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SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR                               Filière PSI

    SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR



 COMPORTEMENT DYNAMIQUE D’UN VEHICULE AUTO-BALANCÉ
                 DE TYPE SEGWAY®


                       Partie I - Analyse système




                                                            et
                                                         .n
         Poignée
      directionnelle
                              Barre




                                      rs
                             d’appui




                                   o u
                        s c
         to u
      Plate-forme              Photographies 1

Le support de l’étude est le véhicule auto-balancé Segway® . Il s’agit d’un moyen
de transport motorisé qui permet de se déplacer en ville. En termes de presta-
tions, il est moins rapide qu’une voiture ou qu’un scooter, plus maniable, plus
écologique, moins encombrant et nettement plus moderne.
La conduite du Segway® se fait par inclinaison du corps vers l’avant ou vers
l’arrière, afin d’accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pied
dans laquelle le piéton s’incline vers l’avant pour débuter le mouvement). Les
virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la
poignée directionnelle située sur la droite du guidon (voir photographies 1).
La spécificité de ce véhicule est d’avoir deux roues qui ont le même axe de rota-
tion, avec son centre de gravité situé au-dessus de l’axe commun des roues, si


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                               Filière PSI

bien qu’on se demande comment rester à l’équilibre une fois monté sur la plate-
forme. Tout comme le cerveau permet à l’individu de tenir debout sans tomber
grâce à l’oreille interne, le système comporte un dispositif d’asservissement
d’inclinaison, maintenant la plate-forme du véhicule à l’horizontale ou encore la
barre d’appui, supposée orthogonale à cette plate-forme, à la verticale.




                                                              t
Le Segway® comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs comman-




                                                             e
dant les deux moteurs électriques équipant les deux roues.




                                                          .n
L’objectif de cette étude est de vérifier le non-dérapage des roues en virage, les
performances de vitesse et d’accélération et enfin la stabilité en ligne droite.




                                           rs
Le diagramme des interacteurs du Segway® , présenté figure 1, précise les fonc-
tions assurées par le système.




                                          u
                           co
                Route                                  Conducteur
                                                FS 1




                         s
                 FS 3                                     FS 2




            u
                                       Segway




         to
                        FS 5
                                                  FS 4
                                                          Milieu
             Environnement      FS 6
                                                          Urbain

               Figure 1 : diagramme des interacteurs du système
Énoncé des Fonctions de Service :
• FS1 : permettre au conducteur de se déplacer aisément sur la route.
• FS2 : donner au conducteur une sensation de stabilité.
• FS3 : rester insensible aux perturbations provenant de la route.
• FS4 : rester manœuvrable dans la circulation.
• FS5 : être peu encombrant.
• FS6 : contribuer au respect de l’environnement.
La caractérisation de chacune des fonctions de service sera donnée au début de
chaque partie.


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                                                              Gyromètre et pendule
                              Mouvement angulaire
     Chariot




                                                                          Ecart à la




                                                                  t
                                                                          verticale
   Couple                            Batteries




                                                                 e
   moteur




                                                              .n
                               Consigne de commande




                                       rs
  Groupe




                                      u
  Propulsion
                                                 Vitesse de




                                    o
                                                 rotation




                          c
                                                               Calculateur




                        s
                            Codeur incrémental




            u
                   Figure 2 : schéma d’organisation structurelle




         to
On propose de s’appuyer sur une description structurelle du véhicule, composé
(voir figure 2) :
• d’un chariot (châssis + 2 roues uniquement), transportant le conducteur,
• de deux moto-réducteurs entraînant les roues (un par roue),
• d’un ensemble constitué d’un gyromètre et d’un pendule délivrant une
   information sur l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verticale et
   sur sa dérivée,
• d’un calculateur élaborant, à partir des informations issues des capteurs,
   les consignes de commande des groupes moto-réducteurs.
• de batteries fournissant l’énergie aux divers composants.
I.A - Questions préliminaires
L’énergie maximale stockée dans les batteries vaut E b = 2 MJ . Les moto-réduc-
teurs ont un rendement global de 0, 8 . La résistance moyenne à l’avancement
du véhicule peut être assimilée à un effort de 60 N .

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I.A.1)   Déterminer la distance maximale que peut parcourir le Segway® entre
deux recharges des batteries. Justifier la pertinence de ce moyen de transport.
Le schéma d’organisation structurelle comporte des codeurs incrémentaux,
fournissant au calculateur une image de la vitesse de rotation des moteurs.
I.A.2)   Rappeler en quelques lignes le principe de fonctionnement d’un codeur
incrémental. Citer aussi un autre moyen d’acquisition d’une vitesse de rotation.
I.A.3)   Rappeler quelle est la grandeur physique mesurée par un gyromètre
mécanique et le principe de la mesure associée.
I.B - Étude Système
Le système étudié est l’ensemble mobile (chariot, moto-réducteurs, capteurs,




                                                                    t
calculateur et batteries), sans le conducteur. Son diagramme SADT A-0 est




                                                                   e
donné figure 3.




                                                                .n
                    Énergie
                   électrique    Inclinaison    Consigne de
                   temporaire    conducteur      direction




                                                rs
                                                            Marche/arrêt




                                               u
     Conducteur à la                                                Conducteur en




                             co
     position initiale                                               mouvement
                                Transporter le conducteur




                           s
                                                        A-0




             u
                                         Segway®
                         Figure 3 : diagramme A-0 du Segway®




          to
I.B.1)    Compléter le SADT de niveau A0 proposé dans le document réponse.

         Partie II - Modèle de comportement mécanique
Objectif : Proposer des relations cinématiques entre les paramètres du mouve-
ment.
II.A - Modèle et paramétrage
• Soit R 0 ( O, x 0, y 0, z 0 ) un repère supposé galiléen lié à la route tel que z 0 soit
  dirigé suivant la verticale ascendante.
• R 1 ( A, x 1, y 1, z 0 ) un repère en rotation par rapport à R 0 autour de z 0 tel que
  x 1 soit colinéaire à l’axe commun des roues et A le point milieu de l’axe des
  roues. On pose ϕ = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) l’angle de virage.



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• R 2 ( A, x 1, y 2, z 2 ) un repère lié au châssis du chariot, en rotation autour de
  ( A, x 1 ) par rapport à R 1 tel que z 2 soit colinéaire à la barre d’appui. On pose
  ψ = ( y 1, y 2 ) = ( z 0, z 2 ) l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verti-
  cale. La régulation consiste à maintenir cet angle nul.
• R 3 ( A, x 1, y 3, z 3 ) un repère intermédiaire en rotation par rapport à R 2 , autour
  de ( A, x 1 ) . On pose α = ( y 2, y 3 ) = ( z 2, z 3 ) l’angle d’inclinaison arrière-avant
  du conducteur.
                                                                                          z2            z0 = z1
                                                                                 z3
                                z0 = z1       z3                                      α        ψ
                                                        z4




                                                                                                   t
                                   α+ψ         β
                                                                                                         Conducteur parallèle




                                                                                                  e
                                                                                                         à la barre d'appui
                                                                                                         (cas α=0)




                                                                                               .n
      z0 = z1
                                                             Conducteur




                                                                rs
                                                             incliné de α
                                                             par rapport à
                                               G
                                                             la barre d'appui         G




                                                             o u
                                          s c
                y0    y3 = y4
                     α+ψ




               u
                     y1                                      x1 = x3




            to
                                               OG
                           OD                                                                                            y3
                                                                       x1
                                          A                                                                               y2
                                                                                                                          y1
                                                   IG          ϕ                                   OG
                            ID
                                                                            x0
  O
                                                                                                   IG
  Figure 4 : paramétrage cinématique                                        Figure 5 : figure simplifiée dans le
             du système                                                                cas β = 0 soit z 3 = z 4

• R 4 ( A, x 4, y 3, z 4 ) un repère lié au conducteur, considéré comme un solide indé-
  formable, en rotation par rapport à R 3 autour de ( A, y 3 ) tel que l’axe ( A, z 4 )
  passe par le centre de gravité G du conducteur. On pose β = ( x 3, x 4 ) = ( z 3, z 4 )
  l’angle d’inclinaison droite-gauche du conducteur et AG = hz 4 avec h cons-
  tante positive.



