Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LOGO
Matematika-wajib Kelas XI MIA/ IIS
Oleh: Any Herawati,
M.Pd.

3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan
operasi aljabar (penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian)
pada fungsi
FUNGSI KOMPOSISI DAN
FUNGSI INVERS
3.3 Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi
dan melakukan manipulasi aljabar dalam
menentukan invers fungsi dan fungsi invers.
MATERI
KOMPETENSI
DASAR

4.2 Mengolah data masalah nyata dengan
menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih
dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan
untuk memecahkan masalah.
3.4 Memahami dan menganalisis sifat suatu
fungsi sebagai hasil operasi dua atau
lebih fungsi yang lain.
4.3 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan
model matematika dalam memecahkan masalah
nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi.
KOMPETENSI
DASAR
KOMPETENSI
DASAR
3.5 Memahami konsep komposisi fungsi
dengan menggunakan konteks sehari-hari
dan menerapkannya.
4.4 Merancang dan mengajukan masalah dunia nyata
yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan
menerapkan berbagai aturan dalam
menyelesaikannya.

MATERI YANG DIPELAJARI
Sifat-sifat fungsi
Aljabar fungsi
Macam-macam fungsi khusus
Fungsi komposisi
Fungsi invers
Fungsi invers dari fungsi komposisi
Pengertian Relasi dan Fungsi

Jika A dan B masing-masing menyatakan
himpunan yang tidak kosong, maka produk
Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan
semua pasangan terurut (x,y) dengan
dan , ditulis
Ax
By 
}dan),{( ByAxyxBA 
PRODUK CARTESIUS

{1,2}Bdan},,{  cbaA
)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(
)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(
cbacbaAB
ccbbaaBA


Misalkan maka:

Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Relasi
 Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari
A  B.
 Notasi: R  (A  B).
 a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a dihubungkan
dengan b oleh R
 a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a tidak
dihubungkan oleh b oleh relasi R.
 Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B
disebut daerah hasil (range) dari R.

Fungsi
 Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di
dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A  B
yang artinya f memetakan A ke B.
 A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah
hasil (codomain) dari f.
 Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
 Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A
dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

 Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a
dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
 Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah
(range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah
himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
a b
A B
f

Fungsi adalah relasi yang khusus:
1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh
prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.
2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B”
berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c.

Materi
Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan dengan
huruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke B
ditulis f: A → B
A disebut domain
B disebut kodomain

Materi
Range atau Daerah Hasil
Jika f memetakan
x  A ke y  B
dikatakan y adalah peta dari x
ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y  B
yang merupakan peta dari x  A
disebut range atau daerah hasil

Materi
contoh 1
Perhatikan gambar pemetaan
1 f : A → B
a 2 domain adalah
b 3 A = {a, b, c, d}
c 4 kodomain adalah
d 5 B = {1, 2, 3, 4, 5}
A B range adalah
R = {2, 3, 4, 5}

Vertical Line Test: Suatu relasi adalah fungsi jika suatu
garis vertikal digambar melalui grafik tersebut berpotongan
hanya di satu titik.
Contoh: manakah dari kedua grafik tersebut
yang merupakan fungsi?
Berpotongan hanya di satu titik
Berpotongan
di dua titik
Grafik tersebut
adalah fungsi
Grafik tersebut
bukan fungsi

Apakah diagram berikut
merupakan fungsi atau bukan?
Gambar 1
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
Gambar 2
Gambar 1 bukan fungsi karena
ada anggota A yang tidak
memiliki pasangan di B
Gambar 2 adalah fungsi karena
setiap anggota A memiliki
pasangan tepat satu di B

LANJUTAN
Gambar 3
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
Gambar 4
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
Gambar 3 bukan fungsi karena ada
anggota A yang tidak memiliki
pasangan di B dan ada anggota A
memiliki pasangan lebih dari satu
Gambar 4 bukan fungsi ada anggota
A memiliki pasangan lebih dari satu
di B

LANJUTAN
Gambar 5
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
Gambar 6
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
Gambar 5 bukan fungsi, karena ada
anggota A memiliki pasangan lebih
dari satu di B
Gambar 6 adalah fungsi karena
setiap anggota A memiliki pasangan
tepat satu di B

SIFAT – SIFAT
FUNGSI ITU APA
SAJA YA ??

