1. UNIDAD I
TEORÍA DE CONJUNTOS

2. LA TEORÍA DE CONJUNTOS ES UNA RAMA DE
LAS MATEMÁTICAS QUE ESTUDIA LAS
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS: COLECCIONES
ABSTRACTAS DE OBJETOS, CONSIDERADAS COMO
OBJETOS EN SÍ MISMAS.
LOS CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES MÁS
ELEMENTALES SON UNA HERRAMIENTA BÁSICA
EN LA FORMULACIÓN DE CUALQUIER TEORÍA
MATEMÁTICA.

3.  La teoría de los conjuntos es lo suficientemente
rica como para construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas:
números, funciones, figuras geométricas
 Junto con la lógica permite estudiar los
fundamentos de esta. En la actualidad se acepta
que el conjunto de axiomas de la teoría de
Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar
toda la matemática.

4.  El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos
se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a
investigar cuestiones conjuntistas «puras» del
infinito en la segunda mitad del siglo
XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard
Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El
descubrimiento de las paradojas de la teoría
cantoriana, de conjuntos, formalizada por
Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand
Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros
a principios del siglo XX.

5. Teoría Basica de conjuntos:
 La teoría de conjuntos más elemental es una de las
herramientas básicas del lenguaje matemático.
Dados unos elementos, unos objetos matemáticos
como números o polígonos por ejemplo, puede
imaginarse una colección determinada de estos
objetos, un conjunto.
 Cada uno de estos elementos pertenece al
conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación
relativa a conjuntos más básica. Los propios
conjuntos pueden imaginarse a su vez como
elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un
elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

6.  Una relación entre conjuntos derivada de la relación de
pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se
indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
 Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el
conjunto de los números naturales N, el de los números enteros
Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el
de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del
siguiente:
 N cZ c Q c R c C
 C = subconjunto.

7. Álgebra de conjuntos:
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto
A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos
en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos
comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el
conjunto A B que contiene todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el
conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto
de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

8. • Diferencia simétrica La diferencia simétrica de
dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con
todos los elementos que pertenecen, o bien a
A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de
dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que
contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo
primer elemento a pertenece a A y su segundo
elemento b pertenece a B.

9.  La palabra conjunto generalmente la asociamos
con la idea de agrupar objetos:
 Por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de
plantas de cultivo y en otras ocasiones en
palabras como
hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, fami
lia, etc.,
 La palabra conjunto denota una colección de
elementos claramente entre sí, que guardan
alguna característica en común. Ya sean
números, personas, figuras, ideas y conceptos.

10.  En matemáticas el concepto de conjunto es
considerado primitivo y ni se da una definición de
este, sino que se trabaja con la notación de
colección y agrupamiento de objetos, lo mismo
puede decirse que se consideren primitivas las ideas
de elemento y pertenencia.
 La característica esencial de un conjunto es la de
estar bien definido, es decir que dado un objeto
particular, determinar si este pertenece o no al
conjunto.
 Por ejemplo si se considera el conjunto de los
números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al
conjunto, pero el 19 no.

11.  Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o
elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto;
a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
 { a, b, c, ..., x, y, z}
• Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados
por comas (,).
• El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se
denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.
• Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por
ejemplo:
• El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
• En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por
ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

12. MEMBRESIA
• Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas :
A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }
• El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o
es miembro de un conjunto. Por el contrario para
indicar que un elemento no pertenece al conjunto
de referencia, bastará cancelarlo con una raya
inclinada / quedando el símbolo como Ï .
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B

13. SUBCONJUNTO
• Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o
que B es subconjunto de A. En general si A y B son
dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un
subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A
también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe
B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con
una diagonal Ë .
Note que Î se utiliza solo para elementos de un
conjunto y Ì solo para conjuntos.

14. UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
• El conjunto que contiene a todos los elementos a
los que se hace referencia recibe el nombre de
conjunto Universal, este conjunto depende del
problema que se estudia, se denota con la letra
U y algunas veces con la letra S (espacio
muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5
primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

15. Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero)
representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
• Conjunto de números enteros positivos y negativos
representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
• Conjunto de números racionales (números que se representan
como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos
números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan
representarse como el cociente de dos números enteros)
representados por la letra I.
• Conjunto de los números reales que son los números
racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

16. DIAGRAMAS DE VENN
• Los diagramas de Venn que de deben al filósofo
inglés John Venn (1834-1883) sirven para
encontrar relaciones entre conjuntos de manera
gráfica mediante dibujos ó diagramas.
• La manera de representar el conjunto Universal
es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con
que se trabaje.
• Un ejemplo de la representación del conjunto
universal se muestra como:

18.  Los conjuntos se representan por medio de dibujos
dentro del rectángulo, los aspectos de interés se
resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso
de esta imagen se indica por medio de un color azul
por ejemplo:

24.  PRODUCTO CARTESIANO:
 Se trata de una operación entre dos
conjuntos, de tal modo que se forma otro
conjunto con todos los pares ordenados
posibles.
• Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}
y B = {a, b}, su producto cartesiano es:
A × B =
{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4,
b)}

25.  Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada
par que se forma con un elemento del conjunto A y
uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre
de par ordenado. Sus elementos se colocan entre
paréntesis, separados por coma.
• Entonces:
• El poducto cartesiano de dos conjuntos
cualesquiera A y B, será un nuevo
conjunto, identificado como A x B, y consistirá de
un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x
pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto
B.

27.  También podríamos decir que un par ordenado
es una colección de dos objetos distinguidos
como primero y segundo, y se denota como
(a, b), donde a es el "primer elemento" y b el
"segundo elemento".
 El producto cartesiano recibe su nombre de René
Descartes, cuya formulación de la geometría
analítica dio origen a este concepto.

28. G R A C I A S