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• R D ( O D, x 1, y D, z D ) un repère lié à la roue Droite, en rotation autour de ( A, x 1 )
  par rapport à R 2 où O D est le centre de gravité de la roue droite.
  θ D = ( y 2, y D ) = ( z 2, z D ) est l’angle de rotation de la roue droite par rapport au
  châssis. I D est le point de contact de la roue droite avec la route tel que
  I D O D = Rz 0 . On suppose que la roue droite roule sans glisser sur le sol au
  point I D .
• R G ( O G, x 1, y G, z G ) un repère lié à la roue Gauche, en rotation autour de
  ( A, x 1 ) par rapport à R 2 où O G est le centre de gravité de la roue gauche.
  θ G = ( y 2, y G ) = ( z 2, z G ) est l’angle de rotation de la roue gauche par rapport




                                                                       t
  au châssis. I G est le point de contact de la roue gauche avec la route et on




                                                                      e
  suppose que la roue gauche roule sans glisser sur le sol au point I G (les deux




                                                                   .n
  roues ont même rayon R ).
                                                                                L




                                             rs
On note L l’empattement du chariot tel que O D O G = Lx 1 et O D A = --- x 1 = AO G .
                                                                       -
                                                                                2
II.B - Étude cinématique préalable




                                            u
II.B.1) Proposer un graphe des liaisons du système restreint à l’ensemble de




                                          o
solides {Route, Roue Gauche, Roue Droite, Châssis}. Préciser pour chaque




                              c
liaison ses caractéristiques géométriques.




                            s
II.B.2) En s’appuyant sur le paramétrage et en utilisant de la couleur, propo-
ser un schéma cinématique du système {Roue Gauche, Roue Droite, Plate-forme,




             u
Conducteur}, en complétant l’épure du document réponse (ne pas schématiser le




          to
contact roue/route).
II.B.3) Exprimer, en fonction du paramétrage, les torseurs cinématiques :
• du châssis par rapport au sol : { V ( 2 ⁄ 0 ) } , en notant V ( A ∈ 2 ⁄ 0 ) = U x 1 + V y 1 ,
• de la roue droite par rapport au châssis : { V ( R D ⁄ 2 ) } ,
• de la roue gauche par rapport au châssis : { V ( R G ⁄ 2 ) }
II.B.4) Énoncer ensuite les deux relations de roulement sans glissement des
roues par rapport à la route et déterminer trois relations scalaires liant les 6
                        ˙ ˙ ˙     ˙
paramètres inconnus ψ , ϕ , θ D , θ G , U et V aux dimensions L et R .
Ces relations seront utilisées dans l’étude dynamique.
II.C - Étude de la transmission de puissance
La transmission de puissance choisie possède deux moteurs électriques (un pour
                                                                            1
chaque roue), associé chacun à un réducteur de rapport de réduction K r = ----- .
                                                                              -
                                                                                           24
II.C.1) Une voiture ne possède généralement qu’un seul moteur et qu’un seul
réducteur (la boîte de vitesses). Le différentiel permet de répartir la puissance

Concours Centrale-Supélec 2005                                                            6/16
SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR                                     Filière PSI
motrice sur les deux roues motrices. Expliquer pourquoi le constructeur du
Segway® n’a pas adopté cette solution.
Un pré-dimensionnement des réducteurs a conduit à adopter les contraintes
suivantes :
• [ OO M ] = 90 mm (voir document réponse),
• module m = 1 mm pour tous les engrenages,
• nombre de dents minimum pour chaque roue dentée : Z i mini = 15 .
Les points O et O M correspondent respectivement aux projections, dans le plan
( O D, y 2, z 2 ) , des axes de rotation d’une roue et du moteur associé.
II.C.2) Proposer, sur le document réponse, une architecture du réducteur




                                                                 t
                                                                           1
s’intégrant dans le carter et dont le rapport de réduction vaut K r = ----- en des-
                                                                            -




                                                                e
                                                                          24
sinant une épure de la solution adoptée.




                                                             .n
Représenter uniquement les diamètres primitifs des roues dentées, dans le plan
du document réponse puis récapituler sous forme de tableau, sur votre copie, les




                                        rs
nombres de dents choisis.

                  Partie III - Validation de la FS4



                                     o u
Objectif : vérifier le non dérapage des roues et le non basculement du Segway®




                           c
pour les différents rayons de virage.




                         s
Le dérapage se définit comme le glissement suivant x 1 ou y 1 des roues par
rapport à la route et le basculement du Segway® a lieu lorsque l’une des roues




            u
n’est plus en contact avec la route. Le tableau 1 est extrait du cahier des charges.




         to
Trois configurations de vitesse du Segway® sont étudiées :
• déplacement à la vitesse d’un homme marchant,
• déplacement à la vitesse d’un homme courant,
• déplacement à la vitesse maximale.
 Fonction de service           Critère                       Niveau
                         Dérapage               Aucun
 FS4 : rester manœu-
                         Basculement            Aucun
 vrable dans la circu-
 lation                                           Vitesse      Rayon minimum
                                                 5 km ⁄ h      ρ = 0, 5 m
                           Rayon de virage
                         minimum admissible      10 km ⁄ h     ρ = 2, 5 m
                                                 20 km ⁄ h     ρ = 10 m

                  Tableau 1 : extrait du CdCF relatif à FS4


Concours Centrale-Supélec 2005                                                    7/16
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III.A - Analyse du modèle de calcul des actions mécaniques
Le système étudié est celui de la question II.B.1, constitué des solides {Route,
Roue Gauche, Roue Droite, Châssis}. Seuls les paramètres V , ϕ et Ψ sont con-
sidérés, les autres paramètres étant fixes ou n’intervenant pas. Les contacts
roue/route en I G et I D sont modélisés par des liaisons sphère plan avec frotte-
ment. Cette modélisation conduit aux torseurs d’actions mécaniques exercées
par la route sur les roues suivants :
                           ⎧                         ⎫                              ⎧                          ⎫
                           ⎪ X G x1 + Y G y1 + ZG z0 ⎪                              ⎪ X D x1 + Y D y1 + Z D z0 ⎪
{ T ( Route → R ) } =      ⎨                         ⎬ { T ( Route → R D ) } =      ⎨                          ⎬
              G
                           ⎪            0            ⎪                              ⎪            0             ⎪
                        IG ⎩                         ⎭                           ID ⎩                          ⎭




                                                                                     t
III.A.1) En s’appuyant sur le graphe des liaisons de la question II.B.1,




                                                                                    e
déterminer le nombre de mobilités m du système {Route, Roue Gauche, Roue




                                                                                 .n
Droite, Châssis}. En déduire alors le degré d’hyperstatisme h du mécanisme.
Dans la suite de cette partie, l’asservissement d’inclinaison est considéré comme




                                                     rs
parfaitement réalisé, c’est à dire que Ψ = 0 . De plus, le conducteur est supposé
uniquement incliné d’un angle β constant vers l’intérieur du virage. On impose




                                                    u
de plus α ≡ 0 , ce qui impose aussi V constant où V est négatif en marche avant.




                                                  o
Enfin, le virage est pris à vitesse de rotation ϕ constante et ϕ > 0 .
                                               ˙                ˙




                                    c
III.B - Détermination de l’inclinaison du conducteur en virage




                                  s
La position naturelle d’un individu en virage (cas de la bicyclette, des rollers, ...)




              u
est de s’incliner vers l’intérieur du virage. L’application du Principe Fondamen-
tal de la Dynamique au conducteur montre alors que cette condition est équiva-




           to
lente à g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) colinéaire à z 4 .
Après calcul de Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) , la figure du document réponse donne les trois pro-
jections de g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) dans la base ( x 4, y 4, z 4 ) en fonction de l’inclinaison β
du conducteur, avec les paramètres :
                                                 –2
 ϕ = 0, 8 rad ⁄ s , h = 0, 95 m , g = 9, 81 m ⋅ s et V = – 10 km ⁄ h ( soit ρ = 3, 5 m )
 ˙
III.B.1) Par un tracé sur le document réponse, justifié sur la copie, donner alors
la valeur de β qui permet de vérifier la condition exposée ci-dessus.
III.C - Étude dynamique simplifiée du Segway® en virage
Dans ce paragraphe, un modèle simplifié où le conducteur est assimilé à une
masse concentrée m H en G et le chariot assimilé à une masse concentrée m S
en A est adopté. De plus, l’inertie des roues et l'inertie en rotation du Segway®
sont négligées devant les termes liés à la masse du conducteur et du chariot. Les
hypothèses V = constante, β = constante, ϕ = constante et Ψ ≡ 0 avec β tel que
                                            ˙


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 g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) soit colinéaire à z 4 (comme défini en III.B) sont conservées. On
isole alors le système complet {Conducteur, Châssis, Roue Droite, Roue Gauche}.
III.C.1) Faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures qui s’exercent sur
ce système.
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à ce système dans son
mouvement par rapport au sol permet d’obtenir, après réduction au point A , les
équations suivantes projetées sur la base : ( x 1, y 1, z 0 ) :
Théorème de la résultante dynamique selon x 1 :
        – m H ϕ ( V + hϕ sin β ) – m S V ϕ = X G + X D
              ˙        ˙                 ˙




                                                                             t
Théorème de la résultante dynamique selon z 0 :
       0 = ZG + Z D – ( m H + mS ) g




                                                                            e
Théorème du moment dynamique en A en projection selon y 1 :




                                                                         .n
       L                 L
       --- Z G + R X G – --- Z D + R X D = 0
         -                 -




                                                  rs
        2                 2
III.C.2) Expliquer pourquoi le système d’équations obtenu ne permet pas de




                                                 u
déterminer toutes les inconnues d’effort et recenser celles qui ne peuvent pas
être calculées sans hypothèse complémentaire. Expliquer l’origine de cette




                                               o
impossibilité.




