancis, ia adalah favorit Marie Antoinette dan kemudian Napoleon. Di
Paris, ia membantu menyempurnakan sistem metrik tentang berat dan ukuran.
6. Adrien-Marie Legendre (18 September 1752-10 Januari 1833)
Adrien-Marie Legendre ialah matematikawan Perancis. Ia membuat sumbangan penting
atas statistik, teori bilangan, aljabar abstrak dan analisis matematika. Kebanyakan karyanya
disempurnakan oleh ilmuwan lainnya (karyanya pada akar polinomial mengilhami teori
Galois; karya Abel pada fungsi elips dibangun pada Legendre; beberapa karya Gauss dalam
statistik dan teori bilangan yang melengkapi teori Legendre).
Pada tahun 1830 ia memberikan bukti pada teorema akhir Fermat untuk eksponen n = 5,
yang diberikan hampir secara serentak oleh Dirichlet pada 1828. Dalam teori bilangan, ia
mengkonjekturkan hukum timbal balik kuadrat, yang kemudian dibuktikan Gauss. Ia juga
melakukan karya pioner pada prima, dan pada penerapan analisis pada teori bilangan.
Konjekturnya dari teorema bilangan prima dengan tepat dibuktikan oleh Hadamard dan de la
Vallee-Poussin pada 1898.
7. Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777- 23 Februari 1855)
58
Gauss adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan
beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa
selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya
belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya.
Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan
memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan
deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya
sebenarnya lebih sulit dari itu.
8. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 Februari 1805-5 Mei 1859)
Dirichlet ialah matematikawan Jerman yang dihargai karena definisi "formal" modern
dari fungsi. Keluarganya berasal dari kota Richelet di Belgia, dari yang nama belakangnya
"Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "anak muda dari Richelet") diturunkan, dan di
mana kakeknya tinggal.
Dirichlet lahir di Duren, di mana ayahnya merupakan kepala kantor pos. Ia
mendapatkan pendidikan di Jerman, dan kemudian Prancis, di mana ia belajar dari banyak
matematikawan terkemuka saat itu. Karya pertamanya ialah pada teorema akhir Fermat. Inilah
konjektur terkenal (kini terbukti) yang menyatakan bahwa untuk , untuk persamaan
tak memiliki solusi bilangan bulat, selain daripada yang trivial yang mana
itu 0. Ia membuat bukti parsial untuk kasus n = 5, yang dilengkapi oleh Adrien-
Marie Legendre. Dirichlet juga melengkapi pembuktiannya sendiri hampir di saat yang sama;
kemudian ia juga menciptakan bukti penuh untuk kasus n = 14. Setelah kematiannya, ceramah
Dirichlet dan hasil lain dalam teori bilangan dikumpulkan, disunting dan diterbitkan oleh
kawannya dan matematikawan Richard Dedekind dengan judul Vorlesungen uber
Zahlentheorie (Ceramah pada Teori Bilangan).
9. Benjamin Peirce (4 April 1809-6 Oktober 1880)
Benjamin Peirce ialah seorang matematikawan Amerika yang mengajar di Universitas
Harvard selama kira-kira 50 tahun. Dia bersumbangsih dalam bidang mekanika benda langit,
teori bilangan, aljabar, dan filsafat matematika.
Setelah tamat dari Harvard, dia menjadi seorang asisten dosen (1829), dan kemudian
diangkat menjadi dosen matematika pada 1831. Di dalam teori bilangan, dia membuktikan
bahwa tidak ada bilangan sempurna ganjil yang kurang dari empat faktor prima. Di dalam
aljabar, dia dikenal atas pengkajiannya pada aljabar asosiatif. Dia pertama mengajukan istilah
idempoten dan nilpoten pada 1870 untuk menjelaskan unsur-unsur aljabar ini, dan dia juga
memperkenalkan penguraian peirce.
F. Aplikasi Teori Bilangan
1. Aplikasi Teori Bilangan dalam Pembelajaran
a. Bilangan beserta sifat-sifatnya digunakan guru untuk menentukan tingkat pemahaman
siswa terhadap materi pembelajaran pada tiap bidang mata pelajaran, sehingga dapat
dilakukan evaluasi agar terjadi peningkatan pemahaman belajar siswa
b. Bilangan yang telah ditetapkan oleh guru sebagai ukuran nilai hasil tes pemahaman siswa
dijadikan sebagai alat ukur bagi siswa tentang perkembangan penguasaannya terhadap
59
materi pembelajaran, sehingga apabila nilai yang diperolehnya (yang biasanya
dilambangkan dengan angka-angka berdasarkan ketentuan yang telah ditetapkan) turun,
maka ia dapat melakukan berbagai upaya perbaikan dengan kembali mendalami materi
pembelajaran.
c. Bilangan digunakan sebagai nomor untuk mendata siswa secara terurut (presensi)
d. Bilangan digunakan sebagai tingkatan jenjang pendidikan yang ditempuh, misalnya kelas
I,II,III,IV, dst, S1, S2, atau S3.
e. Teori bilangan banyak digunakan pada bidang matematika lainnya (seperti bidang aljabar,
geometri, statistika, analisis) ataupun pada ilmu pengetahuan non-matematika (seperti
kimia, fisika, astronomi, dll.)
2. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Teknologi
Sistem bilangan atau number system adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu
item fisik. Sistem bilangan menggunakan bilangan dasar atau basis (base/radix) tertentu.
Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu:
Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut
penjelasan mengenai 4 sistem bilangan ini:
a. Desimal (Basis 10)
Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam
kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10
macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat
berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal
fraction). Untuk melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut,
misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan
Dalam gambar di atas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol
dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut value dan Position Value. Absolut
Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position
Value adalah nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari
letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya.
b. Biner (Basis 2)
Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 2 dan 1. Bilangan
biner ini dipopulerkan oleh John Von Neuman. Contoh bilangan biner ini adalah 1001, ini
dapat diartikan (di konversi ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem
bilangan biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis). Berarti, bilangan biner 1001 .
c. Oktal (Basis 8)
Oktal (Basis 8) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 8 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
dan 7. Contoh oktal adalah 1024, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan
desimal). Position Value dalam sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8
(basis).
d. Hexadesimal (Basis 16)
Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal berarti 10 adalah sistem bilangan
yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14),
F(15). Pada sistem bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf
60
A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai huruf F mewakili angka