a. Fungsi Injektif (Fungsi satu-satu)
adalah fungsi yang setiap elemen yang berbeda pada
daerah asal dipetakan dengan elemen yang berbeda pada
daerah kawan atau didefinisikan “untuk setiap a1, a2 ε A
dan a1≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2)
Contoh Diagram
Fungsi Injektif

Terminology
F adalah fungsi satu-satu (atau Injektif) jika dan
hanya jika x1,x2 X , F(x1) = F(x2)  x1=x2
atau x1,x2 X x1≠x2  F(x1) ≠ F(x2)
F bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika
 x1,x2X, (F(x1) = F(x2)) (x1 ≠ x2)

Teorema: Horizontal Line Test
Jika garis horizontal memotong
grafik fungsi f hanya di satu titik,
maka f adalah fungsi satu-satu
(injektif).

Gunakan sketsa grafik untuk
menentukan apakah fungsi
adalah fungsi satu-satu (injektif)
Bukan fungsi
injektif

Gunakan sketsa grafik untuk menunjukkan
fungsi adalah fungsi injektif.
Fungsi injektif

b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto atau Fungsi Kepada)
adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan daerah
kawan. Jika suatu fungsi dengan daerah hasil merupakan
himpunan bagian murni dari himpunan B, maka disebut
fungsi into atau fungsi kedalam.
A
f
B
d
b
c
1
2
3
d
4
a
e
A
f
B
d
a
b
1
2
3
c
4
Contoh Diagram
Fungsi Into
Contoh Diagram
Fungsi Onto

Terminology
F adalah fungsi Onto (atau Surjektif) jika dan
hanya jika
y Y xX, F(x) = y
F adalah fungsi Into jika dan hanya jika
yY x X, F(x) y

c. Fungsi Bijektif
adalah fungsi yang bersifat injektif sekaligus bersifat
surjektif, biasa dinamakan korespondensi satu-satu
Contoh Diagram
Fungsi Bijektif
A
f
B
d
a
b
1
2
3 c

RANGKUMAN
SIFAT FUNGSI
Surjektif
(kepada)
Into
(ke dalam)
Injektif
(satu-satu)
Bijektif
(pasangan)
Tiap elemen di B
punya
pasangan di A
Ada elemen di B
yg tidak punya
pasangan di A
Tiap elemen di B
punya pasangan
tepat satu di A
Tiap elemen di B
berpasangan
satu-satu dgn A
A B
a
b
c
e
f
a
b
c
e
f
g
a
b
c
e
f
g
i
a
b
c
e
f
g

LATIHAN
Diketahui himpunan A = {a, b, c, d, e}, B = {0, 2,
4, 6} yang didefinisikan oleh f : A → B.
Manakah yang merupakan fungsi surjektif?
a. {(a,0), (b,0), (c,2), (d,4), (e,6)}
b. {(a,0), (b,0), (c,0), (d,2), (e,4)}
c. {(a,0), (b,2), (c,4), (d,6), (e,6)}
d. {(a,2), (b,2), (c,2), (d,4), (e,6)}

PENYELESAIAN
a. b.
Surjektif Into
c. d.
Surjektif Into
a
b
c
d
e
0
2
4
6
a
b
c
d
e
0
2
4
6
a
b
c
d
e
0
2
4
6
a
b
c
d
e
0
2
4
6

Manakah yang merupakan fungsi, fungsi
injektif, surjektif atau pun bijektif ?
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
– 2
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2 4– 2– 4
2
4
– 2
– 4
y
x2– 2
2
4
– 2
– 4
y
x2– 2
2
4
– 2
– 4

NO BENTUK SYARAT TERDEFINISI
1
2
3
MENENTUKAN DOMAIN ALAMI
)(xfy 
)(
1
xf
y 
)(
1
xf
y 
0)( xf
0)( xf
0)( xf
Selain 3 bentuk di atas, }R|{D  xxf

CONTOH 1
Tentukan DOMAIN ALAMI dari
5.1  xy
7
1
.2


x
y
Syarat terdefinisi :
05 x
5x
Jadi, Domain Alami :
}5|{DA  xx
07 x
7x
}7|{DA  xx

CONTOH 2: TENTUKAN DOMAIN ALAMI
9.3 2
 xy
6
1
.4
2


xx
y
092
x
0)3)(3(  xx
}3atau3|{DA  xxx
0)3)(2(  xx
-3 3
+ - +
062
 xx
+ - +
-2 3
}3atau2|{DA  xxx

