Ａ１５　鈴木研究室笹森翔太

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生態系シミュレーションウサギ対ヒツジ青森大学ソフトウェア情報学部笹森翔太
背景生態系の中でもひとつの食料を巡って競争する系がある。ウサギとヒツジがその代表的な例である。私自身が生態系において一番重要だと感じるところは、いかに絶滅せずに動物たちが共存しあい生き延びられるかにあると思う。ウサギとヒツジの例を挙げたが、どのような状況下でこの二種が共存しあえるかを探りたいと感じた。
ウサギ対ヒツジの競争モデル • ２種は同一の食料供給である草をめぐって争っており、得られる草の量は限られていると仮定する。さらに捕食者や夏なら暑い、冬なら寒いといった季節感な効果、別の食料源などの複雑さはすべて無視する。
ロトカ・ヴォルテラの競争方程式 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = 𝑘1𝑥1 1 − 𝑥1 𝐾1 − 𝑎1𝑥1𝑥2 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 𝑘2𝑥2 1 − 𝑥2 𝐾2 − 𝑎2𝑥1𝑥2 𝑘1: ウサギの増殖率 𝑘2:ヒツジの増殖率 𝑥1: ウサギの数 𝑥2: ヒツジの数 𝐾1: ウサギの最大数 𝐾2: ヒツジの最大数 𝑎1: ウサギの競争係数 𝑎2: ヒツジの競争係数 next 離散化した式
離散式 𝑥1 𝑛+1 = 𝑥1 𝑛 + ∆𝑡 𝑘1𝑥1 𝑛 1 − 𝑥1 𝑛 𝐾1 − 𝑎1𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 𝑥2 𝑛+1 = 𝑥2 𝑛 + ∆𝑡 𝑘2𝑥2 𝑛 1 − 𝑥2 𝑛 𝐾2 − 𝑎2𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 初期値として𝑥1 0 = 𝑥2 0 = 0.1と置き上記の計算をする。そして出力された値を新たな𝑥1 𝑛+1 = 𝑥2 𝑛+1 としnを加算してさらに繰り返す。これをデータの数n回繰り返す。(𝑥1 0 , 𝑥1 1 , 𝑥1 2 … 𝑥1 𝑛 , 𝑥1 𝑛+1 )
計算条件（競争なしの場合）変数意味数値 𝑘1 ウサギの増殖率 3.0 𝑘2 ヒツジの増殖率 2.0 𝐾1 ウサギの最大数 3.0 𝐾2 ヒツジの最大数 2.0 𝑎1 ウサギの競争係数 0.0 𝑎2 ヒツジの競争係数 0.0 ∆𝑡 時間刻み 0.1 𝑥1(𝑥10) ウサギの初期値 0.1 𝑥2(𝑥20) ヒツジの初期値 0.1 𝑁 データの個数 101
条件[競争あり]について① ウサギの競争係数を0.5 ヒツジの競争係数を1.0にした場合の計算結果
条件[競争あり]について② ウサギの競争係数を3 ヒツジの競争係数を0.2にした場合の計算結果
条件[競争あり]について③ ウサギの競争係数を0.5 ヒツジの競争係数を0.25の場合の計算結果
ロトカ・ヴォルテラの競争方程式を書き換えると 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = 𝑘1𝑥1 1 − 𝑥1 𝐾1 − 𝑎1 𝑘1 𝑥2 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 𝑘2𝑥2(1 − 𝑥2 𝐾2 − 𝑎2 𝑘2 𝑥1) したがって 1 − 𝑥1 𝐾1 − 𝑎1 𝑘1 𝑥2 > 0 → 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 > 0, 1 − 𝑥1 𝐾1 − 𝑎1 𝑘1 𝑥2 < 0 → 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0 および 1 − 𝑥2 𝐾2 − 𝑎2 𝑘2 𝑥1 > 0 → 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 > 0, 1 − 𝑥2 𝐾2 − 𝑎2 𝑘2 𝑥1 < 0 → 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 < 0 が成り立つ。したがって、ウサギが𝑥1が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = 𝑘1 𝑎1 1 − 𝑥1 𝐾1 = − 𝑘1 𝑎1𝐾1 𝑥1 + 𝑘1 𝑎1 （直線の式）であり、ヒツジ𝑥2が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = 𝐾2 1 − 𝑎2 𝑘2 𝑥1 = − 𝐾2𝑎2 𝑘2 𝑥1 + 𝐾2（直線の式）である。共存条件について