15.
Contoh hexadesimal F3D4, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan
desimal). Position Value dalam sistem bilangan hexsadesimal merupakan perpangkatan dari
nilai 16 (basis).
3. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Sains
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan
konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah
pada suhu , sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti
perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi,
elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telingan
manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan
untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi.
Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0,1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma
berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala
logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
4. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Ekonomi
Menganalisis dan mengevaluasi strategi penyelesaian masalah serta menemukan strategi
penyelesaian masalah yang baru. Matematika dapat digunakan untuk menyeleksi atau
menyaring data yang ada. Seperti tes seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau
karyawan menggunakan tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika dan berhitung)
untuk mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah. Dalam
bidang teknik matematika digunakan seperti teknik informatika atau komputer menggunakan
konsep bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika digunakan untuk menentukan
ketelitian suatu alat ukur atau peralatan yang digunakan. Bidang ekonomi menggunakan
konsep fungsi untuk memprediksikan produksi maupun penjualan.
5. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Musik
Teori Musik sering menggunakan matematika untuk memahami musik. Memang,
matematika adalah “dasar suara” dan suara itu sendiri “dalam aspek musik nya menunjukkan
array yang luar biasa dari sifat nomor”, hanya karena alam itu sendiri “adalah matematika luar
biasa”. Meskipun kuno, Cina, Mesir dan Mesopotamians diketahui telah mempelajari prinsip-
prinsip matematika suara, dengan ilmu Pythagoras dari Yunani kuno adalah peneliti pertama
yang diketahui telah menyelidiki ekspresi skala musik dalam hal rasio numerik, khususnya
rasio bilangan bulat kecil. Doktrin utama mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari
harmoni timbul dari nomor”.
Dari waktu Plato, harmoni dianggap sebagai cabang dasar fisika, sekarang dikenal
sebagai musik akustik. Awal teori India dan Cina menunjukkan pendekatan serupa. Semua
61
berusaha untuk menunjukkan bahwa hukum-hukum matematika dari harmonisa dan ritme
yang fundamental tidak hanya untuk pemahaman kita tentang dunia tetapi untuk kesejahteraan
manusia. Konfusius, seperti Pythagoras, menganggap nomor kecil 1,2,3,4 sebagai sumber
semua kesempurnaan.
Untuk hari ini matematika lebih berkaitan dengan akustik dibandingkan dengan
komposisi, dan penggunaan matematika dalam komposisi secara historis terbatas pada operasi
sederhana penghitungan dan pengukuran. Upaya untuk struktur dan mengkomunikasikan
cara-cara baru penyusunan dan mendengar musik telah menyebabkan aplikasi musik teori
himpunan, aljabar abstrak dan teori bilangan. Beberapa komposer telah memasukkan rasio
Emas dan angka Fibonacci ke dalam pekerjaan mereka
Bentuk musik
Formulir Musik adalah rencana dimana sepotong pendek musik diperpanjang. Seperti
arsitek, komposer harus memperhitungkan fungsi yang pekerjaan dimaksudkan dan sarana
yang tersedia, berlatih ekonomi dan memanfaatkan pengulangan dan ketertiban. Jenis umum
dikenal sebagai bentuk biner dan terner (“dua kali lipat” dan “tiga”) sekali lagi menunjukkan
pentingnya nilai-nilai integral kecil terhadap kejelasan dan daya tarik musik.
6. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Filsafat
Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya filsafat menjadikan
bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri. Objek
material filsafat ilmu bilangan adalah bilangan itu sendiri. Bilangan itu sendiri dimulai dari
yang paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan
seterusnya hingga bilangan kompleks. Sebagai objek formal filsafat, bilangan dikaji hakikat.
Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa hakikat dari bilangan itu,
bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana
penggunaan bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran.
7. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Hiburan (Permainan)
a. Ambil tanggal lahir lalu kali 4, hasilnya tambah 13, hasilnya kali 25 lalu kurangi dengan
200, hasilnya tambah dengan bulan lahir lalu hasilnya kali 2 terus kurangi dengan 40,
hasilnya kali dengan 50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir lalu
hasilnya kurangi dengan 10500. Berapa hasilnya?
b. Ambil dua digit terakhir tahun lahir dan tambahkan dengan umurmu di tahun 2011. Berapa
hasilnya? Selalu 111 kan?
c. Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat
menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki
medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah
horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan
radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang
hitam menjadi “tidak kelihatan”. Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik
yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana
sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Coba pilih sesuka hati sebuah bilangan asli
(bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian
hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus
ini, didapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah
62
jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan
berikutnya, yaitu 246.
Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita
dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303.
Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0
adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika kita mengulangi
langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan
demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya.
Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak
satu pun yang akan lolos. Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari
kcoba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah
122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total
adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi
(pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang diperoleh 426. Iterasi sekali lagi
terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai
pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan
demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan. Namun, apakah
mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang
jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam,
sang 123 yang misterius ini?