LATIHAN
Tentukan DOMAIN ALAMI dari masing-masing
fungsi berikut:
2.1  xy
12.2  xy
3
1
.3


x
y
62
1
.4


x
y
4.5 2
 xy
xy  3.6
xy 24.7 
x
y


2
1
.8
43
1
.9


x
y
23.10 2
 xxy

ALJABAR FUNGSI
Definisi:
Misalkan fungsi f(x) dan fungsi g(x) masing-masing dengan daerah asal D dan D
maka:
jumlah fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah
asal D = D  D ,
 selisih fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f  g)(x) = f(x)  g(x) dengan daerah
asal D = D  D ,
 perkalian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f  g)(x) = f(x)  g(x) dengan daerah
asal D = D  D ,
 pembagian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah
dengan daerah asal D - = D  D dan g(x)  0.
f + g
g
f
f g
f  g f g
f gf  g
f
g
=
f
g
f(x)
g(x)
(x)
fg

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan
rumus f (x) = 2x – 10 dan
Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian
tentukan domain alaminya.
a.(f + g) (x)
b.(f – g) (x)
c.(f x g) (x)
d.(f/g)(x)
e.f3 (x)
CONTOH
  1x2 xg

a.(f + g) (x) =
Domain asal alami Df+g = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
  1x2 xg
1x2102 x

b. (f – g) (x) =
Domain asal alami Df-g = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
  1x2 xg
1x2102 x

c. (f x g) (x) =
Domain asal alami Dfxg = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
  1x2 xg
  1x2102 x

d. (f/g) (x) =
Domain asal alami Df/g = {x|x > ½, x ε R}
PEMBAHASAN
  1x2 xg
 
1x2
102

x

e. f3 (x) =
Domain asal alami Df³ = {x|x ε R}
PEMBAHASAN
  1x2 xg
  10008001608102 233
 xxxx

 Notasinya : f(x) = k
 Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut fungsi
konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota
B yang sama
 Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real
 Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu x
FUNGSI KONSTAN

FUNGSI IDENTITAS
F(x) = x
Contoh f(x) = 1

FUNGSI LINIER
 Notasinya : f(x) = mx+n
 Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m
dan melalui titik (0,n)

GRAFIK FUNGSI LINEAR
Diketahui :
f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil real
Menuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

GRAFIK FUNGSI LINEAR
Diketahui :
f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riil
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

LATIHAN SOAL
Diketahui :
1. f(x) = 2x-1
2. f(x) = -2x - 2
dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }
Ditanya :
1. Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel
2. Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius

GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Diketahui :
f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain berupa bil riil
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :
x -2 -1 0 1 2
f(x) 8 2 0 2 8

FUNGSI KUBIK
Fungsi kubik: .
0,)( 301
2
2
3
3  aaxaxaxaxf

1. y = 2x
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
2. y = 2x–1 + 4
Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau
negatif. Artinya 2x > 0.
Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x
di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk
mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4
½
4,5
x -2 -1 0 1 2
2x–1 1/8 1/4 1/2 1 2
FUNGSI EKSPONEN

1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) =  x 
 x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x
2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) =  x 
 x  = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x
x
 x 
x
 x 
FUNGSI FLOOR DAN FUNGSI CEILING

Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi, y = f(x) dikatakan:
Genap, jika f(-x)=f(x)
Ganjil, jika f(-x) = - f(x)
Contoh:
Fungsi Genap
Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y

Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi Ganjil
Grafik fungsi ganjil y = f(x) simetris
terhadap titik asal.

Fungsi Invers dan Invers Fungsi
a b
f
g
Jika ada fungsi g sedemikian hingga
a = g(b) maka fungsi f mempunyai
fungsi invers. f -1(x) = g(x).
Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi.
Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut
FUNGSI INVERS.

FUNGSI INVERS
Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers
f-1 : B → A,jika dan hanya jika merupakan fungsi
bijektif ( berkorespondensi satu-satu)
a.
b.
c.
d.
.1
.2
.3
.4
.a
.b
.c
.d
1.
2.
3.
4.
A B AB

INVERS FUNGSI
 Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang
mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen
pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana
f -1 : B → A. dengan kata lain,
y = f(x) ↔x = f -1 (y)
 Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
A B
b=f(a)
f(a)
f -1(b)
f -1(b)=a

a.
b.
c.
CONTOH
Diketahui fungsi ƒ sebagai berikut:
A B
Ditanyakan:
1. Apakah ƒ-1 ada? Mengapa?
2. Carilah (ƒ-1○ƒ)(a), dan (ƒ-1○ƒ)(b)
3. Apakah ƒ-1○ƒ = I?Mengapa?
.1
.2
.3

1. CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3}
dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f
invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.
PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel
dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.
2. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2.
Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun
bijektif
maka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.