共存条件としては − 𝑘1 𝑎1𝐾1 < 𝐾2𝑎2 𝑘2 and 𝑘1 𝑎1 > 𝐾2 すなわち 𝑘1 𝑎1𝐾1 > 𝑎2𝐾2 𝑘2 and 𝑘1 𝑎1 > 𝐾2 が成り立てば共存できる。これは 𝑘1𝑘2 𝐾1𝐾2 = 𝑘1 𝐾2 𝑘2 𝐾1 > 𝑎1𝑎2 and 𝑘1 𝐾2 > 𝑎1 と整理することができる。さらに、これを簡単にすると 𝑘2 𝐾1 > 𝑎2 and 𝑘1 𝐾2 > 𝑎1 ⇒ 𝑘2 𝐾1 𝑘1 𝐾2 > 𝑎2𝑎1 すなわち 𝑘2 𝑎2 > 𝐾1 and 𝑘1 𝑎1 > 𝐾2 が成り立てば十分である。
ウサギの競争係数を0.5 ヒツジの競争係数を1.0 にした場合ヒツジ𝑥2が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = − 𝐾2𝑎2 𝑘2 𝑥1 + 𝐾2 = − 2.0 ∗ 1.0 2.0 𝑥1 + 2.0 𝑥2 = −𝑥2 + 2.0 ウサギ𝑥1が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = − 𝑘1 𝑎1𝐾1 𝑥1 + 𝑘1 𝑎1 = − 3.0 0.5 ∗ 3.0 𝑥1 + 3.0 0.5 𝑥2 = −2.0𝑥1 + 6.0 共存条件の第一式と第二式に代入すると下記の結果が得られる。 2.0 1.0 > 3.0 𝑎𝑛𝑑 3.0 0.5 > 2.0 2.0 < 3.0 , 6.0 > 2.0 →そのため共存条件の第一式が成り立たないときヒツジが絶滅する。
ウサギの競争係数を3 ヒツジの競争係数を0.2 にした場合ヒツジ𝑥2が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = − 𝐾2𝑎2 𝑘2 𝑥1 + 𝐾2 = − 2.0 ∗ 0.2 2.0 𝑥1 + 2.0 𝑥2 = −0.2𝑥2 + 2.0 ウサギ𝑥1が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = − 𝑘1 𝑎1𝐾1 𝑥1 + 𝑘1 𝑎1 = − 3.0 3.0 ∗ 3.0 𝑥1 + 3.0 3.0 𝑥2 = −0.33𝑥1 + 1 共存条件の第一式と第二式に代入すると下記の結果が得られる。 2.0 0.2 > 3.0 𝑎𝑛𝑑 3.0 3.0 > 2.0 10 > 3.0 , 1.0 < 2.0 →そのため共存条件の第二式が成り立たないときウサギが絶滅する。
ウサギの競争係数を0.25 ヒツジの競争係数を0.5 にした場合ヒツジ𝑥2が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = − 𝐾2𝑎2 𝑘2 𝑥1 + 𝐾2 = − 2.0 ∗ 0.5 2.0 𝑥1 + 2.0 𝑥2 = −0.5𝑥2 + 2.0 ウサギ𝑥1が増えるか減るかを分ける線は 𝑥2 = − 𝑘1 𝑎1𝐾1 𝑥1 + 𝑘1 𝑎1 = − 3.0 0.25 ∗ 3.0 𝑥1 + 3.0 0.25 𝑥2 = −4𝑥1 + 12 共存条件の第一式と第二式に代入すると下記の結果が得られる。 2.0 0.5 > 3.0 𝑎𝑛𝑑 3.0 0.25 > 2.0 4.0 > 3.0 , 12.0 > 2.0 →そのため第一式と第二式が成り立つとき共存する状態と言える。
まとめ • 下記の条件を満たしていたら共存することが分かった。 𝑘2 𝑎2 > 𝐾1 and 𝑘1 𝑎1 > 𝐾2 • 共存条件の第一式が成り立たないときヒツジが絶滅 • 共存条件の第二式が成り立たないときウサギが絶滅
参考文献 • [Ⅰ]遠山啓著「数学入門(下)」岩波新書 XIV 微分方程式 • [Ⅱ]ラルフ・H・エイブラハム,クリストファー・D・ショー著「図解カオス入門準備編」現代数学社 1．ダイナミクスの基本概念 • [Ⅲ]James D.Murray 著「マレー数理生物学入門」丸善出版第３章相互作用する個体群のモデル • [Ⅳ]Steven H.Strogatz 著「非線形ダイナミクスとカオス)」丸善出版 6.4節ウサギ対ヒツジ • [Ⅴ]巌佐庸著「数理生物学入門」共立出版第２章種の競争

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