More Related Content

What's hot

Aljabar kelas 7
Aljabar kelas 7Aljabar kelas 7
Aljabar kelas 7Eka Putra
 
Lembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viii
Lembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viiiLembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viii
Lembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viiiMartiwiFarisa
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 
Tokoh-Tokoh Aljabar
Tokoh-Tokoh AljabarTokoh-Tokoh Aljabar
Tokoh-Tokoh Aljabarailisda_nur
 
Teori bilangan bab ii
Teori bilangan bab iiTeori bilangan bab ii
Teori bilangan bab iiSeptian Amri
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoYadi Pura
 
Makalah bilangan bulat
Makalah bilangan bulatMakalah bilangan bulat
Makalah bilangan bulatTsalisFitriani
 
Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013
Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013
Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013AYU Hardiyanti
 
Sejarah Perkembangan Bilangan
Sejarah Perkembangan BilanganSejarah Perkembangan Bilangan
Sejarah Perkembangan BilanganRatih31
 
Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Nia Matus
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Dyas Arientiyya
 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupKabhi Na Kehna
 
Sejarah Matematika
Sejarah MatematikaSejarah Matematika
Sejarah MatematikaDwi Kania
 

What's hot (20)

Aljabar kelas 7
Aljabar kelas 7Aljabar kelas 7
Aljabar kelas 7
 
Lembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viii
Lembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viiiLembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viii
Lembar kerja peserta didik 1 materi spldv kelas viii
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
 
sejarah bilangan
sejarah bilangansejarah bilangan
sejarah bilangan
 
Tokoh-Tokoh Aljabar
Tokoh-Tokoh AljabarTokoh-Tokoh Aljabar
Tokoh-Tokoh Aljabar
 
Sejarah Pythagoras
Sejarah PythagorasSejarah Pythagoras
Sejarah Pythagoras
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
 
Teori bilangan bab ii
Teori bilangan bab iiTeori bilangan bab ii
Teori bilangan bab ii
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup fakto
 
Sejarah aljabar
Sejarah aljabarSejarah aljabar
Sejarah aljabar
 
Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori Group
 
Makalah bilangan bulat
Makalah bilangan bulatMakalah bilangan bulat
Makalah bilangan bulat
 
Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013
Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013
Lembar Penilaian Kognitif KD 3.1 SMP kelas VII Kurikulum 2013
 
Sejarah Perkembangan Bilangan
Sejarah Perkembangan BilanganSejarah Perkembangan Bilangan
Sejarah Perkembangan Bilangan
 
Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
 
Koneksi Matematika
Koneksi MatematikaKoneksi Matematika
Koneksi Matematika
 
Geometri euclid
Geometri euclidGeometri euclid
Geometri euclid
 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrup
 
Sejarah Matematika
Sejarah MatematikaSejarah Matematika
Sejarah Matematika
 

Viewers also liked

Sejarah Matematika : Sistem Penulisan Bilangan
Sejarah Matematika : Sistem Penulisan BilanganSejarah Matematika : Sistem Penulisan Bilangan
Sejarah Matematika : Sistem Penulisan BilanganRudi Hartono
 
Sistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasi
Sistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasiSistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasi
Sistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasiKristalina Dewi
 
Sistem Numerasi Arab-Hindu dan Romawi
Sistem Numerasi Arab-Hindu dan RomawiSistem Numerasi Arab-Hindu dan Romawi
Sistem Numerasi Arab-Hindu dan RomawiDesy Aryanti
 
Mengenal nama dan lambang bilangan
Mengenal nama dan lambang bilanganMengenal nama dan lambang bilangan
Mengenal nama dan lambang bilanganUmmi Fathin
 
Angka dan bilangan
Angka dan bilanganAngka dan bilangan
Angka dan bilanganMhartono
 
Nilai tempat suatu bilangan
Nilai tempat suatu bilanganNilai tempat suatu bilangan
Nilai tempat suatu bilanganyulia94
 
Buku Tematik Kurikulum 2013
Buku Tematik Kurikulum 2013Buku Tematik Kurikulum 2013
Buku Tematik Kurikulum 2013lombkTBK
 
Bilangan irasional _bentukakar
Bilangan irasional _bentukakarBilangan irasional _bentukakar
Bilangan irasional _bentukakarYani Pieter Pitoy
 
Sistem bilangan dan kode
Sistem bilangan dan kodeSistem bilangan dan kode
Sistem bilangan dan kodeRizma Ariyani
 
Tips menjadi guru yang disenangi murid
Tips menjadi guru yang disenangi muridTips menjadi guru yang disenangi murid
Tips menjadi guru yang disenangi muridSabil Tulen
 
operasi bilangan bulat
operasi bilangan bulatoperasi bilangan bulat
operasi bilangan bulatRatih31
 
Akar pangkat tiga
Akar pangkat tigaAkar pangkat tiga
Akar pangkat tigaSabil Tulen
 
Makalah pendidikan karakter
Makalah pendidikan karakterMakalah pendidikan karakter
Makalah pendidikan karakterQoimah Adielah
 
Undang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan Pramuka
Undang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan PramukaUndang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan Pramuka
Undang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan PramukaDudi Aprillianto
 
Pancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - Malang
Pancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - MalangPancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - Malang
Pancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - MalangNurdinmontacity din
 
Pendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'an
Pendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'anPendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'an
Pendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'aniqbalmayzun
 

Viewers also liked (20)

Sejarah Matematika : Sistem Penulisan Bilangan
Sejarah Matematika : Sistem Penulisan BilanganSejarah Matematika : Sistem Penulisan Bilangan
Sejarah Matematika : Sistem Penulisan Bilangan
 
Sistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasi
Sistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasiSistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasi
Sistem Bilangan Babilonia (Seksagesimal) presentasi
 
Sejarah Bilangan
Sejarah BilanganSejarah Bilangan
Sejarah Bilangan
 
Bilangan romawi
Bilangan romawiBilangan romawi
Bilangan romawi
 
Sistem Numerasi Arab-Hindu dan Romawi
Sistem Numerasi Arab-Hindu dan RomawiSistem Numerasi Arab-Hindu dan Romawi
Sistem Numerasi Arab-Hindu dan Romawi
 
Mengenal nama dan lambang bilangan
Mengenal nama dan lambang bilanganMengenal nama dan lambang bilangan
Mengenal nama dan lambang bilangan
 
Angka dan bilangan
Angka dan bilanganAngka dan bilangan
Angka dan bilangan
 
Nilai tempat suatu bilangan
Nilai tempat suatu bilanganNilai tempat suatu bilangan
Nilai tempat suatu bilangan
 
Buku Tematik Kurikulum 2013
Buku Tematik Kurikulum 2013Buku Tematik Kurikulum 2013
Buku Tematik Kurikulum 2013
 
Anggaran dasar gerakan pramuka
Anggaran dasar gerakan pramukaAnggaran dasar gerakan pramuka
Anggaran dasar gerakan pramuka
 
Bilangan irasional _bentukakar
Bilangan irasional _bentukakarBilangan irasional _bentukakar
Bilangan irasional _bentukakar
 
Sistem bilangan dan kode
Sistem bilangan dan kodeSistem bilangan dan kode
Sistem bilangan dan kode
 
Tips menjadi guru yang disenangi murid
Tips menjadi guru yang disenangi muridTips menjadi guru yang disenangi murid
Tips menjadi guru yang disenangi murid
 
operasi bilangan bulat
operasi bilangan bulatoperasi bilangan bulat
operasi bilangan bulat
 
Akar pangkat tiga
Akar pangkat tigaAkar pangkat tiga
Akar pangkat tiga
 
Makalah pendidikan karakter
Makalah pendidikan karakterMakalah pendidikan karakter
Makalah pendidikan karakter
 
BILANGAN
BILANGANBILANGAN
BILANGAN
 
Undang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan Pramuka
Undang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan PramukaUndang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan Pramuka
Undang-undang Republik Indonesia No. 012 Tahun 2010 tentang Gerakan Pramuka
 
Pancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - Malang
Pancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - MalangPancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - Malang
Pancasila sebagai jiwa bangsa indonesia Stpp - Malang
 
Pendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'an
Pendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'anPendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'an
Pendidikan Karakter Berbasis Al-Qur'an
 

Similar to Resume sejarah dan perkembangan bilangan

Sejarah teori bilangan
Sejarah teori bilanganSejarah teori bilangan
Sejarah teori bilangannurwa ningsih
 
Sejarah teori bilangan
Sejarah teori bilanganSejarah teori bilangan
Sejarah teori bilanganArif Abas
 
Sejarah matematikaku
Sejarah matematikakuSejarah matematikaku
Sejarah matematikakuRusmaini Mini
 
Perkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematikaPerkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematikarestu sri rahayu
 
Perkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematikaPerkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematikarestu sri rahayu
 
Makalah hakikat dan sejarah matematika
Makalah hakikat dan sejarah matematikaMakalah hakikat dan sejarah matematika
Makalah hakikat dan sejarah matematikaعاءدة مردكة
 
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012lambok pakpahan
 
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012lambok pakpahan
 
Makalah kelompok 4 filsafat
Makalah kelompok 4 filsafatMakalah kelompok 4 filsafat
Makalah kelompok 4 filsafatKadhe Candra
 
ARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIA
ARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIAARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIA
ARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIAdellanurfadillaapriliani
 
Matematika
MatematikaMatematika
Matematikamiomadre
 
Sejarah Perkembangan Matematika di Barat
Sejarah Perkembangan Matematika di BaratSejarah Perkembangan Matematika di Barat
Sejarah Perkembangan Matematika di BaratAna Safrida
 
Sejarah Perkembangan Matematika Sebelum Masehi
Sejarah Perkembangan Matematika Sebelum MasehiSejarah Perkembangan Matematika Sebelum Masehi
Sejarah Perkembangan Matematika Sebelum MasehiAna Safrida
 
10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika
10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika
10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematikaSugi Kuswari
 

Similar to Resume sejarah dan perkembangan bilangan (20)

Sejarah teori bilangan
Sejarah teori bilanganSejarah teori bilangan
Sejarah teori bilangan
 
Sejarah teori bilangan
Sejarah teori bilanganSejarah teori bilangan
Sejarah teori bilangan
 
Sejarah teori bilangan
Sejarah teori bilanganSejarah teori bilangan
Sejarah teori bilangan
 
Uas bahasa indonesia
Uas bahasa indonesiaUas bahasa indonesia
Uas bahasa indonesia
 
Note 2
Note 2Note 2
Note 2
 
Sejarah matematikaku
Sejarah matematikakuSejarah matematikaku
Sejarah matematikaku
 
Perkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematikaPerkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematika
 
Perkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematikaPerkembangan sejarah matematika
Perkembangan sejarah matematika
 
Makalah hakikat dan sejarah matematika
Makalah hakikat dan sejarah matematikaMakalah hakikat dan sejarah matematika
Makalah hakikat dan sejarah matematika
 
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
 
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
Sejarah dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012
 
Makalah kelompok 4 filsafat
Makalah kelompok 4 filsafatMakalah kelompok 4 filsafat
Makalah kelompok 4 filsafat
 
Sejarah Pecahan
Sejarah PecahanSejarah Pecahan
Sejarah Pecahan
 
ARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIA
ARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIAARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIA
ARTI LAMBANG SEGITIGA PADA SISTEM NUMERASI BABYLONIA
 
Matematika
MatematikaMatematika
Matematika
 
Sejarah Perkembangan Matematika di Barat
Sejarah Perkembangan Matematika di BaratSejarah Perkembangan Matematika di Barat
Sejarah Perkembangan Matematika di Barat
 
pert 1 BAPD.pptx
pert 1 BAPD.pptxpert 1 BAPD.pptx
pert 1 BAPD.pptx
 
Sejarah simbol aljabar
Sejarah simbol aljabarSejarah simbol aljabar
Sejarah simbol aljabar
 
Sejarah Perkembangan Matematika Sebelum Masehi
Sejarah Perkembangan Matematika Sebelum MasehiSejarah Perkembangan Matematika Sebelum Masehi
Sejarah Perkembangan Matematika Sebelum Masehi
 
10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika
10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika
10 ilmuwan-penemu-di-bidang-matematika
 

More from Andriani Widi Astuti (17)

Pendekatan distribusi binomial ke normal
Pendekatan distribusi binomial ke normalPendekatan distribusi binomial ke normal
Pendekatan distribusi binomial ke normal
 