Contoh
Jawab
Selidiki apakah g(x) = merupakan fungsi invers bagi f(x) = .
2x +1
x
1
x  2
(g f)(x) = g(f(x)) = g =
1
x  2 1
x  2
1
x  2
2 + 1
=
2 + x 1
x  2
1
x  2
= x = I(x)
(f g)(x) = f (g(x)) = g =
2x +1
x
1
2x +1
x
 2
1
= 2x +1  2 x
x
= x = I(x)
(g f)(x) = (f g)(x) = x = I(x), maka g(x) =
 
2x +1
x
adalah fungsi invers dari
f(x) =
1
x  2

Menentukan Rumus Fungsi
Invers
1. Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai
fungsi y.
2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan
f-1(y).
3. Gantilah y pada f-1(y) dengan x untuk mendapatkan f-1(x)
f-1(x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x).

Contoh
Tentukan fungsi invers dari f(x) = 3x + 6
1
3f 1(x) = g(x) = (x  6).
y = f(x) = 3x + 6, maka x= (y  6)
1
3
x = f 1(y) = g(y) = (y  6)1
3
y = f 1(x) = g(x) = (y  6)1
3
Catatan:
Untuk memeriksa kebanaran bahwa f  1(x) yang diperoleh adalah fungsi invers
dari f(x), maka cukup ditunjukkan bahwa (f f)(x) = (f f  1)(x) = x = I(x). 
Jawab

Grafik fungsi invers
Tidak semua fungsi memiliki invers. Ada juga
fungsi yang dapat memiliki invers jika
terpenuhi syarat tertentu.
Grafik fungsi invers dapat digambarkan
dengan cara :
a.dengan menentukan fungsi inversnya
terlebih dahulu,
b.melalui pencerminan terhadap fungsi
identitas I(x) = x, cara ini didasarkan pada sifat
fungsi identitas yang memiliki invers tetap.

Contoh
Gambarlah grafik fungsi 1)( 2
 xxf
Untuk semua nilai x, fungsi ini tidak memiliki
invers, maka diberikan syarat dengan domain
yang terbatas :
Pembahasan
 RxxxDf  ,0



1 2
2
4

1)(
:
1
1
1
2




xxf
berarti
yx
xy
Fungsi invers untuk domain ini memenuhi :

1 2
2
4





4
12
 xy
1 xy

Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi g memetakan x menjadi g(x), kemudian fungsi f mengolah g(x)
menjadi f(g(x)). Fungsi f(g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f
disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f g)(x)
dengan (f g)(x) = f(g(x)).


mesin l mesin llx g(x) f(g(x))
FUNGSI KOMPOSISI

Definisi:
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
g : A  B ditentukan dengan rumus g(x)
f : B  C ditentukan dengan rumus f(x)
maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh
rumus fungsi komposisi
(f g)(x) = f(g(x))
Catatan:
Fungsi komposisi atau fungsi majemuk (f g)(x) = f(g(x))
seringkali juga disebut sebagai “fungsi bersusun” atau
“fungsi dari fungsi”.


x
Mesin f
f(x)
Mesin g
g(f(x))
misal :
mesin fungsi f adalah f : x  2x – 4
mesin fungsi g adalah g : x  x2 + 1
Jika nilai x = 3 maka :
mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3  2(3) – 4 = 2
mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2  22 + 1 = 5
Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin
sebagai berikut :
(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka
(g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5
Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin.
Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya
tidak komutatif.
f ○ g ≠ g ○ f
lebih jelasnya…..

Definisi:
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
f : A  B ditentukan dengan rumus f(x)
g : B  C ditentukan dengan rumus g(x)
maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh
rumus fungsi komposisi
(g f)(x) = g(f(x))
Catatan:
1. Nilai fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) untuk x = a
ditentukan dengan aturan
• (f g)(a) = f(g(a))
• (g f)(a) = g(f(a))
2. Fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) disebut fungsi
komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang disusun
dari dua buah fungsi yang sama.
 