                                 c
Le modèle de frottement de Coulomb de coefficient f est choisi pour le contact




                               s
roue/sol et, en raison du déchargement de la roue gauche, l’hypothèse X G = 0




              u
est adoptée.




           to
III.C.3) Énoncer les lois de Coulomb en utilisant les notations du III.A pour
une roue, dans les cas d'adhérence et de glissement.
La stabilité du Segway® impose de garantir un effort tangentiel minimal trans-
missible suivant y 1 . Par conséquent, on suppose Y G = Y D = Y min donné.

Le cahier des charges précise les valeurs minimales des rayons de courbure du
virage ρ , définis par V = ρϕ , pour différentes valeurs de vitesse. Compte tenu
                            ˙
des valeurs des paramètres de géométrie et de masse du Segway®, on trace sur
la figure du document réponse, avec Y min = 100 N et f = 0, 6 , deux graphiques :
       2         2
        Y min + X D
•   --------------------------------- en fonction de ρ , rayon de courbure du virage en mètre,
                                    -
                 ZD
    Y min
•   ----------- en fonction de ρ , rayon de courbure du virage en mètre.
              -
      ZG




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III.C.4) En expliquant votre démarche et en complétant le document réponse,
vérifier les performances attendues vis-à-vis des rayons de virage minimums
tout en garantissant les critères de non basculement et de non dérapage.
                     Partie IV - Validation de la FS1
Objectif : Déterminer la relation entre l’inclinaison du conducteur et l’accéléra-
tion du Segway® en ligne droite ainsi que les équations mécaniques nécessaires
au modèle d’asservissement d’inclinaison.
Pour une utilisation confortable et sûre, le Segway® doit satisfaire les perfor-
mances de vitesse et d’accélération énoncées dans le tableau 2 extrait du cahier
des charges.




                                                                         t
  Fonction de service                 Critère                              Niveau




                                                                        e
                          Vitesse                                 0 – 20 km ⁄ h




                                                                     .n
  FS1 : permettre                                                              –2
  au conducteur de se     Accélération et décélération            1, 5 m ⋅ s        minimum




                                             rs
  déplacer aisément       en fonctionnement normal
  dans un milieu urbain
                          Distance d’arrêt maximale               3 m à 20 km ⁄ h




                                            u
                          Manipulation intuitive              Commande naturelle




                            co
                                                              pour les réflexes humains




                          s
                 Tableau 2 : extrait du CdCF relatif à FS1
Hypothèses :




            u
• le Segway® se déplace en ligne droite : ϕ ≡ 0 et β = 0 . On note donc pour




         to
  simplifier θ D = θ G = θ ,
• l’angle α d’inclinaison du conducteur est constant : α = constante. Dans ce
                                       ˙ ˙
  cas, V ( A ∈ 2 ⁄ 0 ) = V y 1 = – R ( ψ + θ ) y 1 .

IV.A - Détermination des équations mécaniques régissant le système
On pose pour la suite les notations suivantes :
                                    Conducteur : H

 Centre de gravité
 G avec AG = hz 4                   ⎛              ⎞                    A H = 18 kg ⋅ m
                                                                                              2
                                    ⎜ AH 0 0       ⎟
                          IG( H ) = ⎜ 0 BH 0       ⎟                   B H = 20 kg ⋅ m
                                                                                              2
 h = 0, 95 m                        ⎜              ⎟
                                    ⎜ 0 0 C        ⎟                                          2
                                    ⎝       H      ⎠ x4, y4, z4        C H = 1, 2 kg ⋅ m
 m H = 80 kg



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                                          Châssis : S

 Centre de gravité A                       ⎛         ⎞                     A S = 0, 8 kg ⋅ m
                                                                                               2

 m s = 25 kg                               ⎜ AS 0 0 ⎟
                               I A ( S ) = ⎜ 0 BS 0 ⎟                    B S = 1, 2 kg ⋅ m
                                                                                               2
                                           ⎜         ⎟
                                           ⎜ 0 0 C ⎟                                           2
                                           ⎝       S ⎠
                                                       x 1, y 2, z 2       C S = 1, 3 kg ⋅ m


                                     Roue gauche : R G

 Centre de gravité O G ,                                                                             2
                                            ⎛          ⎞                       A R = 0, 28 kg ⋅ m




                                                                             t
             L
 avec AO G = --- x 1
               -                            ⎜ AR 0 0 ⎟
                               I O ( RG ) = ⎜ 0 B R 0 ⎟
                 2                                                                                   2
                                                                               B R = 0, 05 kg ⋅ m




                                                                            e
 Rayon R = 240 mm                 G         ⎜          ⎟
                                            ⎜ 0 0 C ⎟




                                                                         .n
                                                                                                     2
 L = 650 mm                                 ⎝        R ⎠
                                                         x 1, y G, z G         C R = 0, 05 kg ⋅ m




                                               rs
 m R = 5 kg

                                      Roue droite : R D




                                            o u
 Centre de gravité O D ,
              L                           ⎛         ⎞                          A R = 0, 28 kg ⋅ m
                                                                                                     2




                               c
 avec O D A = --- x 1
                -
               2                          ⎜ AR 0 0 ⎟
                               IO ( RD) = ⎜ 0 BR 0 ⎟




                             s
                                                                                                     2
 Rayon R = 240 mm                D        ⎜         ⎟                          B R = 0, 05 kg ⋅ m
                                          ⎜ 0 0 C ⎟




             u
 L = 650 mm                                                                                          2
                                          ⎝       R ⎠
                                                      x 1, y D, z D            C R = 0, 05 kg ⋅ m




          to
 m R = 5 kg

La masse et l’inertie de la motorisation et de son réducteur associé sont suppo-
sées négligeables. Le moto-réducteur fait partie du châssis.

• l’action mécanique exercée par la route sur les roues est modélisée par
                           ⎧                ⎫                                  ⎧                 ⎫
                           ⎪ Y G y1 + ZG z0 ⎪                                  ⎪ Y D y1 + Z D z0 ⎪
{ T ( Route → R G ) } =    ⎨                ⎬ et { T ( Route → R D ) } =       ⎨                 ⎬
                           ⎪        0       ⎪                                  ⎪        0        ⎪
                        IG ⎩                ⎭                               ID ⎩                 ⎭
• l’action mécanique exercée par l'arbre de sortie du moto-réducteur sur la
  roue, identique pour chaque roue est modélisée par :
                                                                                ⎧       ⎫
                                                                                ⎪ 0 ⎪
         { T ( Moto-réducteur → R D ) } = { T ( Moto-réducteur → R G ) } =      ⎨       ⎬
                                                                                ⎪ CS x1 ⎪
                                                                               A⎩       ⎭


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Dans cette partie, le problème est supposé plan dans ( A, y 1, z 0 ) .
IV.A.1) Justifier l'hypothèse de problème plan du point de vue des efforts.
IV.A.2) Déterminer pour chaque solide (Conducteur, Châssis, Roue Gauche et
Roue Droite) dans leur mouvement par rapport au repère galiléen R 0 :
• la projection sur y 1 de la résultante du torseur dynamique notée, pour un
   solide S i , R D ( S i ⁄ 0 ) ⋅ y 1 ,
• la projection sur x 1 du moment dynamique en A notée, pour un solide S i ,
  δ A ( Si ⁄ 0 ) ⋅ x1 .
On recherche les équations liant les couples moteurs aux mouvements du sys-




                                                                               t
tème, c’est-à-dire V , Ψ et leurs dérivées.




                                                                              e
IV.A.3) En exposant la séquence d’isolement et en appliquant le Principe Fon-
damental de la Dynamique, montrer que l’on peut obtenir le système de deux




                                                                           .n
équations suivant :




                                                       rs
                2              ˙˙       ˙
       ⎧ ( m H h + A H + A S )Ψ – m H hV cos ( α + Ψ ) = m H hg sin ( α + Ψ ) – 2C s
       ⎪
       ⎨                                                                             AR          CS
                                                              ˙2




                                                      u
       ⎪ ( m S + m H + 2m R )V – m H hΨ cos ( α + Ψ ) + m H hΨ sin ( α + Ψ ) = – 2 ------- ˙ – 2 ------
                              ˙        ˙˙                                                -V           -
       ⎩                                                                             R
                                                                                         2         R




                                                    o
Préciser clairement pour chaque isolement le système considéré et l’équation




                                       c
scalaire choisie. La relation cinématique suivante, issue de la question II.B.4




                                     s
                                 ˙ ˙
pourra être utilisée : V = – R ( θ + Ψ ) .




             u
IV.A.4) Énoncer les hypothèses qui permettent d’envisager de linéariser le




          to
système précédent. Sous ces hypothèses, montrer alors que le système linéarisé
peut se mettre sous la forme :
        ˙˙          ˙
       AΨ ( t ) – BV ( t ) = – 2 C S ( t ) + C ( α ( t ) + Ψ ( t ) )
                             2C S ( t )
        ˙˙          ˙
       BΨ ( t ) – DV ( t ) = -----------------
                                             -
                                    R
où vous préciserez les expressions des constantes A , B , C et D . Réaliser les
applications numériques.
IV.B - Relation entre l’inclinaison du conducteur et l’accélération du
Segway®
On souhaite trouver la relation entre l’inclinaison α ( t ) du conducteur et l’accé-
lération du Segway®. L’asservissement est ici considéré comme parfaitement
réalisé, c’est à dire Ψ ≡ 0 .
                                                          ˙
IV.B.1) Montrer que cette relation s’écrit sous la forme V ( t ) = Kα ( t ) où vous
préciserez la valeur numérique de K .


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IV.B.2) Vérifier les performances attendues du cahier des charges en vous
appuyant sur les configurations proposées figure 6. On utilisera ici
              –2
 K = – 7 m ⋅ s ⁄ rad et on se souviendra que V est négatif en marche avant.




                                                                   et
                                        rs                      .n
                 Figure 6 : configurations angulaires proposées




                                       u
          Partie V - Validation de la FS2 et de la FS3



                                     o
Objectif : vérifier les performances de l’asservissement d’inclinaison par rapport




                             c
à la verticale




                           s
Pour une utilisation confortable et sûre, le Segway® doit satisfaire les perfor-




            u
mances énoncées dans le tableau 3 extrait du cahier des charges.




         to
 Fonction de service                    Critère                       Niveau
                           Temps de réponse de 0 à 5 km ⁄ h     1 s maximum
 FS2 : donner              Dépassement d’inclinaison             < 30%
 au conducteur une sen-
 sation de stabilité       Inclinaison du châssis par rapport   Nulle à convergence
                           à la verticale                       lim Ψ ( t ) = 0
                                                                t→∞

 FS3 : rester insensible   Hauteur de la marche de trottoir     5 cm maximum
 aux perturbations pro-    franchissable à 5 km ⁄ h
 venant de la route        Perturbations dues à la route,       Plage de fréquen-
                           nature du sol (pavés, franchisse-    ces de 0 à 300 Hz
                           ment d’un trottoir, ...)
              Tableau 3 : extrait du CdCF relatif à FS2 et FS3




Concours Centrale-Supélec 2005                                                 13/16
SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR                                                           Filière PSI
La régulation d’inclinaison du Segway® est réalisée par :
• un moto-réducteur qui permet de délivrer un couple C m ( t ) = K m u ( t ) où u ( t )
                                                             –1
   est une grandeur de commande et K m = 24 N ⋅ m ⋅ V
• le système mécanique dont les équations ont été déterminées question IV.A.4
   et qui peuvent, dans le cas où l’angle α ( t ) n’est pas supposé constant, se met-
   tre sous la forme :
                                                                   ⎧A =    90 kg ⋅ m
                                                                                       2
                                                                   ⎪
         ⎧            1⎛                C m ( t )⎞                 ⎪B =    75 kg ⋅ m
         ⎪ V ( t ) = ---- Bχ ( t ) + 2 ---------------
            ˙               ˙˙                       -⎠            ⎪
         ⎪           D⎝                      R                     ⎪       750 kg ⋅ m s
                                                                                           2 –2
         ⎨                                                      ou ⎨ C =




                                                                               t
         ⎪ ( DA – B 2 )χ ( t ) = 2 ⎛ B + D⎞ C ( t ) + DCχ ( t )
                         ˙˙                                        ⎪D =    125 kg
         ⎪                           ⎝ ---
                                       R
                                         -           ⎠ m           ⎪
         ⎩                                                         ⎪R =




                                                                              e
                                                                           240 mm
                                                                   ⎪
                                                                   ⎩χ(t)   = α(t) + Ψ(t)




                                                                           .n
Par commodité de signe, la notation C m ( t ) = – C S ( t ) est utilisée dans les équa-




                                                        rs
tions ci-dessus. Les conditions initiales sont toutes nulles.
V.A - Stabilisation du système




                                                       u
                                     α( p)




                                    c                o
                                                                           -
                  U ( p)                Cm ( p )              χ( p)                Ψ( p)




                                  s
                              Km                     H1( p)




               u
                                                                      +




            to
                                       Figure 7 : schéma bloc 1

V.A.1) Montrer que le schéma bloc du système peut se mettre sous la forme
présentée figure 7 en déterminant l’expression littérale de H 1 ( p ) .
Analyser la stabilité du système d’entrée u ( t ) et de sortie Ψ ( t ) en étudiant la
                                  Ψ( p)
fonction de transfert F 1 ( p ) = ------------- . Pouvait-on s'attendre à ce résultat ?
                                              -
                                            U ( p)
                                K1
On note alors H 1 ( p ) = ----------------- .
                                          -
                            p2
                          ----- – 1
                              2
                               -
                          ω1

Les valeurs numériques utilisées par la suite seront : ω 1 = 4, 1rad ⁄ s                                  et
                           –1
K s = K m K 1 = 0, 24 rad V .

Afin de stabiliser le système, la grandeur de commande U ( p ) est élaborée à par-
                     ˙
tir des mesures de Ψ (réalisée par le gyromètre), et de Ψ (réalisée par combi-


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naison de la mesure du gyromètre et du pendule). Le schéma bloc obtenu est
celui du document réponse.
V.A.2) Dans le cas où α ≡ 0 , déterminer, en fonction de K s , k p , k v et ω 1 la
fonction de transfert
                    Ψ( p)
       F 2 ( p ) = -------------- .
                                -
                   W ( p)
Déterminer les conditions sur k v et sur k p pour que le système soit stable.
F 2 ( p ) est une fonction de transfert du second ordre pouvant se mettre sous la
forme :
                    Ψ( p)                        K2




                                                                                 t
       F 2 ( p ) = -------------- = ---------------------------------
                                -                                   -
                   W ( p)                     2ξ                p
                                                                    2




                                                                                e
                                    1 + ----- p + -----
                                                  -                 -
                                              ω0               ω0
                                                                    2




                                                                             .n
V.A.3) Déterminer, en fonction de K s , k p , k v et ω 1 les expressions de K 2 , ξ ,




                                                                           rs
ω0 .
On choisit une pulsation propre ω 0 proche de celle du système mécanique, c’est




                                                                          u
à dire ω 0 = 1, 5ω 1 = 6, 15 rad ⁄ s .




                                                                        o
V.A.4) Déterminer les valeurs de k v et de k p telles que le temps de réponse à




                                                c
5% soit minimal.




                                              s
V.B - Asservissement d’inclinaison du chariot




               u
La consigne de la régulation de l’inclinaison Ψ ( t ) du châssis par rapport à la ver-




            to
ticale est notée Ψ C ( t ) . On introduit un correcteur de fonction de transfert C ( p )
qui élabore le signal w ( t ) (de transformée de Laplace W ( p ) ) à partir de l’écart
ε ( t ) = ΨC ( t ) – Ψ ( t ) .
V.B.1)      Compléter le schéma bloc de l’asservissement fourni sur le document
réponse en faisant apparaître la régulation de l’inclinaison.
La régulation d’inclinaison du Segway® consiste à maintenir la consigne Ψ C ( t )
nulle. Cette régulation est réalisée si, quelle que soit l’inclinaison α ( t )
du conducteur, la sortie Ψ ( t ) converge vers Ψ C ( t ) , valeur nulle ici.
Le conducteur agit directement sur la valeur de α ( t ) pour accélérer ou décélérer.
Pour le système Segway®, conducteur exclu, le parmètre α ( t ) peut être consi-
déré comme une perturbation.
Un correcteur proportionnel C ( p ) = K C est envisagé.
V.B.2)    Calculer l’inclinaison Ψ ( t ) du châssis en régime permanent, lorsque la
perturbation α ( t ) est un échelon d’amplitude α 0 . Le cahier des charges est-il
satisfait ?

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Un correcteur proportionnel intégral C ( p ) = K i ⎛ 1 + --------- ⎞ est envisagé.
                                                   ⎝
                                                             1
                                                                 -
                                                         T i p⎠
V.B.3)    Démontrer que ce correcteur permet de satisfaire le cahier des charges
vis-à-vis de l’écart en régime permanent pour une perturbation en échelon.
On souhaite dimensionner le correcteur. Pour cela, on étudie le schéma bloc
construit en V.B.1. et on considère alors α ( t ) ≡ 0 . La Fonction de Transfert en
Boucle Ouverte est pour cet asservissement : FTBO ( p ) = C ( p )F 2 ( p ) .
V.B.4)    Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques et réels (allure unique-
ment) de la fonction de transfert F 2 ( p ) et tracer les diagrammes de Bode asymp-
totiques de la fonction de transfert du correcteur C ( p ) , en utilisant les
paramètres K i et T i . Préciser les valeurs caractéristiques sur les diagrammes.




                                                                             t
                  1     ωC
On impose ω i = ----- = ------- où ω C est la pulsation de coupure à 0dB de la FTBO
                    -




                                                                            e
                    Ti    10




                                                                         .n
corrigée par le correcteur proportionnel intégral.
V.B.5)    Déterminer ω C telle que la marge de la FTBO ( p ) soit M ϕ = 45° . En




                                            rs
déduire la valeur de T i .
V.B.6)    Déterminer alors K i tel que ω C soit effectivement la pulsation de cou-




                                           u
pure à 0dB de la FTBO corrigée.




                                         o
V.C - Vérification graphique des performances attendues




                              c
Le modèle de comportement précé-




                            s
                                                             DID'ACSYDE REPONSE TEMPORELLE


dent est utilisé en simulation pour 25 χ(t) en degrés




             u
vérifier le pré-dimensionnement.
Les performances de la correction 20




          to
sont étudiées grâce aux évolutions
de χ ( t ) = α ( t ) + Ψ ( t ) , qui représente 15
l’angle d’inclinaison du conducteur
par rapport à la verticale. La consi- 10
gne α ( t ) , imposée par le conducteur,
est un échelon d’amplitude 20°. 5
Après réglages définitifs l’évolution
temporelle est obtenue figure 8.                  0

V.C.1)        Conclure quant au respect
des critères de dépassement et de -50.0               0.2    0.4   0.6   0.8   1.0        1.2
                                                                                 Temps (s)
précision associés à la fonction de
                                                   Figure 8 : réponse temporelle   χ(t)
service FS2.

                                       ••• FIN •••



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Sujet1 si-1-centrale-psi-2005

  • 1. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR COMPORTEMENT DYNAMIQUE D’UN VEHICULE AUTO-BALANCÉ DE TYPE SEGWAY® Partie I - Analyse système et .n Poignée directionnelle Barre rs d’appui o u s c to u Plate-forme Photographies 1 Le support de l’étude est le véhicule auto-balancé Segway® . Il s’agit d’un moyen de transport motorisé qui permet de se déplacer en ville. En termes de presta- tions, il est moins rapide qu’une voiture ou qu’un scooter, plus maniable, plus écologique, moins encombrant et nettement plus moderne. La conduite du Segway® se fait par inclinaison du corps vers l’avant ou vers l’arrière, afin d’accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pied dans laquelle le piéton s’incline vers l’avant pour débuter le mouvement). Les virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la poignée directionnelle située sur la droite du guidon (voir photographies 1). La spécificité de ce véhicule est d’avoir deux roues qui ont le même axe de rota- tion, avec son centre de gravité situé au-dessus de l’axe commun des roues, si Concours Centrale-Supélec 2005 1/16
  • 2. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Filière PSI bien qu’on se demande comment rester à l’équilibre une fois monté sur la plate- forme. Tout comme le cerveau permet à l’individu de tenir debout sans tomber grâce à l’oreille interne, le système comporte un dispositif d’asservissement d’inclinaison, maintenant la plate-forme du véhicule à l’horizontale ou encore la barre d’appui, supposée orthogonale à cette plate-forme, à la verticale. t Le Segway® comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs comman- e dant les deux moteurs électriques équipant les deux roues. .n L’objectif de cette étude est de vérifier le non-dérapage des roues en virage, les performances de vitesse et d’accélération et enfin la stabilité en ligne droite. rs Le diagramme des interacteurs du Segway® , présenté figure 1, précise les fonc- tions assurées par le système. u co Route Conducteur FS 1 s FS 3 FS 2 u Segway to FS 5 FS 4 Milieu Environnement FS 6 Urbain Figure 1 : diagramme des interacteurs du système Énoncé des Fonctions de Service : • FS1 : permettre au conducteur de se déplacer aisément sur la route. • FS2 : donner au conducteur une sensation de stabilité. • FS3 : rester insensible aux perturbations provenant de la route. • FS4 : rester manœuvrable dans la circulation. • FS5 : être peu encombrant. • FS6 : contribuer au respect de l’environnement. La caractérisation de chacune des fonctions de service sera donnée au début de chaque partie. Concours Centrale-Supélec 2005 2/16
  • 3. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Gyromètre et pendule Mouvement angulaire Chariot Ecart à la t verticale Couple Batteries e moteur .n Consigne de commande rs Groupe u Propulsion Vitesse de o rotation c Calculateur s Codeur incrémental u Figure 2 : schéma d’organisation structurelle to On propose de s’appuyer sur une description structurelle du véhicule, composé (voir figure 2) : • d’un chariot (châssis + 2 roues uniquement), transportant le conducteur, • de deux moto-réducteurs entraînant les roues (un par roue), • d’un ensemble constitué d’un gyromètre et d’un pendule délivrant une information sur l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verticale et sur sa dérivée, • d’un calculateur élaborant, à partir des informations issues des capteurs, les consignes de commande des groupes moto-réducteurs. • de batteries fournissant l’énergie aux divers composants. I.A - Questions préliminaires L’énergie maximale stockée dans les batteries vaut E b = 2 MJ . Les moto-réduc- teurs ont un rendement global de 0, 8 . La résistance moyenne à l’avancement du véhicule peut être assimilée à un effort de 60 N . Concours Centrale-Supélec 2005 3/16
  • 4. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI I.A.1) Déterminer la distance maximale que peut parcourir le Segway® entre deux recharges des batteries. Justifier la pertinence de ce moyen de transport. Le schéma d’organisation structurelle comporte des codeurs incrémentaux, fournissant au calculateur une image de la vitesse de rotation des moteurs. I.A.2) Rappeler en quelques lignes le principe de fonctionnement d’un codeur incrémental. Citer aussi un autre moyen d’acquisition d’une vitesse de rotation. I.A.3) Rappeler quelle est la grandeur physique mesurée par un gyromètre mécanique et le principe de la mesure associée. I.B - Étude Système Le système étudié est l’ensemble mobile (chariot, moto-réducteurs, capteurs, t calculateur et batteries), sans le conducteur. Son diagramme SADT A-0 est e donné figure 3. .n Énergie électrique Inclinaison Consigne de temporaire conducteur direction rs Marche/arrêt u Conducteur à la Conducteur en co position initiale mouvement Transporter le conducteur s A-0 u Segway® Figure 3 : diagramme A-0 du Segway® to I.B.1) Compléter le SADT de niveau A0 proposé dans le document réponse. Partie II - Modèle de comportement mécanique Objectif : Proposer des relations cinématiques entre les paramètres du mouve- ment. II.A - Modèle et paramétrage • Soit R 0 ( O, x 0, y 0, z 0 ) un repère supposé galiléen lié à la route tel que z 0 soit dirigé suivant la verticale ascendante. • R 1 ( A, x 1, y 1, z 0 ) un repère en rotation par rapport à R 0 autour de z 0 tel que x 1 soit colinéaire à l’axe commun des roues et A le point milieu de l’axe des roues. On pose ϕ = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) l’angle de virage. Concours Centrale-Supélec 2005 4/16
  • 5. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI • R 2 ( A, x 1, y 2, z 2 ) un repère lié au châssis du chariot, en rotation autour de ( A, x 1 ) par rapport à R 1 tel que z 2 soit colinéaire à la barre d’appui. On pose ψ = ( y 1, y 2 ) = ( z 0, z 2 ) l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verti- cale. La régulation consiste à maintenir cet angle nul. • R 3 ( A, x 1, y 3, z 3 ) un repère intermédiaire en rotation par rapport à R 2 , autour de ( A, x 1 ) . On pose α = ( y 2, y 3 ) = ( z 2, z 3 ) l’angle d’inclinaison arrière-avant du conducteur. z2 z0 = z1 z3 z0 = z1 z3 α ψ z4 t α+ψ β Conducteur parallèle e à la barre d'appui (cas α=0) .n z0 = z1 Conducteur rs incliné de α par rapport à G la barre d'appui G o u s c y0 y3 = y4 α+ψ u y1 x1 = x3 to OG OD y3 x1 A y2 y1 IG ϕ OG ID x0 O IG Figure 4 : paramétrage cinématique Figure 5 : figure simplifiée dans le du système cas β = 0 soit z 3 = z 4 • R 4 ( A, x 4, y 3, z 4 ) un repère lié au conducteur, considéré comme un solide indé- formable, en rotation par rapport à R 3 autour de ( A, y 3 ) tel que l’axe ( A, z 4 ) passe par le centre de gravité G du conducteur. On pose β = ( x 3, x 4 ) = ( z 3, z 4 ) l’angle d’inclinaison droite-gauche du conducteur et AG = hz 4 avec h cons- tante positive. Concours Centrale-Supélec 2005 5/16
  • 6. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI • R D ( O D, x 1, y D, z D ) un repère lié à la roue Droite, en rotation autour de ( A, x 1 ) par rapport à R 2 où O D est le centre de gravité de la roue droite. θ D = ( y 2, y D ) = ( z 2, z D ) est l’angle de rotation de la roue droite par rapport au châssis. I D est le point de contact de la roue droite avec la route tel que I D O D = Rz 0 . On suppose que la roue droite roule sans glisser sur le sol au point I D . • R G ( O G, x 1, y G, z G ) un repère lié à la roue Gauche, en rotation autour de ( A, x 1 ) par rapport à R 2 où O G est le centre de gravité de la roue gauche. θ G = ( y 2, y G ) = ( z 2, z G ) est l’angle de rotation de la roue gauche par rapport t au châssis. I G est le point de contact de la roue gauche avec la route et on e suppose que la roue gauche roule sans glisser sur le sol au point I G (les deux .n roues ont même rayon R ). L rs On note L l’empattement du chariot tel que O D O G = Lx 1 et O D A = --- x 1 = AO G . - 2 II.B - Étude cinématique préalable u II.B.1) Proposer un graphe des liaisons du système restreint à l’ensemble de o solides {Route, Roue Gauche, Roue Droite, Châssis}. Préciser pour chaque c liaison ses caractéristiques géométriques. s II.B.2) En s’appuyant sur le paramétrage et en utilisant de la couleur, propo- ser un schéma cinématique du système {Roue Gauche, Roue Droite, Plate-forme, u Conducteur}, en complétant l’épure du document réponse (ne pas schématiser le to contact roue/route). II.B.3) Exprimer, en fonction du paramétrage, les torseurs cinématiques : • du châssis par rapport au sol : { V ( 2 ⁄ 0 ) } , en notant V ( A ∈ 2 ⁄ 0 ) = U x 1 + V y 1 , • de la roue droite par rapport au châssis : { V ( R D ⁄ 2 ) } , • de la roue gauche par rapport au châssis : { V ( R G ⁄ 2 ) } II.B.4) Énoncer ensuite les deux relations de roulement sans glissement des roues par rapport à la route et déterminer trois relations scalaires liant les 6 ˙ ˙ ˙ ˙ paramètres inconnus ψ , ϕ , θ D , θ G , U et V aux dimensions L et R . Ces relations seront utilisées dans l’étude dynamique. II.C - Étude de la transmission de puissance La transmission de puissance choisie possède deux moteurs électriques (un pour 1 chaque roue), associé chacun à un réducteur de rapport de réduction K r = ----- . - 24 II.C.1) Une voiture ne possède généralement qu’un seul moteur et qu’un seul réducteur (la boîte de vitesses). Le différentiel permet de répartir la puissance Concours Centrale-Supélec 2005 6/16
  • 7. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI motrice sur les deux roues motrices. Expliquer pourquoi le constructeur du Segway® n’a pas adopté cette solution. Un pré-dimensionnement des réducteurs a conduit à adopter les contraintes suivantes : • [ OO M ] = 90 mm (voir document réponse), • module m = 1 mm pour tous les engrenages, • nombre de dents minimum pour chaque roue dentée : Z i mini = 15 . Les points O et O M correspondent respectivement aux projections, dans le plan ( O D, y 2, z 2 ) , des axes de rotation d’une roue et du moteur associé. II.C.2) Proposer, sur le document réponse, une architecture du réducteur t 1 s’intégrant dans le carter et dont le rapport de réduction vaut K r = ----- en des- - e 24 sinant une épure de la solution adoptée. .n Représenter uniquement les diamètres primitifs des roues dentées, dans le plan du document réponse puis récapituler sous forme de tableau, sur votre copie, les rs nombres de dents choisis. Partie III - Validation de la FS4 o u Objectif : vérifier le non dérapage des roues et le non basculement du Segway® c pour les différents rayons de virage. s Le dérapage se définit comme le glissement suivant x 1 ou y 1 des roues par rapport à la route et le basculement du Segway® a lieu lorsque l’une des roues u n’est plus en contact avec la route. Le tableau 1 est extrait du cahier des charges. to Trois configurations de vitesse du Segway® sont étudiées : • déplacement à la vitesse d’un homme marchant, • déplacement à la vitesse d’un homme courant, • déplacement à la vitesse maximale. Fonction de service Critère Niveau Dérapage Aucun FS4 : rester manœu- Basculement Aucun vrable dans la circu- lation Vitesse Rayon minimum 5 km ⁄ h ρ = 0, 5 m Rayon de virage minimum admissible 10 km ⁄ h ρ = 2, 5 m 20 km ⁄ h ρ = 10 m Tableau 1 : extrait du CdCF relatif à FS4 Concours Centrale-Supélec 2005 7/16
  • 8. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI III.A - Analyse du modèle de calcul des actions mécaniques Le système étudié est celui de la question II.B.1, constitué des solides {Route, Roue Gauche, Roue Droite, Châssis}. Seuls les paramètres V , ϕ et Ψ sont con- sidérés, les autres paramètres étant fixes ou n’intervenant pas. Les contacts roue/route en I G et I D sont modélisés par des liaisons sphère plan avec frotte- ment. Cette modélisation conduit aux torseurs d’actions mécaniques exercées par la route sur les roues suivants : ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ X G x1 + Y G y1 + ZG z0 ⎪ ⎪ X D x1 + Y D y1 + Z D z0 ⎪ { T ( Route → R ) } = ⎨ ⎬ { T ( Route → R D ) } = ⎨ ⎬ G ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ IG ⎩ ⎭ ID ⎩ ⎭ t III.A.1) En s’appuyant sur le graphe des liaisons de la question II.B.1, e déterminer le nombre de mobilités m du système {Route, Roue Gauche, Roue .n Droite, Châssis}. En déduire alors le degré d’hyperstatisme h du mécanisme. Dans la suite de cette partie, l’asservissement d’inclinaison est considéré comme rs parfaitement réalisé, c’est à dire que Ψ = 0 . De plus, le conducteur est supposé uniquement incliné d’un angle β constant vers l’intérieur du virage. On impose u de plus α ≡ 0 , ce qui impose aussi V constant où V est négatif en marche avant. o Enfin, le virage est pris à vitesse de rotation ϕ constante et ϕ > 0 . ˙ ˙ c III.B - Détermination de l’inclinaison du conducteur en virage s La position naturelle d’un individu en virage (cas de la bicyclette, des rollers, ...) u est de s’incliner vers l’intérieur du virage. L’application du Principe Fondamen- tal de la Dynamique au conducteur montre alors que cette condition est équiva- to lente à g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) colinéaire à z 4 . Après calcul de Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) , la figure du document réponse donne les trois pro- jections de g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) dans la base ( x 4, y 4, z 4 ) en fonction de l’inclinaison β du conducteur, avec les paramètres : –2 ϕ = 0, 8 rad ⁄ s , h = 0, 95 m , g = 9, 81 m ⋅ s et V = – 10 km ⁄ h ( soit ρ = 3, 5 m ) ˙ III.B.1) Par un tracé sur le document réponse, justifié sur la copie, donner alors la valeur de β qui permet de vérifier la condition exposée ci-dessus. III.C - Étude dynamique simplifiée du Segway® en virage Dans ce paragraphe, un modèle simplifié où le conducteur est assimilé à une masse concentrée m H en G et le chariot assimilé à une masse concentrée m S en A est adopté. De plus, l’inertie des roues et l'inertie en rotation du Segway® sont négligées devant les termes liés à la masse du conducteur et du chariot. Les hypothèses V = constante, β = constante, ϕ = constante et Ψ ≡ 0 avec β tel que ˙ Concours Centrale-Supélec 2005 8/16
  • 9. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) soit colinéaire à z 4 (comme défini en III.B) sont conservées. On isole alors le système complet {Conducteur, Châssis, Roue Droite, Roue Gauche}. III.C.1) Faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures qui s’exercent sur ce système. L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à ce système dans son mouvement par rapport au sol permet d’obtenir, après réduction au point A , les équations suivantes projetées sur la base : ( x 1, y 1, z 0 ) : Théorème de la résultante dynamique selon x 1 : – m H ϕ ( V + hϕ sin β ) – m S V ϕ = X G + X D ˙ ˙ ˙ t Théorème de la résultante dynamique selon z 0 : 0 = ZG + Z D – ( m H + mS ) g e Théorème du moment dynamique en A en projection selon y 1 : .n L L --- Z G + R X G – --- Z D + R X D = 0 - - rs 2 2 III.C.2) Expliquer pourquoi le système d’équations obtenu ne permet pas de u déterminer toutes les inconnues d’effort et recenser celles qui ne peuvent pas être calculées sans hypothèse complémentaire. Expliquer l’origine de cette o impossibilité. c Le modèle de frottement de Coulomb de coefficient f est choisi pour le contact s roue/sol et, en raison du déchargement de la roue gauche, l’hypothèse X G = 0 u est adoptée. to III.C.3) Énoncer les lois de Coulomb en utilisant les notations du III.A pour une roue, dans les cas d'adhérence et de glissement. La stabilité du Segway® impose de garantir un effort tangentiel minimal trans- missible suivant y 1 . Par conséquent, on suppose Y G = Y D = Y min donné. Le cahier des charges précise les valeurs minimales des rayons de courbure du virage ρ , définis par V = ρϕ , pour différentes valeurs de vitesse. Compte tenu ˙ des valeurs des paramètres de géométrie et de masse du Segway®, on trace sur la figure du document réponse, avec Y min = 100 N et f = 0, 6 , deux graphiques : 2 2 Y min + X D • --------------------------------- en fonction de ρ , rayon de courbure du virage en mètre, - ZD Y min • ----------- en fonction de ρ , rayon de courbure du virage en mètre. - ZG Concours Centrale-Supélec 2005 9/16
  • 10. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI III.C.4) En expliquant votre démarche et en complétant le document réponse, vérifier les performances attendues vis-à-vis des rayons de virage minimums tout en garantissant les critères de non basculement et de non dérapage. Partie IV - Validation de la FS1 Objectif : Déterminer la relation entre l’inclinaison du conducteur et l’accéléra- tion du Segway® en ligne droite ainsi que les équations mécaniques nécessaires au modèle d’asservissement d’inclinaison. Pour une utilisation confortable et sûre, le Segway® doit satisfaire les perfor- mances de vitesse et d’accélération énoncées dans le tableau 2 extrait du cahier des charges. t Fonction de service Critère Niveau e Vitesse 0 – 20 km ⁄ h .n FS1 : permettre –2 au conducteur de se Accélération et décélération 1, 5 m ⋅ s minimum rs déplacer aisément en fonctionnement normal dans un milieu urbain Distance d’arrêt maximale 3 m à 20 km ⁄ h u Manipulation intuitive Commande naturelle co pour les réflexes humains s Tableau 2 : extrait du CdCF relatif à FS1 Hypothèses : u • le Segway® se déplace en ligne droite : ϕ ≡ 0 et β = 0 . On note donc pour to simplifier θ D = θ G = θ , • l’angle α d’inclinaison du conducteur est constant : α = constante. Dans ce ˙ ˙ cas, V ( A ∈ 2 ⁄ 0 ) = V y 1 = – R ( ψ + θ ) y 1 . IV.A - Détermination des équations mécaniques régissant le système On pose pour la suite les notations suivantes : Conducteur : H Centre de gravité G avec AG = hz 4 ⎛ ⎞ A H = 18 kg ⋅ m 2 ⎜ AH 0 0 ⎟ IG( H ) = ⎜ 0 BH 0 ⎟ B H = 20 kg ⋅ m 2 h = 0, 95 m ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 C ⎟ 2 ⎝ H ⎠ x4, y4, z4 C H = 1, 2 kg ⋅ m m H = 80 kg Concours Centrale-Supélec 2005 10/16
  • 11. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Châssis : S Centre de gravité A ⎛ ⎞ A S = 0, 8 kg ⋅ m 2 m s = 25 kg ⎜ AS 0 0 ⎟ I A ( S ) = ⎜ 0 BS 0 ⎟ B S = 1, 2 kg ⋅ m 2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 C ⎟ 2 ⎝ S ⎠ x 1, y 2, z 2 C S = 1, 3 kg ⋅ m Roue gauche : R G Centre de gravité O G , 2 ⎛ ⎞ A R = 0, 28 kg ⋅ m t L avec AO G = --- x 1 - ⎜ AR 0 0 ⎟ I O ( RG ) = ⎜ 0 B R 0 ⎟ 2 2 B R = 0, 05 kg ⋅ m e Rayon R = 240 mm G ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 C ⎟ .n 2 L = 650 mm ⎝ R ⎠ x 1, y G, z G C R = 0, 05 kg ⋅ m rs m R = 5 kg Roue droite : R D o u Centre de gravité O D , L ⎛ ⎞ A R = 0, 28 kg ⋅ m 2 c avec O D A = --- x 1 - 2 ⎜ AR 0 0 ⎟ IO ( RD) = ⎜ 0 BR 0 ⎟ s 2 Rayon R = 240 mm D ⎜ ⎟ B R = 0, 05 kg ⋅ m ⎜ 0 0 C ⎟ u L = 650 mm 2 ⎝ R ⎠ x 1, y D, z D C R = 0, 05 kg ⋅ m to m R = 5 kg La masse et l’inertie de la motorisation et de son réducteur associé sont suppo- sées négligeables. Le moto-réducteur fait partie du châssis. • l’action mécanique exercée par la route sur les roues est modélisée par ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ Y G y1 + ZG z0 ⎪ ⎪ Y D y1 + Z D z0 ⎪ { T ( Route → R G ) } = ⎨ ⎬ et { T ( Route → R D ) } = ⎨ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ IG ⎩ ⎭ ID ⎩ ⎭ • l’action mécanique exercée par l'arbre de sortie du moto-réducteur sur la roue, identique pour chaque roue est modélisée par : ⎧ ⎫ ⎪ 0 ⎪ { T ( Moto-réducteur → R D ) } = { T ( Moto-réducteur → R G ) } = ⎨ ⎬ ⎪ CS x1 ⎪ A⎩ ⎭ Concours Centrale-Supélec 2005 11/16
  • 12. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Dans cette partie, le problème est supposé plan dans ( A, y 1, z 0 ) . IV.A.1) Justifier l'hypothèse de problème plan du point de vue des efforts. IV.A.2) Déterminer pour chaque solide (Conducteur, Châssis, Roue Gauche et Roue Droite) dans leur mouvement par rapport au repère galiléen R 0 : • la projection sur y 1 de la résultante du torseur dynamique notée, pour un solide S i , R D ( S i ⁄ 0 ) ⋅ y 1 , • la projection sur x 1 du moment dynamique en A notée, pour un solide S i , δ A ( Si ⁄ 0 ) ⋅ x1 . On recherche les équations liant les couples moteurs aux mouvements du sys- t tème, c’est-à-dire V , Ψ et leurs dérivées. e IV.A.3) En exposant la séquence d’isolement et en appliquant le Principe Fon- damental de la Dynamique, montrer que l’on peut obtenir le système de deux .n équations suivant : rs 2 ˙˙ ˙ ⎧ ( m H h + A H + A S )Ψ – m H hV cos ( α + Ψ ) = m H hg sin ( α + Ψ ) – 2C s ⎪ ⎨ AR CS ˙2 u ⎪ ( m S + m H + 2m R )V – m H hΨ cos ( α + Ψ ) + m H hΨ sin ( α + Ψ ) = – 2 ------- ˙ – 2 ------ ˙ ˙˙ -V - ⎩ R 2 R o Préciser clairement pour chaque isolement le système considéré et l’équation c scalaire choisie. La relation cinématique suivante, issue de la question II.B.4 s ˙ ˙ pourra être utilisée : V = – R ( θ + Ψ ) . u IV.A.4) Énoncer les hypothèses qui permettent d’envisager de linéariser le to système précédent. Sous ces hypothèses, montrer alors que le système linéarisé peut se mettre sous la forme : ˙˙ ˙ AΨ ( t ) – BV ( t ) = – 2 C S ( t ) + C ( α ( t ) + Ψ ( t ) ) 2C S ( t ) ˙˙ ˙ BΨ ( t ) – DV ( t ) = ----------------- - R où vous préciserez les expressions des constantes A , B , C et D . Réaliser les applications numériques. IV.B - Relation entre l’inclinaison du conducteur et l’accélération du Segway® On souhaite trouver la relation entre l’inclinaison α ( t ) du conducteur et l’accé- lération du Segway®. L’asservissement est ici considéré comme parfaitement réalisé, c’est à dire Ψ ≡ 0 . ˙ IV.B.1) Montrer que cette relation s’écrit sous la forme V ( t ) = Kα ( t ) où vous préciserez la valeur numérique de K . Concours Centrale-Supélec 2005 12/16
  • 13. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI IV.B.2) Vérifier les performances attendues du cahier des charges en vous appuyant sur les configurations proposées figure 6. On utilisera ici –2 K = – 7 m ⋅ s ⁄ rad et on se souviendra que V est négatif en marche avant. et rs .n Figure 6 : configurations angulaires proposées u Partie V - Validation de la FS2 et de la FS3 o Objectif : vérifier les performances de l’asservissement d’inclinaison par rapport c à la verticale s Pour une utilisation confortable et sûre, le Segway® doit satisfaire les perfor- u mances énoncées dans le tableau 3 extrait du cahier des charges. to Fonction de service Critère Niveau Temps de réponse de 0 à 5 km ⁄ h 1 s maximum FS2 : donner Dépassement d’inclinaison < 30% au conducteur une sen- sation de stabilité Inclinaison du châssis par rapport Nulle à convergence à la verticale lim Ψ ( t ) = 0 t→∞ FS3 : rester insensible Hauteur de la marche de trottoir 5 cm maximum aux perturbations pro- franchissable à 5 km ⁄ h venant de la route Perturbations dues à la route, Plage de fréquen- nature du sol (pavés, franchisse- ces de 0 à 300 Hz ment d’un trottoir, ...) Tableau 3 : extrait du CdCF relatif à FS2 et FS3 Concours Centrale-Supélec 2005 13/16
  • 14. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI La régulation d’inclinaison du Segway® est réalisée par : • un moto-réducteur qui permet de délivrer un couple C m ( t ) = K m u ( t ) où u ( t ) –1 est une grandeur de commande et K m = 24 N ⋅ m ⋅ V • le système mécanique dont les équations ont été déterminées question IV.A.4 et qui peuvent, dans le cas où l’angle α ( t ) n’est pas supposé constant, se met- tre sous la forme : ⎧A = 90 kg ⋅ m 2 ⎪ ⎧ 1⎛ C m ( t )⎞ ⎪B = 75 kg ⋅ m ⎪ V ( t ) = ---- Bχ ( t ) + 2 --------------- ˙ ˙˙ -⎠ ⎪ ⎪ D⎝ R ⎪ 750 kg ⋅ m s 2 –2 ⎨ ou ⎨ C = t ⎪ ( DA – B 2 )χ ( t ) = 2 ⎛ B + D⎞ C ( t ) + DCχ ( t ) ˙˙ ⎪D = 125 kg ⎪ ⎝ --- R - ⎠ m ⎪ ⎩ ⎪R = e 240 mm ⎪ ⎩χ(t) = α(t) + Ψ(t) .n Par commodité de signe, la notation C m ( t ) = – C S ( t ) est utilisée dans les équa- rs tions ci-dessus. Les conditions initiales sont toutes nulles. V.A - Stabilisation du système u α( p) c o - U ( p) Cm ( p ) χ( p) Ψ( p) s Km H1( p) u + to Figure 7 : schéma bloc 1 V.A.1) Montrer que le schéma bloc du système peut se mettre sous la forme présentée figure 7 en déterminant l’expression littérale de H 1 ( p ) . Analyser la stabilité du système d’entrée u ( t ) et de sortie Ψ ( t ) en étudiant la Ψ( p) fonction de transfert F 1 ( p ) = ------------- . Pouvait-on s'attendre à ce résultat ? - U ( p) K1 On note alors H 1 ( p ) = ----------------- . - p2 ----- – 1 2 - ω1 Les valeurs numériques utilisées par la suite seront : ω 1 = 4, 1rad ⁄ s et –1 K s = K m K 1 = 0, 24 rad V . Afin de stabiliser le système, la grandeur de commande U ( p ) est élaborée à par- ˙ tir des mesures de Ψ (réalisée par le gyromètre), et de Ψ (réalisée par combi- Concours Centrale-Supélec 2005 14/16
  • 15. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI naison de la mesure du gyromètre et du pendule). Le schéma bloc obtenu est celui du document réponse. V.A.2) Dans le cas où α ≡ 0 , déterminer, en fonction de K s , k p , k v et ω 1 la fonction de transfert Ψ( p) F 2 ( p ) = -------------- . - W ( p) Déterminer les conditions sur k v et sur k p pour que le système soit stable. F 2 ( p ) est une fonction de transfert du second ordre pouvant se mettre sous la forme : Ψ( p) K2 t F 2 ( p ) = -------------- = --------------------------------- - - W ( p) 2ξ p 2 e 1 + ----- p + ----- - - ω0 ω0 2 .n V.A.3) Déterminer, en fonction de K s , k p , k v et ω 1 les expressions de K 2 , ξ , rs ω0 . On choisit une pulsation propre ω 0 proche de celle du système mécanique, c’est u à dire ω 0 = 1, 5ω 1 = 6, 15 rad ⁄ s . o V.A.4) Déterminer les valeurs de k v et de k p telles que le temps de réponse à c 5% soit minimal. s V.B - Asservissement d’inclinaison du chariot u La consigne de la régulation de l’inclinaison Ψ ( t ) du châssis par rapport à la ver- to ticale est notée Ψ C ( t ) . On introduit un correcteur de fonction de transfert C ( p ) qui élabore le signal w ( t ) (de transformée de Laplace W ( p ) ) à partir de l’écart ε ( t ) = ΨC ( t ) – Ψ ( t ) . V.B.1) Compléter le schéma bloc de l’asservissement fourni sur le document réponse en faisant apparaître la régulation de l’inclinaison. La régulation d’inclinaison du Segway® consiste à maintenir la consigne Ψ C ( t ) nulle. Cette régulation est réalisée si, quelle que soit l’inclinaison α ( t ) du conducteur, la sortie Ψ ( t ) converge vers Ψ C ( t ) , valeur nulle ici. Le conducteur agit directement sur la valeur de α ( t ) pour accélérer ou décélérer. Pour le système Segway®, conducteur exclu, le parmètre α ( t ) peut être consi- déré comme une perturbation. Un correcteur proportionnel C ( p ) = K C est envisagé. V.B.2) Calculer l’inclinaison Ψ ( t ) du châssis en régime permanent, lorsque la perturbation α ( t ) est un échelon d’amplitude α 0 . Le cahier des charges est-il satisfait ? Concours Centrale-Supélec 2005 15/16
  • 16. SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Un correcteur proportionnel intégral C ( p ) = K i ⎛ 1 + --------- ⎞ est envisagé. ⎝ 1 - T i p⎠ V.B.3) Démontrer que ce correcteur permet de satisfaire le cahier des charges vis-à-vis de l’écart en régime permanent pour une perturbation en échelon. On souhaite dimensionner le correcteur. Pour cela, on étudie le schéma bloc construit en V.B.1. et on considère alors α ( t ) ≡ 0 . La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte est pour cet asservissement : FTBO ( p ) = C ( p )F 2 ( p ) . V.B.4) Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques et réels (allure unique- ment) de la fonction de transfert F 2 ( p ) et tracer les diagrammes de Bode asymp- totiques de la fonction de transfert du correcteur C ( p ) , en utilisant les paramètres K i et T i . Préciser les valeurs caractéristiques sur les diagrammes. t 1 ωC On impose ω i = ----- = ------- où ω C est la pulsation de coupure à 0dB de la FTBO - e Ti 10 .n corrigée par le correcteur proportionnel intégral. V.B.5) Déterminer ω C telle que la marge de la FTBO ( p ) soit M ϕ = 45° . En rs déduire la valeur de T i . V.B.6) Déterminer alors K i tel que ω C soit effectivement la pulsation de cou- u pure à 0dB de la FTBO corrigée. o V.C - Vérification graphique des performances attendues c Le modèle de comportement précé- s DID'ACSYDE REPONSE TEMPORELLE dent est utilisé en simulation pour 25 χ(t) en degrés u vérifier le pré-dimensionnement. Les performances de la correction 20 to sont étudiées grâce aux évolutions de χ ( t ) = α ( t ) + Ψ ( t ) , qui représente 15 l’angle d’inclinaison du conducteur par rapport à la verticale. La consi- 10 gne α ( t ) , imposée par le conducteur, est un échelon d’amplitude 20°. 5 Après réglages définitifs l’évolution temporelle est obtenue figure 8. 0 V.C.1) Conclure quant au respect des critères de dépassement et de -50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Temps (s) précision associés à la fonction de Figure 8 : réponse temporelle χ(t) service FS2. ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2005 16/16