Soal kuis peluang dan statistik
Soal kuis peluang dan statistikSoal kuis peluang dan statistik
Soal kuis peluang dan statistik
 
Lks penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
Lks penjumlahan dan pengurangan bilangan bulatLks penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
Lks penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
 
ICE BERG PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT
ICE BERG PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULATICE BERG PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT
ICE BERG PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT
 
Bangun ruang sisi lengkung
Bangun ruang sisi lengkungBangun ruang sisi lengkung
Bangun ruang sisi lengkung
 
Iceberg sldv pmri
Iceberg sldv pmriIceberg sldv pmri
Iceberg sldv pmri
 
Lembar kerja siswa pmri
Lembar kerja siswa pmriLembar kerja siswa pmri
Lembar kerja siswa pmri
 
Resume geometri euclid
Resume geometri euclidResume geometri euclid
Resume geometri euclid
 
Resume geometri non euclid
Resume geometri non euclidResume geometri non euclid
Resume geometri non euclid
 
Persentase problematika
Persentase problematikaPersentase problematika
Persentase problematika
 
1 apa reference examples
1 apa reference examples1 apa reference examples
1 apa reference examples
 
Soal ujian mid semester 2015 landasan
Soal ujian mid semester 2015 landasanSoal ujian mid semester 2015 landasan
Soal ujian mid semester 2015 landasan
 
Ict bangun ruang sisi lengkung
Ict bangun ruang sisi lengkungIct bangun ruang sisi lengkung
Ict bangun ruang sisi lengkung
 
Ontologi
OntologiOntologi
Ontologi
 
Ppt analyzing the structure
Ppt analyzing the structurePpt analyzing the structure
Ppt analyzing the structure
 
03 pembelajaran paud melalui bermai
03 pembelajaran paud melalui bermai03 pembelajaran paud melalui bermai
03 pembelajaran paud melalui bermai
 
Academic writing
Academic writingAcademic writing
Academic writing
 

Recently uploaded

KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamabdulhamidalyFKIP
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxDarmiahDarmiah
 
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfProgram Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfrizalrulloh1992
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxFritzPieterMichaelNa
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUTeric214073
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptxfurqanridha
 
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptxanisakhairoza
 
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptxSasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptxFidelaNiam
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKTaufik241763
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxYusufAmirudin3
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf2210130220024
 
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxMATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxSuarniSuarni5
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxnursamsi40
 
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptxMateri pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptxSuarniSuarni5
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridDonyAndriSetiawan
 

Recently uploaded (20)

KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
 
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfProgram Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
 
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
 
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptxPersiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
 
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptxSasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptxDEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
 
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxMATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
 
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptxMateri pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
 

Resume sejarah dan perkembangan bilangan

  • 1. 45 RESUME SEJARAH DAN PERKEMBANGAN BILANGAN A. Sejarah Perkembangan Teori Bilangan Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :  Simbol bilangan bangsa Babilonia.  Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.  Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.  Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia.  Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.  Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini. Sejarah perkembangan teori bilangan dapat dikelompokkan menjadi dua masa, yaitu :. a. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam. Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan. Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak
  • 2. 46 tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini. Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi yang akurat sampai lima tempat desimal. Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal. Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM), pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian. b. Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi) Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah (artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih sedikit” terhadap berbagai benda. Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang Lebombo di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM. Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat
  • 3. 47 bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Selain itu, ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, yang menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima c. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir. Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri. Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM) bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya. Lambang dan simbol bilangan Mesir d. Teori Bilangan pada Suku Bangsa India Sulba Sutras (kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar Vertical staff Astronished man ( orang astronis ) Polliwing / burbot ( berudu ) Pointing finger ( telunjuk ) Lotus flower ( bunga teratai ) Scrool ( gulungan surat ) Heel Bone ( tulang lutut )
  • 4. 48 kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras. Panini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan- aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci. Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima. Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah- langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al- Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950. Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan di dalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
  • 5. 49 Berikut ini adalah Simbol-simbol bilangan yang ditemukan : Bilangan Cunieform yang digunakan bangsa Babilonia sejak tahun 5000 SM Lambang bilangan bangsa Hindu-Arab kuno pada abad ke-10 Lambang bilangan yang digunakan bangsa Maya di Amerika pada tahun 500 SM Lambang bilangan Hieroglif yang digunakan bangsa Mesir Kuno Lambang bilangan bangsa Arab pada abad ke-11
  • 6. 50 Lambang bilangan bangsa Yunani Kuno Lambang bilangan bangsa Romawi e. Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi) Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858- 1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics. Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya. B. Definisi Bilangan Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau ketikan : 1 yang terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar. Demikian pula jika kita melihat lambang yang sama di papan tulis, yang terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang melambangkan bilangan 1. C. Bilangan dan Himpunan Bilangan Pada zaman sekarang ini, sistem penulisan bilangan yang dikenal adalah penulisan yang dikembangkan oleh bangsa Arab (Angka Arab) dengan angka pokoknya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sedangkan angka yang lebih dari 9, ditulis dengan mengkombinasikan angka-angka pokok tadi. Untuk keperluan menghitung, maka orang-orang mulai memerlukan “bilangan
  • 7. 51 penghitung” (counting number) yaitu bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ... dan seterusnya. Dimana bilangan penghitung tersebut sekarang ini dikenal dengan nama bilangan- bilangan asli, dan apabila bilangan-bilangan asli dihimpun menjadi sebuah himpunan, dan sebutlah himpunan itu dengan N, maka di dalam matematika, himpunan semua bilangan asli N tersebut dikenal sebagai N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }. Untuk keperluan lainnya kemudian orang memperluas bilangan asli menjadi bilangan bulat, sehingga munculah himpunan semua bilangan bulat. Di dalam bahasa asing disingkat “I” (integer), himpunan bilangan bulat I dinyatakan dengan I = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. dari bilangan bulat diperluas menjadi bilangan rasional. Bilangan rasional biasanya diberi nama dengan “Q” singkatan dari Quotient yang berarti rasio atau perbandigan. Himpunan bilangan rasional Q dinyatakan dengan Q = { }. Karena , hubungan ketiga himpunan bilangan tersebut dapat digambarkan melalui diagram venn berikut: Kemudian untuk keperluan tertentu orang-orang menciptakan bilangan Irasional, apabila himpunan semua bilangan irasional diberi nama H, maka himpunan semua bilangan irasional H dan himpunan semua bilangan rasional Q merupakan dua buah himpunan yang saling lepas, sehingga H Q = (himpunan kosong) sedangkan gabungan dari himpunan rasional dan irasional disebut himpunan semua bilangan real R atau H Q = R. Hubungan antara kelima himpunan N, I, Q, H, dan R dapat diperlihatkan oleh diagram Venn berikut: Bilangan yang bukan merupakan bilangan real disebut “bilangan imajiner” dan biasanya diberi nama dengan huruf i atau i = . Dengan dikenalnya bilangan imajiner maka kita akan mengenal bilangan kompleks dan diberi nama C, yang dinyatakan sebagai Hubungan antara ketujuh himpuan N, I, Q, H, R, M, dan C ditunjukan oleh diagram venn, tampak bahwa N I Q R C, H R C, M C, Q H = dan M R = .
  • 8. 52 D. Macam-Macam Bilangan 1. Bilangan Asli ( N ) Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan N = {1, 2, 3, 4, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukan beberapa jenis kera besar (inggris:apes) juga bisa mempelajarinya. Bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, membagi dsb. Bilangan asli dapat digunakan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat terhitung suatu himpunan. 2. Bilangan Cacah (C) Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah 0. 3. Bilangan Bulat ( I ) Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu. Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan. - Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif - Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif 4. Bilangan Rasional ( H ) Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai dimana a dan b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh, terdiri dari pembilang dan penyebut. Pembilang merupakan bilangan yang terbagi, sedangkan penyebut merupakan bilangan pembagi.
  • 9. 53 Contoh : 4  pembilang 5  penyebut 5. Bilangan Irasional ( Q ) Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya tidak pernah berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b. dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh yang paling popular dari bilangan irasional adalah bilangan , dan bilangan e. Bilangan sebetulnya tidak tepat = 3,14 tetapi = 3,1415926535... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ... Untuk bilangan yaitu bernilai = 1,41421356237309504880168872 ... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798 ... (hingga 700 digit belum selesai, yang ditemukan oleh pakar matematika Jepang dengan batuan komputer ), untuk bilangan e yaitu bernilai = 2,7182818 ... 6. Bilangan Riil ( R ) Bilangan riil atau real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan , dan bilangan irasional seperti dan bilangan akar, juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan riil meliputi kelas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Arhimides. 7. Bilangan Imajiner Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat . Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan komplek mempunyai bagian riil. Secara definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik atau 8. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk . Dimana a dan b adalah bilangan riil dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat . Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil, namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian. Selain bilangan-bilangan di atas, juga terdapat beberapa bilangan lainnya, yaitu : 9. Bilangan Nol Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu.
  • 10. 54 Sejarah diketemukannya bilangan nol adalah sekitar 300 SM, orang Babilonia telah memulai penggunaan dua baji miring (//) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong pada abax (alat hitung pertama bangsa Babilonia, lebih dikenal dengan abacus). Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu. Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al- Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal. 10. Bilangan Sempurna Bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari pembagi positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri. Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna, karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6. Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Diikuti dengan 496, dan 8128. Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno. Saat ini, telah ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat mencari bilangan sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus tersebut adalah : Bilangan sempurna = 11. Bilangan Bersekawan Dua buah bilangan a dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima dari bilangan a sama dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan b sama dengan bilangan a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor prima dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana jumlahnya sama dengan 284, dan faktor prima dari 284 adalah 1, 2, 4, 71 dan 142, dimana jumlahnya sama dengan 220. Beberapa pasangan bilangan bersekawan lainnya adalah (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), dan (6232, 6368).
  • 11. 55 Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bagan bilangan berikut : E. Beberapa Tokoh Teori Bilangan Legendaris 1. Pythagoras (582 SM- 496 SM) Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis. 2. Jamshid Al-Kashi (1380 M) Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, Al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika. Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh Al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand. Segitiga Pascal pertama kali diketahui dari sebuah buku karya Yang Hui yang ditulis pada tahun 1261, salah seorang ahli matematika Dinasti Sung yang termasyhur. Namun, sebenarnya segitiga tersebut telah dibahas dalam buku karya Al Kashi yang disebut dengan Segitiga Khayyam. Dan kita semua tahu bahwa ilmu di Cina dan Persia itu sudah tua. Bilangan Kompleks Bilangan ImajinerBilangan Real Bilangan IrasionalBilangan Rasional Bilangan BulatBilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Nol (0) Bilangan Bulat Positif
  • 12. 56 Sedangkan segitiga Pascal yang dibahas oleh Peter Apian, seorang ahli Aritmatika dari Jerman baru diterbitkan pada 1527. Sehingga bisa disimpulkan bahwa Segitiga Khayyam muncul terlebih dulu sebelum segitiga Pascal. 3. Pierre de Fermat Pierre de Fermat meninggal pada tahun 1665. Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah “Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak mempunyai solusi bilangan bulat tak nol untuk x, y dan z, jika n > 2. Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq,. 4. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M) Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p. Sayangnya, jauh di kemudian hari, hasil ini dikenal sebagai Teorema Wilson, bukan Teorema Al-Haytam. Teorema ini disebut Teorema Wilson setelah Warring pada tahun 1770
  • 13. 57 menyatakan bahwa John Wilson telah mengumumkan hasil ini. Selain dalam bidang matematika, Al-Haytam juga dikenal baik dalam dunia fisika, yang mempelajari mekanika pergerakan dari suatu benda. Dia adalah orang pertama yang menyatakan bahwa jika suatu benda bergerak, akan bergerak terus menerus kecuali ada gaya luar yang memengaruhinya. Ini tidak lain adalah hukum gerak pertama, yang umumnya dikenal sebagai hukum Newton pertama. 5. Joseph-Louis de Langrange (25 Januari 1736-10 April 1813) Joseph-Louis de Lagrange (lahir dengan nama Giuseppe Luigi Lagrangia) adalah seorang matematikawan dan astronom Perancis-Italia yang membuat sumbangan penting pada mekanika klasik, angkasa dan teori bilangan. Dilahirkan di Turin, ia adalah campuran Italia dan Perancis. Ayahnya ialah orang kaya, namun suka menghambur-hamburkan kekayaannya. Belakangan dalam hidupnya, Lagrange menyebutnya sebagai bencana yang menguntungkan karena, "jika saya mewarisi kekayaan mungkin saya tidak akan mempertaruhkan nasib saya dengan matematika”. Berpaling pada matematika dengan membaca sebuah esai tentang kalkulus, dengan cepat ia menguasai subjek tersebut. Pada usia 19 tahun, ia memulai karyanya (mungkin yang terbesar), Mecanique analitique, meski tak diterbitkan sampai ia berusia 52 tahun. Karena tiadanya diagram yang lengkap, komposisi terpadu, William Rowan Hamilton menyebut bukunya sebagai "sajak ilmiah". Pada saat Lagrange mengirim beberapa hasil karyanya kepada Leonhard Euler, Euler sadar akan kecemerlangan Lagrange dan menunda menerbitkan sejumlah karyanya sendiri yang berkaitan agar Lagrange-lah yang bisa menerbitkannya pertama kali (contoh langka tentang sifat seorang akademikus yang tak mementingkan diri sendiri). Kariernya masyhur; pada usia 20 tahun ia adalah matematikawan istana pada Raja Prusia Friedrich yang Agung di Berlin dan kemudian guru besar di Ecole normale di Paris. Selama Revolusi Prancis, ia adalah favorit Marie Antoinette dan kemudian Napoleon. Di Paris, ia membantu menyempurnakan sistem metrik tentang berat dan ukuran. 6. Adrien-Marie Legendre (18 September 1752-10 Januari 1833) Adrien-Marie Legendre ialah matematikawan Perancis. Ia membuat sumbangan penting atas statistik, teori bilangan, aljabar abstrak dan analisis matematika. Kebanyakan karyanya disempurnakan oleh ilmuwan lainnya (karyanya pada akar polinomial mengilhami teori Galois; karya Abel pada fungsi elips dibangun pada Legendre; beberapa karya Gauss dalam statistik dan teori bilangan yang melengkapi teori Legendre). Pada tahun 1830 ia memberikan bukti pada teorema akhir Fermat untuk eksponen n = 5, yang diberikan hampir secara serentak oleh Dirichlet pada 1828. Dalam teori bilangan, ia mengkonjekturkan hukum timbal balik kuadrat, yang kemudian dibuktikan Gauss. Ia juga melakukan karya pioner pada prima, dan pada penerapan analisis pada teori bilangan. Konjekturnya dari teorema bilangan prima dengan tepat dibuktikan oleh Hadamard dan de la Vallee-Poussin pada 1898. 7. Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777- 23 Februari 1855)
  • 14. 58 Gauss adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu. 8. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 Februari 1805-5 Mei 1859) Dirichlet ialah matematikawan Jerman yang dihargai karena definisi "formal" modern dari fungsi. Keluarganya berasal dari kota Richelet di Belgia, dari yang nama belakangnya "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "anak muda dari Richelet") diturunkan, dan di mana kakeknya tinggal. Dirichlet lahir di Duren, di mana ayahnya merupakan kepala kantor pos. Ia mendapatkan pendidikan di Jerman, dan kemudian Prancis, di mana ia belajar dari banyak matematikawan terkemuka saat itu. Karya pertamanya ialah pada teorema akhir Fermat. Inilah konjektur terkenal (kini terbukti) yang menyatakan bahwa untuk , untuk persamaan tak memiliki solusi bilangan bulat, selain daripada yang trivial yang mana itu 0. Ia membuat bukti parsial untuk kasus n = 5, yang dilengkapi oleh Adrien- Marie Legendre. Dirichlet juga melengkapi pembuktiannya sendiri hampir di saat yang sama; kemudian ia juga menciptakan bukti penuh untuk kasus n = 14. Setelah kematiannya, ceramah Dirichlet dan hasil lain dalam teori bilangan dikumpulkan, disunting dan diterbitkan oleh kawannya dan matematikawan Richard Dedekind dengan judul Vorlesungen uber Zahlentheorie (Ceramah pada Teori Bilangan). 9. Benjamin Peirce (4 April 1809-6 Oktober 1880) Benjamin Peirce ialah seorang matematikawan Amerika yang mengajar di Universitas Harvard selama kira-kira 50 tahun. Dia bersumbangsih dalam bidang mekanika benda langit, teori bilangan, aljabar, dan filsafat matematika. Setelah tamat dari Harvard, dia menjadi seorang asisten dosen (1829), dan kemudian diangkat menjadi dosen matematika pada 1831. Di dalam teori bilangan, dia membuktikan bahwa tidak ada bilangan sempurna ganjil yang kurang dari empat faktor prima. Di dalam aljabar, dia dikenal atas pengkajiannya pada aljabar asosiatif. Dia pertama mengajukan istilah idempoten dan nilpoten pada 1870 untuk menjelaskan unsur-unsur aljabar ini, dan dia juga memperkenalkan penguraian peirce. F. Aplikasi Teori Bilangan 1. Aplikasi Teori Bilangan dalam Pembelajaran a. Bilangan beserta sifat-sifatnya digunakan guru untuk menentukan tingkat pemahaman siswa terhadap materi pembelajaran pada tiap bidang mata pelajaran, sehingga dapat dilakukan evaluasi agar terjadi peningkatan pemahaman belajar siswa b. Bilangan yang telah ditetapkan oleh guru sebagai ukuran nilai hasil tes pemahaman siswa dijadikan sebagai alat ukur bagi siswa tentang perkembangan penguasaannya terhadap
  • 15. 59 materi pembelajaran, sehingga apabila nilai yang diperolehnya (yang biasanya dilambangkan dengan angka-angka berdasarkan ketentuan yang telah ditetapkan) turun, maka ia dapat melakukan berbagai upaya perbaikan dengan kembali mendalami materi pembelajaran. c. Bilangan digunakan sebagai nomor untuk mendata siswa secara terurut (presensi) d. Bilangan digunakan sebagai tingkatan jenjang pendidikan yang ditempuh, misalnya kelas I,II,III,IV, dst, S1, S2, atau S3. e. Teori bilangan banyak digunakan pada bidang matematika lainnya (seperti bidang aljabar, geometri, statistika, analisis) ataupun pada ilmu pengetahuan non-matematika (seperti kimia, fisika, astronomi, dll.) 2. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Teknologi Sistem bilangan atau number system adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu item fisik. Sistem bilangan menggunakan bilangan dasar atau basis (base/radix) tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan mengenai 4 sistem bilangan ini: a. Desimal (Basis 10) Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction). Untuk melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan Dalam gambar di atas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut value dan Position Value. Absolut Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. b. Biner (Basis 2) Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 2 dan 1. Bilangan biner ini dipopulerkan oleh John Von Neuman. Contoh bilangan biner ini adalah 1001, ini dapat diartikan (di konversi ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis). Berarti, bilangan biner 1001 . c. Oktal (Basis 8) Oktal (Basis 8) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 8 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Contoh oktal adalah 1024, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis). d. Hexadesimal (Basis 16) Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal berarti 10 adalah sistem bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada sistem bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf
  • 16. 60 A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai huruf F mewakili angka 15. Contoh hexadesimal F3D4, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan hexsadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis). 3. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Sains Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah pada suhu , sehingga pH-nya 7. Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telingan manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0,1 bel, lebih sering digunakan. Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10. Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik. 4. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Ekonomi Menganalisis dan mengevaluasi strategi penyelesaian masalah serta menemukan strategi penyelesaian masalah yang baru. Matematika dapat digunakan untuk menyeleksi atau menyaring data yang ada. Seperti tes seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau karyawan menggunakan tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika dan berhitung) untuk mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah. Dalam bidang teknik matematika digunakan seperti teknik informatika atau komputer menggunakan konsep bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika digunakan untuk menentukan ketelitian suatu alat ukur atau peralatan yang digunakan. Bidang ekonomi menggunakan konsep fungsi untuk memprediksikan produksi maupun penjualan. 5. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Musik Teori Musik sering menggunakan matematika untuk memahami musik. Memang, matematika adalah “dasar suara” dan suara itu sendiri “dalam aspek musik nya menunjukkan array yang luar biasa dari sifat nomor”, hanya karena alam itu sendiri “adalah matematika luar biasa”. Meskipun kuno, Cina, Mesir dan Mesopotamians diketahui telah mempelajari prinsip- prinsip matematika suara, dengan ilmu Pythagoras dari Yunani kuno adalah peneliti pertama yang diketahui telah menyelidiki ekspresi skala musik dalam hal rasio numerik, khususnya rasio bilangan bulat kecil. Doktrin utama mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni timbul dari nomor”. Dari waktu Plato, harmoni dianggap sebagai cabang dasar fisika, sekarang dikenal sebagai musik akustik. Awal teori India dan Cina menunjukkan pendekatan serupa. Semua
  • 17. 61 berusaha untuk menunjukkan bahwa hukum-hukum matematika dari harmonisa dan ritme yang fundamental tidak hanya untuk pemahaman kita tentang dunia tetapi untuk kesejahteraan manusia. Konfusius, seperti Pythagoras, menganggap nomor kecil 1,2,3,4 sebagai sumber semua kesempurnaan. Untuk hari ini matematika lebih berkaitan dengan akustik dibandingkan dengan komposisi, dan penggunaan matematika dalam komposisi secara historis terbatas pada operasi sederhana penghitungan dan pengukuran. Upaya untuk struktur dan mengkomunikasikan cara-cara baru penyusunan dan mendengar musik telah menyebabkan aplikasi musik teori himpunan, aljabar abstrak dan teori bilangan. Beberapa komposer telah memasukkan rasio Emas dan angka Fibonacci ke dalam pekerjaan mereka Bentuk musik Formulir Musik adalah rencana dimana sepotong pendek musik diperpanjang. Seperti arsitek, komposer harus memperhitungkan fungsi yang pekerjaan dimaksudkan dan sarana yang tersedia, berlatih ekonomi dan memanfaatkan pengulangan dan ketertiban. Jenis umum dikenal sebagai bentuk biner dan terner (“dua kali lipat” dan “tiga”) sekali lagi menunjukkan pentingnya nilai-nilai integral kecil terhadap kejelasan dan daya tarik musik. 6. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Filsafat Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya filsafat menjadikan bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri. Objek material filsafat ilmu bilangan adalah bilangan itu sendiri. Bilangan itu sendiri dimulai dari yang paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan seterusnya hingga bilangan kompleks. Sebagai objek formal filsafat, bilangan dikaji hakikat. Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa hakikat dari bilangan itu, bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana penggunaan bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran. 7. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Hiburan (Permainan) a. Ambil tanggal lahir lalu kali 4, hasilnya tambah 13, hasilnya kali 25 lalu kurangi dengan 200, hasilnya tambah dengan bulan lahir lalu hasilnya kali 2 terus kurangi dengan 40, hasilnya kali dengan 50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir lalu hasilnya kurangi dengan 10500. Berapa hasilnya? b. Ambil dua digit terakhir tahun lahir dan tambahkan dengan umurmu di tahun 2011. Berapa hasilnya? Selalu 111 kan? c. Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak kelihatan”. Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Coba pilih sesuka hati sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, didapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah
  • 18. 62 jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246. Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos. Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kcoba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang diperoleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan. Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?