 

KOMPOSISI FUNGSI
 Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f
dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C
dengan (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
 Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi
f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.
A B C
⊂
g f
f◦g

x  A dipetakan oleh f ke y  B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y  B dipetakan oleh g ke z  C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
A
x
C
z
B
y
f g
KOMPOSISI FUNGSI

A B C
x zy
f g
g o f
maka fungsi yang memetakan
x  A ke z  C
adalah komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
KOMPOSISI FUNGSI

contoh 1
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .

Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 240 – 120
2p = 120  p = 60

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Tidak komutatif
Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif
f : A→ B dan g : B→ C, maka fog ≠ gof

CONTOH SOAL
Diketahui: ƒ(x)=2x + 1 dan g(x)=x2-3. Periksalah
apakah (g○ƒ)(x)=(ƒ○g)(x)
Jawab:
(g○ƒ)(x) =g(ƒ(x)
=g(2x+1)
=(2x+1)2-3
=4x2 +4x – 2
(ƒ○g) (x) = ƒ(g(x))
= ƒ (x2-3)
=2(x2-3) + 1
= 2x2 – 6 + 1
= 2x2 – 5Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa
(g○ƒ) ≠ (ƒ○g) (x)

Assosiatif
Komposisi Fungsi bersifat asosiatif,yaitu
jika f : A → B dan
g : B → C, dan
h :C → D,
maka h ○(g○f)=(h○g)○f

CONTOH
Fungsi ƒ,g,dan h didefinisikan sebagai berikut :
ƒ (x) =x + 2,
g (x) =3x, dan
h (x)=x.
Tentukan :h○(g○ƒ) dan (h○g)○ƒ (x)

PENYELESAIAN
(g○ƒ) (x) =g(ƒ(x))
=g(x + 2)
=3(x +2)
=3x + 6
h ○(g○ƒ) (x) =h(3x + 6)
=(3x + 6)2
=9x2 + 36x +36 ….1)

LANJUTAN …
(h ○ g) (x) = h(g(x))
= h(3x)
=(3x)2
=9x2
(h○g)○ƒ (x) =(h ○ g)(ƒ(x))
=(h ○ g)(x +2)
=9(x + 2)2
=9(x2 +4x+4)
=9x2 +36x +36 ….2)
Dari persamaan 1) dan 2) disimpulkan bahwa:
h○(g○ƒ) (x) = ((h○g)○ƒ) (x)

Sifat Identitas
Jika I (x)=x, dan f (x) adalah suatu fungsi,
maka I ○f = f○I = f
Contoh :
Diketahui :I(x) = x dan f(x) = x2 + 1. Carilah:
a. (I ○f)(x)
b.(f○I) (x)
c. Kesimpulan apakah yang dapat kamu
kemukakan?

PENYELESAIAN
a. (I○f)(x) =I(f(x)
=I(x2 + 1)
= x2 + 1
b. (f○I)(x) =f(I(x))
=f(x)
=x2 + 1
c. I○f = f○I = f untuk setiap f

x
g(x)
x g(x)
f(g(x))
g f
f(g)
Domain dari g
Domain dari f
Range dari g Range dari f
Range dari f(g)
Perhatikan diagram berikut:

Syarat fungsi f dan g dapat
dikomposisikan
untuk fog
 Rg Df ≠ { }
 D(fog) Dg
 R(fog) Rf




Next …
untuk gof
 Rf Dg ≠ { }
 D(gof) Df
 R(gof) Rg




Contoh
Misalkan fungsi f: R R dan g : R R
di tentukan dengan aturan:
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x,
Tentukan : a. (fog)(x)
b. (gof)(x)

.
a. Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,
Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat
3x – 1 2x
(fog)(x) = f(g(x))
=f( )
=f ( )2x
= .3 - 1
(fog)(x) = 6x - 1
Penyelesaian

Jawab:
Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,
Maka dengan rumus (gof)(x) = g(f(x)) didapat
a. (gof)(x) = g(f(x))
3x – 1
=g
3x – 1
)(
=g (
2x
2=
.
(gof)(x) = 6x - 2
b. 3x – 1
)
.
3x – 1
( )

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi
dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
f(x) dan g(x)
(f g)(x)
atau
(g f)(x)


f (x) dan (f g)(x)
f (x) dan (g f)(x)
g (x) dan (f g)(x)
g(x) dan (g f)(x)
g (x)
g (x)
f (x)
f (x)
DIKETAHUI DAPAT
DITENTUKAN
DIKETAHUI DAPAT
DITENTUKAN
Contoh
Fungsi komposisi (f g)(x) = 2x +3 dan fungsi f(x) = 4x – 1.
Jawab
f (g(x) = (f g)(x)
 4  g(x) – 1 = 2x + 3 sebab f(x) = 4x – 1
 4  g(x) = 2x + 4
 g(x) = 2x + 4
4
=  1
2
x + 1

Contoh
Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4x - 5
dan f(x) = 2x + 1,
Carilah fungsi g(x)

PENYELESAIAN
Fungsi komposisi (fog)(x) = dan f(x) = 2x + 1,
Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat
(fog)(x) = 4x - 5
f(g(x))
= 4x - 5
f(g(x)) = 4x - 5
2 + 1 = 4x - 5
2 g(x) + 1 = 4x – 5 -
2 = 4x - 6
g(x) = 4x - 6
g(x) = 2x - 3
2 g(x)

Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4 - 2x
dan g(x) = 6x + 1,
Carilah fungsi f(x)
Contoh soal:

PENYELESAIAN
(f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1
(f o g)(x) = 4 – 2x
↔ f(g(x)) = -2x + 4
↔ f(6x + 1) = -2x + 4
↔ f(6x + 1) = (-⅓(6x + 1) + ⅓) + 4
↔ f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓
karena f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓ maka
f(x) = - ⅓x + 4⅓
Jadi, fungsi f(x) =- ⅓x + 4⅓

CONTOH
Diketahui fungsi
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan g(x) = x - 1.
Tentukan fungsi f(x)

PENYELESAIAN
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan f(x) = x – 1
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3
↔ f(x - 1) = x2 – 6x + 3
Untuk menentukan fungsi f(x) ada
dua cara

Cara 1
Dari relasi f(x - 1) = x2 – 6x + 3
Ruas kiri dapat diubah menjadi
f(x - 1) = {(x – 1)2 – 2x - 1} – 6x + 3
↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4x + 2
↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – {4(x – 1) + 4} + 2
↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2
Karena f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2 maka
f(x) = x2 – 4x - 2
Sehingga, f(x) = x2 – 4x - 2

Cara 2
Dari relasi (x - 1) = x2 – 6x + 3
Misalkan p = x – 1 → x = p + 1
Ruas kanan kita ganti variabel x dengan x = p + 1,
diperoleh:
f(p) = (p + 1)2 – 6(p + 1) + 3
↔ f(p) = p2 + 2p + 1– 6p – 6 + 3
↔ f(p) = p2 – 4p - 2
Jadi, f(x) = x2 – 4x - 2

(f g) 1
Berdasarkan gambar maka dapat
dinyatakan sebagai komposisi dari f  1(x)
(bertindak sebagai pemetaan pertama) dan g 1(x)
(bertindak sebagai pemetaan kedua).
Dengan demikian, diperoleh hubungan:
Fungsi invers dari fungsi komposisi ditentukan oleh
(f g)1(x) = (g1 f 1(x) 
(g f)1(x) = (f1 g 1(x) 
 
  
x y z
g f
(f g)
 
  
x y z
g  1
(f g) 1

f  1
FUNGSI INVERS DARI FUNGSI
KOMPOSISI

Invers dari Fungsi Komposisi
(g○ƒ)-1 (x)= (ƒ-1○ g-1)(x)
(ƒ○ g)-1 (x)= (g-1○ ƒ-1)(x)

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa fungsi
invers dari komposisi fungsinya yaitu
Dapat pula diperoleh dengan cara menentukan
fungsi komposisi dan sehingga
berlaku hubungan :
)()( 1
xfg 

)(1
xg
)(1
xf 
Contoh
1,
1
1
)( 

 x
x
xfDiketahui dan 2)(  xxg
)()( 1
xfg 
Tentukan .
)()( 1111 
 gffgh 

Pembahasan
))(()( xfgxh 
1,
1
32
2
1
1
1
1




















x
x
x
x
x
g
2
3
3)2(
32
1
32








y
y
x
yyx
xyyx
x
x
y
)()()( 1
xfgxh 
 

2,
2
3
)(1




x
x
x
xhberarti
Jika ditentukan terlebih dahulu masing – masing
dan didapatkan :
)(1
xf 
)(1
xg
x
x
xf
y
y
x
yyx
x
y
x
xf
1
)(
1
1
1
1
1
1
)(
1 









2)(
2
2
2)(
1





xxg
yx
xy
xxg

LOGO
Don’t forget to review today’s topic at home …

Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances(20)

Similaire à Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Similaire à Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib(20)

Dernier

Dernier(20)

Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib